6 paskaita. Vektorinė erdvė.

Pagrindiniai klausimai.

1. Vektorinė tiesinė erdvė.

2. Erdvės pagrindas ir matmenys.

3. Orientacija erdvėje.

4. Vektoriaus skaidymas pagal pagrindą.

5. Vektorinės koordinatės.

1. Vektorinė tiesinė erdvė.

Aibė, susidedanti iš bet kokio pobūdžio elementų, kurioje apibrėžiamos tiesinės operacijos: dviejų elementų pridėjimas ir elemento padauginimas iš skaičiaus. erdvės, o jų elementai yra vektoriaiši erdvė ir žymimi taip pat kaip vektoriniai dydžiai geometrijoje: . Vektoriai Tokios abstrakčios erdvės, kaip taisyklė, neturi nieko bendra su įprastais geometriniais vektoriais. Abstrakčių erdvių elementais gali būti funkcijos, skaičių sistema, matricos ir pan., o konkrečiu atveju – paprastieji vektoriai. Todėl tokios erdvės dažniausiai vadinamos vektorinės erdvės .

Vektorinės erdvės yra Pavyzdžiui, kolinearinių vektorių rinkinys, pažymėtas V1 , lygiagrečių vektorių rinkinys V2 , įprastos (realios erdvės) vektorių rinkinys V3 .

Šiuo konkrečiu atveju galime pateikti tokį vektorinės erdvės apibrėžimą.

1 apibrėžimas. Vektorių aibė vadinama vektorinė erdvė, jei bet kurių aibės vektorių tiesinė kombinacija yra ir šios aibės vektorius. Patys vektoriai vadinami elementai vektorinė erdvė.

Tiek teoriškai, tiek taikant svarbesnė yra bendroji (abstrakčioji) vektorinės erdvės samprata.

2 apibrėžimas. Krūva R elementai, kurių suma nustatoma bet kuriems dviem elementams ir bet kuriam elementui https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> vektorius(arba linijinis) erdvė, o jo elementai yra vektoriai, jei vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos tenkina šias sąlygas ( aksiomos) :

1) pridėjimas yra keičiamas, ty.gif" width="184" height="25">;

3) yra toks elementas (nulio vektorius), kad bet kuriam https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) bet kokiems vektoriams ir bet kuriam skaičiui λ galioja lygybė;

6) bet kokiems vektoriams ir bet kokiems skaičiams λ Ir µ lygybė yra tiesa: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> ir bet kokie skaičiai λ Ir µ šviesus ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Paprasčiausios aksiomos, apibrėžiančios vektorinę erdvę, yra šios: pasekmes :

1. Vektorinėje erdvėje yra tik vienas nulis – elementas – nulinis vektorius.

2. Vektorinėje erdvėje kiekvienas vektorius turi vieną priešingą vektorių.

3. Kiekvieno elemento lygybė tenkinama.

4. Bet kuriam realiam skaičiui λ ir nulinis vektorius https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> yra vektorius, atitinkantis lygybę https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Taigi iš tikrųjų visų geometrinių vektorių aibė yra tiesinė (vektorinė) erdvė, nes šios aibės elementams yra apibrėžti sudėties ir daugybos iš skaičiaus veiksmai, kurie tenkina suformuluotas aksiomas.

2. Erdvės pagrindas ir matmenys.

Esminės vektorinės erdvės sąvokos yra pagrindo ir dimensijos sąvokos.

Apibrėžimas. Tam tikra tvarka paimtų tiesiškai nepriklausomų vektorių aibė, per kurią galima tiesiškai išreikšti bet kurį erdvės vektorių, vadinama pagrinduši erdvė. Vektoriai. Erdvės pagrindo komponentai vadinami pagrindinis .

Vektorių aibės, esančios savavališkoje tiesėje, pagrindu galima laikyti vieną kolinearinį šios linijos vektorių.

Pagrindas lėktuve pavadinkime du nekolinearinius vektorius šioje plokštumoje, paimtus tam tikra tvarka https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Jei baziniai vektoriai yra poromis statmeni (stačiakampiai), vadinasi, pagrindas stačiakampis, o jei šių vektorių ilgis lygus vienetui, vadinasi pagrindas ortonormalus .

Didžiausias tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius erdvėje vadinamas matmuošios erdvės, ty erdvės matmuo sutampa su šios erdvės bazinių vektorių skaičiumi.

Taigi, pagal šiuos apibrėžimus:

1. Vienmatė erdvė V1 yra tiesi linija, o pagrindas susideda iš vienas kolinearinis vektorius https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Paprastoji erdvė yra trimatė erdvė V3 , kurio pagrindas susideda iš trys nelygios vektoriai

Iš čia matome, kad bazinių vektorių skaičius tiesėje, plokštumoje, realioje erdvėje sutampa su tuo, kas geometrijoje paprastai vadinama tiesės, plokštumos, erdvės matmenų (matmenų) skaičiumi. Todėl natūralu įvesti bendresnį apibrėžimą.

Apibrėžimas. Vektorinė erdvė R paskambino n– matmenų, jei jų yra ne daugiau kaip n tiesiškai nepriklausomi vektoriai ir yra žymimas R n. Skaičius n paskambino matmuo erdvė.

Priklausomai nuo erdvės dydžio, jie skirstomi į baigtinių matmenų Ir begalinio matmens. Nulinės erdvės matmuo pagal apibrėžimą laikomas lygiu nuliui.

1 pastaba. Kiekvienoje erdvėje galite nurodyti tiek bazių, kiek norite, tačiau visos nurodytos erdvės bazės susideda iš vienodo skaičiaus vektorių.

Užrašas 2. IN n– matmenų vektoriaus erdvėje pagrindas yra bet kokia sutvarkyta kolekcija n tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

3. Orientacija erdvėje.

Tegul baziniai vektoriai yra erdvėje V3 turėti bendra pradžia Ir užsakyta, t.y., nurodoma, kuris vektorius laikomas pirmuoju, kuris laikomas antruoju, o kuris trečiuoju. Pavyzdžiui, bazėje vektoriai išdėstyti pagal indeksavimą.

Už tai norint orientuoti erdvę, būtina nustatyti tam tikrą pagrindą ir paskelbti jį teigiamu .

Galima parodyti, kad visų erdvės bazių aibė suskirstyta į dvi klases, tai yra į du nevienodus poaibius.

a) turi visi vienam poaibiui (klasei) priklausantys pagrindai tas pats orientacija (to paties pavadinimo bazės);

b) bet kurios dvi bazės, priklausančios įvairių poaibius (klases), turi priešingybė orientacija, ( skirtingi vardai pagrindai).

Jei viena iš dviejų erdvės bazių klasių yra teigiama, o kita neigiama, tada sakoma, kad ši erdvė orientuotas .

Dažnai, orientuojantis į erdvę, vadinami kokie nors pagrindai teisingai, ir kiti - paliko .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> yra vadinami teisingai, jei, stebint nuo trečiojo vektoriaus pabaigos, trumpiausias pirmojo vektoriaus sukimasis https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > yra vykdomas prieš laikrodžio rodyklę(1.8 pav., a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ryžiai. 1.8. Dešinysis pagrindas (a) ir kairysis (b)

Paprastai tinkamas erdvės pagrindas yra teigiamas

Dešinysis (kairysis) erdvės pagrindas taip pat gali būti nustatytas naudojant „dešinio“ („kairiojo“) varžto ar įvorės taisyklę.

Analogiškai su tuo įvedamos dešinės ir kairės sąvokos trise ne lygiaplaniai vektoriai, kurie turi būti išdėstyti (1.8 pav.).

Taigi, bendruoju atveju du sutvarkyti ne vienaplanių vektorių tripletai turi tą pačią orientaciją (tą patį pavadinimą) erdvėje V3 jei jie abu yra dešinieji arba abu kairieji, ir - priešingos orientacijos (priešingos), jei viena iš jų yra dešinė, o kita - kairė.

Tas pats daroma ir erdvės atveju V2 (lėktuvas).

4. Vektoriaus skaidymas pagal pagrindą.

Kad būtų lengviau mąstyti, panagrinėkime šį klausimą trimatės vektorinės erdvės pavyzdžiu. R3 .

Tegul https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> yra savavališkas šios erdvės vektorius.

4.3.1 Tiesinės erdvės apibrėžimas

Leisti ā , , - kai kurių rinkinių elementai ā , , L ir λ , μ - tikrieji skaičiai, λ , μ R..

Aibė L vadinamalinijinis arbavektorinė erdvė, jei apibrėžtos dvi operacijos:

1 0 . Papildymas. Kiekviena šios aibės elementų pora yra susieta su tos pačios aibės elementu, vadinamu jų suma

ā + =

2°.Padauginus iš skaičiaus. Bet koks tikrasis skaičius λ ir elementas ā L atitinka to paties rinkinio elementą λ ā L ir tenkinamos šios savybės:

1.a+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. egzistuoja nulinis elementas
, toks ā +=ā ;

4. egzistuoja priešingas elementas -
toks kad ā +(-ā )=.

