Yataya belli bir açıyla kuvvet uygulayın. Ufka belli bir açıyla fırlatılan bir cismin hareketi! Yerçekimi ivmesi

09.08.2021

Teori

Bir cisim ufka belli bir açıyla fırlatılırsa, uçuş sırasında yerçekimi kuvveti ve hava direnci kuvveti ona etki eder. Direnç kuvveti ihmal edilirse geriye kalan tek kuvvet yerçekimidir. Dolayısıyla Newton'un 2. yasasına göre cisim, yer çekimi ivmesine eşit bir ivmeyle hareket eder; Koordinat eksenlerindeki ivme projeksiyonları eşittir bir x = 0, ve sen= -g.

Maddi bir noktanın herhangi bir karmaşık hareketi, koordinat eksenleri boyunca bağımsız hareketlerin üst üste binmesi olarak temsil edilebilir ve farklı eksenler yönünde hareket türü farklılık gösterebilir. Bizim durumumuzda, uçan bir cismin hareketi iki bağımsız hareketin üst üste binmesi olarak gösterilebilir: yatay eksen boyunca düzgün hareket (X ekseni) ve dikey eksen boyunca düzgün ivmeli hareket (Y ekseni) (Şekil 1) .

Bu nedenle vücudun hız projeksiyonları zamanla aşağıdaki gibi değişir:

başlangıç hızı nerede, α fırlatma açısıdır.

Bu nedenle vücut koordinatları şu şekilde değişir:

Koordinatların kökenini seçmemizle birlikte başlangıç koordinatları (Şek. 1) Daha sonra

Yüksekliğin sıfır olduğu ikinci zaman değeri sıfırdır, bu da fırlatma anına karşılık gelir, yani. Bu değerin aynı zamanda fiziksel bir anlamı da vardır.

Uçuş menzilini ilk formülden (1) elde ediyoruz. Uçuş menzili koordinat değeridir X uçuşun sonunda, yani eşit bir zamanda t 0. Değeri (2) ilk formülde (1) değiştirerek şunu elde ederiz:

(3)

Bu formülden, en büyük uçuş menzilinin 45 derecelik atış açısında elde edildiği görülmektedir.

Fırlatılan cismin maksimum kaldırma yüksekliği ikinci formülden (1) elde edilebilir. Bunu yapmak için bu formülde uçuş süresinin yarısına (2) eşit bir zaman değeri koymanız gerekir, çünkü Uçuş yüksekliğinin maksimum olduğu yer yörüngenin orta noktasıdır. Hesaplamalar yaparak şunu elde ederiz

Kinematik - çok kolay!

Atıştan sonra uçuş sırasında yerçekimi kuvveti vücuda etki eder. ft ve hava direnci kuvveti Fс.
Vücut düşük hızlarda hareket ederse, hesaplama sırasında hava direncinin kuvveti genellikle dikkate alınmaz.
Dolayısıyla cisme yalnızca yer çekimi kuvvetinin etki ettiğini varsayabiliriz, yani fırlatılan cismin hareketi serbest düşüş.
Eğer bu bir serbest düşüş ise, o zaman fırlatılan cismin ivmesi serbest düşüşün ivmesine eşittir. G.
Dünya yüzeyine göre düşük irtifalarda, Ft yerçekimi kuvveti pratikte değişmez, bu nedenle vücut sabit bir ivmeyle hareket eder.

Yani ufka belli bir açıyla fırlatılan bir cismin hareketi serbest düşüşün bir çeşididir, yani. sabit ivmeli ve kavisli bir yörüngeye sahip hareket(hız ve ivme vektörleri yön olarak çakışmadığından).

Bu hareketin vektör formundaki formülleri: Vücudun hareketini hesaplamak için dikdörtgen bir XOY koordinat sistemi seçilir, çünkü cismin yörüngesi Ft ve Vo vektörlerinden geçen düzlemde bulunan bir paraboldür.
Koordinatların orijini genellikle fırlatılan cismin hareket etmeye başladığı nokta olarak seçilir.

Herhangi bir anda vücudun yön yönündeki hareketinin hızındaki değişim, ivmeyle örtüşür.

