Tegu funkcija y = f(x) apibrėžta intervale X. Darinys funkcija y = f(x) taške x o vadinama riba

= .

Jei ši riba baigtinis, tada iškviečiama funkcija f(x). skiriasi taške x o; Be to, šiuo metu jis būtinai yra tęstinis.

Jei nagrinėjama riba yra lygi  (arba - ), tada su sąlyga, kad funkcija taške X o yra tęstinis, sakysime, kad funkcija f(x) turi taške X o begalinis vedinys.

Išvestinė žymima simboliais

y , f (x o), , .

Išvestinės radimas vadinamas diferenciacija funkcijas. Geometrinė išvestinės reikšmė yra tai, kad išvestinė yra nuolydis kreivės y=f(x) liestinė duotame taške X o ; fizinė prasmė - yra ta, kad kelio išvestinė laiko atžvilgiu yra momentinis judančio taško greitis tiesus judesys s = s(t) momentu t o .

Jeigu Su yra pastovus skaičius, o u = u(x), v = v(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tada galioja šios diferenciacijos taisyklės:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) jei y = f(u), u = (x), t.y. y = f((x)) – sudėtinga funkcija arba superpozicija, sudarytas iš diferencijuojamų funkcijų  ir f, tada , arba

6) jei funkcijai y = f(x) yra atvirkštinė diferencijuojama funkcija x = g(y), ir  0, tada .

Remiantis išvestinės apibrėžimu ir diferenciacijos taisyklėmis, galima sudaryti pagrindinių elementariųjų funkcijų lentelių išvestinių sąrašą.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Apskaičiuokime laipsnio eksponentinės išraiškos y=u v , (u>0) išvestinę, kur u Ir v funkcijos esmė iš X, turinčios išvestines tam tikrame taške tu",v".

Paėmę lygybės y=u v logaritmus, gauname ln y = v ln u.

Išvestinių prilyginimas X iš abiejų gautos lygybės pusių, naudodami 3, 5 taisykles ir logaritminės funkcijos išvestinės formulę, turėsime:

y"/y = vu"/u +v" ln u, iš kur y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Pavyzdžiui, jei y = x sin x, tai y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Jei funkcija y = f(x) taške yra diferencijuojama x, t.y. šioje vietoje turi baigtinę išvestinę y", tada = y"+, kur 0 ties х 0; taigi  y = y" х +  x.

Pagrindinė funkcijos prieaugio dalis, tiesinė x atžvilgiu, vadinama diferencialas funkcijas ir žymimas dy: dy = y" х. Jei į šią formulę įdėsime y=x, gausime dx = x"х = 1х =х, todėl dy=y"dx, t.y simbolis Išvestinis žymėjimas gali būti laikomas trupmena.

Funkcijos prieaugis  y yra kreivės ordinatės prieaugis, o diferencialas d y yra liestinės ordinačių prieaugis.

Raskime funkcijai y=f(x) jos išvestinę y = f (x). Šios išvestinės vedinys vadinamas antros eilės išvestinė funkcijos f(x), arba antrasis darinys, ir yra paskirtas .

Taip apibrėžiami ir nurodomi šie dalykai:

trečios eilės išvestinė - ,

ketvirtos eilės išvestinė -

ir apskritai kalbant n-osios eilės išvestinė - .

3 pavyzdys.15. Apskaičiuokite funkcijos y=(3x 3 -2x+1)sin x išvestinę.

Sprendimas. Pagal 3 taisyklę y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x) +1) cos x.

Pavyzdys 3.16 . Raskite y", y = tan x + .

Sprendimas. Naudodamiesi sumos ir dalinio diferencijavimo taisyklėmis, gauname: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

3 pavyzdys.17. Raskite išvestinę sudėtinga funkcija y= , u=x 4 +1.

Sprendimas. Pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę gauname: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Kadangi u=x 4 +1, tai (2 x 4 + 2+ .

Išvestinė, taisyklės ir diferenciacijos formulės

Tegu funkcija y = f(x) apibrėžta intervale X. Darinys funkcija y = f(x) taške x o vadinama riba

= .

Jei ši riba baigtinis, tada iškviečiama funkcija f(x). skiriasi taške x o; Be to, šiuo metu jis būtinai yra nenutrūkstamas.

