Priverstinės vibracijos. Rezonansas. Priverstinių svyravimų lygtis ir jos sprendimas. Rezonansas Gali priverstinius virpesius

Priverstiniai svyravimai – tai tie svyravimai, kurie atsiranda sistemoje, kai ją veikia išorinė jėga, periodiškai kintanti jėga, vadinama varomąja jėga.

Varomosios jėgos pobūdis (priklausomybė nuo laiko) gali būti skirtingas. Tai gali būti jėga, besikeičianti pagal harmoninį dėsnį. Pavyzdžiui, garso banga, kurios šaltinis yra kamertonas, atsitrenkia į ausies būgnelį arba mikrofono membraną. Membrana pradeda veikti harmoningai kintanti oro slėgio jėga.

Varomoji jėga gali būti sukrėtimų ar trumpų impulsų pobūdžio. Pavyzdžiui, suaugęs žmogus supasi vaiką ant sūpynių, periodiškai jas stumdamas tuo metu, kai sūpynės pasiekia vieną iš savo kraštutinių padėčių.

Mūsų užduotis – išsiaiškinti, kaip svyravimo sistema reaguoja į periodiškai kintančios varomosios jėgos įtaką.

§ 1 Varomoji jėga keičiasi pagal harmonikų dėsnį

F pasipriešinimas = - rv x ir įtikinama jėga F out = F 0 sin wt.

Antrasis Niutono dėsnis bus parašytas taip:

(1) lygties sprendinys ieškomas formoje , kur yra (1) lygties sprendinys, jei ji neturėjo dešinės pusės. Matyti, kad be dešinės pusės lygtis virsta gerai žinoma slopintų virpesių lygtimi, kurios sprendimą mes jau žinome. Per pakankamai ilgą laiką laisvieji svyravimai, atsirandantys sistemoje ją išėmus iš pusiausvyros padėties, praktiškai užges, o lygties sprendime liks tik antrasis narys. Šio sprendimo ieškosime formoje
Sugrupuokime terminus skirtingai:

Ši lygybė turi būti įvykdyta bet kuriuo momentu t, o tai įmanoma tik tuo atveju, jei sinuso ir kosinuso koeficientai lygūs nuliui.

Taigi kūnas, kurį veikia varomoji jėga, besikeičiantis pagal harmoninį dėsnį, atlieka svyruojantį judesį varomosios jėgos dažniu.

Išsamiau panagrinėkime priverstinių virpesių amplitudės klausimą:

1 Pastovios būsenos priverstinių svyravimų amplitudė laikui bėgant nekinta. (Palyginkite su laisvųjų slopintų virpesių amplitude).

2 Priverstinių svyravimų amplitudė yra tiesiogiai proporcinga varomosios jėgos amplitudei.

3 Amplitudė priklauso nuo trinties sistemoje (A priklauso nuo d, o slopinimo koeficientas d, savo ruožtu, priklauso nuo pasipriešinimo koeficiento r). Kuo didesnė trintis sistemoje, tuo mažesnė priverstinių svyravimų amplitudė.

4 Priverstinių svyravimų amplitudė priklauso nuo varomosios jėgos w dažnio. Kaip? Išnagrinėkime funkciją A(w).

Esant w = 0 (svyravimo sistemą veikia pastovi jėga), kūno poslinkis laikui bėgant yra pastovus (reikia turėti omenyje, kad tai reiškia pastovią būseną, kai natūralūs svyravimai beveik išnyko).

· Kai w ® ¥, tada, kaip nesunku pastebėti, amplitudė A linkusi į nulį.

· Akivaizdu, kad esant tam tikram varomosios jėgos dažniui, priverstinių svyravimų amplitudė įgis didžiausią reikšmę (tam d). Staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas esant tam tikrai varomosios jėgos dažnio vertei vadinamas mechaniniu rezonansu.

Įdomu tai, kad virpesių sistemos kokybės koeficientas šiuo atveju parodo, kiek kartų rezonansinė amplitudė viršija kūno poslinkį iš pusiausvyros padėties veikiant pastoviai jėgai F 0 .

Matome, kad ir rezonansinis dažnis, ir rezonanso amplitudė priklauso nuo slopinimo koeficiento d. Kai d sumažėja iki nulio, rezonansinis dažnis didėja ir linksta į sistemos natūralų virpesių dažnį w 0 . Šiuo atveju rezonansinė amplitudė didėja ir esant d = 0 eina į begalybę. Žinoma, praktiškai svyravimų amplitudė negali būti begalinė, nes tikrose virpesių sistemose visada veikia pasipriešinimo jėgos. Jei sistema turi mažą slopinimą, galime apytiksliai daryti prielaidą, kad rezonansas vyksta jos pačios virpesių dažniu:

kur nagrinėjamu atveju yra fazės poslinkis tarp varančiosios jėgos ir kūno poslinkio iš pusiausvyros padėties.

Nesunku pastebėti, kad fazės poslinkis tarp jėgos ir poslinkio priklauso nuo trinties sistemoje ir išorinės varomosios jėgos dažnio. Ši priklausomybė parodyta paveikslėlyje. Aišku, kada< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- teigiamas.

Žinant priklausomybę nuo kampo, galima gauti priklausomybę nuo varomosios jėgos dažnio.

Esant išorinės jėgos dažniams, kurie yra žymiai mažesni už natūraliąją jėgą, poslinkis šiek tiek atsilieka nuo varomosios jėgos fazėje. Didėjant išorinės jėgos dažniui, šis fazės vėlavimas didėja. Esant rezonansui (jei mažas), fazės poslinkis tampa lygus . Kai >> poslinkis ir jėgos svyravimai vyksta priešfazėje. Ši priklausomybė iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti keista. Norėdami suprasti šį faktą, atsigręžkime į energijos transformacijas priverstinių virpesių procese.

§ 2 Energijos transformacijos

Kaip jau žinome, svyravimų amplitudę lemia visa virpesių sistemos energija. Anksčiau buvo parodyta, kad priverstinių virpesių amplitudė laikui bėgant nesikeičia. Tai reiškia, kad suminė virpesių sistemos mechaninė energija laikui bėgant nekinta. Kodėl? Juk sistema neuždaryta! Dvi jėgos – išorinė periodiškai besikeičianti jėga ir pasipriešinimo jėga – atlieka darbą, kuris turėtų pakeisti bendrą sistemos energiją.

Pabandykime išsiaiškinti, kas vyksta. Išorinės varomosios jėgos galią galima rasti taip:

Matome, kad išorinės jėgos, maitinančios virpesių sistemą energija, galia yra proporcinga virpesių amplitudei.

Dėl pasipriešinimo jėgos darbo svyravimo sistemos energija turėtų sumažėti, virsti vidine. Atsparumo jėgos galia:

Akivaizdu, kad pasipriešinimo jėgos galia yra proporcinga amplitudės kvadratui. Abi priklausomybes nubraižykime grafike.

Kad svyravimai būtų tolygūs (amplitudė laikui bėgant nekinta), išorinės jėgos darbas per laikotarpį turi kompensuoti sistemos energijos nuostolius dėl pasipriešinimo jėgos darbo. Galios grafikų susikirtimo taškas tiksliai atitinka šį režimą. Įsivaizduokime, kad kažkodėl sumažėjo priverstinių svyravimų amplitudė. Tai lems tai, kad momentinė išorinės jėgos galia bus didesnė už nuostolių galią. Dėl to padidės virpesių sistemos energija, o svyravimų amplitudė atkurs ankstesnę vertę.

