എല്ലാ ഫോർമുലകളും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

നമുക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പരമ്പര പരിഗണിക്കാം.

7 28 112 448 1792...

അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂലകങ്ങളുടെ മൂല്യം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ നാലിരട്ടി കൂടുതലാണെന്ന് തികച്ചും വ്യക്തമാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഈ പരമ്പര ഒരു പുരോഗതിയാണ് എന്നാണ്.

സംഖ്യകളുടെ അനന്തമായ ശ്രേണിയാണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. പ്രധാന ഗുണംഅതായത് ചില പ്രത്യേക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് അടുത്ത സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

a z +1 =a z ·q, ഇവിടെ z എന്നത് തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂലകത്തിൻ്റെ സംഖ്യയാണ്.

അതനുസരിച്ച്, z ∈ N.

സ്കൂളിൽ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പഠിക്കുന്ന കാലഘട്ടം 9-ാം ക്ലാസ്സാണ്. ആശയം മനസ്സിലാക്കാൻ ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും:

0.25 0.125 0.0625...

ഈ ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താം:

q അല്ലെങ്കിൽ b z എന്നിവ പൂജ്യമാകില്ല. കൂടാതെ, പുരോഗതിയുടെ ഓരോ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കരുത്.

അതനുസരിച്ച്, ഒരു ശ്രേണിയിലെ അടുത്ത സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ അവസാനത്തെ q കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ ആദ്യ ഘടകവും ഡിനോമിനേറ്ററും വ്യക്തമാക്കണം. ഇതിനുശേഷം, തുടർന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും നിബന്ധനകളും അവയുടെ തുകയും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

ഇനങ്ങൾ

q, a 1 എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ച്, ഈ പുരോഗതിയെ പല തരങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

• a 1 ഉം q ഉം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു ക്രമം ഓരോന്നിലും വർദ്ധിക്കുന്നു അടുത്ത ഘടകംജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. ഇതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ചുവടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: a 1 =3, q=2 - രണ്ട് പരാമീറ്ററുകളും ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ്.

അപ്പോൾ സംഖ്യാ ക്രമം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

3 6 12 24 48 ...

• എങ്കിൽ |q| ഒന്നിൽ താഴെയാണ്, അതായത്, അതിൻ്റെ ഗുണനം വിഭജനത്തിന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് സമാനമായ അവസ്ഥകളുള്ള ഒരു പുരോഗതി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്. ഇതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ചുവടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതാണ്, q എന്നത് കുറവാണ്.

അപ്പോൾ സംഖ്യാ ക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

6 2 2/3 ... - ഏത് മൂലകവും അതിനെ പിന്തുടരുന്ന മൂലകത്തേക്കാൾ 3 മടങ്ങ് വലുതാണ്.

• ഒന്നിടവിട്ട ചിഹ്നം. എങ്കിൽ q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ഉദാഹരണം: a 1 = -3, q = -2 - രണ്ട് പരാമീറ്ററുകളും പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്.

അപ്പോൾ സംഖ്യാ ക്രമം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

3, 6, -12, 24,...

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതികളുടെ സൗകര്യപ്രദമായ ഉപയോഗത്തിന് നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്:

• Z-ടേം ഫോർമുല. മുമ്പത്തെ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കാതെ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയ്ക്ക് കീഴിൽ ഒരു ഘടകം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം:q = 3, എ 1 = 4. പുരോഗതിയുടെ നാലാമത്തെ ഘടകം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം:എ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• അളവ് തുല്യമായ ആദ്യ മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക z. വരെയുള്ള ഒരു ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നുഒരു ഇസഡ്ഉൾപ്പെടെ.

മുതൽ (1-q) ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്, തുടർന്ന് (1 - q)≠ 0, അതിനാൽ q 1 ന് തുല്യമല്ല.

ശ്രദ്ധിക്കുക: q=1 ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി അനന്തമായി ആവർത്തിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പരയായിരിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക, ഉദാഹരണങ്ങൾ:എ 1 = 2, q= -2. S5 കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:എസ് 5 = 22 - ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ.

• എങ്കിൽ തുക |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ഉദാഹരണം:എ 1 = 2 , q= 0.5. തുക കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

ചില ഗുണങ്ങൾ:

• സ്വഭാവ സവിശേഷത. ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥയാണെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും വേണ്ടി പ്രവർത്തിക്കുന്നുz, അപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യ ശ്രേണി ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്:

ഒരു ഇസഡ് 2 = ഒരു ഇസഡ് -1 · എz+1

• കൂടാതെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഈ മൂലകത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ ദൂരമാണെങ്കിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ശ്രേണിയിലെ മറ്റേതെങ്കിലും രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ ചേർത്തുകൊണ്ട് കണ്ടെത്തുന്നു.

