Vektör koordinatları denir. Vektör koordinatları. Yön kosinüsleri. Koordinatlarla verilen iki vektörün toplamı

Sonunda bu kapsamlı ve uzun zamandır beklenen konuya kavuştum. analitik geometri. Öncelikle yüksek matematiğin bu bölümü hakkında biraz bilgi verelim... Artık sayısız teorem, bunların kanıtları, çizimleri vb. içeren bir okul geometri dersini hatırlıyorsunuzdur. Öğrencilerin önemli bir kısmı için sevilmeyen ve çoğunlukla anlaşılması güç bir konu olan ne saklanmalı? Garip bir şekilde analitik geometri daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. “Analitik” sıfatı ne anlama geliyor? Hemen aklıma iki klişe matematik tabiri geliyor: “grafiksel çözüm yöntemi” ve “analitik çözüm yöntemi.” Grafik yöntemi elbette grafiklerin ve çizimlerin yapımıyla ilişkilidir. Analitik Aynı yöntem sorunları çözmeyi içerir daha çok cebirsel işlemler yoluyla. Bu bağlamda, analitik geometrinin hemen hemen tüm problemlerini çözmeye yönelik algoritma basit ve şeffaftır; çoğu zaman gerekli formülleri dikkatlice uygulamak yeterlidir - ve cevap hazır! Hayır tabi ki çizim olmadan bunu yapmak hiç mümkün olmayacak, ayrıca malzemenin daha iyi anlaşılması için ihtiyacın ötesinde alıntı yapmaya çalışacağım.

Yeni açılan geometri dersleri teorik olarak tamamlanmış gibi görünmüyor; pratik problemlerin çözümüne odaklanıyor. Derslerime yalnızca benim bakış açıma göre pratik açıdan önemli olan şeyleri dahil edeceğim. Herhangi bir alt bölüm hakkında daha kapsamlı yardıma ihtiyacınız varsa, aşağıdaki oldukça erişilebilir literatürü öneririm:

1) Şaka değil, birkaç neslin aşina olduğu bir şey: Geometri üzerine okul ders kitabı, yazarlar - L.S. Atanasyan ve Şirketi. Bu okul soyunma odası askısı zaten 20 (!) yeniden basımdan geçti ve bu elbette sınır değil.

2) 2 ciltte geometri. Yazarlar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu lise için edebiyat, ihtiyacın olacak ilk cilt. Nadiren karşılaşılan görevler görüş alanımdan çıkabilir ve öğreticinin çok değerli yardımı olacaktır.

Her iki kitap da çevrimiçi olarak ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca sayfada bulabileceğiniz hazır çözümlerle arşivimi kullanabilirsiniz. Yüksek matematikteki örnekleri indirin.

Araçlar arasında yine kendi gelişimimi öneriyorum - yazılım paketi Analitik geometride hayatı büyük ölçüde kolaylaştıracak ve çok zaman kazandıracak.

Okuyucunun temel geometrik kavramlara ve şekillere aşina olduğu varsayılmaktadır: nokta, doğru, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini hatırlamanız tavsiye edilir, tekrarlayıcılara merhaba)

Şimdi sırasıyla ele alacağız: vektör kavramı, vektörlerle eylemler, vektör koordinatları. Devamını okumanızı tavsiye ederim en önemli makale Vektörlerin nokta çarpımı, ve ayrıca Vektör ve vektörlerin karışık çarpımı. Yerel bir görev - bu bağlamda bir segmentin bölünmesi - de gereksiz olmayacaktır. Yukarıdaki bilgilere dayanarak ustalaşabilirsiniz. düzlemdeki bir doğrunun denklemiİle en basit çözüm örnekleri, izin verecek geometri problemlerini çözmeyi öğrenin. Aşağıdaki makaleler de faydalıdır: Uzayda bir düzlemin denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak yol boyunca standart görevler dikkate alınacaktır.

Vektör kavramı. Ücretsiz vektör

Öncelikle bir vektörün okuldaki tanımını tekrarlayalım. Vektör isminde yönlendirilmiş başlangıcı ve bitişinin belirtildiği bir bölüm:

Bu durumda parçanın başı nokta, parçanın sonu ise noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yönçok önemli, eğer oku parçanın diğer ucuna hareket ettirirseniz bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör. Vektör kavramını fiziksel bir bedenin hareketiyle özdeşleştirmek uygundur: Kabul etmelisiniz ki bir enstitünün kapısından girmek veya bir enstitünün kapısından çıkmak tamamen farklı şeylerdir.

Bir düzlemin veya uzayın bireysel noktalarını sözde noktalar olarak düşünmek uygundur. sıfır vektör. Böyle bir vektör için son ve başlangıç ​​çakışır.

!!! Not: Burada ve ayrıca vektörlerin aynı düzlemde bulunduğunu veya uzayda yer aldıklarını varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.

