రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలు. రెండు వేరియబుల్స్ మరియు వాటి రేఖాగణిత పరిష్కారంతో సమీకరణాలు రెండు వేరియబుల్స్ మరియు వాటి వ్యవస్థలతో అసమానతలు

22.01.2024

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిని చిత్రీకరించడం తరచుగా అవసరం. రెండు వేరియబుల్స్‌లోని అసమానతకు పరిష్కారం ఈ వేరియబుల్స్ యొక్క ఒక జత విలువలు, ఇది అసమానతను నిజమైన సంఖ్యా అసమానతగా మారుస్తుంది.

2у+ Zx< 6.

మొదట, సరళ రేఖను నిర్మిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము సమీకరణం రూపంలో అసమానతను వ్రాస్తాము 2у+ Zx = 6 మరియు ఎక్స్ప్రెస్ వై.అందువలన, మేము పొందుతాము: y=(6-3x)/2.

ఈ లైన్ కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితిని దాని పైన ఉన్న పాయింట్లు మరియు దాని క్రింద ఉన్న పాయింట్లుగా విభజిస్తుంది.

ప్రతి ప్రాంతం నుండి ఒక పోటిని తీసుకోండి నియంత్రణ పాయింట్, ఉదాహరణకు A (1;1) మరియు B (1;3)

పాయింట్ A యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఈ అసమానత 2y + 3xని సంతృప్తిపరుస్తాయి< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

పాయింట్ B యొక్క కోఆర్డినేట్లు కాదుఈ అసమానతను 2∙3 + 3∙1 సంతృప్తిపరచండి< 6.

ఈ అసమానత 2y + 3x = 6 సరళ రేఖపై చిహ్నాన్ని మార్చగలదు కాబట్టి, పాయింట్ A ఉన్న ప్రాంతంలోని బిందువుల సెట్ ద్వారా అసమానత సంతృప్తి చెందుతుంది. మనం ఈ ప్రాంతాన్ని షేడ్ చేద్దాం.

ఈ విధంగా, మేము అసమానతలకు పరిష్కారాల సమితిని చిత్రీకరించాము 2y + 3x< 6.

ఉదాహరణ

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో అసమానత x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 పరిష్కారాల సమితిని చిత్రీకరిద్దాం.

ముందుగా x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 = 0 సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం. ఈ సమీకరణంలో వృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని వేరు చేద్దాం: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) = 4, లేదా (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 2 2 .

ఇది పాయింట్ 0 (-1; 2) మరియు R = 2 వ్యాసార్థం వద్ద కేంద్రం ఉన్న వృత్తం యొక్క సమీకరణం. ఈ వృత్తాన్ని నిర్మిస్తాం.

ఈ అసమానత కఠినమైనది మరియు సర్కిల్‌పై ఉన్న పాయింట్లు అసమానతను సంతృప్తిపరచవు కాబట్టి, మేము వృత్తాన్ని చుక్కల రేఖతో నిర్మిస్తాము.

సర్కిల్ యొక్క కేంద్రం O యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరచలేదని తనిఖీ చేయడం సులభం. x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 అనే వ్యక్తీకరణ నిర్మిత సర్కిల్‌పై దాని గుర్తును మారుస్తుంది. అప్పుడు అసమానత సర్కిల్ వెలుపల ఉన్న పాయింట్ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది. ఈ పాయింట్లు షేడ్ చేయబడ్డాయి.

ఉదాహరణ

అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిని సమన్వయ సమతలంలో చిత్రీకరిద్దాం

(y - x 2)(y - x - 3)< 0.

ముందుగా, సమీకరణం (y - x 2)(y - x - 3) = 0. ఇది పారాబొలా y = x 2 మరియు సరళ రేఖ y = x + 3. ఈ పంక్తులను నిర్మించి, దానిని గమనించండి. వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడం (y - x 2)(y - x - 3) ఈ పంక్తులలో మాత్రమే జరుగుతుంది. పాయింట్ A (0; 5) కోసం, మేము ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయిస్తాము: (5- 3) > 0 (అనగా, ఈ అసమానత ఉండదు). ఇప్పుడు ఈ అసమానత సంతృప్తి చెందిన పాయింట్ల సమితిని గుర్తించడం సులభం (ఈ ప్రాంతాలు షేడ్ చేయబడ్డాయి).

రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

1. అసమానతను f (x; y) రూపానికి తగ్గిద్దాం< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. సమానత్వం f (x; y) = 0 వ్రాయండి

3. ఎడమవైపు వ్రాసిన గ్రాఫ్‌లను గుర్తించండి.

