Ar neigiamas skaičius yra racionalus? Sveikieji ir racionalieji skaičiai. Realūs skaičiai

16.10.2019

Sveikieji skaičiai

Natūraliųjų skaičių apibrėžimas yra teigiami sveikieji skaičiai. Natūralūs skaičiai naudojami objektams skaičiuoti ir daugeliui kitų tikslų. Tai yra skaičiai:

Tai natūrali skaičių serija.
Nulis natūralusis skaičius? Ne, nulis nėra natūralusis skaičius.
Kiek yra natūraliųjų skaičių? Natūralių skaičių yra be galo daug.
Koks yra mažiausias natūralusis skaičius? Vienas yra mažiausias natūralusis skaičius.
Koks yra didžiausias natūralusis skaičius? Jo nurodyti neįmanoma, nes natūraliųjų skaičių yra be galo daug.

Natūraliųjų skaičių suma yra natūralusis skaičius. Taigi, pridedant natūraliuosius skaičius a ir b:

Natūraliųjų skaičių sandauga yra natūralusis skaičius. Taigi natūraliųjų skaičių a ir b sandauga:

c visada yra natūralusis skaičius.

Natūraliųjų skaičių skirtumas Natūralusis skaičius ne visada yra. Jei minuend yra didesnis už potraukį, tai natūraliųjų skaičių skirtumas yra natūralusis skaičius, kitu atveju jis nėra.

Natūraliųjų skaičių koeficientas ne visada yra natūralusis skaičius. Jei natūraliems skaičiams a ir b

kur c yra natūralusis skaičius, tai reiškia, kad a dalijasi iš b. Šiame pavyzdyje a yra dividendas, b yra daliklis, c yra koeficientas.

Natūralaus skaičiaus daliklis yra natūralusis skaičius, iš kurio pirmasis skaičius dalijasi iš visumos.

Kiekvienas natūralusis skaičius dalijasi iš vieneto ir savęs.

Pirminiai natūralieji skaičiai dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Čia turime omenyje visiškai padalintą. Pavyzdys, skaičiai 2; 3; 5; 7 dalijasi tik iš vieneto ir savęs. Tai paprasti natūralieji skaičiai.

Vienas nelaikomas pirminiu skaičiumi.

Skaičiai, kurie yra didesni už vieną ir nėra pirminiai, vadinami sudėtiniais skaičiais. Sudėtinių skaičių pavyzdžiai:

Vienas nelaikomas sudėtiniu skaičiumi.

Natūraliųjų skaičių aibė yra viena, pirminiai skaičiai ir sudėtiniai skaičiai.

Pažymima natūraliųjų skaičių aibė Lotyniška raidė N.

Natūraliųjų skaičių sudėties ir daugybos savybės:

komutacinė priedėlio savybė

asociatyvinė papildymo savybė

(a + b) + c = a + (b + c);

komutacinė daugybos savybė

asociatyvi daugybos savybė

(ab) c = a (bc);

daugybos skirstomoji savybė

A (b + c) = ab + ac;

Sveiki skaičiai

Sveikieji skaičiai yra natūralieji skaičiai, nulis ir natūraliųjų skaičių priešingybės.

Natūralių skaičių priešingybė yra neigiami sveikieji skaičiai, pavyzdžiui:

1; -2; -3; -4;...

Sveikųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide Z.

Racionalūs numeriai

Racionalūs numeriai Tai sveikieji skaičiai ir trupmenos.

Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip periodinę trupmeną. Pavyzdžiai:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iš pavyzdžių aišku, kad bet kuris sveikasis skaičius yra periodinė trupmena su nuliu periodu.

Bet kuris racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena m/n, kur m yra sveikas skaičius skaičius,n natūralus numerį. Įsivaizduokime skaičių 3, (6) iš ankstesnio pavyzdžio kaip tokią trupmeną.

Racionalūs numeriai

Ketvirčiai

Tvarkingumas. a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų santykių tarp jų: “< », « >" arba " = ". Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du neneigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai a Ir b yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga a ne neigiamas, bet b- Tada neigiamai a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Trupmenų pridėjimas
Papildymo operacija. Bet kokiems racionaliems skaičiams a Ir b yra vadinamasis sumavimo taisyklė c. Be to, pats skaičius c paskambino suma numeriai a Ir b ir žymimas , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas sumavimas. Sumavimo taisyklė turi tokią formą: .
Daugybos operacija. Bet kokiems racionaliems skaičiams a Ir b yra vadinamasis daugybos taisyklė, kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių c. Be to, pats skaičius c paskambino dirbti numeriai a Ir b ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba. Daugybos taisyklė atrodo taip: .
Užsakymo santykio tranzityvumas. Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui a , b Ir c Jeigu a mažiau b Ir b mažiau c, Tai a mažiau c, ir jeigu a lygus b Ir b lygus c, Tai a lygus c. 6435">Sudėties komutaciškumas. Pakeitus racionalių terminų vietas, suma nekeičiama.
Papildymo asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
Abipusių skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija derinama su sudėjimo operacija pagal paskirstymo dėsnį:
Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija. Kairėje ir dešinėje dalyse racionalioji nelygybė galite pridėti tą patį racionalųjį skaičių. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Archimedo aksioma. Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Tokių papildomų savybių yra labai daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aibės skaičiuojamumas

Racionaliųjų skaičių numeracija

Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių.

