ഒരു സംഖ്യ പ്രധാനമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക. ഒരു സംഖ്യ പ്രൈം ആണോ എന്ന് എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാം

വിഭജനങ്ങളുടെ കണക്കെടുപ്പ്.നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമ്പർ എൻ 2-ലും 1-ഉം അതും ഒഴികെയുള്ള മറ്റ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാൽ തുല്യമായി ഹരിക്കപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ മാത്രമേ പ്രൈം ആകൂ. മുകളിലുള്ള ഫോർമുല അനാവശ്യ ഘട്ടങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യുകയും സമയം ലാഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കണോ എന്ന് പരിശോധിച്ച ശേഷം, അത് 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

• ഫ്ലോർ(x) ഫംഗ്‌ഷൻ x-നെ x-നേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആയ ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യയിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നു.

മോഡുലാർ ഗണിതത്തെക്കുറിച്ച് അറിയുക."x mod y" (mod എന്നത് ലാറ്റിൻ പദമായ "modulo" എന്നതിൻ്റെ ചുരുക്കെഴുത്താണ്, അതായത് "module") എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥം "x നെ y കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ബാക്കിയുള്ളത് കണ്ടെത്തുക" എന്നാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, മോഡുലാർ ഗണിതത്തിൽ, ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിൽ എത്തുമ്പോൾ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു മൊഡ്യൂൾ, അക്കങ്ങൾ വീണ്ടും പൂജ്യത്തിലേക്ക് "തിരിയുന്നു". ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്ലോക്ക് 12 മോഡുലസ് ഉപയോഗിച്ച് സമയം നിലനിർത്തുന്നു: അത് 10, 11, 12 മണി കാണിക്കുന്നു, തുടർന്ന് 1 ലേക്ക് മടങ്ങുന്നു.

• പല കാൽക്കുലേറ്ററുകൾക്കും ഒരു മോഡ് കീ ഉണ്ട്. വലിയ സംഖ്യകൾക്കായി ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സ്വമേധയാ എങ്ങനെ വിലയിരുത്താമെന്ന് ഈ വിഭാഗത്തിൻ്റെ അവസാനം കാണിക്കുന്നു.

സംഖ്യകൾ വ്യത്യസ്തമാണ്: സ്വാഭാവികം, യുക്തിസഹമായ, യുക്തിസഹമായ, പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഭിന്നസംഖ്യയും, പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, കോംപ്ലക്സും പ്രൈം, ഒറ്റയും ഇരട്ടയും, യഥാർത്ഥവും മുതലായവ. ഈ ലേഖനത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്താനാകും.

ഇംഗ്ലീഷിൽ "സിമ്പിൾ" എന്ന് വിളിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഏതാണ്?

മിക്കപ്പോഴും, ഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ എങ്ങനെ ഉത്തരം നൽകണമെന്ന് സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് അറിയില്ല. അവ പലപ്പോഴും പ്രൈം നമ്പറുകളെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു (അതായത്, വസ്തുക്കളെ എണ്ണുമ്പോൾ ആളുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ, ചില ഉറവിടങ്ങളിൽ അവ പൂജ്യത്തിലും മറ്റുള്ളവയിൽ ഒന്നിലും ആരംഭിക്കുന്നു). എന്നാൽ ഇവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ രണ്ട് ആശയങ്ങളാണ്. പ്രൈം സംഖ്യകൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്, അതായത് ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ളതും 2 പ്രകൃതിദത്ത വിഭജനങ്ങൾ മാത്രമുള്ളതുമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളും. മാത്രമല്ല, ഈ വിഭജനങ്ങളിലൊന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയാണ്, രണ്ടാമത്തേത് ഒന്ന്. ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് എന്നത് ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ്, കാരണം അതിനെ ഒരു സംഖ്യയും അല്ലാതെ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യകൊണ്ട് വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല.

സംയോജിത സംഖ്യകൾ

അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ വിപരീതമാണ് സംയുക്ത സംഖ്യകൾ. അവയും സ്വാഭാവികമാണ്, ഒന്നിൽ കൂടുതൽ വലുതാണ്, പക്ഷേ രണ്ടല്ല, വലിയൊരു സംഖ്യ വിഭജനങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 4, 6, 8, 9, മുതലായവ സംഖ്യകൾ സ്വാഭാവികവും സംയുക്തവുമാണ്, പക്ഷേ പ്രധാന സംഖ്യകളല്ല. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഇവ മിക്കവാറും ഇരട്ട സംഖ്യകളാണ്, പക്ഷേ എല്ലാം അല്ല. എന്നാൽ "രണ്ട്" എന്നത് ഇരട്ട സംഖ്യയും അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിലെ "ആദ്യ സംഖ്യ"യുമാണ്.

