ബൈസെക്ടറുകളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ത്രികോണ ദ്വിമുഖ സിദ്ധാന്തം. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ദ്വിഭാഗം. ഉദാഹരണങ്ങളുള്ള വിശദമായ സിദ്ധാന്തം (2019)

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ദ്വിവിഭാഗം എന്താണ്? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം പറയുമ്പോൾ, കോണുകളിൽ ഓടുകയും മൂലയെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന പ്രശസ്ത എലി ചിലരുടെ വായിൽ നിന്ന് പുറത്തുവരുന്നു." ഉത്തരം "നർമ്മം" ആയിരിക്കണം എങ്കിൽ, ഒരുപക്ഷേ അത് ശരിയായിരിക്കാം. ശാസ്ത്രീയ പോയിൻ്റ്ഒരു വീക്ഷണകോണിൽ, ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇതുപോലെയായിരിക്കണം: കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് രണ്ടാമത്തേതിനെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക." ജ്യാമിതിയിൽ, ഈ കണക്ക് ദ്വിശകലത്തിൻ്റെ ഒരു വിഭാഗമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ത്രികോണത്തിൻ്റെ എതിർവശം.ഇതൊരു തെറ്റായ അഭിപ്രായമല്ല, എന്നാൽ ഒരു കോണിൻ്റെ ബൈസെക്ടറിനെക്കുറിച്ച് അതിൻ്റെ നിർവചനം കൂടാതെ മറ്റെന്താണ് അറിയപ്പെടുന്നത്?

ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പോയിൻ്റുകൾ പോലെ, അതിന് അതിൻ്റേതായ സവിശേഷതകളുണ്ട്. അവയിൽ ആദ്യത്തേത്, പകരം, ഒരു അടയാളം പോലുമല്ല, ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ്, അത് ഹ്രസ്വമായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: “അതിന് എതിർവശത്തുള്ള വശം രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവയുടെ അനുപാതം അനുപാതവുമായി പൊരുത്തപ്പെടും. ഒരു വലിയ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ."

അതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ സ്വത്ത്: എല്ലാ കോണുകളുടെയും ബൈസെക്ടറുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിനെ ഇൻസെൻ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മൂന്നാമത്തെ അടയാളം: ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു ആന്തരിക, രണ്ട് ബാഹ്യ കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ ആലേഖനം ചെയ്ത മൂന്ന് സർക്കിളുകളിൽ ഒന്നിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്ത് വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആംഗിൾ ബൈസെക്ടറിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഗുണം, അവ ഓരോന്നും തുല്യമാണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേത് ഐസോസിലിസ് ആണ്.

അഞ്ചാമത്തെ ചിഹ്നം ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തെ സംബന്ധിക്കുന്നു, ദ്വിഭാഗങ്ങൾ വരച്ച ചിത്രത്തിലെ അത് തിരിച്ചറിയുന്നതിനുള്ള പ്രധാന മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശമാണിത്, അതായത്: ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൽ അത് ഒരേസമയം മധ്യവും ഉയരവും ആയി വർത്തിക്കുന്നു.

കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ ബൈസെക്ടർ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും:

ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ ഇരട്ടിപ്പിക്കൽ, ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ചതുരം, ഒരു കോണിൻ്റെ ത്രികോണം എന്നിവ ഈ രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമായതുപോലെ, നിലവിലുള്ള ബൈസെക്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം രണ്ടാമത്തേത് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് ആറാമത്തെ നിയമം പറയുന്നു. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇവയെല്ലാം ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആംഗിൾ ബൈസെക്ടറിൻ്റെ ഗുണങ്ങളാണ്.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡിക നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വാക്യത്തിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരിക്കാം. "ഒരു കോണിൻ്റെ ട്രൈസെക്ഷൻ എന്താണ്?" - നിങ്ങൾ ഒരുപക്ഷേ ചോദിക്കും. ട്രൈസെക്‌ടർ ബൈസെക്ടറുമായി അൽപ്പം സാമ്യമുള്ളതാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേത് വരച്ചാൽ, കോണിനെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കും, ഒരു ട്രൈസെക്ഷൻ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ അത് മൂന്നായി വിഭജിക്കും. സ്വാഭാവികമായും, ഒരു കോണിൻ്റെ ദ്വിമുഖം ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്, കാരണം ട്രൈസെക്ഷൻ സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ പൂർണ്ണതയ്ക്കായി, അതിനെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും.

