Çift ve tek fonksiyonların tanımı. Çift ve tek fonksiyonlar. Periyodik fonksiyonlar

Bunlar size bir dereceye kadar tanıdık geliyordu. Burada ayrıca fonksiyon özellikleri stoğunun kademeli olarak yenileneceği de belirtildi. Bu bölümde iki yeni özellik ele alınacaktır.

Tanım 1.

y = f(x), x є X fonksiyonu, X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = f(x) eşitliği sağlansa bile çağrılır.

Tanım 2.

X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanıyorsa, y = f(x), x є X fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

y = x 4'ün çift fonksiyon olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Elimizde: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ama(-x) 4 = x 4. Bu, herhangi bir x için f(-x) = f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon eşittir.

Benzer şekilde y - x 2, y = x 6, y - x 8 fonksiyonlarının çift olduğu kanıtlanabilir.

y = x 3 ~'in tek bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Elimizde: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ama (-x) 3 = -x 3. Bu, herhangi bir x için f(-x) = -f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon tuhaftır.

Benzer şekilde y = x, y = x 5, y = x 7 fonksiyonlarının tek olduğu kanıtlanabilir.

Siz ve ben, matematikteki yeni terimlerin çoğu zaman "dünyevi" bir kökene sahip olduğuna defalarca ikna olduk, yani. bir şekilde açıklanabilirler. Bu durum hem çift hem de tek fonksiyonlarda geçerlidir. Bakınız: y - x 3, y = x 5, y = x 7 tek fonksiyonlardır, y = x 2, y = x 4, y = x 6 ise çift fonksiyonlardır. Ve genel olarak, n'nin bir doğal sayı olduğu y = x" formundaki herhangi bir fonksiyon için (aşağıda bu fonksiyonları özellikle inceleyeceğiz), şu sonuca varabiliriz: eğer n tek bir sayı ise, o zaman y = x" fonksiyonu şu şekildedir: garip; n bir çift sayı ise y = xn fonksiyonu çifttir.

Ayrıca ne çift ne de tek olan fonksiyonlar da vardır. Örneğin y = 2x + 3 fonksiyonu böyledir. Aslında f(1) = 5 ve f(-1) = 1. Dolayısıyla burada da görebildiğiniz gibi f(-x) = özdeşliği de yoktur. f ( x), ne de f(-x) = -f(x) özdeşliği.

Yani bir fonksiyon çift olabilir, tek olabilir veya ikisi de olmayabilir.

Belirli bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunun incelenmesine genellikle eşlik çalışması denir.

Tanım 1 ve 2'de Hakkında konuşuyoruz fonksiyonun x ve -x noktalarındaki değerleri hakkında. Bu, fonksiyonun hem x noktasında hem de -x noktasında tanımlandığını varsayar. Bu, -x noktasının, x noktasıyla aynı anda fonksiyonun tanım bölgesine ait olduğu anlamına gelir. Eğer bir X sayısal kümesi, x öğelerinin her biri ile birlikte karşıt öğe olan -x'i de içeriyorsa, X'e simetrik küme adı verilir. Diyelim ki (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrik kümeler, )