Ters fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri örnektir. Ters fonksiyon kavramı. Örnek: kare ve kök fonksiyonları

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan ters fonksiyonları benzersiz değildir. Yani, y = denklemi günah x Belirli bir durumda sonsuz sayıda köke sahiptir. Aslında sinüsün periyodikliği nedeniyle, eğer x böyle bir kökse, o zaman öyledir x + 2πn(burada n bir tam sayıdır) aynı zamanda denklemin kökü olacaktır. Böylece, ters trigonometrik fonksiyonlar çok değerlidir. Onlarla çalışmayı kolaylaştırmak için ana anlamları kavramı tanıtıldı. Örneğin sinüsü düşünün: y = günah x. Eğer x argümanını aralıkla sınırlandırırsak, onun üzerinde y = fonksiyonu olur. günah x monoton olarak artar. Bu nedenle arksinüs adı verilen benzersiz bir ters fonksiyona sahiptir: x = arksin y.

Aksi belirtilmedikçe, ters trigonometrik fonksiyonlarla, aşağıdaki tanımlarla belirlenen ana değerlerini kastediyoruz.

Arksinüs ( y = ark sin x) sinüsün ters fonksiyonudur ( x = günahkar

Ark kosinüs ( y = arkcos x) kosinüsün ters fonksiyonudur ( x = samimi), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.

Arktanjant ( y = arktan x) tanjantın ters fonksiyonudur ( x = tg y), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.

arkkotanjant ( y = arkctg x) kotanjantın ters fonksiyonudur ( x = ctg y), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri, trigonometrik fonksiyonların grafiklerinden y = x düz çizgisine göre ayna yansımasıyla elde edilir. Bkz. Sinüs, kosinüs, Teğet, kotanjant bölümleri.

y = ark sin x

y = arkcos x

y = arktan x

y = arkctg x

Temel formüller

Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat etmelisiniz.

arksin(sin x) = x en
günah(arcsin x) = x
arccos(çünkü x) = x en
cos(arccos x) = x

arktan(tg x) = x en
tg(arctg x) = x
arkctg(ctg x) = x en
ctg(arcctg x) = x

Ters trigonometrik fonksiyonlara ilişkin formüller

Toplam ve fark formülleri

veya

ve

ve

veya

ve

ve

en

en

en

en

en

en

en

en

en

en

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Ters fonksiyon nedir? Belirli bir fonksiyonun tersi nasıl bulunur?

Tanım .

y=f(x) fonksiyonu D kümesinde tanımlı olsun ve E de onun değerlerinin kümesi olsun. Göre ters fonksiyon y=f(x) fonksiyonu, E kümesinde tanımlanan ve her y∈E'ye f(x)=y olacak şekilde bir x∈D değeri atayan bir x=g(y) fonksiyonudur.

Dolayısıyla, y=f(x) fonksiyonunun tanım alanı, ters fonksiyonunun değerlerinin alanıdır ve y=f(x) değerlerinin alanı, ters fonksiyonun tanım alanıdır.

Belirli bir y=f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulmak için ihtiyacınız olan şey :

1) Fonksiyon formülünde, y yerine x'i ve x yerine y'yi yazın:

2) Ortaya çıkan eşitlikten y'den x'e kadar ifade edin:

y=2x-6 fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulun.

y=2x-6 ve y=0,5x+3 fonksiyonları karşılıklı olarak terstir.

Doğrudan ve ters fonksiyonların grafikleri y=x düz çizgisine göre simetriktir(I ve III koordinat çeyreklerinin açıortayları).

y=2x-6 ve y=0,5x+3 - . Doğrusal bir fonksiyonun grafiği. Düz bir çizgi oluşturmak için iki nokta alın.

X=f(y) denkleminin tek bir çözümü olduğu durumda, y'yi açıkça x cinsinden ifade etmek mümkündür. Bu, y=f(x) fonksiyonunun her değerini kendi tanım alanındaki tek bir noktada alması durumunda yapılabilir (böyle bir fonksiyona denir) geri dönüşümlü).

Teorem (bir fonksiyonun tersinirliği için gerekli ve yeterli koşul)

Eğer y=f(x) fonksiyonu tanımlı ve sayısal bir aralıkta sürekli ise, o zaman fonksiyonun tersinir olması için f(x)'in kesinlikle monoton olması gerekli ve yeterlidir.

Üstelik eğer y=f(x) bir aralıkta artarsa, bu aralıkta bunun tersi olan fonksiyon da artar; y=f(x) azalırsa ters fonksiyon azalır.

Tersinirlik koşulu tüm tanım alanı boyunca karşılanmazsa, fonksiyonun yalnızca arttığı veya yalnızca azaldığı bir aralık seçebilir ve bu aralıkta verilen fonksiyonun tersini bulabilirsiniz.

Klasik bir örnek. Arasında)