ഒരു ട്രൈസെക്ടർ, ഞാൻ ഇതിനകം പറഞ്ഞതുപോലെ, ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ അത് ഫ്യൂജിറ്റയുടെ നിയമങ്ങളും ചില വളവുകളും ഉപയോഗിച്ച് സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും: പാസ്കലിൻ്റെ ഒച്ചുകൾ, ക്വാഡ്രാട്രിക്സുകൾ, നിക്കോമെഡിസിൻ്റെ കോൺകോയിഡുകൾ, കോണിക് വിഭാഗങ്ങൾ,

ഒരു കോണിൻ്റെ ട്രൈസെക്ഷനിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ നെവ്സിസ് ഉപയോഗിച്ച് വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതിയിൽ ആംഗിൾ ട്രൈസെക്ടറുകളെ കുറിച്ച് ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്. ഇതിനെ മോർലി സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മധ്യഭാഗത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഓരോ കോണിൻ്റെയും ത്രിസെക്ടറുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ ലംബങ്ങളായിരിക്കുമെന്ന് അവൾ പ്രസ്താവിക്കുന്നു.

ഒരു വലിയ ത്രികോണത്തിനുള്ളിലെ ഒരു ചെറിയ കറുത്ത ത്രികോണം എല്ലായ്പ്പോഴും സമചതുരമായിരിക്കും. 1904-ൽ ബ്രിട്ടീഷ് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫ്രാങ്ക് മോർലിയാണ് ഈ സിദ്ധാന്തം കണ്ടെത്തിയത്.

ഒരു കോണിനെ വിഭജിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എത്രത്തോളം പഠിക്കാനാകുമെന്ന് ഇവിടെയുണ്ട്: ഒരു കോണിൻ്റെ ത്രിസെക്ടറിനും ബൈസെക്ടറിനും എല്ലായ്പ്പോഴും വിശദമായ വിശദീകരണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ ഞാൻ ഇതുവരെ വെളിപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലാത്ത നിരവധി നിർവചനങ്ങൾ ഇവിടെ നൽകിയിട്ടുണ്ട്: പാസ്കലിൻ്റെ ഒച്ചുകൾ, നിക്കോമിഡീസിൻ്റെ കോൺകോയിഡ് മുതലായവ. ഉറപ്പിച്ചു പറയൂ, അവരെക്കുറിച്ച് ഇനിയും ഒരുപാട് എഴുതാനുണ്ട്.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആന്തരിക കോണുകളെ ട്രയാംഗിൾ ബൈസെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ബൈസെക്‌ടറിനെ അതിൻ്റെ ശീർഷത്തിനും ത്രികോണത്തിൻ്റെ എതിർ വശമുള്ള ബൈസെക്‌ടറിൻ്റെ വിഭജന ബിന്ദുവിനും ഇടയിലുള്ള സെഗ്‌മെൻ്റായി മനസ്സിലാക്കുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 8. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് ദ്വിമുഖങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു.
തീർച്ചയായും, നമുക്ക് ആദ്യം രണ്ട് ബൈസെക്ടറുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് P പരിഗണിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന് AK 1, VK 2. ഈ ബിന്ദു AB, AC എന്നീ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്, കാരണം ഇത് A കോണിൻ്റെ ദ്വിവിഭാഗത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ AB, BC എന്നീ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്, B കോണിൻ്റെ ദ്വിവിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നു. ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് AC, BC എന്നീ വശങ്ങളും അതുവഴി മൂന്നാം ദ്വിവിഭാഗമായ CK 3-ൽ പെടുന്നു, അതായത്, P പോയിൻ്റിൽ മൂന്ന് ബൈസെക്ടറുകളും വിഭജിക്കുന്നു.
ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
സിദ്ധാന്തം 9. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഇൻ്റീരിയർ കോണിൻ്റെ ദ്വിഭാഗം എതിർ വശത്തെ തൊട്ടടുത്ത വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമായ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.
തെളിവ്. നമുക്ക് ABC എന്ന ത്രികോണവും അതിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ബി സെക്ടറും പരിഗണിക്കാം. ബൈസെക്ടർ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി C എന്ന ശീർഷകത്തിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ CM വരയ്ക്കാം, അത് AB വശത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയോടെ M പോയിൻ്റിൽ വിഭജിക്കുന്നതുവരെ.വിസി ആംഗിൾ എബിസിയുടെ ദ്വിവിഭാഗമായതിനാൽ, ∠ എബിസി = ∠ കെബിസി. കൂടാതെ, ∠ АВК=∠ ВСМ, സമാന്തര രേഖകൾക്കുള്ള അനുബന്ധ കോണുകളായി, ∠ КВС=∠ ВСМ, സമാന്തര രേഖകൾക്ക് ക്രോസ്വൈസ് കോണുകളായി. അതിനാൽ ∠ ВСМ=∠ ВМС, അതിനാൽ ВСМ ത്രികോണം ഐസോസിലിസ് ആണ്, അതിനാൽ ВС=ВМ. ഒരു കോണിൻ്റെ വശങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്ന സമാന്തര രേഖകളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് AK:K C=AB:VM=AB:BC ഉണ്ട്, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
സിദ്ധാന്തം 10 എബിസി ത്രികോണത്തിൻ്റെ B യുടെ ബാഹ്യകോണിൻ്റെ ബൈസെക്ടറിന് സമാനമായ ഒരു ഗുണമുണ്ട്: എ, സി ശീർഷങ്ങൾ മുതൽ ബൈസെക്ടറിൻ്റെ കവലയുടെ പോയിൻ്റ് എൽ വരെയുള്ള ഭാഗങ്ങൾ AL, CL എന്നിവ വശം എസിയുടെ തുടർച്ചയോടെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്: അൽ: സി.എൽ.=എബി:ബിസി.
ഈ പ്രോപ്പർട്ടി മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: ചിത്രത്തിൽ ബിസെക്ടർ BL ന് സമാന്തരമായി ഒരു സഹായ രേഖ SM വരച്ചിരിക്കുന്നു. BMC, BC എന്നീ കോണുകൾ തുല്യമാണ്, അതായത് BMC ത്രികോണത്തിൻ്റെ BM, BC എന്നീ വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്. അതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ AL:CL=AB:BC എന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി.