Tanımlar: Birçoğu, adında ok bulunmayan çubuğu hemen fark etti ve üstte de bir ok olduğunu söyledi! Doğru, bunu bir okla yazabilirsiniz: , ancak bu da mümkündür gelecekte kullanacağım giriş. Neden? Görünüşe göre bu alışkanlık pratik nedenlerden dolayı gelişti; okuldaki ve üniversitedeki atıcılarımın çok farklı boyutlarda ve tüylü olduğu ortaya çıktı. Eğitim literatüründe bazen çivi yazısıyla hiç uğraşmazlar, ancak harfleri kalın harflerle vurgularlar: , böylece bunun bir vektör olduğunu ima ederler.

Bu stilistikti ve şimdi vektör yazmanın yolları hakkında:

1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir:
ve benzeri. Bu durumda ilk harf mutlaka vektörün başlangıç ​​noktasını, ikinci harf ise vektörün bitiş noktasını belirtir.

2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Özellikle, vektörümüz kısa olması açısından küçük bir Latin harfiyle yeniden tasarlanabilir.

Uzunluk veya modül sıfır olmayan bir vektöre parçanın uzunluğu denir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır. Mantıklı.

Vektörün uzunluğu modül işaretiyle gösterilir: ,

Biraz sonra bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz (ya da kime bağlı olarak tekrarlayacağız).

Bu, tüm okul çocuklarının aşina olduğu, vektörler hakkında temel bilgilerdi. Analitik geometride, sözde Ücretsiz vektör.

Basitçe söylemek gerekirse - vektör herhangi bir noktadan çizilebilir:

Bu tür vektörleri eşit olarak adlandırmaya alışkınız (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısından bunlar AYNI VEKTÖR veya Ücretsiz vektör. Neden ücretsiz? Çünkü problemleri çözerken, şu veya bu "okul" vektörünü ihtiyacınız olan uçağın veya uzayın HERHANGİ bir noktasına "bağlayabilirsiniz". Bu çok harika bir özellik! Rasgele uzunlukta ve yönde yönlendirilmiş bir parça hayal edin; sonsuz sayıda "klonlanabilir" ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında HER YERDE mevcuttur. Şöyle bir öğrenci söylüyor: Her hoca vektöre önem verir. Sonuçta, bu sadece esprili bir kafiye değil, her şey neredeyse doğru - oraya yönlendirilmiş bir bölüm de eklenebilir. Ama sevinmek için acele etmeyin, çoğu zaman acı çekenler öğrencilerin kendisidir =)

Bu yüzden, Ücretsiz vektör- Bu bir demet aynı yönlendirilmiş bölümler. Paragrafın başında verilen bir vektörün okul tanımı: “Yönlendirilmiş bir parçaya vektör denir…” anlamına gelir. özel belirli bir kümeden alınan ve düzlemde veya uzayda belirli bir noktaya bağlanan yönlendirilmiş bir bölüm.

Fizik açısından bakıldığında serbest vektör kavramının genel olarak yanlış olduğu ve uygulama noktasının önemli olduğu unutulmamalıdır. Aslında, benim aptal örneğimi geliştirmeye yetecek kadar aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan darbesi farklı sonuçlara yol açar. Fakat, özgür olmayan vektörler ayrıca vyshmat sürecinde de bulunur (oraya gitmeyin :)).

Vektörlerle yapılan eylemler. Vektörlerin doğrusallığı

Bir okul geometri kursu, vektörlerle birlikte bir dizi eylemi ve kuralı kapsar: Üçgen kuralına göre toplama, paralelkenar kuralına göre toplama, vektör farkı kuralı, bir vektörün bir sayı ile çarpılması, vektörlerin skaler çarpımı vb. Başlangıç ​​noktası olarak analitik geometri problemlerinin çözümüyle özellikle ilgili olan iki kuralı tekrarlayalım.

Üçgen kuralını kullanarak vektörleri ekleme kuralı

Sıfır olmayan iki rastgele vektörü düşünün ve:

Bu vektörlerin toplamını bulmanız gerekiyor. Tüm vektörlerin serbest olduğu düşünüldüğünden, vektörü bir kenara koyacağız. son vektör:

Vektörlerin toplamı vektördür. Kuralın daha iyi anlaşılması için, buna fiziksel bir anlam verilmesi tavsiye edilir: Bir cismin önce vektör boyunca, sonra da vektör boyunca ilerlemesine izin verin. O zaman vektörlerin toplamı, başlangıcı kalkış noktasında ve sonu varış noktasında olmak üzere ortaya çıkan yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Dedikleri gibi, vücut, toplamın ortaya çıkan vektörü boyunca bir zikzak boyunca veya belki de otopilotta çok eğilerek yoluna gidebilir.

Bu arada, eğer vektör ertelenirse başladı vektör, o zaman eşdeğerini elde ederiz paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.

İlk olarak vektörlerin eşdoğrusallığı hakkında. İki vektör denir doğrusal, eğer aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa. Kabaca söylemek gerekirse paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak bunlara atıfta bulunulurken her zaman "eşdoğrusal" sıfatı kullanılır.

İki eşdoğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yöne yönlendirilirse, bu tür vektörlere denir. ortak yönetmen. Oklar farklı yönleri gösteriyorsa vektörler zıt yönler.

Tanımlar: Vektörlerin doğrusallığı olağan paralellik sembolüyle yazılır: , detaylandırma mümkündür: (vektörler birlikte yönlendirilir) veya (vektörler zıt yönlendirilir).

