Model apa yang menggunakan sistem persamaan. Model matematika dalam praktek. Mari kita perhatikan ciri-ciri pendekatan deterministik kontinyu dengan menggunakan sebuah contoh, menggunakan persamaan diferensial sebagai model matematika

Model matematika dibedakan terutama berdasarkan sifat sifat sistem yang ditampilkan, tingkat detailnya, metode perolehan dan representasi formal.

Model struktural dan fungsional. Jika MM menampilkan elemen dan hubungannya dalam suatu sistem, maka itu disebut model matematika struktural. Jika MM mencerminkan proses apa pun yang terjadi dalam sistem, maka MM tersebut diklasifikasikan sebagai model matematika fungsional. Jelas bahwa MM campuran juga bisa ada , yang menggambarkan sifat fungsional dan struktural sistem. MM struktural dibagi menjadi topologi dan geometris, yang merupakan dua tingkat hierarki MM jenis ini. Yang pertama mencerminkan komposisi sistem dan hubungan antar elemennya. MM Topologi Dianjurkan untuk menggunakannya pada tahap awal mempelajari sistem yang kompleks. MM tersebut berbentuk grafik , tabel, matriks, daftar, dll, dan konstruksinya biasanya didahului dengan pengembangan diagram struktur sistem.

MM Geometris selain informasi yang disajikan dalam MM topologi, juga berisi informasi tentang bentuk dan ukuran sistem dan elemen-elemennya, serta posisi relatifnya. MM geometri biasanya mencakup sekumpulan persamaan garis dan permukaan serta hubungan aljabar yang menentukan kepemilikan suatu wilayah ruang pada sistem atau elemen-elemennya. MM Geometris digunakan dalam desain elemen sistem teknis, pengembangan dokumentasi teknis, dan proses teknologi untuk pembuatan produk.

MM fungsional terdiri dari hubungan yang menghubungkan variabel fase , itu. parameter internal, eksternal dan output sistem. Berfungsinya sistem yang kompleks seringkali hanya dapat dijelaskan dengan bantuan serangkaian reaksinya terhadap beberapa pengaruh masukan yang diketahui (atau diberikan). Jenis MM fungsional ini diklasifikasikan sebagai kotak hitam dan biasanya dipanggil imitasi model matematika, artinya hanya meniru manifestasi eksternal dari fungsi, tanpa mengungkapkan atau menggambarkan esensi proses yang terjadi dalam sistem. Simulasi MM banyak digunakan dalam studi sistem yang kompleks.

Dari segi bentuk presentasi, simulasi MM adalah salah satu contohnya MM algoritmik, karena hubungan antara parameter masukan dan keluaran sistem hanya dapat digambarkan dalam bentuk algoritma yang cocok untuk diimplementasikan sebagai suatu program. Jenis MM algoritmik mencakup kelas MM fungsional dan struktural yang luas. Jika hubungan antara parameter sistem dapat dinyatakan dalam bentuk analitis, maka kita bicarakan analitis model matematika . Saat membuat hierarki MM untuk sistem yang sama, seseorang biasanya berusaha untuk memastikan bahwa versi MM yang disederhanakan disajikan dalam bentuk analitis yang memungkinkan solusi tepat yang dapat digunakan untuk perbandingan saat menguji hasil yang diperoleh dengan menggunakan solusi yang lebih lengkap dan lebih lengkap. oleh karena itu versi MM yang lebih kompleks.

Jelas bahwa MM suatu sistem tertentu, dalam hal bentuk presentasinya, dapat mencakup fitur MM analitis dan algoritmik. Selain itu, selama proses pemodelan, MM analitik diubah menjadi MM algoritmik.

Menurut metode memperoleh model matematika dapat teoretis atau empiris. Yang pertama diperoleh sebagai hasil mempelajari sifat-sifat sistem, proses-proses yang terjadi di dalamnya berdasarkan penggunaan hukum-hukum kekekalan dasar yang diketahui, serta persamaan-persamaan kesetimbangan, dan yang terakhir adalah hasil pengolahan hasil pengamatan eksternal. manifestasi dari sifat dan proses ini. Salah satu cara untuk membangun MM empiris adalah dengan melakukan studi eksperimental yang berkaitan dengan pengukuran variabel fase sistem, dan selanjutnya menggeneralisasi hasil pengukuran tersebut dalam bentuk algoritmik atau dalam bentuk ketergantungan analitis. Oleh karena itu, dari segi bentuk penyajiannya, MM empiris dapat memuat ciri-ciri MM algoritmik dan analitis . Dengan demikian, konstruksi MM empiris bermuara pada penyelesaian masalah identifikasi.

Fitur model fungsional. Salah satu ciri khasnya fungsional MM adalah ada tidaknya variabel acak di antara parameternya. Dengan adanya besaran seperti itu, MM disebut stokastik(atau probabilistik), dan jika tidak ada - deterministik.

Tidak semua parameter sistem nyata dapat dikarakterisasi dengan nilai yang terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu, MM dari sistem seperti itu, sebenarnya, harus diklasifikasikan sebagai stokastik, karena parameter keluaran sistem akan berupa variabel acak. Nilai parameter eksternal juga bisa acak .

Untuk menganalisis MM stokastik, perlu menggunakan kesimpulan teori probabilitas, proses acak, dan statistik matematika. Namun, kesulitan utama dalam penerapannya biasanya dikaitkan dengan fakta bahwa karakteristik probabilistik dari variabel acak (ekspektasi matematis, varians, hukum distribusi) seringkali tidak diketahui atau diketahui dengan akurasi yang rendah, yaitu. MM tidak memenuhi persyaratan produktivitas . Dalam kasus seperti ini, akan lebih efektif jika menggunakan MM, yang lebih kasar daripada MM stokastik, namun juga lebih tahan terhadap tidak dapat diandalkannya data awal.

Fitur penting dari klasifikasi MM adalah kemampuannya untuk menggambarkan perubahan parameter sistem dari waktu ke waktu. Jika MM mencerminkan pengaruh sifat inersia sistem, maka biasa disebut dinamis. Sebaliknya, MM yang tidak memperhitungkan perubahan parameter sistem dari waktu ke waktu disebut statis.

Tidak bergerak Mereka menggambarkan sistem di mana proses keadaan tunak terjadi , itu. proses di mana parameter keluaran yang kita minati adalah konstan sepanjang waktu. Proses periodik juga dianggap sebagai kondisi tunak. , dimana beberapa parameter keluaran tetap tidak berubah, sementara parameter lainnya mengalami fluktuasi.

Jika parameter keluaran sistem berubah secara perlahan dan pada titik waktu yang dianggap tetap, perubahan ini dapat diabaikan, maka MM dianggap non-stasioner.