തുടർന്നുള്ള

പ്രൈം സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ നിന്നും തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവയുടെ നിർവചനം കണക്കിലെടുത്ത്, അതായത്, നിങ്ങൾ വൈരുദ്ധ്യത്താൽ പ്രവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഓരോ പോസിറ്റീവ് നാച്ചുറൽ സംഖ്യകൾക്കും രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വിഭജനങ്ങൾ ഉണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. പ്രൈം സംഖ്യകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു പരമ്പര (ക്രമം) നിർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ലിസ്റ്റ് രണ്ടിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, തുടർന്ന് മൂന്ന്, കാരണം അത് തനിക്കും ഒന്ന് കൊണ്ടും മാത്രമേ ഹരിക്കാനാവൂ. നമ്പർ നാല് പരിഗണിക്കുക. നാല്, ഒന്ന് എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള വിഭജനങ്ങളുണ്ടോ? അതെ, ആ സംഖ്യ 2 ആണ്. അതിനാൽ നാല് ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയല്ല. അഞ്ചും അഭാജ്യമാണ് (ഇത് 1 ഉം 5 ഉം ഒഴികെ മറ്റേതൊരു സംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാനാവില്ല), എന്നാൽ ആറ് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. പൊതുവേ, നിങ്ങൾ എല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളും പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ, “രണ്ട്” ഒഴികെ അവയൊന്നും പ്രൈം അല്ലെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും. ഇതിൽ നിന്ന് രണ്ട് ഒഴികെയുള്ള ഇരട്ട സംഖ്യകൾ പ്രൈം അല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. മറ്റൊരു കണ്ടുപിടിത്തം: മൂന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളും, മൂന്നെണ്ണം ഒഴികെ, ഇരട്ടിയായാലും ഒറ്റയായാലും, പ്രധാനമല്ല (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, മുതലായവ). അഞ്ചും ഏഴും കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകൾക്കും ഇത് ബാധകമാണ്. അവരുടെ എല്ലാ കൂട്ടവും ലളിതമല്ല. നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം. അതിനാൽ, ലളിതമായവയിലേക്ക് ഒറ്റ അക്ക സംഖ്യകൾഒന്നും ഒമ്പതും ഒഴികെ എല്ലാ ഒറ്റ സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, കൂടാതെ "രണ്ട്" പോലും ഇരട്ട സംഖ്യകളാണ്. പത്തുകൾ തന്നെ (10, 20,... 40, മുതലായവ) ലളിതമല്ല. രണ്ട് അക്കങ്ങൾ, മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ, മുതലായവ പ്രൈം നമ്പറുകൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ തത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ്: അവയ്ക്ക് തങ്ങളുടേതും ഒന്നോ അല്ലാതെ മറ്റൊരു വിഭജനവും ഇല്ലെങ്കിൽ.

പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

പ്രൈം നമ്പറുകൾ ഉൾപ്പെടെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠിക്കുന്ന ഒരു ശാസ്ത്രമുണ്ട്. ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ശാഖയാണ് ഉയർന്നത്. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണഗണങ്ങൾക്ക് പുറമേ, ബീജഗണിതവും അതീന്ദ്രിയവുമായ സംഖ്യകളും ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ ഉത്ഭവങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളും അവൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. ഈ പഠനങ്ങളിൽ, പ്രാഥമിക, ബീജഗണിത രീതികൾക്ക് പുറമേ, വിശകലന, ജ്യാമിതീയ രീതികളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, "നമ്പർ സിദ്ധാന്തം" പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ പഠനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

പ്രൈം നമ്പറുകൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ "ബിൽഡിംഗ് ബ്ലോക്കുകൾ" ആണ്

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം എന്നൊരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്. അവളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, ഒന്നൊഴികെ, ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അവയുടെ ഘടകങ്ങൾ അഭാജ്യ സംഖ്യകളാണ്, ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമം അദ്വിതീയമാണ്, ഇതിനർത്ഥം പ്രതിനിധാന രീതി അദ്വിതീയമാണ് എന്നാണ്. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ പ്രൈം ഫാക്ടറുകളാക്കി മാറ്റുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു. ഈ പ്രക്രിയയ്ക്ക് മറ്റൊരു പേരുണ്ട് - സംഖ്യകളുടെ ഘടകവൽക്കരണം. ഇതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ അഭാജ്യ സംഖ്യകളെ വിളിക്കാം " കെട്ടിട മെറ്റീരിയൽ”, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള “ബ്ലോക്കുകൾ”.

പ്രധാന സംഖ്യകൾക്കായി തിരയുക. ലാളിത്യ പരിശോധനകൾ

വിവിധ കാലങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പല ശാസ്ത്രജ്ഞരും പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ചില തത്വങ്ങൾ (സിസ്റ്റംസ്) കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിച്ചു. അറ്റ്കിൻ അരിപ്പ, സുന്ദർതം അരിപ്പ, എറതോസ്തനീസ് അരിപ്പ എന്നീ സംവിധാനങ്ങൾ ശാസ്ത്രത്തിന് അറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, അവ കാര്യമായ ഫലങ്ങളൊന്നും നൽകുന്നില്ല, കൂടാതെ പ്രധാന സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താൻ ഒരു ലളിതമായ പരിശോധന ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും അൽഗോരിതങ്ങൾ സൃഷ്ടിച്ചു. അവയെ സാധാരണയായി പ്രാഥമിക പരിശോധനകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, റാബിനും മില്ലറും ചേർന്ന് വികസിപ്പിച്ച ഒരു ടെസ്റ്റ് ഉണ്ട്. ഇത് ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫർമാർ ഉപയോഗിക്കുന്നു. കായൽ-അഗർവാൾ-സാക്വെന ടെസ്റ്റും ഉണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, മതിയായ കൃത്യത ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, കണക്കുകൂട്ടാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അത് അതിൻ്റെ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യം കുറയ്ക്കുന്നു.

പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിന് പരിധിയുണ്ടോ?