Paprasčiausias iš šių algoritmų atrodo taip. Kiekviename yra sudaryta begalinė paprastųjų trupmenų lentelė i- kiekvienoje eilutėje j stulpelis, kurio trupmena yra. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti pradedant nuo vieno. Lentelės langeliai žymimi , kur i- lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir j- stulpelio numeris.

Gauta lentelė perkeliama naudojant „gyvatę“ pagal šį formalų algoritmą.

Šios taisyklės ieškomos iš viršaus į apačią ir pagal pirmąsias rungtynes pasirenkama kita pozicija.

Tokio perėjimo procese kiekvienas naujas racionalusis skaičius susiejamas su kitu natūraliuoju skaičiumi. Tai yra, trupmena 1/1 priskiriama skaičiui 1, trupmena 2/1 – skaičiui 2 ir tt Reikia pažymėti, kad numeruojamos tik neredukuojamos trupmenos. Formalus neredukuojamumo požymis yra tas, kad didžiausias bendrasis trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklis yra lygus vienetui.

Vadovaudamiesi šiuo algoritmu, galime surašyti visus teigiamus racionalius skaičius. Tai reiškia, kad teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Nesunku nustatyti bijekciją tarp teigiamų ir neigiamų racionaliųjų skaičių aibių, tiesiog kiekvienam racionaliajam skaičiui priskiriant priešingą. Tai. neigiamų racionaliųjų skaičių aibė taip pat yra skaičiuojama. Jų sąjunga taip pat skaičiuojama pagal skaičiuojamų aibių savybę. Racionaliųjų skaičių aibė taip pat skaičiuojama kaip skaičiuojamos aibės sąjunga su baigtiniu.

Teiginys apie racionaliųjų skaičių aibės skaičiuojamumą gali sukelti tam tikrą painiavą, nes iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad ji yra daug platesnė nei natūraliųjų skaičių aibė. Tiesą sakant, taip nėra ir yra pakankamai natūraliųjų skaičių, kad būtų galima surašyti visus racionalius.

Racionalių skaičių trūkumas

Tokio trikampio hipotenuzė negali būti išreikšta jokiu racionaliu skaičiumi

1 formos racionalieji skaičiai / n laisvėje n galima išmatuoti savavališkai mažus kiekius. Šis faktas sukuria klaidinantį įspūdį, kad racionalūs skaičiai gali būti naudojami bet kokiems geometriniams atstumams matuoti. Nesunku parodyti, kad tai netiesa.

Pastabos

Literatūra

I. Kušniras. Matematikos vadovas moksleiviams. - Kijevas: ASTARTA, 1998. - 520 p.
P. S. Aleksandrovas. Įvadas į aibių teoriją ir bendrąją topologiją. - M.: skyrius. red. fizika ir matematika liet. red. „Mokslas“, 1977 m
I. L. Chmelnickis. Įvadas į algebrinių sistemų teoriją

Nuorodos

Wikimedia fondas. 2010 m.

Skaičius– svarbi matematinė sąvoka, kuri keitėsi bėgant amžiams.

Pirmosios idėjos apie skaičių kilo skaičiuojant žmones, gyvūnus, vaisius, įvairius produktus ir kt. Rezultatas yra natūralieji skaičiai: 1, 2, 3, 4, ...

Istoriškai pirmasis skaičiaus sąvokos išplėtimas yra trupmeninių skaičių pridėjimas prie natūraliojo skaičiaus.

Frakcija vadinama vieneto dalis (akcija) arba kelios lygios dalys.

Paskyrė: , kur m, n- Sveiki skaičiai;

Trupmenos su vardikliu 10 n, Kur n- sveikasis skaičius, vadinamas dešimtainis: .

Tarp kablelio ypatinga vieta užimti periodinės trupmenos: - gryna periodinė trupmena, - mišri periodinė trupmena.

Tolimesnį skaičiaus sampratos išplėtimą lemia pačios matematikos (algebros) raida. Dekartas XVII a. pristato koncepciją neigiamas skaičius.

Skaičiai sveikieji (teigiami ir neigiami), trupmenos (teigiami ir neigiami) ir nuliai vadinami racionalūs numeriai. Bet kurį racionalųjį skaičių galima parašyti kaip baigtinę ir periodinę trupmeną.

Norint ištirti nuolat kintančius kintamuosius dydžius, paaiškėjo, kad būtinas naujas skaičiaus sampratos išplėtimas – realiųjų (realiųjų) skaičių įvedimas – prie racionaliųjų skaičių pridedant iracionaliuosius skaičius: neracionalūs skaičiai yra begalinės dešimtainės neperiodinės trupmenos.

Iracionalūs skaičiai atsirado matuojant nesulyginamus atkarpas (kvadrato kraštinę ir įstrižainę), algebroje - išskiriant šaknis, transcendentinio, neracionalaus skaičiaus pavyzdys yra π, e .

Skaičiai natūralus(1, 2, 3,...), visas(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionalus(atvaizduojama kaip trupmena) ir neracionalus(nepavaizduojama kaip trupmena ) suformuoti rinkinį tikras (tikras) numeriai.

Matematikoje atskirai išskiriami kompleksiniai skaičiai.