Jeigu λ , μ - tikrieji skaičiai, tada:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Tiesinės erdvės elementai ā, , ... vadinami vektoriais.

Pratimas. Parodykite sau, kad šie rinkiniai sudaro tiesines erdves:

1) Geometrinių vektorių aibė plokštumoje;

2) Daug geometrinių vektorių trimatėje erdvėje;

3) Tam tikro laipsnio daugianario aibė;

4) To paties matmens matricų rinkinys.

4.3.2 Tiesiškai priklausomi ir nepriklausomi vektoriai. Erdvės matmenys ir pagrindas

Linijinis derinys vektoriai ā 1 , ā 2 , …, ā n Lvadinamas tos pačios formos erdvės vektoriumi:

,

Kur λ aš esu tikri skaičiai.

Vektoriai ā 1 , .. , ā n yra vadinamitiesiškai nepriklausomas, jei jų tiesinė kombinacija yra nulinis vektorius tada ir tik tada, kai visi λ i yra lygūs nuliui, tai yra

λ i = 0

Jei tiesinis derinys yra nulinis vektorius ir bent vienas iš λ i skiriasi nuo nulio, tada šie vektoriai vadinami tiesiškai priklausomais. Pastarasis reiškia, kad bent vienas iš vektorių gali būti pavaizduotas kaip tiesinis kitų vektorių derinys. Iš tiesų, net jei pvz.
. Tada
, Kur

.

Vadinama maksimaliai tiesiškai nepriklausoma sutvarkyta vektorių sistema pagrindu erdvė L. Bazinių vektorių skaičius vadinamas matmuo erdvė.

Tarkime, kad yra n tiesiškai nepriklausomi vektoriai, tada erdvė vadinama n- matmenų. Kiti erdvės vektoriai gali būti pavaizduoti kaip tiesinis derinys n baziniai vektoriai. Pagal pagrindą n- galima užimti matmenų erdvę bet koks n tiesiškai nepriklausomi šios erdvės vektoriai.

17 pavyzdys. Raskite šių tiesinių erdvių pagrindą ir matmenis:

a) vektorių rinkinys, esantis ant tiesės (tiesių su kuria nors linija)

b) plokštumai priklausančių vektorių aibė

c) trimatės erdvės vektorių aibė

d) ne aukštesnio kaip dviejų laipsnio daugianario aibė.

Sprendimas.

A) Bet kurie du vektoriai, esantys tiesioje linijoje, bus tiesiškai priklausomi, nes vektoriai yra kolinearūs
, Tai
, λ - skaliarinis. Vadinasi, tam tikros erdvės pagrindas yra tik vienas (bet koks) vektorius, besiskiriantis nuo nulio.

Paprastai ši erdvė yra paskirta R, jo matmuo yra 1.

b) bet kurie du nekolineariniai vektoriai
bus tiesiškai nepriklausomi, o bet kurie trys vektoriai plokštumoje bus tiesiškai nepriklausomi. Bet kokiam vektoriui , yra skaičiai  Ir  toks kad
. Erdvė vadinama dvimate, žymima R 2 .

Dvimatės erdvės pagrindą sudaro bet kurie du nekolineariniai vektoriai.

V) Bet kokie trys ne lygiaplaniai vektoriai bus tiesiškai nepriklausomi, jie sudaro trimatės erdvės pagrindą R 3 .

G) Ne didesnio kaip dviejų polinomų erdvės pagrindu galime pasirinkti šiuos tris vektorius: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 yra daugianomas, identiškai lygus vienetui). Ši erdvė bus trimatė.

8 SKYRIUS. TIŠINĖS ERDVĖS § 1. Tiesinės erdvės apibrėžimas

Apibendrindami vektoriaus sampratą, žinomą iš mokyklinės geometrijos, apibrėžsime algebrines struktūras (tiesines erdves), kuriose galima konstruoti n-matę geometriją, kurios ypatingas atvejis bus analitinė geometrija.

Apibrėžimas 1. Duota aibė L=(a,b,c,…) ir laukas P=( ,…). Tegul algebrinė sudėjimo operacija yra apibrėžta L ir elementų iš L dauginimas iš lauko P elementų:

Aibė L vadinama tiesinė erdvė virš lauko P, jei tenkinami šie reikalavimai (tiesinės erdvės aksiomos):

1. L komutacinė grupė sudėjimo atžvilgiu;

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;

5. a L teisinga tokia lygybė: 1 a=a (kur 1 yra lauko P vienetas).

Tiesinės erdvės L elementai vadinami vektoriais (dar kartą pažymime, kad jie bus žymimi lotyniškomis raidėmis a, b, c,...), o lauko P elementai – skaičiais (juos žymėsime). graikiškomis raidėmis α,

Pastaba 1. Matome, kad gerai žinomos „geometrinių“ vektorių savybės laikomos tiesinės erdvės aksiomomis.

2 pastaba. Kai kuriuose gerai žinomuose algebros vadovėliuose naudojami skirtingi skaičių ir vektorių žymėjimai.

Pagrindiniai tiesinių erdvių pavyzdžiai

1. R 1 yra visų tam tikros tiesės vektorių aibė.

IN toliau vadinsime tokius vektoriussegmentų vektoriai tiesioje linijoje. Jei laikysime R kaip P, tai akivaizdu, kad R1 yra tiesinė erdvė virš lauko R.

2. R 2 , R3 – atkarpų vektoriai plokštumoje ir trimatėje erdvėje. Nesunku pastebėti, kad R2 ir R3 yra tiesinės erdvės virš R.

3. Tegu P yra savavališkas laukas. Apsvarstykite rinkinį P n) visi sutvarkyti n lauko P elementų rinkiniai:

P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, i=1,2,..,n .

Aibė a=(α1,α2,…,αn) bus vadinama n-mačiu eilutės vektorius. Skaičiai i bus vadinami komponentais

vektorius a.

Vektoriams iš P(n), pagal analogiją su geometrija, natūraliai įvedame sudėties ir daugybos iš skaičiaus operacijas, darant prielaidą, kad bet koks (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) ir (β1 ,β2 ,..). .,βn ) P(n) :

(α1 ,α2 ,…,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ),
(α1,α2,…,αn)= (α1, α2,…, αn) R.

Iš eilučių vektorių pridėjimo apibrėžimo aišku, kad jis atliekamas komponentiškai. Nesunku patikrinti, ar P(n) yra tiesinė erdvė virš P.

Vektorius 0=(0,…,0) yra nulinis vektorius (a+0=a a P(n)), o vektorius -a=(-α1,-α2,…,-αn) yra a priešingybė (nes a+(-a)=0).

Tiesinė erdvė P(n) vadinama eilučių vektorių n-matėmis erdvėmis arba n-matėmis aritmetine erdve.

3 pastaba. Kartais P(n) pažymėsime ir stulpelių vektorių n-matę aritmetinę erdvę, kuri nuo P(n) skiriasi tik vektorių užrašymo būdu.

4. Apsvarstykite rinkinį M n (P) visų n-osios eilės matricų su elementais iš lauko P. Tai tiesinė erdvė virš P, kur nulinė matrica yra matrica, kurioje visi elementai yra nuliai.

5. Apsvarstykite visų kintamojo x polinomų aibę P[x] su koeficientais iš lauko P. Nesunku patikrinti, ar P[x] yra tiesinė erdvė virš P. Pavadinkime jądaugianario erdvė.

6. Tegul P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) visų ne aukštesnio kaip n laipsnio daugianario aibė kartu su

0. Tai tiesinė erdvė virš lauko P.P n [x] mes paskambinsime daugiausiai n laipsnio daugianario erdvė.

7. Pažymėkime Ф realiojo kintamojo, turinčio tą pačią apibrėžimo sritį, visų funkcijų aibę. Tada Ф yra tiesinė erdvė virš R.

IN Šioje erdvėje galima rasti ir kitų tiesinių erdvių, pavyzdžiui, tiesinių funkcijų, diferencijuojamųjų funkcijų, tęstinių funkcijų ir kt.

8. Kiekvienas laukas yra tiesinė erdvė virš savęs.

Kai kurios tiesinės erdvės aksiomų pasekmės

Išvada 1. Tegul L yra tiesinė erdvė virš lauko P. L turi nulinį elementą 0 ir L (-a) L (nes L yra pridėtinė grupė).

IN Toliau lauko P nulinis elementas ir tiesinė erdvė L bus žymimi identiškai

0. Paprastai tai nesukelia painiavos.

Išvada 2. 0 a=0 a L (0 P kairėje, 0 L dešinėje).