Properti penting MM dari sudut pandang analisis selanjutnya adalah linearitasnya, dalam arti menghubungkan parameter sistem dengan hubungan linier. Ini berarti bahwa ketika parameter eksternal (atau internal) sistem berubah, MM linier memprediksi perubahan linier pada parameter keluaran yang bergantung padanya, dan ketika dua atau lebih parameter berubah, pengaruhnya akan bertambah, yaitu. MM seperti itu memiliki properti superposisi. Jika MM tidak mempunyai sifat superposisi, maka disebut nonlinier .

Sejumlah besar metode matematika telah dikembangkan untuk analisis kuantitatif MM linier, sedangkan kemampuan menganalisis MM nonlinier terutama dikaitkan dengan metode matematika komputasi. Untuk menggunakan metode analitik untuk mempelajari sistem MM nonlinier, biasanya dilinearisasi, yaitu. hubungan nonlinier antar parameter digantikan oleh hubungan linier perkiraan dan yang disebut dilinearisasi sistem MM. Karena linearisasi dikaitkan dengan munculnya kesalahan tambahan, hasil analisis model yang dilinearisasi harus diperlakukan dengan hati-hati. Faktanya adalah linearisasi MM dapat menyebabkan hilangnya kecukupan. Mempertimbangkan efek nonlinier dalam MM sangat penting, misalnya, ketika menggambarkan perubahan bentuk gerak atau posisi kesetimbangan, ketika perubahan kecil pada parameter masukan dapat menyebabkan perubahan kualitatif pada keadaan sistem.

Setiap parameter sistem dapat terdiri dari dua jenis - terus berubah dalam rentang nilainya tertentu atau hanya mengambil beberapa nilai diskrit. Situasi perantara juga mungkin terjadi, ketika di satu area suatu parameter mengambil semua nilai yang mungkin, dan di area lain - hanya nilai diskrit. Dalam hal ini, mereka menyoroti diskrit kontinyu Dan Campuran model matematika . Dalam proses analisis, MM jenis ini dapat dikonversi dari satu ke yang lain, namun selama konversi tersebut pemenuhan persyaratan harus dipantau kecukupan MM dari sistem yang sedang dipertimbangkan.

Bentuk representasi model matematika. Saat memodelkan sistem yang kompleks secara matematis, biasanya tidak mungkin menggambarkan perilakunya dengan satu MM, dan bahkan jika MM tersebut dibangun, akan menjadi terlalu rumit untuk analisis kuantitatif. Oleh karena itu, sistem seperti itu biasanya diterapkan prinsip dekomposisi. Ini terdiri dari pembagian sistem secara kondisional menjadi subsistem yang memungkinkan studi independen mereka, diikuti dengan pertimbangan pengaruh timbal balik mereka satu sama lain. Pada gilirannya, prinsip dekomposisi dapat diterapkan pada setiap subsistem yang dipilih hingga ke tingkat elemen yang cukup sederhana. Dalam hal ini timbullah hirarki Subsistem yang saling berhubungan MM. Tingkat hierarki juga dibedakan untuk masing-masing jenis MM. Misalnya, di antara sistem MM struktural, MM topologi diklasifikasikan pada tingkat hierarki yang lebih tinggi , dan ke tingkat yang lebih rendah, ditandai dengan detail yang lebih besar, - MM geometris . Di antara tingkatan fungsional, tingkat hierarki mencerminkan tingkat detail dalam deskripsi proses yang terjadi dalam sistem dan elemen-elemennya. Dari sudut pandang ini, tiga level utama biasanya dibedakan: level mikro - makro - dan meta.

Model matematika tingkat mikro menggambarkan proses dalam sistem dengan parameter terdistribusi, dan model matematika tingkat makro- dalam sistem dengan parameter yang disamakan. Yang pertama, variabel fase dapat bergantung pada waktu dan koordinat spasial, dan yang kedua, hanya pada waktu.

Jika dalam MM tingkat makro jumlah variabel fase berada di urutan 10 4 -10 5 , maka analisis kuantitatif MM tersebut menjadi rumit dan memerlukan sumber daya komputasi yang signifikan. Selain itu, dengan banyaknya variabel fase, sulit untuk mengidentifikasi karakteristik penting dari sistem dan ciri-ciri perilakunya. Dalam hal ini, dengan menggabungkan dan memperbesar elemen-elemen sistem yang kompleks, mereka berusaha untuk mengurangi jumlah variabel fase dengan mengecualikan parameter internal elemen dari pertimbangan, membatasi diri hanya pada deskripsi hubungan timbal balik antara elemen yang diperbesar. Pendekatan ini khas untuk MM tingkat meta.

Bentuk presentasi yang paling umum dinamis(evolusioner) MM tingkat mikro merupakan rumusan masalah nilai batas persamaan diferensial fisika matematika. Rumusan ini mencakup persamaan diferensial parsial dan syarat batas. Pada gilirannya, kondisi batas berisi kondisi awal dan kondisi batas. Kondisi awal mencakup distribusi variabel fase yang diinginkan pada suatu titik waktu. Batas-batas wilayah spasial, yang konfigurasinya sesuai dengan elemen yang dipertimbangkan atau sistem secara keseluruhan, merupakan kondisi batas. Saat merepresentasikan MM, disarankan untuk menggunakan variabel tak berdimensi dan koefisien persamaan.

MM tingkat mikro disebut satu dimensi, dua dimensi, atau tiga dimensi , jika variabel fase yang diperlukan masing-masing bergantung pada satu, dua atau tiga koordinat spasial. Dua jenis MM terakhir digabungkan menjadi model matematika multidimensi tingkat mikro .

Pemodelan, konsep umum

Tugas pemodelan adalah mempelajari objek atau proses kompleks dengan menggunakan model fisik atau matematikanya. Tujuan pemodelan adalah untuk menemukan solusi teknis yang optimal (terbaik menurut kriteria apa pun). Jenis pemodelan:

Ø fisik;

Ø matematika;

Ø grafis (geometris).

Saat memodelkan, sifat terpenting dari sistem yang dipelajari digantikan oleh formulasi ilmiah - model yang ketat, tetapi disederhanakan dalam kaitannya dengan fenomena alam asli. Model memberikan kemampuan untuk mendeskripsikan dan memprediksi perilaku sistem secara akurat, tetapi hanya dalam area penerapan yang sangat terbatas - selama penyederhanaan awal yang menjadi dasar pembuatan model tersebut valid.

Misalnya, saat mensimulasikan penerbangan satelit mengelilingi Bumi, dindingnya dapat dianggap benar-benar padat, dan saat mensimulasikan tumbukan satelit yang sama dengan mikrometeorit, bahkan besi superkeras dapat digambarkan dengan akurasi sangat tinggi sebagai cairan ideal yang tidak dapat dimampatkan. . Ini adalah fitur pemodelan yang paradoks - keakuratannya, yang diwujudkan oleh model perkiraan yang pada dasarnya tidak akurat, hanya cocok untuk area fenomena tertentu, model sistem nyata.