4. మేము ఈ గ్రాఫ్‌లను నిర్మిస్తాము. అసమానత కఠినంగా ఉంటే (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), ఆపై - డాష్‌లతో, అసమానత కఠినంగా లేకుంటే (f (x; y) ≤ 0 లేదా f (x; y) ≥ 0), అప్పుడు - ఘన రేఖతో.

5. కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ విభజించబడిన గ్రాఫిక్స్ యొక్క ఎన్ని భాగాలను నిర్ణయించండి

6. ఈ భాగాలలో ఒకదానిలో కంట్రోల్ పాయింట్‌ని ఎంచుకోండి. f (x; y) వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి

7. మేము విమానం యొక్క ఇతర భాగాలలో సంకేతాలను ఉంచుతాము, ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము (విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి)

8. మేము పరిష్కరిస్తున్న అసమానత యొక్క గుర్తుకు అనుగుణంగా మనకు అవసరమైన భాగాలను ఎంచుకుంటాము మరియు షేడింగ్ను వర్తింపజేస్తాము

విషయం: సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు. సమీకరణాలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలు

పాఠం:రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు

సాధారణ పరంగా రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం మరియు అసమానతలను పరిశీలిద్దాం.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం;

రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానత, అసమానత గుర్తు ఏదైనా కావచ్చు;

ఇక్కడ x మరియు y వేరియబుల్స్, p అనేది వాటిపై ఆధారపడి ఉండే వ్యక్తీకరణ

ఒక జత సంఖ్యలు () అటువంటి సమీకరణం లేదా అసమానత యొక్క పాక్షిక పరిష్కారం అని పిలుస్తారు, ఈ జంటను వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, మేము వరుసగా సరైన సమీకరణం లేదా అసమానతను పొందుతాము.

అన్ని పరిష్కారాల సమితిని విమానంలో కనుగొనడం లేదా చిత్రీకరించడం పని. మీరు ఈ పనిని పారాఫ్రేజ్ చేయవచ్చు - పాయింట్ల స్థానాన్ని కనుగొనండి (GLP), సమీకరణం లేదా అసమానత యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

ఉదాహరణ 1 - సమీకరణం మరియు అసమానతలను పరిష్కరించండి:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పనిలో GMTని కనుగొనడం ఉంటుంది.

సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్ x విలువ ఏదైనా కావచ్చు, కాబట్టి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

సహజంగానే, సమీకరణానికి పరిష్కారం సరళ రేఖను ఏర్పరుచుకునే పాయింట్ల సమితి

అన్నం. 1. సమీకరణ గ్రాఫ్ ఉదాహరణ 1

ఇచ్చిన సమీకరణానికి పరిష్కారాలు, ప్రత్యేకించి, పాయింట్లు (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

ఇచ్చిన అసమానతకు పరిష్కారం లైన్‌తో సహా రేఖకు పైన ఉన్న సగం-విమానం (మూర్తి 1 చూడండి). నిజానికి, మనం రేఖపై ఏదైనా పాయింట్ x 0 తీసుకుంటే, మనకు సమానత్వం ఉంటుంది. మనం ఒక రేఖకు పైన ఉన్న సగం-విమానంలో ఒక పాయింట్ తీసుకుంటే, మనకు . మేము లైన్ కింద సగం-విమానంలో ఒక పాయింట్ తీసుకుంటే, అది మన అసమానతను సంతృప్తిపరచదు: .

ఇప్పుడు సర్కిల్ మరియు సర్కిల్‌తో సమస్యను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 2 - సమీకరణం మరియు అసమానతలను పరిష్కరించండి:

ఇచ్చిన సమీకరణం మూలం మరియు వ్యాసార్థం 1 వద్ద కేంద్రం ఉన్న వృత్తం యొక్క సమీకరణం అని మనకు తెలుసు.

అన్నం. 2. ఉదాహరణకి ఉదాహరణ 2

ఏకపక్ష పాయింట్ x 0 వద్ద, సమీకరణం రెండు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది: (x 0; y 0) మరియు (x 0; -y 0).

ఇచ్చిన అసమానతకు పరిష్కారం సర్కిల్ లోపల ఉన్న పాయింట్ల సమితి, సర్కిల్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోదు (మూర్తి 2 చూడండి).

