Yıldız haberleri
Kesme ve katlama. Matematikte olimpiyat, mantıksal ve eğlenceli problemler. Kesme sorunları
a) Rastgele bir üçgeni birkaç parçaya kesin, böylece bunları dikdörtgen şeklinde katlayabilirsiniz.
b) Rastgele bir dikdörtgeni birkaç parçaya kesin, böylece bunları kare şeklinde katlayabilirsiniz.
c) İki rastgele kareyi, büyük bir kareye katlanabilmeleri için birkaç parçaya kesin.
İpucu 1
b) Öncelikle rastgele bir dikdörtgenden, büyük tarafının küçük tarafına oranı dördü geçmeyecek şekilde bir dikdörtgen yapın.
c) Pisagor teoremini kullanın.
İpucu 2
a) Yüksekliği veya merkez çizgisini çizin.
b) Elde edilmesi gereken karenin üzerine dikdörtgeni yerleştirin ve bir “köşegen” çizin.
c) Kareleri birbirine bağlayın, büyük karenin kenarından küçük karenin uzunluğuna eşit bir parça ölçün ve bunu karelerin her birinin "karşıt" köşelerine bağlayın (bkz. Şekil 1).
Çözüm
a) Keyfi bir üçgen verilsin ABC. Orta çizgiyi çizelim MN kenara paralel AB ve ortaya çıkan üçgende CMN yüksekliği düşürün CD. Ayrıca düz çizgiye indirelim MN dikler AK Ve B.L.. O zaman ∆ olduğunu görmek kolaydır. AKM = ∆CDM ve ∆ BLN = ∆CDN Karşılık gelen kenar çiftleri ve açı çiftleri eşit olan dik üçgenler gibi.
Bu, bu üçgeni kesme ve ardından parçaları yeniden düzenleme yöntemine yol açar. Yani bölümler boyunca kesimler yapalım MN Ve CD. Bundan sonra üçgenleri yeniden düzenleyeceğiz CDM Ve CDNüçgenler yerine AKM Ve BLN buna göre, Şekil 2'de gösterildiği gibi. 2. Bir dikdörtgenimiz var AKLB, problemde gerektiği gibi.
Köşelerden birinin olması durumunda bu yöntemin işe yaramayacağını unutmayın. TAKSİ veya C.B.A.- köreltmek. Bunun nedeni bu durumda yüksekliğin CDüçgenin içinde yer almıyor CMN. Ancak bu çok korkutucu değil: orta çizgiyi orijinal üçgenin en uzun kenarına paralel çizersek, o zaman kesik üçgende yüksekliği geniş açıdan indiririz ve kesinlikle üçgenin içinde yer alır.
b) Bir dikdörtgen verilsin ABCD, kimin tarafları reklam Ve AB eşit A Ve B buna göre ve A > B. O zaman sonunda elde etmek istediğimiz karenin alanı şuna eşit olmalıdır: ab. Bu nedenle karenin kenar uzunluğu √ olur ab, bu daha azdır reklam, ama daha fazlası AB.
Bir kare inşa edelim APQR, gerekli olana eşit, böylece nokta B uzanmak Erişim noktası ve nokta R- segmentte reklam. İzin vermek Polis Departmanı segmentleri kesiyor M.Ö. Ve QR noktalarda M Ve N sırasıyla. O zaman üçgenlerin olduğunu görmek kolaydır P.B.M., PED Ve NRD benzerdir ve ayrıca B.P. = (√ab – B) Ve R.D. = (A – √ab). Araç,
Bu nedenle, ∆ P.B.M. = ∆NRD iki tarafta ve aralarındaki açı. Buradan eşitlikleri elde etmek de kolaydır Güç kalitesi = M.C. Ve N.Q. = CD, yani ∆ PQN = ∆MCD ayrıca her iki tarafta ve aralarındaki açı.
Yukarıdaki tüm hususlardan sonra kesme yöntemi takip eder. Kesinlikle, önce yanları bir kenara koyuyoruz reklam Ve M.Ö. bölümler AR Ve SANTİMETRE. uzunlukları √'ye eşit olan ab(formun bölümlerinin nasıl oluşturulacağı hakkında √ ab, “Çözüm” bölümündeki “Düzenli çokgenler” - kenar çubuğu sorununa bakın). Daha sonra, segmente dik olanı geri yüklüyoruz reklam bu noktada R. Şimdi geriye kalan tek şey üçgenleri kesmek MCD Ve NRD ve bunları Şekil 2'de gösterildiği gibi yeniden düzenleyin. 3.
