Nelygybės ir nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais. Lygtys su dviem kintamaisiais ir jų geometrinis sprendimas Nelygybės su dviem kintamaisiais ir jų sistemos

22.01.2024

Dažnai koordinačių plokštumoje reikia pavaizduoti nelygybės su dviem kintamaisiais sprendinių rinkinį. Dviejų kintamųjų nelygybės sprendimas yra šių kintamųjų reikšmių pora, kuri nelygybę paverčia tikra skaitine nelygybe.

2у+ Zx< 6.

Pirmiausia nubrėžkime tiesią liniją. Norėdami tai padaryti, rašome nelygybę lygties forma 2у+ Zx = 6 ir išreikšti y. Taigi gauname: y=(6-3x)/2.

Ši linija padalija visų koordinačių plokštumos taškų aibę į taškus, esančius virš jos, ir taškus, esančius žemiau.

Paimkite memą iš kiekvienos srities valdymo taškas, pavyzdžiui, A (1; 1) ir B (1; 3)

Taško A koordinatės tenkina šią nelygybę 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Taško B koordinatės Ne patenkinti šią nelygybę 2∙3 + 3∙1< 6.

Kadangi ši nelygybė gali pakeisti ženklą tiesėje 2y + 3x = 6, tai nelygybę tenkina taškų rinkinys toje srityje, kurioje yra taškas A. Nuspalvinkime šią sritį.

Taigi, mes pavaizdavome nelygybės sprendimų rinkinį 2y + Zx< 6.

Pavyzdys

Nelygybės x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 sprendinių aibę pavaizduokime koordinačių plokštumoje.

Pirmiausia sukurkime lygties x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 = 0 grafiką. Išskirkime šios lygties apskritimo lygtį: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) = 4 arba (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 2 2 .

Tai apskritimo, kurio centras yra taške 0 (-1; 2), o spindulys R = 2, lygtis. Sukonstruokime šį apskritimą.

Kadangi ši nelygybė yra griežta, o taškai, esantys pačiame apskritime, nelygybės netenkina, konstruojame apskritimą su punktyrine linija.

Nesunku patikrinti, ar apskritimo centro O koordinatės netenkina šios nelygybės. Išraiška x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 pakeičia savo ženklą sukonstruotajame apskritime. Tada nelygybę tenkina taškai, esantys už apskritimo ribų. Šie taškai yra užtamsinti.

Pavyzdys

Koordinačių plokštumoje pavaizduokime nelygybės sprendinių aibę

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Pirmiausia sukurkime lygties (y - x 2)(y - x - 3) = 0 grafiką. Tai parabolė y = x 2 ir tiesė y = x + 3. Sukurkime šias eilutes ir pastebėkime, kad reiškinio ženklo (y - x 2)(y - x - 3) keitimas vyksta tik šiose eilutėse. Taškui A (0; 5) nustatome šios išraiškos ženklą: (5- 3) > 0 (t. y. ši nelygybė negalioja). Dabar lengva pažymėti taškų aibę, kuriai ši nelygybė tenkinama (šios sritys yra užtamsintos).

Nelygybių su dviem kintamaisiais sprendimo algoritmas

1. Sumažinkime nelygybę iki formos f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Parašykite lygybę f (x; y) = 0

3. Atpažinti kairėje pusėje užrašytus grafikus.

4. Sudarome šiuos grafikus. Jei nelygybė griežta (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), tada - su brūkšneliais, jei nelygybė nėra griežta (f (x; y) ≤ 0 arba f (x; y) ≥ 0), tada - su ištisine linija.

5. Nustatykite, į kiek grafikos dalių padalinta koordinačių plokštuma

6. Vienoje iš šių dalių pasirinkite valdymo tašką. Nustatykite išraiškos f (x; y) ženklą

7. Ženklus dedame kitose plokštumos dalyse, atsižvelgdami į kaitaliojimą (kaip naudojant intervalų metodą)

8. Pagal sprendžiamos nelygybės ženklą parenkame mums reikalingas dalis ir taikome šešėliavimą

Tema: Lygtys ir nelygybės. Lygčių ir nelygybių sistemos

Pamoka:Lygtys ir nelygybės su dviem kintamaisiais

Panagrinėkime bendrai lygtį ir nelygybę su dviem kintamaisiais.