Proses fungsi dan struktur sistem dapat digambarkan melalui pemodelan matematika. Pemodelan matematika adalah proses menciptakan model matematika dan bertindak berdasarkan model tersebut untuk memperoleh informasi tentang sistem nyata. Model matematika adalah sekumpulan objek matematika dan hubungan di antara objek-objek tersebut, yang secara memadai mencerminkan sifat-sifat terpenting dari sistem. Objek matematika – angka, variabel, matriks, dll. Hubungan antar objek matematika - persamaan, pertidaksamaan, dll. Setiap perhitungan ilmiah dan teknis adalah jenis pemodelan matematika khusus.

Sistem adalah sekumpulan elemen yang secara alami terhubung satu sama lain, membentuk satu kesatuan, yang menunjukkan hubungan antara elemen tersebut dan tujuan operasinya. Sifat-sifat suatu sistem berbeda dengan jumlah sifat-sifat unsur-unsurnya. Contoh: Mesin ¹ å(bagian + komponen); Manusia ¹ å(otak + hati + tulang belakang).

Klasifikasi model matematika

Berdasarkan metode analisisnya, model matematika dibagi menjadi analitis, algoritmik, dan simulasi.

Model analitik dapat berupa:

1) kualitatif, ketika sifat ketergantungan parameter keluaran pada parameter masukan, keberadaan solusi, dll. Misalnya, apakah gaya potong akan bertambah atau berkurang seiring bertambahnya kecepatan, apakah mungkin bergerak dengan kecepatan lebih besar dari kecepatan cahaya, dll. Membangun model seperti itu merupakan langkah penting ketika mempelajari sistem yang kompleks.

2) model penghitungan (analitis) mewakili ketergantungan matematis yang jelas antara karakteristik masukan, internal dan keluaran sistem. Model seperti itu selalu lebih disukai karena paling efektif dalam menganalisis hukum fungsi sistem, optimasi, dll. Sayangnya, tidak selalu mungkin untuk mendapatkannya dan hanya dengan penyederhanaan signifikan dari sistem yang diteliti. Selain model komputasi (analitis) yang dibangun atas dasar pemahaman tentang proses-proses yang terjadi dalam sistem, dapat juga berupa model yang dibangun atas dasar analisis hasil percobaan dengan “kotak hitam”. Contohnya adalah ketergantungan gaya potong pada kecepatan, umpan dan kedalaman potong.

3) numerik, ketika mereka memperoleh nilai numerik dari parameter keluaran untuk nilai masukan tertentu. Contohnya adalah perhitungan elemen hingga. Model numerik bersifat universal, tetapi hanya memberikan hasil parsial, sehingga sulit untuk menarik kesimpulan umum.

Model algoritmik disajikan dalam bentuk algoritma komputasi. Berbeda dengan model analitik, kemajuan penghitungan bergantung pada hasil antara.

Pemodelan simulasi didasarkan pada gambaran langsung terhadap objek yang dimodelkan. Saat membangun model simulasi, hukum fungsi setiap elemen secara terpisah dan hubungan di antara mereka dijelaskan. Berbeda dengan analitis, hal ini ditandai dengan kesamaan struktural antara objek dan model. Pemodelan simulasi paling sering digunakan dalam studi proses acak yang kompleks. Misalnya, blanko yang ukurannya tersebar acak disuplai ke input model jalur otomatis (AL). Selain itu, model pemrosesan pada setiap mesin AL peka terhadap dimensi benda kerja sebenarnya. Setelah “pemrosesan” virtual ratusan ribu benda kerja, dimungkinkan untuk menemukan serangkaian keadaan di mana AL akan berhenti dan menghindarinya selama desain.

Berdasarkan sifat fungsinya dan jenis parameter sistemnya, model matematika juga dibedakan menjadi

kontinu dan diskrit;

statis dan dinamis;

deterministik dan stokastik (probabilistik).

Dalam sistem kontinu, parameternya berubah secara bertahap, dalam sistem diskrit parameternya berubah secara tiba-tiba dan impulsif. Misalnya, dalam model pemotong belok, keausan terus meningkat, dan kegagalan (pelat terkelupas) terjadi secara instan - secara diam-diam.

Pada model statis, semua parameter yang termasuk dalam model mempunyai nilai konstan dan parameter hasil perhitungan pada keluaran sistem berubah bersamaan dengan perubahan parameter pada masukan. Model seperti itu menggambarkan sistem dengan proses transien yang membusuk dengan cepat.

Model dinamis memperhitungkan inersia sistem. Akibatnya, perubahan parameter keluaran tertinggal dibandingkan perubahan parameter masukan. Model seperti ini lebih akurat menggambarkan sistem sebenarnya, namun lebih sulit untuk diimplementasikan.

Output dari sistem deterministik secara unik ditentukan oleh input dan kondisi saat ini. Kemungkinan perubahan acak pada parameter sistem atau parameter masukan diabaikan. Sebaliknya, dalam sistem stokastik, sifat probabilistik dari perubahan parameter sistem diperhitungkan, dengan mengambil nilai acak sesuai dengan hukum distribusi tertentu.

Fitur klasifikasi utama dan jenis MM yang digunakan dalam CAD diberikan pada Tabel 1.

Tabel 1.

Tanda klasifikasi	Model matematika
Sifat properti objek yang ditampilkan	Struktural; fungsional
Milik tingkat hierarki	Level mikro; level makro; tingkat meta
Tingkat kerincian uraian dalam satu tingkat	Penuh; makromodel
Metode untuk mewakili properti objek	Analitik, algoritmik, simulasi
Metode untuk mendapatkan model	Teoritis, empiris

Berdasarkan sifat properti yang ditampilkan dari objek MM dibagi menjadi struktural Dan fungsional.

Struktural MM dimaksudkan untuk menampilkan sifat struktural suatu objek. Ada MM struktural topologi Dan geometris.

DI DALAM topologi MM menampilkan komposisi dan hubungan unsur-unsur suatu objek. Model topologi dapat berbentuk grafik, tabel (matriks), daftar, dll.

DI DALAM geometris MM menampilkan sifat-sifat geometris suatu benda, selain informasi tentang kedudukan relatif unsur-unsurnya, juga memuat informasi tentang bentuk bagian-bagiannya. MM geometris dapat dinyatakan dengan sekumpulan persamaan garis dan permukaan; hubungan aljabar yang menggambarkan daerah-daerah yang menyusun tubuh suatu benda; grafik dan daftar yang menampilkan struktur dari elemen struktur standar, dll.

