Racionalios lygtys ir sistemos manekenams. Video pamoka „Racionalios lygtys

29.09.2019

Šiame straipsnyje aš jums parodysiu septynių tipų racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmai, kuris keičiant kintamuosius gali būti sumažintas iki kvadratinio. Daugeliu atvejų transformacijos, lemiančios pakeitimą, yra labai nereikšmingos, ir gana sunku apie jas atspėti savarankiškai.

Kiekvienam lygties tipui paaiškinsiu, kaip joje pakeisti kintamąjį, o tada parodysiu išsamų sprendimą atitinkamame vaizdo įrašo vadove.

Jūs turite galimybę toliau spręsti lygtis patys, o tada patikrinti savo sprendimą vaizdo pamokoje.

Taigi, pradėkime.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x+2) = 40

Atkreipkite dėmesį, kad kairėje lygties pusėje yra keturių skliaustų sandauga, o dešinėje - skaičius.

1. Sugrupuokime skliaustus po du, kad laisvųjų terminų suma būtų vienoda.

2. Padauginkite juos.

3. Įveskime kintamojo kaitą.

Savo lygtyje pirmąjį skliaustą sugrupuosime su trečiuoju, o antrąjį su ketvirtuoju, nes (-1)+(-4)=(-7)+2:

Šiuo metu kintamojo pakeitimas tampa akivaizdus:

Gauname lygtį

Atsakymas:

2 .

Šio tipo lygtis yra panaši į ankstesnę su vienu skirtumu: dešinėje lygties pusėje yra skaičiaus ir sandauga. Ir tai išspręsta visiškai kitaip:

1. Sugrupuojame skliaustus po du, kad laisvųjų terminų sandauga būtų vienoda.

2. Padauginkite kiekvieną skliaustų porą.

3. Iš kiekvieno faktoriaus išimame x.

4. Padalinkite abi lygties puses iš .

5. Įvedame kintamojo kaitą.

Šioje lygtyje pirmąjį skliaustą sugrupuojame su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, nes:

Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename skliaustelyje koeficientas at ir laisvasis terminas yra vienodi. Iš kiekvieno skliausto išimkime veiksnį:

Kadangi x=0 nėra pradinės lygties šaknis, abi lygties puses padalijame iš . Mes gauname:

Gauname lygtį:

Atsakymas:

3 .

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų trupmenų vardikliai yra kvadratiniai trinariai, kurių pirmaujantis koeficientas ir laisvasis terminas yra vienodi. Išimkime x iš skliausto, kaip ir antrojo tipo lygtyje. Mes gauname:

Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalykite iš x:

Dabar galime įvesti kintamąjį pakeitimą:

Gauname kintamojo t lygtį:

4 .

Atkreipkite dėmesį, kad lygties koeficientai yra simetriški centrinės atžvilgiu. Ši lygtis vadinama grąžinamas .

Norėdami tai išspręsti,

1. Padalinkite abi lygties puses iš (Tai galime padaryti, nes x=0 nėra lygties šaknis.) Gauname:

2. Sugrupuokime terminus taip:

3. Kiekvienoje grupėje iš skliaustų išimkime bendrą veiksnį:

4. Pristatykime pakeitimą:

5. Išreikškite per t išraišką:

Iš čia

Gauname t lygtį:

Atsakymas:

5. Homogeninės lygtys.

Su lygtimis, kurios turi vienalytę struktūrą, galima susidurti sprendžiant eksponentinę, logaritminę ir trigonometrines lygtis, todėl jūs turite mokėti jį atpažinti.

Homogeninės lygtys turi tokią struktūrą:

Šioje lygybėje A, B ir C yra skaičiai, o kvadratas ir apskritimas žymi identiškas išraiškas. Tai yra, kairėje homogeninės lygties pusėje yra vienodo laipsnio monomijų suma (in tokiu atveju monomijų laipsnis yra 2), o laisvo termino nėra.