ഒരു ഇസഡ് 2 = ഒരു ഇസഡ് - ടി 2 + ഒരു ഇസഡ് + ടി 2 , എവിടെടി- ഈ സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം.

• ഘടകങ്ങൾq ൽ വ്യത്യാസമുണ്ട്ഒരിക്കല്.
• ഒരു പുരോഗതിയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ ലോഗരിതങ്ങളും ഒരു പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു, എന്നാൽ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രം, അതായത്, അവ ഓരോന്നും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യകൊണ്ട് മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്.

ചില ക്ലാസിക് പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്താണെന്ന് നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, 9-ാം ക്ലാസിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ സഹായിക്കും.

• വ്യവസ്ഥകൾ:എ 1 = 3, എ 3 = 48. കണ്ടെത്തുകq.

പരിഹാരം: തുടർന്നുള്ള ഓരോ മൂലകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്q ഒരിക്കല്.ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ചില ഘടകങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അതിനാൽ,എ 3 = q 2 · എ 1

പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾq= 4

• വ്യവസ്ഥകൾ:എ 2 = 6, എ 3 = 12. എസ് 6 കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യത്തെ ഘടകമായ q കണ്ടെത്തി അതിനെ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

എ 3 = q· എ 2 , അതിനാൽ,q= 2

a 2 = q ഒരു 1,അതുകൊണ്ടാണ് a 1 = 3

എസ് 6 = 189

• · എ 1 = 10, q= -2. പുരോഗതിയുടെ നാലാമത്തെ ഘടകം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നാലാമത്തെ ഘടകം ആദ്യത്തേതും ഡിനോമിനേറ്ററിലൂടെയും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ മതിയാകും.

a 4 = q 3· a 1 = -80

ആപ്ലിക്കേഷൻ ഉദാഹരണം:

• ഒരു ബാങ്ക് ക്ലയൻ്റ് 10,000 റുബിളിൽ ഒരു നിക്ഷേപം നടത്തി, അതിൻ്റെ നിബന്ധനകൾ പ്രകാരം എല്ലാ വർഷവും ക്ലയൻ്റ് അതിൻ്റെ 6% പ്രിൻസിപ്പൽ തുകയിലേക്ക് ചേർക്കും. 4 വർഷത്തിനുശേഷം അക്കൗണ്ടിൽ എത്ര പണം വരും?

പരിഹാരം: പ്രാരംഭ തുക 10 ആയിരം റുബിളാണ്. ഇതിനർത്ഥം നിക്ഷേപം കഴിഞ്ഞ് ഒരു വർഷത്തിന് ശേഷം അക്കൗണ്ടിന് 10,000 + 10,000 ന് തുല്യമായ തുക ഉണ്ടായിരിക്കും എന്നാണ്. · 0.06 = 10000 1.06

അതനുസരിച്ച്, മറ്റൊരു വർഷത്തിനുശേഷം അക്കൗണ്ടിലെ തുക ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കും:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

അതായത്, ഓരോ വർഷവും തുക 1.06 മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം, 4 വർഷത്തിനു ശേഷം അക്കൗണ്ടിലെ ഫണ്ടുകളുടെ തുക കണ്ടെത്താൻ, പുരോഗതിയുടെ നാലാമത്തെ ഘടകം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇത് മതിയാകും, ഇത് 10 ആയിരത്തിന് തുല്യമായ ആദ്യ മൂലകവും 1.06 ന് തുല്യമായ ഡിനോമിനേറ്ററും നൽകുന്നു.

എസ് = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

തുക കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

വിവിധ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകാം:

എ 1 = 4, q= 2, കണക്കാക്കുകഎസ് 5.

പരിഹാരം: കണക്കുകൂട്ടലിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും അറിയാം, നിങ്ങൾ അവയെ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എസ് 5 = 124

• എ 2 = 6, എ 3 = 18. ആദ്യത്തെ ആറ് മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:

ജിയോമിൽ. പുരോഗതി, ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ q മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്, അതായത് തുക കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾ മൂലകം അറിയേണ്ടതുണ്ട്എ 1 ഡിനോമിനേറ്ററുംq.

എ 2 · q = എ 3

q = 3

അതുപോലെ, നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്എ 1 , അറിയുന്നഎ 2 ഒപ്പംq.