MM fungsional dimaksudkan untuk menampilkan proses fisik atau informasi yang terjadi pada suatu objek selama pengoperasian atau pembuatannya. MM fungsional adalah sistem persamaan yang menghubungkan variabel fase, parameter internal, eksternal dan keluaran, mis. algoritma untuk menghitung vektor parameter keluaran Y untuk vektor parameter elemen tertentu X dan parameter eksternal Q.

Banyaknya tingkatan hierarki dalam pemodelan ditentukan oleh kompleksitas objek yang dirancang dan kemampuan alat desain. Namun, untuk sebagian besar mata pelajaran, tingkatan hierarki yang ada dapat diklasifikasikan menjadi salah satu dari tiga tingkatan umum, yang disebut di bawah ini sebagai mikro-, makro- Dan tingkat meta.

Tergantung pada tempat dalam hierarki deskripsi model matematika dibagi menjadi MM yang berkaitan dengan mikro-, makro- Dan tingkat meta.

Fitur MM di tingkat mikro merupakan cerminan proses fisik yang terjadi dalam ruang dan waktu yang berkesinambungan. MM yang umum di tingkat mikro adalah persamaan diferensial parsial (PDE).

Di tingkat makro mereka menggunakan diskritisasi ruang yang diperbesar menurut kriteria fungsional, yang mengarah pada representasi MM pada tingkat ini dalam bentuk sistem persamaan diferensial biasa (ODE). Sistem ODE adalah model universal pada tingkat makro, cocok untuk menganalisis kondisi objek yang dinamis dan stabil. Model mode keadaan tunak juga dapat direpresentasikan dalam bentuk sistem persamaan aljabar. Urutan sistem persamaan bergantung pada jumlah elemen objek yang dipilih. Jika orde sistem mendekati 10 3, maka pengoperasian model menjadi sulit dan oleh karena itu perlu beralih ke representasi dalam tingkat meta.

Di tingkat meta Kumpulan bagian yang cukup rumit diambil sebagai elemen. tingkat meta ditandai dengan berbagai macam jenis MM yang digunakan. Bagi banyak objek, MM pada tingkat meta masih diwakili oleh sistem ODE. Namun, karena model tidak menggambarkan variabel fase internal elemen, tetapi hanya variabel fase yang terkait dengan hubungan timbal balik elemen yang muncul, memperbesar elemen pada tingkat meta berarti memperoleh MM dimensi yang dapat diterima untuk objek yang jauh lebih kompleks daripada di tingkat makro. .

Di sejumlah mata pelajaran, dimungkinkan untuk menggunakan fitur khusus dari fungsi objek untuk menyederhanakan MM. Contohnya adalah perangkat otomasi digital elektronik, yang memungkinkan untuk menggunakan representasi diskrit dari variabel fase seperti tegangan dan arus. Hasilnya, MM menjadi sistem persamaan logis yang menggambarkan proses konversi sinyal. Model logis seperti ini secara signifikan lebih ekonomis dibandingkan model listrik yang menggambarkan perubahan tegangan dan arus sebagai fungsi waktu yang berkelanjutan. Kelas penting MM aktif tingkat meta dandan model antrian, digunakan untuk menggambarkan proses berfungsinya sistem informasi dan komputasi, area produksi, jalur dan bengkel.

Model struktural juga dibagi menjadi model dengan tingkat hierarki yang berbeda. Pada saat yang sama, penggunaan model geometris mendominasi pada tingkat hierarki yang lebih rendah, sedangkan model topologi digunakan pada tingkat hierarki yang lebih tinggi.

Sesuai dengan tingkat detail deskripsi dalam setiap tingkat hierarki mengalokasikan penuh MM dan makromodel.

Penuh MM adalah model di mana variabel fase muncul yang mencirikan keadaan semua koneksi antar elemen yang ada (yaitu keadaan semua elemen objek yang dirancang), yang menggambarkan tidak hanya proses di terminal eksternal objek yang dimodelkan, tetapi juga proses internal objek.

model makro- MM, yang menampilkan status koneksi antar elemen dalam jumlah yang jauh lebih kecil, yang sesuai dengan deskripsi objek dengan pilihan elemen yang diperbesar.

Catatan. Konsep “MM penuh” dan “model makro” bersifat relatif dan biasanya digunakan untuk membedakan dua model yang menampilkan tingkat detail berbeda dalam mendeskripsikan properti suatu objek.

Dengan cara merepresentasikan properti objek MM fungsional dibagi menjadi analitis Dan algoritmik.

Analitis MM adalah ekspresi eksplisit dari parameter keluaran sebagai fungsi masukan dan parameter internal. MM semacam itu dicirikan oleh efisiensi tinggi, tetapi memperoleh ekspresi eksplisit hanya mungkin dalam kasus-kasus khusus tertentu, sebagai aturan, ketika membuat asumsi dan batasan signifikan yang mengurangi akurasi dan mempersempit kisaran kecukupan model.

Algoritma MM mengungkapkan hubungan antara parameter keluaran dan parameter internal dan eksternal dalam bentuk suatu algoritma.

Imitasi MM adalah model algoritmik yang mencerminkan perilaku objek yang diteliti dari waktu ke waktu ketika pengaruh eksternal pada objek ditentukan. Contoh simulasi MM antara lain model objek dinamis berupa sistem ODE dan model sistem antrian yang ditentukan dalam bentuk algoritmik.

Biasanya di model simulasi variabel fase muncul. Jadi, pada tingkat makro, model simulasi adalah sistem persamaan diferensial aljabar:

Di mana V- vektor variabel fase; T- waktu; V Hai- vektor kondisi awal. Contoh variabel fasa antara lain arus dan tegangan pada sistem kelistrikan, gaya dan kecepatan pada sistem mekanis, tekanan dan laju aliran pada sistem hidrolik.

Parameter keluaran sistem dapat terdiri dari dua jenis. Pertama, ini adalah parameter fungsional, yaitu fungsi ketergantungan V( T) jika menggunakan (1). Contoh parameter tersebut: amplitudo sinyal, waktu tunda, kekuatan disipasi, dll. Kedua, ini adalah parameter yang mencirikan kemampuan objek yang dirancang untuk beroperasi dalam kondisi eksternal tertentu. Parameter keluaran ini adalah nilai batas rentang variabel eksternal di mana fungsionalitas objek dipertahankan.

Saat merancang objek teknis, dua kelompok utama prosedur dapat dibedakan: analisis dan sintesis. Sintesis ditandai dengan penggunaan model struktural, dan analisis ditandai dengan penggunaan model fungsional. Dukungan matematis untuk analisis meliputi model matematika, metode numerik, dan algoritma untuk melakukan prosedur desain. Komponen MO ditentukan oleh peralatan matematika dasar yang spesifik untuk setiap tingkat desain hierarki.

Dalam CAD, analisis dilakukan dengan pemodelan matematika.

Pemodelan matematika- proses pembuatan model dan pengoperasiannya untuk memperoleh informasi tentang suatu objek nyata.

