§6. Taylor serisi. Maclaurin serisi. Yaklaşık hesaplamalarda güç serilerinin kullanılması. Taylor serisi açılımı

Örnek 1 . Seri genişletme günahını kullanma X sin20 o'yu 0,0001 doğrulukla hesaplayın.

Çözüm. Formül (2)'yi kullanabilmek için argümanın değerini radyan ölçüsüyle ifade etmek gerekir. Aldık . Bu değeri formülde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan seri işaret bakımından dönüşümlüdür ve Leibniz'in koşullarını karşılar. Çünkü , bu durumda serinin bu ve sonraki tüm terimleri atılabilir ve kendimizi ilk iki terimle sınırlandırabiliriz. Böylece,

Örnek 2 . En yakın 0,01'e kadar hesaplayın.

Çözüm. Burada genişletmeyi kullanalım (önceki konudaki örnek 5'e bakın):

Açılımın ilk üç teriminden sonra kalan kısmı atıp atamayacağımızı kontrol edelim; bunu yapmak için onu sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını kullanarak değerlendireceğiz:

.

Böylece bu kalanı atıp şunu elde edebiliriz:

.

Örnek 3 . En yakın 0,0001'e kadar hesaplayın.

Çözüm. Binom serisini kullanalım. 5 3, 130'a en yakın bir tam sayının küpü olduğundan, 130 sayısının 130 = 5 3 +5 olarak temsil edilmesi önerilir.

Leibniz kriterini karşılayan sonuçta ortaya çıkan alternatif serinin dördüncü terimi zaten gerekli doğruluktan daha az olduğundan:

, dolayısıyla o ve onu takip eden terimler atılabilir.

Belirli integrallerin yaklaşık hesabı

Pratik olarak gerekli olan pek çok belirli veya uygunsuz integral, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanamaz, çünkü bunun uygulanması, genellikle temel fonksiyonlarda bir ifadeye sahip olmayan bir antiderivatifin bulunmasıyla ilişkilidir. Aynı zamanda bir antiderivatif bulmak da mümkündür, ancak bu gereksiz derecede emek yoğundur. Bununla birlikte, eğer integrand fonksiyonu bir güç serisine genişletilirse ve integrasyonun sınırları bu serinin yakınsama aralığına aitse, o zaman integralin önceden belirlenmiş bir doğrulukla yaklaşık olarak hesaplanması mümkündür.

Örnek 4 : En yakın 0,00001'e kadar integrali hesaplayın.

Çözüm. Karşılık gelen belirsiz integral temel fonksiyonlarda ifade edilemez, yani. “kalıcı olmayan bir integrali” temsil eder. Newton-Leibniz formülü burada uygulanamaz. İntegrali yaklaşık olarak hesaplayalım.

Günah serisini terime bölme X Açık X, şunu elde ederiz:

Bu seriyi terim terim entegre ederek (integrasyonun sınırları bu serinin yakınsama aralığına ait olduğundan bu mümkündür), şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan seri Leibniz koşullarını sağladığından ve istenilen değeri belirli bir doğrulukla elde etmek için ilk iki terimin toplamını almak yeterlidir.

Böylece buluyoruz

.

Örnek 5 . İntegrali en yakın 0,001'e kadar hesaplayın.

Ortaya çıkan serinin ikinci teriminden sonra kalan kısmı atıp atamayacağımızı kontrol edelim.

Buradan, .

Sıradan için Cauchy probleminin yaklaşık çözümü

Diferansiyel denklem

Bir ODE'nin genel biçimde çözülemediği sık durumlarda, Cauchy problemi, çözümün Taylor serisi açılımının ilk birkaç terimi şeklinde (belirli bir noktanın yakınında) yaklaşık olarak çözülebilir.

Örnek Cauchy probleminin çözümünün seri açılımının ilk 3 terimini bulun

Çözüm: Soruna formda çözüm arayacağız

Katsayı en(1)=2 Cauchy probleminin başlangıç ​​koşuludur.

Denklemin katsayısını başlangıç ​​koşullarını yerine koyarak bulacağız:

Bulmak için bu denklemin her iki tarafının türevini alalım:

Böylece,

Karar vermek : Belirtilen doğrulukla yaklaşık olarak hesaplayın:

A 1) 0,0001'e kadar 2) 0,0001'e kadar 3) 0,01'e kadar 4) ln6 0,01'e kadar

5) 0,001'e kadar 6) 0,001'e kadar 7) 0,01'e kadar

8) 0,001'e kadar 9) 0,001'e kadar 10) 0,001'e kadar

11) 0,001'e kadar 12) 0,01'e kadar 13) 0,001'e kadar

14) 0,001'e kadar 15) 0,001'e kadar 16) 0,001'e kadar

B Cauchy probleminin çözümünün seri açılımının ilk birkaç terimini bulun:

17) y¢-4y+xy 2 -e 2 x =0; y(0)=2 (4 terim) 18) y¢+ycosx-y 2 sinx=0; y(p)=1 (4 terim)

19) y¢¢=e y rahat¢; y(1)=1; y¢(1)=p/6 (5 terim)

20) y¢¢=xy 2 -1/y¢; y(0)=0, y¢(0)=1 (5 terim)

Fourier serisi

Fourier yakınında işlevler F(X) aralıkta (-p;p)

, Nerede

Fourier yakınında işlevler F(X) aralıkta (-ben;ben) formun trigonometrik serisi denir:

, Nerede

Fourier serisi parçalı sürekli, parçalı monoton ve (-) aralığına bağlı ben;ben Fonksiyonun ) tüm sayı doğrusunda yakınsar.