İş bir sayı üzerindeki sıfır olmayan bir vektör, uzunluğu eşit olan bir vektördür ve ve vektörleri, ile birlikte ve zıt olarak yönlendirilir.

Bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını bir resim yardımıyla anlamak daha kolaydır:

Daha ayrıntılı olarak bakalım:

1 yön. Çarpan negatifse, vektör yön değiştirir tam tersine.

2) Uzunluk. Çarpan veya içinde yer alıyorsa, vektörün uzunluğu azalır. Yani vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğunun yarısı kadardır. Çarpan modülü birden büyükse vektörün uzunluğu artışlar zamanında.

3) Lütfen şunu unutmayın tüm vektörler eşdoğrusaldır, bir vektör diğeri aracılığıyla ifade edilirken, örneğin . Bunun tersi de doğrudur: Eğer bir vektör bir diğeri aracılığıyla ifade edilebiliyorsa, bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayıyla çarparsak eşdoğrusal hale geliriz(orijinaline göre) vektör.

4) Vektörler birlikte yönlendirilir. Vektörler ve aynı zamanda ortak yönlendirilirler. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörüne göre zıt yönlüdür.

Hangi vektörler eşittir?

İki vektör aynı yöndeyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir. Eş yönlülüğün, vektörlerin eşdoğrusallığını ima ettiğini unutmayın. Eğer şöyle dersek tanım hatalı (gereksiz) olur: "İki vektör eğer aynı doğru üzerindeyse, eş yönlüyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir."

Serbest vektör kavramı açısından bakıldığında, önceki paragrafta tartışıldığı gibi eşit vektörler aynı vektördür.

Düzlemde ve uzayda vektör koordinatları

İlk nokta düzlemdeki vektörleri dikkate almaktır. Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini gösterelim ve koordinatların başlangıç ​​noktasından başlayarak çizelim. Bekar vektörler ve:

Vektörler ve dikey. Ortogonal = Dik. Terimlere yavaş yavaş alışmanızı öneririm: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz eşdoğrusallık Ve diklik.

Tanım: Vektörlerin ortogonalliği olağan diklik sembolüyle yazılır, örneğin: .

Göz önünde bulundurulan vektörlere denir koordinat vektörleri veya ort. Bu vektörler oluşur temel yüzeyde. Çoğu kişi için temelin ne olduğu sezgisel olarak açıktır; daha ayrıntılı bilgi makalede bulunabilir; Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve kökeni tüm sistemi tanımlar - bu, üzerinde tam ve zengin bir geometrik yaşamın kaynadığı bir tür temeldir.

Bazen inşa edilmiş temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri dik olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani. temel vektörlerin uzunlukları bire eşittir.

Tanım: temel genellikle parantez içinde yazılır; kesin sırayla temel vektörler listelenir, örneğin: . Koordinat vektörleri yasaktır yeniden düzenleyin.

Herhangi düzlem vektör tek yol olarak ifade edilen:
, Nerede - sayılar bunlara denir vektör koordinatları bu temelde. Ve ifadenin kendisi isminde vektör ayrışmasıtemelde .

Servis edilen akşam yemeği:

Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Çizim, bir vektörü tabana ayrıştırırken az önce tartışılanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralı: ve;
2) Üçgen kuralına göre vektörlerin toplanması: .

Şimdi düzlemdeki herhangi bir noktadan vektörü zihinsel olarak çizin. Çürümesinin “amansızca onu takip edeceği” çok açık. İşte, vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi kendisiyle birlikte taşır." Bu özellik elbette her vektör için geçerlidir. Temel (serbest) vektörlerin başlangıç ​​noktasından itibaren çizilmesine gerek olmaması komiktir; örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve hiçbir şey değişmez! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok, çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve beklenmedik bir yerde size bir "kredi" çekecektir.

Vektörler, bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını tam olarak gösterir; vektör, temel vektörle birlikte yönlendirilir, vektör, temel vektörün tersi yönde yönlendirilir. Bu vektörler için koordinatlardan biri sıfıra eşitse bunu şu şekilde titizlikle yazabilirsiniz:


Ve bu arada temel vektörler şöyle: (aslında kendileri aracılığıyla ifade ediliyorlar).

Ve sonunda: , . Bu arada, vektör çıkarma nedir ve neden çıkarma kuralından bahsetmedim? Lineer cebirde bir yerde, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarmanın toplamanın özel bir durumu olduğunu belirtmiştim. Böylece “de” ve “e” vektörlerinin açılımları kolaylıkla toplam olarak yazılabilir: , . Bu durumlarda üçgen kuralına göre vektörlerin eski güzel toplamının ne kadar net çalıştığını görmek için çizimi takip edin.

Formun dikkate alınan ayrıştırması bazen vektör ayrıştırması denir ort sisteminde(yani birim vektörlerden oluşan bir sistemde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir; aşağıdaki seçenek yaygındır:

Veya eşittir işaretiyle:

Temel vektörlerin kendisi şu şekilde yazılır: ve

Yani vektörün koordinatları parantez içinde gösterilmiştir. Pratik problemlerde her üç gösterim seçeneği de kullanılır.