Norėdami išspręsti vienalytę lygtį, padalykite abi puses iš

Dėmesio! Dalijant dešinę ir kairę lygties puses iš išraiškos, kurioje yra nežinomasis, galite prarasti šaknis. Todėl reikia patikrinti, ar išraiškos, kuria dalijame abi lygties puses, šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Eikime pirmu keliu. Gauname lygtį:

Dabar pristatome kintamąjį pakeitimą:

Supaprastinkime išraišką ir gaukime bi kvadratinė lygtis palyginti su t:

Atsakymas: arba

7 .

Ši lygtis turi tokią struktūrą:

Norėdami tai išspręsti, kairėje lygties pusėje turite pasirinkti visą kvadratą.

Norėdami pasirinkti visą kvadratą, turite pridėti arba atimti du kartus sandaugą. Tada gauname sumos arba skirtumo kvadratą. Tai labai svarbu norint sėkmingai pakeisti kintamąjį.

Pradėkime surasdami dvigubai didesnį produktą. Tai bus raktas į kintamojo pakeitimą. Mūsų lygtyje du kartus sandauga yra lygi

Dabar išsiaiškinkime, ką mums patogiau turėti - sumos kvadratą ar skirtumą. Pirmiausia apsvarstykime išraiškų sumą:

Puiku! Ši išraiška lygi dvigubai sandaugai. Tada, norėdami gauti sumos kvadratą skliausteliuose, turite pridėti ir atimti dvigubą sandaugą:

„Trupmenų racionaliųjų lygčių sprendimas“

Pamokos tikslai:

Švietimas:

trupmeninių racionaliųjų lygčių sampratos formavimas; svarstyti įvairius trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdus; apsvarstykite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą, įskaitant sąlygą, kad trupmena lygi nuliui; mokyti spręsti trupmenines racionaliąsias lygtis naudojant algoritmą; temos įvaldymo lygio patikrinimas atliekant testą.

Vystomasis:

ugdyti gebėjimą teisingai operuoti su įgytomis žiniomis ir logiškai mąstyti; intelektinių įgūdžių ir protinių operacijų ugdymas – analizė, sintezė, palyginimas ir apibendrinimas; iniciatyvos ugdymas, gebėjimas priimti sprendimus ir tuo neapsiriboti; kritinio mąstymo ugdymas; tiriamųjų įgūdžių ugdymas.

Švietimas:

kognityvinio susidomėjimo dalyku skatinimas; savarankiškumo ugdymas sprendžiant ugdymo problemas; ugdyti valią ir užsispyrimą siekiant galutinių rezultatų.

Pamokos tipas: pamoka - naujos medžiagos paaiškinimas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Sveiki bičiuliai! Lentoje surašytos lygtys, atidžiai jas pažiūrėkite. Ar galite išspręsti visas šias lygtis? Kurie ne ir kodėl?

Lygtys, kurių kairė ir dešinė pusės yra trupmeninės racionalios išraiškos, vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis. Kaip manai, ką šiandien mokysimės klasėje? Suformuluokite pamokos temą. Taigi, atsiverskite sąsiuvinius ir užsirašykite pamokos temą „Trupmenų racionaliųjų lygčių sprendimas“.

2. Žinių atnaujinimas. Frontalinė apklausa, darbas žodžiu su klase.

O dabar pakartosime pagrindinę teorinę medžiagą, kurios mums reikės norint studijuoti naują temą. Prašome atsakyti į šiuos klausimus:

1. Kas yra lygtis? ( Lygybė su kintamuoju arba kintamaisiais.)

2. Kaip vadinasi lygtis Nr. 1? ( Linijinis.) Sprendimas tiesines lygtis. (Viską su nežinomuoju perkelkite į kairę lygties pusę, visus skaičius į dešinę. Vadovauti panašius terminus. Raskite nežinomą veiksnį).

3. Kaip vadinasi lygtis Nr. 3? ( Kvadratas.) Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. ( Viso kvadrato išskyrimas naudojant formules naudojant Vietos teoremą ir jos padarinius.)

4. Kas yra proporcija? ( Dviejų santykių lygybė.) Pagrindinė proporcijos savybė. ( Jei proporcija teisinga, tada jos kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai.)

