ഈ ഗണിത പ്രോഗ്രാംഉപയോക്താവ് വ്യക്തമാക്കിയ പോയിൻ്റിൽ \(f(x)\) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നു.

പ്രോഗ്രാം ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം പ്രദർശിപ്പിക്കുക മാത്രമല്ല, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയയും പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗപ്രദമായേക്കാം സെക്കൻഡറി സ്കൂളുകൾതയ്യാറെടുപ്പിലാണ് പരിശോധനകൾകൂടാതെ പരീക്ഷകൾ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പുള്ള അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾക്ക്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അതോ കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഹോം വർക്ക്ഗണിതത്തിലോ ബീജഗണിതത്തിലോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പരിശീലനവും കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരന്മാരുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനവും നടത്താം, അതേസമയം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർദ്ധിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, ഇതിനായി നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക എന്ന ടാസ്ക് ഉണ്ട്.

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, അവയുമായി സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സ്‌പ്രഷനും \(f(x)\) നമ്പറും \(a\) നമ്പറും നൽകുക

f(x)=
a=

ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്നും, പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ലെന്നും കണ്ടെത്തി.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.
പരിഹാരം ദൃശ്യമാകുന്നതിന്, നിങ്ങൾ JavaScript പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript എങ്ങനെ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ ഇതാ.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തയ്യാറുള്ള ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കൻ്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

നേരിട്ടുള്ള ചരിവ്

ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് \(y=kx+b\) ഒരു നേർരേഖയാണെന്ന് ഓർക്കുക. \(k=tg \alpha \) എന്ന സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു ഒരു നേർരേഖയുടെ ചരിവ്, കൂടാതെ \(\alpha \) ആംഗിൾ ഈ രേഖയ്ക്കും ഓക്സ് അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ്

\(k>0\) ആണെങ്കിൽ, \(0 എങ്കിൽ \(kEquation to tangent to graph of function

പോയിൻ്റ് M(a; f(a)) y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ x-അക്ഷത്തിന് ലംബമല്ലാത്ത ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്‌ക്കാം, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിൽ നിന്ന്, സ്പർശനത്തിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം f "(a) ന് തുല്യമാണ്. അടുത്തതായി, ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കും.

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനും y = f(x) ഒരു പോയിൻ്റും M(a; f(a)) നൽകട്ടെ; f"(a) നിലവിലുണ്ടെന്ന് അറിയിക്കട്ടെ. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിനായി നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം. ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം പോലെ ഈ സമവാക്യത്തിനും ഉണ്ട് ഫോം y = kx + b, അതിനാൽ k, b എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല.

കോണീയ ഗുണകം k ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: k = f"(a) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. b യുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖ M(a; f(a)) എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം M പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കും: \(f(a)=ka+b\), അതായത് \(b = f(a) - കാ\).

k, b എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളെ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a) $$

ഞങ്ങള്ക്ക് കിട്ടി ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം\(y = f(x) \) പോയിൻ്റിൽ \(x=a \).

\(y=f(x)\) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം
1. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സയെ \(a\) എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചയിക്കുക
2. കണക്കാക്കുക \(f(a)\)
3. \(f"(x)\) കണ്ടെത്തി \(f"(a)\) കണക്കാക്കുക
4. കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യകൾ \(a, f(a), f"(a) \) ഫോർമുലയിൽ \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \) പകരം വയ്ക്കുക

പുസ്തകങ്ങൾ (പാഠപുസ്തകങ്ങൾ) ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെയും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെയും ഓൺലൈൻ പരിശോധനകളുടെ സംഗ്രഹങ്ങൾ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ പ്ലോട്ടിംഗ് റഷ്യൻ ഭാഷയുടെ സ്പെല്ലിംഗ് നിഘണ്ടു റഷ്യൻ ഭാഷയുടെ സ്പെല്ലിംഗ് നിഘണ്ടു റഷ്യൻ സ്കൂളുകളുടെ കാറ്റലോഗ് റഷ്യൻ സ്കൂളുകളുടെ കാറ്റലോഗ് റഷ്യയിലെ സെക്കൻഡറി വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ കാറ്റലോഗ് റഷ്യൻ സർവകലാശാലകളുടെ പട്ടിക GCD, LCM എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ലളിതമാക്കുന്നു (പോളിനോമിയലുകൾ ഗുണിക്കുന്നത്)

പ്രധാനപ്പെട്ട കുറിപ്പുകൾ!
1. ഫോർമുലകൾക്ക് പകരം ഗോബിൾഡിഗൂക്ക് കാണുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ കാഷെ മായ്‌ക്കുക. നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് ഇവിടെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:
2. നിങ്ങൾ ലേഖനം വായിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ഞങ്ങളുടെ നാവിഗേറ്റർ പരമാവധി ശ്രദ്ധിക്കുക ഉപയോഗപ്രദമായ വിഭവംവേണ്ടി