Bir cismin yörüngenin herhangi bir noktasındaki hız vektörü 2 bileşene ayrılabilir: Vx vektörü ve V y vektörü.
Herhangi bir anda cismin hızı şu vektörlerin geometrik toplamı olarak belirlenecektir:

Şekle göre hız vektörünün OX ve OY koordinat eksenlerine izdüşümleri şöyle görünür:

Herhangi bir zamanda vücut hızının hesaplanması:

Herhangi bir zamanda vücut hareketinin hesaplanması:

Vücudun hareketinin yörüngesindeki her nokta X ve Y koordinatlarına karşılık gelir:

Fırlatılan bir cismin herhangi bir andaki koordinatları için hesaplama formülleri:

Hareket denkleminden maksimum uçuş menzilini (L) hesaplamak için formüller türetilebilir:

ve maksimum uçuş yüksekliği H:

Not:
1. Eşit başlangıç hızlarında Vo, uçuş menzili:
- ilk atış açısı 0 o'dan 45 o'ya çıkarıldığında artar,
- ilk atış açısı 45 o'dan 90 o'ya çıkarıldığında azalır.

2. Eşit başlangıç fırlatma açılarında, Vo başlangıç hızının artmasıyla birlikte uçuş menzili L artar.

3. Yataya belli bir açıyla fırlatılan bir cismin hareketinin özel bir durumu şöyledir: Yatay olarak fırlatılan bir cismin hareketi, ilk fırlatma açısı sıfırdır.

Bir cismin yatayla α açısı kadar bir hızla fırlatıldığını varsayalım. Önceki durumlarda olduğu gibi hava direncini ihmal edeceğiz. Hareketi tanımlamak için iki koordinat eksenini seçmek gerekir - Ox ve Oy (Şek. 29).

Şekil 29

Referans noktası vücudun başlangıç pozisyonuyla uyumludur. Oy ve Ox eksenlerindeki başlangıç hızının projeksiyonları: , . Hızlanma tahminleri: ,

Daha sonra vücudun hareketi denklemlerle tanımlanacaktır:

(8)

(9)

Bu formüllerden, vücudun yatay yönde eşit şekilde hareket ettiği ve dikey yönde eşit şekilde hızlandığı sonucu çıkar.

Vücudun yörüngesi bir parabol olacaktır. Parabolün en üst noktasında cismin parabolün en üst noktasına çıkması için geçen süreyi bulabiliriz:

t 1 değerini denklem (8)'de yerine koyarsak, cismin maksimum yüksekliğini buluruz:

Vücudun maksimum kaldırma yüksekliği.

Cismin uçuş süresini t=t 2 koordinatında y 2 =0 olması şartından buluruz. Buradan, . Dolayısıyla vücudun uçuş süresi. Bu formülü formül (10) ile karşılaştırdığımızda t 2 =2t 1 olduğunu görüyoruz.

Vücudun maksimum yükseklikten hareket süresi t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1'dir. Sonuç olarak, bir cismin maksimum yüksekliğe çıkması için geçen süre, bu yükseklikten alçalması için geçen süre ile aynıdır. Zaman değeri t 2'yi x koordinat denkleminde (6) yerine koyarsak şunu buluruz:

- vücut uçuş menzili.

Yörüngenin herhangi bir noktasındaki anlık hız, yörüngeye teğet olarak yönlendirilir (bkz. Şekil 29), hız modülü formülle belirlenir

Bu nedenle, ufka belirli bir açıyla veya yatay yönde atılan bir cismin hareketi, iki bağımsız hareketin sonucu olarak düşünülebilir - yatay tekdüze ve dikey eşit şekilde hızlandırılmış (başlangıç hızı olmadan serbest düşüş veya dikey olarak fırlatılan bir cismin hareketi) yukarı).

Kinematik problemlerin amacının ne olabileceğini düşünelim.

1. Kinematik büyüklüklerdeki değişim ilgimizi çekebilir. hareket süreci yani Koordinatlardaki, hızdaki, ivmedeki değişiklikler ve bunlara karşılık gelen açısal değerler hakkında bilgi edinme.

2. Bir takım problemlerde, örneğin bir cismin ufka açılı olarak hareketi probleminde, fiziksel büyüklüklerin değerlerinin öğrenilmesi gerekir. belirli koşullar: uçuş menzili, maksimum kaldırma kuvveti vb.

3. Bir cismin aynı anda birden fazla harekete katıldığı (örneğin bir topun yuvarlanması) veya birden fazla cismin göreceli hareketinin dikkate alındığı durumlarda, yer değiştirmeler, hızlar ve ivmeler (doğrusal ve açısal) arasındaki ilişkilerin kurulması gerekli hale gelir. yani. denklemleri bul kinematik bağlantı.