Sudėtingi skaičiai kyla dėl bylos kvadratų sprendimo problemos D< 0 (здесь D– kvadratinės lygties diskriminantas). Ilgą laiką šie skaičiai nerado fizinio pritaikymo, todėl jie buvo vadinami „įsivaizduojamais“ skaičiais. Tačiau dabar jie itin plačiai naudojami įvairiose fizikos ir technologijų srityse: elektrotechnikoje, hidro- ir aerodinamikoje, tamprumo teorijoje ir kt.

Sudėtingi skaičiai rašomi tokia forma: z= a+ bi. Čia a Ir b – realūs skaičiai, A i – menamasis vienetas, t.y.e. i 2 = -1. Skaičius a paskambino abscisė,a b –ordinatės kompleksinis skaičius a+ bi. Du kompleksiniai skaičiai a+ bi Ir a–bi yra vadinami konjugatas kompleksiniai skaičiai.

Savybės:

1. Tikrasis skaičius A Taip pat galima parašyti kompleksinių skaičių forma: a+ 0i arba a – 0i. Pavyzdžiui, 5 + 0 i ir 5-0 i reiškia tą patį skaičių 5.

2. Kompleksinis skaičius 0 + bi paskambino grynai įsivaizduojamas numerį. Įrašas bi reiškia tą patį kaip 0 + bi.

3. Du kompleksiniai skaičiai a+ bi Ir c+ di laikomi lygiaverčiais, jei a= c Ir b= d. Priešingu atveju kompleksiniai skaičiai nėra lygūs.

Veiksmai:

Papildymas. Kompleksinių skaičių suma a+ bi Ir c+ di vadinamas kompleksiniu skaičiumi ( a+ c) + (b+ d)i. Taigi, Sudedant kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės pridedamos atskirai.

Atimtis. Dviejų kompleksinių skaičių skirtumas a+ bi(sumažėjęs) ir c+ di(subdėlis) vadinamas kompleksiniu skaičiumi ( a–c) + (b–d)i. Taigi, Atimant du kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės atimamos atskirai.

Daugyba. Kompleksinių skaičių sandauga a+ bi Ir c+ di vadinamas kompleksiniu skaičiumi:

(ac-bd) + (Reklama+ bc)i. Šis apibrėžimas išplaukia iš dviejų reikalavimų:

1) skaičiai a+ bi Ir c+ di turi būti dauginami kaip algebriniai dvejetainiai,

2) skaičius i turi pagrindinę savybę: i 2 = –1.

PAVYZDYS ( a+ bi)(a–bi)= a 2 +b 2 . Vadinasi, dirbtidviejų konjuguotų kompleksinių skaičių yra lygus teigiamam realiajam skaičiui.

Padalinys. Padalinkite kompleksinį skaičių a+ bi(dalomas) iš kito c+ di (daliklis) - reiškia surasti trečiąjį skaičių e+ f i(pokalbis), kurį padauginus iš daliklio c+ di, gaunamas dividendas a+ bi. Jei daliklis nėra nulis, dalyba visada galima.

PAVYZDYS Rasti (8+ i) : (2 – 3i) .

Sprendimas. Perrašykime šį santykį į trupmeną:

Jo skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2 + 3 i ir atlikę visas transformacijas gauname:

1 užduotis: Sudėkite, atimkite, padauginkite ir padalykite z 1 ant z 2

Kvadratinės šaknies ištraukimas: Išspręskite lygtį x 2 = -a. Norėdami išspręsti šią lygtį esame priversti naudoti naujo tipo numerius - menami skaičiai . Taigi, įsivaizduojamas skambinama numeriu kurio antrasis laipsnis yra neigiamas skaičius. Pagal šį įsivaizduojamų skaičių apibrėžimą galime apibrėžti ir įsivaizduojamas vienetas:

Tada už lygtį x 2 = – 25 gauname du įsivaizduojamasšaknis:

2 užduotis: Išspręskite lygtį:

1)x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas. Tikrieji skaičiai žymimi taškais skaičių eilutėje:

Čia yra esmė A reiškia skaičių –3, tašką B– numeris 2 ir O- nulis. Priešingai, kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais koordinačių plokštumoje. Tam tikslui pasirenkame stačiakampes (Dekarto) koordinates, kurių abiejų ašių masteliai yra vienodi. Tada kompleksinis skaičius a+ bi bus pavaizduotas tašku P su abscisėmisA ir ordinateb. Ši koordinačių sistema vadinama sudėtinga plokštuma .

Modulis kompleksinis skaičius yra vektoriaus ilgis OP, reiškia kompleksinį skaičių koordinatėje ( visapusiškas) lėktuvas. Kompleksinio skaičiaus modulis a+ bižymimas | a+ bi| arba) laiškas r ir yra lygus:

Konjuguoti kompleksiniai skaičiai turi tą patį modulį.

Brėžinio sudarymo taisyklės yra beveik tokios pačios kaip ir brėžinio Dekarto koordinačių sistemoje. Išilgai ašių reikia nustatyti matmenis, atkreipkite dėmesį:

e
vienetas išilgai tikrosios ašies; Rez

įsivaizduojamas vienetas išilgai įsivaizduojamos ašies. aš z

3 užduotis. Kompleksinėje plokštumoje sukonstruokite šiuos kompleksinius skaičius: , , , , , , ,

1. Skaičiai yra tikslūs ir apytiksliai. Skaičiai, su kuriais susiduriame praktiškai, yra dviejų rūšių. Vieni pateikia tikrąją kiekio vertę, kiti tik apytikslę. Pirmieji vadinami tikslūs, antrieji - apytiksliai. Dažniausiai patogu naudoti apytikslį skaičių, o ne tikslų skaičių, juolab kad daugeliu atvejų tikslaus skaičiaus rasti iš viso neįmanoma.