Panašiai galima įsitikinti, kad atsitiktinai padidėjus svyravimų amplitudei, galios nuostoliai viršys išorinės jėgos galią, o tai lems sistemos energijos sumažėjimą, taigi, amplitudės sumažėjimas.

Grįžkime prie fazės poslinkio tarp poslinkio ir rezonanso varomosios jėgos klausimo. Mes jau parodėme, kad poslinkis atsilieka, todėl jėga lemia poslinkį . Kita vertus, greičio projekcija harmoninių virpesių procese visada lenkia koordinatę . Tai reiškia, kad rezonanso metu išorinė varomoji jėga ir greitis svyruoja toje pačioje fazėje. Tai reiškia, kad jie yra bendrai vadovaujami bet kuriuo metu! Išorinės jėgos darbas šiuo atveju visada yra teigiamas, tai visi eina papildyti virpesių sistemą energija.

§ 3 Nesinusinė periodinė įtaka

Priverstiniai osciliatoriaus svyravimai galimi esant bet kokiam periodiniam išoriniam poveikiui, ne tik sinusoidiniam. Šiuo atveju nustatyti svyravimai, paprastai kalbant, nebus sinusiniai, o reprezentuos periodinį judėjimą, kurio periodas lygus išorinės įtakos periodui.

Išorinė įtaka gali būti, pavyzdžiui, vienas po kito einantys smūgiai (prisiminkite, kaip suaugęs žmogus „sūpuoja“ ant sūpynių sėdintį vaiką). Jei išorinių smūgių periodas sutampa su natūralių svyravimų periodu, tai sistemoje gali atsirasti rezonansas. Svyravimai bus beveik sinusiniai. Energija, perduodama sistemai kiekvieno paspaudimo metu, papildo bendrą sistemos energiją, prarastą dėl trinties. Akivaizdu, kad šiuo atveju galimi variantai: jei stūmimo metu perduodama energija yra lygi arba viršija trinties nuostolius per periodą, tada svyravimai bus arba pastovūs, arba jų apimtis padidės. Tai aiškiai matoma fazių diagramoje.

Akivaizdu, kad rezonansas galimas ir tuo atveju, kai smūgių pasikartojimo periodas yra natūralių svyravimų periodo kartotinis. Tai neįmanoma dėl sinusoidinio išorinio poveikio pobūdžio.

Kita vertus, net jei smūgio dažnis sutampa su natūraliu dažniu, rezonansas gali būti nepastebėtas. Jei tik trinties nuostoliai per laikotarpį viršija energiją, kurią sistema gauna stūmimo metu, tai bendra sistemos energija sumažės, o svyravimai slops.

§ 4 Parametrinis rezonansas

Išorinė įtaka virpesių sistemai gali būti sumažinta iki periodinių pačios virpesių sistemos parametrų pokyčių. Tokiu būdu sužadinami svyravimai vadinami parametriniais, o pats mechanizmas – parametrinis rezonansas .

Pirmiausia pabandysime atsakyti į klausimą: ar galima išjudinti sistemoje jau esamus nedidelius svyravimus periodiškai tam tikru būdu keičiant kai kuriuos jos parametrus.

Kaip pavyzdį apsvarstykite žmogų, besisiūbuojantį ant sūpynių. Sulenkdamas ir ištiesdamas kojas „tinkamais“ momentais, jis iš tikrųjų pakeičia švytuoklės ilgį. Kraštutinėse padėtyse žmogus pritūpia, taip šiek tiek nuleisdamas virpesių sistemos svorio centrą, vidurinėje padėtyje žmogus išsitiesia, pakeldamas sistemos svorio centrą.

Kad suprastumėte, kodėl žmogus siūbuojasi tuo pačiu metu, apsvarstykite itin supaprastintą žmogaus ant sūpynių modelį – įprastą mažą švytuoklę, tai yra, nedidelį svorį ant lengvo ir ilgo sriegio. Siekdami imituoti svorio centro pakėlimą ir nuleidimą, viršutinį sriegio galą ištrauksime per mažą skylutę ir trauksime siūlą tais momentais, kai švytuoklė pereis iš pusiausvyros padėties, ir nuleisime siūlą tiek pat, kai švytuoklė praeina kraštutinę padėtį.

Sriegio įtempimo jėgos darbas per periodą (atsižvelgiant į tai, kad krovinys pakeliamas ir nuleidžiamas du kartus per periodą ir kad D l << l):

Atkreipkite dėmesį, kad skliausteliuose nėra nieko daugiau, kaip trigubai virpesių sistemos energijai. Beje, šis dydis yra teigiamas, todėl įtempimo jėgos darbas (mūsų darbas) yra teigiamas, dėl to padidėja bendra sistemos energija, taigi ir švytuoklės svyravimas.

Įdomu tai, kad santykinis energijos pokytis per tam tikrą laikotarpį nepriklauso nuo to, ar švytuoklė svyruoja silpnai ar stipriai. Tai labai svarbu ir štai kodėl. Jei švytuoklė nebus „pripumpuota“ energijos, tai kiekvienam periodui dėl trinties jėgos ji neteks tam tikros energijos dalies, o svyravimai išnyks. O kad svyravimų diapazonas padidėtų, būtina, kad gaunama energija viršytų tą, kuri prarandama norint įveikti trintį. Ir ši sąlyga, pasirodo, ta pati – ir mažos amplitudės, ir didelės.

Pavyzdžiui, jei per vieną laikotarpį laisvųjų svyravimų energija sumažėja 6%, tai tam, kad 1 m ilgio švytuoklės svyravimai nesuslopintų, užtenka vidurinėje padėtyje jos ilgį sumažinti 1 cm ir padidinti. ji tiek pat ir kraštutinėje padėtyje.

Grįžtant prie sūpynių: jei pradedi siūbuoti, tada nereikia tupėti vis gilyn ir gilyn – visą laiką tupėk taip pat, ir skrisi vis aukščiau!

*** Vėl kokybė!

Kaip jau minėjome, parametriniam virpesių kaupimuisi turi būti įvykdyta trinties per periodą sąlyga DE > A.

Raskime trinties jėgos atliktą darbą per laikotarpį

Matyti, kad santykinis švytuoklės pakėlimas jai palenkti priklauso nuo sistemos kokybės faktoriaus.

§ 5 Rezonanso reikšmė

Priverstiniai virpesiai ir rezonansas plačiai naudojami technologijose, ypač akustikoje, elektrotechnikoje ir radijo inžinerijoje. Rezonansas pirmiausia naudojamas tada, kai iš daugybės skirtingų dažnių virpesių norima atskirti tam tikro dažnio virpesius. Rezonansas taip pat naudojamas tiriant labai silpnus periodiškai pasikartojančius dydžius.

Tačiau kai kuriais atvejais rezonansas yra nepageidaujamas reiškinys, nes jis gali sukelti dideles deformacijas ir konstrukcijų sunaikinimą.