Jei nagrinėjama riba yra lygi ¥ (arba - ¥), tada su sąlyga, kad funkcija taške x o yra tęstinis, sakysime, kad funkcija f(x) turi taške x o begalinė išvestinė.

Išvestinė žymima simboliais

y ¢, f ¢(x o), , .

Išvestinės radimas vadinamas diferenciacija funkcijas. Geometrinė reikšmė išvestinė yra tai, kad išvestinė yra kreivės y=f(x) liestinės nuolydis tam tikrame taške x o; fizinė prasmė - yra ta, kad kelio išvestinė laiko atžvilgiu yra momentinis judančio taško greitis, judant tiesia linija s = s(t) momentu t o .

Jeigu Su yra pastovus skaičius, o u = u(x), v = v(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tada galioja šios diferenciacijos taisyklės:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) jei y = f(u), u = j(x), t.y. y = f(j(x)) – sudėtinga funkcija arba superpozicija, sudarytas iš diferencijuojamų funkcijų j ir f, tada , arba

6) jei funkcijai y = f(x) yra atvirkštinė diferencijuojama funkcija x = g(y), ir ¹ 0, tada .

Remiantis išvestinės apibrėžimu ir diferenciacijos taisyklėmis, galima sudaryti pagrindinių elementariųjų funkcijų lentelių išvestinių sąrašą.

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m О R).

2. (a u)" = a u lna× u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u× u".

7. (cos u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Apskaičiuokime laipsnio eksponentinės išraiškos y=u v , (u>0) išvestinę, kur u Ir v funkcijos esmė iš X, turinčios išvestines tam tikrame taške tu",v".

Paėmę lygybės y=u v logaritmus, gauname ln y = v ln u.

Išvestinių prilyginimas X iš abiejų gautos lygybės pusių, naudodami 3, 5 taisykles ir logaritminės funkcijos išvestinės formulę, turėsime:

y"/y = vu"/u +v" ln u, iš kur y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Pavyzdžiui, jei y = x sin x, tai y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).

Jei funkcija y = f(x) taške yra diferencijuojama x, t.y. šioje vietoje turi baigtinę išvestinę y", tada = y"+a, kur a®0 ties Dх® 0; taigi D y = y" Dх + a x.

Pagrindinė funkcijos prieaugio dalis, tiesinė Dx atžvilgiu, vadinama diferencialinė funkcija ir žymimas dy: dy = y" Dx. Jei į šią formulę įdėsime y=x, gausime dx = x"Dx = 1×Dx = Dx, todėl dy=y"dx, t.y. išvestinės žymėjimo simbolis galima laikyti trupmena.

Funkcija D prieaugis y yra kreivės ordinatės prieaugis, o diferencialas d y yra liestinės ordinačių prieaugis.

Raskime funkcijos y=f(x) jos išvestinę y ¢= f ¢(x). Šios išvestinės vedinys vadinamas antros eilės išvestinė funkcijos f(x), arba antrasis darinys, ir yra paskirtas .

Taip apibrėžiami ir nurodomi šie dalykai:

trečios eilės išvestinė - ,

ketvirtos eilės išvestinė -

ir apskritai kalbant n-osios eilės išvestinė - .

3 pavyzdys.15. Apskaičiuokite funkcijos y=(3x 3 -2x+1)×sin x išvestinę.

Sprendimas. Pagal 3 taisyklę y"=(3x 3 -2x+1)" × sin x + (3x 3 -2x+1) × (sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

3.16 pavyzdys. Raskite y", y = tan x + .

Sprendimas. Naudodami sumos ir dalinio diferencijavimo taisykles gauname: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

3 pavyzdys.17. Raskite sudėtingos funkcijos y= išvestinę,
u = x 4 +1.

Sprendimas. Pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę gauname: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Kadangi u=x 4 +1, tai
(2 x 4 +2+ .

3 pavyzdys.18.

Sprendimas.Įsivaizduokime funkciją y= kaip dviejų funkcijų superpoziciją: y = e u ir u = x 2 . Turime: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u × 2x. Pakeičiant x 2 vietoj u, gauname y=2x .

3 pavyzdys.19. Raskite funkcijos y=ln sin x išvestinę.