Lygtis su dviem kintamaisiais;

Nelygybė su dviem kintamaisiais, nelygybės ženklas gali būti bet koks;

Čia x ir y yra kintamieji, p – nuo jų priklausanti išraiška

Skaičių pora () vadinama tokios lygties arba nelygybės daliniu sprendiniu, jei šią porą pakeitę į išraišką gauname atitinkamai teisingą lygtį arba nelygybę.

Užduotis – surasti arba plokštumoje pavaizduoti visų sprendinių aibę. Galite perfrazuoti šią užduotį – rasti taškų vietą (GLP), sudaryti lygties arba nelygybės grafiką.

1 pavyzdys – išspręskite lygtį ir nelygybę:

Kitaip tariant, užduotis apima GMT radimą.

Panagrinėkime lygties sprendimą. Šiuo atveju kintamojo x reikšmė gali būti bet kokia, todėl turime:

Akivaizdu, kad lygties sprendimas yra taškų, sudarančių tiesią liniją, rinkinys

Ryžiai. 1. Lygčių grafikas 1 pavyzdys

Tam tikros lygties sprendiniai yra taškai (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Duotos nelygybės sprendimas yra virš tiesės esanti pusplokštuma, įskaitant pačią tiesę (žr. 1 pav.). Iš tiesų, jei mes paimsime bet kurį tašką x 0 tiesėje, tada turime lygybę . Jei imame tašką pusiau plokštumoje virš linijos, turime . Jei paimsime tašką pusiau plokštumoje po linija, tai jis nepatenkins mūsų nelygybės: .

Dabar apsvarstykite problemą su apskritimu ir apskritimu.

2 pavyzdys – išspręskite lygtį ir nelygybę:

Žinome, kad pateikta lygtis yra apskritimo, kurio centras yra ištakoje, o spindulys 1, lygtis.

Ryžiai. 2. Iliustracija, pavyzdžiui, 2

Savavališkame taške x 0 lygtis turi du sprendinius: (x 0; y 0) ir (x 0; -y 0).

Duotos nelygybės sprendimas yra taškų, esančių apskritimo viduje, rinkinys, neatsižvelgiant į patį apskritimą (žr. 2 pav.).

Panagrinėkime lygtį su moduliais.

3 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Šiuo atveju būtų galima išplėsti modulius, tačiau mes atsižvelgsime į lygties specifiką. Nesunku pastebėti, kad šios lygties grafikas yra simetriškas abiem ašims. Tada jei taškas (x 0 ; y 0) yra sprendinys, tai taškas (x 0 ; -y 0) taip pat yra sprendinys, taškai (-x 0 ; y 0) ir (-x 0 ; -y 0 ) taip pat yra sprendimas.

Taigi, pakanka rasti sprendimą, kai abu kintamieji yra neneigiami ir turi simetriją ašių atžvilgiu:

Ryžiai. 3. Iliustracija, pavyzdžiui, 3

Taigi, kaip matome, lygties sprendimas yra kvadratas.

Pažvelkime į vadinamąjį ploto metodą naudodami konkretų pavyzdį.

4 pavyzdys – pavaizduokite nelygybės sprendinių rinkinį:

Pagal domenų metodą pirmiausia atsižvelgiame į funkciją kairėje pusėje, jei dešinėje yra nulis. Tai yra dviejų kintamųjų funkcija:

Panašiai kaip intervalų metodas, laikinai nutolstame nuo nelygybės ir tiriame sudarytos funkcijos ypatybes ir savybes.

ODZ: tai reiškia, kad x ašis pradurta.

Dabar nurodome, kad funkcija lygi nuliui, kai trupmenos skaitiklis lygus nuliui, turime:

Sudarome funkcijos grafiką.

Ryžiai. 4. Funkcijos grafikas, atsižvelgiant į ODZ

Dabar apsvarstykite funkcijos pastovaus ženklo sritis, kurias sudaro tiesi linija ir laužyta linija. trūkinės linijos viduje yra sritis D 1. Tarp trūkinės linijos atkarpos ir tiesės – sritis D 2, žemiau linijos – sritis D 3, tarp trūkinės linijos atkarpos ir tiesės – sritis D 4

Kiekvienoje iš pasirinktų sričių funkcija išsaugo savo ženklą, o tai reiškia, kad pakanka patikrinti bet kokį bandymo tašką kiekvienoje srityje.

Srityje paimame tašką (0;1). Mes turime:

Srityje paimame tašką (10;1). Mes turime:

Taigi visas regionas yra neigiamas ir netenkina pateiktos nelygybės.