Fourier serilerinin toplamı S(X):

Periyodu 2 olan periyodik bir fonksiyondur ben

Aralıkta (- ben;ben) fonksiyonla çakışıyor F(X), kesme noktaları hariç

Süreksizlik noktalarında (fonksiyon sınırlı olduğundan birinci türden) fonksiyonlar F(X) ve aralığın sonlarında ortalama değerler alınır:

Fonksiyonun şu aralıkta bir Fourier serisine genişlediğini söylüyorlar (- ben;ben): .

Eğer F(X) bir çift fonksiyon ise, bu durumda onun açılımına yalnızca çift fonksiyonlar katılır, yani bn=0.

Eğer F(X) tek bir fonksiyonsa, bu durumda onun genişletilmesine yalnızca tek fonksiyonlar katılır, yani ve n=0

Fourier yakınında işlevler F(X) aralıkta (0;ben) çoklu yayların kosinüsleri ile satır denir:

, Nerede .

Fourier yakınında işlevler F(X) aralıkta (0;ben) çoklu yayın sinüsleri ile satır denir:

, Nerede .

Çoklu yayların kosinüsleri üzerinden Fourier serisinin toplamı, periyodu 2 olan çift periyodik bir fonksiyondur. ben, ile çakışıyor F(X) (0; ben) süreklilik noktalarında.

Çoklu yayların sinüsleri üzerinden Fourier serisinin toplamı, periyodu 2 olan tek bir periyodik fonksiyondur. ben, ile çakışıyor F(X) (0; ben) süreklilik noktalarında.

Belirli bir aralıkta belirli bir fonksiyon için Fourier serisi benzersizlik özelliğine sahiptir, yani eğer genişleme formül kullanmaktan başka bir şekilde elde edilirse, örneğin katsayılar seçilerek, bu katsayılar formüllerden hesaplananlarla çakışır. .

Örnekler.

1. f fonksiyonunu genişletin(X)=1:

a) aralıkta tam bir Fourier serisinde(-p;p) ;

b) aralıktaki birden fazla yayın sinüsleri boyunca bir seri halinde(0;p); elde edilen Fourier serisinin grafiğini çizin

Çözüm:

a) (-p;p) aralığındaki Fourier serisi açılımı şu şekildedir:

,

ve tüm katsayılar bn=0, çünkü bu fonksiyon çifttir; Böylece,

Açıkçası, eğer kabul edersek eşitlik sağlanacaktır.

A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0

Teklik özelliği nedeniyle bunlar gerekli katsayılardır. Böylece gerekli ayrıştırma: veya sadece 1=1.

Bu durumda, bir seri kendi fonksiyonuyla aynı şekilde çakıştığında, Fourier serisinin grafiği, fonksiyonun grafiğiyle tüm sayı doğrusu üzerinde çakışır.

b) (0;p) aralığının çoklu yayların sinüsleri cinsinden açılımı şu şekildedir:

Eşitliğin aynı şekilde geçerli olmasını sağlayacak şekilde katsayıları seçmek elbette imkansızdır. Katsayıları hesaplamak için formülü kullanalım:

Böylece, hatta N (N=2k) sahibiz bn=0, tek sayı için ( N=2k-1) -

Nihayet, .

Elde edilen Fourier serisinin özelliklerini kullanarak grafiğini çizelim (yukarıya bakın).

Öncelikle bu fonksiyonun belirli bir aralıkta grafiğini oluşturuyoruz. Daha sonra serilerin toplamının tuhaflığından yararlanarak grafiği orijine doğru simetrik olarak devam ettiriyoruz:

Eğer f(x) fonksiyonunun a noktasını içeren belirli bir aralıktaki tüm mertebelerden türevleri varsa, Taylor formülü ona uygulanabilir:
,
Nerede r n– kalan terim veya serinin geri kalanı olarak adlandırılan Lagrange formülü kullanılarak tahmin edilebilir:
burada x sayısı x ile a arasındadır.

İşlev girme kuralları:

Eğer bir değer için X r n→0 saat N→∞, limitte Taylor formülü bu değer için yakınsak bir formüle dönüşür Taylor serisi:
,
Dolayısıyla, f(x) fonksiyonu aşağıdaki durumlarda x noktasında bir Taylor serisine genişletilebilir:
1) tüm mertebelerden türevleri vardır;
2) Oluşturulan seri bu noktada yakınsar.

a = 0 olduğunda, adı verilen bir seri elde ederiz. Maclaurin yakınında:
,
Maclaurin serisindeki en basit (temel) fonksiyonların genişletilmesi:
Üstel fonksiyonlar
, R=∞
Trigonometrik fonksiyonlar
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Actgx fonksiyonu x'in kuvvetlerine göre genişlemez çünkü ctg0=∞
Hiperbolik fonksiyonlar


Logaritmik fonksiyonlar
, -1
Binom serisi
.