మాడ్యూల్స్‌తో సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 3 - సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

ఈ సందర్భంలో, మాడ్యూల్‌లను విస్తరించడం సాధ్యమవుతుంది, అయితే మేము సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేకతలను పరిశీలిస్తాము. ఈ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ రెండు అక్షాల గురించి సుష్టంగా ఉందని చూడటం సులభం. అప్పుడు పాయింట్ (x 0 ; y 0) ఒక పరిష్కారం అయితే, పాయింట్ (x 0 ; -y 0) కూడా ఒక పరిష్కారం, పాయింట్లు (-x 0 ; y 0) మరియు (-x 0 ; -y 0 ) కూడా ఒక పరిష్కారం.

అందువల్ల, రెండు వేరియబుల్స్ ప్రతికూలంగా ఉండని మరియు అక్షాల గురించి సమరూపతను తీసుకునే పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం సరిపోతుంది:

అన్నం. 3. ఉదాహరణకి ఉదాహరణ 3

కాబట్టి, మనం చూస్తున్నట్లుగా, సమీకరణానికి పరిష్కారం ఒక చతురస్రం.

ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఏరియా పద్ధతి అని పిలవబడే విధానాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ 4 - అసమానతలకు పరిష్కారాల సమితిని వర్ణించండి:

డొమైన్‌ల పద్ధతి ప్రకారం, కుడి వైపున సున్నా ఉంటే, మొదట ఎడమ వైపున ఉన్న ఫంక్షన్‌ను మేము పరిగణిస్తాము. ఇది రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్:

విరామాల పద్ధతి మాదిరిగానే, మేము తాత్కాలికంగా అసమానత నుండి దూరంగా ఉంటాము మరియు కంపోజ్డ్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు మరియు లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తాము.

ODZ: అంటే x అక్షం పంక్చర్ చేయబడుతోంది.

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ సున్నాకి సమానమైనప్పుడు ఫంక్షన్ సున్నాకి సమానం అని ఇప్పుడు మనం సూచిస్తాము:

మేము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము.

అన్నం. 4. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, ODZ ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది

ఇప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క ప్రాంతాలను పరిగణించండి; అవి సరళ రేఖ మరియు విరిగిన రేఖ ద్వారా ఏర్పడతాయి. విరిగిన లైన్ లోపల ప్రాంతం D 1 ఉంది. విరిగిన రేఖ మరియు సరళ రేఖ యొక్క సెగ్మెంట్ మధ్య - ప్రాంతం D 2, రేఖకు దిగువన - ప్రాంతం D 3, విరిగిన రేఖ మరియు సరళ రేఖ యొక్క సెగ్మెంట్ మధ్య - ప్రాంతం D 4

ఎంచుకున్న ప్రతి ప్రాంతంలో, ఫంక్షన్ దాని చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే ప్రతి ప్రాంతంలోని ఏకపక్ష పరీక్ష పాయింట్‌ను తనిఖీ చేయడం సరిపోతుంది.

ప్రాంతంలో మేము పాయింట్ (0;1) తీసుకుంటాము. మాకు ఉన్నాయి:

ప్రాంతంలో మేము పాయింట్ (10;1) తీసుకుంటాము. మాకు ఉన్నాయి:

అందువలన, మొత్తం ప్రాంతం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు ఇచ్చిన అసమానతను సంతృప్తిపరచదు.

ప్రాంతంలో, పాయింట్ (0;-5) తీసుకోండి. మాకు ఉన్నాయి:

అందువలన, మొత్తం ప్రాంతం సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు ఇచ్చిన అసమానతలను సంతృప్తిపరుస్తుంది.

రెండు వేరియబుల్స్‌లో అసమానతను పరిష్కరించడం, మరియు ఇంకా ఎక్కువ రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థలు, చాలా కష్టమైన పని అనిపిస్తుంది. అయినప్పటికీ, ఈ రకమైన చాలా క్లిష్టమైన సమస్యలను సులభంగా మరియు ఎక్కువ శ్రమ లేకుండా పరిష్కరించడంలో సహాయపడే ఒక సాధారణ అల్గోరిథం ఉంది. దాన్ని గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

కింది రకాల్లో ఒకదాని యొక్క రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతను కలిగి ఉండనివ్వండి:

y > f(x); y ≥ f(x); వై< f(x); y ≤ f(x).

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో అటువంటి అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిని చిత్రీకరించడానికి, ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి:

1. మేము y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము, ఇది విమానం రెండు ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది.

2. మేము ఫలిత ప్రాంతాలలో దేనినైనా ఎంచుకుంటాము మరియు దానిలో ఏకపక్ష పాయింట్‌ను పరిశీలిస్తాము. మేము ఈ పాయింట్ కోసం అసలు అసమానత యొక్క సాధ్యతను తనిఖీ చేస్తాము. పరీక్షలో సరైన సంఖ్యా అసమానత ఏర్పడితే, ఎంచుకున్న పాయింట్‌కు చెందిన మొత్తం ప్రాంతంలో అసలు అసమానత సంతృప్తి చెందిందని మేము నిర్ధారించాము. ఈ విధంగా, అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి ఎంపిక చేయబడిన బిందువుకు చెందిన ప్రాంతం. చెక్ యొక్క ఫలితం సరికాని సంఖ్యా అసమానత అయితే, అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి ఎంచుకున్న పాయింట్ చెందని రెండవ ప్రాంతం అవుతుంది.

3. అసమానత కఠినంగా ఉంటే, ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులు, అంటే, y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పాయింట్లు పరిష్కారాల సమితిలో చేర్చబడవు మరియు సరిహద్దు చుక్కల రేఖతో చిత్రీకరించబడుతుంది. అసమానత కఠినంగా లేకుంటే, ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులు, అనగా, y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పాయింట్లు, ఈ అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిలో చేర్చబడతాయి మరియు ఈ సందర్భంలో సరిహద్దు వర్ణించబడుతుంది. ఘన రేఖగా.
ఇప్పుడు ఈ అంశంపై అనేక సమస్యలను పరిశీలిద్దాం.

టాస్క్ 1.

అసమానత x ద్వారా ఏ పాయింట్ల సెట్ ఇవ్వబడుతుంది · y ≤ 4?

పరిష్కారం.

1) మేము x · y = 4 సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట దానిని రూపాంతరం చేస్తాము. సహజంగానే, ఈ సందర్భంలో x 0కి మారదు, లేకపోతే మనకు 0 · y = 4 ఉంటుంది, ఇది తప్పు. అంటే మన సమీకరణాన్ని xతో భాగించవచ్చు. మనకు లభిస్తుంది: y = 4/x. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ హైపర్బోలా. ఇది మొత్తం విమానాన్ని రెండు ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది: హైపర్బోలా యొక్క రెండు శాఖల మధ్య ఒకటి మరియు వాటి వెలుపల ఒకటి.

2) మొదటి ప్రాంతం నుండి ఏకపక్ష బిందువును ఎంచుకుందాం, అది పాయింట్ (4; 2)గా ఉండనివ్వండి.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 4 · 2 ≤ 4 – తప్పు.

ఈ ప్రాంతం యొక్క పాయింట్లు అసలు అసమానతను సంతృప్తి పరచలేవని దీని అర్థం. అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి ఎంచుకున్న పాయింట్‌కు చెందని రెండవ ప్రాంతం అని మేము నిర్ధారించగలము.

3) అసమానత కఠినంగా లేనందున, మేము సరిహద్దు పాయింట్లను గీస్తాము, అనగా, y = 4/x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పాయింట్లు, ఘన రేఖతో.

అసలు అసమానతను పసుపు రంగులో నిర్వచించే పాయింట్ల సమితిని పెయింట్ చేద్దాం (చిత్రం 1).

టాస్క్ 2.

సిస్టమ్ ద్వారా కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో నిర్వచించిన ప్రాంతాన్ని గీయండి
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

పరిష్కారం.

ప్రారంభించడానికి, మేము ఈ క్రింది ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మిస్తాము (చిత్రం 2):

y = x 2 + 2 – పారాబొలా,

y + x = 1 - సరళ రేఖ

x 2 + y 2 = 9 – సర్కిల్.

1) y > x 2 + 2.

మేము పాయింట్ (0; 5) తీసుకుంటాము, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన ఉంటుంది.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 5 > 0 2 + 2 – నిజం.

పర్యవసానంగా, ఇచ్చిన పారాబొలా y = x 2 + 2 పైన ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క మొదటి అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. వాటికి పసుపు రంగు వేస్తాం.

2) y + x > 1.

మేము పాయింట్ (0; 3) తీసుకుంటాము, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన ఉంటుంది.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 3 + 0 > 1 – నిజం.

పర్యవసానంగా, y + x = 1 సరళ రేఖ పైన ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క రెండవ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. వాటిని గ్రీన్ షేడింగ్‌తో పెయింట్ చేద్దాం.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

x 2 + y 2 = 9 సర్కిల్ వెలుపల ఉన్న పాయింట్ (0; -4) ను తీసుకోండి.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – తప్పు.

కాబట్టి, వృత్తం వెలుపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లు x 2 + y 2 = 9, వ్యవస్థ యొక్క మూడవ అసమానతను సంతృప్తిపరచవద్దు. అప్పుడు x 2 + y 2 = 9 సర్కిల్ లోపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క మూడవ అసమానతను సంతృప్తి పరుస్తాయని మేము నిర్ధారించగలము. వాటిని పర్పుల్ షేడింగ్‌తో పెయింట్ చేద్దాం.

అసమానత కఠినంగా ఉంటే, సంబంధిత సరిహద్దు రేఖను చుక్కల రేఖతో గీయాలని మర్చిపోవద్దు. మేము ఈ క్రింది చిత్రాన్ని పొందుతాము (చిత్రం 3).

(Fig. 4).

టాస్క్ 3.

సిస్టమ్ ద్వారా కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో నిర్వచించిన ప్రాంతాన్ని గీయండి:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

పరిష్కారం.

ప్రారంభించడానికి, మేము ఈ క్రింది ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మిస్తాము:

x 2 + y 2 = 16 – సర్కిల్,

x = -y – సరళ రేఖ

x 2 + y 2 = 4 – సర్కిల్ (చిత్రం 5).

ఇప్పుడు ప్రతి అసమానతను విడిగా చూద్దాం.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

x 2 + y 2 = 16 సర్కిల్ లోపల ఉండే పాయింట్ (0; 0) ను తీసుకోండి.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – నిజం.

కాబట్టి, సర్కిల్ x 2 + y 2 = 16 లోపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క మొదటి అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి.
వాటిని రెడ్ షేడింగ్‌తో పెయింట్ చేద్దాం.

మేము పాయింట్ (1; 1) తీసుకుంటాము, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన ఉంటుంది.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 1 ≥ -1 – నిజం.

పర్యవసానంగా, లైన్ x = -y పైన ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క రెండవ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. వాటిని బ్లూ షేడింగ్‌తో పెయింట్ చేద్దాం.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

x 2 + y 2 = 4 వృత్తం వెలుపల ఉన్న పాయింట్ (0; 5) తీసుకోండి.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – నిజం.

పర్యవసానంగా, x 2 + y 2 = 4 సర్కిల్ వెలుపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క మూడవ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. వాటికి నీలి రంగు వేద్దాం.

ఈ సమస్యలో, అన్ని అసమానతలు కఠినంగా లేవు, అంటే మేము అన్ని సరిహద్దులను ఘన రేఖతో గీస్తాము. మేము ఈ క్రింది చిత్రాన్ని పొందుతాము (చిత్రం 6).

శోధన ప్రాంతం అనేది మూడు రంగుల ప్రాంతాలు ఒకదానితో ఒకటి కలిసే ప్రాంతం (చిత్రం 7).

ఇంకా ప్రశ్నలు ఉన్నాయా? రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలియదా?
ట్యూటర్ నుండి సహాయం పొందడానికి, నమోదు చేసుకోండి.
మొదటి పాఠం ఉచితం!

వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.

https://accounts.google.com

స్లయిడ్ శీర్షికలు:

రెండు వేరియబుల్స్ మరియు వాటి సిస్టమ్‌లతో అసమానతలు పాఠం 1

రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతలు అసమానతలు 3x – 4y  0; మరియు x మరియు y అనే రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతలు. రెండు వేరియబుల్స్‌లోని అసమానత్వానికి పరిష్కారం వేరియబుల్స్ యొక్క ఒక జత విలువలు, అది నిజమైన సంఖ్యా అసమానతగా మారుతుంది. x = 5 మరియు y = 3 కోసం, అసమానత 3x - 4y  0 సరైన సంఖ్యా అసమానతగా మారుతుంది 3  0. సంఖ్యల జత (5;3) ఈ అసమానతకు పరిష్కారం. సంఖ్యల జత (3;5) దాని పరిష్కారం కాదు.

సంఖ్యల జత (-2; 3) అసమానతకు పరిష్కారమా: నం. 482 (బి, సి) ఇది కాదు

అసమానతకు పరిష్కారం అసమానతను నిజమైన సంఖ్యా అసమానతగా మార్చే వాస్తవ సంఖ్యల యొక్క ఆర్డర్ చేయబడిన జత. గ్రాఫికల్‌గా, ఇది కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో పాయింట్‌ను పేర్కొనడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. అసమానతను పరిష్కరించడం అంటే దానికి అనేక పరిష్కారాలను కనుగొనడం.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి: అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి అనేది ఇచ్చిన అసమానతను సంతృప్తిపరిచే కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితి.

అసమానత F(x,y) ≥ 0 x y F(x,y)≤0 x y కోసం పరిష్కార సెట్లు

F(x, y)>0 F(x, y)

ట్రయల్ పాయింట్ రూల్‌ని నిర్మించండి (x ; y) =0

రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన సరళ అసమానతలు రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన సరళ అసమానతను ax + bx +c  0 లేదా ax + bx +c రూపంలో అసమానత అంటారు.

లోపాన్ని కనుగొనండి! నం. 484 (బి) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

అసమానతను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించండి: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 మేము ఘన గీతలతో గ్రాఫ్‌లను గీస్తాము:

-1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 + ప్రాంతాలలో ప్రతి అసమానత చిహ్నాన్ని నిర్ధారిద్దాం

అసమానతకు పరిష్కారం అనేది ప్లస్ గుర్తును కలిగి ఉన్న ప్రాంతాల నుండి పాయింట్ల సమితి మరియు సమీకరణానికి పరిష్కారాలు -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

నం. 485 (బి) నం. 486 (బి, డి) నం. 1. అసమానతను సెట్ చేయండి మరియు కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై పాయింట్ల సమితిని గీయండి: ఎ) అబ్సిస్సా ఆర్డినేట్ కంటే ఎక్కువ; బి) అబ్సిస్సా మరియు ఆర్డినేట్ మొత్తం వాటి రెట్టింపు వ్యత్యాసం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

కలిసి పరిష్కరించడానికి సంఖ్య 2. అసమానత ద్వారా నిర్వచించండి A(1;4) మరియు B(3;5) పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ AB పైన ఉన్న ఒక ఓపెన్ హాఫ్-ప్లేన్. సమాధానం: y  0.5x +3.5 నం. 3. b యొక్క ఏ విలువల కోసం అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి 3x – b y + 7  0 సరళ రేఖ 3x – b y + 7 పైన ఉన్న ఓపెన్ హాఫ్-ప్లేన్‌ని సూచిస్తుంది = 0. సమాధానం: బి  0.

హోంవర్క్ P. 21, నం. 483; నం. 484(c,d); నం. 485(ఎ); నం. 486(సి).

ప్రివ్యూ:

ప్రెజెంటేషన్ ప్రివ్యూలను ఉపయోగించడానికి, Google ఖాతాను సృష్టించండి మరియు దానికి లాగిన్ చేయండి: https://accounts.google.com

స్లయిడ్ శీర్షికలు:

రెండు వేరియబుల్స్ మరియు వాటి సిస్టమ్స్‌తో అసమానతలు పాఠం 2

రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థలు

రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారం వేరియబుల్స్ యొక్క ఒక జత విలువలు, ఇది సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి అసమానతలను నిజమైన సంఖ్యా అసమానతగా మారుస్తుంది. సంఖ్య 1. అసమానతల వ్యవస్థలకు పరిష్కారాల సమితిని గీయండి. నం. 496 (మౌఖిక)

ఎ) x y 2 2 x y 2 2 b)

నం. 1ని కలిసి పరిష్కరిద్దాం. ఏ k విలువలతో అసమానతల వ్యవస్థ కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో త్రిభుజాన్ని నిర్వచిస్తుంది? సమాధానం: 0

మేము x y 2 2 2 2 నం. 2ని కలిసి పరిష్కరిస్తాము. A(0;5), B(4;0), C(1;-2), D(-4;2) శీర్షాలతో ఫిగర్ ఒక త్రిభుజాన్ని చూపుతుంది. అసమానతల వ్యవస్థతో ఈ చతుర్భుజాన్ని నిర్వచించండి. ఎ బి సి డి

కలిసి పరిష్కరించడానికి లెట్ సంఖ్య 3. అసమానతల వ్యవస్థ ద్వారా నిర్వచించబడిన కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క పాయింట్ల సమితి k మరియు b దేనికి: a) స్ట్రిప్; బి) కోణం; సి) ఖాళీ సెట్. సమాధానం: a) k= 2,b  3; బి) k ≠ 2, b - ఏదైనా సంఖ్య; సి) k = 2; బి

సంఖ్య 4ని కలిసి పరిష్కరిద్దాం. సమీకరణం ద్వారా ఏ అంకె ఇవ్వబడుతుంది? (మౌఖికంగా) 1) 2) 3) నం. 5. అసమానత ద్వారా పేర్కొన్న పాయింట్ల పరిష్కారాల సమితిని కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై గీయండి.

