Практическое занятие: «Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда ».
1. Цель практической работы : . Закрепить знания теоретического материала о многогранниках, навыки решения задач на построение сечений, умения анализировать чертеж.
2.Дидактическое оснащение практической работы : АРМ, модели и развёртки многогранников, измерительные инструменты, ножницы, клей, плотная бумага.
Время:2 часа
Задания к работе:
Задание 1
Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P, лежащие, на прямых, соответственно, A 1 B 1, А D , DC
Образец и последовательность решения задачи:
1.Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
2.Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
3.Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1 в некоторой точке Х.
4.Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN.
5.Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1 , параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1 в точке Y.
6.Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.
Задание 2
Вариант1. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, заданной следующими точками M , N и P
1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныА
2 Уровень. M лежит в грани AA1D1D, N лежит в грани АА1В1В, P лежит в грани СС1D1D.
3 Уровень. M лежит на диагонали B1D, N лежит на диагонали АС1, P лежит на ребре С1D1.
Вариант2. Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре СС1 и точку Р, заданную следующим образом
1 Уровень: Все три точки лежит на рёбрах, выходящих из вершиныС
2 Уровень: М лежит на продолжении ребра А1В1, причем точка А1 находится между точками В1 и Р.
3 Уровень: Р лежит на диагонали В1D
Порядок выполнения работы:
1.Изучите теоретический материал по темам:
Параллелепипед.
Прямой параллелепипед.
Наклонный параллелепипед.
Противолежащие грани параллелепипеда.
Свойства диагоналей параллелепипеда.
П онятие секущей плоскости и правила её построения.
Какие виды многоугольников получаются в сечении куба и параллелепипеда.
2. Постройте параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
3.Разберите решение задачи № 1
4.Последовательно постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R задачи № 1.
5.Постройте ещё три параллелепипеда и выделите на них сечения к задачам 1, 2, и 3 уровней
Критерии оценивания :
Литература: Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 2010г Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2010. В. Н. ЛитвиненкоЗадачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2010г
Дидактический материал к заданию практического занятия
К задаче № 1:
Некоторые возможные сечения:
Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через данные точки
Сечение
- изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями.
На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости
.
Сечения обычно применяют для выявления поперечной формы предмета. Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой. Штриховые линии наносят в соответствии с общими правилами.
Порядок формирования сечения:
1.
Вводится секущая плоскость в том месте детали, где необходимо более полно выявить ее форму. 2.
Мысленно отбрасывается часть детали, расположенная между наблюдателем и секущей плоскостью. 3.
Фигура сечения мысленно поворачивается до положения, параллельного основной плоскости проекций P. 4.
Изображение сечения формируют в соответствии с общими правилами проецирования.
Сечения, не входящие в состав , разделяют на:
Вынесенные;
- наложенные.
Вынесенные сечения
являются предпочтительными и их допускается располагать в разрыве между частями одного и того же вида.
Контур вынесенного сечения, а также сечения, входящего в состав разреза, изображают сплошными основными линиями.
Наложенным называют сечение , которое располагают непосредственно на виде предмета. Контур наложенного сечения выполняют сплошной тонкой линией. Фигуру сечения располагают в том месте основного вида, где проходит секущая плоскость, и заштриховывают.
Наложение сечений: а) симметричное; б) несимметричное
Ось симметрии наложенного или вынесенного сечения указывают штрихпунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками и линию сечения не проводят.
Сечения в разрыве.
Такие сечения располагают в разрыве основного изображения и выполняют сплошной основной линией.
Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве или наложенных линию сечения проводят со стрелками, но буквами не обозначают.
Сечение в разрыве: а) симметричное; б) несимметричное
Вынесенные сечения
располагают:
- на любом месте поля чертежа;
- на месте основного вида;
- с поворотом с добавлением знака «повернуто»
Если секущая плоскость проходит через ось поверхности вращения, ограничивающие отверстие или углубления, то их контур в сечении показывают полностью, т.е. выполняют по правилу разреза.
Если сечение получается состоящим из двух и более отдельных частей, то следует применить разрез, вплоть до изменения направления взгляда.
Секущие плоскости выбирают так, чтобы получить нормальные поперечные сечения.
Для нескольких одинаковых сечений, относящихся к одному предмета, линию сечения обозначают одной буквой и вычерчивают одно сечение.
Выносные элементы.
Выносной элемент - отдельное увеличенное изображение части предмета для представления подробностей, не указанных на соответствующем изображении; может отличаться от основного изображения по содержанию. Например, основное изображение является видом, а выносной элемент - разрезом.
На основном изображении часть предмета выделяют окружностью произвольного диаметра, выполненной тонкой линией, от нее идет линия-выноска с полочкой, над которой ставят прописную букву русского алфавита, высотой более, чем высота размерных чисел. Над выносным элементом пишут эту же букву и справа от нее в круглых скобках, без буквы М, указывают масштаб выносного элемента.
Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью
.
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.
Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).
1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.
2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.
1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.
В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.
Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:
1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).
2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения
На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдра
А,
B
,
C
,
D
- вершины тетраэдра
.
AB
,
AC
,
AD
,
BC
,
BD
,
CD
- ребра тетраэдра
.
ABC
,
ABD
,
BDC
,
ADC
- грани тетраэдра
.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .
Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение
:
Рассмотрим грань тетраэдра D
ВС
. В этой грани точки N
и P
принадлежат грани D
ВС
, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P
принадлежат секущей плоскости. Значит, NP
- это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D
ВС
и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP
и ВС
не параллельны. Они лежат в одной плоскости D
ВС.
Найдем точку пересечения прямых NP
и ВС
. Обозначим ее Е
(Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .
Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .
Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Секущая плоскость φ
параллельна плоскости АВС
по условию, значит, эта плоскость φ
параллельна прямым АВ
, АС
, ВС
.
В плоскости АВ
D
через точку М
проведем прямую PQ
параллельно АВ
(рис. 5). Прямая PQ
лежит в плоскости АВ
D
. Аналогично в плоскости АС
D
через точку Р
проведем прямую РR
параллельно АС
. Получили точку R
. Две пересекающиеся прямые PQ
и РR
плоскости РQR
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ
и АС
плоскости АВС
, значит, плоскости АВС
и РQR
параллельны. РQR
- искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D
МN
. Пусть прямая D
М
пересекает прямую АВ в точке К
(Рис. 7.). Тогда, СК
D
- это сечение плоскости D
МN
и тетраэдра. В плоскости D
МN
лежит и прямая NM
, и полученная прямая СК
. Значит, если NM
не параллельна СК
, то они пересекутся в некоторой точке Р
. Точка Р
и будет искомая точка пересечения прямой NM
и плоскости АВС
.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN
не параллельна плоскости АВС
. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN
и плоскости АВС
. Это точка К
, она получена с помощью вспомогательной плоскости D
МN
, т.е. мы проводим D
М
и получаем точку F
. Проводим СF
и на пересечении MN
получаем точку К
.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР
. Прямая КР
лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС
. Получаем точки Р 1
и Р 2
. Соединяем Р 1
и М
и на продолжении получаем точку М 1
. Соединяем точку Р 2
и N
. В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1
. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN
параллельна плоскости АВС
. Плоскость МNР
проходит через прямую МN
параллельную плоскости АВС
и пересекает плоскость АВС
по некоторой прямой Р 1 Р 2
, тогда прямая Р 1 Р 2
параллельна данной прямой MN
(Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)
2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики
Дополнительные веб-ресурсы
2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().
3. Фестиваль педагогических идей ().
Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50
2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .
3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.
4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?