Kinematik problemlerin çok çeşitli olmasına rağmen, bunları çözmek için aşağıdaki algoritma önerilebilir:

1. Gövdelerin başlangıç konumlarını ve başlangıç durumlarını gösteren şematik bir çizim yapın; Ve .

2. Sorun koşullarının analizine dayalı bir referans sistemi seçin. Bunu yapmak için, bir referans gövdesi seçmeniz ve koordinatların kökenini, koordinat eksenlerinin yönünü ve zaman referansının başlangıç anını gösteren bir koordinat sistemini onunla ilişkilendirmeniz gerekir. Pozitif yönler seçilirken hareket yönüne (hız) veya ivme yönüne göre yönlendirilirler.

3. Hareket kanunlarına dayanarak, tüm cisimler için vektör formunda ve ardından skaler formda bir denklem sistemi oluşturun ve bu vektör hareket denklemlerini koordinat eksenlerine yansıtın. Bu denklemleri yazarken içerdikleri vektörel büyüklüklerin izdüşümlerindeki “+” ve “-” işaretlerine dikkat etmelisiniz.

4. Cevap analitik formül şeklinde (genel biçimde) elde edilmeli ve sonunda sayısal hesaplamalar yapılmalıdır.

Örnek 4. Hızı 54 km/saat olan bir trenin camında oturan bir yolcu, yaklaşmakta olan hızı 36 km/saat ve uzunluğu 250 m olan bir treni ne kadar süre görecektir?

Çözüm. Sabit referans çerçevesini Dünya'ya, hareketli çerçeveyi ise yolcunun bulunduğu trene bağlayacağız. Hızların toplamı kanununa göre, gelen trenin hızı birinci trene göre nerededir? Ox eksenine yapılan projeksiyonlarda:

Yaklaşan trenin birinciye göre kat ettiği yol trenin uzunluğuna eşit olduğundan, zaman

Örnek 5. Vapur Nizhny Novgorod'dan Astrahan'a 5,0 gün, geri dönüş ise 7,0 gün sürüyor. Sal Nijniy Novgorod'dan Astrahan'a ne kadar sürede gidecek? Park etmekten ve trafik gecikmelerinden kaçının.

Verilen: t 1 =5 gün, t 2 =7 gün.

Çözüm. Sabit referans çerçevesini kıyıya, hareketli referans çerçevesini ise suya bağlayacağız. Suyun hızının tüm yolculuk boyunca aynı olduğunu ve buharlı geminin suya göre hızının sabit olduğunu ve buharlı geminin suya göre anlık hızının modülüne eşit olduğunu varsayacağız.

Sal kıyıya göre nehrin akış hızıyla hareket ettiğinden, hareket süresi s'dir ve şehirler arasındaki mesafedir. Bir buharlı gemi akıntıyla birlikte hareket ettiğinde hızı, hızların toplamı kanununa göre veya Öküz eksenine izdüşümlere göre olur:

geminin kıyıya göre hızı nerede, nehre göre geminin hızıdır.

Hareketin zamanını bilerek hızı bulabilirsiniz:

Formül (1) ve (2)'den şunu elde ederiz:

Gemi akıntıya karşı hareket ederken veya Ox ekseni üzerindeki çıkıntılarda geminin kıyıya göre hızı nerede olur.

Diğer tarafta, . Daha sonra

için denklem (3) ve (4) sistemini çözerek şunu elde ederiz:

Salın hareket zamanını bulalım:

Örnek 6. Düzgün ivmeli hareketle, cisim her biri 4,0 saniye olan ilk iki eşit ardışık zaman periyodunda sırasıyla s 1 = 24 m ve s 2 = 64 m yollar boyunca hareket eder. Vücudun başlangıç hızını ve ivmesini belirleyin.

Verilen: t 1 =t 2 = 4,0 s, s 1 =24 m, s 2 = 64 m.

Çözüm. Sırasıyla s 1 ve (s 1 + s 2) için yol denklemlerini yazalım. Bu durumda başlangıç hızı aynı olduğundan,

t1=t2 olduğundan, o zaman

(1)'den ifade edip (2)'ye koyarsak şunu elde ederiz:

Daha sonra başlangıç hızı

Örnek 7. Düz bir yolda düzgün ivmeli ve 5,0 m/s başlangıç hızıyla hareket eden bir araba, birinci saniyede 6,0 m yol kat etmiştir.Arabanın ivmesini, ikinci saniye sonundaki anlık hızını ve 2,0 saniyede yer değiştirme.