Taigi, jei jie sako, kad klasėje yra 29 mokiniai, tada skaičius 29 yra tikslus. Jei jie sako, kad atstumas nuo Maskvos iki Kijevo yra 960 km, tai čia skaičius 960 yra apytikslis, nes, viena vertus, mūsų matavimo prietaisai nėra visiškai tikslūs, kita vertus, patys miestai turi tam tikrą ribą.

Veiksmų su apytiksliais skaičiais rezultatas taip pat yra apytikslis skaičius. Atlikdami kai kurias operacijas su tiksliais skaičiais (dalyba, šaknų ištraukimas), taip pat galite gauti apytikslius skaičius.

Apytikslių skaičiavimų teorija leidžia:

1) žinodamas duomenų tikslumo laipsnį, įvertinti rezultatų tikslumo laipsnį;

2) imti duomenis su atitinkamu tikslumo laipsniu, kurio pakanka, kad būtų užtikrintas reikiamas rezultato tikslumas;

3) racionalizuoti skaičiavimo procesą, išlaisvinant jį nuo tų skaičiavimų, kurie neturės įtakos rezultato tikslumui.

2. Apvalinimas. Vienas iš apytikslių skaičių gavimo šaltinių yra apvalinimas. Tiek apytiksliai, tiek tikslūs skaičiai yra suapvalinti.

Duoto skaičiaus suapvalinimas iki tam tikro skaitmens vadinamas jo pakeitimu nauju skaičiumi, kuris gaunamas iš duoto, išmetant visus jo skaitmenis, įrašytus dešinėje šio skaitmens skaitmens, arba pakeičiant juos nuliais. Šie nuliai paprastai yra pabraukti arba rašomi mažesni. Norėdami užtikrinti, kad suapvalintas skaičius būtų kuo artimesnis apvalinamajam, turėtumėte vadovautis šiomis taisyklėmis: norėdami suapvalinti skaičių iki vieno iš tam tikro skaitmens, turite išmesti visus skaitmenis po šio skaitmens skaitmens ir pakeisti juos su nuliais visame skaičiuje. Atsižvelgiama į šiuos dalykus:

1) jei pirmasis (kairėje) iš išmestų skaitmenų yra mažesnis nei 5, tai paskutinis likęs skaitmuo nekeičiamas (apvalinamas žemyn);

2) jei pirmasis atmestinas skaitmuo yra didesnis nei 5 arba lygus 5, tai paskutinis likęs skaitmuo didinamas vienu (apvalinimas su pertekliumi).

Parodykime tai pavyzdžiais. Turas:

a) iki dešimtųjų 12.34;

b) iki šimtųjų dalių 3,2465; 1038.785;

c) iki tūkstantųjų dalių 3,4335.

d) iki tūkstančio 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Absoliučios ir santykinės paklaidos. Skirtumas tarp tikslaus skaičiaus ir jo apytikslės reikšmės vadinamas absoliučia apytikslio skaičiaus paklaida. Pavyzdžiui, jei tikslus skaičius 1,214 suapvalinamas iki artimiausios dešimtosios, gauname apytikslį skaičių 1,2. IN tokiu atveju absoliuti klaida apytikslis skaičius 1,2 lygus 1,214 – 1,2, t.y. 0,014.

Tačiau daugeliu atvejų tiksli nagrinėjamos vertės vertė nežinoma, o tik apytikslė. Tada absoliuti klaida nežinoma. Tokiais atvejais nurodykite ribą, kurios ji neviršija. Šis skaičius vadinamas ribine absoliučia paklaida. Jie sako, kad tiksli skaičiaus reikšmė yra lygi jo apytikslei vertei, o paklaida yra mažesnė už ribinę paklaidą. Pavyzdžiui, skaičius 23,71 yra apytikslė skaičiaus 23,7125 reikšmė, kurios tikslumas yra 0,01, nes absoliuti aproksimavimo paklaida yra 0,0025 ir mažesnė nei 0,01. Čia ribinė absoliuti paklaida yra 0,01 *.

Apytikslio skaičiaus ribinė absoliuti paklaida Ažymimas simboliu Δ a. Įrašas

x≈a(±Δ a)

turėtų būti suprantama taip: tiksli kiekio vertė x yra tarp skaičių A– Δ a Ir A+ Δ A, kurios atitinkamai vadinamos apatine ir viršutine ribomis X ir žymi NG x VG X.

Pavyzdžiui, jei x≈ 2,3 (±0,1), tada 2,2<x< 2,4.