എ 1 · q = എ 2

a 1 =2

എസ് 6 = 728.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, അതിൽ ആദ്യത്തെ അംഗം പൂജ്യമല്ല, തുടർന്നുള്ള ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തെ അംഗത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആശയം

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി b1,b2,b3, ..., bn, ....

ജ്യാമിതീയ പിശകിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പദത്തിൻ്റെയും അതിൻ്റെ മുൻ പദത്തിൻ്റെയും അനുപാതം അതേ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn =…. ഇത് നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു ഗണിത പുരോഗതി. ഈ സംഖ്യയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സാധാരണയായി ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ q എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

|q| എന്നതിനായുള്ള അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക<1

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം, അതിൻ്റെ ആദ്യ പദമായ b1 ഉം ജ്യാമിതീയ പിശകിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും വ്യക്തമാക്കുക എന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, b1=4, q=-2. ഈ രണ്ട് വ്യവസ്ഥകളും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി 4, -8, 16, -32, ....

q>0 (q 1 ന് തുല്യമല്ല) എങ്കിൽ, പുരോഗതി ഒരു ഏകതാന ശ്രേണിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 2, 4,8,16,32, ... എന്ന ക്രമം ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണ് (b1=2, q=2).

ജ്യാമിതീയ പിശകിലെ ഡിനോമിനേറ്റർ q=1 ആണെങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും പരസ്പരം തുല്യമായിരിക്കും. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പുരോഗതി സ്ഥിരമായ ഒരു ക്രമമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം (bn) ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ആകുന്നതിന്, അതിൻ്റെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, അയൽ അംഗങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി ആയിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതായത്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം നിറവേറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), ഏത് n>0 നും, n എന്നത് ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾഎൻ.

ഇനി നമുക്ക് (Xn) - ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ q, ഒപ്പം |q|∞).
അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ S കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ബാധകമാകും:
S=x1/(1-q).

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം നോക്കാം:

അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ....

എസ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അനന്തമായ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ സംഗ്രഹിക്കുന്ന ചോദ്യം നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം. നൽകിയിരിക്കുന്ന അനന്തമായ പുരോഗതിയുടെ ഭാഗിക തുകയെ അതിൻ്റെ ആദ്യ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കാം. നമുക്ക് ഭാഗിക തുകയെ ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കാം

ഓരോ അനന്തമായ പുരോഗതിക്കും

ഒരാൾക്ക് അതിൻ്റെ ഭാഗിക തുകകളുടെ ഒരു (അനന്തമായ) ക്രമം രചിക്കാൻ കഴിയും

അൺലിമിറ്റഡ് വർദ്ധനയുള്ള ഒരു ശ്രേണിക്ക് ഒരു പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, S എന്ന സംഖ്യയെ, അതായത്, ഒരു പുരോഗതിയുടെ ഭാഗിക തുകകളുടെ പരിധി, അനന്തമായ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഒരു തുകയുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും, കൂടാതെ ഈ തുകയ്‌ക്കായി ഞങ്ങൾ ഒരു സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തും (അനന്തമായ പുരോഗതിക്ക് തുക ഇല്ലെങ്കിൽ, അത് നിലവിലില്ലെന്നും കാണിക്കാം).

ഫോർമുല (91.1) ഉപയോഗിച്ച് പുരോഗതിയുടെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി ഭാഗിക തുകയ്ക്കുള്ള പദപ്രയോഗം നമുക്ക് എഴുതാം, കൂടാതെ ഭാഗിക തുകയുടെ പരിധി ഇവിടെ പരിഗണിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 89-ൽ നിന്ന്, പുരോഗതി കുറയുന്നതിന് വേണ്ടിയാണെന്ന് അറിയാം; അതിനാൽ, വ്യത്യാസ പരിധി സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നത്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

(ഇവിടെ നിയമവും ഉപയോഗിക്കുന്നു: സ്ഥിരമായ ഘടകം പരിധി ചിഹ്നത്തിനപ്പുറം എടുക്കുന്നു). അസ്തിത്വം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു, അതേ സമയം അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല ലഭിക്കും:

സമത്വം (92.1) ഫോമിലും എഴുതാം

ഇവിടെ അനന്തമായ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് വളരെ നിശ്ചിതമായ ഒരു പരിമിതമായ മൂല്യം നൽകിയിരിക്കുന്നത് വിരോധാഭാസമായി തോന്നാം.

