Исследовать функцию на четность и нечетность примеры. Исследование функции

Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.

Определение 1.

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).

Определение 2.

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).

Доказать, что у = х 4 - четная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.

Аналогично можно доказать, что функции у - х 2 ,у = х 6 ,у - х 8 являются четными.

Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.

Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.

Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у - х 3 , у = х 5 , у = х 7 - нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 - четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n - натуральное число , можно сделать вывод: если n - нечетное число, то функция у = х" - нечетная; если же n - четное число, то функция у = хn - четная.

Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).

Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.

Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.

В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симметричные множества, в то время как ; (∞;∞) – симметричные множества, а , [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f ) – несимметричное множество, то функция какая?
– Таким образом, если функция у = f (х ) – чётная или нечётная, то её область определения D(f ) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f (– х ).

3. Сравнить f (– х ).и f (х ):

• если f (– х ).= f (х ), то функция чётная;
• если f (– х ).= – f (х ), то функция нечётная;
• если f (– х ) ≠ f (х ) и f (– х ) ≠ –f (х ), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х 5 +; б) у = ; в) у = .

Решение.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + – х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х 5 + нечётная.

б) у =,

у = f (х ), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f (х ) = , у = f (х),

1) D(f ) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

а); б) у = х· (5 – х 2). 2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у = х 2 · (2х – х 3), б) у =

3. На рис. построен график у = f (х ), для всех х , удовлетворяющих условию х ? 0.
Постройте график функции у = f (х ), если у = f (х ) – чётная функция.

3. На рис. построен график у = f (х ), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
Постройте график функции у = f (х ), если у = f (х ) – нечётная функция.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(х ) = х (х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х ) = при х = 3.

7. Подведение итогов

Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x , принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

Преобразование графиков.

Словесное описание функции.

Графический способ.

Графический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. В математическом анализе графический способ задания функций используется в качестве иллюстрации.

Графиком функции f называют множество всех точек (x;y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения данной функции.

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

Пример. Является ли графиками функций фигуры, изображенные ниже?

Преимуществом графического задания является его наглядность. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает, где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции.

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели.

Попытаемся ответить на вопрос: "А существуют ли другие способы задания функции?"

Такой способ есть.

Функцию можно вполне однозначно задать словами.

Например, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно.

Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить.

Способ словесного описания - достаточно редко используемый способ. Но иногда встречается.

Если есть закон однозначного соответствия между х и у - значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен - формулой, табличкой, графиком, словами – сути дела не меняет.

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т.е. для любого х из области определения число (-х ) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные .

Определение. Функция f называется четной , если для любого х из ее области определения

Пример. Рассмотрим функцию

Она является четной. Проверим это.

Для любого х выполнены равенства

Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график этой функции.

Определение. Функция f называется нечетной , если для любого х из ее области определения

Пример. Рассмотрим функцию

Она является нечетной. Проверим это.

Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки (0;0).

Для любого х выполнены равенства

Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график этой функции.

Графики, изображенные на первом и третьем рисунках симметричны относительно оси ординат, а графики, изображенные на втором и четвертом рисункам симметричны относительно начала координат.

Какие из функций, графики которых изображены на рисунках являются четными, а какие нечетными?

Для этого воспользуйтесь миллиметровкой или графическим калькулятором. Выберите несколько любых числовых значений независимой переменной x {\displaystyle x} и подставьте их в функцию, чтобы вычислить значения зависимой переменной y {\displaystyle y} . Найденные координаты точек нанесите на координатную плоскость, а затем соедините эти точки, чтобы построить график функции.

• В функцию подставьте положительные числовые значения x {\displaystyle x} и соответствующие отрицательные числовые значения. Например, дана функция . Подставьте в нее следующие значения x {\displaystyle x} :
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 {\displaystyle f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3} (1 , 3) {\displaystyle (1,3)} .
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 {\displaystyle f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Получили точку с координатами (2 , 9) {\displaystyle (2,9)} .
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 {\displaystyle f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3} . Получили точку с координатами (− 1 , 3) {\displaystyle (-1,3)} .
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 {\displaystyle f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Получили точку с координатами (− 2 , 9) {\displaystyle (-2,9)} .

Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная.

• Проверить симметричность графика можно по отдельным точкам. Если значение y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} , совпадает со значением y {\displaystyle y} , которое соответствует значению − x {\displaystyle -x} , функция является четной. В нашем примере с функцией f (x) = 2 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} мы получили следующие координаты точек:
  • (1,3) и (-1,3)
  • (2,9) и (-2,9)
• Обратите внимание, что при x=1 и x=-1 зависимая переменная у=3, а при x=2 и x=-2 зависимая переменная у=9. Таким образом, функция четная. На самом деле, чтобы точно выяснить вид функции, нужно рассмотреть более двух точек, но описанный способ является хорошим приближением.

Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению y {\displaystyle y} (при положительном значении x {\displaystyle x} ) соответствует отрицательное значение y {\displaystyle y} (при отрицательном значении x {\displaystyle x} ), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат.

• Если в функцию подставить несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} , значения y {\displaystyle y} будут различаться по знаку. Например, дана функция f (x) = x 3 + x {\displaystyle f(x)=x^{3}+x} . Подставьте в нее несколько значений x {\displaystyle x} :
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 {\displaystyle f(1)=1^{3}+1=1+1=2} . Получили точку с координатами (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2}
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 {\displaystyle f(2)=2^{3}+2=8+2=10}
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 {\displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10} . Получили точку с координатами (-2,-10).
• Таким образом, f(x) = -f(-x), то есть функция нечетная.

Проверьте, имеет ли график функции какую-нибудь симметрию. Последний вид функции – это функция, график которой не имеет симметрии, то есть зеркальное отображение отсутствует как относительно оси ординат, так и относительно начала координат. Например, дана функция .

• В функцию подставьте несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} :
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 {\displaystyle f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4} . Получили точку с координатами (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2} . Получили точку с координатами (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 {\displaystyle f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10} . Получили точку с координатами (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 {\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2} . Получили точку с координатами (2,-2).
• Согласно полученным результатам, симметрии нет. Значения y {\displaystyle y} для противоположных значений x {\displaystyle x} не совпадают и не являются противоположными. Таким образом, функция является ни четной, ни нечетной.
• Обратите внимание, что функцию f (x) = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1} можно записать так: f (x) = (x + 1) 2 {\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}} . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.