Son zamanlarda, görev C2'de bir çokyüzlünün bir bölümünü düzlemle oluşturmanın ve alanını bulmanın gerekli olduğu sorunlar ortaya çıktı. Bu görev demo versiyonunda önerilmiştir. Ortogonal projeksiyon alanı boyunca kesit alanını bulmak genellikle uygundur. Sunumda böyle bir çözüm için bir formül ve bir dizi çizim eşliğinde sorunun ayrıntılı bir analizi sunulmaktadır.

İndirmek:

Önizleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2014'e hazırlık. Ortogonal izdüşümü alanı boyunca kesit alanını bulma. Görev C2 Matematik öğretmeni MBOU Krasnoyarsk Knyazkina T.V. 143 No'lu Ortaokulu.

Aşağıdaki problemin çözümünü düşünelim: Dikdörtgen bir paralelyüzde, . Paralel borunun kesiti B ve D noktalarından geçer ve ABC düzlemi ile bir açı oluşturur. Kesit alanını bulun. Ortogonal projeksiyon alanı boyunca kesit alanını bulmak genellikle uygundur. Dik izdüşümünün alanı boyunca bir üçgenin alanını bulmak, aşağıdaki şekilde kolayca gösterilmektedir:

CH, ABC üçgeninin yüksekliğidir, C 'H, ABC üçgeninin dik izdüşümü olan ABC " üçgeninin yüksekliğidir. CHC dik üçgeninden ": ABC üçgeninin alanı " üçgenin alanıdır. ABC'dir Bu nedenle ABC üçgeninin alanı, ABC üçgeninin alanına, ABC üçgeninin dik izdüşümü olan ABC üçgeni ile ABC üçgeni arasındaki açının kosinüsüne bölünür.

Herhangi bir çokgenin alanı, üçgenlerin alanlarının toplamı olarak temsil edilebildiğinden, çokgenin alanı, düzlem üzerindeki dik izdüşümü alanının, üçgenler arasındaki açının kosinüsüne bölünmesine eşittir. çokgenin düzlemleri ve izdüşümü. Sorunumuzu çözmek için bu gerçeği kullanıyoruz (bkz. slayt 2). Çözüm planı aşağıdaki gibidir: A) Bir bölüm oluşturun. B) Taban düzlemine dik izdüşümünü bulun. C) Dik izdüşümü alanını bulun. D) Kesit alanını bulun.

1. Öncelikle bu bölümü oluşturmamız gerekiyor. Açıkçası, BD segmenti kesit düzlemine ve taban düzlemine aittir, yani düzlemlerin kesişme çizgisine aittir:

İki düzlem arasındaki açı, düzlemlerin kesişim çizgisine çizilen ve bu düzlemlerin içinde yer alan iki dikme arasındaki açıdır. Tabanın köşegenlerinin kesişme noktası O olsun. OC – taban düzleminde yer alan düzlemlerin kesişme çizgisine dik:

2. Kesit düzleminde yer alan dikmenin konumunu belirleyin. (Düz bir çizginin eğik olanın izdüşümüne dik olması durumunda, eğik olana da dik olduğunu unutmayın. Eğik olanı izdüşümüne (OC) ve çıkıntı ile eğik olan arasındaki açıya göre ararız) . COC ₁ açısının OC ₁ ile OC arasındaki tanjantını bulalım

Bu nedenle kesme düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açı OC₁ ve OC arasındaki açıdan daha büyüktür. Yani kesit şu şekilde konumlandırılmıştır: K, OP ile A ₁C₁, LM||B₁D₁'nin kesişme noktasıdır.

İşte bölümümüz: 3. BLMD bölümünün taban düzlemine izdüşümünü bulalım. Bunu yapmak için L ve M noktalarının izdüşümlerini buluyoruz.

Dörtgen BL ₁M₁D – kesitin taban düzlemine izdüşümü. 4. BL ₁M₁D dörtgeninin alanını bulun. Bunu yapmak için L ₁CM₁ üçgeninin alanını BCD üçgeninin alanından çıkarın. L ₁CM₁ üçgeninin alanını bulun. L ₁CM₁ üçgeni BCD üçgenine benzer. Benzerlik katsayısını bulalım.