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാമോ? ഇല്ലെങ്കിൽ ആദ്യം വിഷയം വായിക്കുക. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് അറിയാമെന്ന് നിങ്ങൾ പറയുന്നു. നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിശോധിക്കാം. ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ? അത് പ്രവർത്തിക്കണം. ഇപ്പോൾ ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക. ഉത്തരം: . സംഭവിച്ചത്? ഈ ഉദാഹരണങ്ങളിലൊന്നിൽ നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വിഷയത്തിലേക്ക് മടങ്ങിവന്ന് അത് വീണ്ടും പഠിക്കാൻ ഞാൻ ശക്തമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. വിഷയം വളരെ വലുതാണെന്ന് എനിക്കറിയാം, അല്ലാത്തപക്ഷം കൂടുതൽ മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല. ചില പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക:

ഗ്രാഫ് ലൈനിൽ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. അതിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ, അപ്പോൾ ഓർഡിനേറ്റ് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ നമ്മൾ പോയിൻ്റിന് അടുത്തുള്ള abscissa ഉള്ള പോയിൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക; അതിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ഇതാണ്:

ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാം. ഇതിനെ ഒരു സെക്കൻ്റ് (ജ്യാമിതിയിലെ പോലെ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. ത്രികോണമിതിയിലെന്നപോലെ, ഈ കോണിനെ x-അക്ഷത്തിൻ്റെ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നിന്ന് അളക്കുന്നു. കോണിന് എന്ത് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം? നിങ്ങൾ ഈ നേർരേഖ എങ്ങനെ ചരിഞ്ഞാലും, ഒരു പകുതി ഇപ്പോഴും ഉയർന്നുനിൽക്കും. അതിനാൽ, പരമാവധി സാധ്യമായ ആംഗിൾ- , സാധ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ - . അർത്ഥമാക്കുന്നത്, . ആംഗിൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, കാരണം ഈ കേസിൽ നേർരേഖയുടെ സ്ഥാനം കൃത്യമായി യോജിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു ചെറിയ ആംഗിൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്. നമുക്ക് ചിത്രത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് എടുക്കാം, അതായത് നേർരേഖ അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരവും a എന്നത് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമാണ്:

ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് അത് കാണാൻ കഴിയും, എ. അപ്പോൾ ഇൻക്രിമെൻ്റ് അനുപാതം ഇതാണ്:

(ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതിനാൽ).

ഇനി കുറയ്ക്കാം. അപ്പോൾ പോയിൻ്റ് പോയിൻ്റിനെ സമീപിക്കും. അത് അനന്തമായി മാറുമ്പോൾ, അനുപാതം പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാകും. സെക്കൻ്റിന് എന്ത് സംഭവിക്കും? പോയിൻ്റ് പോയിൻ്റിനോട് അനന്തമായി അടുക്കും, അതിനാൽ അവ ഒരേ പോയിൻ്റായി കണക്കാക്കാം. എന്നാൽ ഒരു വക്രതയുള്ള ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് മാത്രമുള്ള ഒരു നേർരേഖ മറ്റൊന്നുമല്ല ടാൻജൻ്റ്(വി ഈ സാഹചര്യത്തിൽഈ നിബന്ധന മാത്രമേ പൂർത്തീകരിക്കപ്പെടുന്നുള്ളൂ ചെറിയ പ്രദേശം- പോയിൻ്റിന് അടുത്ത്, പക്ഷേ ഇത് മതി). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സെക്കൻ്റ് എടുക്കുമെന്ന് അവർ പറയുന്നു പരിധി സ്ഥാനം.

അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ നമുക്ക് വിളിക്കാം. അപ്പോൾ അത് ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് മാറുന്നു

അതാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ഒരു രേഖയായതിനാൽ, നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം ഓർക്കാം:

എന്താണ് ഗുണകം ഉത്തരവാദി? നേർരേഖയുടെ ചരിവിന്. ഇതിനെ വിളിക്കുന്നത് ഇതാണ്: ചരിവ് . എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? നേർരേഖയ്ക്കും അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സ്പർശനത്തിന് തുല്യമാണ് ഇത് എന്ന വസ്തുതയും! അതിനാൽ ഇതാണ് സംഭവിക്കുന്നത്:

എന്നാൽ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പ്രവർത്തനം പരിഗണിച്ചാണ് ഞങ്ങൾക്ക് ഈ നിയമം ലഭിച്ചത്. പ്രവർത്തനം കുറയുകയാണെങ്കിൽ എന്ത് മാറും? നമുക്ക് കാണാം:
ഇപ്പോൾ കോണുകൾ മങ്ങിയതാണ്. കൂടാതെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്. നമുക്ക് വീണ്ടും പരിഗണിക്കാം: . മറുവശത്ത്, . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:, അതായത്, എല്ലാം കഴിഞ്ഞ തവണത്തേതിന് സമാനമാണ്. നമുക്ക് വീണ്ടും പോയിൻ്റിനെ പോയിൻ്റിലേക്ക് നയിക്കാം, സെക്കൻ്റ് ഒരു പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനം എടുക്കും, അതായത്, അത് പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റായി മാറും. അതിനാൽ, നമുക്ക് അന്തിമ നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം:
ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഈ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ (അത് തന്നെയാണ്) ഈ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ്:

അതാണ് അത് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.ശരി, ഇതെല്ലാം രസകരമാണ്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് എന്തുകൊണ്ട് ആവശ്യമാണ്? ഇവിടെ ഉദാഹരണം:
അബ്‌സിസ്സ പോയിൻ്റിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫും അതിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജെൻ്റും ചിത്രം കാണിക്കുന്നു. ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.
ഞങ്ങൾ അടുത്തിടെ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, ടാൻജൻസി പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവിന് തുല്യമാണ്, ഇത് അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ഈ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്: . ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ചിത്രത്തിൽ, ടാൻജെൻ്റിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തി, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് അറിയാം. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് പൂർത്തിയാക്കാം മട്ട ത്രികോണം, ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുക, ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്തുക!

അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ ആണ്. നമുക്ക് ഈ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്താം: . അങ്ങനെ, ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് തുല്യമാണ്.
ഉത്തരം:. ഇപ്പോൾ ഇത് സ്വയം പരീക്ഷിക്കുക:

ഉത്തരങ്ങൾ:

അറിയുന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, ഒരു ലോക്കൽ മാക്സിമം അല്ലെങ്കിൽ മിനിമം പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന നിയമം നമുക്ക് വളരെ ലളിതമായി വിശദീകരിക്കാം. തീർച്ചയായും, ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് "തിരശ്ചീനമാണ്", അതായത് x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്:

എന്തിന് കോണിന് തുല്യമാണ്സമാന്തര വരകൾക്കിടയിൽ? തീർച്ചയായും, പൂജ്യം! കൂടാതെ പൂജ്യത്തിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റും പൂജ്യമാണ്. അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

"ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഏകതാനത" എന്ന വിഷയത്തിൽ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വായിക്കുക. എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ."

ഇനി നമുക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ ടാൻജെൻ്റുകളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം. നമുക്ക് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം, ഉദാഹരണത്തിന്, . ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് വരച്ചു, ഒരു ഘട്ടത്തിൽ അതിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഘട്ടത്തിൽ. ഞങ്ങൾ ഒരു ഭരണാധികാരി എടുത്ത് ഗ്രാഫിലേക്ക് അറ്റാച്ച് ചെയ്ത് വരയ്ക്കുക:

ഈ വരിയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് എന്തറിയാം? നേരിട്ട് അറിയേണ്ട ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം എന്താണ് കോർഡിനേറ്റ് വിമാനം? ഒരു നേർരേഖ ഒരു രേഖീയ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ചിത്രമായതിനാൽ, അതിൻ്റെ സമവാക്യം അറിയുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും. അതായത്, സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ

എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം! ഇതാണ് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ്, അത് ആ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ്:

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് ഇതുപോലെയായിരിക്കും:

ഇനി അത് കണ്ടെത്തുക മാത്രമാണ് ബാക്കിയുള്ളത്. ഇത് pears ഷെല്ലിംഗ് പോലെ ലളിതമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി - മൂല്യം. ഗ്രാഫിക്കലായി, ഇത് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമായുള്ള വരിയുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റാണ് (എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്ഷത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും):

നമുക്ക് അത് വരയ്ക്കാം (അതിനാൽ ഇത് ചതുരാകൃതിയിലാണ്). തുടർന്ന് (ടാൻജെൻ്റിനും x-അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള ഒരേ കോണിലേക്ക്). എന്തെല്ലാം തുല്യമാണ്? ചിത്രം വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു, എ. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ലഭിച്ച എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

1. കണ്ടെത്തുക ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യംഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ചടങ്ങിലേക്ക്.
2. ഒരു പരവലയത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഒരു കോണിൽ അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നു. ഈ സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.
3. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് സമാന്തരമാണ് ലൈൻ. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa കണ്ടെത്തുക.
4. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് സമാന്തരമാണ് ലൈൻ. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും:

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യം. സംക്ഷിപ്ത വിവരണവും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും

ഒരു പ്രത്യേക ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഈ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ഈ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ്:

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം:

ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

ശരി, വിഷയം കഴിഞ്ഞു. നിങ്ങൾ ഈ വരികൾ വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ വളരെ ശാന്തനാണ് എന്നാണ്.

കാരണം 5% ആളുകൾക്ക് മാത്രമേ സ്വന്തമായി എന്തെങ്കിലും മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ കഴിയൂ. നിങ്ങൾ അവസാനം വരെ വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഈ 5% ആണ്!

ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം.

ഈ വിഷയത്തിലെ സിദ്ധാന്തം നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ട്. പിന്നെ, ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, ഇത്... ഇത് വെറും സൂപ്പർ! നിങ്ങളുടെ സമപ്രായക്കാരിൽ ബഹുഭൂരിപക്ഷത്തേക്കാളും നിങ്ങൾ ഇതിനകം മികച്ചതാണ്.

ഇത് മതിയാകില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം...

എന്തിനുവേണ്ടി?

വിജയത്തിനായി ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ വിജയിക്കുന്നു, ഒരു ബജറ്റിൽ കോളേജിൽ പ്രവേശനത്തിനും, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ജീവിതത്തിനും.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഒന്നും ബോധ്യപ്പെടുത്തില്ല, ഒരു കാര്യം മാത്രം പറയാം...