Įrodymas. Panagrinėkime α a, kur α yra bet koks skaičius iš P. Turime: α a=(α+0)a=α a+0 a, iš kur 0 a= α a +(-α a)=0.

Išvada 3. α 0=0 α P.

Įrodymas. Apsvarstykite α a=α(a+0)=α a+α 0; taigi α 0=0. Išvada 4. α a=0 tada ir tik tada, kai α=0 arba a=0.

Įrodymas. Tinkamumas įrodyta 2 ir 3 išvadose.

Įrodykime būtinybę. Tegu α a=0 (2). Tarkime, kad α 0. Tada, kadangi α P, tada egzistuoja α-1 P. Padauginus (2) iš α-1, gauname:

α-1 (α a)=α-1 0. Pagal 2 išvadą α-1 0=0, t.y. α-1 (α a)=0. (3)

Kita vertus, naudojant tiesinės erdvės aksiomas 2 ir 5, gauname: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.

Iš (3) ir (4) išplaukia, kad a=0. Tyrimas įrodytas.

Pateikiame šiuos teiginius be įrodymų (jų pagrįstumas nesunkiai patikrinamas).

Išvada 5. (-α) a=-α a α P, a L. Išvada 6. α (-a)=-α a α P, a L. Išvada 7. α (a–b)=α a–α b α P, a, b L.

§ 2. Vektorių tiesinė priklausomybė

Tegul L yra tiesinė erdvė virš lauko P, o a1 ,a2 ,…as (1) yra kažkokia baigtinė vektorių aibė iš L.

Aibė a1 ,a2 ,...kaip bus vadinama vektorių sistema.

Jei b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs kaip , (αi P), tada jie sako, kad vektorius b tiesiškai išreikštas per sistemą (1), arba yra linijinis derinys sistemos (1) vektoriai.

Kaip ir analitinėje geometrijoje, tiesinėje erdvėje galima įvesti tiesiškai priklausomų ir tiesiškai nepriklausomų vektorių sistemų sąvokas. Padarykime tai dviem būdais.

Apibrėžimas I. Vadinama baigtinė s 2 vektorių sistema (1). tiesiškai priklausomas, jei bent vienas jo vektorius yra tiesinis kitų derinys. Priešingu atveju (t. y. kai nė vienas jo vektorius nėra tiesinis kitų derinys), jis vadinamas tiesiškai nepriklausomas.

II apibrėžimas. Baigtinė vektorių sistema (1) vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra aibė skaičių α1 ,α2 ,…,αs , αi P, iš kurių bent vienas nėra lygus 0 (tokia aibė vadinama ne nuliu), tai galioja lygybė: α1 a1 +…+ αs kaip =0 (2).

Iš II apibrėžimo galime gauti keletą lygiaverčių tiesiškai nepriklausomos sistemos apibrėžimų:

2 apibrėžimas.

a) sistema (1) tiesiškai nepriklausomas, jei iš (2) išeina, kad α1 =…=αs =0.

b) sistema (1) tiesiškai nepriklausomas, jei lygybė (2) tenkinama tik visoms αi =0 (i=1,…,s).

c) sistema (1) tiesiškai nepriklausomas, jei kuri nors netriviali tiesinė šios sistemos vektorių kombinacija skiriasi nuo 0, t.y. jei β1 , …, βs yra bet koks nulinis skaičių rinkinys, tai β1 a1 +…βs kaip 0.

1 teorema. S 2 tiesinės priklausomybės I ir II apibrėžimai yra lygiaverčiai.

Įrodymas.

I) Tegu (1) yra tiesiškai priklausomas pagal apibrėžimą I. Tada, neprarandant bendrumo, galime daryti prielaidą, kad kaip =α1 a1 +…+αs-1 as-1 . Pridėkime vektorių (-as) prie abiejų šios lygybės pusių. Mes gauname:

0 = α1 a1 +…+αs-1 as-1 +(-1) kaip (3) (nes pagal 5 išvadą

(–as ) =(-1) as ). Lygybėje (3) koeficientas (-1) yra 0, todėl sistema (1) yra tiesiškai priklausoma ir pagal apibrėžimą

II) Tegul sistema (1) yra tiesiškai priklausoma pagal II apibrėžimą, t.y. yra ne nulis aibė α1 ,…, αs, kuri tenkina (2). Neprarasdami bendrumo, galime daryti prielaidą, kad αs 0. (2) prie abiejų pusių pridedame (-αs as). Mes gauname:

α1 a1 +α2 a2 +…+αs as - αs as = -αs as , iš kur α1 a1 +…+αs-1 as-1 = -αs as .

Nes αs 0, tada yra αs -1 P. Padauginkime abi lygybės (4) puses iš (-αs -1 ) ir panaudosime kai kurias tiesinės erdvės aksiomas. Mes gauname:

(-αs -1 ) (-αs as )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 ), tai seka: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 as-1 =as.

Įveskime žymėjimą β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Tada aukščiau gauta lygybė bus perrašyta taip:

as = β1 a1 +…+ βs-1 as-1 .

Kadangi s 2, dešinėje pusėje bus bent vienas vektorius ai. Mes nustatėme, kad sistema (1) yra tiesiškai priklausoma nuo I apibrėžimo.

Teorema įrodyta.

Pagal 1 teoremą, jei reikia, s 2 galime taikyti bet kurį iš aukščiau pateiktų tiesinės priklausomybės apibrėžimų.

Pastaba 1. Jei sistema susideda tik iš vieno vektoriaus a1, tada jai galioja tik apibrėžimas

Tegu a1 =0; tada 1a1 =0. Nes 1 0, tada a1 =0 yra tiesiškai priklausoma sistema.

Tegu a1 0; tada α1 a1 ≠0, esant bet kuriam α1 0. Tai reiškia, kad nulinis vektorius a1 yra tiesiškai nepriklausomas

Yra svarbūs ryšiai tarp vektorinės sistemos ir jos posistemių tiesinės priklausomybės.

2 teorema. Jei kuri nors baigtinės vektorių sistemos posistemė (t.y. dalis) yra tiesiškai priklausoma, tai visa sistema yra tiesiškai priklausoma.

Šios teoremos įrodymą nėra sunku padaryti savarankiškai. Jį galima rasti bet kuriame algebros ar analitinės geometrijos vadovėlyje.

Išvada 1. Visos tiesiškai nepriklausomos sistemos posistemės yra tiesiškai nepriklausomos. Gauta iš 2 teoremos prieštaravimu.

2 pastaba. Nesunku pastebėti, kad tiesiškai priklausomos sistemos gali turėti ir tiesines posistemes

Išvada 2. Jei sistemoje yra 0 arba du proporcingi (lygūs) vektoriai, tai ji yra tiesiškai priklausoma (nes 0 arba dviejų proporcingų vektorių posistemė yra tiesiškai priklausoma).

§ 3. Maksimalios tiesiškai nepriklausomos posistemės

3 apibrėžimas. Tegu a1, a2,…,ak,…. (1) yra baigtinė arba begalinė tiesinės erdvės L vektorių sistema. Jos baigtinė posistemė ai1, ai2, …, oras (2) vadinama sistemos pagrindas (1) arba maksimalus tiesiškai nepriklausomas posistemisši sistema, jei tenkinamos šios dvi sąlygos:

1) posistemis (2) yra tiesiškai nepriklausomas;

2) jei posistemiui (2) priskirtas bet kuris (1) sistemos vektorius aj, tai gauname tiesiškai priklausomą

sistema ai1, ai2, …, oras, aj (3).

1 pavyzdys. Erdvėje Pn [x] apsvarstykite daugianarių 1,x1 , …, xn (4) sistemą. Įrodykime, kad (4) yra tiesiškai nepriklausomas. Tegul α0, α1,…, αn yra tokie skaičiai iš P, kad α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Tada pagal daugianario lygybės apibrėžimą α0 =α1 =…=αn =0. Tai reiškia, kad daugianario (4) sistema yra tiesiškai nepriklausoma.

Įrodykime, kad sistema (4) yra tiesinės erdvės Pn [x] pagrindas.

Bet kuriam f(x) Pn [x] turime: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; todėl f(x) yra tiesinis vektorių (4) derinys; tada sistema 1,x1 , …, xn ,f(x) yra tiesiškai priklausoma (pagal I apibrėžimą). Taigi (4) yra tiesinės erdvės Pn [x] pagrindas.

2 pavyzdys. Fig. 1 a1, a3 ir a2, a3 – vektorių sistemos a1,a2,a3 bazės.

3 teorema. Posistemis (2) ai1 ,…, baigtinės ar begalinės sistemos (1) oras a1 , a2 ,…,as ,… yra maksimalus tiesiškai nepriklausomas sistemos (1) posistemis (pagrindas) tada ir tik tada, kai

a) (2) tiesiškai nepriklausomas; b) bet kuris vektorius iš (1) yra tiesiškai išreikštas per (2).

