Apskaičiuokite dvigubos nelygybės šaknies sumą. Tiesinių nelygybių sprendimas

Matematinės nelygybės samprata atsirado senovėje. Tai atsitiko, kai primityvus žmogus atsirado poreikis skaičiuoti ir atlikti operacijas su įvairių daiktų palyginkite jų skaičių ir dydį. Nuo seniausių laikų Archimedas, Euklidas ir kiti žymūs mokslininkai: matematikai, astronomai, dizaineriai ir filosofai samprotavimuose naudojo nelygybę.

Tačiau jie, kaip taisyklė, savo darbuose vartojo žodinę terminologiją. Pirmą kartą Anglijoje buvo išrasti ir praktiškai pritaikyti šiuolaikiniai ženklai, žymintys sąvokas „daugiau“ ir „mažiau“ tokia forma, kokią šiandien žino kiekvienas moksleivis. Matematikas Thomas Harriot suteikė tokią paslaugą savo palikuonims. Ir tai atsitiko maždaug prieš keturis šimtmečius.

Yra žinoma daugybė nelygybių tipų. Tarp jų yra paprastų, turinčių vieną, du ar daugiau kintamųjų, kvadratinius, trupmeninius, sudėtingus santykius ir netgi tuos, kurie pavaizduoti išraiškų sistema. Geriausias būdas suprasti, kaip spręsti nelygybes, yra naudoti įvairius pavyzdžius.

Nepraleiskite traukinio

Pirmiausia įsivaizduokime, kad gyventojas kaimo vietovės skuba traukinių stotis, kuris yra 20 km atstumu nuo jo kaimo. Kad nepraleistų 11 valandą išvykstančio traukinio, jis privalo laiku išeiti iš namų. Kada tai daryti, jei jo greitis yra 5 km/h? Šios praktinės problemos sprendimas priklauso nuo reiškinio sąlygų įvykdymo: 5 (11 - X) ≥ 20, kur X yra išvykimo laikas.

Tai suprantama, nes atstumas, kurį kaimo gyventojas turi įveikti iki stoties, yra lygus judėjimo greičiui, padaugintam iš valandų skaičiaus kelyje. Žmogus gali atvykti anksti, bet negali vėluoti. Žinodami, kaip išspręsti nelygybes ir pritaikydami savo įgūdžius praktikoje, gausite X ≤ 7, tai yra atsakymas. Tai reiškia, kad kaimo gyventojas į geležinkelio stotį turėtų vykti septintą ryto arba kiek anksčiau.

Skaitiniai intervalai koordinačių tiesėje

Dabar išsiaiškinkime, kaip aprašytus ryšius susieti su aukščiau gauta nelygybė nėra griežta. Tai reiškia, kad kintamasis gali turėti reikšmes, mažesnes nei 7, arba jis gali būti lygus šiam skaičiui. Pateikime kitų pavyzdžių. Norėdami tai padaryti, atidžiai apsvarstykite keturis toliau pateiktus skaičius.

Ant pirmojo matosi grafinis vaizdas tarpas [-7; 7]. Jį sudaro skaičių rinkinys, išdėstytas koordinačių linijoje ir esantis tarp -7 ir 7, įskaitant ribas. Šiuo atveju grafiko taškai vaizduojami kaip užpildyti apskritimai, o intervalas įrašomas naudojant

Antrasis paveikslas yra grafinis griežtos nelygybės vaizdas. Šiuo atveju ribiniai skaičiai -7 ir 7, rodomi pradurtais (neužpildytais) taškais, į nurodytą rinkinį neįeina. O pats intervalas skliausteliuose rašomas taip: (-7; 7).

Tai yra, išsiaiškinę, kaip išspręsti tokio tipo nelygybes ir gavę panašų atsakymą, galime daryti išvadą, kad jį sudaro skaičiai, esantys tarp aptariamų ribų, išskyrus -7 ir 7. Kiti du atvejai turi būti įvertinti ataskaitoje. panašiu būdu. Trečiame paveikslėlyje pavaizduoti intervalų vaizdai (-∞; -7] U. Visi taškai nuspalvinti, nes nelygybės nėra griežtos.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Taikome teoremą:

Išspręskime pirmąją nelygybę. Norėdami tai padaryti, atskleisime skirtumo kvadratą. Mes turime:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x – 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Dabar išspręskime antrąją nelygybę. Ten irgi kvadratinis trinaris:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 – 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)