Bu yöntemin kullanılabilmesi için noktanın gerekli olduğunu unutmayın. M kendini segmentin içinde buldu B.K.(aksi halde üçgenin tamamı değil NRD bir dikdörtgenin içinde yer alan ABCD). Yani gerekli olan
Bu koşul karşılanmazsa öncelikle bu dikdörtgeni daha geniş ve daha kısa hale getirmeniz gerekir. Bunu yapmak için ikiye bölün ve parçaları Şekil 2'de gösterildiği gibi düzenleyin. 4. Böyle bir işlemden sonra büyük tarafın küçük tarafa oranının dört kat azalacağı açıktır. Bu, bunu yeterince çok sayıda tekrarlayarak sonunda Şekil deki kesmenin uygulanabileceği bir dikdörtgen elde edeceğimiz anlamına gelir. 3.
c) Verilen iki kareyi düşünün ABCD Ve DPQR kenar boyunca kesişecek şekilde yan yana yerleştirerek CD daha küçük kare ve ortak bir köşeye sahipti D. Bunu varsayacağız Polis Departmanı = A Ve AB = B ve daha önce de belirttiğimiz gibi, A > B. Daha sonra yanda Dr. daha büyük kare böyle bir noktayı düşünebiliriz M, Ne M.R. = AB. Pisagor teoremine göre.
Çizgilerin noktalardan geçmesine izin verin B Ve Q düz çizgilere paralel MQ Ve B.M. sırasıyla bir noktada kesişir N. Daha sonra dörtgen BMQN bir paralelkenardır ve tüm kenarları eşit olduğundan eşkenar dörtgendir. Ama ∆ BAM = ∆MRQ takip ettiği yerden üç tarafta (köşeler dikkate alındığında) BAM Ve MRQ düz) bu. Böylece, BMQN- kare. Ve alanı olduğundan ( A 2 + B 2), o zaman bu tam olarak almamız gereken karedir.
Kesmeye devam etmek için şunu belirtmek gerekir: ∆ BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. Bundan sonra yapılması gereken belli oluyor: üçgenleri kesmeniz gerekiyor BAM Ve MRQ ve bunları Şekil 2'de gösterildiği gibi yeniden düzenleyin. 5.
Sonsöz
Önerilen sorunları çözdükten sonra okuyucu şu soruyu düşünebilir: Belirli bir çokgeni düz çizgilerle, başka bir çokgenin oluşturulduğu sınırlı sayıda parçaya kesmek ne zaman mümkün olabilir? Biraz düşündükten sonra en azından bu çokgenlerin alanlarının eşit olması gerektiğini anlayacaktır. Böylece asıl soru şuna dönüşüyor: Eğer iki çokgen aynı alana sahipse, bunlardan birinin parçalara ayrılıp ikincinin eklenebileceği doğru mudur (iki çokgenin bu özelliğine eşbileşik denir)? Durumun gerçekten de böyle olduğu ortaya çıktı ve 19. yüzyılın 30'lu yıllarında kanıtlanmış Bolyai-Gerwin teoremi bize bunu söylüyor. Daha doğrusu formülasyonu aşağıdaki gibidir.
Bolyai-Gerwin teoremi.İki çokgenin boyutu ancak ve ancak boyutları eşitse eşittir.
Bu dikkat çekici sonucu kanıtlamanın ardındaki fikir şu şekildedir. İlk olarak, teoremin ifadesini değil, bu iki eşit boyutlu çokgenin her birinin, aynı alana sahip bir karenin oluşturulacağı parçalara bölünebileceğini kanıtlayacağız. Bunu yapmak için önce çokgenlerin her birini üçgenlere böleriz (bu bölüme denir) üçgenleme). Daha sonra her üçgeni bir kareye dönüştüreceğiz (örneğin, bu problemin a) ve b) noktalarında açıklanan yöntemi kullanarak). Geriye kalan tek şey, çok sayıda küçük kareyi büyük bir kareye katlamak - bunu c) noktası sayesinde yapabiliriz.