Būtinybė . Tegu (2) yra maksimalus tiesiškai nepriklausomas sistemos (1) posistemis. Tada tenkinamos dvi sąlygos iš 3 apibrėžimo:

1) (2) tiesiškai nepriklausomas.

2) Bet kuriam vektoriui a j iš (1) sistema ai1 ,…, ais ,aj (5) yra tiesiškai priklausoma. Būtina įrodyti, kad teiginiai a) ir b) yra teisingi.

Sąlyga a) sutampa su 1); todėl a) tenkinama.

Be to, pagal 2) yra nenulinė aibė α1 ,...,αr ,β P (6), kad α1 ai1 +…+αr oras +βaj =0 (7). Įrodykime, kad β 0 (8). Tarkime, kad β=0 (9). Tada iš (7) gauname: α1 ai1 +…+αr oras =0 (10). Iš to, kad aibė (6) yra ne nulis, o β=0, išplaukia, kad α1 ,...,αr yra ne nulis aibė. Ir tada iš (10) išplaukia, kad (2) yra tiesiškai priklausomas, o tai prieštarauja sąlygai a). Tai įrodo (8).

Pridėjus vektorių (-βaj) prie abiejų lygybių (7) pusių, gauname: -βaj = α1 ai1 +…+αr oras. Kadangi β 0, tada

yra β-1 P; padauginkite abi paskutinės lygybės puses iš β-1: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )air =aj . Supažindinkime

žymėjimas: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; taigi gavome: 1 ai1 +…+ r air =aj ; todėl b) sąlygos tenkinamumas įrodytas.

Poreikis įrodytas.

Pakankamumas. Tegul tenkinamos 3 teoremos sąlygos a) ir b) Būtina įrodyti, kad 3 apibrėžimo 1) ir 2) sąlygos yra įvykdytos.

Kadangi sąlyga a) sutampa su sąlyga 1), tada 1) tenkinama.

Įrodykime, kad 2) galioja. Pagal b sąlygą bet kuris vektorius aj (1) yra tiesiškai išreikštas per (2). Vadinasi, (5) yra tiesiškai priklausomas (pagal apibrėžimą 1), t.y. 2) yra įvykdytas.

Teorema įrodyta.

komentuoti. Ne kiekviena tiesinė erdvė turi pagrindą. Pavyzdžiui, erdvėje P[x] nėra pagrindo (kitaip visų P[x] daugianarių laipsniai, kaip matyti iš 3 teoremos b) pastraipos, būtų kolektyviai apriboti).

§ 4. Pagrindinė teorema apie tiesinę priklausomybę. Jo pasekmės

4 apibrėžimas. Tegul dvi baigtinės tiesinės erdvės vektorių sistemos L:a1 ,a2 ,…,al (1) ir

b1 ,b2 ,…,bs (2).

Jei kiekvienas sistemos (1) vektorius yra tiesiškai išreikštas per (2), tada sakysime, kad sistema (1)

tiesiškai išreiškiamas per (2). Pavyzdžiai:

1. Bet koks sistemos posistemis 1 ,…,ai ,…,ak išreiškiamas tiesiškai per visą sistemą, nes

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ak .

2. Bet kuri segmentų vektorių sistema iš R2 yra tiesiškai išreikšta sistema, susidedančia iš dviejų nekolinearinių plokštuminių vektorių.

Apibrėžimas 5. Jei dvi baigtinės vektorių sistemos yra tiesiškai išreikštos viena per kitą, tada jos vadinamos ekvivalentinėmis.

1 pastaba. Dviejų lygiaverčių sistemų vektorių skaičius gali skirtis, kaip matyti iš toliau pateiktų pavyzdžių.

3. Kiekviena sistema yra lygiavertė jos pagrindui (tai išplaukia iš 3 teoremos ir 1 pavyzdžio).

4. Bet kurios dvi sistemos segmentų vektoriai iš R2, kurių kiekvienas turi du nekolinearinius vektorius, yra lygiaverčiai.

Ši teorema yra vienas iš svarbiausių teiginių tiesinių erdvių teorijoje. Pagrindinė teorema apie tiesinę priklausomybę. Tegul tiesinėje erdvėje L virš lauko P duosime du

vektorinės sistemos:

a1 ,a2 ,…,al (1) ir b1 ,b2 ,…,bs (2) ir (1) yra tiesiškai nepriklausomi ir tiesiškai išreiškiami per (2). Tada l s (3). Įrodymas. Turime įrodyti nelygybę (3). Tarkime priešingai, tegul l>s (4).

Pagal sąlygą kiekvienas vektorius ai iš (1) yra tiesiškai išreiškiamas per sistemą (2):

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .

Sudarykime tokią lygtį: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), kur xi yra nežinomieji, imantys reikšmes iš lauko P (i=1,…,s).

Padauginkime kiekvieną lygybę (5) atitinkamai iš x1,x2,…,xl, pakeiskime į (6) ir sudėkime terminus, kuriuose yra b1, tada b2 ir galiausiai bs. Mes gauname:

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0.
Pabandykime rasti nulinį sprendimą	(6) lygtis. Norėdami tai padaryti, prilyginkime visiems nuliui
koeficientus bi (i=1, 2,…,s) ir sudaryti tokią lygčių sistemą:
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 +α22 x2 +…+αl2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.

(8) vienalytė lygčių sistema s nežinomiesiems x 1,…,xl. Ji visada yra bendradarbiaujanti.

IN Dėl nelygybės (4) šioje sistemoje nežinomųjų skaičius yra didesnis už lygčių skaičių, todėl, kaip matyti iš Gauso metodo, jis redukuojamas į trapecijos formą. Tai reiškia, kad yra ne nulis

sistemos sprendimai (8). Vieną iš jų pažymėkime x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).

Pakeitę skaičius (9) į kairę (7) pusę, gauname: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)

Taigi, (9) yra (6) lygties sprendimas, kuris skiriasi nuo nulio. Todėl sistema (1) yra tiesiškai priklausoma, ir tai prieštarauja sąlygai. Todėl mūsų prielaida (4) yra neteisinga ir l s.

Teorema įrodyta.

Išvados iš pagrindinės teoremos apie tiesinę priklausomybę 1 išvada. Dvi baigtinės lygiavertės tiesiškai nepriklausomos vektorių sistemos susideda iš

tiek pat vektorių.

Įrodymas. Tegul vektorių (1) ir (2) sistemos yra lygiavertės ir tiesiškai nepriklausomos. Norėdami tai įrodyti, du kartus taikome pagrindinę teoremą.

Nes sistema (2) yra tiesiškai nepriklausoma ir tiesiškai išreiškiama per (1), tada pagrindine teorema l s (11).

Kita vertus, (1) yra tiesiškai nepriklausomas ir tiesiškai išreiškiamas per (2) ir pagrindine teorema s l (12).

Iš (11) ir (12) išplaukia, kad s=l. Teiginys pasitvirtino.

Išvada 2. Jeigu kurioje nors vektorių sistemoje a1 ,…,as ,… (13) (baigtinėje arba begalinėje) yra dvi bazės, tai jos susideda iš vienodo skaičiaus vektorių.

Įrodymas. Tegul ai1 ,…,ail (14) ir aj1 ,..ajk (15) yra sistemos (13) pagrindai. Parodykime, kad jie yra lygiaverčiai.

Pagal 3 teoremą, kiekvienas sistemos (13) vektorius yra tiesiškai išreiškiamas per savo pagrindą (15), ypač bet kuris sistemos (14) vektorius yra tiesiškai išreiškiamas per sistemą (15). Panašiai sistema (15) išreiškiama tiesiškai per (14). Tai reiškia, kad sistemos (14) ir (15) yra lygiavertės ir pagal 1 išvadą gauname: l=k.

Teiginys pasitvirtino.

Apibrėžimas 6. Vektorių skaičius baigtinės (begalinės) vektorių sistemos savavališkame pagrinde vadinamas šios sistemos rangu (jei bazių nėra, tai sistemos rangas neegzistuoja).

Pagal 2 išvadą, jei sistema (13) turi bent vieną pagrindą, jos rangas yra unikalus.

2 pastaba. Jei sistema susideda tik iš nulių vektorių, tai darome prielaidą, kad jos rangas yra 0. Naudodamiesi rango sąvoka, galime sustiprinti pagrindinę teoremą.

Išvada 3. Duotos dvi baigtinės vektorių sistemos (1) ir (2), o (1) tiesiškai išreiškiama per (2). Tada sistemos (1) rangas neviršija sistemos (2) rango.

Įrodymas . Sistemos (1) rangą pažymėkime r1, sistemos (2) rangą – r2. Jei r1 =0, tada teiginys yra teisingas.

Tegu r1 0. Tada r2 0, nes (1) išreiškiamas tiesiškai per (2). Tai reiškia, kad sistemos (1) ir (2) turi bazes.