నం. 497 (సి, డి), 498 (సి) కలిసి పరిష్కరిద్దాం

హోంవర్క్ P.22 No. 496, No. 497 (a, b), No. 498 (a, b), No. 504.

ప్రివ్యూ:

స్లయిడ్ శీర్షికలు:

రెండు వేరియబుల్స్ మరియు వాటి సిస్టమ్స్‌తో అసమానతలు పాఠం 3

లోపాన్ని కనుగొనండి! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

లోపాన్ని కనుగొనండి! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2

అసమానతను నిర్ణయించండి 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 అసమానతను నిర్ణయించండి

0 - 3 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 అసమానత గుర్తును నిర్ణయించండి ≤

అసమానతల వ్యవస్థను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించండి -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

అసమానతలు మరియు రెండు వేరియబుల్స్ సంఖ్య 1 తో అధిక డిగ్రీల అసమానతల వ్యవస్థలు. అసమానతల వ్యవస్థ ద్వారా పేర్కొన్న పాయింట్ల సమితిని కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై గీయండి

అసమానతలు మరియు రెండు వేరియబుల్స్ సంఖ్య 2 తో అధిక డిగ్రీల అసమానతల వ్యవస్థలు. అసమానతల వ్యవస్థ ద్వారా పేర్కొన్న పాయింట్ల సమితిని కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై గీయండి

అసమానతలు మరియు రెండు వేరియబుల్స్ సంఖ్య 3 తో అధిక డిగ్రీల అసమానతల వ్యవస్థలు. అసమానతల వ్యవస్థ ద్వారా పేర్కొన్న పాయింట్ల సమితిని కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై గీయండి. సిస్టమ్ యొక్క మొదటి అసమానతను మనం మారుద్దాం:

అసమానతలు మరియు రెండు వేరియబుల్స్‌తో అధిక డిగ్రీల అసమానతల వ్యవస్థలు మేము సమానమైన వ్యవస్థను పొందుతాము

అసమానతలు మరియు రెండు వేరియబుల్స్ సంఖ్య 4 తో అధిక డిగ్రీల అసమానతల వ్యవస్థలు. అసమానతల వ్యవస్థ ద్వారా పేర్కొన్న పాయింట్ల సమితిని కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై గీయండి

గలిట్స్కీ యొక్క నం 502 కలెక్షన్ కలిసి నిర్ణయించుకుందాం. నం. 9.66 బి) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

. నం. 9.66(సి) కలిసి పరిష్కరించండి 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2

మేము కలిసి నం. 9.66(g) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y|

అసమానతను పరిష్కరించండి: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 అసమానతల వ్యవస్థను వ్రాయండి

11:11 3) అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితి ద్వారా ఏ సంఖ్య నిర్ణయించబడుతుంది? ప్రతి బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. 6) అసమానతల వ్యవస్థకు ఎన్ని జతల సహజ సంఖ్యలు పరిష్కారాలు? అటువంటి అన్ని సంఖ్యల మొత్తాన్ని లెక్కించండి. శిక్షణా వ్యాయామాల పరిష్కారం 2) రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థను వ్రాయండి, వీటి పరిష్కారాల సమితి మూర్తి 0 2 x y 2 1లో చూపబడింది) సమన్వయ విమానంలో సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారాల సమితిని గీయండి: 4) రింగ్‌ను నిర్వచించండి అసమానతల వ్యవస్థగా చిత్రంలో చూపబడింది. 5) అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి y x 0 5 10 5 10

శిక్షణా వ్యాయామాల పరిష్కారం 7) అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితి ఇచ్చిన ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి మరియు ఈ ఫిగర్ యొక్క పాయింట్ల మధ్య అత్యధిక దూరాన్ని కనుగొనండి 8) అసమానతల వ్యవస్థ m యొక్క ఏ విలువలో మాత్రమే ఉంటుంది ఒక పరిష్కారం? 9) అసమానతల వ్యవస్థ సమన్వయ సమతలంపై నిర్వచించే k మరియు b యొక్క కొన్ని విలువలను సూచించండి: a) స్ట్రిప్; బి) కోణం.