Örnek No.1. Fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletin f(x)= 2X.
Çözüm. Fonksiyonun değerlerini ve türevlerini bulalım. X=0
f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X In2, F"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2X 2 2'de, F""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2X içinde N 2, f(n)( 0) = 2 0 içinde N 2=ln N 2.
Türevlerin elde edilen değerlerini Taylor serisi formülüne değiştirerek şunu elde ederiz:

Bu serinin yakınsaklık yarıçapı sonsuza eşit olduğundan bu genişleme -∞ için geçerlidir.<X<+∞.

Örnek No. 2. Taylor serisini kuvvetlerle yazın ( X+4) işlev için f(x)= e X.
Çözüm. e fonksiyonunun türevlerini bulma X ve değerleri bu noktada X=-4.
f(x)= e X, F(-4) = e -4 ;
f"(x)= e X, F"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e X, F""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Bu nedenle, fonksiyonun gerekli Taylor serisi şu şekildedir:

Bu genişleme -∞ için de geçerlidir.<X<+∞.

Örnek No. 3. Bir işlevi genişlet f(x)=n X bir dizi güçte ( X- 1),
(yani noktanın yakınındaki Taylor serisinde X=1).
Çözüm. Bu fonksiyonun türevlerini bulun.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Bu değerleri formülde değiştirerek istenilen Taylor serisini elde ederiz:

D'Alembert testini kullanarak serinin ½x-1½ noktasında yakınsadığını doğrulayabilirsiniz.<1 . Действительно,

½ ise seri yakınsar X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 Leibniz kriterinin koşullarını karşılayan bir alternatif seri elde ederiz. x=0 olduğunda fonksiyon tanımlı değildir. Dolayısıyla Taylor serisinin yakınsaklık bölgesi yarı açık aralıktır (0;2).

Örnek No. 4. Fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletin.
Çözüm. Genişlemede (1) x'i -x 2 ile değiştirirsek şunu elde ederiz:
, -∞

Örnek No. 5. Fonksiyonu Maclaurin serisinde genişletin.
Çözüm. Sahibiz
Formül (4)'ü kullanarak şunu yazabiliriz:

Formülde x yerine –x koyarsak şunu elde ederiz:

Buradan şunu buluruz: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Parantezleri açıp serinin terimlerini yeniden düzenleyip benzer terimleri getirerek şunu elde ederiz:
. Bu seri (-1;1) aralığında yakınsar çünkü her biri bu aralıkta yakınsayan iki seriden elde edilir.

Yorum .
Formüller (1)-(5), karşılık gelen fonksiyonları bir Taylor serisine genişletmek için de kullanılabilir; fonksiyonları pozitif tamsayı kuvvetleriyle genişletmek için ( Ha). Bunu yapmak için, (1)-(5) fonksiyonlarından birini elde etmek amacıyla belirli bir fonksiyon üzerinde bu tür özdeş dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir; bunun yerine X maliyetler k( Ha) m , burada k sabit bir sayıdır, m ise pozitif bir tam sayıdır. Değişkende değişiklik yapmak genellikle uygundur T=Ha ve elde edilen fonksiyonu Maclaurin serisinde t'ye göre genişletin.

Bu yöntem, bir fonksiyonun kuvvet serisindeki açılımının benzersizliğine ilişkin teoreme dayanmaktadır. Bu teoremin özü, açılımı ne şekilde yapılırsa yapılsın, aynı noktanın komşuluğunda aynı fonksiyona yakınsayacak iki farklı kuvvet serisinin elde edilememesidir.

Örnek No. 5a. Fonksiyonu bir Maclaurin serisinde genişletin ve yakınsaklık bölgesini belirtin.
Çözüm. İlk önce 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) ,'yi buluyoruz.
ilkokula:

3/(1-3x) kesri, |3x| ise, paydası 3x olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı olarak düşünülebilir.< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

yakınsama bölgesi ile |x|< 1/3.

Örnek No. 6. Fonksiyonu x = 3 noktası civarında bir Taylor serisine genişletin.
Çözüm. Bu problem, daha önce olduğu gibi, fonksiyonun türevlerini ve değerlerini bulmamız gereken Taylor serisinin tanımı kullanılarak çözülebilir. X=3. Ancak mevcut genişletmeyi kullanmak daha kolay olacaktır (5):
=
Ortaya çıkan seri veya –3'te yakınsar

Örnek No. 7. Taylor serisini ln(x+2) fonksiyonunun (x -1) kuvvetlerine yazın.
Çözüm.


Seri , veya -2'de yakınsar< x < 5.

Örnek No. 8. f(x)=sin(πx/4) fonksiyonunu x =2 noktası yakınındaki bir Taylor serisine genişletin.
Çözüm. Değiştirmeyi t=x-2 yapalım:

X'in yerine π / 4 t'yi koyduğumuz genişleme (3)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan seri verilen fonksiyona -∞ noktasında yakınsar< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Böylece,
, (-∞

Güç serilerini kullanarak yaklaşık hesaplamalar

• ortaya çıkan seri dönüşümlü ise aşağıdaki özellik kullanılır: Leibniz koşullarını karşılayan alternatif bir seri için serinin geri kalanı mutlak değer olarak ilk atılan terimi aşmaz.
• Belirli bir seri sabit işaretliyse, o zaman atılan terimlerden oluşan seri, sonsuz azalan geometrik ilerlemeyle karşılaştırılır.
• genel durumda Taylor serisinin geri kalanını tahmin etmek için Lagrange formülünü kullanabilirsiniz: a X ).