Atvirkščiai, jei 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (± 0,05). Absoliuti ar ribinė absoliuti paklaida nebūdinga atlikto matavimo kokybei. Ta pati absoliuti paklaida gali būti laikoma reikšminga ir nereikšminga, atsižvelgiant į skaičių, kuriuo išreiškiama išmatuota vertė. Pavyzdžiui, jei atstumą tarp dviejų miestų matuojame vieno kilometro tikslumu, tai tokio tikslumo šiam pokyčiui visiškai pakanka, tačiau tuo pačiu matuojant atstumą tarp dviejų toje pačioje gatvėje esančių namų toks tikslumas bus nepriimtina. Vadinasi, apytikslės dydžio reikšmės tikslumas priklauso ne tik nuo absoliučios paklaidos dydžio, bet ir nuo išmatuoto dydžio vertės. Todėl santykinė paklaida yra tikslumo matas.

Santykinė paklaida – tai absoliučios paklaidos ir apytikslio skaičiaus reikšmės santykis. Ribinės absoliučios paklaidos ir apytikslio skaičiaus santykis vadinamas ribine santykine paklaida; jie jį žymi taip: . Santykinės ir ribinės santykinės paklaidos paprastai išreiškiamos procentais. Pavyzdžiui, jei matavimai parodė, kad atstumas X tarp dviejų taškų yra didesnis nei 12,3 km, bet mažesnis nei 12,7 km, tuomet apytikslė reikšme imamas šių dviejų skaičių aritmetinis vidurkis, t.y. jų pusinės sumos, tada ribinė absoliuti paklaida yra lygi šių skaičių pusės skirtumui. Tokiu atveju X≈ 12,5 (± 0,2). Čia ribinė absoliuti paklaida yra 0,2 km, o ribinė santykinė

Šis straipsnis skirtas temos „Racionalieji skaičiai“ studijoms. Žemiau pateikiami racionalių skaičių apibrėžimai, pateikiami pavyzdžiai ir kaip nustatyti, ar skaičius yra racionalus, ar ne.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalūs numeriai. Apibrėžimai

Prieš pateikdami racionaliųjų skaičių apibrėžimą, prisiminkime, kokios dar yra skaičių aibės ir kaip jos tarpusavyje susijusios.

Natūralūs skaičiai kartu su jų priešingybėmis ir skaičiumi nuliu sudaro sveikųjų skaičių aibę. Savo ruožtu sveikųjų trupmeninių skaičių aibė sudaro racionaliųjų skaičių aibę.

Apibrėžimas 1. Racionalieji skaičiai

Racionalieji skaičiai yra skaičiai, kurie gali būti pavaizduoti kaip teigiami bendroji trupmena a b , neigiama bendroji trupmena - a b arba skaičius nulis.

Taigi galime išlaikyti keletą racionaliųjų skaičių savybių:

Bet kuris natūralusis skaičius yra racionalus skaičius. Akivaizdu, kad kiekvienas natūralusis skaičius n gali būti pavaizduotas kaip trupmena 1 n.
Bet koks sveikasis skaičius, įskaitant skaičių 0, yra racionalus skaičius. Iš tiesų, bet koks teigiamas ir bet koks neigiamas sveikasis skaičius gali būti lengvai pavaizduoti atitinkamai kaip teigiama arba neigiama įprastoji trupmena. Pavyzdžiui, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Bet kuri teigiama arba neigiama bendroji trupmena a b yra racionalusis skaičius. Tai tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto apibrėžimo.
Bet koks mišrus skaičius yra racionalus. Iš tiesų, mišrus skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta netinkama trupmena.
Bet kuri baigtinė arba periodinė dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota trupmena. Todėl kiekviena periodinė arba baigtinė dešimtainė trupmena yra racionalus skaičius.
Begaliniai ir neperiodiniai dešimtainiai skaičiai nėra racionalūs skaičiai. Jų negalima pavaizduoti paprastųjų trupmenų pavidalu.

Pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių. Skaičiai 5, 105, 358, 1100055 yra natūralūs, teigiami ir sveikieji skaičiai. Akivaizdu, kad tai yra racionalūs skaičiai. Skaičiai - 2, - 358, - 936 yra neigiami sveikieji skaičiai ir jie taip pat yra racionalūs pagal apibrėžimą. Paprastosios trupmenos 3 5, 8 7, - 35 8 taip pat yra racionaliųjų skaičių pavyzdžiai.

Aukščiau pateiktą racionaliųjų skaičių apibrėžimą galima suformuluoti trumpiau. Dar kartą atsakysime į klausimą, kas yra racionalusis skaičius?

Apibrėžimas 2. Racionalieji skaičiai

Racionalieji skaičiai yra skaičiai, kuriuos galima pavaizduoti kaip trupmeną ± z n, kur z yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius.

Galima parodyti, kad šis apibrėžimas yra lygiavertis ankstesniam racionaliųjų skaičių apibrėžimui. Norėdami tai padaryti, atminkite, kad trupmenos linija yra lygi dalybos ženklui. Atsižvelgdami į sveikųjų skaičių dalijimo taisykles ir savybes, galime parašyti šias teisingas nelygybes:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Taigi, galime rašyti:

z n = z n , p r ir z > 0 0 , p r ir z = 0 - z n , p r ir z< 0

Tiesą sakant, šis įrašas yra įrodymas. Pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių, remiantis antruoju apibrėžimu. Apsvarstykite skaičius - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 ir - 1 3 5. Visi šie skaičiai yra racionalūs, nes juos galima užrašyti kaip trupmeną su sveikuoju skaitikliu ir natūralusis vardiklis: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Pateikime kitą lygiavertę racionaliųjų skaičių apibrėžimo formą.