Pemodelan sebagian besar objek teknis dapat dilakukan pada tingkat mikro, makro, dan meta, berbeda dalam tingkat detail pertimbangan proses dalam objek.

level mikro, ditelepon didistribusikan, adalah sistem persamaan diferensial parsial (PDDE), yang menggambarkan proses dalam medium kontinu dengan kondisi batas tertentu. Variabel bebasnya adalah koordinat spasial dan waktu. Untuk model pada level mikro Banyak perbandingan fisika matematika yang berlaku. Objek kajiannya adalah bidang besaran fisika yang diperlukan dalam analisis kekuatan struktur bangunan atau bagian teknik, mempelajari proses dalam media cair, memodelkan konsentrasi dan aliran partikel pada perangkat elektronik, dll. Dengan menggunakan persamaan tersebut, bidang tegangan mekanik dan deformasi, dan potensi listrik dihitung, tekanan, suhu, dll. Kemungkinan penggunaan MM dalam bentuk PDE terbatas pada bagian-bagian individual; upaya untuk menggunakannya untuk menganalisis proses di lingkungan multikomponen, unit perakitan, dan sirkuit elektronik tidak dapat berhasil karena peningkatan biaya waktu dan memori komputer yang berlebihan.

Sistem persamaan diferensial biasanya diketahui (persamaan lumpuh untuk mekanika media elastis; persamaan Navier-Stokes untuk hidrolika; persamaan panas untuk termodinamika, dll.), tetapi solusi eksaknya hanya dapat diperoleh untuk kasus-kasus khusus, jadi masalah pertama yang muncul saat pemodelan adalah membangun model diskrit perkiraan. Untuk itu digunakan metode beda hingga dan persamaan batas integral, salah satu variannya adalah metode elemen batas.

Jumlah lingkungan berbeda yang dipelajari bersama (jumlah bagian, lapisan material, fase keadaan agregasi) dalam model tingkat mikro yang digunakan secara praktis tidak boleh banyak karena kesulitan komputasi. Satu-satunya cara untuk mengurangi biaya komputasi secara signifikan di lingkungan multi-komponen adalah dengan menggunakan pendekatan pemodelan yang berbeda berdasarkan asumsi tertentu.

Asumsi yang diungkapkan oleh diskritisasi ruang memungkinkan kita beralih ke model level makro, ditelepon Denganterfokus. Model matematika suatu objek teknis pada level makro adalah sistem persamaan diferensial aljabar dan biasa (ODE) dengan kondisi awal tertentu.

Dalam persamaan ini variabel bebasnya adalah waktu T, dan vektor variabel terikat V merupakan variabel fase yang mengkarakterisasi keadaan elemen yang diperbesar dari ruang diskritisasi. Variabel tersebut meliputi gaya dan kecepatan sistem mekanis, tegangan dan arus sistem kelistrikan, tekanan dan laju aliran sistem hidrolik dan pneumatik, dll.

MM didasarkan pada persamaan komponen elemen individu dan persamaan topologi, yang bentuknya ditentukan oleh hubungan antar elemen. Prasyarat untuk terciptanya analisis matematis dan perangkat lunak terpadu di tingkat makro adalah analogi komponen dan persamaan topologi dari subsistem yang homogen secara fisik yang membentuk suatu objek teknis. Metode formal digunakan untuk mendapatkan persamaan topologi.

Metode utama untuk mendapatkan objek MM di tingkat makro adalah:

Metode umum

Metode tabel

Metode simpul

Metode variabel keadaan.

Metode-metode tersebut berbeda satu sama lain dalam jenis dan dimensi sistem persamaan yang dihasilkan, metode mendiskritisasi persamaan komponen cabang reaktif, dan jenis cabang tak bebas yang diperbolehkan. Penyederhanaan deskripsi masing-masing komponen (bagian) memungkinkan untuk mempelajari model proses pada perangkat, perangkat, unit mekanis, yang jumlah komponennya dapat mencapai beberapa ribu. Untuk objek teknis yang kompleks, dimensi MM menjadi terlalu tinggi, dan untuk pemodelan perlu berpindah ke level meta.

Pada tingkat meta terutama memodelkan dua kategori objek teknis: objek yang menjadi subjek penelitian teori kendali otomatis, dan objek yang menjadi subjek teori antrian. Untuk objek kategori pertama, dimungkinkan untuk menggunakan peralatan matematika tingkat makro, untuk objek kategori kedua, metode pemodelan peristiwa digunakan.

Ketika jumlah komponen dalam sistem yang diteliti melebihi ambang batas tertentu, kompleksitas model sistem pada tingkat makro kembali menjadi berlebihan. Setelah menerima asumsi yang sesuai, kami melanjutkan ke fungsional-logis suatu tingkatan dimana peralatan fungsi transfer digunakan untuk mempelajari proses analog (kontinu) atau peralatan logika matematika dan mesin keadaan terbatas, jika objek kajiannya adalah proses diskrit.

Untuk mempelajari objek yang lebih kompleks (perusahaan manufaktur dan asosiasinya, sistem dan jaringan komputer, sistem sosial, dll.), digunakan peralatan teori antrian; juga dimungkinkan untuk menggunakan beberapa pendekatan lain, misalnya jaring Petri. Model-model ini milik sistemik tingkat pemodelan.

Klasifikasi model matematika juga dapat didekati dari sudut pandang yang berbeda, dengan mendasarkan klasifikasi pada prinsip yang berbeda (lihat Tabel 20.1).

menurut cabang ilmu pengetahuan : model matematika dalam fisika, biologi, sosiologi, dll. Klasifikasi seperti itu wajar bagi seorang spesialis dalam satu ilmu atau bidang studi.

Model dapat diklasifikasikan sesuai dengan alat matematika yang digunakan : model berdasarkan penggunaan persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, metode statistik-probabilistik, transformasi aljabar diskrit, dll. Klasifikasi seperti itu nyaman bagi seorang spesialis di bidang pemodelan matematika.

Tergantung dari tujuan pemodelan Klasifikasi berikut dapat diberikan:

· model deskriptif (deskriptif);

· model optimasi kriteria tunggal;

· optimasi model multikriteria;

· model permainan;

· model simulasi.

Misalnya, ketika memodelkan pergerakan komet di tata surya, lintasan penerbangannya dijelaskan (diprediksi), jarak yang akan dilaluinya dari Bumi, dll., yaitu, tujuan deskriptif murni ditetapkan. Peneliti tidak memiliki kesempatan untuk mempengaruhi pergerakan komet atau mengubah apapun.

Dalam kasus lain, Anda dapat mempengaruhi proses dalam upaya mencapai tujuan tertentu.