5. Kokios savybės naudojamos sprendžiant lygtis? ( 1. Jei lygties narį perkelsite iš vienos dalies į kitą, pakeisdami jo ženklą, gausite lygtį, lygiavertę duotajai. 2. Jei abi lygties pusės yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, gausite lygtį, lygiavertę duotajai..)

6. Kada trupmena lygi nuliui? ( Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis ne lygus nuliui..)

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Išspręskite lygtį Nr. 2 savo sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 10.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite bandyti išspręsti naudodami pagrindinę proporcijos savybę? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Išspręskite lygtį Nr. 4 savo sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 1,5.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite bandyti išspręsti padauginę abi lygties puses iš vardiklio? (Nr. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Atsakymas: 3;4.

Dabar pabandykite išspręsti 7 lygtį naudodami vieną iš šių metodų.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5) (x+5) = 0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Atsakymas: 0;5;-2.			Atsakymas: 5;-2.

Paaiškinkite, kodėl taip atsitiko? Kodėl vienu atveju yra trys šaknys, o kitu – dvi? Kokie skaičiai yra šios trupmeninės racionalios lygties šaknys?

Iki šiol studentai nesusidūrė su pašalinės šaknies sąvoka, jiems iš tiesų labai sunku suprasti, kodėl taip atsitiko. Jei klasėje niekas negali aiškiai paaiškinti šios situacijos, mokytojas užduoda pagrindinius klausimus.

2 ir 4 lygtyse yra skaičiai vardiklyje, 5-7 yra išraiškos su kintamuoju

Kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis tampa teisinga

Padarykite čekį

Kai kurie studentai testuodami pastebi, kad jie turi dalytis iš nulio. Jie daro išvadą, kad skaičiai 0 ir 5 nėra šios lygties šaknys. Kyla klausimas: ar yra būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, leidžiančias pašalinti šią klaidą? Taip, šis metodas pagrįstas sąlyga, kad trupmena lygi nuliui.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jei x=5, tai x(x-5)=0, o tai reiškia, kad 5 yra pašalinė šaknis.

Jei x=-2, tai x(x-5)≠0.

Atsakymas: -2.

Pabandykime tokiu būdu suformuluoti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą. Vaikai patys suformuluoja algoritmą.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Viską perkelkite į kairę pusę.

2. Sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio.

3. Sukurkite sistemą: trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui.

4. Išspręskite lygtį.

5. Patikrinkite nelygybę, kad neįtrauktumėte pašalinių šaknų.

6. Užsirašykite atsakymą.

Diskusija: kaip formalizuoti sprendimą, jei naudojama pagrindinė proporcijos savybė ir abi lygties pusės dauginamos iš Bendras vardiklis. (Pridėkite prie sprendimo: pašalinkite iš jo šaknų tuos, dėl kurių bendras vardiklis išnyksta).

4. Pradinis naujos medžiagos suvokimas.

Dirbti porose. Studentai patys pasirenka, kaip išspręsti lygtį, atsižvelgdami į lygties tipą. Užduotys iš vadovėlio „Algebra 8“, 2007: Nr.000 (b, c, i); Nr. 000(a, d, g). Mokytojas stebi užduoties atlikimą, atsako į kylančius klausimus, teikia pagalbą prastai besimokantiems mokiniams. Savikontrolė: atsakymai užrašomi lentoje.

b) 2 – pašalinė šaknis. Atsakymas: 3.

c) 2 – pašalinė šaknis. Atsakymas: 1.5.

a) Atsakymas: -12.5.

g) Atsakymas: 1;1.5.

5. Namų darbų ruošimas.

2. Išmokti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą.

3. Spręsti sąsiuviniuose Nr.000 (a, d, e); Nr. 000(g, h).

4. Pabandykite išspręsti Nr. 000(a) (neprivaloma).

6. Kontrolinės užduoties atlikimas nagrinėjama tema.

Darbas atliekamas ant popieriaus lapų.

Užduoties pavyzdys:

A) Kurios iš lygčių yra trupmeninės racionalios?

B) Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis yra ______________________, o vardiklis yra _______________________.

K) Ar skaičius -3 yra lygties skaičiaus 6 šaknis?