3 apibrėžimas. Racionalieji skaičiai

Racionalusis skaičius yra skaičius, kuris gali būti parašytas kaip baigtinis arba begalinis periodinis skaičius dešimtainis.

Šis apibrėžimas tiesiogiai išplaukia iš pirmosios šios pastraipos apibrėžties.

Apibendrinkime ir suformuluosime šio punkto santrauką:

Teigiamos ir neigiamos trupmenos ir sveikieji skaičiai sudaro racionaliųjų skaičių aibę.
Kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta trupmena, kurios skaitiklis yra sveikas skaičius, o vardiklis yra natūralusis skaičius.
Kiekvienas racionalusis skaičius taip pat gali būti pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena: baigtinė arba be galo periodinė.

Kuris skaičius yra racionalus?

Kaip jau išsiaiškinome, bet koks natūralusis skaičius, sveikasis skaičius, tikroji ir netinkamoji paprastoji trupmena, periodinė ir baigtinė dešimtainė trupmena yra racionalūs skaičiai. Turėdami šias žinias galite lengvai nustatyti, ar tam tikras skaičius yra racionalus.

Tačiau praktikoje dažnai tenka susidurti ne su skaičiais, o su skaitinėmis išraiškomis, kuriose yra šaknų, laipsnių ir logaritmų. Kai kuriais atvejais atsakymas į klausimą "ar skaičius racionalus?" toli gražu nėra akivaizdu. Pažvelkime į metodus, kaip atsakyti į šį klausimą.

Jei skaičius pateikiamas kaip išraiška, kurioje yra tik racionalieji skaičiai ir aritmetines operacijas tarp jų, tada išraiškos rezultatas yra racionalus skaičius.

Pavyzdžiui, išraiškos 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) reikšmė yra racionalus skaičius ir lygi 18.

Taigi, kompleksas supaprastinamas skaitinė išraiška leidžia nustatyti, ar nurodytas skaičius yra racionalus.

Dabar pažiūrėkime į šaknies ženklą.

Pasirodo, kad skaičius m n, pateiktas kaip skaičiaus m laipsnio n šaknis, yra racionalus tik tada, kai m yra kurio nors natūraliojo skaičiaus n-asis laipsnis.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Skaičius 2 nėra racionalus. Tuo tarpu 9, 81 yra racionalūs skaičiai. 9 ir 81 yra tobuli skaičių 3 ir 9 kvadratai. Skaičiai 199, 28, 15 1 nėra racionalūs skaičiai, nes po šaknies ženklu esantys skaičiai nėra tobuli bet kokių natūraliųjų skaičių kvadratai.

Dabar paimkime sudėtingesnį atvejį. Ar 243 5 yra racionalus skaičius? Jei padidinsite 3 į penktą laipsnį, gausite 243, todėl pradinę išraišką galima perrašyti taip: 243 5 = 3 5 5 = 3. Todėl šis skaičius yra racionalus. Dabar paimkime skaičių 121 5. Šis skaičius yra neracionalus, nes nėra natūraliojo skaičiaus, kurį padidinus iki penktosios laipsnio gautų 121.

Norint išsiaiškinti, ar skaičiaus a logaritmas iki bazės b yra racionalus skaičius, reikia taikyti prieštaravimo metodą. Pavyzdžiui, išsiaiškiname, ar tai racionalu žurnalo numeris 2 5. Tarkime, kad šis skaičius yra racionalus. Jei taip, tai galima parašyti paprastosios trupmenos log 2 5 = m n forma. Pagal logaritmo savybes ir laipsnio savybes teisingos šios lygybės:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Akivaizdu, kad paskutinė lygybė neįmanoma, nes kairėje ir dešinėje pusėse yra atitinkamai nelyginiai ir lyginiai skaičiai. Todėl padaryta prielaida yra neteisinga ir log 2 5 nėra racionalus skaičius.

Verta paminėti, kad nustatydami skaičių racionalumą ir neracionalumą neturėtumėte priimti staigių sprendimų. Pavyzdžiui, iracionaliųjų skaičių sandaugos rezultatas ne visada yra iracionalusis skaičius. Geras pavyzdys: 2 · 2 = 2 .

Taip pat yra iracionalių skaičių, kuriuos pakėlus iki neracionalios laipsnio gaunamas racionalus skaičius. Formos 2 log 2 3 laipsnyje bazė ir rodiklis yra neracionalieji skaičiai. Tačiau pats skaičius yra racionalus: 2 log 2 3 = 3.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šiame skyriuje pateiksime keletą racionaliųjų skaičių apibrėžimų. Nepaisant formuluočių skirtumų, visi šie apibrėžimai turi tą pačią reikšmę: racionalieji skaičiai sujungia sveikuosius skaičius ir trupmeniniai skaičiai, kaip ir sveikieji skaičiai sujungia natūraliuosius skaičius, jų priešingybes ir skaičių nulį. Kitaip tariant, racionalūs skaičiai apibendrina sveikuosius ir trupmeninius skaičius.

Pradėkime nuo racionaliųjų skaičių apibrėžimai, kuris suvokiamas natūraliausiu.

Apibrėžimas.

Racionalūs numeriai yra skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip teigiamą trupmeną, neigiamą trupmeną arba skaičių nulį.