Misalnya, Dengan mengubah jangkauan produk yang diproduksi perusahaan dan volume output setiap jenis produk, seseorang dapat menemukan nilai di mana keuntungan maksimum dicapai, yaitu. rencana produksi yang optimal ditentukan berdasarkan kriteria maksimalisasi keuntungan.

Seringkali Anda harus menemukan solusi optimal untuk suatu masalah berdasarkan beberapa kriteria sekaligus, dan tujuannya bisa sangat kontradiktif.

Misalnya, mengetahui harga pangan dan kebutuhan pangan manusia, menentukan pola makan sekelompok besar orang (di tentara, perkemahan musim panas, dll) yang paling murah dan bergizi. Jelas sekali bahwa tujuan-tujuan ini mungkin bertentangan satu sama lain dan perlu dicari solusi kompromi yang memenuhi semua kriteria sampai batas tertentu.

Model permainan tidak hanya dapat dikaitkan dengan permainan anak-anak (termasuk permainan komputer), tetapi juga dengan hal-hal yang sangat serius.

Misalnya, Sebelum pertempuran, jika ada informasi yang tidak lengkap tentang pasukan lawan, komandan harus mengembangkan rencana: bagaimana cara memasukkan unit-unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., dengan mempertimbangkan kemungkinan reaksi musuh.

Akhirnya, model tersebut sebagian besar meniru proses nyata, yaitu. meniru dia.

Misalnya, Dengan memodelkan perubahan (dinamika) jumlah mikroorganisme dalam suatu koloni, Anda dapat mempertimbangkan banyak objek individu dan memantau nasib masing-masing objek, menetapkan kondisi tertentu untuk kelangsungan hidup, reproduksi, dll. Dalam hal ini, deskripsi matematis eksplisit dari proses tersebut tidak dapat digunakan, digantikan oleh kondisi tertentu (misalnya, setelah jangka waktu tertentu, mikroorganisme terbagi menjadi dua bagian, dan pada periode lain ia mati).

Saat ini pemodelan banyak digunakan dalam pengelolaan berbagai sistem, dimana proses utamanya adalah pengambilan keputusan berdasarkan informasi yang diterima. Pemodelan digunakan dalam penelitian, desain, dan implementasi sistem komputer (CS) dan sistem kendali otomatis (ACS).

Pemilihan model matematika tergantung pada tahap pengembangan sistem. Pada tahap pemeriksaan objek kendali (misalnya, perusahaan industri) dan pengembangan spesifikasi teknis untuk desain pesawat terbang, sistem kendali otomatis, model deskriptif dibangun dan tujuannya adalah untuk menyajikan informasi secara lengkap dalam bentuk yang ringkas. tentang objek yang diperlukan untuk pengembang sistem.

Pada tahap pengembangan desain teknis pesawat, sistem kendali otomatis, pemodelan berfungsi untuk memecahkan masalah desain, yaitu. pemilihan opsi optimal menurut kriteria tertentu atau serangkaian kriteria di bawah batasan tertentu dari serangkaian kriteria yang dapat diterima (pembangunan model optimasi kriteria tunggal dan multikriteria).

Pada tahap implementasi dan pengoperasian pesawat terbang dan sistem kendali otomatis, model simulasi dibangun untuk mereproduksi situasi yang mungkin terjadi guna membuat keputusan yang tepat dan menjanjikan mengenai pengelolaan fasilitas. Model permainan dan simulasi juga banyak digunakan dalam pengajaran dan pelatihan tenaga.

Tergantung pada sifat proses yang sedang dipelajari , terjadi dalam suatu sistem (objek), semua jenis model dapat dibagi menjadi deterministik dan stokastik, statis dan dinamis, diskrit, kontinu, dan kontinu diskrit.

Model deterministik menampilkan proses deterministik, mis. proses di mana diasumsikan tidak adanya pengaruh acak. Dalam model deterministik, parameter masukan dapat diukur secara jelas dan dengan tingkat akurasi apa pun, mis. adalah besaran deterministik. Dengan demikian, proses evolusi sistem tersebut ditentukan.

Misalnya, model deterministik digunakan dalam fisika (model pergerakan mobil selama gerak dipercepat beraturan: dengan mengatur kecepatan dan percepatan awal, Anda dapat secara akurat menghitung jalur yang ditempuh mobil sejak mulai bergerak dalam kondisi ideal); deterministik model juga digunakan untuk menggambarkan pergerakan benda langit dalam astronomi.

Model stokastik (teori-probabilitas). digunakan untuk menampilkan proses dan kejadian probabilistik. Dalam hal ini, sejumlah realisasi dari proses acak dianalisis dan karakteristik rata-rata diperkirakan. Dalam model stokastik, nilai parameter masukan (variabel) hanya diketahui dengan tingkat probabilitas tertentu, yaitu. parameter ini bersifat stokastik; Dengan demikian, proses evolusi sistem akan terjadi secara acak.

Misalnya, model yang menggambarkan perubahan suhu udara sepanjang tahun. Tidak mungkin memprediksi secara akurat suhu udara untuk periode mendatang; hanya kisaran perubahan suhu dan probabilitas bahwa suhu udara sebenarnya akan berada dalam kisaran ini yang dapat ditentukan.

Model stokastik digunakan untuk mempelajari suatu sistem yang keadaannya tidak hanya bergantung pada pengaruh yang terkontrol tetapi juga pada pengaruh yang tidak terkontrol, atau dimana terdapat sumber keacakan di dalamnya. Sistem stokastik mencakup semua sistem yang mencakup manusia, misalnya pabrik, bandara, sistem dan jaringan komputer, toko, layanan konsumen, dll.

Model statis berfungsi untuk mendeskripsikan perilaku suatu objek pada titik waktu mana pun, dan model dinamis mencerminkan perilaku suatu objek dari waktu ke waktu.

Misalnya, model statistik probabilistik yang menggambarkan hubungan antara indikator kinerja tahunan (laba, volume produksi, dana upah, dll.) dari perusahaan perdagangan Novosibirsk selama setahun terakhir adalah statis. Indikator tahunan selama satu tahun, misalnya untuk 100 perusahaan perdagangan, digunakan sebagai data awal untuk pemodelan.

Jika masalah yang sama dipecahkan, namun indikatornya dipelajari selama beberapa tahun, maka model dinamis harus digunakan untuk menggambarkan hubungan tersebut. Dalam deskripsi matematis model dinamis, variabel waktu selalu ada; dalam deskripsi matematis model statis, waktu tidak dimasukkan atau ditetapkan pada tingkat tertentu.

Model Diskrit berfungsi untuk menggambarkan proses yang diasumsikan diskrit, masing-masing model berkelanjutan memungkinkan Anda untuk mencerminkan proses berkelanjutan dalam sistem, dan simulasi diskrit-kontinu digunakan untuk kasus di mana mereka ingin menyoroti keberadaan proses diskrit dan berkelanjutan.