§ 6 Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 uždavinys Priverstiniai spyruoklinės švytuoklės svyravimai veikiant išorinei sinusinei jėgai.

M = 10 g masės apkrova buvo pakabinta ant spyruoklės, kurios standumas k = 10 N/m, ir sistema patalpinta į klampią terpę, kurios pasipriešinimo koeficientas r = 0,1 kg/s. Palyginkite sistemos natūraliuosius ir rezonansinius dažnius. Nustatykite svyruoklės svyravimų amplitudę rezonanso metu, veikiant sinusinei jėgai, kurios amplitudė F 0 = 20 mN.

Sprendimas:

1 Natūralusis virpesių sistemos dažnis yra laisvųjų virpesių dažnis, kai nėra trinties. Natūralus ciklinis dažnis yra lygus virpesių dažniui.

2 Rezonansinis dažnis – išorinės varomosios jėgos dažnis, kuriam esant stipriai padidėja priverstinių virpesių amplitudė. Rezonansinis ciklinis dažnis lygus , kur slopinimo koeficientas lygus .

Taigi rezonansinis dažnis yra . Nesunku pastebėti, kad rezonansinis dažnis yra mažesnis už natūralųjį dažnį! Taip pat aišku, kad kuo mažesnė trintis sistemoje (r), tuo rezonansinis dažnis artimesnis natūraliajam dažniui.

3 Rezonanso amplitudė yra

2 užduotis Virpesių sistemos rezonanso amplitudė ir kokybės koeficientas

m = 100 g masės apkrova buvo pakabinta ant spyruoklės, kurios standumas k = 10 N/m, ir sistema buvo patalpinta į klampią terpę, kurios atsparumo koeficientas

r = 0,02 kg/s. Nustatykite virpesių sistemos kokybės koeficientą ir svyruoklės svyravimų amplitudę rezonanso metu, veikiant sinusinei jėgai, kurios amplitudė F 0 = 10 mN. Raskite rezonansinės amplitudės ir statinio poslinkio santykį veikiant pastoviai jėgai F 0 = 20 mN ir palyginkite šį santykį su kokybės koeficientu.

Sprendimas:

1 Virpesių sistemos kokybės koeficientas lygus , kur yra logaritminio slopinimo mažėjimas.

Logaritminio slopinimo mažėjimas yra lygus .

Virpesių sistemos kokybės koeficiento nustatymas.

2 Rezonanso amplitudė yra

3 Statinis poslinkis veikiant pastoviai jėgai F 0 = 10 mN lygus .

4 Rezonansinės amplitudės ir statinio poslinkio santykis veikiant pastoviai jėgai F 0 yra lygus

Nesunku pastebėti, kad šis santykis sutampa su virpesių sistemos kokybės koeficientu

3 uždavinys Spindulio rezonansiniai virpesiai

Veikiamas elektros variklio svorio, konsolinis bakas, ant kurio jis sumontuotas, sulenktas. Kokiu variklio armatūros greičiu gali kilti rezonanso pavojus?

Sprendimas:

1 Variklio korpusas ir sija, ant kurios ji sumontuota, patiria periodinius smūgius nuo besisukančios variklio armatūros ir todėl atlieka priverstinius svyravimus smūgių dažniu.

Rezonansas bus stebimas, kai smūgių dažnis sutampa su natūraliu spindulio su varikliu vibracijos dažniu. Būtina rasti sijos-variklio sistemos natūralų vibracijos dažnį.

2 Sijos-variklio virpesių sistemos analogas gali būti vertikali spyruoklinė švytuoklė, kurios masė lygi variklio masei. Spyruoklinės švytuoklės natūralusis virpesių dažnis lygus . Tačiau spyruoklės standumas ir variklio masė nėra žinomi! Ką turėčiau daryti?

3 Spyruoklės švytuoklės pusiausvyros padėtyje apkrovos gravitacinė jėga yra subalansuota spyruoklės elastine jėga

4 Raskite variklio armatūros sukimąsi, t.y. smūgio dažnis

4 uždavinys Priverstiniai spyruoklinės švytuoklės svyravimai veikiant periodiniams smūgiams.

Svoris, kurio masė m = 0,5 kg, pakabinamas ant spiralinės spyruoklės, kurios standumas k = 20 N/m. Virpesių sistemos logaritminio slopinimo mažėjimas yra lygus . Jie nori siūbuoti svarmenį trumpais stūmimais, veikiant svorį jėga F = 100 mN τ = 0,01 s. Koks turi būti smūgių dažnis, kad svorio amplitudė būtų didžiausia? Kuriuose taškuose ir kokia kryptimi reikia stumti virdulį? Iki kokios amplitudės tokiu būdu bus galima pasukti svorį?

Sprendimas:

1 Priverstinė vibracija gali atsirasti esant bet kokiam periodiniam poveikiui. Šiuo atveju pastoviosios būsenos svyravimai įvyks esant išorinio poveikio dažniui. Jei išorinių smūgių periodas sutampa su natūralių svyravimų dažniu, tai sistemoje atsiranda rezonansas – svyravimų amplitudė tampa didžiausia. Mūsų atveju, kad atsirastų rezonansas, smūgių laikotarpis turi sutapti su spyruoklės švytuoklės svyravimo periodu.

Logaritminio slopinimo mažėjimas yra mažas, todėl sistemoje yra mažai trinties, o švytuoklės svyravimo klampioje terpėje laikotarpis praktiškai sutampa su švytuoklės svyravimo vakuume periodu:

2 Akivaizdu, kad stūmimų kryptis turi sutapti su svorio greičiu. Tokiu atveju išorinės jėgos, papildančios sistemą energija, darbas bus teigiamas. Ir vibracijos siūbuos. Energija, kurią sistema gauna poveikio proceso metu

bus didžiausias, kai apkrova pereis pusiausvyros padėtį, nes šioje padėtyje švytuoklės greitis yra didžiausias.

Taigi sistema greičiausiai svyruos veikiant smūgiams krovinio judėjimo kryptimi, kai ji eina per pusiausvyros padėtį.

3 Virpesių amplitudė nustoja augti, kai smūgio proceso metu sistemai perduodama energija yra lygi energijos nuostoliams dėl trinties per laikotarpį: .

Energijos nuostolius per tam tikrą laikotarpį rasime per virpesių sistemos kokybės faktorių

čia E yra visa virpesių sistemos energija, kurią galima apskaičiuoti kaip .

Vietoj energijos praradimo mes pakeičiame energiją, kurią sistema gauna smūgio metu:

Didžiausias greitis virpesių proceso metu yra . Atsižvelgdami į tai, gauname.

§7 Savarankiško sprendimo užduotys

Bandymas „Priverstinės vibracijos“

1 Kokie svyravimai vadinami priverstiniais?

A) Svyravimai, atsirandantys veikiant išorinėms periodiškai besikeičiančioms jėgoms;

B) Svyravimai, atsirandantys sistemoje po išorinio smūgio;

2 Kuris iš šių svyravimų yra priverstinis?

A) Krovinio, pakabinamo nuo spyruoklės, svyravimas po vienkartinio nukrypimo nuo pusiausvyros padėties;

B) Garsiakalbio kūgio virpesiai veikiant imtuvui;

B) Apkrovos, pakabintos nuo spyruoklės, svyravimas po vienkartinio smūgio į apkrovą pusiausvyros padėtyje;

D) Elektros variklio korpuso vibracija jo veikimo metu;

D) Muzikos klausančio žmogaus ausies būgnelio virpesiai.