സിദ്ധാന്തം d4. (ബൈസെക്ടറിൻ്റെ ആദ്യ ഫോർമുല): ഇൻ ആണെങ്കിൽ ത്രികോണം ABCസെഗ്മെൻ്റ് AL എന്നത് ആംഗിൾ എയുടെ ദ്വിവിഭാഗമാണ്, പിന്നെ AL? = AB·AC - LB·LC.

തെളിവ്:ത്രികോണം ABC (ചിത്രം 41) ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തോടുകൂടിയ AL രേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് M ആയിരിക്കട്ടെ. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം ആംഗിൾ BAM ആംഗിൾ MAC ന് തുല്യമാണ്. ആംഗിളുകൾ BMA, BCA എന്നിവ ഒരേ കോർഡ് ഉപയോഗിച്ച് ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന കോണുകളായി യോജിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം BAM, LAC എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ രണ്ട് കോണുകളിൽ സമാനമാണ്. അതിനാൽ, AL: AC = AB: AM. അതിനാൽ AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>അൽ? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്. കുറിപ്പ്: ഒരു സർക്കിളിൽ വിഭജിക്കുന്ന കോർഡുകളുടെ സെഗ്‌മെൻ്റുകളെക്കുറിച്ചും ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണുകളെക്കുറിച്ചും ഉള്ള സിദ്ധാന്തത്തിന്, വിഷയ വൃത്തവും വൃത്തവും കാണുക.

സിദ്ധാന്തം d5. (ബൈസെക്‌ടറിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല): AB=a, AC=b, ആംഗിൾ A എന്നിവ 2 ന് തുല്യമായ വശങ്ങളുള്ള ABC ത്രികോണത്തിൽ? ബൈസെക്ടർ എൽ, തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

തെളിവ്: ABC നൽകിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ, AL അതിൻ്റെ ദ്വിമുഖം (ചിത്രം 42), a=AB, b=AC, l=AL. അപ്പോൾ S ABC = S ALB + S ALC. അതിനാൽ, absin2? = അൽസിൻ? +blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഇന്ന് വളരെ എളുപ്പമുള്ള ഒരു പാഠമായിരിക്കും. ഞങ്ങൾ ഒരു വസ്തുവിനെ മാത്രം പരിഗണിക്കും - ആംഗിൾ ബൈസെക്ടർ - അതിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വത്ത് തെളിയിക്കും, അത് ഭാവിയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാകും.