Misalnya, Pengoperasian filter pembeda dimodelkan: setiap langkah waktu, sinyal masukan X(t) disuplai pada interval yang sama; pada keluaran, nilai turunan X"(t) diambil. Dalam hal ini, masukan dan sinyal keluaran bersifat diskrit dalam waktu dan, karenanya, modelnya juga diskrit.

Contoh model waktu kontinu - model simulasi yang menggambarkan proses pemrosesan suku cadang di area produksi bengkel selama shift kerja. Input model menerima permintaan (bagian) pada interval waktu acak, dan interval pemrosesan bagian juga diatur secara acak. Output dari model ini adalah perkiraan waktu pemrosesan rata-rata suatu bagian, perkiraan waktu tunggu rata-rata dalam antrian pemrosesan, kemungkinan waktu henti peralatan, dll. Pengoperasian sistem disimulasikan secara terus menerus selama jangka waktu tertentu (shift kerja), yaitu. Kapan saja, suatu suku cadang dapat tiba untuk diproses atau pemrosesan suatu suku cadang dapat diselesaikan.

Model matematika adalah penyederhanaan situasi nyata dan merupakan objek abstrak yang dijelaskan secara formal, yang studinya dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai metode matematika.

Mari kita pertimbangkan klasifikasi model matematika.

Model matematika dibagi menjadi:

1. Tergantung pada sifat properti objek yang ditampilkan:

· fungsional;

· struktural.

Model matematika fungsional dirancang untuk menampilkan informasi, fisik, proses waktu yang terjadi pada peralatan yang beroperasi, selama proses teknologi, dll.

Dengan demikian, model fungsional- menampilkan proses berfungsinya objek. Mereka paling sering berbentuk sistem persamaan.

Model struktural- dapat berbentuk matriks, grafik, daftar vektor dan menyatakan kedudukan relatif unsur-unsur dalam ruang. Model-model ini biasanya digunakan dalam kasus-kasus di mana masalah-masalah sintesis struktural dapat dirumuskan dan dipecahkan, mengabstraksi dari proses-proses fisik dalam suatu objek. Mereka mencerminkan sifat struktural dari objek yang dirancang.

Untuk mendapatkan representasi statis dari objek yang dimodelkan, sekelompok metode disebut model skema - ini adalah metode analisis yang menyertakan representasi grafis dari operasi sistem. Misalnya diagram alir, diagram, diagram operasi multifungsi, dan diagram alur.

2. Menurut metode memperoleh model matematika fungsional:

· teoretis;

· resmi;

· empiris.

Teoretis diperoleh berdasarkan studi hukum fisika. Struktur persamaan dan parameter model memiliki interpretasi fisik tertentu.

Resmi diperoleh berdasarkan manifestasi sifat-sifat objek yang dimodelkan di lingkungan luar, yaitu. menganggap suatu objek sebagai “kotak hitam” sibernetik.

Pendekatan teoretis memungkinkan kita memperoleh model yang lebih universal yang valid untuk rentang perubahan parameter eksternal yang lebih luas.

Resmi - lebih akurat pada titik dalam ruang parameter di mana pengukuran dilakukan.

Model matematika empiris dibuat sebagai hasil dari melakukan eksperimen (mempelajari manifestasi eksternal dari sifat-sifat suatu objek dengan mengukur parameternya pada input dan output) dan memproses hasilnya menggunakan metode statistik matematika.

3. Berdasarkan linearitas dan nonlinier persamaan:

· linier;

· nonlinier.

4. Tergantung pada himpunan domain dan nilai variabel model, ada:

· kontinu

· terpisah (domain definisi dan nilai bersifat kontinu);

· diskrit kontinu (domain definisinya kontinu, dan rentang nilainya diskrit). Model ini terkadang disebut terkuantisasi;

· diskrit-kontinu (domain definisinya diskrit, dan rentang nilainya kontinu). Model-model ini disebut diskrit;

· digital (domain definisi dan nilai bersifat diskrit)

5. Menurut bentuk hubungan antara keluaran, parameter internal dan eksternal:

· algoritmik;

· analitis;

· numerik.

Algoritma disebut model yang disajikan dalam bentuk algoritma yang menggambarkan urutan operasi yang ditafsirkan secara unik yang dilakukan untuk memperoleh hasil yang diinginkan.

Model matematika algoritmik mengungkapkan hubungan antara parameter keluaran dan masukan serta parameter internal dalam bentuk suatu algoritma.

Model matematika analitik adalah deskripsi formal dari suatu objek (fenomena, proses) yang mewakili ekspresi matematika eksplisit dari parameter keluaran sebagai fungsi masukan dan parameter internal.

Pemodelan analitik didasarkan pada deskripsi tidak langsung dari objek yang dimodelkan dengan menggunakan seperangkat rumus matematika. Bahasa deskripsi analitis berisi kelompok utama elemen semantik berikut: kriteria (kriteria), tidak diketahui, data, operasi matematika, batasan. Ciri yang paling signifikan dari model analitik adalah model tersebut tidak mirip secara struktural dengan objek yang dimodelkan. Kesamaan struktural di sini mengacu pada korespondensi yang jelas antara elemen dan hubungan model dengan elemen dan hubungan objek yang dimodelkan. Model analitik meliputi model yang dibangun berdasarkan pemrograman matematika, analisis korelasi dan regresi. Model analitik selalu merupakan konstruk yang dapat dianalisis dan diselesaikan secara matematis. Jadi, jika digunakan alat pemrograman matematika, maka model tersebut pada dasarnya terdiri dari fungsi tujuan dan sistem pembatasan variabel. Fungsi tujuan biasanya menyatakan karakteristik suatu objek (sistem) yang perlu dihitung atau dioptimalkan. Secara khusus, ini mungkin merupakan kinerja sistem teknologi. Variabel menyatakan karakteristik teknis suatu objek (sistem), termasuk variabel, batasan – nilai batas yang diizinkan.

Model analitik merupakan alat yang efektif untuk memecahkan masalah optimasi proses yang terjadi dalam sistem teknologi, serta mengoptimalkan dan menghitung karakteristik sistem teknologi itu sendiri.

Poin penting adalah dimensi model analitik tertentu. Seringkali untuk sistem teknologi nyata (jalur otomatis, sistem produksi fleksibel), dimensi model analitiknya sangat besar sehingga mendapatkan solusi optimal menjadi sangat sulit dari sudut pandang komputasi. Untuk meningkatkan efisiensi komputasi dalam hal ini, berbagai teknik digunakan. Salah satunya terkait dengan pembagian masalah berdimensi besar menjadi submasalah yang berdimensi lebih kecil sehingga penyelesaian submasalah secara otonom dalam urutan tertentu memberikan solusi terhadap masalah utama. Dalam hal ini timbul masalah dalam mengatur interaksi subtugas yang tidak selalu sederhana. Teknik lain melibatkan pengurangan keakuratan perhitungan, sehingga mengurangi waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah.

