y = f(x) fonksiyonu X aralığında tanımlı olsun. Türev xo noktasındaki y = f(x) fonksiyonuna limit denir

= .

Eğer bu sınır sonlu, o zaman f(x) fonksiyonu çağrılır türevlenebilir bu noktada X O;

Üstelik bu noktada zorunlu olarak sürekli olduğu ortaya çıkıyor. Söz konusu limit  (veya - )'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla O X Söz konusu limit  (veya - )'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla O sürekli olduğundan, f(x) fonksiyonunun şu noktada olduğunu söyleyeceğiz:.

sonsuz türev

Türev sembollerle gösterilir

y , f (xo), , . Türevini bulmaya denir farklılaşma işlevler. Türevin geometrik anlamı türev şu ki eğim Söz konusu limit  (veya - )'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla O ; belirli bir noktada y=f(x) eğrisine teğet fiziksel anlamı yolun zamana göre türevinin, hareket eden noktanın anlık hızı olmasıdır. düz hareket

s = s(t) to zamanında. Eğerİle

sabit bir sayıysa ve u = u(x), v = v(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, bu durumda aşağıdaki türev alma kuralları geçerlidir:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2; 5) eğer y = f(u), u = (x), yani. y = f((x)) - karmaşık fonksiyon veya süperpozisyon

, diferansiyellenebilir fonksiyonlardan oluşan  ve f , o zaman , veya

6) y = f(x) fonksiyonu için ters türevlenebilir bir x = g(y) fonksiyonu ve  0 varsa, o zaman .

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e sen sen".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (yay u)" = u"/(1 + u 2).

13. (yay u)" = - u"/(1 + u 2).

y=u v , (u>0) üstel ifadesinin türevini hesaplayalım; burada sen Ve v fonksiyonun özü Söz konusu limit  (veya - )'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla belirli bir noktada türevleri olan sen",v".

y=u v eşitliğinin logaritmasını alarak ln y = v ln u elde ederiz.

Türevlerin aşağıdakilere göre eşitlenmesi Söz konusu limit  (veya - )'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla Kural 3, 5'i ve logaritmik bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak elde edilen eşitliğin her iki tarafından da şunu elde ederiz:

y"/y = vu"/u +v" ln u, dolayısıyla y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Örneğin, eğer y = x sin x ise, o zaman y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Eğer y = f(x) fonksiyonu bu noktada türevlenebilirse X, yani bu noktada sonlu bir türevi var sen", bu durumda = y"+, burada х 0'da 0; dolayısıyla  y = y" х +  x.

Fonksiyon artışının x'e göre doğrusal olan ana kısmına denir. diferansiyel işlevler ve dy ile gösterilir: dy = y" х. Bu formülde y=x koyarsak dx = x"х = 1х =х elde ederiz, dolayısıyla dy=y"dx yani sembolü elde edilir. Türev gösterimi bir kesir olarak düşünülebilir.

Fonksiyon artışı  sen eğrinin ordinatındaki artış ve diferansiyel d sen tanjantın ordinat artışıdır.

y=f(x) fonksiyonunun türevini y = f (x) bulalım. Bu türevin türevine denir ikinci dereceden türev f(x) fonksiyonları veya ikinci türev, .

ve belirlenmiş

Aşağıdakiler aynı şekilde tanımlanmış ve belirlenmiştir: - ,

üçüncü dereceden türev

dördüncü dereceden türev - ve genel olarak - .

n'inci dereceden türev.15. Örnek 3

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.Çözüm.

Kural 3'e göre, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x) +1)çünkü x. 3.16 Örnek

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.. = .

n'inci dereceden türev.17. y"'yi bulun, y = tan x + . Toplamı ve bölümü ayırt etmeye yönelik kuralları kullanarak şunu elde ederiz: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + Türevi bulun

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. karmaşık fonksiyon .

ru

Bulmak Türev Türev, kurallar ve türev alma formülleri

= .

y = f(x) fonksiyonu X aralığında tanımlı olsun. sonlu, o zaman f(x) fonksiyonu çağrılır türevlenebilir bu noktada evet; Üstelik bu noktada zorunlu olarak sürekli olduğu ortaya çıkıyor.

Söz konusu limit ¥ (veya - ¥)'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla x-o sürekli olduğundan, f(x) fonksiyonunun şu noktada olduğunu söyleyeceğiz: x o sonsuz türev.

