Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой. Тела и поверхности вращения. Визуальный гид (2019)

Задание 16 ЕГЭ 2015.Тела вращения.

Иванова Е.Н.

МБОУ СОШ №8 г. Каменск-Шахтинский

Отрезок AB c , параллельной этому отрезку и отстоящей от него на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью вращения является боковая поверхность цилиндра, радиус основания которого равен 2, образующая равна 1. Площадь этой поверхности равна 4 .

Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c , перпендикулярной этому отрезку и отстоящей от ближайшего его конца A на расстояние, равное 2 (прямые AB и с лежат в одной плоскости). Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является кольцо, внутренний радиус которого равен 2, а внешний – 3. Площадь этого кольца равна 5 .

Отрезок AB c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 1. Его площадь равна.

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c A . Найдите площадь поверхности вращения.

Отрезок AB c , перпендикулярной этому отрезку и проходящей через точку C , делящей этот отрезок в отношении 1:2. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 2. Его площадь равна 4 .

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку A и образующей с этим отрезком угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 2, радиус основания равен 1. Ее площадь равна 2 .

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку A и отстоящей от точки B на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 3, радиус основания равен 2. Ее площадь равна 6 .

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , проходящей через середину этого отрезка и образующей с ним угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 1, а радиусы оснований – 0,5. Ее площадь равна.

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , проходящей через точку C , делящей этот отрезок в отношении 1:2 и образующей с ним угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 2 и 1, а радиусы оснований равны соответственно 1 и 0,5. Ее площадь равна 2,5 .

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c , лежащей с ним в одной плоскости и отстоящей от концов A и B соответственно на расстояния 1 и 2. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 3, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 9 .

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c , лежащей с ним в одной плоскости, отстоящей от ближайшего конца A на расстояние, равное 1, и образующей с этим отрезком угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения.

Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 2, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 6 .

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AD .

Ответ. Искомый цилиндр изображен на рисунке. Радиус его основания и образующая равны 1. Площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 2 .

Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника ABCD со сторонами AB = 4, BC = 3 вокруг прямой AB и CD .

Ответ. Искомым телом является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а образующая равна 3. Его площадь поверхности равна 20 .

Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AC .

Ответ. Искомым телом вращения является объединение двух конусов, радиусы оснований которого и высоты равны. Его площадь поверхности равна.

Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = BC = 1 вокруг прямой AC .

Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 1, а образующая равна. Площадь поверхности этого конуса равна.

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного вращением равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой, содержащей биссектрису CD этого треугольника.

Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 0,5, а образующая равна 1. Площадь полной поверхности этого конуса равна 3 /4.

Найдите площадь поверхности вращения равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой AB .

Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием, радиус которого равен, а высоты – 0,5. Его площадь поверхности равна.

Найдите объем тела вращения равнобедренной трапеции ABCD с боковыми сторонами AD и BC , равными 1, и основаниями AB и CD , равными соответственно 2 и 1, вокруг прямой AB .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой 1, на основаниях которого достроены конусы, высотой 0,5. Его объем равен.

Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD , равными соответственно 2 и 1, меньшей боковой стороной, равной 1, вокруг прямой AB .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой, равными 1, на основании которого достроен конус, высотой 1. Его объем равен.

Найдите объем тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 вокруг прямой AD .

Ответ. Искомое тело вращения состоит из цилиндра, радиус основания которого равен, а высота равна 1 и двух конусов с основаниями радиуса и высотой 0,5. Его объем равен.

ABCDEF , изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой AF .

Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух цилиндров с основаниями радиусов 2 и 1, высотой 1. Его объем равен 5 .

Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH , изображенного на рисунке и составленного из четырех единичных квадратов, вокруг прямой c , проходящей через середины сторон AB и EF .

Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров высотой 1 и радиусами оснований 1,5 и 0,5. Его объем равен 2,5 .

Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH , изображенного на рисунке и составленного из пяти единичных квадратов, вокруг прямой c , проходящей через середины сторон AB и EF .

Ответ. 1. Искомое тело вращения является цилиндром с радиусом основания 1,5 и высотой 2, из которого вырезан цилиндр с радиусом основания 0,5 и высотой 1. Его объем равен 4,25 .

Найдите объем тела вращения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вокруг прямой AA 1 .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 1. Его объем равен 2 .

Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C AA 1 .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Его объем равен.

Найдите объем тела вращения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1, вокруг прямой AA 1 .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а высота равна 1. Его объем равен 4 .

Найдите объем тела вращения правильной четырехугольной пирамиды SABCD , все ребра которой равны 1, вокруг прямой с , содержащей высоту SH этой пирамиды.

Ответ. Искомым телом вращения является конус, радиус основания и высота которого равны.

Его объем равен.

Найдите объем тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг ребра AB .

Ответ. 1. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием радиуса и высотой 0,5. Его объем равен 0,25 .

Найдите объем тела вращения единичного правильного октаэдра S’ABCDS” вокруг прямой S"S” .

Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух конусов с общим основанием радиуса и высотами, равными. Его объем равен.

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой AD .

Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 2. Его объем равен 10 .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Пусть T - тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной функции y=f(x) .

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

V=\pi \int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}y^2\,dx\,.

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве \Pi выберем плоскость Oyz , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии x от плоскости Oyz , является кругом радиуса f(x) и его площадь S(x) равна \pi f^2(x) (рис. 46). Поэтому функция S(x) непрерывна в силу непрерывности f(x) . Далее, если S(x_1)\leqslant S(x_2) , то это значит, что . Но проекциями сечений на плоскость Oyz являются круги радиусов f(x_1) и f(x_2) с центром O , и из f(x_1)\leqslant f(x_2) вытекает, что круг радиуса f(x_1) содержится в круге радиуса f(x_2) .

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

V=\pi \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx\,.

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то

V= \pi \int\limits_{a}^{b}y_2^2\,dx- \pi \int\limits_{a}^{b}y_1^2\,dx= \pi\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат . Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок . Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров

\Delta V_k= \pi y_k x_{k+1}^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_{k+1}+x_k\bigr) \bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:

2\pi \sum_{k=0}^{n-1} m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_{k=0}^{n-1} M_kx_k\Delta x_k\,.

Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат :

V=2\pi \int\limits_{a}^{b} xy\,dx\,.

Пример 4. Найдем объем шара радиуса R .

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса R с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси Ox , образует шар. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=R^2 , поэтому y^2=R^2-x^2 . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

\frac{1}{2}V= \pi\int\limits_{0}^{R}y^2\,dx= \pi\int\limits_{0}^{R} (R^2-x^2)\,dx= \left.{\pi\!\left(R^2x- \frac{x^3}{3}\right)}\right|_{0}^{R}= \pi\!\left(R^3- \frac{R^3}{3}\right)= \frac{2}{3}\pi R^3.

Следовательно, объем всего шара равен \frac{4}{3}\pi R^3 .

Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого h и радиус основания r .

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA запишется в виде y=\frac{r}{h}\,x .

Пользуясь формулой (3), получим:

V=\pi \int\limits_{0}^{h} y^2\,dx= \pi \int\limits_{0}^{h} \frac{r^2}{h^2}\,x^2\,dx= \left.{\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{h}= \frac{\pi}{3}\,r^2h\,.

Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды \begin{cases}x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end{cases} (рис. 48).

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной t пределы интегрирования.

Если x=a\cos^3t=0 , то t=\frac{\pi}{2} , а если x=a\cos^3t=a , то t=0 . Учитывая, что y^2=a^2\sin^6t и dx=-3a\cos^2t\sin{t}\,dt , получаем:

V=\pi \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx= \pi \int\limits_{\pi/2}^{0} a^2\sin^6t \bigl(-3a\cos^2t\sin{t}\bigr)\,dt= \ldots= \frac{16\pi}{105}\,a^3.

Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет \frac{32\pi}{105}\,a^3 .

Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды \begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases} .

Решение. Воспользуемся формулой (4): V=2\pi \int\limits_{a}^{b}xy\,dx , и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной t от 0 до 2\pi . Таким образом,

\begin{aligned}V&= 2\pi \int\limits_{0}^{2\pi} a(t-\sin{t})a(1-\cos{t})a(1-\cos{t})\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi} (t-\sin{t})(1-\cos{t})^2\,dt=\\ &= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi}\bigl(t-\sin{t}- 2t\cos{t}+ 2\sin{t}\cos{t}+ t\cos^2t- \sin{t}\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.{2\pi a^3\!\left(\frac{t^2}{2}+ \cos{t}- 2t\sin{t}- 2\cos{t}+ \sin^2t+ \frac{t^2}{4}+ \frac{t}{4}\sin2t+ \frac{1}{8}\cos2t+ \frac{1}{3}\cos^3t\right)}\right|_{0}^{2\pi}=\\ &= 2\pi a^3\!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac{1}{8}+ \frac{1}{3}-1+2- \frac{1}{8}- \frac{1}{3}\right)= 6\pi^3a^3. \end{aligned}

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями

цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра. На рисунке 156 изображен цилиндр. Круги с центрами О и являются его основаниями, его образующие.

Можно доказать, что основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, что у цилиндра образующие - параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. На рисунке 155, б изображен наклонный цилиндр, а на рисунке 155, а - прямой.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром. Его можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси (рис. 156).

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра назаывается расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

На рисунке 157 сечение проходит через ось цилиндра ОО и т. е. является осевым сечением.

Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра» пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой - равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Ее боковые ребра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее граней касаются боковой поверхности цилиндра.

На рисунке 158 изображена призма вписанная в цилиндр. На рисунке 159 призма описана около цилиндра.

Пример. В цилиндр вписать правильную четырехугольную призму.

Решение. 1) Впишем в основание цилиндра квадрат ABCD (рис. 158).

2) Проведем образующие

3) Через соседние пары этих образующих проведем плоскости, которые пересекают верхнее основание по хордам

4) Призма искомая (по определениям правильной и вписанной призмы).

53. Конус.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. На рисунке 160, а изображен круговой конус. S - вершина конуса, круг с центром в точке О - основание конуса, SA, SB и SC - образующие конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. На рисунке 160, б изображен наклонный конус, а на рисунке 160, а - прямой. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис. 161).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.

На рисунке 162 изображено сечение конуса, проходящее через его ось - осевое сечение конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная осн конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 163).

Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса. Пирамида называется описанной около конуса, если ее основанием является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

На рисунке 164 изображена пирамида, вписанная в конус, а на рисунке 165 изображен конус, вписанный в пирамиду, т. е. пирамида, описанная около конуса.

54. Шар.

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем

данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние - радиусом шара. На рисунке 166 изображен шар с центром в точке радиусом В. Заметим, что точки принадлежат данному шару. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. На рисунке 166 точки А, В и D принадлежат сфере, а, например, точка М ей не принадлежит. Таким образом, точками сфер» являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара о точкой шаровой поверхности также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две течки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его два метра как оси (рис. 167).

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Если шар с центром О и радиусом R пересечен плоскостью то в сечении по Т. 3.5 получается круг радиуса . центром К. Радиус сечения шара плоскостью можно вычислить по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар равным кругам. Радкус сечения тем] больше, чем ближе секущая плоскость к центру шара, т. е.чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого» круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью. На рисунке 168 плоскость а является диаметральной плоскостью, круг радиуса К является большим кругом шара, а соответствующая окружность - большой окружностью.

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 169).

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

Прямая, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной (рис. 169).

Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная

между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. 170).

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и коиуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется (рис. 171).