3 Virpesių sistemą su savo dažniu veikia išorinė varomoji jėga, kuri kinta pagal įstatymus. Slopinimo koeficientas virpesių sistemoje lygus . Pagal kokį dėsnį laikui bėgant kinta kūno koordinatė?

C) Priverstinių svyravimų amplitudė išliks nepakitusi, nes dėl trinties sistemos prarastą energiją kompensuos energijos prieaugis dėl išorinės varomosios jėgos darbo.

5 Sistema atlieka priverstinius virpesius, veikiant sinusoidinei jėgai. Nurodykite Visi veiksniai, nuo kurių priklauso šių svyravimų amplitudė.

A) Iš išorinės varomosios jėgos amplitudės;

B) Energijos buvimas svyravimo sistemoje tuo momentu, kai pradeda veikti išorinė jėga;

C) pačios virpesių sistemos parametrai;

D) Trintis virpesių sistemoje;

D) natūralių svyravimų egzistavimas sistemoje tuo momentu, kai pradeda veikti išorinė jėga;

E) svyravimų atsiradimo laikas;

G) Išorinės varomosios jėgos dažniai.

6 Masės m blokas atlieka priverstinius harmoninius virpesius išilgai horizontalios plokštumos, kurios periodas T ir amplitudė A. Trinties koeficientas μ. Kokį darbą išorinė varomoji jėga atlieka per laikotarpį, lygų periodui T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) Neįmanoma atsakyti, nes išorinės varomosios jėgos dydis nėra žinomas.

7 Pateikite teisingą teiginį

Rezonansas yra reiškinys...

A) Išorinės jėgos dažnio sutapimas su natūraliu virpesių sistemos dažniu;

B) Staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas.

Esant sąlygai, stebimas rezonansas

A) Trinties mažinimas virpesių sistemoje;

B) Išorinės varomosios jėgos amplitudės didinimas;

C) Išorinės jėgos dažnio sutapimas su svyravimo sistemos savuoju dažniu;

D) Kai išorinės jėgos dažnis sutampa su rezonansiniu dažniu.

8 Rezonanso reiškinį galima pastebėti...

A) Bet kurioje virpesių sistemoje;

B) Sistemoje, kuri atlieka laisvuosius virpesius;

B) Savaime svyruojančioje sistemoje;

D) Sistemoje, kurioje vyksta priverstiniai svyravimai.

9 Paveikslėlyje parodytas priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybės nuo varomosios jėgos dažnio grafikas. Rezonansas atsiranda tokiu dažniu...

10 Trys vienodos švytuoklės, esančios skirtingose ​​klampiose terpėse, atlieka priverstinius svyravimus. Paveiksle pavaizduotos šių švytuoklių rezonanso kreivės. Kuri švytuoklė patiria didžiausią klampios terpės pasipriešinimą virpesių metu?

A) 1; B) 2; AT 3;

D) Neįmanoma atsakyti, nes priverstinių svyravimų amplitudė, be išorinės jėgos dažnio, priklauso ir nuo jos amplitudės. Sąlyga nieko nesako apie išorinės varomosios jėgos amplitudę.

11 Virpesių sistemos natūralių svyravimų periodas lygus T 0. Koks gali būti smūgių laikotarpis, kad svyravimų amplitudė smarkiai padidėtų, tai yra, sistemoje atsirastų rezonansas?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Sūpynės gali būti siūbuojamos bet kokio dažnio stūmimais.

12 Tavo mažasis brolis sėdi ant sūpynių, tu siūboji jį trumpais stūmimais. Koks turėtų būti smūgių eilės laikotarpis, kad procesas vyktų efektyviausiai? Sūpynių natūralių svyravimų periodas T 0.

D) Sūpynės gali būti siūbuojamos bet kokio dažnio stūmimais.

13 Tavo mažasis brolis sėdi ant sūpynių, tu siūboji jį trumpais stūmimais. Kokioje sūpynės padėtyje reikia stumti ir kokia kryptimi stumti, kad procesas vyktų efektyviausiai?

A) Pasukite į aukščiausią sūpynių padėtį link pusiausvyros padėties;

B) Stumkite į aukščiausią sūpynių padėtį kryptimi nuo pusiausvyros padėties;

B) Stumkite subalansuotoje padėtyje sūpynės judėjimo kryptimi;

D) Galite stumti bet kurioje padėtyje, bet visada sūpynės judėjimo kryptimi.

14 Atrodytų, kad laiku šaudant iš timpa į tiltą su savo vibracijomis ir padarius daug šūvių, galite jį stipriai siūbuoti, bet vargu ar tai pavyks. Kodėl?

A) Tilto masė (jo inercija) yra didelė, palyginti su „kulkos“ iš timpa mase, tiltas negalės judėti veikiamas tokių smūgių;

B) „kulkos“ smūgio iš timpa jėga yra tokia maža, kad tiltas negalės judėti veikiamas tokių smūgių;

C) Energija, perduodama tiltui vienu smūgiu, yra daug mažesnė nei energijos nuostoliai dėl trinties per laikotarpį.

15 Neši kibirą vandens. Vanduo kibire siūbuoja ir išsitaško. Ką daryti, kad taip nenutiktų?

A) Pasukite ranką, kurioje yra kibiras, vaikščiojimo ritmu;

B) Pakeiskite judėjimo greitį, palikdami nepakeistą žingsnių ilgį;

C) Periodiškai sustokite ir palaukite, kol vandens vibracijos nurims;

D) Įsitikinkite, kad judesio metu ranka su kibiru yra griežtai vertikaliai.

Užduotys

1 Sistema atlieka slopintus virpesius 1000 Hz dažniu. Apibrėžkite dažnį v 0 natūralių virpesių, jei rezonansinis dažnis

2 Nustatykite, pagal kokią reikšmę D v rezonansinis dažnis skiriasi nuo natūralaus dažnio v 0= 1000 Hz virpesių sistema, kuriai būdingas slopinimo koeficientas d = 400s -1.

3 100 g masės apkrova, pakabinta ant 10 N/m standumo spyruoklės, atlieka priverstinius svyravimus klampioje terpėje, kurios pasipriešinimo koeficientas r = 0,02 kg/s. Nustatykite slopinimo koeficientą, rezonansinį dažnį ir amplitudę. Varomosios jėgos amplitudė yra 10 mN.

4 Priverstinių harmoninių virpesių amplitudės esant dažniams w 1 = 400 s -1 ir w 2 = 600 s -1 yra lygios. Nustatykite rezonansinį dažnį.