Çözüm. Vücudun ilk saniyede kat ettiği yolu bilerek ivmeyi bulabilirsiniz:

Formülü kullanarak ikinci saniyenin sonundaki hızı buluyoruz

Örnek 8. X) x = A + Bt + Ct 3 formuna sahiptir, burada A = 4 m, B = 2 m/s, C = -0,5 m/s3.

t 1 =2 s zamanı için şunları belirleyin: 1) noktanın koordinatı x 1 nokta; 2) anlık hız v1; 3) anlık hızlanma 1.

Verilen: x = A + Bt + Ct 3, A = 4 m, B = 2 m/s, C = -0,5 m/s 3, t 1 = 2 s.

Bul: x 1 ; v1; bir 1.

Çözüm. 1. Belirtilen zaman değeri t 1'i hareket denkleminde t yerine değiştirin: x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3. Bu ifadede A, B, C, t 1 değerlerini yerine koyalım ve hesaplamaları yapalım: x 1 = 4 m.

2. Anlık hız: Bu durumda t 1 anında anlık hız v 1 = B + 3Ct 1 2 olur. Burada B, C, t 1 değerlerini yerine koyalım: v 1 = – 4 m/s. Eksi işareti, t 1 =2 s zamanında noktanın koordinat ekseninin negatif yönünde hareket ettiğini gösterir.

3. Anında hızlanma: T 1 zamanındaki anlık ivme, 1 = 6Сt 1'e eşittir. C, t 1 değerlerini yerine koyalım: a 1 = –6 m/s 2. Eksi işareti, ivme vektörünün yönünün koordinat ekseninin negatif yönüyle çakıştığını ve bu problemin koşulları altında bunun zamanın herhangi bir anında meydana geldiğini gösterir.

Örnek 9. Bir malzeme noktasının düz bir çizgi boyunca kinematik hareket denklemi (eksen X) x = A + Bt + Ct 2 formuna sahiptir, burada A = 5 m, B = 4 m/s, C = -1 m/s 2. t 1 =1 s'den t 2 =6 s'ye kadar olan zaman aralığı için ortalama hızı v xsr'yi belirleyin.

Verilen: x = A + Bt + Ct 2, A = 5 m, B = 4 m/s, C = - 1 m/s 2, t 1 = 1 s, t 2 = 6 s.

Bul: v xsr -? ve khsr -?

Çözüm. t 2 - t 1 zaman aralığı boyunca ortalama hız, v cf = (x 2 - x 1)/(t 2 - t 1) ifadesiyle belirlenir.

x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 m, x 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 = –7 m.

x 1, x 2, t 1, t 2 değerlerini yerine koyalım ve hesaplamaları yapalım: v xsr = -3 m/s.

Örnek 10. h=300 m yükseklikte bulunan bir helikopterden yük düşürüldü. Aşağıdaki durumlarda kargonun yere ulaşması ne kadar sürer: a) helikopter sabitse; b) helikopter v 0 = 5 m/s hızıyla alçalır; 3) helikopter v 0 =5 m/s hızıyla yükseliyor. Yükün s(t), v(t) ve a(t) eksenlerindeki karşılık gelen hareketlerini grafiksel olarak tanımlayın.

Çözüm. a) Sabit helikopterden ayrılan yük serbestçe düşer; Yerçekimi g ivmesi ile düzgün bir şekilde hareket ediyor. Hareketin zamanını aşağıdaki ilişkiden bulacağız: Nesne hareketi grafikleri şekilde 1 ile işaretlenmiştir.

b) Sabit hız v 0 = 5 m/s ile alçalan helikopterden ayrılan yükün hareketi, g sabit ivmeli düzgün ivmeli bir harekettir ve aşağıdaki denklemle tanımlanır:

Sayısal değerlerin yerine koymak 9.8t 2 +10t-600=0 denklemini verir.

Negatif sonucun fiziksel bir anlamı olmadığından hareket süresi t=7,57 s'dir.

Nesne hareketi grafikleri şekilde 2 ile işaretlenmiştir.