Konuşup konuşmamak konusunda tereddüt ettim ama yine de söyleyeyim: vektör koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle ilk sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz. Aslında ve iki farklı vektördür.

Uçağın koordinatlarını bulduk. Şimdi üç boyutlu uzayda vektörlere bakalım, burada hemen hemen her şey aynı! Sadece bir koordinat daha ekleyecek. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi bir vektörle sınırlayacağım ve basitlik açısından onu orijinden ayıracağım:

Herhangi 3 boyutlu uzay vektörü tek yol ortonormal bir temele göre genişletin:
, bu temelde vektörün (sayı) koordinatları nerededir.

Resimden örnek: . Burada vektör kurallarının nasıl çalıştığını görelim. İlk önce vektörü bir sayıyla çarpmak: (kırmızı ok), (yeşil ok) ve (ahududu oku). İkinci olarak, burada birkaç, bu durumda üç vektörün eklenmesine ilişkin bir örnek verilmiştir: . Toplam vektör başlangıç ​​noktasından (vektörün başlangıcı) başlar ve son varış noktasında (vektörün sonu) biter.

Üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de doğal olarak özgürdür; vektörü zihinsel olarak başka herhangi bir noktadan ayırmaya çalışın ve onun ayrışmasının "onunla kalacağını" anlayacaksınız.

Düz kasaya benzer, yazıya ek olarak parantezli versiyonlar yaygın olarak kullanılmaktadır: ya .

Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü eksikse, onların yerine sıfırlar konur. Örnekler:
vektör (titizlikle ) - Hadi yaz ;
vektör (titizlikle ) - Hadi yaz ;
vektör (titizlikle ) - Hadi yaz .

Temel vektörler aşağıdaki gibi yazılır:

Belki de analitik geometri problemlerini çözmek için gereken minimum teorik bilginin tamamı budur. Çok fazla terim ve tanım olabilir o yüzden çaydanlık yapanların bu bilgileri tekrar okuyup anlamalarını öneririm. Ve herhangi bir okuyucunun, materyali daha iyi özümsemesi için zaman zaman temel derse başvurması yararlı olacaktır. Eşdoğrusallık, ortogonallik, ortonormal temel, vektör ayrıştırması - bunlar ve diğer kavramlar gelecekte sıklıkla kullanılacaktır. Tüm teoremleri dikkatlice (ve kanıt olmadan) şifrelediğim için sitedeki materyallerin geometri üzerine teorik testi veya kolokyumu geçmek için yeterli olmadığını - bilimsel sunum tarzının zararına, ancak anlayışınıza bir artı - not ediyorum. konu. Detaylı teorik bilgi almak için lütfen Profesör Atanasyan'ın önünde eğilin.

Ve pratik kısma geçiyoruz:

Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlardaki vektörlerle yapılan işlemler

Tamamen otomatik olarak değerlendirilecek görevlerin ve formüllerin nasıl çözüleceğini öğrenmeniz önemle tavsiye edilir. ezberlemek, bunu bilerek hatırlamanıza bile gerek yok, kendileri hatırlayacaklardır =) Bu çok önemlidir, çünkü analitik geometrinin diğer problemleri en basit temel örneklere dayanmaktadır ve piyon yemeye fazladan zaman harcamak can sıkıcı olacaktır. . Gömleğinizin üst düğmelerini iliklemenize gerek yok; okuldan aşina olduğunuz birçok şey var.

Materyalin sunumu hem uçak hem de uzay açısından paralel bir seyir izleyecek. Çünkü tüm formülleri... kendiniz göreceksiniz.

İki noktadan bir vektör nasıl bulunur?

Düzlemin iki noktası verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Uzayda iki nokta verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektörün başlangıcı.

Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulma formüllerini yazın. Dersin sonunda formüller.

örnek 1

Düzlemin iki noktası verildiğinde ve . Vektör koordinatlarını bulun

Çözüm: uygun formüle göre:

Alternatif olarak aşağıdaki giriş kullanılabilir:

Buna estetik karar verecek:

Şahsen ben kaydın ilk versiyonuna alışkınım.

Cevap:

Koşula göre, bir çizim oluşturmak gerekli değildi (ki bu analitik geometri problemleri için tipiktir), ancak kuklalar için bazı noktaları açıklığa kavuşturmak amacıyla tembel olmayacağım:

Kesinlikle anlamalısın nokta koordinatları ve vektör koordinatları arasındaki fark:

Nokta koordinatları– bunlar dikdörtgen koordinat sistemindeki sıradan koordinatlardır. Sanırım herkes 5-6. sınıftan itibaren koordinat düzleminde noktaların nasıl çizileceğini biliyor. Her noktanın düzlemde kesin bir yeri vardır ve hiçbir yere taşınamazlar.

Vektörün koordinatları– bu, bu durumda temele göre genişlemesidir. Herhangi bir vektör serbesttir, dolayısıyla istenirse veya gerekliyse onu düzlemdeki başka bir noktadan kolaylıkla uzaklaştırabiliriz. İlginçtir ki vektörler için eksen veya dikdörtgen koordinat sistemi oluşturmanıza gerek yoktur; yalnızca bir tabana, bu durumda düzlemin ortonormal tabanına ihtiyacınız vardır.