Sprendimas. Pažymime u=sin x, tada kompleksinės funkcijos y=ln u išvestinė apskaičiuojama pagal formulę y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

3.20 pavyzdys. Raskite funkcijos y= išvestinę.

Sprendimas. Sudėtinės funkcijos atvejis, gautas dėl kelių superpozicijų, išsprendžiamas nuosekliai taikant 5 taisyklę:

.

3.21 pavyzdys. Apskaičiuokite išvestinę y=ln .

Sprendimas. Paėmę logaritmus ir naudodami logaritmų savybes, gauname:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Atskirdami abi paskutinės lygybės puses, gauname:

Funkcijos ekstremumas

Iškviečiama funkcija y=f(x). didėja (mažėja) tam tikru intervalu, jei x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Jei diferencijuojama funkcija y = f(x) didėja (mažėja) intervale, tai jos išvestinė šiame intervale f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Taškas x o paskambino vietinis maksimalus taškas (minimumas) funkcija f(x), jei yra taško kaimynystė x o, visiems taškams, kurių nelygybė f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)) yra teisinga.

Vadinami didžiausi ir mažiausi taškai ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos kraštutinumai.

Būtinos sąlygos ekstremumas. Jei taškas x o yra funkcijos f(x) ekstremumo taškas, tada arba f ¢(x о) = 0, arba f ¢(x о) neegzistuoja. Tokie taškai vadinami kritiškas, o pati funkcija apibrėžiama kritiniame taške. Funkcijos kraštutinumo reikia ieškoti tarp jos kritinių taškų.

Pirma pakankama sąlyga. Leisti x o- kritinis taškas. Jei f ¢ (x) važiuojant per tašką x o pakeičia pliuso ženklą į minusą, tada taške x o funkcija turi maksimumą, kitu atveju turi minimumą. Jei, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklo nekeičia, tai taške x o ekstremalaus nera.

Antra pakankama sąlyga. Tegul funkcija f(x) turi išvestinę
f ¢ (x) netoli taško x o o antroji išvestinė pačiame taške x o. Jei f ¢(x о) = 0, >0 (<0), то точка x o yra funkcijos f(x) lokalus minimumas (maksimalus) taškas. Jei =0, tuomet reikia arba naudoti pirmąją pakankamą sąlygą, arba naudoti aukštesnes išvestines.

Atkarpoje funkcija y = f(x) gali pasiekti mažiausią arba didžiausią reikšmę kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose.

3.22 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstremalumą.

Sprendimas. Kadangi f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), tada kritiniai funkcijos x 1 = 2 ir x 2 = 3 taškai. Ekstrema gali būti tik ties šiuos taškus. Kadangi einant per tašką x 1 = 2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai šioje vietoje funkcija turi maksimumą. Eidama per tašką x 2 = 3, išvestinė keičia savo ženklą iš minuso į pliusą, todėl taške x 2 = 3 funkcija turi minimumą. Apskaičiavę funkcijos reikšmes taškuose x 1 = 2 ir x 2 = 3, randame funkcijos kraštutinumus: maksimalus f(2) = 14 ir minimalus f(3) = 13.

3.23 pavyzdys. Prie akmeninės sienos reikia pastatyti stačiakampį plotą, kad ji iš trijų pusių būtų aptverta vielos tinkleliu, o ketvirta – greta sienos. Tam yra a linijiniai metrai tinklelio. Kokiu formatu svetainė turės didžiausią plotą?

Sprendimas. Pažymėkime platformos šonus x Ir y. Svetainės plotas S = xy. Leisti y- tai kraštinės, esančios greta sienos, ilgis. Tada pagal sąlygą lygybė 2x + y = a turi galioti. Todėl y = a - 2x ir S = x(a - 2x), kur 0 £ x £ a/2 (trinkelės ilgis ir plotis negali būti neigiami). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0, kai x = a/4, iš kur
y = a – 2×a/4 =a/2. Kadangi x = a/4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar pereinant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Prie x< a/4 S ¢ >0, o x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Kadangi S yra nuolatinis, o jo reikšmės galuose S(0) ir S(a/2) yra lygios nuliui, rasta reikšmė bus didžiausia funkcijos reikšmė. Taigi palankiausias svetainės kraštinių santykis nurodytomis problemos sąlygomis yra y = 2x.