Örnek No.1. ln(3)'ü en yakın 0,01'e kadar hesaplayın.
Çözüm. x=1/2 olan açılımı kullanalım (önceki konudaki örnek 5'e bakınız):

Açılımın ilk üç teriminden sonra kalan kısmı atıp atamayacağımızı kontrol edelim; bunu yapmak için onu sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını kullanarak değerlendireceğiz:

Böylece bu kalanı atıp şunu elde edebiliriz:

Örnek No. 2. En yakın 0,0001'e kadar hesaplayın.
Çözüm. Binom serisini kullanalım. 5 3, 130'a en yakın bir tam sayının küpü olduğundan, 130 sayısının 130 = 5 3 +5 olarak temsil edilmesi önerilir.



Leibniz kriterini karşılayan sonuçta ortaya çıkan alternatif serinin dördüncü terimi zaten gerekli doğruluktan daha az olduğundan:
, dolayısıyla o ve onu takip eden terimler atılabilir.
Pratik olarak gerekli olan pek çok belirli veya uygunsuz integral, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanamaz, çünkü bunun uygulanması, genellikle temel fonksiyonlarda bir ifadeye sahip olmayan bir antiderivatifin bulunmasıyla ilişkilidir. Aynı zamanda bir antiderivatif bulmak da mümkündür, ancak bu gereksiz derecede emek yoğundur. Bununla birlikte, eğer integrand fonksiyonu bir güç serisine genişletilirse ve integrasyonun sınırları bu serinin yakınsama aralığına aitse, o zaman integralin önceden belirlenmiş bir doğrulukla yaklaşık olarak hesaplanması mümkündür.

Örnek No. 3. ∫ 0 1 4 sin (x) x'in integralini 10 -5 dahilinde hesaplayın.
Çözüm. Karşılık gelen belirsiz integral temel fonksiyonlarda ifade edilemez, yani. “kalıcı olmayan bir integrali” temsil eder. Newton-Leibniz formülü burada uygulanamaz. İntegrali yaklaşık olarak hesaplayalım.
Günah serisini terime bölme X Açık X, şunu elde ederiz:

Bu seriyi terim terim entegre ederek (integrasyonun sınırları bu serinin yakınsama aralığına ait olduğundan bu mümkündür), şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan seri Leibniz koşullarını sağladığından ve istenilen değeri belirli bir doğrulukla elde etmek için ilk iki terimin toplamını almak yeterlidir.
Böylece buluyoruz
.

Örnek No. 4. ∫ 0 1 4 e x 2 integralini 0,001 doğrulukla hesaplayın.
Çözüm.
. Ortaya çıkan serinin ikinci teriminden sonra kalan kısmı atıp atamayacağımızı kontrol edelim.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Bu dersimizde çözümü en temel seri bilgisini gerektirecek ilk ve en basit probleme bakacağız. fonksiyonların kuvvet serilerine açılımları tablosu ve bir mikro hesap makinesi. Bir seçenek olarak Excel bunu yapacaktır (işlevlerini nasıl yöneteceğinizi biliyorsanız). Hesaplamalı görevler daha fazla konsantrasyon gerektirir, bu nedenle makaleye fiziksel olarak iyi durumda ve taze bir zihinle yaklaşmanızı öneriyorum:

Söz konusu problemin 2 tipi vardır ve bunlar daha önce özellikle yamuk formülünü ve Simpson metodunu kullanarak integrali hesaplarken karşılaştığımız şeylerdir. Bir tane yazın:

Örnek 1

Bir fonksiyonun seri açılımını kullanarak, kendinizi genişlemenin 5 terimiyle sınırlayarak sayıyı hesaplayın. Sonucu 0,001'e yuvarlayın. Hesap makinesinde hesaplamalar yapın ve hesaplamaların mutlak hatasını bulun.

Çözüm: Öncelikle doğru olanı seçin bir fonksiyonun tablo ayrıştırması. Açıkçası, bizim durumumuzda aşağıdaki seriyi almak gerekiyor:
, herhangi bir “x” değeri için yakınsayan.

Ne olduğunu kısaca tekrarlayalım fonksiyonel serilerin yakınsaklığı: ne kadar çok terimi dikkate alırsak, daha doğru bir polinom fonksiyonu fonksiyona yaklaşacaktır. Gerçekten de, bir parabolün grafiği üstel ve kübik bir fonksiyonun grafiğine hiç benzemiyor ideal olmaktan da uzak ama serinin 50-100 üyesini alırsanız tablo kökten değişecek. Ve son olarak sonsuz bir polinomun grafiği üstel fonksiyonun grafiğiyle çakışacaktır.

Not : Teorik olarak böyle bir yaklaşım ve tanım bile var: Bir fonksiyon, bir fonksiyonel serinin toplamıdır.