സ്വീകരിച്ച ആളുകൾ ഒരു നല്ല വിദ്യാഭ്യാസം, അത് ലഭിക്കാത്തവരേക്കാൾ വളരെ കൂടുതൽ സമ്പാദിക്കുക. ഇത് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളാണ്.

എന്നാൽ ഇത് പ്രധാന കാര്യമല്ല.

പ്രധാന കാര്യം അവർ കൂടുതൽ സന്തുഷ്ടരാണ് (അത്തരം പഠനങ്ങളുണ്ട്). ഒരുപക്ഷെ, ഇനിയും നിരവധി അവസരങ്ങൾ അവരുടെ മുന്നിൽ തുറക്കപ്പെടുകയും ജീവിതം ശോഭനമാകുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ടാണോ? അറിയില്ല...

എന്നാൽ സ്വയം ചിന്തിക്കൂ...

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ മറ്റുള്ളവരേക്കാൾ മികച്ചവരായിരിക്കാനും ആത്യന്തികമായി ... സന്തോഷവാനായിരിക്കാനും എന്താണ് വേണ്ടത്?

ഈ വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ കൈ നേടുക.

പരീക്ഷയ്ക്കിടെ നിങ്ങളോട് തിയറി ചോദിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും സമയത്തിനെതിരായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

കൂടാതെ, നിങ്ങൾ അവ പരിഹരിച്ചില്ലെങ്കിൽ (ഒരുപാട്!), നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും എവിടെയെങ്കിലും ഒരു മണ്ടത്തരമായ തെറ്റ് ചെയ്യും അല്ലെങ്കിൽ സമയമില്ല.

ഇത് സ്പോർട്സിൽ പോലെയാണ് - ഉറപ്പായും വിജയിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഇത് പലതവണ ആവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളിടത്തെല്ലാം ശേഖരം കണ്ടെത്തുക, അനിവാര്യമായും പരിഹാരങ്ങൾക്കൊപ്പം, വിശദമായ വിശകലനം തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക!

നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കാം (ഓപ്ഷണൽ) ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും അവ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ കൂടുതൽ മെച്ചപ്പെടാൻ, നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വായിക്കുന്ന YouClever പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ ആയുസ്സ് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എങ്ങനെ? രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

1. ഈ ലേഖനത്തിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ജോലികളും അൺലോക്ക് ചെയ്യുക -
2. പാഠപുസ്തകത്തിലെ എല്ലാ 99 ലേഖനങ്ങളിലും മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് അൺലോക്ക് ചെയ്യുക - ഒരു പാഠപുസ്തകം വാങ്ങുക - 499 RUR

അതെ, ഞങ്ങളുടെ പാഠപുസ്തകത്തിൽ അത്തരം 99 ലേഖനങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് ചെയ്യാനും അവയിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടെക്സ്റ്റുകളും ഉടനടി തുറക്കാനും കഴിയും.

സൈറ്റിൻ്റെ മുഴുവൻ ജീവിതത്തിനായി മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരമായി...

ഞങ്ങളുടെ ജോലികൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ടില്ലെങ്കിൽ, മറ്റുള്ളവരെ കണ്ടെത്തുക. സിദ്ധാന്തത്തിൽ മാത്രം നിൽക്കരുത്.

"മനസ്സിലായി", "എനിക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും" എന്നിവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ കഴിവുകളാണ്. രണ്ടും വേണം.

പ്രശ്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തി അവ പരിഹരിക്കുക!

ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം പരിഗണിക്കുക:

ഇത് ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്‌ഷൻ y = f(x) ചിത്രീകരിക്കുന്നു, അത് പോയിൻ്റ് a-ൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റ് M (a; f(a)) അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിൻ്റെ പി(a + ∆x; f(a + ∆x)) എന്ന അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റിലൂടെ ഒരു സെക്കൻ്റ് MR വരയ്ക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ പോയിൻ്റ് P ഗ്രാഫിനൊപ്പം പോയിൻ്റ് M ലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, MR നേർരേഖ MR പോയിൻ്റിന് ചുറ്റും കറങ്ങും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ∆x പൂജ്യമായി മാറും. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്താം.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ്, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിനാൽ സെക്കൻ്റിൻ്റെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനമാണ്. x0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അസ്തിത്വം ഗ്രാഫിൻ്റെ ഈ പോയിൻ്റിൽ ഉണ്ടെന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് മനസ്സിലാക്കണം. ടാൻജൻ്റ്അവന്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം ഈ ഘട്ടത്തിൽ f'(x0) ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഇതാണ് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം. പോയിൻ്റ് x0-ൽ വ്യത്യസ്‌തമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എന്നത് പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നിശ്ചിത നേർരേഖയാണ് (x0;f(x0)) കൂടാതെ ഒരു കോണീയ ഗുണകം f'(x0).

ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യം

പോയിൻ്റ് A(x0; f(x0)) ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം നേടാൻ ശ്രമിക്കാം. ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

ഞങ്ങളുടെ ചരിവ് ഗുണകം ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമായതിനാൽ f'(x0), അപ്പോൾ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കും: y = f'(x0)*x + ബി.