Bunu yapmak için OPC ve OKK₁ üçgenlerini göz önünde bulundurun: Sonuç olarak, L₁CM₁ üçgeninin alanı BCD üçgeninin alanının 4/25'idir (benzer şekillerin alanlarının oranı benzerlik katsayısının karesine eşittir) . O zaman BL₁M₁D dörtgeninin alanı BCD üçgeninin alanının 1-4/25=21/25'ine eşittir ve şuna eşittir:

5. Şimdi 6'yı bulalım. Ve sonunda şunu elde ediyoruz: Cevap: 112

Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar

"Mühendislik Bilgisayar Grafikleri" disiplinindeki test çalışması, uyumluluğu sağlamaya yönelik dört test görevinden oluşur. Görevleri tamamlamak için 15-20 dakika ayrılmıştır....

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2014'e hazırlık. Türevlerin ve antitürevlerin uygulanması (Birleşik Devlet Sınavı görevlerinin açık bankasından B8 prototipleri)

Açık Birleşik Devlet Sınavı görev bankasından çeşitli B8 prototiplerine teori ve çözümlerle ilgili kısa bir kurs içeren sunum. İnteraktif bir beyaz tahtada veya öğrencilerin bilgisayarlarında kendi kendine hazırlık için kullanılabilir....

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2014'e hazırlık. C1 görevinin çözümü.

Materyal, C1 görevine (trigonometrik denklem) çözümler ve aralığa ait kökleri seçmenin 4 yolunu sunar: trigonometrik bir daire kullanmak, bir fonksiyonun grafiğini kullanmak, numaralandırma...

Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının, belirli bir çizgi ile onun düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açı olduğunu hatırlayalım (Şekil 164).

Teorem. Bir çokgenin bir düzlem üzerine dik izdüşümü alanı, yansıtılan çokgenin alanı ile çokgen düzlemi ve izdüşüm düzlemi tarafından oluşturulan açının kosinüsüne eşittir.

Her çokgen, alanları toplamı çokgenin alanına eşit olan üçgenlere bölünebilir. Bu nedenle bir üçgen için teoremi kanıtlamak yeterlidir.

\(\Delta\)ABC'nin düzleme izdüşümü olsun R. İki durumu ele alalım:

a) \(\Delta\)ABC kenarlarından biri düzleme paraleldir R;

b) \(\Delta\)ABC'nin hiçbir kenarı paralel değildir R.

düşünelim ilk durum: izin ver [AB] || R.

(AB) üzerinden bir düzlem çizelim R 1 || R ve \(\Delta\)ABC'yi dik olarak yansıtın R 1 ve sonrası R(Şekil 165); \(\Delta\)ABC 1 ve \(\Delta\)ABC'yi elde ederiz.

İzdüşüm özelliğiyle \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC'ye sahibiz ve dolayısıyla

S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)ABC

⊥ ve D 1 C 1 parçasını çizelim. O halde ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ \(\Delta\) ABC düzlemi ile düzlem arasındaki açının değeridir R 1. Bu yüzden

S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |AB| |CD1 | çünkü φ = S \(\Delta\)ABC çünkü φ

ve dolayısıyla S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)ABC cos φ.

Düşünmeye devam edelim ikinci durum. Bir uçak çizelim R 1 || R bu köşe \(\Delta\)ABC boyunca, düzleme olan mesafe R en küçüğü (bu A köşesi olsun).

Düzlemde \(\Delta\)ABC'yi tasarlayalım R 1 ve R(Şekil 166); izdüşümleri sırasıyla \(\Delta\)AB 1 C 1 ve \(\Delta\)ABC olsun.

(BC)\(\cap\) olsun P 1 = D. O halde

S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \( \Delta\)ADB) çünkü φ = S \(\Delta\)ABC çünkü φ

Görev. Bir düzgün üçgen prizmanın taban tarafından taban düzlemine φ = 30° açı yapan bir düzlem çiziliyor. Prizmanın tabanının tarafı ise ortaya çıkan kesitin alanını bulun A= 6cm.

Bu prizmanın kesitini gösterelim (Şekil 167). Prizma düzenli olduğundan yan kenarları taban düzlemine diktir. Bu, \(\Delta\)ABC'nin \(\Delta\)ADC'nin bir izdüşümü olduğu anlamına gelir, dolayısıyla
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
veya
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$

Bölüm IV. Uzayda düz çizgiler ve düzlemler. Çokyüzlüler

§ 55. Bir çokgenin projeksiyon alanı.

Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının, belirli bir çizgi ile onun düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açı olduğunu hatırlayalım (Şekil 164).

Teorem. Bir çokgenin bir düzlem üzerine dik izdüşümü alanı, yansıtılan çokgenin alanı ile çokgen düzlemi ve izdüşüm düzlemi tarafından oluşturulan açının kosinüsüne eşittir.

Her çokgen, alanları toplamı çokgenin alanına eşit olan üçgenlere bölünebilir. Bu nedenle bir üçgen için teoremi kanıtlamak yeterlidir.

İzin vermek /\ ABC bir uçağa yansıtılıyor R. İki durumu ele alalım:
a)taraflardan biri /\ ABC düzleme paraleldir R;
b) hiçbir taraf /\ ABC paralel değil R.

düşünelim ilk durum: izin ver [AB] || R.

(AB) üzerinden bir düzlem çizelim R 1 || R ve dikey olarak tasarlayın /\ ABC açık R 1 ve sonrası R(Şekil 165); aldık /\ ABC 1 ve /\ ABC".
Sahip olduğumuz projeksiyon özelliği ile /\ alfabe 1 /\ A"B"C" ve dolayısıyla

S /\ ABC1=S /\ ABC"

__|_ ve D 1 C 1 parçasını çizelim. O halde _|_ , a = φ düzlem arasındaki açının değeridir /\ ABC ve uçak R 1. Bu yüzden

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD1 | çünkü φ = S /\ ABC çünkü φ

ve bu nedenle S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Düşünmeye devam edelim ikinci durum. Bir uçak çizelim R 1 || Rşu tepenin üstünde /\ ABC, uçağa olan mesafe R en küçüğü (bu A köşesi olsun).
Haydi tasarlayalım /\ ABC uçakta R 1 ve R(Şekil 166); projeksiyonları sırasıyla olsun /\ AB 1 C 1 ve /\ ABC".

Let (güneş) P 1 = D. O halde

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) çünkü φ = S /\ ABC çünkü φ

Görev. Bir düzgün üçgen prizmanın taban tarafından taban düzlemine φ = 30° açı yapan bir düzlem çiziliyor. Prizmanın tabanının tarafı ise ortaya çıkan kesitin alanını bulun A= 6cm.

Bu prizmanın kesitini gösterelim (Şekil 167). Prizma düzenli olduğundan yan kenarları taban düzlemine diktir. Araç, /\ ABC bir projeksiyondur /\ Bu nedenle ADC

Çokgen ortogonal projeksiyon teoreminin ayrıntılı kanıtı

Bir dairenin izdüşümü ise N -bir düzleme gidiyorsak, çokgenlerin düzlemleri arasındaki açı nerede olur? Başka bir deyişle, bir düzlem çokgenin izdüşüm alanı, yansıtılan çokgenin alanının çarpımına ve izdüşüm düzlemi ile yansıtılan çokgenin düzlemi arasındaki açının kosinüsüne eşittir.

Kanıt. BEN sahne. Önce üçgenin ispatını yapalım. 5 durumu ele alalım.

1 vaka. projeksiyon düzleminde yatmak .

Sırasıyla noktaların düzlem üzerindeki izdüşümleri olsun. Bizim durumumuzda. Bunu varsayalım. Yükseklik olsun, o zaman üç dik teoremi ile şu sonuca varabiliriz: - yükseklik (- eğimli olanın izdüşümü, - tabanı ve eğimli tabandan geçen düz çizgi ve).

Düşünelim. Dikdörtgendir. Kosinüs tanımı gereği:

Öte yandan, ve, tanımı gereği, düzlemlerin yarı düzlemleri tarafından ve sınır düz çizgisiyle oluşturulan dihedral açının doğrusal açısıdır ve dolayısıyla ölçüsü aynı zamanda düzlemler arasındaki açının ölçüsüdür. yani üçgenin izdüşümü düzlemleri ve üçgenin kendisi.