ഈ സാഹചര്യം വിശദീകരിക്കാൻ വ്യക്തമായ ഒരു ദൃഷ്ടാന്തം നൽകാം. ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു വശമുള്ള ഒരു ചതുരം പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 72). ഒരു തിരശ്ചീന രേഖയുള്ള ഈ ചതുരത്തെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് മുകളിലെ ഭാഗം താഴത്തെ ഒന്നിലേക്ക് ഘടിപ്പിക്കുക, അങ്ങനെ 2, വശങ്ങളുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരം രൂപം കൊള്ളുന്നു. ഇതിനുശേഷം, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഈ ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വലത് പകുതിയെ ഒരു തിരശ്ചീന രേഖ ഉപയോഗിച്ച് പകുതിയായി വിഭജിക്കുകയും മുകളിലെ ഭാഗം താഴത്തെ ഒന്നിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യും (ചിത്രം 72 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ). ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നതിലൂടെ, 1 ന് തുല്യമായ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള യഥാർത്ഥ ചതുരത്തെ ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി തുല്യ വലുപ്പത്തിലുള്ള രൂപങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു (കനംകുറഞ്ഞ ഘട്ടങ്ങളുള്ള ഒരു ഗോവണിയുടെ രൂപത്തിൽ).

ഈ പ്രക്രിയയുടെ അനന്തമായ തുടർച്ചയോടെ, ചതുരത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ വിസ്തീർണ്ണവും അനന്തമായ പദങ്ങളായി വിഘടിക്കുന്നു - 1 നും ഉയരത്തിനും തുല്യമായ അടിത്തറയുള്ള ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ.

അതായത്, ഒരാൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നതുപോലെ, ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം. ഇനിപ്പറയുന്ന അനന്തമായ പുരോഗതികളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം, a) ഈ പുരോഗതി ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു അതിനാൽ, ഫോർമുല (92.2) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

b) ഇവിടെ അർത്ഥമാക്കുന്നത് അതേ സൂത്രവാക്യം (92.2) ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നാണ്

സി) അതിനാൽ ഈ പുരോഗതിക്ക് തുകയൊന്നുമില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഖണ്ഡിക 5-ൽ, ഒരു ആനുകാലികത്തിൻ്റെ വിപരീതത്തിലേക്ക് അനന്തമായി കുറയുന്ന പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലയുടെ പ്രയോഗം ഞങ്ങൾ കാണിച്ചു. ദശാംശംഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക്.

വ്യായാമങ്ങൾ

1. അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക 3/5 ആണ്, അതിൻ്റെ ആദ്യ നാല് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 13/27 ആണ്. പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദവും ഡിനോമിനേറ്ററും കണ്ടെത്തുക.

2. ഒരു ഇതര ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി രൂപപ്പെടുത്തുന്ന നാല് സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക, അതിൽ രണ്ടാമത്തെ പദം ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ 35-ൽ കുറവും മൂന്നാമത്തേത് നാലാമത്തേതിനേക്കാൾ 560-ൽ കൂടുതലുമാണ്.

3. സീക്വൻസ് ആണെങ്കിൽ കാണിക്കുക

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, തുടർന്ന് ക്രമം

ഏതായാലും, അത് അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഈ പ്രസ്താവന എപ്പോൾ സത്യമാകുമോ

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഒരു ഫോർമുല ഉണ്ടാക്കുക.

ഗണിത പുരോഗതിയ്‌ക്കൊപ്പം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും 9-ാം ക്ലാസിലെ സ്കൂൾ ബീജഗണിത കോഴ്‌സിൽ പഠിക്കുന്ന ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ പരമ്പരയാണ്. ഈ ലേഖനത്തിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററും അതിൻ്റെ മൂല്യം അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നുവെന്നും നോക്കാം.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിർവ്വചനം

ആദ്യം, ഈ സംഖ്യ ശ്രേണിയുടെ നിർവചനം നൽകാം. അത്തരമൊരു ശ്രേണിയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ, അതിൻ്റെ ആദ്യ മൂലകത്തെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്ന സ്ഥിരമായ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് തുടർച്ചയായി ഗുണിച്ചാൽ രൂപം കൊള്ളുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 3, 6, 12, 24, ... ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകൾ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, കാരണം നിങ്ങൾ 3 (ആദ്യ മൂലകം) 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് 6 ലഭിക്കും. നിങ്ങൾ 6 നെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും 12, തുടങ്ങിയവ.