3) v 0 =5 m/s sabit hızla yükselen helikopterden ayrılan kargonun hareketi iki aşamadan oluşmaktadır. İlk aşamada yük, hızın tersi yönde sabit g ivmesi ile eşit derecede yavaş hareket eder ve aşağıdaki denklemlerle tanımlanır:

Yörüngenin en üst noktasında hız sıfır olur, dolayısıyla

Sistemin ikinci denklemini birincinin yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

İkinci aşamada - h 0 =h+h 1 =300+1,28=301,28 m yüksekliğinden serbest düşüş.

Çünkü

Nesne hareketi grafikleri şekilde 3 ile işaretlenmiştir.

Örnek 11. Yere göre 18 m/s hızla 2 m/s sabit hızla alçalan bir balondan düşey olarak yukarıya doğru bir yük fırlatılıyor. Yükün yükselişinin en yüksek noktasına ulaştığı anda top ile yük arasındaki mesafeyi belirleyin. Yükün topun yanından geçip aşağıya düşmesi ne kadar zaman alır?

Verilen: v 01 = 2 m/s, v 02 = 18 m/s

Bul: s-? τ -?

Çözüm. 0Y eksenini dikey olarak yukarı doğru yönlendirelim, orijin, yükün atıldığı anda topun bulunduğu 0 noktasıyla uyumludur.

Bu durumda kargonun ve balonun hareket denklemleri şöyledir:

Yükün hareket hızı v 2 = v 02 – gt yasasına göre değişir.

Yükün kaldırıldığı en yüksek B noktasında v 2 =0. Daha sonra B noktasındaki yükün koordinatları bu noktaya kadar yükselme süresi

Bu süre zarfında balon A noktasına indi; onun koordinatı

A ve B noktaları arasındaki mesafe:

Bir süre sonra τ, taş topun yanından geçtiğinde cisimlerin koordinatları aynı olacaktır: y 1C = y 2C;

Örnek 12. Uçuş sırasında meridyene 30° açıyla 27 km/saat hızla kuzeybatı rüzgarı eserse, bir uçağın iki saatte 300 km kuzeye uçabilmesi için hangi hızda ve hangi rotada uçması gerekir?

Verilen: t=7,2∙10 3 s; ben=3∙10 5m; α=30° ≈ 0,52 rad; v 2 ≈7,2 m/s.

Bul: v 2 -? φ -?

Çözüm. Bir uçağın hareketini yere bağlı bir referans çerçevesinde ele alalım.

OX eksenini doğu yönünde, OY eksenini ise kuzey yönünde çizelim. Daha sonra uçağın seçilen referans çerçevesindeki hızı

nerede v= ben/t (2)

Eksen üzerindeki projeksiyonda denklem (1)

ÖKZ: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα veya v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)

Bu denklemleri terimi terime bölerek tanφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v) elde ederiz,

veya dikkate alarak (2)

tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ ben/T);

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ ben/t) ≈0,078 rad.

Denklemlerin (3) sağ ve sol taraflarının karesini alıp elde edilen denklemleri toplayarak şunu buluruz:

v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

nereden veya dikkate alarak (2)

Örnek 13. Dikey olarak yukarı doğru fırlatılan bir cisim t=3 s sonra yere geri dönüyor. Vücudun yükseliş yüksekliğini ve başlangıç hızını bulun.

Çözüm. Bir cismin yukarı doğru hareketi eşit derecede yavaş ve hızlıdır. G ve zamanla olur TŞekil 1'de gösterildiği gibi aşağı doğru hareket, g ivmesi ile eşit biçimde hızlanır ve zamanla meydana gelir. T 2. AB ve BA kesitlerindeki hareketi açıklayan denklemler bir sistem oluşturur:

v B =0 olduğundan v 0 =gt 1 olur. Sistemin ilk denkleminde v 0'ı yerine koyarsak, elde ederiz. Bu ifadeyi sistemin üçüncü denklemiyle karşılaştırırsak, çıkış süresinin iniş süresine eşit olduğu sonucuna varabiliriz t 1 =t 2 =t/2=1,5s. Başlangıç hızı ve iniş hızı birbirine eşittir ve v 0 =v A =gt 1 =9,8∙1,5=14,7 m/s'dir.

Vücut kaldırma yüksekliği

Örnek 14. Hareketin son saniyesinde, serbestçe düşen bir cisim mesafenin yarısını kat etmiştir. Fırlatıldığı yüksekliği ve hareket zamanını bulun.