ഇനി ബിയുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷൻ പോയിൻ്റ് എയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

f(x0) = f'(x0)*x0 + b, ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ b പ്രകടിപ്പിക്കുകയും b = f(x0) - f'(x0)*x0 നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം ഞങ്ങൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക: x = 2 എന്ന പോയിൻ്റിൽ f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ ടാൻജെൻ്റ് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും: y = 1 + 4*(x - 2). ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് കൊണ്ടുവരുന്നു സമാനമായ നിബന്ധനകൾനമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y = 4*x - 7.

ഉത്തരം: y = 4*x - 7.

ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു സ്കീം y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക്:

1. x0 നിർണ്ണയിക്കുക.

2. f(x0) കണക്കാക്കുക.

3. f'(x) കണക്കാക്കുക

വീഡിയോ പാഠം "ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം" വിഷയം മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള വിദ്യാഭ്യാസ സാമഗ്രികൾ കാണിക്കുന്നു. വീഡിയോ പാഠത്തിനിടയിൽ, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എന്ന ആശയം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് ആവശ്യമായ സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ, അത്തരമൊരു ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം, പഠിച്ച സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ വിവരിക്കുന്നു. .

വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ വ്യക്തത മെച്ചപ്പെടുത്തുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അവതരണത്തിൽ ഡ്രോയിംഗുകൾ, ഡയഗ്രമുകൾ, പ്രധാനപ്പെട്ട വോയ്‌സ് കമൻ്റുകൾ, ആനിമേഷൻ, ഹൈലൈറ്റിംഗ്, മറ്റ് ടൂളുകൾ എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

വീഡിയോ പാഠം ആരംഭിക്കുന്നത് പാഠത്തിൻ്റെ വിഷയത്തിൻ്റെ അവതരണവും M(a;f(a)) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ y=f(x) ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചിത്രവും ഉപയോഗിച്ചാണ്. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ ഗ്രാഫിലേക്ക് പ്ലോട്ട് ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം ഈ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ f΄(a) ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയാം. ബീജഗണിതത്തിൽ നിന്ന് y=kx+m എന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നമുക്കറിയാം. ഒരു ബിന്ദുവിൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം സ്കീമാറ്റിക്കായി അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇത് ഗുണകങ്ങൾ k, m കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അറിയുമ്പോൾ, കോർഡിനേറ്റ് മൂല്യത്തെ f(a)=ka+m എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ m കണ്ടെത്താം. അതിൽ നിന്ന് m=f(a)-ka കണ്ടെത്തുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യവും പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും അറിയുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് y=f(a)+f΄(a)(x-a) എന്ന രീതിയിൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഡയഗ്രം പിന്തുടരുന്ന ഒരു ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം താഴെ കൊടുക്കുന്നു. y=x 2, x=-2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു. a=-2 എടുക്കുമ്പോൾ, തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 എന്നതിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. f΄(x)=2x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4 ന് തുല്യമാണ്. സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിന്, എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 എന്നിവ കണ്ടെത്തി, അതിനാൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y=4+(-4)(x+2) ആണ്. സമവാക്യം ലളിതമാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് y = -4-4x ലഭിക്കും.

y=tgx ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് ടാൻജെൻ്റിനായി ഒരു സമവാക്യം നിർമ്മിക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. അതിനാൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y=x പോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

ഒരു സാമാന്യവൽക്കരണം എന്ന നിലയിൽ, ഒരു നിശ്ചിത ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു സമവാക്യ ടാൻജെൻ്റ് രചിക്കുന്ന പ്രക്രിയ 4 ഘട്ടങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു അൽഗോരിതം രൂപത്തിൽ ഔപചാരികമാക്കുന്നു:

• ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa യുടെ പദവി a നൽകുക;
• എഫ് (എ) കണക്കാക്കുന്നു;
• f΄(x) നിർണ്ണയിക്കുകയും f΄(a) കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. a, f(a), f΄(a) എന്നിവയുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ y=f(a)+f΄(a)(x-a) എന്ന ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

x=1 എന്ന പോയിൻ്റിലെ y=1/x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രചിക്കുന്നത് ഉദാഹരണം 1 പരിഗണിക്കുന്നു. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. പോയിൻ്റ് a=1-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്, f(a)=-1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം. f΄(x)=1/x 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. പോയിൻ്റ് a=1-ൽ f΄(a)= f΄(1)=1 എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ്. ലഭിച്ച ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച്, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y=-1+(x-1), അല്ലെങ്കിൽ y=x-2, വരയ്ക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2-ൽ, y=x 3 +3x 2 -2x-2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. y=-2x+1 എന്ന ടാൻജെൻ്റിൻ്റെയും നേർരേഖയുടെയും സമാന്തരതയാണ് പ്രധാന വ്യവസ്ഥ. ആദ്യം, y=-2x+1 എന്ന നേർരേഖയുടെ കോണീയ ഗുണകത്തിന് തുല്യമായ സ്പർശനത്തിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന ലൈനിന് f΄(a)=-2 ആയതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് k=-2. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. f΄(a)=-2 എന്നറിയുമ്പോൾ, പോയിൻ്റ് 3a 2 +6a-2=-2 ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് 1 =0, 2 =-2 എന്നിവ ലഭിക്കും. കണ്ടെത്തിയ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, അറിയപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കണ്ടെത്താനാകും. f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 എന്ന പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം. കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളെ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ആദ്യ പോയിൻ്റിന് 1 =0 y=-2x-2, രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിന് ഒരു 2 =-2 ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y=-2x-22 എന്നിവ ലഭിക്കും.