Srityje paimkite tašką (0;-5). Mes turime:

Taigi visas regionas yra teigiamas ir tenkina pateiktą nelygybę.

Dviejų kintamųjų nelygybės sprendimas, ir juo labiau nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais, atrodo gana sudėtinga užduotis. Tačiau yra paprastas algoritmas, padedantis lengvai ir be didelių pastangų išspręsti iš pažiūros labai sudėtingas tokio pobūdžio problemas. Pabandykime tai išsiaiškinti.

Pateikiame nelygybę su dviem vieno iš šių tipų kintamaisiais:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Norėdami pavaizduoti tokios nelygybės sprendinių rinkinį koordinačių plokštumoje, atlikite šiuos veiksmus:

1. Sudarome funkcijos y = f(x) grafiką, kuris padalija plokštumą į dvi sritis.

2. Mes pasirenkame bet kurią iš gautų sričių ir atsižvelgiame į savavališką tašką. Mes patikriname šio taško pradinės nelygybės pagrįstumą. Jei testo rezultatas yra teisinga skaitinė nelygybė, tada darome išvadą, kad pradinė nelygybė tenkinama visame regione, kuriam priklauso pasirinktas taškas. Taigi, nelygybės sprendinių aibė yra sritis, kuriai priklauso pasirinktas taškas. Jei patikrinimo rezultatas yra neteisinga skaitinė nelygybė, tada nelygybės sprendinių aibė bus antroji sritis, kuriai pasirinktas taškas nepriklauso.

3. Jei nelygybė griežta, tai srities ribos, tai yra funkcijos y = f(x) grafiko taškai, į sprendinių aibę neįtraukiami ir riba vaizduojama punktyrine linija. Jei nelygybė nėra griežta, tada srities ribos, tai yra funkcijos y = f(x) grafiko taškai, įtraukiami į šios nelygybės sprendinių aibę ir riba šiuo atveju pavaizduota. kaip ištisinė linija.
Dabar pažvelkime į keletą šios temos problemų.

1 užduotis.

Kokią taškų aibę suteikia nelygybė x · y ≤ 4?

Sprendimas.

1) Sudarome lygties x · y = 4 grafiką. Norėdami tai padaryti, pirmiausia jį transformuojame. Akivaizdu, kad x šiuo atveju nevirsta į 0, nes kitu atveju gautume 0 · y = 4, o tai neteisinga. Tai reiškia, kad galime padalyti savo lygtį iš x. Gauname: y = 4/x. Šios funkcijos grafikas yra hiperbolė. Jis padalija visą plokštumą į dvi sritis: esančią tarp dviejų hiperbolės šakų ir esančią už jų ribų.

2) Pažymime savavališką tašką iš pirmos srities, tegul tai yra taškas (4; 2).
Patikrinkime nelygybę: 4 · 2 ≤ 4 – klaidinga.

Tai reiškia, kad šio regiono taškai netenkina pradinės nelygybės. Tada galime daryti išvadą, kad nelygybės sprendinių aibė bus antroji sritis, kuriai pasirinktas taškas nepriklauso.

3) Kadangi nelygybė nėra griežta, tai ribos taškus, tai yra funkcijos y = 4/x grafiko taškus, brėžiame ištisine linija.

Nupieškime geltona spalva taškų rinkinį, kuris apibrėžia pradinę nelygybę (1 pav.).

2 užduotis.

Nubrėžkite sistemos koordinačių plokštumoje apibrėžtą plotą
(y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
(x 2 + y 2 ≤ 9.

Sprendimas.

Pirmiausia sukuriame šių funkcijų grafikus (2 pav.):

y = x 2 + 2 – parabolė,

y + x = 1 – tiesė

x 2 + y 2 = 9 – apskritimas.

1) y > x 2 + 2.

Paimame tašką (0; 5), esantį virš funkcijos grafiko.
Patikrinkime nelygybę: 5 > 0 2 + 2 – tiesa.

Vadinasi, visi taškai, esantys aukščiau duotosios parabolės y = x 2 + 2, tenkina pirmąją sistemos nelygybę. Nudažykime juos geltonai.

2) y + x > 1.

Paimame tašką (0; 3), esantį virš funkcijos grafiko.
Patikrinkime nelygybę: 3 + 0 > 1 – tiesa.