Alanın oranını bulalım:

Formülün şu durumlarda bile doğru kaldığını unutmayın. Bu durumda

Durum 2. Yalnızca projeksiyon düzleminde bulunur ve projeksiyon düzlemine paraleldir .

Sırasıyla noktaların düzlem üzerindeki izdüşümleri olsun. Bizim durumumuzda.

Noktadan geçen düz bir çizgi çizelim. Bizim durumumuzda düz çizgi projeksiyon düzlemiyle kesişir; bu, lemma yoluyla düz çizginin projeksiyon düzlemiyle de kesiştiği anlamına gelir. Noktada olsun, o zaman noktalar aynı düzlemde yer aldığından ve projeksiyon düzlemine paralel olduğundan, doğrunun ve düzlemin paralellik işaretinin sonucu olarak bunu takip eder. Bu nedenle paralelkenardır. Düşünelim ve. Üç tarafı eşittirler (ortak taraf, paralelkenarın karşıt kenarları gibidir). Bir dörtgenin bir dikdörtgen olduğunu ve eşit olduğunu (bacak ve hipotenüs boyunca), dolayısıyla üç kenarının da eşit olduğunu unutmayın. Bu yüzden.

Uygulanabilir durum 1 için: , yani.

Durum 3. Yalnızca projeksiyon düzleminde bulunur ve projeksiyon düzlemine paralel değildir .

Nokta, çizginin projeksiyon düzlemiyle kesişme noktası olsun. Bunu not edin ve. 1 durumda: i. Böylece bunu anlıyoruz

Durum 4 Köşeler projeksiyon düzleminde yer almıyor . Dik açılara bakalım. Bu dikmelerden en küçüğünü alalım. Dik olsun. Sadece ya da sadece olduğu ortaya çıkabilir. O zaman yine de alırız.

Bir doğru parçası üzerindeki bir noktadan bir noktayı şöyle ve bir doğru parçası üzerindeki bir noktadan bir noktayı şöyle ayıralım. Bu yapı diklerin en küçüğü olduğu için mümkündür. Bunun bir projeksiyon olduğunu ve inşaat gereği olduğunu unutmayın. Bunu ve eşit olduğumuzu kanıtlayalım.

Bir dörtgen düşünün. Koşula göre - bir düzleme dik, dolayısıyla teoreme göre. Yapı gereği, bir paralelkenarın özelliklerine (paralel ve eşit zıt kenarlara göre) dayanarak, bunun bir paralelkenar olduğu sonucuna varabiliriz. Araç, . Benzer şekilde, kanıtlanmıştır. Bu nedenle ve üç tarafı eşittir. Bu yüzden. Paralelkenarların karşıt kenarları olarak, dolayısıyla düzlemlerin paralelliğine dayalı olarak, . Bu düzlemler paralel olduğundan izdüşüm düzlemiyle aynı açıyı oluştururlar.

Önceki durumlar geçerlidir:.

Durum 5 Projeksiyon düzlemi kenarlarla kesişiyor . Düz çizgilere bakalım. Projeksiyon düzlemine diktirler, dolayısıyla teoreme göre paraleldirler. Kökenleri noktalarda olan eş yönlü ışınlarda, köşeler projeksiyon düzleminin dışında kalacak şekilde sırasıyla eşit bölümler çizeceğiz. Bunun bir projeksiyon olduğunu ve inşaat gereği olduğunu unutmayın. Eşit olduğunu gösterelim.

O zamandan beri ve inşaat yoluyla. Bu nedenle, bir paralelkenarın (iki eşit ve paralel kenardaki) özelliğine göre, bir paralelkenardır. Benzer şekilde ve'nin paralelkenar olduğu kanıtlanır. Ama o zaman ve (karşıt taraflar olarak) bu nedenle üç tarafta eşittir. Araç, .

Ayrıca ve dolayısıyla düzlemlerin paralelliğine dayanmaktadır. Bu düzlemler paralel olduğundan izdüşüm düzlemiyle aynı açıyı oluştururlar.

Geçerli durum 4 için:.

II sahne. Düz bir çokgeni tepe noktasından çizilen köşegenleri kullanarak üçgenlere bölelim: Daha sonra üçgenler için daha önceki durumlara göre: .

Q.E.D.