Iš pateikto apibrėžimo matyti, kad racionalusis skaičius yra:

Bet koks natūralusis skaičius n. Iš tiesų, bet kurį natūralųjį skaičių galite pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, pavyzdžiui, 3=3/1 .

· Bet koks sveikasis skaičius, ypač skaičius nulis. Tiesą sakant, bet koks sveikasis skaičius gali būti parašytas kaip teigiama trupmena, neigiama trupmena arba nulis. Pavyzdžiui, 26=26/1 , .

· Bet kokia bendroji trupmena (teigiama arba neigiama). Tai tiesiogiai patvirtina pateiktas racionaliųjų skaičių apibrėžimas.

· Bet koks mišrus skaičius. Iš tiesų, mišrų skaičių visada galite pateikti kaip netinkamą trupmeną. Pavyzdžiui, ir.

· Bet kokia baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė trupmena. Taip yra dėl to, kad nurodytos dešimtainės trupmenos paverčiamos paprastosiomis trupmenomis. Pavyzdžiui, a 0,(3)=1/3 .

Taip pat aišku, kad bet kokia begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena NĖRA racionalusis skaičius, nes jos negalima pavaizduoti kaip bendrąją trupmeną.

Dabar galime lengvai duoti racionaliųjų skaičių pavyzdžiai. Skaičiai 4 ,903 , 100 321 Tai yra racionalūs skaičiai, nes jie yra natūralūs skaičiai. Sveiki skaičiai 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 taip pat yra racionalių skaičių pavyzdžiai. Paprastosios trupmenos 4/9 , 99/3 , taip pat yra racionalių skaičių pavyzdžiai. Racionalūs skaičiai taip pat yra skaičiai.

Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių aišku, kad yra ir teigiamų, ir neigiamų racionalių skaičių, o racionalusis skaičius nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas.

Aukščiau pateiktą racionaliųjų skaičių apibrėžimą galima suformuluoti glausta forma.

Apibrėžimas.

Racionalūs numeriai vardiniai skaičiai, kuriuos galima rašyti trupmenomis z/n, Kur z yra sveikasis skaičius ir n- natūralusis skaičius.

Įrodykime, kad šis racionaliųjų skaičių apibrėžimas yra lygiavertis ankstesniam apibrėžimui. Žinome, kad trupmenos tiesę galime laikyti dalybos ženklu, tada iš sveikųjų skaičių dalijimo savybių ir sveikųjų skaičių padalijimo taisyklių išplaukia šių lygybių galiojimas. Taigi, tai yra įrodymas.

Pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių šis apibrėžimas. Skaičiai −5 , 0 , 3 , ir yra racionalūs skaičiai, nes juos galima užrašyti kaip trupmenas su sveikuoju skaitikliu ir natūraliu formos vardikliu ir atitinkamai.

Racionaliųjų skaičių apibrėžimas gali būti pateiktas šioje formuluotėje.

Apibrėžimas.

Racionalūs numeriai yra skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip baigtinę arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Šis apibrėžimas taip pat yra lygiavertis pirmajam apibrėžimui, nes kiekviena įprastinė trupmena atitinka baigtinę arba periodinę dešimtainę trupmeną ir atvirkščiai, o bet koks sveikasis skaičius gali būti susietas su dešimtaine trupmena su nuliais po kablelio.

Pavyzdžiui, skaičiai 5 , 0 , −13 , yra racionalių skaičių pavyzdžiai, nes juos galima užrašyti kaip šias dešimtaines trupmenas 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Ir −7,(18) .

Užbaikime šio punkto teoriją tokiais teiginiais:

· sveikieji skaičiai ir trupmenos (teigiami ir neigiami) sudaro racionaliųjų skaičių aibę;

· kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas trupmena su sveikuoju skaitikliu ir natūraliuoju vardikliu, o kiekviena tokia trupmena reiškia tam tikrą racionalųjį skaičių;

· kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinė arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena, o kiekviena tokia trupmena reiškia tam tikrą racionalųjį skaičių.

Puslapio viršuje

Teigiamų racionaliųjų skaičių pridėjimas yra komutatyvus ir asociatyvus,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b) + c = a + (b+ c)

Prieš formuluodami teigiamų racionaliųjų skaičių daugybos apibrėžimą, apsvarstykite šią problemą: žinoma, kad atkarpos X ilgis išreiškiamas trupmena ilgio vienetu E, o vieneto atkarpos ilgis matuojamas vienetu. E 1 ir išreiškiamas trupmena. Kaip rasti skaičių, kuris parodys atkarpos X ilgį, jei matuojamas naudojant ilgio vienetą E 1?

Kadangi X = E, tada nX = mE, o iš to, kad E = E 1, išplaukia, kad qE = pE 1. Pirmąją gautą lygybę padauginkime iš q, o antrąją iš m. Tada (nq)X = (mq)E ir (mq)E= (mp)E 1, iš kur (nq)X= (mp)E 1. Ši lygybė rodo, kad išreiškiamas atkarpos x ilgis vienetu kaip trupmeną, o tai reiškia , =, t.y. trupmenų dauginimas apima perėjimą nuo vieno ilgio vieneto prie kito matuojant tos pačios atkarpos ilgį.