3.24 pavyzdys. Reikia pagaminti uždarą cilindrinę talpą V=16p » 50 m 3 . Kokie turi būti bako išmatavimai (spindulys R ir aukštis H), kad jo gamybai būtų sunaudojama kuo mažiau medžiagų?

Sprendimas. Bendras cilindro paviršiaus plotas yra S = 2pR(R+H). Žinome cilindro tūrį V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Tai reiškia, kad S(R) = 2p(R 2 +16/R). Mes randame šios funkcijos išvestinę:
S¢(R) = 2p (2R-16/R2) = 4p (R-8/R 2). S¢(R) = 0, kai R3 = 8, todėl
R = 2, H = 16/4 = 4.

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai apibrėžtos diferenciacijos taisyklės. . Pirmieji darinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).

Todėl mūsų laikais, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele dariniai ir diferenciacijos taisyklės. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.

Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po pirminiu ženklu suskaidyti paprastas funkcijas į komponentus ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.

Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos, kurioje antrasis narys turi pastovų koeficientą, išvestinę, ją galima paimti iš išvestinės ženklo:

Jei vis tiek kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie dažniausiai išsiaiškinami susipažinus su išvestinių išvestinių duomenų lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Šiuo metu pereiname prie jų.

Paprastų funkcijų išvestinių lentelė

1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), esantis funkcijos išraiškoje. Visada lygus nuliui. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai
2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „X“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką
3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant uždavinius, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į galias.
4. Kintamojo išvestinė į laipsnį -1
5. Kvadratinės šaknies vedinys
6. Sinuso išvestinė
7. Kosinuso vedinys
8. Tangento išvestinė
9. Kotangento išvestinė
10. Arsinuso vedinys
11. Lanko kosinuso išvestinė
12. Arktangento vedinys
13. Lanko kotangento išvestinė
14. Natūralaus logaritmo išvestinė
15. Logaritminės funkcijos išvestinė
16. Rodiklio išvestinė
17. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Diferencijavimo taisyklės

1. Sumos arba skirtumo išvestinė
2. Produkto darinys
2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė
3. Dalinio išvestinė
4. Sudėtinės funkcijos išvestinė

1 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru tašku, tada funkcijos skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.

2 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada jų produktas skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.

1 išvada. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:

2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno veiksnio ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, trims daugintuvams:

3 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotasu/v , ir

tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra vardiklio sandaugų kvadratas. buvęs skaitiklis.

Kur ieškoti dalykų kituose puslapiuose

Realiuose uždaviniuose ieškant sandaugos išvestinės ir koeficiento, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl straipsnyje yra daugiau šių išvestinių pavyzdžių."Produkto išvestinė ir funkcijų dalis".

komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, pasitaikanti pradiniame išvestinių studijų etape, tačiau vidutinis studentas išsprendžia kelis vienos ir dviejų dalių pavyzdžius, šios klaidos nebedaro.

Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis aptartas 10 pavyzdyje).

Kita dažnai pasitaikanti klaida yra mechaniškai sudėtingos funkcijos išvestinė sprendžiama kaip paprastos funkcijos išvestinė. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Tačiau pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.

Pakeliui neapsieisite be posakių transformavimo. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti vadovą naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis Ir Operacijos su trupmenomis .

Jei ieškote sprendimų dėl trupmenų išvestinių su laipsniais ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada sekite pamoką „Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.

Jei turite užduotį, pvz , tada lankysi pamoką „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.

Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Apibrėžiame funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reiškia sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:

Toliau taikome sumos diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis narys turi minuso ženklą. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi „X“ virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip „x“ išvestinė. Gauname šias išvestines reikšmes:

Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:

4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei išvestinės vardiklis, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:

Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:

Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., , tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė" .

Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kitų trigonometrinių funkcijų išvestis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada pamoka jums "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .

5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Naudodami sandaugos diferencijavimo taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę, gauname:

6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Naudodami koeficientų diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės reikšmę lentelėje, gauname:

Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Sprendžiant diferenciacijos uždavinius, tenka ieškoti įvairių klasių funkcijų išvestinių. Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindinius diferenciacijos taisyklės, kurią nuolatos naudosime ieškodami išvestinių. Visas šias taisykles įrodysime remdamiesi funkcijos išvestinės apibrėžimu ir būtinai pasiliksime prie detalaus pavyzdžių sprendimo, kad suprastume jų taikymo principą.

Įrodydami diferenciacijos taisykles, manysime, kad funkcijos f(x) ir g(x) yra diferencijuojamos kokiame nors intervale X.

Tai yra, bet tiesa, kad , kur yra atitinkamų funkcijų prieaugiai.

Kitame įraše.

Pagrindinės diferenciacijos taisyklės apima:

Konstanto veiksnio vykdymas už išvestinės ženklo ribų.

Įrodykime formulę. Pagal išvestinės priemonės apibrėžimą turime:

Savavališkas veiksnys gali būti paimtas už perėjimo į ribą ženklo (tai žinoma iš ribos savybių), todėl

Tai užbaigia pirmosios diferenciacijos taisyklės įrodymą.

Gana dažnai pirmiausia reikia supaprastinti diferencijuojamos funkcijos formą, kad būtų galima panaudoti išvestinių lentelę ir išvestinių radimo taisykles. Toliau pateikti pavyzdžiai tai aiškiai patvirtina.

Pavyzdys.

Atlikite funkcijų diferencijavimą .

Sprendimas.

Remdamiesi logaritminės funkcijos savybėmis, galite pereiti prie žymėjimo. Belieka prisiminti logaritminės funkcijos išvestinę ir pridėti pastovų koeficientą:

Pavyzdys.

Sprendimas.

Pakeiskime pradinę funkciją .

Taikome daugiklio išdėstymo už išvestinės ženklo ribų taisyklę ir paimame eksponentinės funkcijos išvestinę iš lentelės:

Sumos išvestinė, skirtumo išvestinė.

Antrajai diferenciacijos taisyklei įrodyti naudojame išvestinės apibrėžimą ir tolydžios funkcijos ribos savybę.

Panašiu būdu galima įrodyti, kad n funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi n išvestinių sumai (skirtumui).

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę .

Sprendimas.

Supaprastinkime pradinės funkcijos formą.

Mes naudojame išvestinės sumos (skirtumo) taisyklę:

Ankstesnėje pastraipoje įrodėme, kad pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo, todėl

Belieka naudoti išvestinių išvestinių lentelę:

Funkcijų sandaugos išvestinė.

Įrodykime dviejų funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklę.

Užrašykime funkcijų sandaugos ir argumento prieaugio santykio ribą. Atsižvelgsime į tai ir (funkcijos padidėjimas linkęs į nulį, nes argumento padidėjimas linkęs į nulį).

Q.E.D.

Pavyzdys.

Atskirti funkciją .

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje. Taikome produkto išvestinės taisyklės taisyklę:

Atsigręžiame į pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir gauname atsakymą:

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje . Vadinasi,

Pažiūrėkime į trijų funkcijų sandaugos išvestinės radimo atvejį. Iš esmės, naudojant tą pačią sistemą, galima atskirti keturių, penkių ir dvidešimt penkių funkcijų sandaugą.

Pavyzdys.

Atlikite funkcijos diferencijavimą.

Sprendimas.

Remsimės dviejų funkcijų sandaugos diferenciacijos taisyklėmis. Kaip funkciją f(x) laikysime sandaugą (1+x)sinx, o kaip g(x) imsime lnx:

Rasti Vėl taikome produkto išvestinės taisyklės taisyklę:

Mes naudojame išvestinės sumos taisyklę ir išvestinių lentelę:

Pakeiskime rezultatą:

Kaip matote, kartais viename pavyzdyje turite taikyti kelias diferenciacijos taisykles. Čia nėra nieko sudėtingo, svarbiausia yra veikti nuosekliai ir nemaišyti visko.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimas.

Funkcija parodo išraiškų skirtumą ir todėl

Pirmoje išraiškoje mes laikome du kaip išvestinės ženklą, o antrajai išraiškai taikome sandaugos diferencijavimo taisyklę:

Dviejų funkcijų dalinio išvestinė (trupmenos išvestinė).

Įrodykime taisyklę, kaip atskirti dviejų funkcijų (trupmenų) koeficientą . Verta paminėti, kad g(x) neišnyksta jokiam x intervale X.