y=√x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് (0;3) പോയിൻ്റിൽ വരയ്‌ക്കുന്നതിനുള്ള ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഘടനയെ ഉദാഹരണം 3 വിവരിക്കുന്നു. അറിയപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിഹാരം നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിന് x=a കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്, ഇവിടെ a>0. f(a)=√x എന്ന പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് f΄(х)=1/2√х, അതിനാൽ തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ f΄(а)=1/2√а. ലഭിച്ച എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, നമുക്ക് y = √a + (x-a)/2√a ലഭിക്കും. സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് y=x/2√а+√а/2 ലഭിക്കും. പോയിൻ്റ് (0;3) വഴിയാണ് ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നത് എന്നറിയുമ്പോൾ, a യുടെ മൂല്യം നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു. 3=√a/2 എന്നതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ a കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ √a=6, a=36. y=x/12+3 എന്ന ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. പരിഗണനയിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫും നിർമ്മിച്ച ആവശ്യമുള്ള ടാൻജെൻ്റും ചിത്രം കാണിക്കുന്നു.

Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx എന്ന ഏകദേശ തുല്യതകൾ വിദ്യാർത്ഥികളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു. x=a, x+Δx=x, Δx=x-a എടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), അതിനാൽ f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

ഉദാഹരണം 4-ൽ, 2.003 6 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. x=2.003 എന്ന പോയിൻ്റിൽ f(x)=x 6 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് അത്യാവശ്യമായതിനാൽ, f(x)=x 6, a=2, f(a) എടുത്ത് നമുക്ക് അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. f΄(2)=192 എന്ന പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവ്. അതിനാൽ, 2.003 6 ≈65-192·0.003. എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കിയ ശേഷം, നമുക്ക് 2.003 6 ≈64.576 ലഭിക്കും.

"ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം" എന്ന വീഡിയോ പാഠം സ്കൂളിലെ ഒരു പരമ്പരാഗത ഗണിത പാഠത്തിൽ ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. വിദൂരമായി പഠിപ്പിക്കുന്ന ഒരു അധ്യാപകന്, വിഷയം കൂടുതൽ വ്യക്തമായി വിശദീകരിക്കാൻ വീഡിയോ മെറ്റീരിയൽ സഹായിക്കും. വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അവരുടെ ഗ്രാഹ്യം ആഴത്തിലാക്കാൻ ആവശ്യമെങ്കിൽ സ്വതന്ത്രമായി അവലോകനം ചെയ്യാൻ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വീഡിയോ ശുപാർശ ചെയ്യാവുന്നതാണ്.

ടെക്സ്റ്റ് ഡീകോഡിംഗ്:

ഒരു പോയിൻ്റ് M (a; f(a)) (a-ൽ നിന്നുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള em, a-ൽ നിന്നുള്ള ef) y = f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ പെടുന്നുവെന്നും ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കുമെന്നും നമുക്കറിയാം. അച്ചുതണ്ട് abscissa ന് ലംബമല്ലാത്ത ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക്, അപ്പോൾ ടാൻജൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം f"(a) (a-ൽ നിന്നുള്ള eff പ്രൈം) ന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ y = f(x), ഒരു പോയിൻ്റ് M (a; f(a)) നൽകട്ടെ, കൂടാതെ f´(a) നിലവിലുണ്ടെന്നും അറിയാം. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിനായി നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം. ഈ സമവാക്യത്തിന്, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം പോലെ, y = kx+m (y എന്നത് ka x പ്ലസ് em ന് തുല്യമാണ്), അതിനാൽ ഇതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല. ഗുണകങ്ങൾ k, m. (ka, em)

ആംഗിൾ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് k= f"(a) m ൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖ M(a; f (a) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം നമ്മൾ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ പോയിൻ്റ് M നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക്, നമുക്ക് ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കും: f(a) = ka+m, അവിടെ നിന്ന് m = f(a) - ka എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു.

ki, m എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളെ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

വൈ= എഫ്(എ)+ എഫ്"(എ) (x- എ). ( y എന്നത് a യിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പ്ലസ് ef പ്രൈമിൽ നിന്നുള്ള ef ന് തുല്യമാണ്, x മൈനസ് a കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ).

x=a എന്ന ബിന്ദുവിൽ y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിനുള്ള സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിച്ചു.

പറയുകയാണെങ്കിൽ, y = x 2 ഉം x = -2 (അതായത് a = -2), പിന്നെ f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, അതായത് f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (അപ്പോൾ a യുടെ ef നാലിന് തുല്യമാണ്, പ്രൈം ൻ്റെ ef x രണ്ട് x ന് തുല്യമാണ്, അതായത് എഫ് പ്രൈം ഒരു മൈനസ് നാലിൽ നിന്ന് തുല്യമാണ്)

കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 എന്നിവ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y = 4+(-4)(x+2), അതായത് y = -4x -4.