പരിഗണനയിലുള്ള ശ്രേണിയിലെ അംഗങ്ങളെ സാധാരണയായി AI എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇവിടെ i എന്നത് ശ്രേണിയിലെ മൂലകത്തിൻ്റെ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

പുരോഗതിയുടെ മുകളിലുള്ള നിർവചനം ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: an = bn-1 * a1, ഇവിടെ b എന്നത് ഡിനോമിനേറ്ററാണ്. ഈ ഫോർമുല പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: n = 1 എങ്കിൽ, b1-1 = 1, നമുക്ക് a1 = a1 ലഭിക്കും. n = 2 ആണെങ്കിൽ, an = b * a1, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ചോദ്യത്തിലെ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. സമാനമായ ന്യായവാദം തുടരാം വലിയ മൂല്യങ്ങൾഎൻ.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ

മുഴുവൻ സംഖ്യാ ശ്രേണിക്കും ഏത് പ്രതീകമാണ് ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടതെന്ന് സംഖ്യ b പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഡിനോമിനേറ്റർ b പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആകാം. മുകളിലുള്ള എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളും വ്യത്യസ്ത ശ്രേണികളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

• b > 1. റേഷണൽ സംഖ്യകളുടെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഒരു പരമ്പരയുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 2, 4, 8, ... ഘടകം a1 നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, മുഴുവൻ ശ്രേണിയും കേവല മൂല്യത്തിൽ മാത്രം വർദ്ധിക്കും, പക്ഷേ സംഖ്യകളുടെ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ച് കുറയുന്നു.
• b = 1. പലപ്പോഴും ഈ കേസ് ഒരു പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നില്ല, കാരണം സമാനമായ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സാധാരണ ശ്രേണി ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, -4, -4, -4.

തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല

പരിഗണനയിലുള്ള പുരോഗതിയുടെ തരം ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിർദ്ദിഷ്ട പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഗണനയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിന് മുമ്പ്, അതിൻ്റെ ആദ്യ n ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് ഒരു പ്രധാന ഫോർമുല നൽകണം. ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

പുരോഗതിയുടെ പദങ്ങളുടെ ആവർത്തന ക്രമം നിങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. പദങ്ങളുടെ അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ ആദ്യ ഘടകവും ഡിനോമിനേറ്ററും മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതിയെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക.

അനന്തമായി കുറയുന്ന ക്രമം

അത് എന്താണെന്ന് മുകളിൽ ഒരു വിശദീകരണം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോൾ, Sn എന്നതിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, നമുക്ക് ഈ സംഖ്യ ശ്രേണിയിൽ പ്രയോഗിക്കാം. മോഡുലസ് 1 കവിയാത്ത ഏത് സംഖ്യയും ആയതിനാൽ, ഉയർത്തുമ്പോൾ വലിയ ഡിഗ്രികൾപൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, അതായത്, b∞ => 0 എങ്കിൽ -1

ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, വ്യത്യാസം (1 - b) എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്നതിനാൽ, അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി S∞ ൻ്റെ ആകെത്തുകയുടെ അടയാളം അതിൻ്റെ ആദ്യ ഘടകമായ a1 ൻ്റെ ചിഹ്നത്താൽ അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളിൽ നേടിയ അറിവ് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് കാണിക്കുന്ന നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നോക്കാം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. പുരോഗതിയുടെയും തുകയുടെയും അജ്ഞാത ഘടകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയാൽ, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ 2 ആണ്, അതിൻ്റെ ആദ്യ ഘടകം 3 ആണ്. അതിൻ്റെ 7-ഉം 10-ഉം പദങ്ങൾ എന്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതിൻ്റെ ഏഴ് പ്രാരംഭ മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എന്താണ്?

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥ വളരെ ലളിതവും മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉപയോഗവും ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, മൂലക നമ്പർ n കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ a = bn-1 * a1 എന്ന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു. 7-ാമത്തെ ഘടകത്തിന് നമുക്ക് ഉണ്ട്: a7 = b6 * a1, അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റയ്ക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: a7 = 26 * 3 = 192. 10-ആം പദത്തിനും ഞങ്ങൾ ഇത് തന്നെ ചെയ്യുന്നു: a10 = 29 * 3 = 1536.

നമുക്ക് ആകെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും പരമ്പരയിലെ ആദ്യത്തെ 7 ഘടകങ്ങൾക്ക് ഈ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യാം. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

പ്രശ്നം നമ്പർ 2. ഒരു പുരോഗതിയുടെ ഏകപക്ഷീയ ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നിർണ്ണയിക്കുന്നു

-2 എന്നത് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി bn-1 * 4 ൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമായിരിക്കട്ടെ, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ഈ ശ്രേണിയുടെ 5 മുതൽ 10 വരെയുള്ള മൂലകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള തുക നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നേരിട്ട പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഇത് 2 വിധത്തിൽ പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ് വിവിധ രീതികൾ. വിഷയത്തിൻ്റെ സമ്പൂർണ്ണതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ രണ്ടും അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

രീതി 1. ആശയം ലളിതമാണ്: ആദ്യ നിബന്ധനകളുടെ രണ്ട് അനുബന്ധ തുകകൾ നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്ന് കുറയ്ക്കുക. ഞങ്ങൾ ചെറിയ തുക കണക്കാക്കുന്നു: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ വലിയ തുക കണക്കാക്കുന്നു: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച് കണക്കാക്കേണ്ട തുകയിൽ 5-ാമത്തേത് ഇതിനകം ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, അവസാന പദപ്രയോഗത്തിൽ 4 നിബന്ധനകൾ മാത്രമേ സംഗ്രഹിച്ചിട്ടുള്ളൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം എടുക്കുന്നു: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

രീതി 2. സംഖ്യകൾ മാറ്റി എണ്ണുന്നതിന് മുമ്പ്, സംശയാസ്‌പദമായ ശ്രേണിയുടെ m, n നിബന്ധനകൾക്കിടയിലുള്ള തുകയ്‌ക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫോർമുല ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾ രീതി 1-ലെ പോലെ തന്നെ ചെയ്യുന്നു, ആദ്യം തുകയുടെ പ്രതീകാത്മക പ്രാതിനിധ്യം ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമേ ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കൂ. നമുക്കുള്ളത്: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷനിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് അറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് അന്തിമ ഫലം കണക്കാക്കാം: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

പ്രശ്നം നമ്പർ 3. ഡിനോമിനേറ്റർ എന്താണ്?

a1 = 2, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തട്ടെ, അതിൻ്റെ അനന്തമായ തുക 3 ആണെങ്കിൽ, ഇത് സംഖ്യകളുടെ കുറയുന്ന ശ്രേണിയാണെന്ന് അറിയാം.

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അത് പരിഹരിക്കാൻ ഏത് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. തീർച്ചയായും, പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് അനന്തമായി കുറയുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: S∞ = a1 / (1 - b). ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നിടത്ത് നിന്ന്: b = 1 - a1 / S∞. പകരം വയ്ക്കുന്നത് മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത് അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾആവശ്യമായ നമ്പർ നേടുക: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 അല്ലെങ്കിൽ -0.333(3). ഇത്തരത്തിലുള്ള അനുക്രമത്തിന് മോഡുലസ് b 1-നപ്പുറം പോകരുതെന്ന് ഓർമ്മിച്ചാൽ നമുക്ക് ഈ ഫലം ഗുണപരമായി പരിശോധിക്കാം. കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, |-1 / 3|

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പര പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നു

ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ 2 ഘടകങ്ങൾ നൽകട്ടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, 5-ആമത്തേത് 30-നും 10-ആമത്തേത് 60-നും തുല്യമാണ്. ഈ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് മുഴുവൻ ശ്രേണിയും പുനർനിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഗുണങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം അറിയപ്പെടുന്ന ഓരോ പദത്തിനും അനുബന്ധമായ പദപ്രയോഗം എഴുതണം. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: a5 = b4 * a1, a10 = b9 * a1. ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ എക്സ്പ്രഷൻ ആദ്യത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. പ്രശ്‌ന പ്രസ്താവനയിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന പദങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിൻ്റെ അഞ്ചാമത്തെ റൂട്ട് എടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഇവിടെ നിന്ന് ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കുന്നു, b = 1.148698. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയെ അറിയപ്പെടുന്ന ഘടകത്തിനായുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളിലൊന്നിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

അങ്ങനെ, പുരോഗമന bn ൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി bn-1 * 17.2304966 = an, ഇവിടെ b = 1.148698 എന്നിവയും കണ്ടെത്തി.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതികൾ എവിടെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

ഈ സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗം ഇല്ലായിരുന്നുവെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ പഠനം പൂർണ്ണമായും സൈദ്ധാന്തിക താൽപ്പര്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കും. എന്നാൽ അത്തരമൊരു ആപ്ലിക്കേഷൻ നിലവിലുണ്ട്.

ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ 3 ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്:

• വേഗതയേറിയ അക്കില്ലസിന് വേഗത കുറഞ്ഞ ആമയെ പിടിക്കാൻ കഴിയാത്ത സീനോയുടെ വിരോധാഭാസം, സംഖ്യകളുടെ അനന്തമായി കുറയുന്ന ക്രമം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.
• ഓരോ സെല്ലിനും ആണെങ്കിൽ ചതുരംഗ പലകഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾ ഇടുക, അങ്ങനെ നിങ്ങൾ 1 സെല്ലിൽ 1 ധാന്യം ഇടുക, 2 - 2 - 3 - 3 എന്നിങ്ങനെ, തുടർന്ന് ബോർഡിൻ്റെ എല്ലാ സെല്ലുകളും പൂരിപ്പിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് 18446744073709551615 ധാന്യങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്!
• "ടവർ ഓഫ് ഹനോയി" എന്ന ഗെയിമിൽ, ഡിസ്കുകൾ ഒരു വടിയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീക്കുന്നതിന്, 2n - 1 പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, ഉപയോഗിച്ച ഡിസ്കുകളുടെ എണ്ണം n ഉപയോഗിച്ച് അവയുടെ എണ്ണം ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

എന്താണ് ഗണിതംആളുകൾ പ്രകൃതിയെയും തങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു.

സോവിയറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, അക്കാദമിഷ്യൻ എ.എൻ. കോൾമോഗോറോവ്

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഗണിത പുരോഗതിയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾക്കൊപ്പം, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങളും ഗണിതത്തിലെ പ്രവേശന പരീക്ഷകളിൽ സാധാരണമാണ്. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സവിശേഷതകൾ അറിയുകയും അവ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ നല്ല കഴിവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും വേണം.

ഈ ലേഖനം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളുടെ അവതരണത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു., ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രവേശന പരീക്ഷകളുടെ ചുമതലകളിൽ നിന്ന് കടമെടുത്തത്.

നമുക്ക് ആദ്യം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ ശ്രദ്ധിക്കുകയും ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഓർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യാം പ്രധാനപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങൾപ്രസ്താവനകളും, ഈ ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ സംഖ്യയും മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഖ്യയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക്സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധുവാണ്

, (1)

എവിടെ . ഫോർമുല (1) യെ ഫോർമുല എന്ന് വിളിക്കുന്നു പൊതു അംഗംജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, ഫോർമുല (2) ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന സ്വത്തിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: പുരോഗതിയുടെ ഓരോ പദവും അതിൻ്റെ അയൽ പദങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

കുറിപ്പ്, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം പ്രസ്തുത പുരോഗതിയെ "ജ്യാമിതീയ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (1) ഉം (2) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സാമാന്യവൽക്കരിച്ചിട്ടുണ്ട്:

, (3)

തുക കണക്കാക്കാൻആദ്യം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾഫോർമുല ബാധകമാണ്

ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ

എവിടെ . സൂത്രവാക്യം (6) എന്നത് ഫോർമുലയുടെ (5) സാമാന്യവൽക്കരണമാണ്.

കേസിൽ എപ്പോൾ ഒപ്പം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിഅനന്തമായി കുറയുന്നു. തുക കണക്കാക്കാൻഅനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ എല്ലാ നിബന്ധനകളിലും, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു

. (7)

ഉദാഹരണത്തിന് , ഫോർമുല (7) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കാണിക്കാം, എന്ത്

എവിടെ . , (ആദ്യ സമത്വം), , (രണ്ടാം സമത്വം) എന്നീ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിലുള്ള ഫോർമുല (7) ൽ നിന്നാണ് ഈ തുല്യതകൾ ലഭിക്കുന്നത്.

സിദ്ധാന്തം.എങ്കിൽ, പിന്നെ

തെളിവ്. എങ്കിൽ, പിന്നെ

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

"ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാൻ നമുക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം 1.നൽകിയിരിക്കുന്നു: , ഒപ്പം . കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (5) പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 2.അങ്ങനെ സംഭവിക്കട്ടെ. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.മുതൽ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ (5), (6) ഉപയോഗിക്കുകയും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (9) രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ. ഇതിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു . നമുക്ക് രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം.

1. എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (9) നമുക്കുണ്ട്.

2. എങ്കിൽ .

ഉദാഹരണം 3.അനുവദിക്കുക, ഒപ്പം. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (2) അത് പിന്തുടരുന്നു അല്ലെങ്കിൽ . മുതൽ , പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ .

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം. എന്നിരുന്നാലും, അതിനാൽ. മുതൽ ഒപ്പം അപ്പോൾ ഇവിടെ നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ട്

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, അല്ലെങ്കിൽ .

കാരണം, സമവാക്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു അദ്വിതീയ റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

ഫോർമുല (7) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 4.നൽകിയത്: ഒപ്പം . കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.അന്ന് മുതൽ.

മുതൽ , അപ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ

ഫോർമുല (2) അനുസരിച്ച് നമുക്ക് . ഇക്കാര്യത്തിൽ, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (10) നമുക്ക് ലഭിക്കും അല്ലെങ്കിൽ .

എന്നിരുന്നാലും, വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, അതിനാൽ.

ഉദാഹരണം 5.എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് രണ്ട് തുല്യതകളുണ്ട്

മുതൽ , പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ . കാരണം, അപ്പോൾ.

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 6.നൽകിയത്: ഒപ്പം . കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഫോർമുല (5) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അന്ന് മുതൽ. മുതൽ , പിന്നെ .

ഉദാഹരണം 7.അങ്ങനെ സംഭവിക്കട്ടെ. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഫോർമുല (1) അനുസരിച്ച് നമുക്ക് എഴുതാം

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ . അത് അറിയപ്പെടുന്നു .

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 8.എങ്കിൽ അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക

ഒപ്പം .

പരിഹാരം. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (7) അത് പിന്തുടരുന്നുഒപ്പം . ഇവിടെ നിന്നും പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്നും നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം ലഭിക്കും

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ചതുരാകൃതിയിലാണെങ്കിൽ, തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

അഥവാ .

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 9.സീക്വൻസ്, , ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ആയ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.അനുവദിക്കുക, ഒപ്പം. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് നിർവചിക്കുന്ന ഫോർമുല (2) അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം അല്ലെങ്കിൽ .

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും, ആരുടെ വേരുകൾഒപ്പം .

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം: എങ്കിൽപിന്നെ , പിന്നെ ; എങ്കിൽ , പിന്നെ , ഒപ്പം.

ആദ്യ കേസിൽ നമുക്കുണ്ട്കൂടാതെ, രണ്ടാമത്തേതിൽ - ഒപ്പം .

ഉത്തരം:, .

ഉദാഹരണം 10.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

, (11)

എവിടെയും.

പരിഹാരം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം (11) അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അതിൽ കൂടാതെ , ഇതിന് വിധേയമായി: ഒപ്പം .

ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (7) അത് പിന്തുടരുന്നു, എന്ത് . ഇക്കാര്യത്തിൽ, സമവാക്യം (11) രൂപമെടുക്കുന്നുഅഥവാ . അനുയോജ്യമായ റൂട്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംആണ്

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 11.പി സ്ഥിരത പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, എ - ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതുമായി എന്താണ് ബന്ധം. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.കാരണം ഗണിത ക്രമം, അത് (ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത്). എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്, പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ. ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് രൂപമുണ്ടെന്ന്. ഫോർമുല പ്രകാരം (2), ഞങ്ങൾ അത് എഴുതുന്നു.

മുതൽ, പിന്നെ . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എക്സ്പ്രഷൻഫോം എടുക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ . വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, അതിനാൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്.പരിഗണനയിലുള്ള പ്രശ്‌നത്തിന് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ലഭിക്കും, അതായത്. .

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 12.തുക കണക്കാക്കുക

. (12)

പരിഹാരം. തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളും (12) 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് നേടുക

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് (12) കുറച്ചാൽ, അത്

അഥവാ .

കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങളെ ഫോർമുലയിലേക്ക് (7) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. അന്ന് മുതൽ.

ഉത്തരം: .

ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പ്രവേശന പരീക്ഷകൾക്ക് തയ്യാറെടുക്കുമ്പോൾ അപേക്ഷകർക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും. പ്രശ്നപരിഹാര രീതികളെക്കുറിച്ചുള്ള ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിനായി, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ശുപാർശ ചെയ്യുന്ന സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ട്യൂട്ടോറിയലുകൾ ഉപയോഗിക്കാം.

1. കോളേജുകളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരണം / എഡ്. എം.ഐ. സ്കാനവി. - എം.: മിർ ആൻഡ് എഡ്യൂക്കേഷൻ, 2013. - 608 പേ.

2. സുപ്രുൺ വി.പി. ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ഗണിതം: അധിക വിഭാഗങ്ങൾ സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി. – എം.: ലെനൻഡ് / യുആർഎസ്എസ്, 2014. - 216 പേ.

3. മെഡിൻസ്കി എം.എം. പ്രശ്നങ്ങളിലും വ്യായാമങ്ങളിലും പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൻ്റെ ഒരു പൂർണ്ണമായ കോഴ്സ്. പുസ്തകം 2: സംഖ്യാ ക്രമങ്ങളും പുരോഗതികളും. - എം.: എഡിറ്റസ്, 2015. - 208 പേ.

ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടോ?

ഒരു അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് സഹായം ലഭിക്കാൻ, രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.