Çözüm. Serbest düşen bir cisim için zaman içinde kat edilen mesafenin bağımlılığı. Tüm yolun yarısını oluşturan BC kesimi 1 s sürede katedildiğine göre, AB yolunun ilk yarısı (t-1) s sürede kat edilmiştir. Daha sonra uçak bölümündeki hareket şu şekilde tanımlanabilir.

Sistemi çözmek

t 2 -4t+2=0 elde ederiz. Bu denklemin kökleri t 1 =3,41 s ve t 2 =0,59 s'dir. İkinci kök uygun değil çünkü Sorunun koşullarına bağlı olarak hareket süresi bir saniyeyi geçmelidir. Sonuç olarak vücut 3,41 saniye boyunca düştü ve bu süre zarfında mesafe kat etti.

Örnek 15. Bir taş 25 m yüksekliğindeki bir kuleden 15 m/s hızla yatay olarak atılıyor.

Bul: 1) Taş ne kadar süre hareket halinde olacak, 2) Yere hangi mesafede düşecek, 3) Yere hangi hızda düşecek, 4) Taşın yörüngesi ile hangi açıyı yapacak? Ufuk, yere düştüğü noktada. Hava direncini dikkate almayın.

Verilen: H=25 m, v o =15 m/s

Bul: t-? s x - ? v-? φ-?

Çözüm. Yatay olarak atılan bir taşın hareketi ikiye ayrılabilir: yatay s x ve dikey evet:

burada t hareket zamanıdır.

2) sx =v veya t= 33,9 m;

3) v y =gt=22,1m/s;

4) sinφ= v y /v=0,827;

Örnek 16. Bir cisim 25 m yüksekliğindeki bir kuleden v x = 10 m/s hızla yatay olarak fırlatılıyor.

Bul: 1) cismin düşme zamanı t, 2) hangi mesafede ben kulenin tabanından düşeceği, 3) düşüşün sonunda v hızı, 4) vücudun iniş noktasında yörüngesinin yerle yapacağı açı.

Çözüm. Vücut hareketi karmaşıktır. Yatay olarak düzgün harekete katılır ve dikey olarak g ivmesi ile eşit şekilde hızlandırılır. Bu nedenle AB bölümü aşağıdaki denklemlerle tanımlanır:

A noktası için bu denklemler şu formu alır:

Daha sonra ben=10∙2,26=22,6 m ve v y =9,8∙2,26=22,15 m/s.

O zamandan beri

Yörüngenin yerle yaptığı açı, teğeti A noktasındaki hızlar üçgenindeki φ açısına eşittir. , dolayısıyla φ=68,7°.

Örnek 17. Yatay hız v x =10 m/s ile fırlatılan bir cisim için, hareketin başlamasından t=2 s süre sonra, normal, teğetsel ve toplam ivmeyi ve ayrıca yörüngenin bu noktadaki eğrilik yarıçapını bulun.

Çözüm. Dikey hız bileşeni v y =gt=9,8∙2=19,6 m/s

A noktasındaki hız:

Vektörler bir hız üçgeni oluştururken, vektörler bir ivme üçgeni oluşturur. Şekilden de görülebileceği gibi bu üçgenler benzerdir, yani kenarları orantılıdır: .

Normal ivme, yani yörüngenin eğrilik yarıçapı

Örnek 18. Bir top yatayla 40° açı yapacak şekilde 10 m/s hızla fırlatılıyor.

Bul: 1) topun hangi yüksekliğe yükseleceğini; 2) topun atıldığı yerden ne kadar uzakta yere düşeceği, 3) ne kadar süre hareket halinde olacağı.

Verilen: v o =10 m/s, α=40 o.

Bul: s y - ? s x - ? T - ?

Çözüm. 1) Ufuk ile α açısında v o hızıyla fırlatılan bir cismin yükseldiği en büyük yüksekliği s y max'ı bulalım. Elimizde (şekle bakın):

v y =v o sinα – gt; (1)

s y =v o t∙sinα – gt 2 /2. (2)

En üst noktada v y = 0 ve (1)'den v o ∙sin𝛼 = gt 1 elde ederiz, dolayısıyla topun kaldırılma zamanı t 1 =v o ∙sinα/g olur. (2)'de t 1'i yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

s y max = v Ö 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2,1 m.

2) Ufka belli bir açıyla fırlatılan bir cismin uçuş menzilini sxmax bulun.