പുരാതന ഗ്രീക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ യൂക്ലിഡ് തൻ്റെ "മൂലകങ്ങൾ" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ പ്രൈമുകളുടെ കൂട്ടം അനന്തതയാണെന്ന് എഴുതി. അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു: “പ്രൈം നമ്പറുകൾക്ക് ഒരു പരിധിയുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ഒരു നിമിഷം സങ്കൽപ്പിക്കാം. എന്നിട്ട് നമുക്ക് അവയെ പരസ്പരം ഗുണിച്ച് ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് ഒന്ന് ചേർക്കാം. ഈ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി ലഭിച്ച സംഖ്യയെ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും ശ്രേണി കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ബാക്കിയുള്ളത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നായിരിക്കും. അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയിൽ ഇതുവരെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലാത്ത വേറെ ചില സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ അനുമാനം ശരിയല്ല, ഈ സെറ്റിന് ഒരു പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കില്ല. യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവ് കൂടാതെ, പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലെ സ്വിസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോൺഹാർഡ് യൂലർ നൽകിയ ഒരു ആധുനിക ഫോർമുലയുണ്ട്. അതനുസരിച്ച്, ആദ്യ n സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക n എന്ന സംഖ്യ കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് അപരിമേയമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ വിതരണത്തെ സംബന്ധിച്ച സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഫോർമുല ഇതാ: (n) n/ln (n) ആയി വളരുന്നു.

ഏറ്റവും വലിയ പ്രൈം നമ്പർ ഏതാണ്?

അതേ ലിയോനാർഡ് യൂലറിന് തൻ്റെ കാലത്തെ ഏറ്റവും വലിയ അഭാജ്യ സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ കഴിഞ്ഞു. ഇത് 2 31 - 1 = 2147483647 ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, 2013 ആയപ്പോഴേക്കും, അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയിലെ ഏറ്റവും കൃത്യമായ മറ്റൊരു സംഖ്യ കണക്കാക്കി - 2 57885161 - 1. ഇതിനെ മെർസെൻ നമ്പർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതിൽ ഏകദേശം 17 ദശലക്ഷം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ദശാംശ അക്കങ്ങൾ. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഒരു ശാസ്ത്രജ്ഞൻ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യ ഇതിനേക്കാൾ പലമടങ്ങ് ചെറുതാണ്. നമ്മുടെ സമകാലികനെ ഒരുപക്ഷേ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ സഹായിച്ചിരിക്കുമ്പോൾ, യൂലർ ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ സ്വമേധയാ നടപ്പിലാക്കിയതിനാൽ അത് അങ്ങനെ ആയിരിക്കണം. മാത്രമല്ല, ഈ നമ്പർ അമേരിക്കൻ ഡിപ്പാർട്ട്‌മെൻ്റുകളിലൊന്നിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഫാക്കൽറ്റിയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചു. ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ പേരിലുള്ള നമ്പറുകൾ Luc-Lemaire പ്രാഥമിക പരിശോധനയിൽ വിജയിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ശാസ്ത്രം അവിടെ നിർത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല. 1990-ൽ യുണൈറ്റഡ് സ്റ്റേറ്റ്സ് ഓഫ് അമേരിക്കയിൽ (ഇഎഫ്എഫ്) സ്ഥാപിതമായ ഇലക്ട്രോണിക് ഫ്രോണ്ടിയർ ഫൗണ്ടേഷൻ, വലിയ അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു പണ പാരിതോഷികം വാഗ്ദാനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. 2013 വരെ 1 മുതൽ 10 ദശലക്ഷത്തിൽ നിന്ന് അവരെ കണ്ടെത്തുന്ന ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് സമ്മാനം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ദശാംശ സംഖ്യകൾ, ഇന്ന് ഈ കണക്ക് 100 ദശലക്ഷത്തിൽ നിന്ന് 1 ബില്യണിലെത്തി. സമ്മാനങ്ങൾ 150 മുതൽ 250 ആയിരം യുഎസ് ഡോളർ വരെയാണ്.

പ്രത്യേക അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ പേരുകൾ

ചില ശാസ്ത്രജ്ഞർ സൃഷ്ടിച്ച അൽഗോരിതങ്ങൾക്ക് നന്ദി കണ്ടെത്തി ലാളിത്യ പരീക്ഷയിൽ വിജയിച്ച ആ നമ്പറുകളെ പ്രത്യേകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവയിൽ ചിലത് ഇതാ:

1. മെർസെൻ.

4. കുള്ളൻ.

6. മിൽസ് et al.

മുകളിലുള്ള ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പേരിലുള്ള ഈ സംഖ്യകളുടെ ലാളിത്യം ഇനിപ്പറയുന്ന പരിശോധനകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നത്:

1. ലുക്-ലെമെയർ.

2. പെപ്പിന.

3. റീസൽ.

4. ബിൽഹാർട്ട് - ലെമെയർ - സെൽഫ്രിഡ്ജും മറ്റുള്ളവരും.

ആധുനിക ശാസ്ത്രം അവിടെ അവസാനിക്കുന്നില്ല, ഏറ്റവും വലിയ പ്രൈം നമ്പർ കണ്ടെത്തി $250,000 സമ്മാനം നേടാൻ കഴിഞ്ഞവരുടെ പേരുകൾ സമീപഭാവിയിൽ ലോകം പഠിക്കും.

പ്രശ്നം 2.30
സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു ഏകമാന ശ്രേണി A നൽകിയിരിക്കുന്നു. അറേയിലെ പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം പ്രദർശിപ്പിക്കുക.

ആദ്യം, പ്രധാന സംഖ്യകൾ എന്താണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ.

ഇനി നമുക്ക് ടാസ്ക്കിലേക്ക് കടക്കാം. അടിസ്ഥാനപരമായി, നമുക്ക് പ്രധാന സംഖ്യകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു പ്രോഗ്രാം ആവശ്യമാണ്. മൂലകങ്ങളെ അടുക്കുകയും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ കാര്യമാണ്. അതേ സമയം, നമുക്ക് എണ്ണാൻ മാത്രമല്ല, അറേയുടെ പ്രൈം നമ്പറുകൾ പ്രദർശിപ്പിക്കാനും കഴിയും.