വിശ്രമിക്കരുത്: ചിലപ്പോൾ ഒരേ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിലോ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിലോ ഉയർന്ന സ്കോർ നേടാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ആദ്യ പാഠത്തിൽ ഒരു ദ്വിമുഖത്തിൻ്റെ നിർവചനം കൃത്യമായി രൂപപ്പെടുത്താൻ പോലും കഴിയില്ല.

ശരിക്കും രസകരമായ ജോലികൾ ചെയ്യുന്നതിനുപകരം, അത്തരം ലളിതമായ കാര്യങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ സമയം പാഴാക്കുന്നു. അതിനാൽ വായിക്കുക, കാണുക, സ്വീകരിക്കുക. :)

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, അല്പം വിചിത്രമായ ഒരു ചോദ്യം: എന്താണ് ഒരു ആംഗിൾ? അത് ശരിയാണ്: ഒരേ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന രണ്ട് കിരണങ്ങളാണ് ഒരു കോൺ. ഉദാഹരണത്തിന്:

കോണുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ: നിശിതം, മങ്ങിയതും വലത്

ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കോണുകൾ നിശിതവും മങ്ങിയതും നേരായതുമാകാം - അത് ഇപ്പോൾ പ്രശ്നമല്ല. പലപ്പോഴും, സൗകര്യാർത്ഥം, ഓരോ കിരണത്തിലും ഒരു അധിക പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ഞങ്ങളുടെ മുന്നിൽ $AOB$ ($\angle AOB$ എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു) ആംഗിൾ ആണെന്ന് അവർ പറയുന്നു.

$OA$, $OB$ എന്നീ കിരണങ്ങൾക്ക് പുറമേ, $O$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ കിരണങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം വരയ്ക്കുന്നത് എപ്പോഴും സാധ്യമാണെന്ന് ക്യാപ്റ്റൻ ഒബ്വിയസ്‌നെസ് സൂചന നൽകുന്നതായി തോന്നുന്നു. എന്നാൽ അവയിൽ ഒരു പ്രത്യേക ഒന്ന് ഉണ്ടായിരിക്കും - അവനെ ഒരു ദ്വിമുഖം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ഒരു കോണിൻ്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തേക്ക് വന്ന് കോണിനെ വിഭജിക്കുന്ന രശ്മിയാണ് കോണിൻ്റെ ദ്വിമുഖം.

മുകളിലുള്ള കോണുകൾക്ക്, ദ്വിവിഭാഗങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

നിശിതവും വൃത്താകൃതിയിലുള്ളതും വലത് കോണുകൾക്കുള്ളതുമായ ബൈസെക്ടറുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

യഥാർത്ഥ ഡ്രോയിംഗുകളിൽ ഒരു നിശ്ചിത കിരണങ്ങൾ (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇത് $OM$ കിരണമാണ്) യഥാർത്ഥ കോണിനെ രണ്ട് തുല്യ കോണുകളായി വിഭജിക്കുന്നു എന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമല്ല എന്നതിനാൽ, ജ്യാമിതിയിൽ ഒരേ എണ്ണം ആർക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് തുല്യ കോണുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നത് പതിവാണ് ( ഞങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗിൽ ഇത് ഒരു അക്യൂട്ട് ആംഗിളിന് 1 ആർക്ക് ആണ്, ഒബ്റ്റ്യൂസിന് രണ്ട്, നേരായതിന് മൂന്ന്).

ശരി, ഞങ്ങൾ നിർവചനം ക്രമീകരിച്ചു. ബിസെക്ടറിന് എന്ത് ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു ആംഗിൾ ബൈസെക്ടറിൻ്റെ പ്രധാന സ്വത്ത്

വാസ്തവത്തിൽ, ബൈസെക്ടറിന് ധാരാളം ഗുണങ്ങളുണ്ട്. അടുത്ത പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും അവരെ നോക്കും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ട ഒരു തന്ത്രമുണ്ട്:

സിദ്ധാന്തം. ഒരു കോണിൻ്റെ ദ്വിമുഖം എന്നത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനമാണ് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോൺ.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്ന് റഷ്യൻ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്താൽ, ഒരേസമയം രണ്ട് വസ്തുതകൾ എന്നാണ് ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത്:

1. ഒരു നിശ്ചിത കോണിൻ്റെ ബൈസെക്ടറിൽ കിടക്കുന്ന ഏത് പോയിൻ്റും ഈ കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ്.
2. തിരിച്ചും: തന്നിരിക്കുന്ന കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിൽ ഒരു ബിന്ദു കിടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ഈ കോണിൻ്റെ ബൈസെക്ടറിൽ കിടക്കുമെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നു.

ഈ പ്രസ്താവനകൾ തെളിയിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ഒരു പോയിൻ്റ് വ്യക്തമാക്കാം: കൃത്യമായി, ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു കോണിൻ്റെ വശത്തേക്കുള്ള ദൂരം എന്താണ്? ഇവിടെ ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ പഴയ നിർണ്ണയം നമ്മെ സഹായിക്കും:

നിർവ്വചനം. ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു രേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഈ വരിയിലേക്ക് വരച്ച ലംബത്തിൻ്റെ നീളമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ വരിയിൽ ഇല്ലാത്ത $l$ എന്ന വരിയും $A$ പോയിൻ്റും പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് $AH$-ന് ലംബമായി വരയ്ക്കാം, ഇവിടെ $H\in l$. അപ്പോൾ ഈ ലംബത്തിൻ്റെ നീളം പോയിൻ്റ് $A$ മുതൽ നേർരേഖ $l$ വരെയുള്ള ദൂരമായിരിക്കും.

ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിക് പ്രാതിനിധ്യം

ഒരു ആംഗിൾ കേവലം രണ്ട് കിരണങ്ങൾ ആയതിനാൽ, ഓരോ കിരണവും ഒരു നേർരേഖയുടെ ഭാഗമാണ്, ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഇവ രണ്ട് ലംബങ്ങൾ മാത്രമാണ്:

പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കുക

അത്രയേയുള്ളൂ! ദൂരം എന്താണെന്നും ബിസെക്ടർ എന്താണെന്നും ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് പ്രധാന സ്വത്ത് തെളിയിക്കാം.

വാഗ്ദാനം ചെയ്തതുപോലെ, ഞങ്ങൾ തെളിവ് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കും:

1. ബൈസെക്ടറിലെ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരം തുല്യമാണ്

$O$ ശീർഷവും $OM$ ഉം ഉള്ള ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ആംഗിൾ പരിഗണിക്കുക:

ഈ പോയിൻ്റ് $M$ കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

തെളിവ്. പോയിൻ്റ് $M$ മുതൽ കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിലേക്ക് ലംബമായി വരയ്ക്കാം. നമുക്ക് അവരെ $M((H)_(1))$ എന്നും $M((H)_(2))$ എന്നും വിളിക്കാം:

കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിലേക്ക് ലംബമായി വരയ്ക്കുക

രണ്ടെണ്ണം കിട്ടി മട്ട ത്രികോണം: $\vartriangle OM((H)_(1))$, $\vartriangle OM((H)_(2))$. അവയ്‌ക്ക് ഒരു പൊതു ഹൈപ്പോടെൻസും $OM$ ഉം തുല്യ കോണുകളും ഉണ്ട്:

1. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ ($OM$ ഒരു ദ്വിവിഭാഗമായതിനാൽ);
2. നിർമ്മാണം വഴി $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, മുതൽ തുക മൂർച്ചയുള്ള മൂലകൾഒരു വലത് ത്രികോണം എപ്പോഴും 90 ഡിഗ്രിയാണ്.

തൽഫലമായി, ത്രികോണങ്ങൾ വശങ്ങളിലും രണ്ട് അടുത്തുള്ള കോണുകളിലും തുല്യമാണ് (ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ അടയാളങ്ങൾ കാണുക). അതിനാൽ, പ്രത്യേകിച്ച്, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, അതായത്. പോയിൻ്റ് $O$ മുതൽ കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരം തീർച്ചയായും തുല്യമാണ്. Q.E.D. :)

2. ദൂരങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, പോയിൻ്റ് ബൈസെക്ടറിൽ കിടക്കുന്നു

ഇപ്പോൾ സ്ഥിതി നേരെ തിരിച്ചാണ്. ഈ കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് $O$ ഒരു കോണും $M$ തുല്യമായ ഒരു പോയിൻ്റും നൽകട്ടെ:

$OM$ രശ്മി ഒരു ദ്വിവിഭാഗമാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം, അതായത്. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

തെളിവ്. ആദ്യം, നമുക്ക് ഈ രശ്മി $OM$ വരയ്ക്കാം, അല്ലാത്തപക്ഷം തെളിയിക്കാൻ ഒന്നുമില്ല:

മൂലയ്ക്കുള്ളിൽ $OM$ ബീം നടത്തി

വീണ്ടും നമുക്ക് രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ലഭിക്കും: $\vartriangle OM((H)_(1))$, $\vartriangle OM((H)_(2))$. വ്യക്തമായും അവർ തുല്യരാണ് കാരണം:

1. ഹൈപ്പോടെന്യൂസ് $OM$ - പൊതുവായത്;
2. കാലുകൾ $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം (എല്ലാത്തിനുമുപരി, $M$ പോയിൻ്റ് കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യമാണ്);
3. ശേഷിക്കുന്ന കാലുകളും തുല്യമാണ്, കാരണം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം വഴി $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

അതിനാൽ, മൂന്ന് വശങ്ങളിലുള്ള $\vartriangle OM((H)_(1))$, $\vartriangle OM((H)_(2))$ എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ. പ്രത്യേകിച്ചും, അവയുടെ കോണുകൾ തുല്യമാണ്: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. ഇതിൻ്റെ അർത്ഥം $OM$ ഒരു ദ്വിവിഭാഗമാണ് എന്നാണ്.

തെളിവ് അവസാനിപ്പിക്കാൻ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യ കോണുകൾ ചുവന്ന കമാനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു:

ബൈസെക്ടർ $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ കോണിനെ രണ്ടായി വിഭജിക്കുന്നു

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. ഒരു കോണിൻ്റെ ബൈസെക്ടർ ഈ കോണിൻ്റെ വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. :)

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പദാവലിയിൽ കൂടുതലോ കുറവോ തീരുമാനിച്ചതിനാൽ, അതിലേക്ക് നീങ്ങാനുള്ള സമയമാണിത് പുതിയ ലെവൽ. അടുത്ത പാഠത്തിൽ നമ്മൾ ബൈസെക്ടറിൻ്റെ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സവിശേഷതകൾ നോക്കുകയും യഥാർത്ഥ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അവ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കണമെന്ന് പഠിക്കുകയും ചെയ്യും.

സിദ്ധാന്തം. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഇൻ്റീരിയർ കോണിൻ്റെ ദ്വിഭാഗം എതിർ വശത്തെ തൊട്ടടുത്ത വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമായ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.

തെളിവ്. ABC എന്ന ത്രികോണവും (ചിത്രം 259) അതിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ദ്വിവിഭാഗവും പരിഗണിക്കുക. ബൈസെക്ടർ ബിസിക്ക് സമാന്തരമായി C ശീർഷകത്തിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ CM വരയ്ക്കുക, അത് AB വശത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയോടെ M പോയിൻ്റിൽ വിഭജിക്കുന്നതുവരെ. BK ആംഗിൾ ABC യുടെ ദ്വിവിഭാഗമായതിനാൽ . കൂടാതെ, സമാന്തര രേഖകൾക്കുള്ള അനുബന്ധ കോണുകളായി, സമാന്തര രേഖകൾക്ക് ക്രോസ്വൈസ് കോണുകളായി. അതിനാൽ, അതിനാൽ - ഐസോസിലുകൾ, എവിടെ നിന്ന് . ഒരു കോണിൻ്റെ വശങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്ന സമാന്തര രേഖകളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, നമുക്കുണ്ട്, കാഴ്ചയിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, അതാണ് നമുക്ക് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

ത്രികോണം ABC യുടെ (ചിത്രം 260) ബാഹ്യകോണിൻ്റെ B യുടെ ദ്വിവിഭാഗത്തിന് സമാനമായ ഒരു ഗുണമുണ്ട്: എ, സി എന്നീ ശീർഷങ്ങൾ മുതൽ ബൈസെക്ടറിൻ്റെ കവലയുടെ പോയിൻ്റ് L വരെയുള്ള ഭാഗങ്ങൾ AC യുടെ തുടർച്ചയോടെ AL, CL എന്നീ ഭാഗങ്ങൾ ആനുപാതികമാണ്. ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ:

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: ചിത്രം. 260 ബൈസെക്ടർ BL-ന് സമാന്തരമായി ഒരു സഹായ നേർരേഖ SM വരയ്ക്കുന്നു. VMS, VSM എന്നീ കോണുകളുടെ തുല്യതയെക്കുറിച്ച് വായനക്കാരന് തന്നെ ബോധ്യപ്പെടും, അതിനാൽ VMS ത്രികോണത്തിൻ്റെ VM, BC എന്നീ വശങ്ങളും, അതിനുശേഷം ആവശ്യമായ അനുപാതം ഉടനടി ലഭിക്കും.