Politoplar için benzer bir soru, David Hilbert'in 1900'de Paris'teki İkinci Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde sunduğu bir raporda sunduğu ünlü problemlerden birini (üçüncüsü) oluşturur. Cevabının olumsuz olması karakteristiktir. Küp ve düzgün tetrahedron gibi en basit çokyüzlülerden ikisinin incelenmesi, bunların hiçbirinin sonlu sayıda parçaya bölünemeyeceğini ve böylece onlardan bir başkasının oluşturulamayacağını göstermektedir. Ve bu bir tesadüf değil; böyle bir kesinti kesinlikle mevcut değil.
Hilbert'in üçüncü probleminin çözümü, öğrencilerinden biri olan Max Dehn tarafından 1901 yılında elde edildi. Dehn, çokyüzlüler parçalara kesildiğinde ve yeni şekillere katlandığında değişmeyen değişmez bir miktar keşfetti. Ancak bu değerin bazı çokyüzlüler (özellikle küp ve normal tetrahedron) için farklı olduğu ortaya çıktı. Son durum, bu çokyüzlülerin eşdeğer olmadığını açıkça göstermektedir.
Çeşitli seçmeli ders ve kulüplerdeki matematik öğretmenlerinin ve öğretmenlerinin dikkatine, çeşitli eğlenceli ve eğitici geometrik kesme problemleri sunulmaktadır. Derslerinde bu tür problemleri kullanan bir öğretmenin amacı, öğrencinin yalnızca ilginç ve etkili hücre ve şekil kombinasyonlarına ilgisini çekmek değil, aynı zamanda onun çizgi, açı ve şekil duygusunu da geliştirmektir. Problem seti esas olarak 4-6. sınıftaki çocuklara yöneliktir, ancak bunu lise öğrencilerinde bile kullanmak mümkündür. Egzersizler öğrencilerin yüksek ve sürekli bir dikkat konsantrasyonuna sahip olmalarını gerektirir ve görsel hafızayı geliştirmek ve eğitmek için mükemmeldir. Çocuğun bağımsız düşünme ve yaratıcı yeteneklerine özel talepler getiren matematik okulları ve sınıflarına giriş sınavlarına öğrencileri hazırlayan matematik öğretmenleri için önerilir. Görevlerin seviyesi, lise “ikinci okul” (ikinci matematik okulu), Moskova Devlet Üniversitesi'nin küçük Mekanik ve Matematik Fakültesi, Kurchatov okulu vb.'ye giriş olimpiyatlarının seviyesine karşılık gelir.
Matematik Öğretmeni Notu:
İlgili işaretçiye tıklayarak görüntüleyebileceğiniz bazı problem çözümlerinde olası kesme örneklerinden yalnızca biri gösterilir. Başka bir doğru kombinasyonla karşılaşabileceğinizi tümüyle kabul ediyorum; bundan korkmanıza gerek yok. Küçük çocuğunuzun çözümünü dikkatlice kontrol edin ve koşulları karşılıyorsa bir sonraki görevi üstlenmekten çekinmeyin.
1) Şekilde gösterilen şekli 3 eşit parçaya ayırmayı deneyin:
: Küçük şekiller T harfine çok benzer
2) Şimdi bu şekli 4 eşit parçaya bölün:
Matematik öğretmeni ipucu: Küçük figürlerin 3 hücreden oluşacağını tahmin etmek kolaydır ancak üç hücreli figürler çok fazla değildir. Bunlardan yalnızca iki türü vardır: köşe ve 1×3 dikdörtgen.
3) Bu şekli 5 eşit şekilli parçaya bölün:
Bu şekillerin her birini oluşturan hücre sayısını bulun. Bu rakamlar G harfine benziyor.
4) Şimdi on hücrelik bir rakamı 4'e kesmeniz gerekiyor eşit olmayan dikdörtgen (veya kare) birbirine.
Matematik öğretmeni talimatları: Bir dikdörtgen seçin ve ardından kalan hücrelere üç tane daha sığdırmaya çalışın. İşe yaramazsa ilk dikdörtgeni değiştirin ve tekrar deneyin.
5) Görev daha karmaşık hale geliyor: rakamı 4'e ayırmanız gerekiyor şekli farklışekiller (mutlaka dikdörtgen olması gerekmez).