D) Išspręskite lygtį Nr.

Užduoties vertinimo kriterijai:

„5“ suteikiama, jei mokinys teisingai atliko daugiau nei 90% užduoties. „4“ - 75%-89% „3“ - 50%-74% „2“ skiriama mokiniui, kuris atliko mažiau nei 50% užduoties. 2 įvertinimas žurnale nenurodytas, 3 – neprivaloma.

7. Refleksija.

Ant savarankiško darbo lapų uždėkite:

1 – jei pamoka jums buvo įdomi ir suprantama; 2 – įdomu, bet neaišku; 3 – neįdomu, bet suprantama; 4 – neįdomu, neaišku.

8. Pamokos apibendrinimas.

Taigi, šiandien pamokoje susipažinome su trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, išmokome išspręsti šias lygtis Skirtingi keliai, pasitikrino savo žinias mokymų pagalba savarankiškas darbas. Savarankiško darbo rezultatus sužinosite kitoje pamokoje, o namuose turėsite galimybę įtvirtinti žinias.

Kuris trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdas, jūsų nuomone, yra lengvesnis, prieinamesnis ir racionalesnis? Nepriklausomai nuo trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo metodo, ką turėtumėte atsiminti? Kas yra trupmeninių racionaliųjų lygčių „gudrumas“?

Ačiū visiems, pamoka baigėsi.

Pristatymas ir pamoka tema: "Racionaliosios lygtys. Racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas ir pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 8 klasei
Makarychevo vadovėlio vadovas Yu.N. Mordkovičiaus A.G. vadovėlio vadovas.

Iracionaliųjų lygčių įvadas

Vaikinai, mes išmokome spręsti kvadratines lygtis. Tačiau matematika neapsiriboja tik jais. Šiandien mes išmoksime išspręsti racionalias lygtis. Racionaliųjų lygčių sąvoka daugeliu atžvilgių yra panaši į sąvoką racionalūs numeriai. Tik be skaičių, dabar mes pristatėme kintamąjį $x$. Taigi gauname išraišką, kurioje yra sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir didinimo iki sveikojo skaičiaus operacijos.

Tegu $r(x)$ racionali išraiška. Tokia išraiška gali būti paprastas daugianomas kintamajame $x$ arba daugianario santykis (įvedama dalybos operacija, kaip ir racionaliesiems skaičiams).
Vadinama lygtis $r(x)=0$ racionalioji lygtis.
Bet kuri lygtis formos $p(x)=q(x)$, kur $p(x)$ ir $q(x)$ yra racionalios išraiškos, taip pat bus racionalioji lygtis.

Pažvelkime į racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžius.

1 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Sprendimas.
Perkelkime visas išraiškas į kairę pusę: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jei kairioji lygties pusė būtų pavaizduota paprastaisiais skaičiais, tada dvi trupmenas sumažintume iki bendro vardiklio.
Padarykime taip: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Gavome lygtį: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai trupmenos skaitiklis yra nulis, o vardiklis yra nulis. Tada skaitiklį atskirai prilyginame nuliui ir randame skaitiklio šaknis.
$3(x^2+2x-3)=0$ arba $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Dabar patikrinkime trupmenos vardiklį: $(x-3)*x≠0$.
Dviejų skaičių sandauga yra lygi nuliui, kai bent vienas iš šių skaičių yra lygus nuliui. Tada: $x≠0$ arba $x-3≠0$.
$x≠0$ arba $x≠3$.
Skaitiklyje ir vardiklyje gautos šaknys nesutampa. Taigi atsakyme užrašome abi skaitiklio šaknis.
Atsakymas: $x=1$ arba $x=-3$.

Jei staiga viena iš skaitiklio šaknų sutampa su vardiklio šaknimi, ji turėtų būti neįtraukta. Tokios šaknys vadinamos pašalinėmis!

Racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Perkelkite visas lygtyje esančias išraiškas į kairę lygybės ženklo pusę.
2. Konvertuokite šią lygties dalį į algebrinė trupmena: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Gautą skaitiklį prilyginkite nuliui, tai yra išspręskite lygtį $p(x)=0$.
4. Vardiklį prilyginkite nuliui ir išspręskite gautą lygtį. Jei vardiklio šaknys sutampa su skaitiklio šaknimis, jos turėtų būti neįtrauktos į atsakymą.

2 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Sprendimas.
Išspręskime pagal algoritmo taškus.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Skaitiklį prilyginkite nuliui: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Vardiklį prilyginkite nuliui:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ir $x=-1$.
Viena iš šaknų $x=1$ sutampa su skaitiklio šaknimi, tada jos neužrašome atsakyme.
Atsakymas: $x=-1$.

Racionaliąsias lygtis patogu spręsti kintamųjų kaitos metodu. Parodykime tai.

3 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $x^4+12x^2-64=0$.

Sprendimas.
Pristatykime pakeitimą: $t=x^2$.
Tada mūsų lygtis bus tokia:
$t^2+12t-64=0$ – įprastinė kvadratinė lygtis.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 USD.
Įveskime atvirkštinį pakeitimą: $x^2=4$ arba $x^2=-16$.
Pirmosios lygties šaknys yra skaičių pora $x=±2$. Antras dalykas yra tai, kad jis neturi šaknų.
Atsakymas: $x=±2$.

4 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Sprendimas.
Įveskime naują kintamąjį: $t=x^2+x+1$.
Tada lygtis bus tokia: $t=\frac(15)(t+2)$.
Toliau mes tęsime pagal algoritmą.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 USD.
4. $t≠-2$ - šaknys nesutampa.
Įveskime atvirkštinį pakeitimą.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Išspręskime kiekvieną lygtį atskirai:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne šaknys
Ir antroji lygtis: $x^2+x-2=0$.
Šios lygties šaknys bus skaičiai $x=-2$ ir $x=1$.
Atsakymas: $x=-2$ ir $x=1$.

5 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Sprendimas.
Įveskime pakeitimą: $t=x+\frac(1)(x)$.
Tada:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ arba $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Gavome lygtį: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Šios lygties šaknys yra pora:
$t=-3$ ir $t=2$.
Pristatykime atvirkštinį pakeitimą:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Spręsime atskirai.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Išspręskime antrąją lygtį:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Šios lygties šaknis yra skaičius $x=1$.
Atsakymas: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

Išspręskite lygtis:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Sprendimas trupmenines racionaliąsias lygtis

Nuorodų vadovas

Racionalios lygtys yra lygtys, kurių kairioji ir dešinė pusės yra racionalios išraiškos.

(Atminkite: racionalios išraiškos yra sveikosios ir trupmeninės išraiškos be radikalų, įskaitant sudėjimo, atimties, daugybos ar dalybos operacijas, pvz.: 6x; (m – n)2; x/3y ir tt)

Trupmeninės racionalios lygtys paprastai redukuojamos į formą:

Kur P(x) Ir K(x) yra daugianariai.

Norėdami išspręsti tokias lygtis, padauginkite abi lygties puses iš Q(x), todėl gali atsirasti pašalinių šaknų. Todėl sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis, būtina patikrinti rastas šaknis.

Racionalioji lygtis vadinama visuma arba algebrine, jei ji nesidalija iš išraiškos, kurioje yra kintamasis.

Visos racionalios lygties pavyzdžiai:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Jei racionaliojoje lygtyje yra dalijimasis iš išraiškos, kurioje yra kintamasis (x), tada lygtis vadinama trupmenine racionalia.

Trupmeninės racionalios lygties pavyzdys:

15
x + - = 5x - 17
x

Trupmeninės racionalios lygtys paprastai sprendžiamos taip:

1) raskite bendrąjį trupmenų vardiklį ir padauginkite iš jo abi lygties puses;

2) išspręskite gautą visą lygtį;

3) iš savo šaknų išbraukti tuos, kurie bendrąjį trupmenų vardiklį sumažina iki nulio.

Sveikųjų ir trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžiai.