Elimizde: v x =v Ö∙cosα , (3)

s x =v x t=v o t∙cosα. (4)

t 2 =2t 1 =2v o sinα/g süresinden sonra cisim yatay bir düzlem üzerine düşecektir.

(4)'te t 2'yi yerine koyarsak, s xmax = v o 2 sin2α/ elde ederiz. g= 10,0 m.

3) t 2 =2t 1 =2v o sinα/g=1,3 s.

Örnek 19. Bir cisim yatayla α=30° açı yapacak şekilde v 0 =10 m/s 2 hızıyla fırlatılıyor. Vücut hangi yüksekliğe yükselecek? Fırlatıldığı yerden ne kadar uzaklıkta yere düşecek? Ne kadar süre hareket halinde olacak?

Çözüm. Başlangıç hızının yatay ve dikey bileşenleri

OA bölümündeki hareket iki basit harekete ayrılabilir: yatay olarak tek biçimli ve dikey olarak eşit şekilde yavaş:

A noktasında

Daha sonra Ve

Bir vücut aynı anda birkaç harekete katılıyorsa, her birine diğerinden bağımsız olarak katılır, bu nedenle AB bölümündeki hareket süresi aşağı doğru hareket süresi - t 2 ile belirlenir. Yukarı çıkma zamanı aşağı inme zamanına eşittir, yani

Eşit zaman dilimlerinde düzgün yatay hareketle vücut yolun eşit kısımlarından geçer, bu nedenle,

Uçuş aralığı

Vücut kaldırma yüksekliği

Örnek 20. Nokta, x=4(t-2) 2 yasasına göre düzlem üzerinde doğrusal olarak hareket eder. Başlangıç hızı v 0 ve noktanın ivmesi nedir? A? Hareketin beşinci saniyesinin başlangıcında v t =5 noktasının anlık hızını bulun.

Çözüm.

1) Çünkü v=x’, o zaman v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16

t=0 v 0 =-16 m/s'de.

2) Çünkü a= , sonra a=(8t-16)’=8 m/s.

3) t=4'te, çünkü 5 saniyenin başlangıcından önce 4 saniye geçti.

v t =5 =8t-16=8∙4-16=32 m/s.

Cevap: Noktanın başlangıç hızı v 0 = -16 m/s, ivmesi a = 8 m/s, noktanın hareketin beşinci saniyesinin başlangıcındaki hızı v t = 5 = 32 m/s'dir.

Örnek 21. Maddi bir noktanın hareketi aşağıdaki denklemlerle tanımlanır: a) s=αt3; b) s=αt 2 +βt. Ortalama hızı ve başlangıç ve son hızların aritmetik ortalamasını karşılaştırın v cf 0 - t zaman aralığında. Burada α ve β pozitif sabitlerdir.

Çözüm. Ortalama ve anlık hız tanımlarını hatırlayalım:

Anlık hıza ilişkin ifadeler, hareket denkleminin türevi alınarak elde edilir.

Ortalama hıza ilişkin ifadeler, eğrisel koordinattaki değişimin zamana oranı olarak bulunur:

Aritmetik ortalama hız için ifadeler elde ederiz:

Sorunun koşullarıyla ilgili soruya cevap verelim. “a” durumunda ortalama ve aritmetik ortalama hızların çakışmadığı, “b” durumunda ise çakıştığı görülmektedir.

Örnek 22. Maddi bir nokta kavisli bir yol boyunca düzgün bir şekilde hareket eder. Yörüngenin hangi noktasında ivme maksimumdur?

Çözüm. Kavisli bir yol boyunca hareket ederken ivme teğetsel ve normalden oluşur. Teğetsel ivme, hızın büyüklüğündeki (modüldeki) değişim oranını karakterize eder. Hızın büyüklüğü değişmiyorsa teğetsel ivme sıfırdır. Normal ivme yörüngenin eğrilik yarıçapına bağlıdır a n = v 2/R. İvme en küçük eğrilik yarıçapına sahip noktada maksimumdur; C noktasında.

Örnek 23. Maddi bir nokta yasaya göre hareket eder:

1) Sabit ivmeli hareket yasasını karşılaştırarak başlangıç koordinatını, başlangıç hızını ve ivmesini belirleyin. Hız projeksiyonunun denklemini yazın.