(E എന്നത് മൈനസ് നാല് x മൈനസ് നാലിന് തുല്യമാണ്)

ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് y = tanx (y എന്നത് ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ് x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിനായി നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം. നമുക്കുണ്ട്: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , അതായത് f"(0) = l. കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 എന്നിവ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y=x.

ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റ് x-ലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നമ്മുടെ ഘട്ടങ്ങൾ നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം.

y = f(x):

1) ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചയിക്കുക.

2) f(a) കണക്കാക്കുക.

3) f´(x) കണ്ടെത്തി f´(a) കണക്കാക്കുക.

4) കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യകൾ a, f(a), f´(a) ഫോർമുലയിൽ പകരം വയ്ക്കുക വൈ= എഫ്(എ)+ എഫ്"(എ) (x- എ).

ഉദാഹരണം 1. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുക y = - in

പോയിൻ്റ് x = 1.

പരിഹാരം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ അത് കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാം

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) കണ്ടെത്തിയ മൂന്ന് സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 ഫോർമുലയിലേക്ക്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y = -1+(x-1), y = x-2 .

ഉത്തരം: y = x-2.

ഉദാഹരണം 2. ഫംഗ്ഷൻ y = നൽകിയിരിക്കുന്നു x 3 +3x 2 -2x-2. y = -2x +1 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി, y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.

ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ f(x) = എന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു. x 3 +3x 2 -2x-2, എന്നാൽ ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ഇവിടെ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല.

നമുക്ക് ഇങ്ങനെ ചിന്തിക്കാൻ തുടങ്ങാം. ആവശ്യമുള്ള ടാൻജെൻ്റ് y = -2x+1 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കണം. സമാന്തര രേഖകൾക്ക് തുല്യ കോണീയ ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം, സ്പർശനത്തിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ കോണീയ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്: k tangent. = -2. ഹോക്ക് കാസ്. = f"(a) അങ്ങനെ, f´(a) = -2 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് a യുടെ മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം y=എഫ്(x):

എഫ്"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;എഫ്"(a)= 3a 2 +6a-2.

f"(a) = -2 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, അതായത്. 3a 2 +6a-2=-2 ഞങ്ങൾ ഒരു 1 =0, a 2 =-2 കണ്ടെത്തുന്നു. ഇതിനർത്ഥം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് സ്പർശനങ്ങളുണ്ട്: ഒന്ന് abscissa 0 ഉള്ള പോയിൻ്റിൽ, മറ്റൊന്ന് abscissa -2 ഉള്ള പോയിൻ്റിൽ.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അൽഗോരിതം പിന്തുടരാം.

1) a 1 =0, 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 എന്ന മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

ഫോർമുലയിൽ a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 എന്ന മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

ഉത്തരം: y=-2x-2, y=-2x+2.

ഉദാഹരണം 3. പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് (0; 3) y = ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കുക. പരിഹാരം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ f(x) = എന്നത് കണക്കിലെടുത്ത് ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാം. ഇവിടെ, ഉദാഹരണം 2 പോലെ, ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa വ്യക്തമായി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം പിന്തുടരുന്നു.

1) x = a എന്നത് സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആയിരിക്കട്ടെ; ഒരു >0 എന്ന് വ്യക്തമാണ്.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) a, f(a) = , f"(a) = എന്നതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

y=f (a) +f "(a) (x-a), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (0; 3). സമവാക്യത്തിലേക്ക് x = 0, y = 3 മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 3 = , തുടർന്ന് =6, a =36.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾക്ക് ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സ കണ്ടെത്താൻ കഴിഞ്ഞത്. a =36 എന്ന മൂല്യം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y=+3

ചിത്രത്തിൽ. പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ ചിത്രീകരണം ചിത്രം 1 കാണിക്കുന്നു: y = ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു, ഒരു നേർരേഖ y = +3 വരയ്ക്കുന്നു.

ഉത്തരം: y = +3.

പോയിൻ്റ് x-ൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ള y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്, ഏകദേശ തുല്യത സാധുവാണെന്ന് നമുക്കറിയാം: Δyf´(x)Δx (ഡെൽറ്റ y എന്നത് ഡെൽറ്റ x കൊണ്ട് ഗുണിച്ച x ൻ്റെ eff പ്രൈമിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്)

അല്ലെങ്കിൽ, കൂടുതൽ വിശദമായി പറഞ്ഞാൽ, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (x-ൽ നിന്നുള്ള eff പ്ലസ് ഡെൽറ്റ x മൈനസ് ef, x-ൽ നിന്നുള്ള ef പ്രൈം, ഡെൽറ്റ x-ൽ നിന്നുള്ള ef പ്രൈമിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്).

കൂടുതൽ ചർച്ചയുടെ സൗകര്യത്തിനായി, നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ മാറ്റാം:

x ന് പകരം ഞങ്ങൾ എഴുതും എ,

x+Δx എന്നതിന് പകരം നമ്മൾ x എന്ന് എഴുതും

Δx ന് പകരം നമ്മൾ x-a എന്ന് എഴുതും.