5 Sunkvežimiai į grūdų sandėlį įvažiuoja gruntiniu keliu iš vienos pusės, iškrauna ir išvažiuoja iš sandėlio tokiu pat greičiu, bet kita puse. Kurioje sandėlio pusėje kelyje daugiau duobių nei kitoje? Kaip pagal kelio būklę nustatyti, iš kurios sandėlio pusės yra įėjimas, o iš kurios – išėjimas? Pagrįskite atsakymą

Šioje pamokoje kiekvienas galės studijuoti temą „Energijos transformacija svyruojantį judėjimą. Slopinti svyravimai. Priverstinės vibracijos“. Šioje pamokoje apžvelgsime, kokia energijos transformacija vyksta svyruojant judesiui. Norėdami tai padaryti, atliksime svarbų eksperimentą su horizontalia spyruoklinės švytuoklės sistema. Taip pat aptarsime klausimus, susijusius su slopintais svyravimais ir priverstiniais svyravimais.

Pamoka skirta temai „Energijos transformacija svyruojantį judėjimą“. Be to, mes apsvarstysime klausimą, susijusį su slopintais ir priverstiniais svyravimais.

Pradėkime susipažinti su šiuo klausimu atlikdami kitą svarbų eksperimentą. Prie spyruoklės pritvirtintas korpusas, galintis atlikti horizontalius svyravimus. Ši sistema vadinama horizontalia spyruokle. Šiuo atveju į gravitacijos poveikį galima nepaisyti.

Ryžiai. 1. Horizontali spyruoklinė švytuoklė

Darysime prielaidą, kad sistemoje nėra trinties ar pasipriešinimo jėgų. Kai ši sistema yra pusiausvyroje ir nevyksta svyravimai, kūno greitis yra 0 ir nėra spyruoklės deformacijos. Šiuo atveju ši švytuoklė neturi energijos. Bet kai tik kūnas bus pasislinkęs pusiausvyros taško atžvilgiu į dešinę arba į kairę, šiuo atveju mes atliksime energijos perdavimo šioje virpesių sistemoje darbą. Kas atsitinka šiuo atveju? Atsitinka taip: spyruoklė deformuojasi, keičiasi jos ilgis. Perduodame spyruoklei potencialią energiją. Jei dabar atleisite apkrovą jos nelaikydami, ji pradės judėti link pusiausvyros padėties, spyruoklė pradės tiesėti ir spyruoklės deformacija sumažės. Kūno greitis padidės, o pagal energijos tvermės dėsnį potencinė spyruoklės energija pavirs kinetine kūno judėjimo energija.

Ryžiai. 2. Spyruoklinės švytuoklės svyravimo stadijos

Deformacija spyruoklės ∆x nustatomas taip: ∆x = x 0 - x. Atsižvelgdami į deformaciją, galime teigti, kad visa potenciali energija yra sukaupta pavasarį: .

Virpesių metu potencinė energija nuolat virsta kinetine bloko energija: .

Pavyzdžiui, kai blokas kerta pusiausvyros tašką x 0, spyruoklės deformacija lygi 0, t.y. ∆х=0, todėl spyruoklės potencinė energija lygi 0 ir visa spyruoklės potencinė energija virto bloko kinetine energija: E p (taške B) = E k (taške A). Arba .

Dėl tokio judėjimo potenciali energija paverčiama kinetine energija. Tada atsiranda vadinamasis inercijos fenomenas. Kūnas, turintis tam tikrą masę, inercijos būdu pereina per pusiausvyros tašką. Kūno greitis pradeda mažėti, didėja spyruoklės deformacija ir pailgėjimas. Galime daryti išvadą, kad kūno kinetinė energija mažėja, o potencinė spyruoklės energija vėl pradeda didėti. Galime kalbėti apie kinetinės energijos pavertimą potencialia energija.

Kai kūnas pagaliau sustos, kūno greitis bus lygus 0, o spyruoklės deformacija taps maksimali, tokiu atveju galime sakyti, kad visa kūno kinetinė energija virto potencialia spyruoklės energija. Ateityje viskas kartojasi nuo pradžių. Jei įvykdoma viena sąlyga, šis procesas vyks nuolat. Kokia ši sąlyga? Ši sąlyga yra trinties nebuvimas. Tačiau trinties jėga, pasipriešinimo jėga yra bet kurioje sistemoje. Todėl su kiekvienu paskesniu švytuoklės judesiu prarandama energija. Atliekamas darbas siekiant įveikti trinties jėgą. Trinties jėga pagal Kulono-Amontono dėsnį: F TP = μ .N.

Kalbėdami apie svyravimus, visada turime prisiminti, kad trinties jėga lemia tai, kad palaipsniui visa energija, sukaupta tam tikroje virpesių sistemoje, paverčiama vidine energija. Dėl to svyravimai sustoja, o kadangi svyravimai sustoja, tokie svyravimai vadinami slopintais.

Slopinti svyravimai - svyravimai, kurių amplitudė mažėja dėl to, kad virpesių sistemos energija eikvojama pasipriešinimo ir trinties jėgoms įveikti.

Ryžiai. 3. Slopintų svyravimų grafikas

Kitas virpesių tipas, kurį mes apsvarstysime, yra vadinamasis. priverstinės vibracijos. Priverstinės vibracijos vadinami tokie svyravimai, kurie atsiranda veikiant periodinei, išorinei jėgai, veikiančiai tam tikrą svyravimo sistemą.

Jei švytuoklė svyruoja, tai tam, kad šie svyravimai tęstųsi, kiekvieną kartą švytuoklę turi veikti išorinė jėga. Pavyzdžiui, švytuoklę veikiame savo ranka, verčiame ją judėti, stumti. Būtina veikti su tam tikra jėga ir papildyti prarastą energiją. Taigi priverstiniai svyravimai yra tie svyravimai, kurie atsiranda veikiant išorinei varomajai jėgai. Tokių svyravimų dažnis sutaps su išorinės veikiančios jėgos dažniu. Kai švytuoklę pradeda veikti išorinė jėga, atsitinka taip: iš pradžių svyravimai bus mažos amplitudės, bet palaipsniui ši amplitudė didės. O kai amplitudė įgauna pastovią reikšmę, pastovią reikšmę įgauna ir svyravimų dažnis, sako, kad tokie svyravimai įsitvirtino. Nustatomi priverstiniai svyravimai.

Pastovus priverstiniai svyravimai kompensuoja energijos praradimą būtent dėl ​​išorinės varomosios jėgos darbo.

Rezonansas

Yra labai svarbus reiškinys, kuris gana dažnai pastebimas gamtoje ir technikoje. Šis reiškinys vadinamas rezonansu. „Rezonansas“ yra lotyniškas žodis ir išverstas į rusų kalbą kaip „atsakymas“. Rezonansas (iš lat.resono - „atsakau“) yra sistemos priverstinių virpesių amplitudės padidėjimo reiškinys, atsirandantis, kai jėgos išorinio poveikio dažnis artėja prie natūralaus švytuoklės ar tam tikros virpesių sistemos svyravimų dažnio. .

Jei yra švytuoklė, kuri turi savo ilgį, masę ar spyruoklės standumą, tai ši švytuoklė turi savo svyravimus, kuriems būdingas dažnis. Jei šią švytuoklę pradeda veikti išorinė varomoji jėga ir šios jėgos dažnis pradeda artėti prie savaiminio švytuoklės dažnio (sutampa su juo), tada staigiai padidėja svyravimų amplitudė. Tai yra rezonanso reiškinys.