Türev sembollerle gösterilir

y ¢, f ¢(xo), , .

Türevini bulmaya denir Türevini bulmaya denir işlevler. Geometrik anlam türev türevin belirli bir noktada y=f(x) eğrisine teğet eğimi olmasıdır x-o; fiziksel anlamı yolun zamana göre türevinin, hareket eden bir noktanın doğrusal hareketi sırasında s = s(t) to anında anlık hızı olmasıdır.

Eğer Eğer sabit bir sayıysa ve u = u(x), v = v(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, bu durumda aşağıdaki türev alma kuralları geçerlidir:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) eğer y = f(u), u = j(x), yani. y = f(j(x)) - karmaşık fonksiyon veya süperpozisyon diferansiyellenebilir j ve f fonksiyonlarından oluşur, o zaman , veya

6) y = f(x) fonksiyonu için ters türevlenebilir x = g(y) ve ¹ 0 fonksiyonu varsa, o zaman .

Türevin tanımına ve türev alma kurallarına dayanarak, ana temel fonksiyonların tablo halindeki türevlerinin bir listesini derlemek mümkündür.

1. (um)" = m sen m- 1 u" (m О R).

2. (a u)" = a u lna× u".

3. (e u)" = e sen sen".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = çünkü u× u".

7. (çünkü u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (yay u)" = u"/(1 + u 2).

13. (yay u)" = - u"/(1 + u 2).

y=u v , (u>0) üstel ifadesinin türevini hesaplayalım; burada sen Ve v fonksiyonun özü Söz konusu limit  (veya - )'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla belirli bir noktada türevleri olan sen",v".

y=u v eşitliğinin logaritmasını alarak ln y = v ln u elde ederiz.

Türevlerin aşağıdakilere göre eşitlenmesi Söz konusu limit  (veya - )'ye eşitse, o zaman noktadaki fonksiyonun sağlanması şartıyla Kural 3, 5'i ve logaritmik bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak elde edilen eşitliğin her iki tarafından da şunu elde ederiz:

y"/y = vu"/u +v" ln u, dolayısıyla y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Örneğin, eğer y = x sin x ise, o zaman y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).

Eğer y = f(x) fonksiyonu bu noktada türevlenebilirse X, yani bu noktada sonlu bir türevi var sen", bu durumda = y"+a, burada Dх® 0'da a®0; dolayısıyla D y = y" Dх + a x.

Fonksiyon artışının Dx'e göre doğrusal olan ana kısmına denir. diferansiyel fonksiyon ve dy ile gösterilir: dy = y" Dx. Bu formülde y=x koyarsak, dx = x"Dx = 1×Dx = Dx, dolayısıyla dy=y"dx, yani türevi belirten sembolü elde ederiz. kesir gibi düşünülebilir.

Fonksiyon D artışı sen eğrinin ordinatındaki artış ve diferansiyel d sen tanjantın ordinat artışıdır.

y=f(x) fonksiyonunun türevini y ¢= f ¢(x) bulalım. Bu türevin türevine denir ikinci dereceden türev f(x) fonksiyonları veya ikinci türev, ve belirlenmiş .

Aşağıdakiler aynı şekilde tanımlanmış ve belirlenmiştir:

üçüncü dereceden türev - ,

dördüncü dereceden türev -

ve genel olarak n'inci dereceden türev - .

Örnek 3.15. y=(3x 3 -2x+1)×sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. Kural 3'e göre, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

Örnek 3.16. y" değerini bulun, y = tan x + .

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. Toplamı ve bölümü ayırt etmeye yönelik kuralları kullanarak şunu elde ederiz: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Örnek 3.17. Karmaşık bir y= fonksiyonunun türevini bulun,
u=x 4 +1.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre şunu elde ederiz: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. u=x 4 +1 olduğundan, o zaman
(2 x 4 +2+ .

Örnek 3.18.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. y= fonksiyonunu iki fonksiyonun süperpozisyonu olarak hayal edelim: y = e u ve u = x 2. Elimizde: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. x 2 yerine sen y=2x elde ederiz.

Örnek 3.19. y=ln sin x fonksiyonunun türevini bulun.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. u=sin x diyelim, o zaman y=ln u karmaşık fonksiyonunun türevi şu formülle hesaplanır: y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

Örnek 3.20. y= fonksiyonunun türevini bulun.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. Birkaç süperpozisyon sonucu elde edilen karmaşık bir fonksiyonun durumu Kural 5'in sıralı uygulanmasıyla çözülür:

.