Koşul doğrudan serinin ilk 5 terimini toplamanız gerektiğini ve sonucun 0,001'e yuvarlanması gerektiğini belirtir. Ve bu nedenle burada hiçbir sorun yok:

Mikro hesap makinesi kullanarak daha doğru bir değer hesaplayalım:

Mutlak hesaplama hatası:
- Bu oldukça çok iyi. Ama daha iyi oluyor.

Cevap:

Şimdi biraz farklı bir görev türüne bakalım:

Örnek 2

Fonksiyonun seri açılımını kullanarak yaklaşık olarak 0,001 doğrulukla hesaplayın.

! Not : bazen argüman derece cinsinden ifade edilir, bu gibi durumlarda gereklidir radyana dönüştürmek.

"Kesinlikle" ifadesinin anlamını hatırlayalım. ile 0,001". Bu, cevabımızın gerçeklerden 0,001'den fazla farklı olmaması gerektiği anlamına gelir.

Çözüm: kullanma tablo halinde ayrıştırma , ilgili serinin birkaç terimini yazıyoruz ve 5-6 ondalık basamağa kadar bir "kenar boşluğu" ile yuvarlamak daha iyidir:

Gerekli doğruluğu elde etmek için serinin kaç teriminin toplanması gerekir? yakınsak için değişen işaretler satırlar aşağıdaki kriter geçerlidir:üyeler toplanıncaya kadar toplanmalıdır modulo Daha belirtilen doğruluk. İlk küçük olan, tüm "kuyruk" ile birlikte atılmalıdır. Bu örnekte bu 4. üyedir: , Bu yüzden:

– Nihai sonucun gerekli doğruluğa yuvarlanması ile.

Cevap: 0,001'e kadar doğru

Muhtemelen herkes bunun neden garanti edildiğini anlıyor: işte negatif 4. terime eklendi az modulo sayı, daha sonra sonuçtan çıkarılır daha da küçük sayı - ve bu sonsuza kadar devam eder. Mecazi anlamda konuşursak, tasarım, en büyük salınımın negatif yönde olduğu ve diğer tüm hareketleri "gölgelendirdiği", sönümlü salınımlara sahip bir sarkacı andırıyor.

Açıkçası, yakınsaklık için pozitif seri (en yakın örnek Örnek 1'dir) dikkate alınan kriter yanlıştır. Nispeten konuşursak, 0,00034 ise< 0,001, то сумма «хвоста» может запросто превзойти 0,001 (serinin TÜM üyeleri pozitif olduğundan). Bu konuya daha sonra döneceğim:

Örnek 3

Örnek 4

Karşılık gelen açılımın ilk iki terimini kullanarak yaklaşık olarak hesaplayın. Hesaplamaların mutlak hatasını tahmin edin.

Bunlar kendi başınıza karar vermeniz için örneklerdir. Elbette çözümün ilerleyişini etkin bir şekilde kontrol edebilmek için hemen bulmak avantajlıdır.

Ve şu soru ortaya çıkıyor: Hesap makineleri ve hesaplama programları varsa neden bu kadar saçma şeyler yapılıyor? Cevabın bir kısmını sınıfta verdim Diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplamalar. Çok uzun zaman önce, hesap makinesi nadirdi; üzerinde yazı bulunan anahtarlar vb. gibi lüks şeylerden bahsetmiyorum bile. Sitenin ziyaretçi defterinde ziyaretçilerden biri, diplomasına ilişkin tüm hesaplamaları matematiksel tablolar ve hesap cetveli kullanarak nasıl yaptığına dair anılarını paylaştı. Ve bu tür aletler, mekanik abaküslerle birlikte bugün yalnızca matematik tarihi müzesinde yer alacak.

Özet şu: Modası geçmiş bir sorunu çözüyoruz. Acil pratik anlamı, çözülmesi gerektiğidir =) Belki bilgisayar bilimindeki başka biri için yararlı olabilir - önceden belirlenmiş bir doğruluğa sahip yaklaşık bir toplam, bir döngü tarafından basitçe algoritmaya dönüştürülür. Doğru, faktöriyel hızla büyüdüğü için bazı Pascallar oldukça hızlı kırılacak.

Ayrıca pratik önemi olan çok önemli ve alakalı bir uygulama daha var ama bu sır ders sırasında ortaya çıkacak ;-) Tahmin ederseniz hipotezleri öne sürün - saygı gösterin.

Ayrıca önerilen serinin yakınsaklık alanına dikkat edilmemelidir, sinüs, kosinüs ve üstel genişlemeler– evet, herhangi bir “X” için birleşiyorlar, ancak analiz edilen örnekler kişinin dikkatini dağıtmamalı! En basit örnek arktanjant ve onun açılımıdır. . Mesela değeri hesaplamaya çalışırsak o zaman sınırsız büyümeyi fark etmek kolaydır (modül) bizi hiçbir yere götürmeyecek bir serinin üyeleri son ve hatta daha da fazlası yaklaşık bir değere. Ve bunların hepsi bu genişlemenin yakınsama bölgesine dahil olmadığı için.

Daha zor görevlere bakalım:

Örnek 5

0,01 dahilinde hesaplayın

Çözüm: hesap makinesi tuşlarına tıklayın: . Ve bir seri kullanarak yaklaşık hesaplamaları nasıl yapacağımızı düşünüyoruz. Kök durumlarda konu, garantili bir yakınsama aralığına sahip bir binom genişlemesine iner.