Dėl šio reiškinio vibracijos gali būti tokios didelės, kad bus sunaikintas kūnas, pati virpesių sistema. Yra žinomas atvejis, kai per tiltą einančių karių rikiuotė dėl tokio reiškinio tiltą tiesiog sugriuvo. Kitas atvejis, kai dėl oro masių judėjimo ir gana galingų vėjo gūsių JAV sugriuvo tiltas. Tai irgi rezonansinis reiškinys. Tilto virpesiai, jo paties vibracijos sutapo su vėjo gūsių dažniu, išorine varomąja jėga. Dėl to amplitudė taip padidėjo, kad tiltas sugriuvo.

Į šį reiškinį jie stengiasi atsižvelgti kurdami konstrukcijas ir mechanizmus. Pavyzdžiui, traukiniui pajudėjus, gali nutikti taip. Jei vežimas važiuoja ir šis vežimas pradeda siūbuoti laiku, tada svyravimų amplitudė gali padidėti tiek, kad vežimas gali nuvažiuoti nuo bėgių. Bus avarija. Šiam reiškiniui apibūdinti naudojamos kreivės, vadinamos rezonanso kreivėmis.

Ryžiai. 4. Rezonanso kreivė. Kreivės smailė – maksimali amplitudė

Žinoma, su rezonansu ne tik kovojama, bet ir naudojamasi. Jis dažniausiai naudojamas akustikoje. Ten, kur yra žiūrovų salė, teatro salė, koncertų salė, turime atsižvelgti į rezonanso reiškinį.

Papildomos literatūros sąrašas:

Ar jums taip gerai pažįstamas rezonansas? // Kvantinė. - 2003. - Nr. 1. - P. 32-33 Fizika: mechanika. 10 klasė: Vadovėlis. už nuodugnų fizikos studiją / M.M. Balašovas, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky ir kiti; Red. G.Ya. Myakiševa. - M.: Bustard, 2002. Pradinės fizikos vadovėlis. Red. G.S. Landsbergis, T. 3. - M., 1974 m

Skirtingai nuo laisvųjų svyravimų, kai sistema gauna tik vieną kartą (kai sistema pašalinama), priverstinių virpesių atveju sistema šią energiją sugeria iš išorinės periodinės jėgos šaltinio nuolat. Ši energija papildo nuostolius, išleistus įveikimui, todėl bendras ne išlieka nepakitęs.

Priverstinės vibracijos, skirtingai nei laisvosios, gali atsirasti bet kokiu dažniu. sutampa su išorinės jėgos, veikiančios virpesių sistemą, dažniu. Taigi priverstinių svyravimų dažnį lemia ne pačios sistemos savybės, o išorinio poveikio dažnis.

Priverstinės vibracijos pavyzdžiai yra vaikiškų sūpynių virpesiai, adatos virpesiai siuvimo mašinoje, stūmoklis automobilio variklio cilindre, automobilio spyruoklės, judančios nelygiu keliu ir kt.

Rezonansas

APIBRĖŽIMAS

Rezonansas– tai staigus priverstinių svyravimų padidėjimas, kai varomosios jėgos dažnis artėja prie svyravimo sistemos natūralaus dažnio.

Rezonansas atsiranda dėl to, kad kai išorinė jėga, veikianti laiku su laisvomis vibracijomis, visada turi tą pačią kryptį nuo svyruojančio kūno ir atlieka teigiamą darbą: svyruojančio kūno energija didėja ir tampa didelė. Jei išorinė jėga veikia „ne žingsnyje“, ši jėga pakaitomis atlieka neigiamą ir teigiamą darbą, todėl sistemos energija šiek tiek pasikeičia.

1 paveiksle parodyta priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybė nuo varomosios jėgos dažnio. Matyti, kad ši amplitudė pasiekia maksimumą esant tam tikrai dažnio reikšmei, t.y. at , kur yra natūralusis virpesių sistemos dažnis. 1 ir 2 kreivės skiriasi trinties jėgos dydžiu. Esant mažai trinčiai (1 kreivė), rezonanso kreivė turi staigų maksimumą, o esant didesnei trinties jėgai (2 kreivė), tokio aštraus maksimumo nėra.

Su rezonanso reiškiniu dažnai susiduriame kasdieniame gyvenime. Jei gatve pravažiavus sunkiasvoriui sunkvežimiui, kambario langai pradėjo drebėti, tai reiškia, kad natūralus stiklo vibracijos dažnis yra lygus automobilio vibracijos dažniui. Jei jūros bangos rezonuoja su laivo periodu, riedėjimas tampa ypač stiprus.

Projektuojant tiltus, pastatus ir kitas konstrukcijas, kurios patiria vibraciją veikiant apkrovai, reikia atsižvelgti į rezonanso reiškinį, nes priešingu atveju tam tikromis sąlygomis šios konstrukcijos gali būti sunaikintos. Tačiau rezonansas taip pat gali būti naudingas. Rezonanso reiškinys naudojamas nustatant radijo imtuvą tam tikram transliavimo dažniui, taip pat daugeliu kitų atvejų.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 PAVYZDYS

Pratimas	Horizontalios švytuoklės, kurios apkrova yra 1 kg, spyruoklės galą veikia kintama jėga, kurios virpesių dažnis yra 16 Hz. Ar bus stebimas rezonansas, jei spyruoklės standumas yra 400 N/m?
Sprendimas	Nustatykime natūralų virpesių sistemos dažnį pagal formulę: Hz Kadangi išorinės jėgos dažnis nėra lygus natūraliam sistemos dažniui, rezonanso reiškinys nebus stebimas.
Atsakymas	Rezonanso reiškinys nebus pastebėtas.

2 PAVYZDYS

Pratimas	Ant 1 m ilgio sriegio nuo vežimo lubų pakabinamas mažas rutulys. Kokiu automobilio greičiu rutulys vibruos ypač stipriai, kai ratai atsitrenks į bėgių jungtis? Bėgio ilgis 12,5 m.
Sprendimas	Rutulys atlieka priverstinius svyravimus, kurių dažnis yra lygus ratų smūgių į bėgių jungtis dažniui: Jei rutulio matmenys yra maži, palyginti su sriegio ilgiu, tada galima laikyti, kad sistema turi natūralų virpesių dažnį: priverstinių neslopintų svyravimų amplitudė yra maksimali rezonanso atveju, t.y. Kada . Taigi galime rašyti:

1. Išsiaiškinkime, kokios energijos transformacijos vyksta spyruoklinės švytuoklės virpesių metu (žr. 80 pav.). Kai spyruoklė ištempiama, jos potenciali energija didėja, o maksimaliai ištempus ji turi vertę E n = .

Apkrovai judant link pusiausvyros padėties mažėja spyruoklės potencinė energija, didėja apkrovos kinetinė energija. Pusiausvyros padėtyje apkrovos kinetinė energija yra didžiausia E k = , o spyruoklės potencinė energija lygi nuliui.

Suspaudus spyruoklę, jos potenciali energija didėja, o apkrovos kinetinė energija mažėja. Esant didžiausiam suspaudimui, spyruoklės potencinė energija yra maksimali, o apkrovos kinetinė energija lygi nuliui.

Jei nepaisysime trinties jėgos, bet kuriuo laiko momentu potencialių ir kinetinių energijų suma nesikeičia

E = E n + E k = konst.