പാസ്കലിൽ ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും

കൂടെ പരിഹാര അൽഗോരിതം വിശദമായ വിശകലനംഞാൻ പാസ്കലിൽ തരാം. C++ ലെ ഉദാഹരണ പ്രോഗ്രാമിൽ നിങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കാണാൻ കഴിയും.

പ്രധാനം!
ഇവിടെയാണ് പലർക്കും തെറ്റ് പറ്റുന്നത്. ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യ ഉണ്ടെന്ന് നിർവചനം പറയുന്നു മിനുസമാർന്നരണ്ട് വ്യത്യസ്തഡിവൈഡർ അതിനാൽ, നമ്പർ 1 പ്രൈം അല്ല (അതും പ്രൈം അല്ല, കാരണം പൂജ്യത്തെ ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ടും ഹരിക്കാം).

ഒരു സംഖ്യ പ്രൈം ഉപയോഗിച്ചാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കും, അത് നമ്മൾ തന്നെ സൃഷ്ടിക്കും. നമ്പർ പ്രൈം ആണെങ്കിൽ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ TRUE എന്ന് നൽകും.

ഫംഗ്ഷനിൽ, സംഖ്യ രണ്ടിൽ കുറവാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ ആദ്യം പരിശോധിക്കും. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, അത് മേലിൽ ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയല്ല. നമ്പർ 2 അല്ലെങ്കിൽ 3 ആണെങ്കിൽ, അത് വ്യക്തമായും പ്രൈം ആണ്, അധിക പരിശോധനകൾ ആവശ്യമില്ല.

എന്നാൽ N ആണെങ്കിൽ മൂന്നിൽ കൂടുതൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 2 മുതൽ (N-1) വരെ സാധ്യമായ എല്ലാ വിഭജനങ്ങളിലൂടെയും ഞങ്ങൾ സൈക്കിൾ നടത്തും. N എന്ന സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ ഏതെങ്കിലും ഹരിച്ചാൽ ഹരിച്ചാൽ, അതും ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ലൂപ്പിനെ തടസ്സപ്പെടുത്തുന്നു (കാരണം കൂടുതൽ പരിശോധിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല), കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ FALSE നൽകുന്നു.

ഒരു സംഖ്യ സ്വയം വിഭജിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല (അതുകൊണ്ടാണ് ലൂപ്പ് N-1 വരെ നീണ്ടുനിൽക്കുന്നത്).

ഞാൻ ഇവിടെ ഫംഗ്ഷൻ അവതരിപ്പിക്കില്ല - സാമ്പിൾ പ്രോഗ്രാമുകളിൽ ഇത് നോക്കുക.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു 2.30 പാസ്കലിൽ mytask; //*************************************************** **************** //സ്ഥിരം //****************************** ********* ************************************* COUNT = 100; //അറേയിലെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം //****************************************** *********** ********************** // പ്രവർത്തനങ്ങളും നടപടിക്രമങ്ങളും //************ **************************************************** ** //****** ***************************************** ******** // നമ്പർ പ്രൈം ആണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നു // ഇൻപുട്ട്: N - നമ്പർ // ഔട്ട്‌പുട്ട്: TRUE - നമ്പർ N ആണ് പ്രൈം, FALSE - പ്രൈം അല്ല //************ *************************************************************************** IsPrimeNumber(N:WORD) : ; var i:; ആരംഭിക്കുക := TRUE; 0..3-ൻ്റെ N: N Exit ആരംഭിക്കുക; അവസാനിക്കുന്നു; അവസാനിക്കുന്നു; i:= 2 മുതൽ (N-1) ചെയ്യുക (N i) = 0 എങ്കിൽ //ഒരു പ്രൈം നമ്പർ അല്ല ആരംഭിക്കുന്നത് ഫലം:= FALSE; ; അവസാനിക്കുന്നു; അവസാനിക്കുന്നു; ഞാൻ: വാക്ക്; X: വാക്ക് = 0; എ: വാക്കിൻ്റെ; //*************************************************** **************** // പ്രധാന പ്രോഗ്രാം //****************************** **************************************** ആരംഭിക്കുക //ഐ:= 1 മുതൽ വരെയുള്ള നമ്പറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അറേ പൂരിപ്പിക്കുക COUNT do A[i] := i; //ഐ:= 1 മുതൽ COUNT വരെയുള്ള അറേയിൽ നിന്ന് പ്രൈം നമ്പറുകൾ എണ്ണി തിരഞ്ഞെടുക്കുക, IsPrimeNumber(A[i]) ആണെങ്കിൽ (X) ആരംഭിക്കുക; എഴുതുക(A[i], ""); അവസാനിക്കുന്നു; (#10#13"പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = ", X); WriteLn("അവസാനം. ENTER അമർത്തുക..."); ; അവസാനിക്കുന്നു.

C++ ലെ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം 2.30#ഉൾപ്പെടുന്നു #ഉൾപ്പെടുന്നു നെയിംസ്പേസ് എസ്ടിഡി ഉപയോഗിക്കുന്നു; //*************************************************** **************** //സ്ഥിരം //****************************** ********* *********************************** const int COUNT = 100; //അറേയിലെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം //****************************************** *********** ********************** // പ്രവർത്തനങ്ങളും നടപടിക്രമങ്ങളും //************ **************************************************** ** //****** ***************************************** ******** // നമ്പർ പ്രൈം ആണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നു // ഇൻപുട്ട്: N - നമ്പർ // ഔട്ട്‌പുട്ട്: TRUE - നമ്പർ N ആണ് പ്രൈം, FALSE - പ്രൈം അല്ല //************ ******************************************************* bool IsPrimeNumber(int N) ( bool Res = true; സ്വിച്ച് (N) (കേസ് 0: Res = തെറ്റ്; ബ്രേക്ക്; കേസ് 1: Res = തെറ്റ്; ബ്രേക്ക്; കേസ് 2: Res = true; ബ്രേക്ക്; കേസ് 3 : Res = true; ബ്രേക്ക്; ഡിഫോൾട്ട്: ഇതിനായി (int i = 2; i

പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളുടെ ആശയങ്ങൾ ലേഖനം ചർച്ച ചെയ്യുന്നു. അത്തരം സംഖ്യകളുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം നൽകിയിരിക്കുന്നു. അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം പരിധിയില്ലാത്തതാണെന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഒരു തെളിവ് നൽകുന്നു, എറതോസ്തനീസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അത് പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ പട്ടികയിൽ രേഖപ്പെടുത്തും. ഒരു സംഖ്യ അഭാജ്യമാണോ സംയുക്തമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ തെളിവുകൾ നൽകും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് നമ്പറുകൾ - നിർവചനങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും

പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളെ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി തരം തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അവ ഒന്നിൽ കൂടുതലായിരിക്കണം. വിഭജനങ്ങളെ ലളിതവും സംയോജിതവുമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. സംയോജിത സംഖ്യകളുടെ ആശയം മനസിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം വിഭജനങ്ങളുടെയും ഗുണിതങ്ങളുടെയും ആശയങ്ങൾ പഠിക്കണം.

നിർവ്വചനം 1

ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ളതും രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ ഉള്ളതുമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് പ്രൈം നമ്പറുകൾ, അതായത് തങ്ങളും 1 ഉം.

നിർവ്വചനം 2

ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ളതും കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകളെങ്കിലും ഉള്ളതുമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് സംയുക്ത സംഖ്യകൾ.

ഒന്ന് അഭാജ്യ സംഖ്യയോ സംയോജിത സംഖ്യയോ അല്ല. ഇതിന് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസർ മാത്രമേയുള്ളൂ, അതിനാൽ ഇത് മറ്റെല്ലാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമാണ്. എല്ലാ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളെയും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്, എണ്ണുന്നതിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 3

പ്രധാന സംഖ്യകൾരണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ മാത്രമുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.

നിർവ്വചനം 4

സംയുക്ത സംഖ്യരണ്ടിൽ കൂടുതൽ പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ ഉള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

1-ൽ കൂടുതലുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും പ്രൈം അല്ലെങ്കിൽ സംയുക്തമാണ്. ഡിവിസിബിലിറ്റിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് 1 ഉണ്ടെന്നും എ എന്ന സംഖ്യ എല്ലായ്‌പ്പോഴും എ ഏത് സംഖ്യയ്‌ക്കും ഹരിക്കലുകളായിരിക്കും, അതായത്, അത് സ്വയം 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടും. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം 5

പ്രൈം അല്ലാത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ സംയുക്ത സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രധാന സംഖ്യകൾ: 2, 3, 11, 17, 131, 523. അവ സ്വയം വിഭജിക്കാവുന്നവയാണ് കൂടാതെ 1. സംയോജിത സംഖ്യകൾ: 6, 63, 121, 6697. അതായത്, നമ്പർ 6, 2, 3, 63 എന്നിവ 1, 3, 7, 9, 21, 63, 121 എന്നിവ 11, 11 ആയി വിഘടിപ്പിക്കാം, അതായത്, അതിൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾ 1, 11, 121 ആയിരിക്കും. 6697 എന്ന സംഖ്യ 37, 181 എന്നിങ്ങനെ വിഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രൈം നമ്പറുകളുടെയും കോപ്രൈം നമ്പറുകളുടെയും ആശയങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത ആശയങ്ങളാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക.

പ്രൈം നമ്പറുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

നിലവിലുള്ള എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കുമുള്ള ഒരു പട്ടിക യാഥാർത്ഥ്യമല്ല, കാരണം അവയ്ക്ക് അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ട്. സംഖ്യകൾ 10000 അല്ലെങ്കിൽ 1000000000 വലുപ്പത്തിൽ എത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ എറതോസ്തനീസിൻ്റെ അരിപ്പ ഉപയോഗിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കണം.

അവസാന പ്രസ്താവന വിശദീകരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 1

ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ 1 ഒഴികെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസർ ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയാണ്.

തെളിവ് 1

a എന്നത് 1-നേക്കാൾ കൂടുതലുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെന്നും b എന്നത് a യുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ നോൺ-വൺ ഹരമാണെന്നും നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. വൈരുദ്ധ്യത്തിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് b ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ബി ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയാണെന്ന് കരുതുക. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് b യ്‌ക്ക് ഒരു വിഭജനം ഉണ്ട്, അത് 1-ൽ നിന്നും b-ൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമാണ്. അത്തരമൊരു വിഭജനത്തെ ബി 1 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വ്യവസ്ഥ 1 അത്യാവശ്യമാണ്< b 1 < b പൂർത്തിയാക്കി.

വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, a എന്നത് b കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, b എന്നത് b 1 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത് വിഭജനം എന്ന ആശയം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: a = b qകൂടാതെ b = b 1 · q 1 , എവിടെ നിന്ന് a = b 1 · (q 1 · q) , എവിടെ q ഒപ്പം q 1പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച്, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം a = b 1 · (q 1 · q) ഫോമിൻ്റെ തുല്യതയുള്ള ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ബി 1 എന്ന് കാണാം a എന്ന സംഖ്യയുടെ വിഭജനമാണ്. അസമത്വം 1< b 1 < b അല്ലയോജിക്കുന്നു, കാരണം a യുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവും നോൺ-1 ഡിവൈസറും b ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2

പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ട്.