ఇది ఆసక్తికరంగా ఉంది.ఇంగ్లీషు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు థామస్ హారియట్ (Harriot T., 1560-1621) సుపరిచితమైన అసమానత గుర్తును ఈ క్రింది విధంగా వాదించాడు: “రెండు సమాంతర విభాగాలు సమానత్వానికి చిహ్నంగా పనిచేస్తే, ఖండన విభాగాలు అసమానతకు చిహ్నంగా ఉండాలి. ." 1585లో, యువ హారియట్‌ను ఇంగ్లాండ్ రాణి ఉత్తర అమెరికాకు అన్వేషణ యాత్రకు పంపింది. అక్కడ అతను భారతీయులలో ప్రసిద్ధి చెందిన పచ్చబొట్టును చూశాడు. అందుకే హ్యారియట్ అసమానత చిహ్నాన్ని దాని రెండు రూపాల్లో ప్రతిపాదించాడు: “>” కంటే గొప్పది... మరియు “

ఇది ఆసక్తికరంగా ఉంది. కఠినమైన పోలిక కోసం ≤ మరియు ≥ చిహ్నాలను 1670లో వాలిస్ ప్రతిపాదించారు. వాస్తవానికి, పంక్తి పోలిక గుర్తుకు పైన ఉంది మరియు ఇప్పుడు ఉన్నట్లుగా దాని క్రింద లేదు. ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పియరీ బౌగర్ (1734) మద్దతు తర్వాత ఈ చిహ్నాలు విస్తృతంగా వ్యాపించాయి, వీరి నుండి వారు తమ ఆధునిక రూపాన్ని పొందారు.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతx మరియు yరూపం యొక్క అసమానత అని పిలుస్తారు:

(లేదా సంతకం)

ఈ వేరియబుల్స్‌తో కొంత వ్యక్తీకరణ ఎక్కడ ఉంది.

నిర్ణయం ద్వారారెండు వేరియబుల్స్‌లోని అసమానతలు ఆర్డర్ చేయబడిన జత సంఖ్యలను పిలుస్తాయి, ఈ అసమానత నిజమైన సంఖ్యా అసమానతగా మారుతుంది.

అసమానతను పరిష్కరించండి- అంటే దాని అన్ని పరిష్కారాల సమితిని కనుగొనడం. రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతకు పరిష్కారం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని నిర్దిష్ట పాయింట్ల సెట్.

ఈ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన మార్గం గ్రాఫిక్పద్ధతి. ఇది సరిహద్దు రేఖలను గీయడంలో ఉంటుంది (అసమానత కఠినంగా ఉంటే, లైన్ చుక్కల రేఖతో గీస్తారు). ఇచ్చిన అసమానతలో అసమానత గుర్తును సమాన గుర్తుతో భర్తీ చేస్తే మేము సరిహద్దు సమీకరణాన్ని పొందుతాము. అన్ని పంక్తులు కలిసి కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌ను భాగాలుగా విభజిస్తాయి. ఇచ్చిన అసమానత లేదా అసమానతల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉండే అవసరమైన పాయింట్ల సెట్‌ను ప్రాంతంలోని ప్రతి ప్రాంతం లోపల నియంత్రణ పాయింట్‌ని తీసుకోవడం ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల సమితి రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

అసమానతలకు అన్ని పరిష్కారాల కలయికే జనాభాకు పరిష్కారం.

ఉదాహరణ 1.వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం.వ్యవస్థలో నిర్మించుకుందాం ఓహోసంబంధిత పంక్తులు (Fig. 19):

సమీకరణం కేంద్రీకృతమై ఉన్న వృత్తాన్ని నిర్వచిస్తుంది గురించి¢(0; 1) మరియు ఆర్ = 2.

వద్ద శీర్షంతో పారాబొలాను సమీకరణం నిర్వచిస్తుంది గురించి(0; 0).

వ్యవస్థలో చేర్చబడిన ప్రతి అసమానతలకు పరిష్కారాలను కనుగొనండి. మొదటి అసమానత సర్కిల్ లోపల ఉన్న ప్రాంతానికి మరియు సర్కిల్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది (ఈ ప్రాంతం నుండి ఏదైనా బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అసమానతలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే దీని యొక్క చెల్లుబాటు గురించి మాకు నమ్మకం ఉంటుంది). రెండవ అసమానత పారాబొలా కింద ఉన్న ప్రాంతానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.