ഒരു ബാഹ്യ കോണിൻ്റെ ദ്വിമുഖം എതിർ വശത്തെ അടുത്തുള്ള വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമായ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് പറയാം; സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ "ബാഹ്യ വിഭജനം" അനുവദിക്കാൻ നിങ്ങൾ സമ്മതിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

AC സെഗ്‌മെൻ്റിന് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന പോയിൻ്റ് L (അതിൻ്റെ തുടർച്ചയിൽ) അതിനെ വിഭജിക്കുന്നു ബാഹ്യമായിഅങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ (ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ) കോണിൻ്റെ ദ്വിവിഭാഗങ്ങൾ എതിർ വശത്തെ (ആന്തരികവും ബാഹ്യവും) അടുത്തുള്ള വശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമായ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം 1. ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വശങ്ങൾ 12 നും 15 നും തുല്യമാണ്, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ 24 നും 16 നും തുല്യമാണ്. ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വലിയ അടിത്തറയും അതിൻ്റെ വിപുലീകൃത വശങ്ങളും ചേർന്ന് രൂപംകൊണ്ട ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ചിത്രത്തിൻ്റെ നൊട്ടേഷനിൽ. 261 ലാറ്ററൽ സൈഡിൻ്റെ തുടർച്ചയായി വർത്തിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിന് നമുക്ക് ഒരു അനുപാതമുണ്ട്, അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും. സമാനമായ രീതിയിൽ, ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ലാറ്ററൽ വശം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ വശം വലിയ അടിത്തറയുമായി യോജിക്കുന്നു: .

പ്രശ്നം 2. ട്രപസോയിഡിൻ്റെ അടിത്തറകൾ 6 ഉം 15 ഉം ആണ്. ചെറിയ അടിത്തറയുടെ ശീർഷകങ്ങളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ബേസുകൾക്ക് സമാന്തരമായി വശങ്ങൾ 1: 2 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്ന സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം എന്താണ്?

പരിഹാരം. നമുക്ക് ചിത്രത്തിലേക്ക് തിരിയാം. 262, ഒരു ട്രപസോയിഡിനെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ചെറിയ അടിത്തറയുടെ ശീർഷകം സി വഴി ഞങ്ങൾ AB വശത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുന്നു, ട്രപസോയിഡിൽ നിന്ന് സമാന്തരചർമ്മം മുറിക്കുന്നു. മുതൽ , പിന്നെ ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, മുഴുവൻ അജ്ഞാത വിഭാഗവും KL ന് തുല്യമാണ്, ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ലാറ്ററൽ വശങ്ങൾ അറിയേണ്ടതില്ല.

പ്രശ്നം 3. ABC ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആന്തരിക കോണിൻ്റെ B യുടെ ബൈസെക്ടർ, A, C എന്നീ ശീർഷങ്ങളിൽ നിന്ന് എത്ര അകലത്തിൽ വശം AC യെ ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു?

പരിഹാരം. ബി ആംഗിളിലെ ഓരോ ദ്വിവിഭാഗങ്ങളും എസിയെ ഒരേ അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഒന്ന് ആന്തരികമായും മറ്റൊന്ന് ബാഹ്യമായും. തുടർച്ച AC യുടെയും B എന്ന ബാഹ്യകോണിൻ്റെ ബൈസെക്‌ടറിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് L കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം. AK ആയതിനാൽ നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ AL എന്ന ദൂരം സൂചിപ്പിക്കാം, നമുക്ക് ഒരു അനുപാതമുണ്ടാകും, അതിൻ്റെ പരിഹാരം നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള ദൂരം നൽകുന്നു.

ഡ്രോയിംഗ് സ്വയം പൂർത്തിയാക്കുക.

വ്യായാമങ്ങൾ

1. 8-ഉം 18-ഉം ബേസുകളുള്ള ഒരു ട്രപസോയിഡിനെ ബേസുകൾക്ക് സമാന്തരമായി നേർരേഖകളാൽ തുല്യ വീതിയുള്ള ആറ് സ്ട്രിപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ട്രപസോയിഡിനെ സ്ട്രിപ്പുകളായി വിഭജിക്കുന്ന നേരായ ഭാഗങ്ങളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

2. ത്രികോണത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവ് 32 ആണ്. A കോണിൻ്റെ ദ്വിഭാഗം BC യെ 5 ഉം 3 ഉം തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

3. ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം a ആണ്, വശം b ആണ്. അടിത്തറയുടെ കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകളുടെ കവല പോയിൻ്റുകളെ വശങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണിനെ രണ്ട് തുല്യ കോണുകളായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ഭാഗമാണ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ദ്വിഭാഗം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോൺ 120 0 ആണെങ്കിൽ, ഒരു ബൈസെക്ടർ വരച്ച്, ഞങ്ങൾ 60 0 വീതമുള്ള രണ്ട് കോണുകൾ നിർമ്മിക്കും.