Noktaların koordinatları ile vektörlerin koordinatlarının kayıtları benzer görünmektedir: , ve koordinatların anlamı kesinlikle farklı ve bu farkın çok iyi farkında olmalısınız. Bu fark elbette uzay için de geçerli.

Bayanlar ve baylar, ellerimizi dolduralım:

Örnek 2

a) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
b) Puan verilir Ve . Vektörleri bulun ve .
c) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
d) Puan verilir. Vektörleri bulun .

Belki bu yeterlidir. Bunlar kendi başınıza karar vermeniz için örneklerdir, ihmal etmemeye çalışın, karşılığını alacaktır ;-). Çizim yapmaya gerek yoktur. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.

Analitik geometri problemlerini çözerken önemli olan nedir? Ustaca yapılan “iki artı iki eşittir sıfır” hatasını yapmamak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Bir yerde hata yaptıysam hemen özür dilerim =)

Bir segmentin uzunluğu nasıl bulunur?

Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi modül işaretiyle gösterilir.

Düzlemin iki noktası verilirse ve o zaman parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.

Uzayda iki nokta verilirse, parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.

Not: Karşılık gelen koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır

Örnek 3

Çözüm: uygun formüle göre:

Cevap:

Netlik sağlamak için bir çizim yapacağım

Çizgi segmenti - bu bir vektör değil ve tabii ki onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca ölçekli çizim yaparsanız: 1 birim. = 1 cm (iki dizüstü bilgisayar hücresi), o zaman ortaya çıkan cevap, parçanın uzunluğu doğrudan ölçülerek normal bir cetvelle kontrol edilebilir.

Evet çözüm kısa ama burada açıklığa kavuşturmak istediğim birkaç önemli nokta daha var:

İlk olarak cevaba boyutu koyuyoruz: “birimler”. Koşul ne olduğunu söylemiyor; milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, matematiksel olarak doğru bir çözüm genel formülasyon olacaktır: "birimler" - "birimler" olarak kısaltılır.

İkinci olarak, yalnızca ele alınan görev için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:

dikkat et önemli teknik – çarpanı kökün altından kaldırmak. Hesaplamalar sonucunda bir sonuç elde ediyoruz ve iyi bir matematik tarzı, faktörün (mümkünse) kökün altından çıkarılmasını içerir. Daha ayrıntılı olarak süreç şöyle görünür: . Elbette cevabı olduğu gibi bırakmak bir hata olmayacaktır; ancak bu kesinlikle bir eksiklik ve öğretmen açısından saçma sapan bir argüman olacaktır.

İşte diğer yaygın durumlar:

Genellikle kök oldukça büyük bir sayı üretir; örneğin . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hesap makinesini kullanarak sayının 4'e bölünüp bölünmediğini kontrol ederiz: . Evet, tamamen bölünmüştü, dolayısıyla: . Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: . Sayının son rakamı tek olduğundan üçüncü kez 4'e bölmek elbette işe yaramayacaktır. Dokuza bölmeye çalışalım: . Sonuç olarak:
Hazır.

Çözüm: kökün altında bir bütün olarak çıkarılamayan bir sayı alırsak, o zaman faktörü kökün altından kaldırmaya çalışırız - bir hesap makinesi kullanarak sayının şu şekilde bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 vb.

Çeşitli problemleri çözerken sıklıkla köklerle karşılaşılır; öğretmenin yorumlarına göre çözümlerinizi sonuçlandırırken daha düşük not almaktan ve gereksiz sorunlardan kaçınmak için her zaman faktörleri kökün altından çıkarmaya çalışın.

Köklerin karesini almayı ve diğer kuvvetleri de tekrarlayalım:

Genel biçimde kuvvetlerle çalışmanın kuralları bir okul cebir ders kitabında bulunabilir, ancak verilen örneklerden her şeyin veya neredeyse her şeyin zaten açık olduğunu düşünüyorum.

Uzayda bir segmentle bağımsız çözüm görevi:

Örnek 4

Puanlar ve verilir. Segmentin uzunluğunu bulun.

Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?

Bir düzlem vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır.

Bir uzay vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır. .

Şimdiye kadar vektörlerin uzayda dikkate alındığına inanılıyordu. Bu andan itibaren düzlemde tüm vektörlerin dikkate alındığını varsayacağız. Ayrıca düzlem üzerinde karşılıklı olarak dik iki sayısal ekseni (yatay eksen ve dikey eksen) temsil eden bir Kartezyen koordinat sisteminin belirtildiğini (bu belirtilmemiş olsa bile) varsayacağız. . Daha sonra her nokta
düzlemde bir çift sayı atanmıştır
, onun koordinatları. Tersine, her sayı çifti
düzlemde bir sayı çifti olacak şekilde bir noktaya karşılık gelir
onun koordinatlarıdır.