Matematik öğretmeni ipucu: önce farklı şekillerdeki tüm şekil türlerini ayrı ayrı çizin (bunlardan dörtten fazlası olacaktır) ve önceki görevde olduğu gibi seçenekleri numaralandırma yöntemini tekrarlayın.
:
6) Bu şekli farklı şekillerdeki dört hücreden 5 şekle kesin, böylece her birinde yalnızca bir yeşil hücre boyansın.
Matematik öğretmeni ipucu: Bu şeklin üst kenarından kesmeye başlamayı deneyin; nasıl ilerleyeceğinizi hemen anlayacaksınız.
:
7) Önceki göreve dayanarak. Tam olarak dört hücreden oluşan farklı şekillerde kaç tane şekil olduğunu bulun? Rakamlar bükülebilir ve döndürülebilir, ancak üzerinde bulunduğu masayı (yüzeyinden) kaldıramazsınız. Yani verilen iki rakam, döndürme yoluyla birbirinden elde edilemeyeceği için eşit sayılmayacaktır.
Matematik öğretmeni ipucu:Önceki problemin çözümünü inceleyin ve dönerken bu figürlerin farklı konumlarını hayal etmeye çalışın. Sorunumuzun cevabının 5 ve üzeri sayı olacağını tahmin etmek hiç de zor değil. (Aslında altıdan bile fazla). Tanımlanan 7 tür şekil vardır.
8) 16 hücrelik bir kareyi 4 eşit şekilli parçaya bölün, böylece dört parçanın her biri tam olarak bir yeşil hücre içerecektir.
Matematik öğretmeni ipucu: Küçük figürlerin görünümü bir kare, bir dikdörtgen, hatta dört hücreden oluşan bir köşe bile değildir. Peki hangi şekilleri kesmeye çalışmalısınız?
9) Gösterilen şekli iki parçaya kesin, böylece ortaya çıkan parçalar kare şeklinde katlanabilir.
Matematik öğretmeni ipucu: Toplamda 16 hücre var yani kare 4x4 boyutunda olacak. Ve bir şekilde ortadaki pencereyi doldurmanız gerekiyor. Bu nasıl yapılır? Bir çeşit değişim olabilir mi? O halde dikdörtgenin uzunluğu tek sayıdaki hücreye eşit olduğundan kesme işlemi dikey bir kesimle değil, kesikli bir çizgi boyunca yapılmalıdır. Böylece orta hücrenin bir tarafında üst kısım, diğer tarafında alt kısım kesilir.
10) 4x9'luk bir dikdörtgeni kare şeklinde katlanabilecek şekilde iki parçaya kesin.
Matematik öğretmeni ipucu: Dikdörtgende toplam 36 hücre bulunmaktadır. Dolayısıyla kare 6x6 boyutunda olacaktır. Uzun kenar dokuz hücreden oluştuğu için üçünün kesilmesi gerekiyor. Bu kesinti nasıl ilerleyecek?
11) Şekilde gösterilen beş hücreden oluşan çaprazın, bir karenin katlanabileceği parçalara kesilmesi gerekir (hücreleri kendiniz kesebilirsiniz).
Matematik öğretmeni ipucu: Hücrelerin çizgilerini ne kadar kesersek keselim, sadece 5 hücre olduğu için kare elde edemeyeceğimiz açıktır. Bu, kesmeye izin verilen tek görevdir. hücreler tarafından değil. Ancak yine de rehber olarak onları bırakmak iyi olur. örneğin, sahip olduğumuz girintileri - yani haçımızın iç köşelerinde - bir şekilde kaldırmamız gerektiğini belirtmekte fayda var. Bu nasıl yapılır? Mesela haçın dış köşelerinden bazı çıkıntılı üçgenlerin kesilmesi...
Görev 1: Kenarları tamsayılarla ifade edilen bir dikdörtgen, formdaki şekillere kesilebilir (şekildeki hücrenin tarafı bire eşittir). 1 × 5 dikdörtgenlere kesilebileceğini kanıtlayın.