Tegul a1 ,…,ar1 (16) yra sistemos (1) pagrindas, o b1 ,…,br2 (17) – sistemos (2). Jie yra tiesiškai nepriklausomi pagal pagrindo apibrėžimą.

Nes (16) yra tiesiškai nepriklausomas, tada pagrindinę teoremą galima pritaikyti sistemų (16), (17) porai. Pagal tai

teorema r1 r2 . Teiginys pasitvirtino.

Išvada 4. Dvi baigtinės ekvivalentinės vektorių sistemos turi tas pačias eiles. Norėdami įrodyti šį teiginį, turime du kartus pritaikyti 3 išvadą.

3 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad tiesiškai nepriklausomos vektorių sistemos rangas yra lygus jos vektorių skaičiui (kadangi tiesiškai nepriklausomoje sistemoje jos vienintelis pagrindas sutampa su pačia sistema). Todėl 1 išvada yra ypatingas 4 išvados atvejis. Tačiau neįrodžius šio ypatingo atvejo, negalėtume įrodyti 2 išvados, įvesti vektorių sistemos rango sampratos ir gauti 4 išvados.

§ 5. Baigtinių matmenų tiesinės erdvės

Apibrėžimas 7. Tiesinė erdvė L virš lauko P vadinama baigtine, jei L yra bent vienas pagrindas.

Pagrindiniai baigtinių matmenų tiesinių erdvių pavyzdžiai:

1. Vektorinės atkarpos tiesėje, plokštumoje ir erdvėje (tiesinės erdvės R1, R2, R3).

2. n matmenų aritmetinė erdvė P(n) . Parodykime, kad P(n) yra toks pagrindas: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

lt =(0,0,…1).

Pirmiausia įrodykime, kad (1) yra tiesiškai nepriklausoma sistema. Sukurkime lygtį x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).

Naudodami vektorių (1) formą, perrašome (2) lygtį taip: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , …,xn )=(0,0,…,0).

Pagal eilučių vektorių lygybės apibrėžimą:

x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Todėl (1) yra tiesiškai nepriklausoma sistema. Įrodykime, kad (1) yra erdvės P(n) pagrindas, naudojant 3 teoremą bazėse.

Bet kuriam a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn turime:

а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n en .

Tai reiškia, kad bet kuris vektorius erdvėje P(n) gali būti tiesiškai išreikštas per (1). Vadinasi, (1) yra erdvės P(n) pagrindas, todėl P(n) yra baigtinių matmenų tiesinė erdvė.

3. Tiesinė erdvė Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P).

Nesunku patikrinti, ar erdvės Pn [x] pagrindas yra daugianario 1,x,…,xn sistema. Taigi Pn

[x] yra baigtinių matmenų tiesinė erdvė.

4. Tiesinė erdvė M n(P). Galima patikrinti, kad Eij formos matricų aibė, kurioje vienintelis nenulinis elementas 1 yra i-osios eilutės ir j-ojo stulpelio sankirtoje (i,j=1,…,n) , sudaro pagrindą Mn (P).

Išvados iš pagrindinės teoremos apie tiesinę priklausomybę baigtinių matmenų tiesinėms erdvėms

Kartu su pagrindinės tiesinės priklausomybės teoremos 1–4 pasekmėmis iš šios teoremos galima gauti dar keletą svarbių teiginių.

Išvada 5. Bet kurios dvi baigtinių matmenų tiesinės erdvės bazės susideda iš vienodo skaičiaus vektorių.

Šis teiginys yra ypatingas pagrindinės tiesinės priklausomybės teoremos 2 išvados atvejis, taikomas visai tiesinei erdvei.

8 apibrėžimas. Vektorių skaičius baigtinių matmenų tiesinės erdvės L savavališkame pagrinde vadinamas šios erdvės matmeniu ir žymimas dim L.

Pagal 5 išvadą, kiekviena baigtinių matmenų tiesinė erdvė turi unikalų matmenį. 9 apibrėžimas. Jei tiesinė erdvė L turi n matmenį, tada ji vadinama n-matine

linijinė erdvė. Pavyzdžiai:

1. dim R1 =1;

2. dimR 2 =2;

3. dimP (n) =n, t.y. P(n) yra n matmenų tiesinė erdvė, nes aukščiau, 2 pavyzdyje parodyta, kad (1) yra pagrindas

P(n);

4. dimP n [x]=(n+1), nes, kaip nesunku patikrinti, 1,x,x2 ,…,xn yra šios erdvės n+1 vektorių pagrindas;

5. dimM n (P)=n2, nes 4 pavyzdyje nurodytos Eij formos matricų yra lygiai n2.

Išvada 6. N-matėje tiesinėje erdvėje L bet kurie n+1 vektoriai a1 ,a2 ,…,an+1 (3) sudaro tiesiškai priklausomą sistemą.

Įrodymas. Pagal erdvės matmens apibrėžimą L yra n vektorių pagrindas: e1 ,e2 ,…,en (4). Panagrinėkime sistemų porą (3) ir (4).

Tarkime, kad (3) yra tiesiškai nepriklausomas. Nes (4) yra L pagrindas, tada bet kuris erdvės L vektorius gali būti tiesiškai išreikštas per (4) (pagal 3 teoremą iš §3). Konkrečiai, sistema (3) išreiškiama tiesiškai per (4). Pagal (3) prielaidą jis yra tiesiškai nepriklausomas; tada pagrindinę tiesinės priklausomybės teoremą galima pritaikyti sistemų porai (3) ir (4). Gauname: n+1 n, o tai neįmanoma. Prieštaravimas įrodo, kad (3) yra tiesiškai priklausomas.

Tyrimas įrodytas.

1 pastaba. Iš §2 pateiktos 6 išvados ir 2 teoremos gauname, kad n matmenų tiesinėje erdvėje bet kuri baigtinė vektorių sistema, turinti daugiau nei n vektorių, yra tiesiškai priklausoma.

Iš šios pastabos išplaukia

7 išvada. N matmenų tiesinėje erdvėje bet kuri tiesiškai nepriklausoma sistema turi daugiausia n vektorių.

2 pastaba. Naudodami šį teiginį galime nustatyti, kad kai kurios tiesinės erdvės nėra baigtinių matmenų.

Pavyzdys. Panagrinėkime daugianario P[x] erdvę ir įrodykime, kad ji nėra baigtinių matmenų. Tarkime, kad dim P[x]=m, m N. Panagrinėkime 1, x,…, xm – (m+1) vektorių aibę iš P[x]. Ši vektorių sistema, kaip minėta aukščiau, yra tiesiškai nepriklausoma, o tai prieštarauja prielaidai, kad P[x] matmuo yra lygus m.

Nesunku patikrinti (naudojant P[x]), kad baigtinių matmenų tiesinės erdvės nėra visų tikrojo kintamojo funkcijų erdvės, tolydžių funkcijų erdvės ir pan.

Išvada 8. Šios erdvės pagrindu gali būti papildyta bet kuri baigtinė tiesiškai nepriklausoma baigtinių matmenų tiesinės erdvės L vektorių a1 , a2 ,…,ak (5) sistema.

Įrodymas. Tegu n=dim L. Panagrinėkime du galimus atvejus.

1. Jei k=n, tai a 1 , a2 ,…,ak yra tiesiškai nepriklausoma n vektorių sistema. Pagal 7 išvadą, bet kuriam b L sistema a1 , a2 ,…,ak , b yra tiesiškai priklausoma, t.y. (5) – L pagrindu.

2. Tegul k n. Tada sistema (5) nėra L pagrindas, o tai reiškia, kad egzistuoja vektorius a k+1 L, kad a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) yra tiesiškai nepriklausoma sistema. Jei (k+1)

Pagal 7 išvadą šis procesas baigiasi atlikus ribotą skaičių žingsnių. Gauname tiesinės erdvės L, kurioje yra (5), bazę a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an.

Tyrimas įrodytas.

Iš 8 išvados išplaukia

Išvada 9. Bet koks nulinis baigtinių matmenų tiesinės erdvės L vektorius yra kokiame nors pagrinde L (kadangi toks vektorius yra tiesiškai nepriklausoma sistema).

Iš to seka, kad jei P yra begalinis laukas, tai baigtinių matmenų tiesinėje erdvėje virš lauko P yra be galo daug bazių (kadangi L yra be galo daug vektorių, kurių formos a, a 0, P\0).

§ 6. Tiesinių erdvių izomorfizmas

10 apibrėžimas. Dvi tiesinės erdvės L ir L` virš vieno lauko P vadinamos izomorfinėmis, jei yra bijekcija: L L`, atitinkančios šias sąlygas:

1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L,

2. (a) = (a) P, a L.

Pats toks atvaizdavimas vadinamas izomorfizmu arba izomorfinis kartografavimas.

Izomorfizmų savybės.