Vadinasi, visi taškai, esantys virš tiesės y + x = 1, tenkina antrąją sistemos nelygybę. Nudažykime juos žaliais atspalviais.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Paimkite tašką (0; -4), esantį už apskritimo x 2 + y 2 = 9.
Patikrinkime nelygybę: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – neteisinga.

Todėl visi taškai, esantys už apskritimo x 2 + y 2 = 9, netenkina trečiosios sistemos nelygybės. Tada galime daryti išvadą, kad visi taškai, esantys apskritimo x 2 + y 2 = 9 viduje, tenkina trečiąją sistemos nelygybę. Nudažykime juos violetiniu atspalviu.

Nepamirškite, kad jei nelygybė yra griežta, tada atitinkama ribos linija turėtų būti nubrėžta punktyrine linija. Gauname tokį paveikslėlį (3 pav.).

(4 pav.).

3 užduotis.

Nubraižykite plotą, kurį koordinačių plokštumoje apibrėžia sistema:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Sprendimas.

Pirmiausia sukuriame šių funkcijų grafikus:

x 2 + y 2 = 16 – apskritimas,

x = -y – tiesus

x 2 + y 2 = 4 – apskritimas (5 pav.).

Dabar pažvelkime į kiekvieną nelygybę atskirai.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Paimkite tašką (0; 0), esantį apskritimo x 2 + y 2 = 16 viduje.
Patikrinkime nelygybę: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – tiesa.

Todėl visi taškai, esantys apskritimo x 2 + y 2 = 16 viduje, tenkina pirmąją sistemos nelygybę.
Nudažykime juos raudonu atspalviu.

Paimame tašką (1; 1), esantį virš funkcijos grafiko.
Patikrinkime nelygybę: 1 ≥ -1 – tiesa.

Vadinasi, visi taškai, esantys virš tiesės x = -y, tenkina antrąją sistemos nelygybę. Nudažykime juos mėlynu atspalviu.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Paimkite tašką (0; 5), esantį už apskritimo x 2 + y 2 = 4.
Patikrinkime nelygybę: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – tiesa.

Vadinasi, visi taškai, esantys už apskritimo x 2 + y 2 = 4, tenkina trečiąją sistemos nelygybę. Nudažykime juos mėlyna spalva.

Šioje užduotyje visos nelygybės nėra griežtos, o tai reiškia, kad visas ribas brėžiame ištisine linija. Gauname tokį paveikslėlį (6 pav.).

Paieškos sritis yra sritis, kurioje visos trys spalvotos sritys susikerta viena su kita (7 pav.).

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti nelygybių sistemą su dviem kintamaisiais?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Nelygybės su dviem kintamaisiais ir jų sistemos 1 pamoka

Nelygybės su dviem kintamaisiais Nelygybės 3x – 4y  0; ir yra nelygybės su dviem kintamaisiais x ir y. Dviejų kintamųjų nelygybės sprendimas yra kintamųjų reikšmių pora, kuri paverčia ją tikra skaitine nelygybe. Jei x = 5 ir y = 3, nelygybė 3x - 4y  0 virsta teisinga skaitine nelygybe 3  0. Skaičių pora (5;3) yra šios nelygybės sprendimas. Skaičių pora (3;5) nėra jos sprendimas.

Ar skaičių pora (-2; 3) yra nelygybės sprendimas: Nr. 482 (b, c) Ar ne Yra

Nelygybės sprendimas yra sutvarkyta realiųjų skaičių pora, kuri nelygybę paverčia tikra skaitine nelygybe. Grafiškai tai atitinka taško nurodymą koordinačių plokštumoje. Išspręsti nelygybę reiškia rasti daugybę jos sprendimų.

Nelygybės su dviem kintamaisiais turi tokią formą: Nelygybės sprendinių aibė yra visų koordinačių plokštumos taškų, kurie tenkina duotą nelygybę, aibė.