Model analisis dapat dipelajari dengan metode sebagai berikut:

· analitis, ketika mereka berusaha untuk memperoleh ketergantungan secara umum untuk karakteristik yang diinginkan;

· numerik, ketika mereka berusaha untuk memperoleh hasil numerik dengan data awal yang spesifik;

· kualitatif, ketika, dengan memiliki solusi dalam bentuk eksplisit, seseorang dapat menemukan beberapa sifat solusi (menilai stabilitas solusi).

Namun, pemodelan analitis memberikan hasil yang baik dalam kasus sistem yang cukup sederhana. Dalam kasus sistem yang kompleks, penyederhanaan model awal yang signifikan diperlukan untuk mempelajari setidaknya sifat umum sistem. Hal ini memungkinkan Anda memperoleh hasil perkiraan, dan untuk menentukan perkiraan yang lebih akurat, gunakan metode lain, misalnya, pemodelan simulasi.

Model numerik dicirikan oleh ketergantungan jenis ini, yang hanya memungkinkan solusi diperoleh dengan metode numerik untuk kondisi awal tertentu dan parameter kuantitatif model.

6. Tergantung pada apakah persamaan model memperhitungkan inersia proses pada objek atau tidak memperhitungkan:

· dinamis atau model inersia(ditulis dalam bentuk persamaan atau sistem persamaan diferensial atau integrodiferensial) ;

· statis atau model non-inersia(ditulis dalam bentuk persamaan aljabar atau sistem persamaan aljabar).

7. Tergantung pada ada tidaknya ketidakpastian dan jenis ketidakpastian, modelnya adalah:

· deterministik e (tidak ada ketidakpastian);

· stokastik (ada ketidakpastian berupa variabel acak atau proses yang dijelaskan dengan metode statistik berupa hukum atau fungsi distribusi, serta karakteristik numerik);

· kusut (untuk menggambarkan ketidakpastian, digunakan peralatan teori himpunan fuzzy);

· digabungkan (kedua jenis ketidakpastian tersebut ada).

Secara umum, jenis model matematika tidak hanya bergantung pada sifat objek nyata, tetapi juga pada masalah yang menciptakannya, dan keakuratan penyelesaiannya.

Jenis model utama disajikan pada Gambar 2.5.

Mari kita pertimbangkan klasifikasi model matematika lainnya. Klasifikasi ini didasarkan pada konsep pengendalian suatu objek kendali. Kami akan membagi semua MM secara kondisional menjadi empat kelompok.1. Model peramalan (model perhitungan tanpa kendali). Mereka dapat dibagi menjadi statis Dan dinamis.Tujuan utama model ini: mengetahui keadaan awal dan informasi tentang perilaku pada batas, untuk memberikan perkiraan tentang perilaku sistem dalam ruang dan waktu. Model semacam itu juga bisa bersifat stokastik. Biasanya, model peramalan dijelaskan dengan persamaan dan pertidaksamaan aljabar, transendental, diferensial, integral, integro-diferensial. Contohnya termasuk model distribusi panas, medan listrik, kinetika kimia, hidrodinamika, aerodinamika, dll. 2.Model optimasi. Model-model ini juga dapat dibagi menjadi statis Dan dinamis. Model statis digunakan pada tingkat desain berbagai sistem teknologi. Dinamis - baik pada tingkat desain dan, terutama, untuk kontrol optimal berbagai proses - teknologi, ekonomi, dll. Ada dua arah dalam masalah optimasi. Termasuk yang pertama tugas deterministik. Semua informasi masukan di dalamnya dapat ditentukan sepenuhnya.Arah kedua berkaitan dengan proses stokastik. Dalam permasalahan ini, beberapa parameter bersifat acak atau mengandung unsur ketidakpastian. Banyak masalah optimasi pada perangkat otomatis, misalnya, mengandung parameter berupa noise acak dengan beberapa karakteristik probabilistik.Metode untuk mencari ekstrem dari suatu fungsi banyak variabel dengan berbagai batasan sering disebut metode pemrograman matematika. Masalah pemrograman matematika merupakan salah satu masalah optimasi yang penting. Bagian utama berikut dibedakan dalam pemrograman matematika.· Pemrograman linier . Fungsi tujuan adalah linier, dan himpunan tempat titik ekstrem fungsi tujuan dicari ditentukan oleh sistem persamaan dan pertidaksamaan linier.· Pemrograman nonlinier . Fungsi tujuan nonlinier dan batasan nonlinier.· Pemrograman cembung . Fungsi tujuan adalah cembung dan himpunan tempat masalah ekstrim diselesaikan.· Pemrograman kuadrat . Fungsi tujuan berbentuk kuadrat, dan batasannya linier.· Masalah multiekstremal. Masalah dimana fungsi tujuan memiliki beberapa ekstrem lokal. Tugas-tugas seperti itu tampaknya sangat problematis.· Pemrograman bilangan bulat. Dalam permasalahan seperti ini, kondisi bilangan bulat dikenakan pada variabel.

Beras. 4.8. Klasifikasi model matematika

Biasanya, metode analisis klasik untuk mencari ekstrem suatu fungsi beberapa variabel tidak dapat diterapkan pada masalah pemrograman matematika.Model teori kontrol optimal adalah salah satu yang paling penting dalam model optimasi. Teori matematika tentang pengendalian optimal merupakan salah satu teori yang memiliki penerapan praktis yang penting, terutama untuk pengendalian proses yang optimal. Ada tiga jenis model matematika teori kendali optimal.· Model kontrol optimal diskrit. Secara tradisional, model seperti itu disebut model pemrograman dinamis, karena metode utama untuk memecahkan masalah tersebut adalah metode pemrograman dinamis Bellman.· Model kontinu dari kontrol optimal sistem dengan parameter yang disamakan (dijelaskan dengan persamaan turunan biasa).· Model kontinu dari kontrol optimal sistem dengan parameter terdistribusi (dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial).3. Model sibernetik (permainan). Model sibernetika digunakan untuk menganalisis situasi konflik. Diasumsikan bahwa proses dinamis ditentukan oleh beberapa subjek yang memiliki beberapa parameter kontrol. Seluruh kelompok subjek dengan kepentingannya masing-masing dikaitkan dengan sistem sibernetik. 4. Pemodelan simulasi . Jenis model yang diuraikan di atas tidak mencakup sejumlah besar situasi yang berbeda, misalnya situasi yang dapat diformalkan sepenuhnya. Untuk mempelajari proses tersebut, perlu untuk memasukkan elemen “biologis” yang berfungsi – seseorang – ke dalam model matematika. Dalam situasi seperti itu, pemodelan simulasi digunakan, serta metode pemeriksaan dan prosedur informasi.