Apibrėžimas: Jei teigiamas skaičius a pavaizduotas trupmena, o teigiamas racionalusis skaičius b yra trupmena, tada jų sandauga yra skaičius a b, kuris pavaizduotas trupmena.

Teigiamų racionalių skaičių dauginimas komutacinis, asociatyvinis ir paskirstomasis sudėjimo ir atimties atžvilgiu. Šių savybių įrodymas grindžiamas teigiamų racionaliųjų skaičių daugybos ir sudėjimo apibrėžimu, taip pat atitinkamomis natūraliųjų skaičių sudėties ir daugybos savybėmis.

46. Kaip žinoma atimti– Tai priešingas papildymo veiksmas.

Jeigu a Ir b - teigiami skaičiai, tada iš skaičiaus a atėmus skaičių b reiškia rasti skaičių c, kurį pridėjus prie skaičiaus b gaunamas skaičius a.
a - b = c arba c + b = a
Atimties apibrėžimas galioja visiems racionaliesiems skaičiams. Tai yra, teigiamų ir neigiamų skaičių atėmimas gali būti pakeistas pridėjimu.
Norėdami iš vieno skaičiaus atimti kitą, turite pridėti priešingą skaičių atimamam.
Arba kitu būdu galime pasakyti, kad skaičiaus b atėmimas yra tas pats pridėjimas, bet su skaičiumi priešingas skaičius b.
a - b = a + (- b)
Pavyzdys.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Pavyzdys.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Verta prisiminti toliau pateiktas išraiškas.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Neigiamų skaičių atėmimo taisyklės
Skaičiaus b atėmimas yra jo pridėjimas su priešingu skaičiumi b.
Ši taisyklė galioja ne tik atimant mažesnį skaičių iš didesnio skaičiaus, bet ir leidžia atimti iš mažesnio skaičiaus didesnis skaičius, tai yra, jūs visada galite rasti skirtumą tarp dviejų skaičių.
Skirtumas gali būti teigiamas skaičius, neigiamas skaičius arba nulis.
Neigiamo ir atėmimo pavyzdžiai teigiami skaičiai.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Patogu atsiminti ženklų taisyklę, kuri leidžia sumažinti skliaustų skaičių.
Pliuso ženklas nekeičia skaičiaus ženklo, todėl jei prieš skliaustą yra pliusas, skliaustuose esantis ženklas nesikeičia.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Minuso ženklas prieš skliaustus pakeičia skaičiaus ženklą skliausteliuose.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Iš lygybių aišku, kad jei skliausteliuose ir viduje yra vienodi ženklai, tada gauname „+“, o jei ženklai skiriasi, tai gauname „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Ženklų taisyklė išsaugoma net jei skliausteliuose yra ne vienas skaičius, o algebrinė suma numeriai.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Atkreipkite dėmesį, kad jei skliausteliuose yra keli skaičiai, o prieš juos yra minuso ženklas, tada prieš visus skaičius šiuose skliausteliuose esantys ženklai turi keistis.
Norėdami prisiminti ženklų taisyklę, galite sukurti skaičių ženklų nustatymo lentelę.
Ženklo taisyklė skaičiams+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Arba išmokite paprastą taisyklę.
Du neigiami dalykai daro teigiamą,
Plius kartus minus lygus minusui.

Neigiamų skaičių padalijimo taisyklės.
Norint rasti dalinio modulį, reikia padalyti dividendo modulį iš daliklio modulio.
Taigi, norėdami padalyti du skaičius su tais pačiais ženklais, turite:

· dividendo modulis dalijamas iš daliklio modulio;

· prieš rezultatą padėkite „+“ ženklą.

Skaičių padalijimo su pavyzdžiai skirtingi ženklai:

Taip pat galite naudoti šią lentelę, kad nustatytumėte koeficiento ženklą.
Padalijimo ženklų taisyklė
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Skaičiuojant „ilgas“ išraiškas, kuriose atsiranda tik daugyba ir dalyba, labai patogu naudoti ženklų taisyklę. Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti trupmeną
Atkreipkite dėmesį, kad skaitiklis turi 2 minuso ženklus, kuriuos padauginus gausite pliusą. Taip pat vardiklyje yra trys minuso ženklai, kuriuos padauginus bus gautas minuso ženklas. Todėl galų gale rezultatas pasirodys su minuso ženklu.
Sumažinti trupmeną ( tolesni veiksmai su skaičių moduliais) atliekama taip pat, kaip ir anksčiau:
Nulio koeficientas, padalytas iš kito skaičiaus nei nulis, yra lygus nuliui.
0: a = 0, a ≠ 0
NEGALIMA dalyti iš nulio!
Racionaliųjų skaičių aibei galioja ir visos anksčiau žinomos dalybos iš vieneto taisyklės.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, kur a yra bet koks racionalusis skaičius.
Sąryšiai tarp daugybos ir dalybos rezultatų, žinomų kaip teigiami skaičiai, išlieka tokie patys visiems racionaliesiems skaičiams (išskyrus nulį):
jei a × b = c; a = c: b; b = c: a;
jei a: b = c; a = c × b; b = a: c
Šios priklausomybės naudojamos ieškant nežinomo koeficiento, dividendo ir daliklio (sprendžiant lygtis), taip pat tikrinant daugybos ir dalybos rezultatus.
Nežinomo radimo pavyzdys.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2