Nelygybės F(x,y) ≥ 0 x y F(x,y)≤0 x y sprendinių aibės

F(x, y)>0 F(x, y)

Bandymo taško taisyklė Konstrukcija F(x ; y)=0 Paėmę bandomąjį tašką iš bet kurios srities, nustatykite, ar jo koordinatės yra nelygybės sprendinys. Padarykite išvadą apie nelygybės x y sprendinį 1 1 2 A(1;2) F (x ; y) =0

Tiesinės nelygybės su dviem kintamaisiais Tiesinė nelygybė su dviem kintamaisiais vadinama nelygybe, kurios formos ax + bx +c  0 arba ax + bx +c

Raskite klaidą! Nr. 484 (b) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Grafiškai išspręskite nelygybę: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Grafikus braižome ištisinėmis linijomis:

Nustatykime nelygybės ženklą kiekvienoje srityje -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Nelygybės sprendimas yra taškų rinkinys iš sričių, kuriose yra pliuso ženklas, ir lygties -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 sprendiniai. +

Išspręskime kartu Nr. 485 (b) Nr. 486 (b, d) Nr. 1. Nustatykite nelygybę ir koordinačių plokštumoje nubrėžkite aibę taškų, kurių: a) abscisė didesnė už ordinatę; b) abscisių ir ordinačių suma yra didesnė už dvigubą jų skirtumą.

Išspręskime kartu Nr. 2. Nelygybe apibrėžkite atvirą pusplokštumą, esančią virš tiesės AB, einančios per taškus A(1;4) ir B(3;5). Atsakymas: y  0,5x +3,5 Nr. 3. Kokioms b reikšmėms nelygybės 3x – b y + 7  0 sprendinių aibė reiškia atvirą pusplokštumą, esančią virš tiesės 3x – b y + 7 = 0. Atsakymas: b  0.

Namų darbai P. 21, Nr.483; 484(c,d); 485(a); Nr.486(c).

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Nelygybės su dviem kintamaisiais ir jų sistemos 2 pamoka

Nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais

Nelygybių su dviem kintamaisiais sistemos sprendimas yra kintamųjų reikšmių pora, kuri kiekvieną sistemos nelygybę paverčia tikra skaitine nelygybe. Nr. 1. Nubraižykite nelygybių sistemų sprendinių aibę. Nr. 496 (žodinis)

a) x y 2 2 x y 2 2 b)

Išspręskime kartu Nr. 1. Esant kokioms k reikšmėms, nelygybių sistema apibrėžia trikampį koordinačių plokštumoje? Atsakymas: 0

Kartu sprendžiame x y 2 2 2 2 Nr. 2. Paveikslėlyje pavaizduotas trikampis su viršūnėmis A(0;5), B(4;0), C(1;-2), D(-4;2). Apibrėžkite šį keturkampį nelygybių sistema. A B C D

Išspręskime kartu Nr. 3. Kam k ir b yra nelygybių sistema apibrėžtos koordinačių plokštumos taškų aibė: a) juostelė; b) kampas; c) tuščias rinkinys. Atsakymas: a) k= 2,b  3; b) k ≠ 2, b – bet koks skaičius; c) k = 2; b

Išspręskime skaičių 4 kartu. Kokią figūrą duoda lygtis? (žodžiu) 1) 2) 3) Nr. 5. Koordinačių plokštumoje nubrėžkite nelygybe nurodytų taškų sprendinių aibę.

Išspręskime kartu Nr. 497 (c, d), 498 (c)

Namų darbai P.22 Nr.496, Nr.497 (a, b), Nr.498 (a,b), Nr.504.

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Nelygybės su dviem kintamaisiais ir jų sistemos 3 pamoka

Raskite klaidą! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Raskite klaidą! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2

Nustatykite nelygybę 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Nustatykite nelygybę

0 - 3 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 Nustatykite nelygybės ženklą ≤

Grafiškai išspręskite nelygybių sistemą -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

Nelygybės ir aukštesnių laipsnių nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais Nr. 1. Koordinačių plokštumoje nubraižykite taškų aibę, nurodytą nelygybių sistemos

Nelygybės ir aukštesnių laipsnių nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais Nr. 2. Koordinačių plokštumoje nubrėžkite nelygybių sistemos nurodytą taškų aibę

Nelygybės ir aukštesnio laipsnio nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais Nr. 3. Nubraižykite koordinačių plokštumoje nelygybių sistemos nurodytą taškų aibę Transformuokime pirmąją sistemos nelygybę:

Nelygybės ir aukštesnių laipsnių nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais Gauname ekvivalentinę sistemą

Nelygybės ir aukštesnių laipsnių nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais Nr. 4. Koordinačių plokštumoje nubrėžkite nelygybių sistemos nurodytą taškų aibę

Spręskime kartu Nr. 502 Galitskio kolekcija. Nr. 9,66 b) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

. Nr. 9.66(c) Išspręskite kartu 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2