1. Esant izomorfizmui, nulinis vektorius tampa nuliu.

Įrodymas. Tegu a L ir: L L` yra izomorfizmas. Kadangi a=a+0, tai (a)= (a+0)= (a)+ (0).

Nes (L)=L` tada iš paskutinės lygybės aišku, kad (0) (žymime jį 0`) yra nulinis vektorius iš

2. Taikant izomorfizmą, tiesiškai priklausoma sistema virsta tiesiškai priklausoma sistema. Įrodymas. Tegu a1 , a2 ,…,as (2) yra kokia nors tiesiškai nuo L priklausoma sistema. Tada egzistuoja

nulinis skaičius 1 ,…, s (3) iš P, kad 1 a1 +…+ s būtų =0. Padarykime abi šios lygybės puses izomorfiniam atvaizdavimui. Atsižvelgdami į izomorfizmo apibrėžimą, gauname:

1 (a1 )+…+ s (as )= (0)=0` (naudojome 1 savybę). Nes aibė (3) yra ne nulis, tada iš paskutinės lygybės išplaukia, kad (1),..., (s) yra tiesiškai priklausoma sistema.

3. Jei: L L` yra izomorfizmas, tai -1 : L` L taip pat yra izomorfizmas.

Įrodymas. Kadangi yra bijekcijos, tada yra bijekcijos -1 : L` L. Turime įrodyti, kad jei a`,

Kadangi tai izomorfizmas, tai a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). Tai reiškia:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)).

Iš (5) ir (6) turime -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`).

Panašiai patikrinama, ar -1 (a`)= -1 (a`). Taigi, -1 yra izomorfizmas.

Turtas įrodytas.

4. Taikant izomorfizmą, tiesiškai nepriklausoma sistema virsta tiesiškai nepriklausoma sistema. Įrodymas. Tegu: L L` yra izomorfizmas, o a1, a2,…,as (2) yra tiesiškai nepriklausoma sistema. Privaloma

įrodyti, kad (a1), (a2),…, (as) (7) taip pat yra tiesiškai nepriklausomas.

Tarkime, kad (7) yra tiesiškai priklausomas. Tada, kai rodomas -1, jis patenka į sistemą a1,...,as.

Pagal 3 savybę -1 yra izomorfizmas, o tada pagal savybę 2 sistema (2) taip pat bus tiesiškai priklausoma, o tai prieštarauja sąlygai. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga.

Turtas įrodytas.

5. Su izomorfizmu bet kurios vektorių sistemos pagrindas pereina į jos vaizdų sistemos pagrindą. Įrodymas. Tegu a1 , a2 ,…,as ,… (8) yra baigtinė arba begalinė tiesinių vektorių sistema

erdvė L, : L L` yra izomorfizmas. Tegul sistema (8) turi bazę ai1 , …,air (9). Parodykime, kad sistema

(a1),…, (ak),… (10) turi pagrindą (ai1),…, (oras) (11).

Kadangi (9) yra tiesiškai nepriklausoma, tai pagal 4 savybę sistema (11) yra tiesiškai nepriklausoma. Priskirkime (11) bet kurį vektorių iš (10); gauname: (ai1), …, (oras), (aj) (12). Apsvarstykite sistemą ai1 , …,air , aj (13). Jis yra tiesiškai priklausomas, nes (9) yra sistemos (8) pagrindas. Tačiau (13) pagal izomorfizmą virsta (12). Kadangi (13) yra tiesiškai priklausoma, tai pagal 2 savybę sistema (12) taip pat yra tiesiškai priklausoma. Tai reiškia, kad (11) yra sistemos (10) pagrindas.

Taikydami savybę 5 visai baigtinių matmenų tiesinei erdvei L, gauname

Teiginys 1. Tegul L yra n-matė tiesinė erdvė virš lauko P, : L L` izomorfizmas. Tada L` taip pat yra baigtinių matmenų erdvė ir dim L`= dim L = n.

Konkrečiai, 2 teiginys yra teisingas. Jei baigtinių matmenų tiesinės erdvės yra izomorfinės, tada jų matmenys yra vienodi.

komentuoti. 7 dalyje taip pat bus nustatytas šio teiginio priešingas galiojimas.

§ 7. Vektorinės koordinatės

Tegul L yra baigtinių matmenų tiesinė erdvė virš lauko P, o e1 ,...,en (1) yra koks nors L pagrindas.

Apibrėžimas 11. Tegu a L. Išreikškime vektorių a per pagrindą (1), t.y. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). Stulpelis (1,…, n)t (3) vadinamas koordinačių stulpelis vektorius a bazėje (1).

Vektoriaus a koordinačių stulpelis e bazėje taip pat žymimas [a], [a]e arba [1,.., n].

Kaip ir analitinėje geometrijoje, įrodomas vektorinės išraiškos per bazę unikalumas, t.y. vektoriaus koordinačių stulpelio unikalumas duotame pagrinde.

Pastaba 1. Kai kuriuose vadovėliuose vietoj koordinačių stulpelių nagrinėjamos koordinačių linijos (pavyzdžiui, knygoje). Tokiu atveju ten gautos formulės koordinačių stulpelių kalba atrodo kitaip.

4 teorema. Tegul L yra n-matė tiesinė erdvė virš lauko P, o (1) yra tam tikras L pagrindas. Apsvarstykite atvaizdavimą: a (1,..., n)t, kuris susieja bet kurį vektorių a iš L su jo koordinačių stulpeliu. pagrindu (1). Tada yra erdvių L ir P(n) izomorfizmas (P(n) yra n-matė stulpelių vektorių aritmetinė erdvė).

Įrodymas . Atvaizdavimas yra unikalus dėl vektoriaus koordinačių unikalumo. Nesunku patikrinti, ar yra bijekcija ir (a)= (a), (a)+ (b)= (a+b). Tai reiškia izomorfizmą.

Teorema įrodyta.

Išvada 1. Baigtinių matmenų tiesinės erdvės L vektorių sistema a1 ,a2 ,...as yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai sistema, susidedanti iš šių vektorių koordinačių stulpelių kuriame nors erdvės L pagrinde, yra tiesiškai priklausoma.

Šio teiginio pagrįstumas išplaukia iš 1 teoremos ir antrosios bei ketvirtosios izomorfizmo savybių. 2 pastaba. 1 išvada leidžia ištirti vektorių sistemų tiesinės priklausomybės klausimą

baigtinių matmenų tiesinėje erdvėje gali būti redukuojama iki to paties klausimo sprendimo tam tikros matricos stulpeliams.

5 teorema (baigtinių matmenų tiesinių erdvių izomorfizmo kriterijus). Dvi baigtinių matmenų tiesinės erdvės L ir L` virš vieno lauko P yra izomorfinės tada ir tik tada, kai turi tą patį matmenį.

Būtinybė. Tegu L L` Pagal 2 teiginį iš §6, L matmuo sutampa su L1 matmeniu.

Tinkamumas. Tegul silpnas L = silpnas L` = n. Tada pagal 4 teoremą turime: L P(n)		ir L'P(n) . Iš čia
nesunku gauti tą L L`.
Teorema įrodyta.
Pastaba. Toliau n matmenų tiesinę erdvę dažnai žymėsime Ln.
§ 8. Perėjimo matrica
Apibrėžimas 12. Tegul į tiesinę erdvę Ln	pateikiami du pagrindai:
e= (е1,...еn) ir e`=(e1`,...,e`n) (senas ir naujas).
Išplėskime pagrindo e` vektorius į bazę e:
e`1 =t11 e1 +…+tn1 lt
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn en .

t11………t1n

T = ………………

tn1………tnn

paskambino pereinamoji matrica nuo e pagrindo iki e pagrindo.

Atkreipkite dėmesį, kad lygybes (1) patogu rašyti matricine forma taip: e` = eT (2). Ši lygybė yra lygiavertė pereinamosios matricos apibrėžimui.

1 pastaba. Suformuluokime pereinamosios matricos konstravimo taisyklę: norint sudaryti perėjimo matricą iš pagrindo e į pagrindą e`, visi naujojo pagrindo e` vektoriai ej` turi rasti savo koordinačių stulpelius. senąjį pagrindą e ir parašykite juos kaip atitinkamus matricos T stulpelius.

2 pastaba. Knygoje perėjimo matrica sudaryta eilutė po eilutės (iš naujojo pagrindo vektorių koordinačių eilučių senojoje).

6 teorema. Perėjimo matrica iš vieno n-matės tiesinės erdvės Ln pagrindo virš lauko P į kitą jos pagrindą yra n-osios eilės neišsigimusi matrica su elementais iš lauko P.

Įrodymas. Tegu T yra perėjimo matrica iš pagrindo e į pagrindą e`. Matricos T stulpeliai pagal 12 apibrėžimą yra pagrindo e` vektorių koordinačių stulpeliai pagrinde e. Kadangi e` yra tiesiškai nepriklausoma sistema, tai pagal 4 teoremos 1 išvadą matricos T stulpeliai. yra tiesiškai nepriklausomi, todėl |T|≠0.