1 pavyzdys. Išspręskime visą lygtį

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Sprendimas:

Mažiausio bendro vardiklio radimas. Tai yra 6. Padalinkite 6 iš vardiklio ir gautą rezultatą padauginkite iš kiekvienos trupmenos skaitiklio. Gauname lygtį, lygiavertę tai:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Kadangi kairė ir dešinė pusės turi tą patį vardiklį, jo galima praleisti. Tada gauname paprastesnę lygtį:

3 (x – 1) + 4x = 5x.

Ją išsprendžiame atidarydami skliaustus ir derindami panašius terminus:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Pavyzdys išspręstas.

2 pavyzdys. Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Bendro vardiklio radimas. Tai x(x – 5). Taigi:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Dabar vėl atsikratome vardiklio, nes jis yra vienodas visoms išraiškoms. Sumažiname panašius terminus, lygtį prilyginame nuliui ir gauname kvadratinę lygtį:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Išsprendę kvadratinę lygtį, randame jos šaknis: –2 ir 5.

Patikrinkime, ar šie skaičiai yra pradinės lygties šaknys.

Esant x = –2, bendras vardiklis x(x – 5) neišnyksta. Tai reiškia, kad –2 yra pradinės lygties šaknis.

Kai x = 5, bendras vardiklis tampa nuliu, o dvi iš trijų išraiškų netenka prasmės. Tai reiškia, kad skaičius 5 nėra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: x = –2

Daugiau pavyzdžių

1 pavyzdys.

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Atsakymas: -2,2;6.

2 pavyzdys.

Mes jau išmokome spręsti kvadratines lygtis. Dabar išplėskime tiriamus metodus į racionaliąsias lygtis.

Kas yra racionali išraiška? Mes jau susidūrėme su šia koncepcija. Racionalios išraiškos yra išraiškos, sudarytos iš skaičių, kintamųjų, jų galių ir matematinių operacijų simbolių.

Atitinkamai, racionalios lygtys yra lygtys, kurių forma: , kur - racionalios išraiškos.

Anksčiau mes svarstėme tik tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į tiesines. Dabar pažvelkime į tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines lygtis.

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Trupmena lygi 0 tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus 0, o vardiklis nelygus 0.

Gauname tokią sistemą:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis. Prieš spręsdami visus jo koeficientus padalinkime iš 3. Gauname:

Gauname dvi šaknis: ; .

Kadangi 2 niekada nėra lygus 0, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Kadangi nė viena iš aukščiau gautos lygties šaknų nesutampa su neteisingomis kintamojo reikšmėmis, gautomis sprendžiant antrąją nelygybę, jos abi yra šios lygties sprendiniai.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą:

1. Perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad dešinėje pusėje būtų 0.

2. Transformuokite ir supaprastinkite kairę pusę, suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį.

3. Gautą trupmeną prilyginkite 0, naudodami šį algoritmą: .

4. Užrašykite tas šaknis, kurios buvo gautos pirmoje lygtyje, ir tenkinkite antrąją nelygybę atsakyme.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas

Pačioje pradžioje perkeliame visus terminus į kairę, kad 0 liktų dešinėje.

Dabar priveskime kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:

Ši lygtis yra lygiavertė sistemai:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis.

Šios lygties koeficientai: . Apskaičiuojame diskriminantą:

Gauname dvi šaknis: ; .

Dabar išspręskime antrąją nelygybę: veiksnių sandauga nėra lygi 0 tada ir tik tada, kai nė vienas iš veiksnių nėra lygus 0.

Turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Pastebime, kad iš dviejų pirmosios lygties šaknų tinka tik viena – 3.

Atsakymas:.

Šioje pamokoje prisiminėme, kas yra racionalioji išraiška, taip pat išmokome spręsti racionaliąsias lygtis, kurios redukuoja į kvadratines lygtis.

Kitoje pamokoje pažvelgsime į racionalias lygtis kaip realių situacijų modelius, taip pat pažvelgsime į judėjimo problemas.

Bibliografija

Bašmakovas M.I. Algebra, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt., Algebra, 8. 5 leid. - M.: Švietimas, 2010 m.
Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra, 8 klasė. Pamoka skirta švietimo įstaigos. - M.: Švietimas, 2006 m.