Išsprendžiame kartu Nr. 9.66(g) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y|

Išspręskite nelygybę: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Užrašykite nelygybių sistemą

11:11 3) Kokią figūrą lemia nelygybių sistemos sprendinių aibė? Raskite kiekvienos figūros plotą. 6) Kiek porų natūraliųjų skaičių yra nelygybių sistemos sprendiniai? Apskaičiuokite visų tokių skaičių sumą. Mokomųjų pratimų sprendimas 2) Užrašykite nelygybių sistemą su dviem kintamaisiais, kurios sprendinių aibė parodyta 0 pav. 2 x y 2 1) Nubraižykite sistemos sprendinių aibę koordinačių plokštumoje: 4) Nubrėžkite žiedą. paveiksle parodyta kaip nelygybių sistema. 5) Išspręskite nelygybių sistemą y x 0 5 10 5 10

Mokomųjų pratimų sprendimas 7) Apskaičiuokite nelygybių sistemos sprendinių aibės pateiktos figūros plotą ir raskite didžiausią atstumą tarp šios figūros taškų 8) Kokią m reikšmę turi tik nelygybių sistema vienas sprendimas? 9) Nurodykite kai kurias k ir b reikšmes, kurias koordinačių plokštumoje apibrėžia nelygybių sistema: a) juosta; b) kampas.

Tai įdomu Anglų matematikas Thomas Harriot (Harriot T., 1560-1621) pristatė pažįstamą nelygybės ženklą, argumentuodamas taip: „Jei du lygiagrečiai atkarpos tarnauja kaip lygybės simbolis, tai susikertančios atkarpos turi būti nelygybės simbolis. . 1585 m. jauną Hariotą Anglijos karalienė išsiuntė į tyrinėjimo ekspediciją į Šiaurės Ameriką. Ten jis pamatė tarp indėnų populiarią tatuiruotę, turbūt todėl Harriotas pasiūlė nelygybės ženklą dviem jo formomis: „>“ yra didesnis nei... ir „.

Tai įdomu Simbolius ≤ ir ≥ negriežtam palyginimui pasiūlė Wallis 1670 m. Iš pradžių linija buvo virš palyginimo ženklo, o ne žemiau jo, kaip yra dabar. Šie simboliai plačiai paplito po prancūzų matematiko Pierre'o Bouguer (1734 m.) palaikymo, iš kurio jie įgavo savo šiuolaikinę formą.

Nelygybė su dviem kintamaisiaisx ir y vadinama formos nelygybe:

(arba pasirašyti)

kur yra kokia nors išraiška su šiais kintamaisiais.

Sprendimu Dviejų kintamųjų nelygybės vadinamos sutvarkyta skaičių pora, pagal kurią ši nelygybė virsta tikra skaitine nelygybe.

Išspręskite nelygybę- reiškia surasti visų jos sprendimų rinkinį. Nelygybės su dviem kintamaisiais sprendimas yra tam tikra taškų rinkinys koordinačių plokštumoje.

Pagrindinis šių nelygybių sprendimo būdas yra grafinis metodas. Jį sudaro ribinių linijų brėžimas (jei nelygybė griežta, linija brėžiama punktyrine linija). Ribinę lygtį gauname, jei duotoje nelygybėje nelygybės ženklą pakeisime lygybės ženklu. Visos linijos kartu padalija koordinačių plokštumą į dalis. Reikalingą taškų rinkinį, atitinkantį nurodytą nelygybę arba nelygybių sistemą, galima nustatyti imant kontrolinį tašką kiekviename regiono regione.

Nelygybių aibė su dviem kintamaisiais turi formą

Sprendimas gyventojams yra visų nelygybės sprendimų sąjunga.

1 pavyzdys. Išspręskite sistemą

Sprendimas. Sukurkime jį sistemoje Oho atitinkamos eilutės (19 pav.):

Lygtis apibrėžia apskritimą, kurio centras yra APIE¢(0; 1) ir R = 2.

Lygtis apibrėžia parabolę, kurios viršūnė yra ties APIE(0; 0).

Raskime kiekvienos į sistemą įtrauktos nelygybės sprendimus. Pirmoji nelygybė atitinka plotą apskritimo viduje ir patį apskritimą (to pagrįstumu esame įsitikinę, jei nelygybe pakeisime bet kurio taško koordinates iš šios srities). Antroji nelygybė atitinka plotą, esantį po parabole.