Örnek 3.21. y=ln türevini hesaplayın .

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. Logaritmaları alıp logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Son eşitliğin her iki tarafının farklılığını alırsak şunu elde ederiz:

Fonksiyonun ekstremumu

y=f(x) fonksiyonu çağrılır artan (azalan) belirli bir aralıkta, eğer x 1 için< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Türevlenebilir fonksiyon y = f(x) bir aralıkta artarsa ​​(azalırsa), bu aralıktaki türevi f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Nokta x-o isminde yerel maksimum nokta (minimum) f(x) fonksiyonu, eğer noktanın bir komşuluğu varsa x-o f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)) eşitsizliğinin doğru olduğu tüm noktalar için.

Maksimum ve minimum noktalara denir ekstrem noktalar ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri onun aşırılıklar.

Önkoşullar ekstremum. Eğer nokta x-o f(x) fonksiyonunun uç noktası ise, o zaman ya f ¢(x о) = 0 olur ya da f ¢(x о) mevcut değildir. Bu tür noktalara denir kritik, ve fonksiyonun kendisi kritik noktada tanımlanır. Bir fonksiyonun ekstremum değerleri kritik noktaları arasında aranmalıdır.

İlk yeterli koşul.İzin vermek x-o- kritik nokta. Eğer f ¢ (x) noktadan geçerken x-o artı işaretini eksi olarak değiştirir, ardından bu noktada x-o fonksiyonun bir maksimumu vardır, aksi takdirde bir minimumu vardır. Kritik noktadan geçerken türev işaret değiştirmiyorsa, o noktada x-o aşırı bir durum yok.

İkinci yeterli koşul. f(x) fonksiyonunun bir türevi olsun
f ¢ (x) noktasının yakınında x-o ve noktanın kendisindeki ikinci türev x-o. Eğer f ¢(x о) = 0, >0 (<0), то точка x-o f(x) fonksiyonunun yerel minimum (maksimum) noktasıdır. =0 ise ya ilk yeterli koşulu kullanmanız ya da daha yüksek türevleri kullanmanız gerekir.

Bir parça üzerinde y = f(x) fonksiyonu minimum veya maksimum değerine kritik noktalarda veya parçanın uçlarında ulaşabilir.

Örnek 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 fonksiyonunun ekstremumunu bulun.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3) olduğundan, fonksiyonun kritik noktaları x 1 = 2 ve x 2 = 3'tür. Ekstrem yalnızca şu noktada olabilir: bu noktalar. x 1 = 2 noktasından geçerken türevin işareti artıdan eksiye değiştiği için, bu noktada fonksiyonun bir maksimumu vardır. x 2 = 3 noktasından geçerken türevin işareti eksiden artıya değişir, dolayısıyla x 2 = 3 noktasında fonksiyonun minimumu vardır. Fonksiyonun x 1 = 2 ve x 2 = 3 noktalarındaki değerlerini hesapladıktan sonra fonksiyonun ekstremumunu buluyoruz: maksimum f(2) = 14 ve minimum f(3) = 13.

Örnek 3.23. Taş duvarın yanına, üç tarafı tel örgüyle çevrilecek ve dördüncü tarafı duvara bitişik olacak şekilde dikdörtgen bir alan inşa etmek gerekiyor. Bunun için var A doğrusal metre örgü. Site hangi en boy oranında en geniş alana sahip olacak?

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. Platformun kenarlarını şu şekilde belirtelim: X Ve sen. Sitenin alanı S = xy'dir. İzin vermek sen- bu, duvara bitişik tarafın uzunluğudur. O halde koşula göre 2x + y = a eşitliği sağlanmalıdır. Dolayısıyla y = a - 2x ve S = x(a - 2x), burada 0 £ x £ a/2 (pedin uzunluğu ve genişliği negatif olamaz). x = a/4'te S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0, dolayısıyla
y = a - 2×a/4 =a/2. Tek kritik nokta x = a/4 olduğundan bu noktadan geçerken türevin işaretinin değişip değişmediğini kontrol edelim. x'te< a/4 S ¢ >0 ve x >a/4 S ¢ için<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

S sürekli açık olduğundan ve S(0) ile S(a/2) uçlarındaki değerleri sıfıra eşit olduğundan bulunan değer, fonksiyonun en büyük değeri olacaktır. Dolayısıyla problemin verilen koşulları altında sitenin en uygun en boy oranı y = 2x'tir.