അപ്പോൾ മുകളിൽ എഴുതിയ ഏകദേശ സമത്വം ഫോം എടുക്കും:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (x-ൽ നിന്നുള്ള eff ഒരു പ്ലസ് ef പ്രൈമിൽ നിന്നുള്ള ef-ന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്, x ഉം a ഉം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ).

ഉദാഹരണം 4: ഒരു ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം 2,003 6 .

പരിഹാരം. അത് ഏകദേശം x = 2.003 എന്ന പോയിൻ്റിൽ y = x 6 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച്. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) എന്നത് കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് f(x)f(a)+f´(a)(x-a) ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5, അതിനാൽ, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2.003 6 64+192· 0.003, അതായത്. 2.003 6 =64.576.

ഞങ്ങൾ ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2,003 6 = 64,5781643...

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഏകദേശ കൃത്യത തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകി എഫ്(x) = 3x 2 + 4x- 5. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം എഫ്(x) abscissa ഉള്ള ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റിൽ x 0 = 1.

പരിഹാരം.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്(x) ഏതെങ്കിലും x-ന് നിലവിലുണ്ട് ആർ . നമുക്ക് അവളെ കണ്ടെത്താം:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

പിന്നെ എഫ്(x 0) = എഫ്(1) = 2; (x 0) = = 10. ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് ഈ രൂപമുണ്ട്:

വൈ = (x 0) (x – x 0) + എഫ്(x 0),

വൈ = 10(x – 1) + 2,

വൈ = 10x – 8.

ഉത്തരം. വൈ = 10x – 8.

ഉദാഹരണം 2.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകി എഫ്(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം എഫ്(x), വരിക്ക് സമാന്തരമായി വൈ = 2x – 11.

പരിഹാരം.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്(x) ഏതെങ്കിലും x-ന് നിലവിലുണ്ട് ആർ . നമുക്ക് അവളെ കണ്ടെത്താം:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് മുതൽ എഫ്(x) abscissa പോയിൻ്റിൽ x 0 വരിക്ക് സമാന്തരമാണ് വൈ = 2x– 11, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ ചരിവ് 2 ന് തുല്യമാണ്, അതായത് ( x 0) = 2. 3 എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഈ abscissa കണ്ടെത്താം x– 6x 0 + 2 = 2. ഈ തുല്യത എപ്പോൾ മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ x 0 = 0 ഒപ്പം at x 0 = 2. രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും മുതൽ എഫ്(x 0) = 5, പിന്നെ നേരെ വൈ = 2x + ബിഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റിൽ (0; 5) അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റിൽ (2; 5) സ്പർശിക്കുന്നു.

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, സംഖ്യാ സമത്വം 5 = 2×0 + ശരിയാണ് ബി, എവിടെ ബി= 5, രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ സംഖ്യാ സമത്വം 5 = 2×2 + ശരിയാണ് ബി, എവിടെ ബി = 1.

അതിനാൽ രണ്ട് സ്പർശനങ്ങളുണ്ട് വൈ = 2x+ 5 ഒപ്പം വൈ = 2xഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് + 1 എഫ്(x), വരിക്ക് സമാന്തരമായി വൈ = 2x – 11.

ഉത്തരം. വൈ = 2x + 5, വൈ = 2x + 1.

ഉദാഹരണം 3.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകി എഫ്(x) = x 2 – 6x+ 7. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം എഫ്(x), പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എ (2; –5).

പരിഹാരം.കാരണം എഫ്(2) –5, പിന്നെ പോയിൻ്റ് എഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല എഫ്(x). അനുവദിക്കുക x 0 - ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്(x) ഏതെങ്കിലും x-ന് നിലവിലുണ്ട് ആർ . നമുക്ക് അവളെ കണ്ടെത്താം:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

പിന്നെ എഫ്(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

വൈ = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

വൈ = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

പോയിൻ്റ് മുതൽ എസ്പർശനത്തിൻ്റേതാണ്, അപ്പോൾ സംഖ്യാ സമത്വം സത്യമാണ്

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

എവിടെ x 0 = 0 അല്ലെങ്കിൽ x 0 = 4. പോയിൻ്റിലൂടെ എന്നാണ് ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സ്പർശനങ്ങൾ വരയ്ക്കാം എഫ്(x).

എങ്കിൽ x 0 = 0, അപ്പോൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട് വൈ = –6x+ 7. എങ്കിൽ x 0 = 4, അപ്പോൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട് വൈ = 2x – 9.

ഉത്തരം. വൈ = –6x + 7, വൈ = 2x – 9.

ഉദാഹരണം 4.നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) = x 2 – 2x+ 2 ഒപ്പം ജി(x) = –x 2 - 3. ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിലേക്ക് പൊതു ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം.

പരിഹാരം.അനുവദിക്കുക x 1 - ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ആവശ്യമുള്ള വരിയുടെ സ്പർശന പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa എഫ്(x), എ x 2 - ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഒരേ വരിയുടെ സ്പർശന പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ജി(x).

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്(x) ഏതെങ്കിലും x-ന് നിലവിലുണ്ട് ആർ . നമുക്ക് അവളെ കണ്ടെത്താം:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

പിന്നെ എഫ്(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

വൈ = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

വൈ = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം ജി(x):

= (–x 2 - 3)′ = -2 x.