Esant trinties jėgai, energija eikvojama darbui prieš šią jėgą, svyravimų amplitudė mažėja ir svyravimai išnyksta.

Taigi laisvieji švytuoklės svyravimai, atsirandantys dėl pradinio energijos tiekimo, visada yra išblukęs.

2. Kyla klausimas, ką reikia padaryti, kad laikui bėgant svyravimai nesiliautų. Akivaizdu, kad norint gauti neslopintus svyravimus, reikia kompensuoti energijos nuostolius. Tai galima padaryti įvairiais būdais. Panagrinėkime vieną iš jų.

Puikiai žinote, kad sūpynių vibracijos neužges, jei nuolat jas stumsite, tai yra veiksite su tam tikra jėga. Tokiu atveju sūpynės vibracijos nebėra laisvos, jos atsiras veikiamos išorinės jėgos. Šios išorinės jėgos darbas tiksliai papildo trinties sukeltus energijos nuostolius.

Išsiaiškinkime, kokia turėtų būti išorinė jėga? Tarkime, kad jėgos dydis ir kryptis yra pastovūs. Akivaizdu, kad tokiu atveju svyravimai sustos, nes kūnas, perėjęs pusiausvyros padėtį, į ją nebegrįš. Todėl išorinės jėgos dydis ir kryptis turi periodiškai keistis.

Taigi,

priverstiniai svyravimai – tai svyravimai, atsirandantys veikiant išorinei, periodiškai besikeičiančiai jėgai.

Priverstinės vibracijos, skirtingai nei laisvosios, gali atsirasti bet kokiu dažniu. Priverstinių svyravimų dažnis lygus kūną veikiančios jėgos kitimo dažniui,šiuo atveju jis vadinamas verčiant.

3. Padarykime eksperimentą. Ant stelažuose pritvirtintos virvės pakabiname kelias skirtingo ilgio švytuokles (82 pav.). Nukreipkime švytuoklę A iš pusiausvyros padėties ir palikite ją sau. Jis laisvai svyruos, veikdamas tam tikra periodine jėga virvę. Virvė, savo ruožtu, veiks likusias švytuokles. Dėl to visos švytuoklės pradės atlikti priverstinius svyravimus su švytuoklės svyravimų dažniu A.

Pamatysime, kad visos švytuoklės pradės svyruoti dažniu, lygiu švytuoklės svyravimų dažniui A. Tačiau jų svyravimų amplitudė, išskyrus švytuoklę C, bus mažesnė už švytuoklės svyravimų amplitudę A. Švytuoklė C, kurio ilgis lygus švytuoklės ilgiui A, supasi labai stipriai. Vadinasi, didžiausią svyravimo amplitudę turi švytuoklė, kurios natūralusis svyravimų dažnis sutampa su varomosios jėgos dažniu. Šiuo atveju jie sako, kad tai laikomasi rezonansas.

Rezonansas yra staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas, kai varomosios jėgos dažnis sutampa su svyravimo sistemos (švytuoklės) natūraliu dažniu.

Kai sūpynės svyruoja, galima pastebėti rezonansą. Dabar galite paaiškinti, kad sūpynės supasi stipriau, jei jos bus stumiamos laiku su savo vibracijomis. Šiuo atveju išorinės jėgos dažnis yra lygus siūbavimo virpesių dažniui. Bet koks stūmimas prieš sūpynės judėjimą sumažins jo amplitudę.

4 * . Sužinokime, kokios energijos transformacijos vyksta rezonanso metu.

Jei varomosios jėgos dažnis skiriasi nuo natūralaus kūno vibracijos dažnio, tai varomoji jėga bus nukreipta arba kūno judėjimo kryptimi, arba prieš jį. Atitinkamai, šios jėgos darbas bus neigiamas arba teigiamas. Apskritai varomosios jėgos darbas šiuo atveju šiek tiek keičia sistemos energiją.

Tegu dabar išorinės jėgos dažnis lygus natūraliam kūno virpesių dažniui. Šiuo atveju varomosios jėgos kryptis sutampa su kūno greičio kryptimi, o pasipriešinimo jėga kompensuojama išorine jėga. Kūnas vibruoja tik veikiamas vidinių jėgų. Kitaip tariant, neigiamas darbas prieš pasipriešinimo jėgą yra lygus teigiamam išorinės jėgos darbui. Todėl svyravimai vyksta su didžiausia amplitude.

5. Praktiškai reikia atsižvelgti į rezonanso reiškinį. Visų pirma, darbo metu staklės ir mašinos patiria nedidelę vibraciją. Jei šių virpesių dažnis sutampa su atskirų mašinų dalių natūraliu dažniu, tai vibracijų amplitudė gali būti labai didelė. Mašina arba atrama, ant kurios ji stovi, sugrius.

Yra žinomi atvejai, kai dėl rezonanso ore subyrėjo lėktuvas, lūžo laivų sraigtai, sugriuvo geležinkelio bėgiai.

Rezonanso galima išvengti pakeitus arba natūralų sistemos dažnį, arba svyravimus sukeliančios jėgos dažnį. Tuo tikslu, pavyzdžiui, tiltą kertantys kariai eina ne žingsniu, o laisvu žingsniu. Priešingu atveju jų žingsnių dažnis gali sutapti su natūraliu tilto dažniu ir jis sugrius. Tai įvyko 1750 metais Prancūzijoje, kuomet kareivių būrys perėjo per 102 m ilgio tiltą, kabantį ant grandinių. Panašus incidentas įvyko Sankt Peterburge 1906 m. Kai kavalerijos eskadrilė kirto Egipto tiltą per Fontankos upę, žirgų aiškaus žingsnio dažnis sutapo su tilto vibracijos dažniu.

Kad būtų išvengta rezonanso, traukiniai kerta tiltus lėtu arba labai dideliu greičiu, kad ratų smūgių į bėgių jungtis dažnis būtų žymiai mažesnis arba žymiai didesnis už natūralų tilto dažnį.

Rezonanso reiškinys ne visada žalingas. Kartais tai gali būti naudinga, nes leidžia pasiekti didelį vibracijų amplitudės padidėjimą net ir nedidele jėga.

Įrenginio, leidžiančio matuoti virpesių dažnį, veikimas yra pagrįstas rezonanso reiškiniu. Šis prietaisas vadinamas dažnio matuoklis. Jo darbą galima iliustruoti tokiu eksperimentu. Prie išcentrinės mašinos pritvirtintas dažnio matuoklio modelis, susidedantis iš įvairaus ilgio plokščių (liežuvėlių) rinkinio (83 pav.). Plokštelių galuose yra skardinės vėliavėlės, padengtos baltais dažais. Galite pastebėti, kad pakeitus mašinos rankenos sukimosi greitį, skirtingos plokštės pradeda vibruoti. Tos plokštės, kurių natūralusis dažnis yra lygus sukimosi dažniui, pradeda vibruoti.