Temel geometriden, eğer bir düzlemde iki nokta varsa,
Ve
, ardından mesafe
bu noktalar arası aşağıdaki formüle göre koordinatları ile ifade edilir

Düzlemde Kartezyen koordinat sistemi belirtilsin. Orth ekseni sembolüyle göstereceğiz ve eksenin birim vektörü sembol . Keyfi bir projeksiyon vektör eksen başına sembolüyle göstereceğiz
ve eksene projeksiyon sembol
.

İzin vermek - düzlemde rastgele bir vektör. Aşağıdaki teorem geçerlidir.

Teorem 22.

Herhangi bir vektör için uçakta bir çift sayı var

.

burada
,
.

Kanıt.

Bir vektör verilsin . Vektörü bir kenara bırakalım kökeninden. ile belirtelim vektör-projeksiyon vektörü eksen başına , Ve aracılığıyla vektör-projeksiyon vektörü eksen başına . O halde Şekil 21'den de görülebileceği gibi eşitlik sağlanır.

.

Teorem 9'a göre,

,

.

Haydi belirtelim
,
. Sonra alırız

.

Yani herhangi bir vektör için kanıtlanmıştır. bir çift sayı var
eşitlik doğru olacak şekilde

,

,

.

Farklı bir vektör konumuyla Kanıt eksenlere göre benzerdir.

Tanım.

Sayı çifti Ve öyle ki
, vektör koordinatları olarak adlandırılır . Sayı x koordinatı denir ve sayı oyun koordinatı

Tanım.

Koordinat eksenlerinin bir çift birim vektörü
düzlemde ortonormal taban denir. Herhangi bir vektörün temsili gibi
vektör ayrışımı denir temelde
.

Doğrudan vektör koordinatlarının tanımından, eğer vektörlerin koordinatları eşitse, vektörlerin de eşit olduğu sonucu çıkar. Bunun tersi de doğrudur.

Teorem.

Eşit vektörlerin koordinatları eşittir.

Kanıt.

,

Ve
. Hadi bunu kanıtlayalım
,
.

Vektörlerin eşitliğinden şu sonuç çıkıyor:

.

Diyelim ki
, A
.

Daha sonra
ve bu demek ki
ki bu doğru değil. Aynı şekilde eğer
, Ancak
, O
. Buradan
ki bu doğru değil. Son olarak şunu varsayarsak
Ve
, o zaman bunu anlıyoruz

.

Bu, vektörlerin Ve eşdoğrusallar. Ancak bunlar dik olduğundan bu doğru değildir. Bu nedenle, öyle kalıyor
,
Kanıtlanması gereken şey buydu.

Böylece vektörün koordinatları tamamen vektörün kendisini belirler. Koordinatları bilmek Ve vektör vektörün kendisini oluşturabilirsiniz , vektörleri oluşturduktan sonra
Ve
ve onları katlıyorum. Bu nedenle sıklıkla vektörün kendisi koordinat çifti olarak gösterilir ve yazılır
. Bu giriş şu anlama gelir:
.

Aşağıdaki teorem doğrudan vektör koordinatlarının tanımından kaynaklanmaktadır.

Teorem.

Vektörleri eklerken koordinatları toplanır ve bir vektör bir sayıyla çarpıldığında koordinatları bu sayıyla çarpılır. Bu ifadeler formda yazılmıştır.

.

Kanıt.

,

Teorem.

İzin vermek
ve vektörün başlangıcı noktadır koordinatları var
ve vektörün sonu bir noktadır
. Daha sonra vektörün koordinatları, aşağıdaki ilişkilerle uçlarının koordinatlarıyla ilişkilendirilir.

,

.

Kanıt.

İzin vermek
ve vektör, vektörün izdüşümü olsun eksen başına eksenle hizalanmış (bkz. Şekil 22). Daha sonra

T sayı doğrusunda bir parçanın uzunluğu olarak sağ ucun koordinatı eksi sol ucun koordinatına eşittir. Eğer vektör

eksenin tersi (Şekil 23'teki gibi), o zaman

Pirinç. 23.

Eğer
, o zaman bu durumda
ve sonra elde ederiz

.

Böylece vektörün herhangi bir konumu için
koordinat eksenlerine göre koordinatı eşittir

.

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki

.

Örnek.

Vektörün uçlarının koordinatları verilmiştir
:
. Vektör koordinatlarını bulun
.

Çözüm.

Aşağıdaki teorem, bir vektörün uzunluğunun koordinatları cinsinden bir ifadesini sağlar.

Teorem 15.

İzin vermek
.Daha sonra

.

Kanıt.

İzin vermek Ve - vektör projeksiyon vektörü eksende Ve , sırasıyla. O halde Teorem 9'un ispatında gösterildiği gibi eşitlik geçerlidir.

.

Aynı zamanda vektörler Ve karşılıklı olarak dik. Bu vektörleri üçgen kuralına göre topladığımızda bir dik üçgen elde ederiz (bkz. Şekil 24).

Pisagor teoremine göre elimizde

.

,

.

Buradan

,

.

.

.

Örnek.

.Bulmak .

Bir vektörün yön kosinüsleri kavramını tanıtalım.

Tanım.

vektör olsun
eksen ile birlikte köşe ve eksen ile köşe (Bkz. Şekil 25).

,

.