Radikalimizi şu şekilde temsil etmeye çalışıyoruz:

Ve her şey yoluna girecek, ancak değer, söz konusu binom serisinin yakınsama alanına dahil edilmiyor, yani yapı hesaplamalar için uygun değil - yukarıda tartışılanla aynı kaza meydana gelecektir.

Ne yapmalıyım? Değere tekrar bakalım ve “üç”e yakın olduğunu fark ediyoruz. Aslında: . Harika bir komşu kullanarak aşağıdaki tipik dönüşümü gerçekleştiriyoruz: Kökün altında 27 sayısını seçiyoruz, onu yapay olarak parantezlerden kaldırıyoruz ve ardından kökün altından kaldırıyoruz:

Artık her şey yolunda: sayı yakınsama aralığına ait. Ancak “yan etki” olarak hesaplamaların doğruluğunun düzeltilmesine ihtiyaç vardır. Sonuçta genişlemenin şartlarını saydığımızda her sayıyı “üç” ile çarpmamız gerekecek. Bu nedenle başlangıçta gerekli olan 0,01 doğruluğunun üç kat arttırılması gerekiyor: .

Yani, hangi seriyi kullanıyoruz? Kontrol etmeyi unutmayın genişletme tablosuÖrneğimizin binom açılımının özel bir durumu kapsamına girip girmediği. HAYIR. Bu, manuel olarak çalışmanız gerektiği anlamına gelir:

Gerekli doğruluğu elde etmek için burada (üyelerin sırayla gelmeye başladığını unutmayın!)üç dönem yeterliydi ve dördüncü canavar saymanın bir anlamı yoktu. Ancak “yedek” olarak her zaman serinin daha fazla üyesini yazmaya çalışıyoruz. Tembelseniz ve yeterli teriminiz yoksa, tüm görevi yeniden yazacaksınız.

Cevap: 0,001'e kadar doğru

Evet hesaplamalar elbette bir hediye değil ama ne yapabilirsiniz….

Kendi başınıza çözebileceğiniz aynı temanın daha basit bir varyasyonu:

Örnek 6

Kendinizi serinin ilk üç terimiyle sınırlayarak hesaplayın. Sonucu 3 ondalık basamağa yuvarlayın.

Dersin sonunda örnek bir görev. Ve tekrar bilgisayar teknolojisine başvurmayı unutmayın: .

Bir öğrenci her gün neyi sabırsızlıkla bekler? Logaritmalar:

Örnek 7

En yakın 0,001'e kadar hesapla

Çözüm: Öncelikle her zaman olduğu gibi cevabı buluyoruz: .

Açıkçası, burada genişletmeyi kullanmamız gerekiyor

Ve bu gerçekten mümkün, çünkü... değer bu serinin yakınsama bölgesine dahil edilir.

Biz sayıyoruz:

Durmak. Burada bir şeyler yanlış. Seriler yakınlaşacaktır ancak bu gidişle hesaplamalar kıyamete kadar uzayabilir. Ve eşitsizliğe bilimsel bir bakış, bu sonun şanslı bir sayıdan sonra geleceğini öne sürdü .

Böylece seri oldukça yavaş yakınsar ve yalnızca argümanı birliğe oldukça yakın olan diğer logaritmaların hesaplamaları için uygundur.

Süreci önemli ölçüde hızlandırmak için aşağıdaki ayrıştırmayı türetmek kolaydır:
yakınsama bölgesi ile

Güzel olan şey, her pozitif sayının (bir hariç) olarak temsil edilebilmesidir. Logaritmanın argümanını sıradan bir kesre dönüştürelim ve aşağıdaki denklemi çözelim:

Muayene:

“Şarj etme”:

Ve şimdi başka bir sorun keşfettik; bir sıra ortaya çıktı, olumlu ve bu nedenle burada belirtilemez ve "kuyruğun" tamamını atın. Ya toplamı 0,001'den fazla çıkarsa? Bu bağlamda daha karmaşık bir değerlendirme yöntemi kullanıyoruz. Şüphe uyandıracak kadar büyük olan 3. terimi "her ihtimale karşı" saklayarak serinin geri kalanını ele alalım:

Paydalarda 9, 11, 13, ... sayıları değiştirmek 7'ye kadar - böylece sadece artıyorüyeler ve dolayısıyla bakiyenin tamamı:

Bilimsel olarak buna seçilim denir binbaşı toplamı kolay bulunan (veya bilinen) yakınsak bir seri (bu durumda geometrik ilerleme). Ve plan sadece yerine getirilmekle kalmadı, aynı zamanda aşıldı! Serinin 4'üncüden başlayarak tüm terimlerini atarak 0,00002'lik bir doğruluk garanti edilecektir! Ancak koşula göre sonucun yine de üç ondalık basamağa yuvarlanması gerekir:

Cevap: 0,001'e kadar doğru

Geriye kalan tek şey, mavi bir ahlaki tatmin duygusuyla daha doğru bir anlamla kontrol etmekti.

...Ya da belki yavaş yavaş yakınsak bir serinin 12 teriminin toplamını hesaplamak daha kolay olurdu? =) Ancak bir sonraki görevde bu olasılık artık mevcut olmayacaktır:

Örnek 8

En yakın 0,001'e kadar hesapla

– değerin serinin yakınsama aralığına dahil olmaması nedeniyle .

Göreyim seni!

Yazıya “e” sayısının yaklaşık bir hesaplamasıyla başladık, bir başka ünlü sabitle bitireceğiz:

Bir seri kullanarak bir sayının yaklaşık hesaplanması

"Pi" hakkında kilometrelerce kağıt yazıldı ve milyonlarca kelime söylendi, bu yüzden size tarih, teori ve hipotezler yüklemeyeceğim, eğer ilgileniyorsanız (ve bu gerçekten ilginç), örneğin Wikipedia'ya bakın. . Bu sayının sonsuz sayıda ondalık basamağı vardır: ve seri teorisi bu sayıları bulmanın etkili bir yolunu sağlar.

Belirli bir fonksiyonu kuvvet serisine genişletme problemini ele alalım.

Belirli bir segmentteki tüm derecelerin türevlerini içeren bir fonksiyon verilsin, daha sonra bu segment üzerinde bir dizi formda genişletilebilir.

buna denir Sırada Taylor var. Burada -- belirtilen sayı.

Biçimsel olarak, bir noktanın komşuluğundaki herhangi bir fonksiyon için bir Taylor serisi yazılabilir. herhangi bir mertebeden türevleri vardır. Ancak bu seri, yalnızca bu değerler için kendisini oluşturan işleve yakınsayacaktır. , bunun için serinin geri kalanı sıfıra eğilimlidir:

.

Taylor serisinin geri kalanı Lagrange formunda şu şekilde yazılır:

,

Nerede arasında sonuçlandı Ve .

Eğer
sonra Taylor serisinin özel bir durumunu elde ederiz. Maclaurin yakınında:

Bazı temel fonksiyonlar için Maclaurin serisini ele alalım.

bu seriye binom denir çünkü doğal
bundan Newton'un binomunu elde ederiz.

Fonksiyonlara ait kuvvet serilerinin karşılık gelen fonksiyonlara yakınsadığını vurguluyoruz.
, ve fonksiyonlar için kuvvet serileri
Ve
yalnızca ne zaman birleşir
.

Görev No.1.
.

Örnek 1. ln1.1 değerini 0,0001 doğrulukla hesaplayın.İlk formül olarak Maclaurin serisi açılımını alıyoruz

işlevler
:

.

Değiştireceğiz Açık :

Cevap:

Görev No.2. Fonksiyonun kuvvet serisi açılımını yazın
.

Örnek 1. ln1.1 değerini 0,0001 doğrulukla hesaplayın. Binom serisini yazalım

ve içinde bir değişiklik yapın
:

Koşullara göre
, bu değeri önceki formülde değiştirin:

Kuvvet serileri yaklaşık hesaplamalarda yaygın olarak kullanılmaktadır. Fonksiyon değerlerinin yaklaşık hesaplanması, belirli integral değerleri ve diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümü için Taylor serisinin kullanımını ele alalım.

Görev No.3. Hesaplamak

Çözüm. Herkes için aşağıdaki formül geçerlidir:

.

Şu tarihte: aldık

Kalan terimi Lagrange formunda kullanarak hesaplama hatasını tahmin edelim:

.

,

Nerede arasında yatıyor Ve .

Şu tarihte: sahibiz

,

Nerede
.

Bunu göz önünde bulundurarak
, alıyoruz

.

Şu tarihte:

Şu tarihte:

Bu nedenle gerekli doğruluğu elde etmek için aşağıdakileri almak yeterlidir:
(veya daha fazlası):

.

Yuvarlama hatalarının hatamıza eklenmemesi için her terimi bir ek ondalık basamakla hesaplıyoruz:

Cevap: 0,0001 doğrulukla
.

Görev No.4. Hesaplamak
yaklaşık 0,0001 doğrulukla.

Örnek 1. ln1.1 değerini 0,0001 doğrulukla hesaplayın. Hesaplamak
yalnızca şu durumlarda yakınsak olan bir binom serisi kullanacağız:
, yani önce bu kökü dönüştürüyoruz:

.

Binom serisine koyduğumuz
:

Bu alternatif sayı serisi bir Leibniz serisidir. Hesaplama için serinin kaç tane ilk teriminin alınacağını belirlemek
0,0001 doğrulukla serinin ilk birkaç terimini sırayla hesaplıyoruz:

Leibniz serisinin özelliğine göre ilk üç terimi bırakırsanız kökün istenen yaklaşık değerindeki hata daha az olacaktır.
:

buradan,

Cevap: 0,0001 doğrulukla

bazı işlevlerden
temel fonksiyonlarda ters türevi hesaplanmayan. Bu nedenle Newton-Leibniz formülü uygulanamaz. Eğer
segmentteki bir kuvvet serisine genişletilebilir
Serinin yakınsaklık bölgesine aitse integral yaklaşık olarak hesaplanabilir. Bazen bir antiderivatif fonksiyonun varlığında bile yaklaşık bir hesaplama yeterlidir. Bu problemin çözümü için Taylor serileri kullanılmaktadır. Örneklere bakalım.

Görev No.5.
0,01 doğrulukla.

Örnek 1. ln1.1 değerini 0,0001 doğrulukla hesaplayın. Yaygın olarak kullanılan bu integralin temel fonksiyonlarda ifade edilmediğine dikkat edin.

Fonksiyon için Maclaurin serisinde
bir yedek yapacağız
:

Şimdi bir kuvvet serisinin yakınsama aralığına ait herhangi bir parça üzerinde terim terim entegre edilebileceği teoremini kullanıyoruz. Bu seri tüm sayı doğrusu üzerinde yakınsar, dolayısıyla segment dahil herhangi bir segment üzerinde entegre edilebilir.
:

Belirli bir integralin değerine eşit bir sayı serisi aldık.

Hesaplama hatasını tahmin edelim. Bu seri bir Leibniz serisidir, dolayısıyla hesaplama hatası serinin atılan ilk terimini mutlak değer olarak aşmaz. Bu nedenle serinin terimlerini sırayla hesaplarken, öncelikle mutlak değeri belirtilen doğruluktan küçük olanı atacağız:

,

.

Daha sonra 024=0,743.

Cevap:
0,743.

Görev No. 6. Belirli integrali hesaplayın
0,001 doğrulukla.

Örnek 1. ln1.1 değerini 0,0001 doğrulukla hesaplayın. Fonksiyonun terstürevi olduğundan bu integrali Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplamak imkansızdır.
temel fonksiyonlarda ifade edilmez.
:

.

Sorunu çözmek için kuvvet serileri kullanıyoruz. Fonksiyonun Maclaurin serisindeki açılımını yazalım.
:

Bu formülde yerine koyma yapalım
:

Bu seri, segment üzerinde dönem dönem entegre edilebilir

,
.

Böylece hesaplanan belirli integral, Leibniz kriterinin koşullarını sağlayan alternatif sayısal serilerin toplamına eşittir; dolayısıyla hesaplama hatası, serinin atılan terimlerinin ilkinin modülünü aşmaz.

Cevap:
.

Bu nedenle belirtilen doğruluğu yakalamak için ilk 3 terimi bırakmak gerekir. Görev No.7.
0,001 doğrulukla.

Örnek 1. ln1.1 değerini 0,0001 doğrulukla hesaplayın.. Belirli integrali hesaplayın
.

.

Fonksiyon için Maclaurin serisini yazalım. :

Formülün sol ve sağ taraflarını şu şekilde bölelim:
.

. Ortaya çıkan güç serileri segment üzerinde dönem dönem entegre edilebilir

,
.

Cevap:
.

Ortaya çıkan sayı serisi Leibniz kriterine göre yakınsar, dolayısıyla beyan edilen doğruluktan daha az olan ilk terimi atıyoruz:

Kuvvet serilerinin diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümüne başka bir uygulamasını ele alalım. Bir diferansiyel denklemin çözümü her zaman temel fonksiyonlarla ifade edilemez.

Birçok diferansiyel denklemin integralleri, bağımsız değişkenin belirli bir değer aralığında yakınsayan bir güç serisi olarak temsil edilebilir. Bu durumda diferansiyel denklemin çözümü olan seri Taylor serisi kullanılarak bulunabilir.

Verilen başlangıç ​​koşullarıyla bir diferansiyel denklemin özel bir çözümünün bulunması gerekli olsun; Cauchy problemini çöz.Çözümü bir örnekle açıklayalım.

.

Örnek 1. ln1.1 değerini 0,0001 doğrulukla hesaplayın. Diferansiyel denklemin seri biçiminde özel bir çözümünü arayacağız

Maclaurin serisi açılımını seçtik, çünkü problem ifadesinde bize istenen fonksiyonun değerleri ve onun noktadaki ilk türevi verildi.
.
Fonksiyonun yaklaşık değerini bulmak için
noktasında ikinci, üçüncü ve dördüncü türevlerinin değerlerini bilmemiz gerekiyor.

. Fonksiyonun kendisinin ve sıfırdaki birinci türevinin değerleri koşula göre verilir.
İkinci türevin değeri

.

başlangıç ​​koşullarını değiştirerek diferansiyel denklemden şunu buluruz:

.

Üçüncü türevi bulmak için bu diferansiyel denklemin türevini alırız: Bunu dikkate almak gerekir -- bu bir fonksiyondur ve

-- bağımsız değişken:
:

Artık üçüncü türevin değerini bu noktada hesaplayabiliriz.

Benzer şekilde dördüncü türevin değerini de hesaplayalım:

, veya

Değerleri bulunan eşitliğe koyma

Cevap:
.

Belirli bir noktada hesaplanan türev değerlerini Maclaurin serisine koymaya devam ediyor: Görev No.9.
Diferansiyel denklemin çözümünün kuvvet serisi açılımının ilk dört terimini bulun

.

Örnek 1. ln1.1 değerini 0,0001 doğrulukla hesaplayın. başlangıç ​​koşullarını sağlayan
Başlangıç ​​koşulları noktada belirtilir.

Taylor serisi şeklinde bir çözüm arayacağız:
Fonksiyonun kendisinin ve birinci türevinin değerleri problem ifadesinde verilmiştir. Bir noktada ikinci türev

diferansiyel denklemden şunu buluruz:

Diferansiyel denklemin türevini alarak üçüncü türevi hesaplayalım:

.

veya

O halde üçüncü türevin değeri