(D.~Karpov)
Çözüm: Bu dikdörtgenin alanı belirtilen şeklin alanına, yani 5'e eşit olarak bölünür. Dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları tam sayı olduğundan ve 5 asal sayı olduğundan, kenarlardan birinin uzunluğu 5'e bölünmelidir. Bu tarafı ve karşı tarafı 5 uzunluğunda parçalara, diğer iki tarafı da 1 uzunluğunda parçalara bölelim ve ardından karşı taraflardaki karşılık gelen noktaları düz çizgilerle birleştirelim. Görev 2: Denklem sistemini gerçek sayılarla çözme(A.~Khrabrov)
Çözüm: Cevap: Sistemin benzersiz bir çözümü vardır: a = b = c = d = 0. Sistemin iki denklemini toplayarak 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd denklemini elde ederiz. 2ab ≤ a² + b² eşitsizliklerinden ve 2cd ≤ c² + d²'den bu denklemin sağ tarafının sol tarafından büyük olmadığı ve eşitliğin ancak b = 0, c = 0, a = b ve c = d olması durumunda elde edilebileceği sonucu çıkar. Bu, bu sistemin tek olası çözümünün a = b = c = d = 0 olduğu anlamına gelir.İkinci seçenek de benzer şekilde çözüldü.
Görev 3: ABCD eşkenar dörtgeninde, CF/BF = BE/AE = 1994 olacak şekilde E ve F noktaları sırasıyla AB ve BC kenarları üzerinde alınmıştır. DE = DF olduğu ortaya çıktı. EDF açısını bulun.
Problemin koşullarından (her iki versiyonda) BE = CF sonucu çıkar. AB tarafına BE'ye eşit bir AK doğru parçası çizelim. ADK ve CDF üçgenlerinin her iki tarafı ve açısı eşittir (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Bu, DK = DF = DE anlamına gelir, yani DKE üçgeni ikizkenardır. Özellikle tabanındaki DKE ve DEK açıları eşittir. Bu nedenle ADK ve BDE üçgenleri eşittir (iki kenarda ve açıda: AK = BE, DK = DE, ∠ DKA = ∠ DEB). Dolayısıyla AD = BD yani ABD üçgeni eşkenardır. Dolayısıyla ∠BAD = 60, ∠ABC = 120.
(A.~Khrabrov)
Çözüm: Bu kurallarla bir maçta A Takımının B Takımını yenmesine izin verin (belki de erken bir zafer elde edin). Bu, kalan (alınmayan) penaltıların akla gelebilecek herhangi bir sonucu için, A Takımının puanının B Takımının skorundan daha yüksek olacağı anlamına gelir. Takımların maçın bitiminden sonra penaltılar atmaya devam ettiğini ve kalan tüm penaltıları aldığını ve A Takımının herhangi bir gol atmadığını düşünelim. daha fazla gol ve B Takımı bir daha asla kaçırmadı. Bu durumda A'nın attığı toplam gol sayısı yine de B'nin attığı gollerden daha fazla olacaktır ("erken zafer" kelimesinin anlamı budur). Daha ne kadar olabilir? Sadece 1 veya 2 farkla. Aslında fark ikiden fazla olsaydı, A takımının galibiyeti daha da erken, son penaltılar öncesinde kaçınılmaz olacaktı.Ayrıca ele aldığımız maçın devamı sırasında şutların tam yarısının kaleye isabet ettiğini de not ediyoruz. Böylece, 129 çift şutun tam olarak yarısı kaleye isabet etti, yani tam olarak 129'u. Bu 129 gol, A ve B arasında, A'nın 1 veya 2 hedefi daha olacak şekilde paylaştırılır. Bu, A takımının attığı gol sayısını açıkça belirler - 65.
Görev 5: Denklemi doğal sayılarla çözün:(D.~Karpov)
Çözüm: Bu denklemin benzersiz bir çözümü vardır: x = 2, y = 1, z = 2 (her iki versiyonda da). Bunun bir çözüm olduğu, ilk versiyonda a = 105'e ve ikinci versiyonda a = 201'e uygulanan a² + (2a + 1) = (a + 1)²\ genel özdeşliğinden kaynaklanır.Başka çözüm yok, çünkü z > 2 ise denklemin sağ tarafı 8'e bölünebilir, ancak sol tarafı bölünemez, çünkü 105 x 8'e bölündüğünde yalnızca 1 kalanını verebilir ve 211 y yalnızca 1 kalanını verebilir. ve 3. z = 1 için de çözüm bulunmadığını ve z = 2 için y = 1 ve x = 2 değerlerinin benzersiz bir şekilde belirlendiğini belirtmek gerekir.