തെളിവ് 2

അനുമാനിക്കാം നമ്മൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ പരിമിതമായ എണ്ണം എടുത്ത് അവയെ p 1, p 2, ..., p n എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സൂചിപ്പിച്ചതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പ്രധാന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷൻ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

p 1, p 2, ..., p n + 1 ന് തുല്യമായ p എന്ന സംഖ്യ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. p 1, p 2, ..., p n എന്ന ഫോമിൻ്റെ പ്രൈം നമ്പറുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഓരോ സംഖ്യകൾക്കും ഇത് തുല്യമല്ല. p എന്ന സംഖ്യ പ്രൈം ആണ്. അപ്പോൾ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കുന്നു. ഇത് സംയോജിതമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ p n + 1 എന്ന നൊട്ടേഷൻ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട് കൂടാതെ p 1, p 2, ..., p n എന്നിവയിലേതെങ്കിലുമായി ഡിവൈസർ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് കാണിക്കുക.

ഇത് അങ്ങനെയല്ലെങ്കിൽ, p 1, p 2, ..., p n എന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡിവിസിബിലിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി അടിസ്ഥാനമാക്കി , ഇത് pn + 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. p n + 1 എന്ന പദപ്രയോഗം ശ്രദ്ധിക്കുക p സംഖ്യയെ ഹരിക്കുന്നത് p 1, p 2, ..., p n + 1 എന്നതിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. p n + 1 എന്ന പദപ്രയോഗം നമുക്ക് ലഭിക്കും 1 ന് തുല്യമായ ഈ തുകയുടെ രണ്ടാമത്തെ പദത്തെ വിഭജിക്കണം, പക്ഷേ ഇത് അസാധ്യമാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഇടയിൽ ഏതെങ്കിലും അഭാജ്യ സംഖ്യ കണ്ടെത്താനാകുമെന്ന് കാണാൻ കഴിയും. അനന്തമായ അനേകം അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

ധാരാളം അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഉള്ളതിനാൽ, പട്ടികകൾ 100, 1000, 10000 എന്നിങ്ങനെ സംഖ്യകളിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുമ്പോൾ, അത്തരം ഒരു ജോലിക്ക് 2 മുതൽ 100 ​​വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുടർച്ചയായ പരിശോധന ആവശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കണം. വിഭജനം ഇല്ലെങ്കിൽ, അത് പട്ടികയിൽ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു; അത് സംയോജിതമാണെങ്കിൽ, അത് പട്ടികയിൽ നൽകില്ല.

നമുക്ക് അത് ഘട്ടം ഘട്ടമായി നോക്കാം.

നിങ്ങൾ 2 എന്ന നമ്പറിൽ ആരംഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന് 2 വിഭജനങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ: 2 ഉം 1 ഉം, അതായത് ഇത് പട്ടികയിൽ നൽകാം. 3 എന്ന സംഖ്യയും സമാനമാണ്. സംഖ്യ 4 സംയോജിതമാണ്; അത് 2 ഉം 2 ഉം ആയി വിഘടിപ്പിക്കണം. നമ്പർ 5 പ്രൈം ആണ്, അതായത് ഇത് പട്ടികയിൽ രേഖപ്പെടുത്താം. നമ്പർ 100 വരെ ഇത് ചെയ്യുക.

ഈ രീതിഅസൗകര്യവും നീളവും. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മേശ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ചെലവഴിക്കേണ്ടിവരും ഒരു വലിയ സംഖ്യസമയം. ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് വിഭജനങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വേഗത്തിലാക്കും.

എറതോസ്തനീസിൻ്റെ അരിപ്പ ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണമായി താഴെയുള്ള പട്ടികകൾ നോക്കാം. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, 2, 3, 4, ..., 50 അക്കങ്ങൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ 2 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളായ എല്ലാ സംഖ്യകളും മറികടക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടർച്ചയായ സ്ട്രൈക്ക്ത്രൂകൾ നടത്തുക. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പട്ടിക ലഭിക്കും:

5 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകളെ മറികടക്കുന്നതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ നീങ്ങുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

7, 11 എന്നിവയുടെ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ ക്രോസ് ഔട്ട് ചെയ്യുക. ആത്യന്തികമായി, പട്ടിക ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു

നമുക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപീകരണത്തിലേക്ക് പോകാം.

സിദ്ധാന്തം 3

അടിസ്ഥാന സംഖ്യ a യുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ്, നോൺ-1 ഡിവൈസർ a കവിയരുത്, ഇവിടെ a എന്നത് തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഗണിത മൂലമാണ്.

തെളിവ് 3

ഒരു സംയോജിത സംഖ്യ a യുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ വിഭജനം b സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ q ഉണ്ട്, അവിടെ a = b · q, നമുക്ക് ആ b ≤ q ഉണ്ട്. രൂപത്തിൻ്റെ അസമത്വങ്ങൾ അസ്വീകാര്യമാണ് b > q,കാരണം വ്യവസ്ഥ ലംഘിക്കപ്പെടുന്നു. അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും b ≤ q 1 ന് തുല്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ b കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം. നമുക്ക് അത് b · b ≤ b · q, ഇവിടെ b 2 ≤ a, b ≤ a എന്നിവ ലഭിക്കും.

തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, പട്ടികയിലെ അക്കങ്ങൾ മറികടക്കുന്നത്, ബി 2 ന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണെന്നും അസമത്വം b 2 ≤ a എന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നുവെന്നും വ്യക്തമാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾ 2 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ മുറിച്ചുകടക്കുകയാണെങ്കിൽ, പ്രക്രിയ 4-ലും 3-ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങൾ 9-ലും ആരംഭിക്കുന്നു, അങ്ങനെ 100 വരെ.