Teorema įrodyta.

Priešingai irgi tiesa.

7 teorema. Bet kuri neišsigimusi n-osios eilės kvadratinė matrica su elementais iš lauko P tarnauja kaip perėjimo matrica iš vieno n-matės tiesinės erdvės Ln pagrindo virš lauko P į kitą pagrindą Ln.

Įrodymas . Tegul tiesinės erdvės L ir nevienetinės kvadratinės matricos pagrindas e = (e1, ..., en)

Т= t11………t1n

tn1………tnn

n-osios eilės su elementais iš lauko P. Tiesinėje erdvėje Ln nagrinėkime sutvarkytą vektorių e`=(e1 `,…,e`n) sistemą, kuriai matricos T stulpeliai yra koordinačių stulpeliai pagrinde e. .

Vektorių sistema e` susideda iš n vektorių ir pagal 4 teoremos 1 išvadą yra tiesiškai nepriklausoma, nes vienaskaitos matricos T stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi. Todėl ši sistema yra tiesinės erdvės Ln pagrindas, o dėl sistemos vektorių e` pasirinkimo galioja lygybė e`=eT. Tai reiškia, kad T yra perėjimo matrica iš e pagrindo į e pagrindą.

Teorema įrodyta.

Ryšys tarp vektoriaus a koordinačių skirtingose ​​bazėse

Tegul bazės e=(е1,...еn) ir e`=(e1`,...,e`n) pateikiamos tiesinėje erdvėje Ln su perėjimo matrica T iš pagrindo e į pagrindą e` , t.y. (2) yra tiesa. Vektorius a turi koordinates bazėse e ir e` [a]e =(1 ,…, n)T ir [a]e` =(1 `,…,

n `)T , t.y. a=e[a]e ir a=e`[a]e` .

Tada, viena vertus, a=e[a]e , kita vertus a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (naudojome lygybė (2)). Iš šių lygybių gauname: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Vadinasi, dėl vektoriaus skilimo bazėje unikalumo

Tai reiškia lygybę [a]e =Т[a]e` (3), arba

	n` .

Santykiai (3) ir (4) vadinami koordinačių transformacijos formules kai pasikeičia tiesinės erdvės pagrindas. Jos išreiškia senąsias vektorines koordinates naujomis. Šios formulės gali būti išspręstos atsižvelgiant į naujas vektoriaus koordinates, padauginus (4) kairėje iš T-1 (tokia matrica egzistuoja, nes T yra ne vienaskaita).

Tada gauname: [a]e` =T-1 [a]e . Naudodami šią formulę, žinant vektoriaus koordinates tiesinės erdvės Ln senajame pagrinde e, galite rasti jo koordinates naujame pagrinde e`.

§ 9. Tiesinės erdvės poerdvės

13 apibrėžimas. Tegul L yra tiesinė erdvė virš lauko P ir H L. Jei H taip pat yra tiesinė erdvė virš P, atsižvelgiant į tas pačias operacijas kaip ir L, tai H vadinamas poerdvė tiesinė erdvė L.

1 teiginys. Tiesinės erdvės L poaibis H virš lauko P yra L poerdvė, jei tenkinamos šios sąlygos:

1. h 1 +h2 H bet kuriam h1 , h2 H;

2. h H bet kuriam h H ir P.

Įrodymas. Jei 1 ir 2 sąlygos tenkinamos H, tai sudėjimas ir daugyba iš lauko P elementų yra nurodyti H. Daugumos tiesinės erdvės aksiomų H galiojimas išplaukia iš jų galiojimo L. Patikrinkime kai kurias iš jų:

a) 0 h=0 H (dėl 2 sąlygos);

b) h H turime: (-h)=(-1)h H (dėl 2 sąlygos).

Teiginys pasitvirtino.

1. Bet kurios tiesinės erdvės L poerdvės yra 0 ir L.

2. R 1 – atkarpų vektorių erdvės R2 plokštumoje poerdvė.

3. Realaus kintamojo funkcijų erdvėje visų pirma yra šie poerdžiai:

a) ax+b formos tiesinės funkcijos;

b) nuolatinės funkcijos; c) diferencijuojamos funkcijos.

Vienas universalus bet kurios tiesinės erdvės poerdvių identifikavimo būdas yra susijęs su linijinio korpuso koncepcija.

14 apibrėžimas. Tegu a1 ,…as (1) yra savavališka baigtinė vektorių sistema tiesinėje erdvėje L. linijinis apvalkalasšios sistemos rinkinio ( 1 a1 +…+ s as | i P) = . Sistemos (1) tiesinis apvalkalas taip pat žymimas L(a1 ,…,as ).

8 teorema. Bet kurios tiesinės erdvės L baigtinės vektorių sistemos (1) tiesinis korpusas H yra baigtinių matmenų tiesinės erdvės L suberdvė. Sistemos (1) pagrindas taip pat yra H pagrindas, o matmuo iš H yra lygus sistemos (1) rangui.

Įrodymas. Tegul H= . Iš tiesinio korpuso apibrėžimo nesunkiai išplaukia, kad 1 teiginio 1 ir 2 sąlygos yra įvykdytos. Pagal šį teiginį H yra tiesinės erdvės L poerdvė. Tegul ai1 ,….,oras (2) yra pagrindas. sistemos (1). Tada turime: bet kuris vektorius h H tiesiškai išreiškiamas per (1) - pagal tiesinio apvalkalo apibrėžimą, o (1) yra tiesiškai išreiškiamas per jo pagrindą (2). Kadangi (2) yra tiesiškai nepriklausoma sistema, ji yra N pagrindas. Tačiau vektorių skaičius (2) lygus sistemos (1) rangui. Taigi dimH=r.

Teorema įrodyta.

1 pastaba. Jei H yra tiesinės erdvės L baigtinių matmenų suberdvė, o h1 ,...,hm yra H pagrindas, tai nesunku pastebėti, kad H=

. Tai reiškia, kad linijiniai apvalkalai yra universalus būdas sukurti baigtinių matmenų tiesinių erdvių suberdves.

15 apibrėžimas. Tegul A ir B yra dvi tiesinės erdvės L poerdvės virš lauko P. Pavadinkime jų sumą A+B tokia aibe: A+B=(a+b| a A, b B).

Pavyzdys. R2 yra poerdvių OX (ašių vektoriai OX) ir OY suma. Nesunku įrodyti šiuos dalykus

2 teiginys. Tiesinės erdvės L dviejų poerdvių suma ir susikirtimas yra L poerdvės (pakanka patikrinti 1 teiginio 1 ir 2 sąlygų tenkinimą).

Šviesus

9 teorema. Jei A ir B yra dvi baigtinės tiesinės erdvės L suberdvės, tai dim(A+B)=dimA+ dimB–dim A B.

Šios teoremos įrodymą galima rasti, pavyzdžiui, .

2 pastaba. Tegul A ir B yra dvi baigtinės tiesinės erdvės L suberdvės. Norint rasti jų sumą A+B, patogu naudoti A ir B kaip tiesinių korpusų apibrėžimą. Tegu A= , V= . Tada nesunku parodyti, kad A + B = . Matmenys A+B pagal aukščiau įrodytą 7 teoremą yra lygus sistemos a1,…,am, b1,…,bs rangui. Todėl, jei rasime šios sistemos pagrindą, rasime ir dim (A+B).

Atitinkančią tokią vektorinę erdvę. Šiame straipsnyje pirmasis apibrėžimas bus laikomas atskaitos tašku.

N (\displaystyle n)-dažniausiai žymima dimensinė Euklido erdvė E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); žymėjimas taip pat dažnai naudojamas, kai iš konteksto aišku, kad erdvė aprūpinta natūralia euklido struktūra.

Formalus apibrėžimas

Euklido erdvei apibrėžti paprasčiausias būdas yra pagrindine sąvoka naudoti skaliarinį sandaugą. Euklido vektorinė erdvė apibrėžiama kaip baigtinių matmenų vektorinė erdvė, esanti virš realiųjų skaičių lauko, kurios vektorių porose nurodoma tikrosios reikšmės funkcija (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot)) turinčios šias tris savybes:

Euklido erdvės pavyzdys – koordinačių erdvė R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) susidedantis iš visų galimų realiųjų skaičių aibių (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skaliarinė sandauga, kurioje nustatoma pagal formulę (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Ilgiai ir kampai

Euklido erdvėje apibrėžtos skaliarinės sandaugos pakanka geometrinėms ilgio ir kampo sąvokoms įvesti. Vektoriaus ilgis u (\displaystyle u) yra apibrėžiamas kaip (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) ir yra paskirtas | u | . (\displaystyle |u|.) Teigiamas skaliarinės sandaugos apibrėžtumas garantuoja, kad nulinio vektoriaus ilgis nėra lygus nuliui, o iš dvitiesiškumo išplaukia, kad | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) tai yra proporcingų vektorių ilgiai yra proporcingi.