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ മൂന്ന് കോണുകൾ ഉള്ളതിനാൽ മൂന്ന് ദ്വിമുഖങ്ങൾ വരയ്ക്കാം. അവയ്‌ക്കെല്ലാം ഒരു കട്ട് ഓഫ് പോയിൻ്റുണ്ട്. ഈ ബിന്ദു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ, ഈ വിഭജന പോയിൻ്റിനെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ കോണിൻ്റെ രണ്ട് ദ്വിമുഖങ്ങൾ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, 90 0 കോണിൻ്റെ ഒരു കോൺ ലഭിക്കും. ബാഹ്യ മൂലഒരു ത്രികോണത്തിൽ അതിനോട് ചേർന്നുള്ള കോൺ ആന്തരിക കോർണർത്രികോണം.

അരി. 1. 3 ദ്വിഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു ത്രികോണം

ബൈസെക്ടർ വിഭജിക്കുന്നു എതിർവശംവശങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

ബൈസെക്ടർ പോയിൻ്റുകൾ കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്, അതായത് അവ കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ്. അതായത്, ബൈസെക്ടറിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ഓരോ വശങ്ങളിലേക്കും ലംബമായി വീഴുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ലംബങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും.

നിങ്ങൾ ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഒരു മീഡിയൻ, ബൈസെക്‌ടർ, ഉയരം എന്നിവ വരയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, മീഡിയൻ ഏറ്റവും നീളമുള്ള സെഗ്‌മെൻ്റും ഉയരം ഏറ്റവും ചെറുതും ആയിരിക്കും.

ബൈസെക്ടറിൻ്റെ ചില ഗുണങ്ങൾ

ചിലതരം ത്രികോണങ്ങളിൽ, ദ്വിമുഖത്തിന് ഉണ്ട് പ്രത്യേക പ്രോപ്പർട്ടികൾ. ഇത് പ്രാഥമികമായി ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന് ബാധകമാണ്. ഈ കണക്കിന് സമാനമായ രണ്ട് വശങ്ങളുണ്ട്, മൂന്നാമത്തേതിനെ അടിസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു ദ്വിവിഭാഗം വരച്ചാൽ, അതിന് ഉയരത്തിൻ്റെയും മധ്യത്തിൻ്റെയും ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. അതനുസരിച്ച്, ബൈസെക്ടറിൻ്റെ നീളം മീഡിയൻ്റെയും ഉയരത്തിൻ്റെയും നീളവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

നിർവചനങ്ങൾ:

• ഉയരം- ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് എതിർവശത്തേക്ക് വരച്ച ലംബമായി.
• മീഡിയൻ- ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശീർഷത്തെയും എതിർ വശത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഭാഗം.

അരി. 2. ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിലെ ദ്വിഭാഗം

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിനും ഇത് ബാധകമാണ്, അതായത്, മൂന്ന് വശങ്ങളും തുല്യമായ ഒരു ത്രികോണം.

ഉദാഹരണ അസൈൻമെൻ്റ്

ABC ത്രികോണത്തിൽ: BR എന്നത് ബൈസെക്ടറാണ്, AB = 6 cm, BC = 4 cm, RC = 2 cm എന്നിങ്ങനെയാണ്. മൂന്നാം വശത്തിൻ്റെ നീളം കുറയ്ക്കുക.

അരി. 3. ഒരു ത്രികോണത്തിലെ ദ്വിമുഖം

പരിഹാരം:

ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശം ഒരു നിശ്ചിത അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ അനുപാതം ഉപയോഗിക്കുകയും AR പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യാം. ഈ വശത്തെ ബൈസെക്‌ടർ കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ആകെത്തുകയായി ഞങ്ങൾ മൂന്നാം വശത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തും.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

അപ്പോൾ മുഴുവൻ സെഗ്‌മെൻ്റും AC = RC+ AR

എസി = 3+2=5 സെ.മീ.

ആകെ ലഭിച്ച റേറ്റിംഗുകൾ: 107.