Örnek 3.24. V=16p » 50 m 3 kapasiteli kapalı silindirik tank imalatı yapılması gerekmektedir. Üretiminde en az miktarda malzemenin kullanılması için tankın boyutları (yarıçap R ve yükseklik H) ne olmalıdır?

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın. Silindirin toplam yüzey alanı S = 2pR(R+H). Silindirin hacmini biliyoruz V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Bu, S(R) = 2p(R2 +16/R) anlamına gelir. Bu fonksiyonun türevini buluyoruz:
S¢(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). R 3 = 8'de S ¢(R) = 0, dolayısıyla,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Türevi bulma işlemine farklılaşma denir.

Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış farklılaşma kuralları ortaya çıktı. . Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.

Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri bileşenlere ayırın ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Daha sonra, türev tablosunda temel fonksiyonların türevlerini ve türev kurallarında ürünün, toplamın ve bölümün türevlerinin formüllerini buluyoruz. Türev tablosu ve türev kuralları ilk iki örnekten sonra verilmiştir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;

Türev tablosundan "x" türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alıyoruz; bu, türevin işaretinden çıkarılabilir:

Bir şeyin nereden geldiğine dair hâlâ sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.

Basit fonksiyonların türevleri tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfıra eşittir. Bunu hatırlamak çok önemlidir, çünkü çok sık ihtiyaç duyulur.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "X". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir
3. Derecenin türevi. Problem çözerken karekök olmayanları kuvvetlere dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. Karekökün türevi
6. Sinüs türevi
7. Kosinüsün türevi
8. Teğetin türevi
9. Kotanjantın Türevi
10. Arsinüsün türevi
11. Ark kosinüsün türevi
12. Arktanjantın türevi
13. Ark kotanjantının türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi
16. Üssün türevi
17. Üstel bir fonksiyonun türevi

Farklılaşma kuralları

1. Bir toplamın veya farkın türevi
2. Ürünün türevi
2a. Bir ifadenin sabit bir faktörle çarpılmasının türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir

Ve

onlar. cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir, yani

Kural 2.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse çarpımları aynı noktada türevlenebilirdir

Ve

onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Türevin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:

Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Örneğin üç çarpan için:

Kural 3.Eğer işlevler

bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümleri de türevlenebiliru/v ve

onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.

Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabiliriz?

Gerçek problemlerde bir çarpımın ve bölümün türevini bulurken her zaman birkaç türev alma kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle makalede bu türevlerle ilgili daha fazla örnek vardır."Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Terim durumunda türevi sıfıra eşit olup, sabit faktör olması durumunda türevlerin işareti dışına çıkarılır. Bu, türevleri çalışmanın ilk aşamasında meydana gelen tipik bir hatadır, ancak ortalama bir öğrenci birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe artık bu hatayı yapmaz.

Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).

Diğer bir yaygın hata, karmaşık bir fonksiyonun türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik olarak çözmektir. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler .

Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından “Küsleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi” dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , daha sonra “Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri” dersini alacaksınız.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:

Daha sonra, toplam farklılaşma kuralını uyguluyoruz: cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda her toplamda ikinci terimin bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığından ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Aşağıdaki türev değerlerini elde ederiz:

Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:

Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının bulunduğu sorunlara çözüm arıyorsanız, örneğin, , o zaman sınıfa hoş geldiniz "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğer trigonometrik fonksiyonların türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, yani fonksiyon şuna benzer: o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Çarpımı ve karekök türevinin tablo değerini farklılaştırma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin farklılaşma kuralını ve karekök türevinin tablolaştırılmış değerini kullanarak şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Türev problemlerini çözerken, çeşitli sınıflardaki fonksiyonların türevlerine bakmak gerekir. Bu yazıda ana konulara bakacağız. farklılaşma kuralları Türevleri bulurken sürekli kullanacağımız. Tüm bu kuralları bir fonksiyonun türevinin tanımına dayanarak kanıtlayacağız ve uygulama prensibini anlamak için mutlaka örneklerin ayrıntılı çözümü üzerinde duracağız.

Türev alma kurallarını kanıtlarken, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının belirli bir X aralığında türevlenebilir olduğunu varsayacağız.

Yani, herhangi biri için karşılık gelen fonksiyonların artışlarının nerede olduğu doğrudur.

Başka bir yazıda.

Farklılaşmanın temel kuralları şunları içerir:

Türevin işaretinin ötesinde sabit bir faktörün gerçekleştirilmesi.

Formülü kanıtlayalım. Türevin tanımı gereği elimizde:

Sınıra geçiş işaretinin ötesinde keyfi bir faktör alınabilir (bu, sınırın özelliklerinden bilinir), dolayısıyla

Bu, türev almanın birinci kuralının ispatını tamamlar.

Türev tablosunu ve türev bulma kurallarını kullanmak için çoğu zaman ilk önce diferansiyellenebilir fonksiyonun formunu basitleştirmek gerekir. Aşağıdaki örnekler bunu açıkça doğrulamaktadır.

Örnek.

Fonksiyon farklılaşmasını gerçekleştirin .

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.

Logaritmik fonksiyonun özelliklerine göre gösterime gidebilirsiniz. Logaritmik fonksiyonun türevini hatırlamak ve sabit bir faktör eklemek kalır:

Örnek.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.

Orijinal fonksiyonu dönüştürelim .

Çarpanı türevin işaretinin dışına yerleştirme kuralını uyguluyoruz ve üstel fonksiyonun türevini tablodan alıyoruz:

Bir toplamın türevi, bir farkın türevi.

Türevin ikinci kuralını kanıtlamak için türev tanımını ve sürekli bir fonksiyonun limit özelliğini kullanıyoruz.

Benzer şekilde, n fonksiyonun toplamının (farkının) türevinin, n türevlerinin toplamına (farkına) eşit olduğu kanıtlanabilir.

Örnek.

Bir fonksiyonun türevini bulun .

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.

Orijinal fonksiyonun formunu basitleştirelim.

Türev toplamı (fark) kuralını kullanıyoruz:

Önceki paragrafta sabit faktörün türevin işaretinden çıkarılabileceğini kanıtlamıştık, dolayısıyla

Geriye kalan tek şey türev tablosunu kullanmak:

Fonksiyonların çarpımının türevi.

İki fonksiyonun çarpımını ayırt etme kuralını kanıtlayalım.

Fonksiyonların bir çarpımının artışının argümanın artışına oranının limitini yazalım. Bunu dikkate alacağız ve (argümanın artışı sıfıra yaklaştıkça fonksiyonun artışı da sıfıra yaklaşır).

Q.E.D.

Örnek.

Farklılaştırma işlevi .

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.

Bu örnekte. Ürün türevi kuralını uyguluyoruz:

Temel temel fonksiyonların türevleri tablosuna dönüyoruz ve cevabı alıyoruz:

Örnek.

Fonksiyonun türevini bulun.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.

Bu örnekte . Buradan,

Üç fonksiyonun çarpımının türevini bulma durumuna bakalım. Prensip olarak aynı sistemi kullanarak dört, beş ve yirmi beş fonksiyonun çarpımını ayırt etmek mümkündür.

Örnek.

Fonksiyonun farklılaşmasını gerçekleştirin.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.

İki fonksiyonun çarpımının farklılaşması kuralından ilerleyeceğiz. f(x) fonksiyonu olarak (1+x)sinx çarpımını alacağız ve g(x) olarak lnx'i alacağız:

Bulmak için Tekrar çarpım türevi kuralını uyguluyoruz:

Türev toplamı kuralını ve türev tablosunu kullanıyoruz:

Sonucu yerine koyalım:

Gördüğünüz gibi bazen bir örnekte birden fazla türev alma kuralını uygulamanız gerekir. Bunda karmaşık bir şey yok, asıl önemli olan tutarlı davranmak ve her şeyi birbirine karıştırmamaktır.

Örnek.

Fonksiyonun türevini bulun.

y=(3x 3 -2x+1)sin x fonksiyonunun türevini hesaplayın.

Fonksiyon ifadelerin farkını temsil eder ve bu nedenle

İlk ifadede türevin işareti olarak ikisini alıyoruz ve ikinci ifadeye çarpımın türevini alma kuralını uyguluyoruz:

İki fonksiyonun bölümünün türevi (bir kesrin türevi).

İki fonksiyonun (kesirler) bölümünün diferansiyelini alma kuralını kanıtlayalım . X aralığındaki herhangi bir x için g(x)'in sıfır olmadığını belirtmekte fayda var.