Buradan,

Herhangi bir vektör için eşitlik var

,

Nerede - vektör vektör yani birim uzunluktaki vektörle eş yönlü bir vektör , O

Vektör vektörün yönünü belirler . Koordinatları
Ve
vektörün yön kosinüsleri denir . Bir vektörün yön kosinüsleri, aşağıdaki formüller kullanılarak koordinatları aracılığıyla ifade edilebilir:

,

.

Bir ilişki var

.

Şimdiye kadar bu bölümde tüm vektörlerin aynı düzlemde yer aldığı varsayılmıştı. Şimdi uzaydaki vektörler için genelleme yapalım.

Uzayda eksenleri olan bir Kartezyen koordinat sisteminin verildiğini varsayacağız. ,Ve .

Eksen birim vektörleri ,Ve sembollerle göstereceğiz ,Ve sırasıyla (Şekil 26).

Düzlemdeki vektörler için elde edilen tüm kavram ve formüllerin genelleştirildiği gösterilebilir.

Pirinç. 26.

Uzaydaki vektörler. Üç vektör
uzayda ortonormal taban denir.

İzin vermek ,Ve - vektör projeksiyon vektörü eksende ,Ve , sırasıyla. Daha sonra

.

Sırasıyla

,

,

.

Eğer belirlersek

,

,

,

O zaman eşitliği elde ederiz

.

Temel vektörlerden önceki katsayılar ,Ve vektör koordinatları denir . Böylece herhangi bir vektör için uzayda üçlü sayı var ,,vektör koordinatları denir öyle ki bu vektör için aşağıdaki gösterim geçerlidir:

.

Vektör bu durumda aynı zamanda formda da belirtilir
. Bu durumda vektörün koordinatları, bu vektörün koordinat eksenlerine izdüşümlerine eşittir.

,

,

,

Nerede - vektör arasındaki açı ve eksen ,- vektör arasındaki açı ve eksen ,- vektör arasındaki açı ve eksen .

Vektör uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak koordinatları aracılığıyla ifade edilir

.

Eşit vektörlerin eşit koordinatlara sahip olduğu yönündeki ifadeler doğrudur; vektörler toplanırken koordinatları toplanır ve bir vektör bir sayıyla çarpıldığında koordinatları bu sayıyla çarpılır.
,
Ve
vektörün yön kosinüsleri denir . Formüllerle vektör koordinatlarıyla ilişkilidirler

,
,
.

Bu ilişkiyi ifade eder

Vektörün uçları ise
koordinatları var
,
, daha sonra vektörün koordinatları
ilişkilerle vektörün uçlarının koordinatlarıyla ilişkilidir

,

,

.

Örnek.

Puanlar veriliyor
Ve
. Vektör koordinatlarını bulun
.

Bir vektörün koordinatlarını bulmak matematikteki birçok problem için oldukça yaygın bir durumdur. Vektör koordinatlarını bulma yeteneği, benzer konulardaki daha karmaşık problemlerde size yardımcı olacaktır. Bu yazıda vektör koordinatlarını bulma formülüne ve çeşitli problemlere bakacağız.

Düzlemdeki bir vektörün koordinatlarını bulma

Uçak nedir? Düzlem, iki boyutlu bir uzay, iki boyutlu (x boyutu ve y boyutu) bir uzay olarak kabul edilir. Örneğin kağıt düzdür. Masanın yüzeyi düzdür. Hacimsiz herhangi bir şekil (kare, üçgen, yamuk) aynı zamanda bir düzlemdir. Bu nedenle, problem ifadesinde bir düzlem üzerinde bulunan bir vektörün koordinatlarını bulmanız gerekiyorsa, x ve y'yi hemen hatırlarız. Böyle bir vektörün koordinatlarını şu şekilde bulabilirsiniz: Vektörün AB koordinatları = (xB – xA; yB – xA). Formül, başlangıç ​​noktasının koordinatlarını bitiş noktasının koordinatlarından çıkarmanız gerektiğini gösterir.

Örnek:

• Vektör CD'sinin başlangıç ​​(5; 6) ve son (7; 8) koordinatları vardır.
• Vektörün kendisinin koordinatlarını bulun.
• Yukarıdaki formülü kullanarak şu ifadeyi elde ederiz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Böylece CD vektörünün koordinatları = (2; 2).
• Buna göre x koordinatı ikiye eşit, y koordinatı da ikidir.

Uzaydaki bir vektörün koordinatlarını bulma

Uzay nedir? Uzay zaten üç koordinatın verildiği üç boyutlu bir boyuttur: x, y, z. Uzayda bulunan bir vektör bulmanız gerekiyorsa formül pratikte değişmez. Yalnızca bir koordinat eklenir. Bir vektör bulmak için başlangıç ​​koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarmanız gerekir. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Örnek:

• DF vektörünün başlangıcı (2; 3; 1) ve sonu (1; 5; 2) vardır.
• Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz: Vektör koordinatları DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Koordinat değerinin negatif olabileceğini unutmayın, sorun yok.

Vektör koordinatları çevrimiçi olarak nasıl bulunur?