Kampas tarp vektorių u (\displaystyle u) Ir v (\displaystyle v) nustatoma pagal formulę φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Iš kosinuso teoremos išplaukia, kad dvimatėje Euklido erdvėje ( Euklido plokštuma) šis kampo apibrėžimas sutampa su įprastu. Stačiakampiai vektoriai, kaip ir trimatėje erdvėje, gali būti apibrėžti kaip vektoriai, tarp kurių kampas lygus π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Koši-Bunyakovskio-Švarco nelygybė ir trikampio nelygybė

Aukščiau pateiktame kampo apibrėžime liko viena spraga: tam, kad arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) buvo apibrėžta, būtina, kad nelygybė | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Ši nelygybė galioja savavališkoje Euklido erdvėje ir vadinama Koši – Bunyakovskio – Schwartzo nelygybe. Iš šios nelygybės savo ruožtu išplaukia trikampio nelygybė: | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Trikampio nelygybė kartu su aukščiau išvardytomis ilgio savybėmis reiškia, kad vektoriaus ilgis yra norma Euklido vektorių erdvėje, o funkcija d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) apibrėžia metrinės erdvės struktūrą euklidinėje erdvėje (ši funkcija vadinama Euklido metrika). Visų pirma, atstumas tarp elementų (taškų) x (\displaystyle x) Ir y (\displaystyle y) koordinačių erdvė R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) pateikiama pagal formulę d (x, y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebrinės savybės

Ortonormalūs pagrindai

Konjuguoti tarpus ir operatorius

Bet koks vektorius x (\displaystyle x) Euklido erdvė apibrėžia linijinę funkciją x ∗ (\displaystyle x^(*))šioje erdvėje, apibrėžta kaip x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Šis palyginimas yra izomorfizmas tarp Euklido erdvės ir jos dvigubos erdvės ir leidžia jas identifikuoti nepažeidžiant skaičiavimų. Visų pirma galima laikyti, kad konjuguoti operatoriai veikia originalią erdvę, o ne jos dvigubą, o savarankiški operatoriai gali būti apibrėžti kaip operatoriai, kurie sutampa su jų konjugatais. Ortonormaliu pagrindu adjungtinio operatoriaus matrica perkeliama į pradinio operatoriaus matricą, o savaiminio susijungimo operatoriaus matrica yra simetriška.

Euklido erdvės judesiai

Euklido erdvės judesiai yra metriką išlaikančios transformacijos (dar vadinamos izometrijomis). Judėjimo pavyzdys – lygiagretus vertimas į vektorių v (\displaystyle v), kuris išverčia esmę p (\displaystyle p) tiksliai p + v (\displaystyle p+v). Nesunku suprasti, kad bet koks judesys yra lygiagretaus vertimo ir transformacijos kompozicija, kuri išlaiko vieną tašką. Pasirinkus fiksuotą tašką kaip koordinačių pradžią, bet koks toks judėjimas gali būti laikomas

3 skyrius. Tiesinės vektorinės erdvės

8 tema. Tiesinės vektorinės erdvės

Linijinės erdvės apibrėžimas. Linijinių erdvių pavyzdžiai

§2.1 laisvųjų vektorių pridėjimo operacija iš R 3 ir vektorių dauginimo iš realiųjų skaičių operacija, taip pat išvardytos šių operacijų savybės. Šių operacijų ir jų savybių išplėtimas į savavališko pobūdžio objektų (elementų) rinkinį leidžia apibendrinti geometrinių vektorių linijinės erdvės sampratą. R 3, apibrėžta 2.1. Suformuluokime tiesinės vektorinės erdvės apibrėžimą.

Apibrėžimas 8.1. Krūva V elementai X , adresu , z ,... skambino tiesinė vektorinė erdvė, Jei:

yra taisyklė, kad kas du elementai x Ir adresu iš V atitinka trečiąjį elementą iš V, paskambino suma X Ir adresu ir paskirtas X + adresu ;

yra taisyklė, kad kiekvienas elementas x ir atitinka bet kurį realųjį skaičių su elementu iš V, paskambino elemento produktas X už skaičių ir paskirtas x .

Be to, bet kurių dviejų elementų suma X + adresu ir dirbti x bet kuris bet kurio skaičiaus elementas turi atitikti šiuos reikalavimus: tiesinės erdvės aksiomos:

1°. X + adresu = adresu + X (sudėties komutaciškumas).

2°. ( X + adresu ) + z = X + (adresu + z ) (pridėjimo asociatyvumas).

3°. Yra elementas 0 , paskambino nulis, toks

X + 0 = X , x .

4°. Bet kam x yra elementas (- X ), skambino priešinga už X , toks

X + (– X ) = 0 .

5°. ( x ) = ()x , x , , R.

6°. x = x , x .

7°. () x = x + x , x , , R.

8°. ( X + adresu ) = x + y , x , y , R.

Linijinės erdvės elementus vadinsime vektoriai nepaisant jų prigimties.

Iš 1°–8° aksiomų matyti, kad bet kurioje tiesinėje erdvėje V galioja šios savybės:

1) yra vienas nulio vektorius;

2) kiekvienam vektoriui x yra tik vienas priešingas vektorius (– X ) ir (– X ) = (– l) X ;

3) bet kuriam vektoriui X lygybė 0× yra teisinga X = 0 .

Įrodykime, pavyzdžiui, savybę 1). Tarkime, kad erdvėje V yra du nuliai: 0 1 ir 0 2. Įdėjus 3° į aksiomą X = 0 1 , 0 = 0 2, gauname 0 1 + 0 2 = 0 1 . Taip pat, jei X = 0 2 , 0 = 0 1, tada 0 2 + 0 1 = 0 2. Atsižvelgdami į aksiomą 1°, gauname 0 1 = 0 2 .

Pateiksime linijinių erdvių pavyzdžių.

1. Realiųjų skaičių aibė sudaro tiesinę erdvę R. Jame akivaizdžiai tenkinamos 1°–8° aksiomos.

2. Laisvųjų vektorių rinkinys trimatėje erdvėje, kaip parodyta §2.1, taip pat sudaro tiesinę erdvę, pažymėtą R 3. Šios erdvės nulis yra nulio vektorius.

Vektorių rinkinys plokštumoje ir tiesėje taip pat yra tiesinės erdvės. Mes juos pažymėsime R 1 ir R 2 atitinkamai.

3. Erdvių apibendrinimas R 1 , R 2 ir R 3 tarnauja vietai Rn, n N, paskambino aritmetinė n-matė erdvė, kurio elementai (vektoriai) yra sutvarkyti rinkiniai n savavališki realieji skaičiai ( x 1 ,…, x n), t.y.

Rn = {(x 1 ,…, x n) | x i R, i = 1,…, n}.

Patogu naudoti užrašą x = (x 1 ,…, x n), kur x i paskambino i-oji koordinatė(komponentas)vektorius x .

Dėl X , adresu Rn Ir R Sudėtį ir daugybą iš skaičiaus apibrėžiame naudodami šias formules:

X + adresu = (x 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

x = (x 1 ,…, x n).

Nulinis erdvės elementas Rn yra vektorius 0 = (0,…, 0). Dviejų vektorių lygybė X = (x 1 ,…, x n) Ir adresu = (y 1 ,…, y n) iš Rn, pagal apibrėžimą, reiškia atitinkamų koordinačių lygybę, t.y. X = adresu Û x 1 = y 1 &… & x n = y n.

Čia akivaizdus aksiomų 1°–8° išsipildymas.

4. Leiskite C [ a ; b] – realiųjų tęstinumo aibė intervale [ a; b] funkcijas f: [a; b] R.

Funkcijų suma f Ir g iš C [ a ; b] vadinamas funkcija h = f + g, apibrėžta lygybe

h = f + g Û h(x) = (f + g)(x) = f(X) + g(x), " x Î [ a; b].

Funkcijos produktas f Î C [ a ; b] pagal skaičių a Î R yra nulemtas lygybės

u = f Û u(X) = (f)(X) = f(x), " x Î [ a; b].

Taigi įvestos dviejų funkcijų pridėjimo ir funkcijos dauginimo iš skaičiaus operacijos aibę paverčia C [ a ; b] į tiesinę erdvę, kurios vektoriai yra funkcijos. Akivaizdu, kad šioje erdvėje tenkinamos 1°–8° aksiomos. Šios erdvės nulinis vektorius yra identiška nulinė funkcija ir dviejų funkcijų lygybė f Ir g pagal apibrėžimą reiškia:

f = g f(x) = g(x), " x Î [ a; b].