Savęs patikrinimo klausimai

1. Kas lemia spyruoklinės švytuoklės laisvųjų svyravimų amplitudę?

2. Ar esant trinties jėgoms, švytuoklės svyravimų amplitudė išlieka pastovi?

3. Kokie energijos virsmai įvyksta, kai svyruoja spyruoklės švytuoklė?

4. Kodėl slopinami laisvieji virpesiai?

5. Kokios vibracijos vadinamos priverstiniais? Pateikite priverstinių svyravimų pavyzdžių.

6. Kas yra rezonansas?

7. Pateikite žalingų rezonanso apraiškų pavyzdžių. Ką reikia padaryti norint išvengti rezonanso?

8. Pateikite rezonanso reiškinio panaudojimo pavyzdžių.

26 užduotis

1. Užpildykite 14 lentelę, užrašydami, kokia jėga veikia svyravimo sistemą, jei ji atlieka laisvuosius arba priverstinius virpesius; koks yra šių svyravimų dažnis ir amplitudė; nesvarbu, ar jie slopinami, ar ne.

14 lentelė

Virpesių charakteristikos	Vibracijos tipas
	Yra	Priverstas
Veikianti jėga
Dažnis
Amplitudė
Silpninimas

2 e.Pasiūlykite eksperimentą priverstiniams virpesiams stebėti.

3 e.Eksperimentiškai ištirkite rezonanso reiškinį naudodami savo sukurtas matematines švytuokles.

4. Tam tikru siuvimo mašinos rato sukimosi greičiu stalas, ant kurio jis stovi, kartais stipriai siūbuoja. Kodėl?

Kad sistema atliktų neslopintus svyravimus, būtina kompensuoti svyravimo energijos nuostolius dėl trinties iš išorės. Siekiant užtikrinti, kad sistemos virpesių energija nesumažėtų, dažniausiai įvedama jėga, kuri periodiškai veikia sistemą (vadinsime tokią jėgą forsavimu, o svyravimai yra priverstiniai).

APIBRĖŽIMAS: priverstas Tai yra svyravimai, atsirandantys svyravimo sistemoje veikiant išorinei periodiškai kintančiajai jėgai.

Ši jėga paprastai atlieka dvejopą vaidmenį:

Pirma, jis sujudina sistemą ir suteikia jai tam tikrą energijos kiekį;

Antra, jis periodiškai papildo energijos nuostolius (energijos suvartojimą), kad įveiktų pasipriešinimo ir trinties jėgas.

Tegul varomoji jėga keičiasi laikui bėgant pagal įstatymą:

Sudarykime judesio lygtį sistemai, kuri svyruoja veikiant tokia jėga. Darome prielaidą, kad sistemą taip pat veikia kvazielastinga jėga ir terpės pasipriešinimo jėga (tai tiesa, darant prielaidą, kad yra nedideli svyravimai).

Tada sistemos judėjimo lygtis atrodys taip:

Arba .

Atlikę pakaitus , , - sistemos natūralų virpesių dažnį, gauname nehomogeninę 2 eilės tiesinę diferencialinę lygtį:

Iš diferencialinių lygčių teorijos žinoma, kad bendras nehomogeninės lygties sprendinys yra lygus homogeninės lygties bendrojo sprendinio ir konkretaus nevienalytės lygties sprendinio sumai.

Yra žinomas bendras homogeninės lygties sprendimas:

,

Kur ; a 0 ir a- savavališkas konst.

.

Naudodami vektorinę diagramą galite patikrinti, ar ši prielaida yra teisinga, ir taip pat nustatyti „ a"Ir" j”.

Virpesių amplitudė nustatoma pagal šią išraišką:

.

prasmė " j“, kuris yra priverstinio svyravimo fazės vėlavimo dydis nuo varomosios jėgos, kuri ją nulėmė, taip pat nustatoma iš vektorinės diagramos ir yra tokia:

.

Galiausiai, konkretus nehomogeninės lygties sprendimas bus toks:

(8.18)

Ši funkcija kartu su

(8.19)

pateikia bendrą nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimą, apibūdinantį sistemos elgesį esant priverstiniams virpesiams. Terminas (8.19) vaidina reikšmingą vaidmenį pradiniame proceso etape, vadinamojo virpesių nustatymo metu (8.10 pav.).

Laikui bėgant dėl ​​eksponentinio koeficiento antrojo nario (8.19) vaidmuo vis labiau mažėja, o po pakankamai laiko jo galima pamiršti, sprendime išlaikant tik terminą (8.18).

Taigi funkcija (8.18) apibūdina pastovius priverstinius virpesius. Jie vaizduoja harmoninius virpesius, kurių dažnis lygus varomosios jėgos dažniui. Priverstinių svyravimų amplitudė yra proporcinga varomosios jėgos amplitudei. Tam tikros virpesių sistemos (apibrėžtos w 0 ir b) amplitudė priklauso nuo varomosios jėgos dažnio. Priverstiniai svyravimai atsilieka nuo varomosios jėgos fazėje, o atsilikimo „j“ dydis taip pat priklauso nuo varomosios jėgos dažnio.

Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybė nuo varomosios jėgos dažnio lemia tai, kad tam tikru dažniu, nustatytu tam tikrai sistemai, virpesių amplitudė pasiekia maksimalią reikšmę. Pasirodo, kad šiuo dažniu svyravimo sistema ypač reaguoja į varomosios jėgos veikimą. Šis reiškinys vadinamas rezonansu, o atitinkamas dažnis yra rezonansinis dažnis.

APIBRĖŽIMAS: vadinamas reiškinys, kurio metu pastebimas staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas rezonansas.

Rezonansinis dažnis nustatomas pagal maksimalią priverstinių virpesių amplitudės sąlygą:

. (8.20)

Tada, pakeisdami šią reikšmę į amplitudės išraišką, gauname:

. (8.21)

Nesant vidutinio pasipriešinimo, svyravimų amplitudė rezonanso metu pasisuktų į begalybę; rezonansinis dažnis tomis pačiomis sąlygomis (b = 0) sutampa su natūraliu virpesių dažniu.

Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybę nuo varomosios jėgos dažnio (arba, kas yra tas pats, nuo virpesių dažnio) galima pavaizduoti grafiškai (8.11 pav.). Atskiros kreivės atitinka skirtingas „b“ reikšmes. Kuo mažesnis „b“, tuo aukščiau ir dešinėje yra šios kreivės maksimumas (žr. w res. išraišką). Esant labai dideliam slopinimui, rezonansas nepastebimas – didėjant dažniui, priverstinių svyravimų amplitudė monotoniškai mažėja (apatinė kreivė 8.11 pav.).

Iškviečiamas pateiktų grafikų rinkinys, atitinkantis skirtingas b reikšmes rezonanso kreivės.

Pastabos apie rezonanso kreives:

Kadangi w®0 tendencija, visos kreivės pasiekia tą pačią vertę, kuri nėra nulis, lygi . Ši vertė parodo poslinkį iš pusiausvyros padėties, kurią sistema gauna veikiama pastovios jėgos F 0 .

Kai w®¥, visos kreivės asimptotiškai linkusios į nulį, nes esant aukštiems dažniams, jėga taip greitai keičia kryptį, kad sistema nespėja pastebimai pasislinkti iš pusiausvyros padėties.

Kuo b mažesnis, tuo labiau artimo rezonanso amplitudė keičiasi dažniu, tuo „aštresnis“ maksimalus.

Pavyzdžiai:

Rezonanso reiškinys dažnai pasirodo esąs naudingas, ypač akustikoje ir radijo inžinerijoje.