Herhangi bir nedenle koordinatları kendiniz bulmak istemiyorsanız çevrimiçi hesap makinesini kullanabilirsiniz. Başlamak için vektör boyutunu seçin. Bir vektörün boyutu onun boyutlarından sorumludur. Boyut 3, vektörün uzayda olduğu, boyut 2 ise düzlemde olduğu anlamına gelir. Daha sonra, noktaların koordinatlarını uygun alanlara girin; program sizin için vektörün koordinatlarını belirleyecektir. Her şey çok basit.

Butona tıkladığınızda sayfa otomatik olarak aşağıya doğru kaydırılacak ve çözüm adımlarıyla birlikte size doğru cevabı verecektir.

Bu konunun iyi incelenmesi önerilir çünkü vektör kavramı sadece matematikte değil fizikte de bulunur. Bilişim Teknolojileri Fakültesi öğrencileri de vektörler konusunu inceliyorlar, ancak daha karmaşık bir düzeyde.

Vektörün bir düzlem üzerinde veya uzayda belirlenmesi yani yönü ve uzunluğu hakkında bilgi verilmesi gerekmektedir.

Vektör koordinatları

Dikdörtgensel bir Kartezyen koordinat sistemi (RCCS) $x O y$ ve orijini koordinat sisteminin orijini ile çakışan rastgele bir $\overline(a)$ vektörü verilsin (Şekil 1).

Tanım

Vektör koordinatları$\overline(a)$, belirli bir vektörün sırasıyla $O x$ ve $O y$ eksenleri üzerindeki $a_(x)$ ve $a_(y)$ projeksiyonlarıdır:

$a_(x)$ miktarına denir vektörün apsisi$\overline(a)$ ve $a_(y)$ sayısı onun koordine etmek. $\overline(a)$ vektörünün $a_(x)$ ve $a_(y)$ koordinatlarına sahip olduğu gerçeği şu şekilde yazılır: $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y) ) \sağ)$.

Örnek

$\overline(a)=(5 ;-2)$ gösterimi, $\overline(a)$ vektörünün aşağıdaki koordinatlara sahip olduğu anlamına gelir: apsis 5, ordinat -2'dir.

Koordinatlarla verilen iki vektörün toplamı

$\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y)\right)$ ve $\overline(b)=\left(b_(x) ; b_(y)\right)$ verilsin , bu durumda $\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)$ vektörü $\left(a_(x)+b_(x) ; a_(y)+b_(y)\right koordinatlarına sahiptir )$ (Şekil 2).

Tanım

İle iki vektörün toplamını bulun Koordinatlarına göre verildiğinde karşılık gelen koordinatları eklemeniz gerekir.

Örnek

Egzersiz yapmak. Verilen $\overline(a)=(-3 ; 5)$ ve $\overline(b)=(0 ;-1)$. $\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)$ vektörünün koordinatlarını bulun

Çözüm.$\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 4)$

Bir vektörü bir sayıyla çarpmak

$\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y)\right)$ verilirse, $m \overline(a)$ vektörünün $m \overline(a)=\left koordinatları vardır ( m a_(x) ; m a_(y)\right)$, burada $m$ belirli bir sayıdır (Şekil 3).

Örnek

Egzersiz yapmak. Vektör $\overline(a)=(3 ;-2)$. 2$\overline(a)$ vektörünün koordinatlarını bulun

Çözüm.$2 \overline(a)=2 \cdot(3 ;-2)=(2 \cdot 3 ; 2 \cdot(-2))=(6 ;-4)$

Vektörün orijininin koordinat sisteminin orijini ile çakışmadığı durumu da ele alalım. PDCS'de iki $A\left(a_(x) ; a_(y)\right)$ ve $B\left(b_(x) ; b_(y)\right)$ noktasının verildiğini varsayalım. Daha sonra $\overline(A B)=\left(x_(1) ; y_(1)\right)$ vektörünün koordinatları aşağıdaki formüllere göre bulunur (Şekil 4):

$x_(1)=b_(x)-a_(x), y_(1)=b_(y)-a_(y)$

Tanım

İle vektör koordinatlarını bul Başlangıç ​​ve bitiş koordinatları ile verilen başlangıç ​​koordinatlarının bitiş koordinatlarından çıkarılması gerekir.

Örnek

Egzersiz yapmak.$\overline(A B)$ if $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$ vektörünün koordinatlarını bulun

Çözüm.$\overline(A B)=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$

Yön kosinüsleri

Tanım

Bir vektörün yön kosinüsleri koordinat eksenlerinin pozitif yönlerine sahip bir vektörün oluşturduğu açıların kosinüsleri denir.

Vektörün yönü, yön kosinüsleri ile benzersiz bir şekilde belirtilir. Bir birim vektör için yön kosinüsleri koordinatlarına eşittir.

Uzayda bir $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y) ; a_(z)\right)$ vektörü verilmişse, yön kosinüsleri aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

$\cos \alpha=\frac(a_(x))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2))), \cos \ beta=\frac(a_(y))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2))), \cos \gamma=\frac (a_(z))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2)))$

Burada $\alpha$, $\beta$ ve $\gamma$ sırasıyla $O x$, $O y$ ve $O z$ eksenlerinin pozitif yönleriyle vektör tarafından yapılan açılardır.