എറതോസ്തനീസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുന്നത്, എല്ലാ സംയുക്ത സംഖ്യകളും ക്രോസ് ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ, n-ൽ കവിയാത്ത പ്രൈം നമ്പറുകൾ നിലനിൽക്കുമെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. n = 50 എന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, നമുക്ക് n = 50 ഉണ്ട്. മൂല്യത്തിൽ പ്രാധാന്യമില്ലാത്ത എല്ലാ സംയോജിത സംഖ്യകളെയും എറതോസ്തനീസിൻ്റെ അരിപ്പ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നുവെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. വലിയ മൂല്യം 50-ൻ്റെ റൂട്ട്. ക്രോസ് ഔട്ട് വഴിയാണ് നമ്പറുകൾക്കായി തിരയുന്നത്.

പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നമ്പർ പ്രൈം ആണോ സംയുക്തമാണോ എന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

898989898989898989 എന്ന നമ്പർ സംയുക്തമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

പരിഹാരം

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 9 8 + 9 9 = 9 17 ആണ്. ഇതിനർത്ഥം 9 കൊണ്ട് 17 എന്ന സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നാണ്, അത് 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന പരിശോധനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്. ഇത് സംയോജിതമാണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

അത്തരം അടയാളങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ പ്രാഥമികത തെളിയിക്കാൻ കഴിയില്ല. പരിശോധന ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, മറ്റ് നടപടികൾ കൈക്കൊള്ളണം. മിക്കതും അനുയോജ്യമായ വഴി- ഇത് ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളാണ്. പ്രക്രിയയ്ക്കിടയിൽ, പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താനാകും. അതായത്, അക്കങ്ങൾ മൂല്യത്തിൽ ഒരു കവിയാൻ പാടില്ല. അതായത്, a എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റണം. ഇത് തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ, a എന്ന സംഖ്യയെ പ്രൈം ആയി കണക്കാക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

സംയോജിത അല്ലെങ്കിൽ പ്രധാന സംഖ്യ 11723 നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ 11723 എന്ന നമ്പറിനായുള്ള എല്ലാ വിഭജനങ്ങളും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. 11723 വിലയിരുത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് 11723 എന്ന് കാണാം< 200 , то 200 2 = 40 000 , കൂടാതെ 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 കുറവ് എണ്ണം 200 .

11723 എന്ന സംഖ്യയുടെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടലിനായി, നിങ്ങൾ 108 2 = 11 664 എന്ന പദപ്രയോഗം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ 109 2 = 11 881 , അത് 108 2 < 11 723 < 109 2 . അത് 11723 എന്ന് പിന്തുടരുന്നു< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 എന്നിവയെല്ലാം അഭാജ്യ സംഖ്യകളാണ്. എല്ലാം ഈ പ്രക്രിയഒരു കോളം കൊണ്ട് ഒരു വിഭജനമായി ചിത്രീകരിക്കാം. അതായത് 11723 നെ 19 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. 19 എന്ന സംഖ്യ അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്നാണ്, കാരണം നമുക്ക് ബാക്കിയില്ലാതെ വിഭജനം ലഭിക്കുന്നു. നമുക്ക് വിഭജനത്തെ ഒരു കോളമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

11723 ഒരു സംയോജിത സംഖ്യയാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, കാരണം തനിക്കും 1 നും പുറമേ ഇതിന് 19 ൻ്റെ ഒരു ഹരിക്കൽ ഉണ്ട്.

ഉത്തരം: 11723 എന്നത് ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയാണ്.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യും പ്രൈം, സംയുക്ത സംഖ്യകൾ. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളുടെ നിർവചനങ്ങൾ നൽകും, കൂടാതെ ഉദാഹരണങ്ങളും നൽകും. ഇതിന് ശേഷം അനന്തമായി അനേകം അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക എഴുതുകയും എറതോസ്തനീസിൻ്റെ അരിപ്പ എന്ന രീതിക്ക് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ നൽകുകയും അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രീതികൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും. ഉപസംഹാരമായി, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യ പ്രൈം അല്ലെങ്കിൽ കോമ്പോസിറ്റ് ആണെന്ന് തെളിയിക്കുമ്പോൾ കണക്കിലെടുക്കേണ്ട പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് നമ്പറുകൾ - നിർവചനങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും

അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെയും സംയോജിത സംഖ്യകളുടെയും ആശയങ്ങൾ ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അത്തരം പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, അവയുടെ പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ച്, പ്രൈം, സംയുക്ത സംഖ്യകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളുടെ നിർവചനങ്ങൾ, വിഭജനങ്ങളും ഗുണിതങ്ങളും എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നല്ല ധാരണ ഉണ്ടായിരിക്കണം.

നിർവ്വചനം.

പ്രധാന സംഖ്യകൾപൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, വലിയ യൂണിറ്റുകൾ, അവയ്ക്ക് രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ, അതായത് തങ്ങളും 1.

നിർവ്വചനം.

സംയോജിത സംഖ്യകൾ- ഇവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, വലിയ യൂണിറ്റുകൾ, അതനുസരിച്ച് ഇത്രയെങ്കിലും, മൂന്ന് പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ.

വെവ്വേറെ, നമ്പർ 1 പ്രൈം അല്ലെങ്കിൽ സംയുക്ത സംഖ്യകൾക്ക് ബാധകമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. യൂണിറ്റിന് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസർ മാത്രമേയുള്ളൂ, അത് നമ്പർ 1 തന്നെയാണ്. കുറഞ്ഞത് രണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകളെങ്കിലും ഉള്ള മറ്റെല്ലാ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നിന്നും ഇത് നമ്പർ 1 നെ വേർതിരിക്കുന്നു.

പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെന്നും ഒരാൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസർ മാത്രമാണെന്നും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളുടെ പ്രഖ്യാപിത നിർവചനങ്ങളുടെ മറ്റ് ഫോർമുലേഷനുകൾ നമുക്ക് നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

പ്രധാന സംഖ്യകൾരണ്ട് പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ മാത്രമുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.

നിർവ്വചനം.

സംയോജിത സംഖ്യകൾരണ്ടിൽ കൂടുതൽ പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ ഉള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.

ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഓരോ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒന്നുകിൽ ഒരു പ്രൈം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അഭാജ്യമോ സംയുക്തമോ അല്ലാത്ത ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഇല്ല. ഇത് ഡിവിസിബിലിറ്റിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, സംഖ്യകൾ 1 ഉം എയും എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഹരിക്കലുകളാണ്.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് സംയോജിത സംഖ്യകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

പ്രൈം അല്ലാത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു സംയുക്തം.

കൊടുക്കാം പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

സംയോജിത സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ 6, 63, 121, 6,697 എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ പ്രസ്താവനയ്ക്കും വ്യക്തത ആവശ്യമാണ്. 6 = 2 3 എന്നതിനാൽ 6 എന്നത് പോസിറ്റീവ് വിഭജനം 1, 6 എന്നിവയ്‌ക്ക് പുറമേ, 2 ഉം 3 ഉം ഉണ്ട്, അതിനാൽ 6 യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയാണ്. 63 ൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ഘടകങ്ങൾ 1, 3, 7, 9, 21, 63 എന്നീ സംഖ്യകളാണ്. 121 എന്ന സംഖ്യ 11·11 എന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ അതിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ 1, 11, 121 എന്നിവയാണ്. 6,697 എന്ന സംഖ്യ സംയോജിതമാണ്, കാരണം അതിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസറുകൾ, 1, 6,697 എന്നിവയ്ക്ക് പുറമേ, 37, 181 എന്നീ സംഖ്യകളും കൂടിയാണ്.

ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഉപസംഹാരമായി, പ്രൈം നമ്പറുകളും കോപ്രൈം നമ്പറുകളും ഒരേ കാര്യത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണെന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ പട്ടിക

പ്രധാന നമ്പറുകൾ, സൗകര്യാർത്ഥം കൂടുതൽ ഉപയോഗം, പ്രൈം നമ്പർ ടേബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു പട്ടികയിൽ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. താഴെ പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ പട്ടിക 1,000 വരെ.

യുക്തിസഹമായ ഒരു ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: "എന്തുകൊണ്ടാണ് നമ്മൾ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ പട്ടിക 1,000 വരെ മാത്രം നിറച്ചത്, നിലവിലുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെയും ഒരു പട്ടിക സൃഷ്ടിക്കുന്നത് സാധ്യമല്ലേ"?

ഈ ചോദ്യത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഭാഗത്തിന് ആദ്യം ഉത്തരം നൽകാം. അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമായി വരുന്ന മിക്ക പ്രശ്നങ്ങൾക്കും ആയിരത്തിനുള്ളിലെ പ്രധാന സംഖ്യകൾ മതിയാകും. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, മിക്കവാറും, നിങ്ങൾ ചില പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ അവലംബിക്കേണ്ടിവരും. എന്നിരുന്നാലും, അനിയന്ത്രിതമായ വലിയ പരിമിത പൂർണ്ണസംഖ്യ വരെ നമുക്ക് പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം. പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അത് 10,000 അല്ലെങ്കിൽ 1,000,000,000 ആകട്ടെ, അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ നമ്മൾ പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ പട്ടികകൾ കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രീതികളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും, പ്രത്യേകിച്ചും, വിളിക്കുന്ന രീതി ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

ഇപ്പോൾ നിലവിലുള്ള എല്ലാ പ്രൈം നമ്പറുകളുടെയും ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള സാധ്യത (അല്ലെങ്കിൽ, അസാധ്യത) നോക്കാം. എല്ലാ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടേയും ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാൻ നമുക്ക് കഴിയില്ല, കാരണം അനന്തമായി ധാരാളം അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന സഹായ സിദ്ധാന്തത്തിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ് അവസാന പ്രസ്താവന.

സിദ്ധാന്തം.

ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ 1 ഒഴികെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസർ ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയാണ്.

തെളിവ്.

അനുവദിക്കുക a എന്നത് ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ b എന്നത് ഒന്നല്ലാത്ത ഒന്നിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് ഡിവൈസർ ആണ്. വൈരുദ്ധ്യത്താൽ b ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

ബി ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയാണെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ b എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഹരിക്കൽ ഉണ്ട് (ഇത് b 1 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം), അത് 1, b എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. വിഭജനത്തിൻ്റെ സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെ കേവല മൂല്യത്തെ കവിയുന്നില്ലെന്നും ഞങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഡിവിബിലിറ്റിയുടെ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് ഞങ്ങൾക്കറിയാം), പിന്നെ വ്യവസ്ഥ 1 തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം.

a എന്ന സംഖ്യയെ b കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതും, b എന്നത് b 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതും ആയതിനാൽ, a=b q, b=b എന്നിങ്ങനെയുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളായ q, q 1 എന്നിവയുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ ഡിവിസിബിലിറ്റി എന്ന ആശയം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. 1 q 1 , എവിടെ നിന്ന് a= b 1 ·(q 1 ·q) . രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, തുടർന്ന് a=b 1 ·(q 1 ·q) തുല്യത സൂചിപ്പിക്കുന്നത് b 1 എന്നത് a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഹരിച്ചാണ്. മേൽപ്പറഞ്ഞ അസമത്വങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ 1

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അനന്തമായി ധാരാളം അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാം.