A.V. Smirnovas

Logikos institutas, [apsaugotas el. paštas]

Išminčių ir kepurių problema.

Trijų išminčių problema yra plačiai žinoma. Susipažinau su ja vaikystėje ir žavėjausi sprendimo elegancija, bet nuo tada vis dar turiu gudraus triuko jausmą, kai supranti, kad triušis negalėjo atsirasti pačioje kepurėje, bet neturi laiko sekti mago ranką. Neseniai nusprendžiau pabandyti užrašyti sprendimą formalaus loginio išskaičiavimo forma, susidūriau su rimtais sunkumais ir buvau priverstas jį permąstyti. Leiskite jums priminti problemos būklę.

Užduotis. Trys išminčiai ginčijosi, kuris iš jų protingiausias, ir kreipėsi į ketvirtąjį, kad šis galėtų juos teisti. Teisėjas išminčius pasakė, kad turi tris baltas kepures ir dvi juodas, po to kiekvienam ant galvos uždėjo po kepurę, kad visi matytų tik kitų dviejų išminčių kepures. Išminčiai turėjo patys atspėti kepurės spalvą ant galvos. Po kurio laiko vienas iš išminčių pranešė, kad ant galvos užsidėjo baltą kepuraitę ir laimėjo konkursą. Kaip jis galėjo atspėti?

Klasikinis sprendimas. Jei išminčius mato, kad jo priešininkai turi juodas kepuraites (1 situacija), tada jis gali drąsiai teigti, kad turi baltą kepurę, nes abi juodos jau užimtos.

Jei išminčius mato juodas ir baltas kepuraites ant savo priešininkų galvų (2 situacija), tada jis gali samprotauti taip: „Jei aš turiu juodą kepurę ant galvos, tai išminčius baltame kepurėje mato dvi juodas kepures priekyje. iš jo (yra 1 situacijoje) ir turi suprasti, kad dėvi baltą kepuraitę. Bet jis tyli, vadinasi, aš dėviu baltą kepuraitę.

Galiausiai, pamatęs prieš save abu varžovus baltomis kepuraitėmis (3 situacija), išminčius galėjo samprotauti: „jei aš turiu juodą kepurę, tai bet kuris mano varžovas mato prieš save juodas ir baltas kepuraites (2 situacija) ir turi suprasti, ką jis dėvi baltą kepuraitę. Bet jis tyli, vadinasi, aš dėviu baltą kepuraitę.

Šis sprendimas žavi rekursyviu panardinimu, kai kiekviename žingsnyje pridedama informacija apie oponentų samprotavimus, o šis jaudinantis hipnotizuojantis panardinimas išsprendžiamas malonės jausmu ir aiškiu sprendimo vientisumu. Tačiau nukrypkime nuo sprendimo poezijos ir pabandykime išanalizuoti jame naudojamą matematinį modelį bei jo adekvatumą problemos sąlygoms. Pirmiausia išbandykime jį su ribinėmis sąlygomis, pavyzdžiui, nustatydami, kokiais atvejais išminčius turėtų daryti išvadą, kad jis dėvi juodą kepuraitę.

Gali būti tiksliai trys atvejai:

Priešininkai dėvi juodas kepuraites;

Vienas priešininkas dėvi juodą kepuraitę, kitas – baltą;

Abu varžovai dėvi baltas kepuraites.

Tai tik 1, 2 ir 3 situacijos, aprašytos aukščiau. Kiekvienoje iš šių situacijų, vadovaudamasis aukščiau pateiktu sprendimu, išminčius turi padaryti išvadą, kad jis turi baltą kepurę.

Mūsų tvarkinga struktūra žlunga, kai tik suprantame, kad aukščiau išvardytos 1, 2 ir 3 situacijos yra baigtinis sąrašas. galimi variantai, tai yra, veikiant pagal aukščiau aprašytą metodą, išminčius Šiaip ar taip turi padaryti išvadą, kad jo dangtelis yra baltas. Tai reiškia, kad išminčius turi po bandymo pradžios pažvelgti į savo varžovus ir, nepaisant to, ką mato, po kurio laiko paskelbti, kad dėvi baltą kepuraitę. Tiesa, visiškai neaišku, po kurio laiko turėtų būti pareiškimas.

Klasikiniame sprendime netiesiogiai naudojamos labai tvirtos prielaidos, kurios neišplaukia iš problemos sąlygų:

1. Tikimasi, kad visi trys išminčiai naudos tą patį samprotavimo metodą. Ši prielaida tuo labiau nepagrįsta, kad išminčius išsiskiria mąstymo originalumu. Pavyzdžiui, vienas iš jų galėtų pabandyti nustatyti kepurės spalvą pagal žvaigždžių vietą.

2. Daroma prielaida, kad išmintingi žmonės mąsto maždaug taip pat, arba pagal bent jau, nuspėjamu greičiu. Be tokios prielaidos neįmanoma nustatyti laiko, reikalingo atitinkamai samprotavimo grandinei. Manoma, kad jei išminčius savo samprotavimuose padarė tam tikrą išvadą, tai likusieji padarė tą patį. Ši prielaida yra labai stipri, bet su ja galima kažkaip susitaikyti, nes šie trys negalėjo nuspręsti, kuris iš jų yra protingesnis.

3. Daroma prielaida, kad išminčius pradeda spręsti problemą tik uždėjus dangtelius ir nesistengia apgalvoti galimų sprendimų prieš pradedant testą. Tai labai keista, nes teste galimi tik trys aukščiau aprašyti variantai ir atrodo natūralu iš anksto apgalvoti atsakymų variantus. Tačiau tokia galimybė radikaliai prieštarauja problemos autoriaus ketinimui, nes kai tik išminčiai pagalvos iš anksto, jie atmes jiems primestą samprotavimo metodą.

4. Spėjama, kad išminčius, atspėjęs, kokia kepurė ant galvos, tuoj suskubs apie tai pranešti. Jei išminčius tyli, tada manoma, kad jis neatspėjo savo kepurėlės spalvos. Tačiau jo užduotis yra ne nustatyti kepurės spalvą, o įrodyti savo protinį pranašumą. Ar didelis nuopelnas prieš save matyti abu varžovus juodomis kepuraitėmis ir spėti, kad ant galvos turi baltą kepurę? Šis išminčius ką tik atsidūrė geresnes sąlygas palyginti su kitais, o greitas atsakymas neįrodys pranašumo. Dabar, jei tokioje situacijoje tylėsite, tada vienas iš jūsų oponentų gali pasinaudoti problemos autoriaus pasiūlytu metodu ir klaidingai nuspręsti, kad yra 3 situacijoje, pateikti neteisingą atsakymą ir pademonstruoti savo kvailumą.

Iš aukščiau pateiktų komentarų matyti, kad klasikinis sprendimas remiasi savavališkomis prielaidomis ir negali būti laikomas įtikinamu paaiškinimu, kaip laimėtojas samprotavo.

Drįstu pateikti keletą paaiškinimų.

1 sprendimas. Nugalėtojui pasisekė (b situacija). Bet tai verčia suabejoti teisėjo sąžiningumu (jis turėjo visus pastatyti į lygias pozicijas), antra, tai nereiškia, kad nugalėtoje yra išminties – juk jam pasisekė, todėl 1 sprendimas negali būti laikomas patenkinamu.

2 sprendimas . Iš anksto pagalvojęs apie 1-3d situacijas, laimėtojas galėjo pastebėti, kad bet kuriuo atveju netrukus po varžybų pradžios jis privalo deklaruoti, kad dėvi baltą kepuraitę. Ir tada buvo svarbu tai pasakyti prieš kitus, kitaip jis vis tiek pralaimės. Štai kodėl geriausias sprendimas Iš karto po varžybų pradžios turėjo pareikšti, kad dėvi baltą kepuraitę, kad spėtų tai padaryti anksčiau nei kiti.

Atkreipkite dėmesį, kad šis sprendimas suponuoja išminčių „panašumą“ (bet didesnį nugalėtojo įžvalgumą).

Be to, toks laimėtojas sugeba pagrįstai rizikuoti, o tai tik patvirtina jo išmintį.

3 sprendimas. Kaip ir būdinga išminčiams, laimėtojas galėjo pažvelgti į situaciją iš šalies. Teisėjas – jei jis išmintingas ir teisingas – turėjo sulyginti varžovus, o tai įmanoma tik tuo atveju, jei jie visi dėvi vienodas baltas kepuraites.

Šis sprendimas man atrodo išmintingiausias ir teisingiausias.

4 sprendimas. Nugalėtojas pagal žvaigždžių vietą nustatė kepurės spalvą.

Toks gebėjimas neabejotinai įrodo jo išmintį, bet man lieka nesuprantamas.

psichologiniai pratimai treniruotėms

Mįslė apie stebules

Sėdi trys vienuoliai išminčius. Prie jų prieina praeivis ir sako:

– Tu toks protingas, ar gali atspėti mįslę?

„Bet koks“, – atsako vienas išminčių.

- Tada klausyk. Čia aš turiu tris baltus dangtelius ir du juodus. Aš paprašysiu jūsų užsimerkti ir kiekvienam uždėti po vieną kepurę. Tada atidarysite akis, pamatysite kitų žmonių kepures, bet ne savo. Reikia atspėti, kokios spalvos kepurėlę dėvite? Užsimerk.

Jis paslėpė juodas kepures, o baltąsias uždėjo ant išminčių, kad jie matytų, kas ant kitų, bet ne ant jų pačių.

„O dabar, – sako praeivis, – atspėk, kas dėvi kokią kepuraitę?

Išminčiai apie 10 minučių sėdėjo visiškoje tyloje. Staiga vienas sako: „Aš dėviu baltai!

Kaip jis atspėjo? Atkreipkite dėmesį, kad jie vienas kitam nemirktelėjo ir nedavė jokių kitų ženklų. Dangteliai neatsispindi akyse. Saulė nešviečia.

Atsakymas į mįslę:

Pirmasis išminčius galvoja taip: Jei aš dėviu juodą, tai antrasis mato baltą ir juodą ir galvoja taip: Jei aš dėviu juodą, tai trečiasis turi pasakyti: aš dėviu baltai. Nes yra tik du juodaodžiai. Bet jis to nesako. Taigi aš dėviu baltą. Tačiau antrasis taip pat nesako, kad jis dėvi baltai. Tai reiškia, – toliau galvoja pirmasis, – „aš dėviu ne juodai, tai yra baltai“.

rik

Ruslanas

Flo

Trys išminčiai negalėjo nuspręsti, kuris iš jų išmintingiausias. Jiems padėjo praeivis. Iš maišelio paėmė penkis dangtelius – tris baltus ir du juodus ir pasakė, kad išmintingiausiu bus paskelbtas tas, kuris pirmas atspės, kokios spalvos jo kepuraitė. Tada jis susodino diskusijos dalyvius vienas priešais kitą, užrišo jiems akis, užsidėjo kepurę ir leido nuimti tvarsčius.

Išminčiai ilgai svarstė, o galiausiai vienas iš jų sušuko: „Aš dėviu baltą kepuraitę!

Kaip jis išsprendė problemą? Tradicinis atsakymas į šią seną problemą yra toks. Išminčius samprotavo: „Prieš save matau dvi baltas kepures. Tarkime, aš dėviu juodą kepuraitę. Tada bet kuris mano priešininkas turi samprotauti: „Prieš mane yra juodos ir baltos kepurės. Jei aš taip pat dėviu juodą, mano varžovas su balta kepuraite neturės jokių sunkumų spręsdamas problemą. Tačiau nė vienas iš jų vis dar neturi supratimo apie savo kepurės spalvą. Todėl aš nešioju baltą kepuraitę. Jei atsižvelgsime į variantus su pradiniu „tarkime, aš dėviu baltą kepuraitę“, samprotavimų eiga žymiai pailgėja.

Atsakymas pasirodė teisingas, bet mums dabar svarbu, kad išmintingiausias išminčius ilgai mąstytų. Ir viskas dėl to, kad nebuvau susipažinęs šiuolaikiniai metodai sistemų analizė ir euristiniai uždavinių sprendimo būdai.

Sisteminis požiūris reikalauja atsižvelgti į visas aplinkybes, susijusias su problemos sprendimu.

Išminčius samprotavo tik dėl savo priešininkų, o žaidime buvo keturi dalyviai, tarp jų ir praeivis. Taip pat reikėjo argumentuoti ir, kaip matysime, šis variantas greičiausiai atvedė į tikslą.

Euristiniai metodai negarantuoja teisingo atsakymo, tačiau leidžia sutaupyti laiko, reikalingo problemai išspręsti, su gana didele tikimybe gauti rezultatą, artimą optimaliam.

Šiuolaikinis išminčius galėtų samprotauti taip: „Teisėjas turi būti nešališkas žmogus. Tada jis pasistengs mus sulyginti. Tačiau tai galima padaryti tik vienu būdu: kiekvienam iš mūsų uždėti baltą kepuraitę. Tačiau manykime, kad jis toks nėra. Bet ne taip kvaila, kad užsidėtų du juodus dangtelius, siūlydama akivaizdų atsakymą į trečiąjį. Atmeskime šią parinktį kaip mažai tikėtiną. Galimybė naudoti vieną juodą dangtelį yra įvertinta puse tikimybės. O tikimybė, kad ją dėviu aš, yra trečdalis. Todėl bent penkių šeštadalių tikimybei turiu dėvėti baltą kepuraitę.

Be to, šią analizę būtų galima atlikti užrištomis akimis. Tiesa, dar buvo galimybė suklysti. Bet ar tai nebuvo ir tradiciniame atsakyme? Galų gale, senovės išminčiaus samprotavimai yra teisingi, jei jo varžovai turi tam tikrą racionalių sugebėjimų lygį. Ir kadangi ne visada žinomas ar išminčiumi prisistatantis žmogus iš tikrųjų toks yra, klaidos tikimybė išlieka ir šiuo atveju.

A. Konovalovas, Iževskas, profesorius
„Technologija jaunimui“, 1990 m., 12, Nr