Çözüm. Sabit ivmeli hareket yasası şu şekildedir:

Bu denklemi problem koşulunun denklemiyle karşılaştırarak şunu elde ederiz:

X 0 = - 1m,

v 0 x = 1 m/sn,

A x = - 0,25 m/s2 .

Şu soru ortaya çıkıyor: eksi işaretinin anlamı nedir? Bir vektörün izdüşümü ne zaman negatif olur? Yalnızca vektörün koordinat eksenine karşı yönlendirilmesi durumunda.

Şekilde başlangıç koordinatı, hız ve ivme vektörlerini gösterelim.

Hız denklemini formda yazalım.

ve alınan verileri (başlangıç koşulları) bunun içine yerleştirin

2) Bu büyüklüklerin tanımlarını kullanarak hız ve ivmenin zamana bağımlılığını bulun.

Çözüm. Tanımları hız ve ivmenin anlık değerlerine uygulayalım:

Farklılaşmayı gerçekleştirerek şunu elde ederiz: v x =1-0,25t, a x = - 0,25 m/s 2.

İvmenin zamana bağlı olmadığı görülmektedir.

3) v x (t) ve a x (t) grafiklerini çizin. Grafiğin her bölümündeki hareketi karakterize edin.

Çözüm. Hızın zamana bağımlılığı doğrusaldır, grafik ise düz bir çizgidir.

t = 0 v x = 1 m/s'de. t = 4'te, vx = 0'da.

“a” kesitinde hız projeksiyonunun pozitif olduğu ve değerinin azaldığı grafikten açıkça görülmektedir. nokta x ekseni yönünde yavaşça hareket eder. “b” bölümünde hız projeksiyonu negatiftir ve modülü artar. Nokta x ekseninin tersi yönde ivmeli olarak hareket eder. Sonuç olarak grafiğin apsis ekseni ile kesiştiği noktada bir dönüş meydana gelir, hareket yönünde bir değişiklik olur.

4) Dönüş noktasının koordinatlarını ve dönüş yolunu belirleyin.

Çözüm. Dönüş noktasında hızın sıfır olduğunu tekrar unutmayın. Bu durum için hareket denklemlerinden şunu elde ederiz:

Elde ettiğimiz ikinci denklemden T pv = 4 sn. (Görünüşe göre bu değeri elde etmek için bir grafik oluşturup analiz etmeye gerek yok). Bu değeri ilk denklemde yerine koyalım: x yüzeyi = -1+4-4 2/8 = 1 m Noktanın nasıl hareket ettiğini gösterelim.

Şekilden de görülebileceği gibi dönüşe giden yol koordinatlardaki değişime eşittir: s dönüş =x dönüş -x 0 =1-(-1)=2 m.

5) Bir nokta zamanın hangi noktasında orijinden geçer?

Çözüm. Hareket denkleminde x = 0 koymalıyız. İkinci dereceden denklemi 0=-1+t-t 2 /8 veya t 2 -8t+8=0 elde ederiz. Bu denklemin iki kökü vardır: . t1 = 1,17 sn, t2 = 6,83 sn. Gerçekten de, bir nokta koordinatların kökeninden iki kez geçer: "oraya" ve "geri" hareket ederken.

6) Hareketin başlamasından sonra 5 saniye içinde noktanın kat ettiği yolu ve bu süre zarfındaki yer değiştirmenin yanı sıra yolun bu bölümündeki ortalama yer hızını bulun.

Çözüm.Öncelikle 5 saniyelik hareket sonrasında noktanın son bulduğu koordinatı bulalım ve şekilde işaretleyelim.

x(5)=-1+5-5 2 /8= 0,875m.

Bu durumda nokta dönüşten sonra konumlandığından, kat edilen mesafe artık koordinattaki (hareket) değişime eşit değildir, iki terimden oluşur: dönüşten önceki yol

s 1 = x yüzey - x 0 = 1 - (-1) = 2 m

ve dönüşten sonra

s 2 = x yüzey - x(5) = 1 - 0,875 = 0,125 m,

s = s 1 + s 2 = 2,125 m.

Noktanın yer değiştirmesi

s x = x(5) - x 0 = 0,875 - (-1) = 1,875 m

Ortalama yer hızı formülle hesaplanır

Ele alınan problem, en basit hareket türlerinden birini, yani sabit ivmeli hareketi tanımlamaktadır. Ancak hareketin doğasını analiz etmeye yönelik bu yaklaşım evrenseldir.

Örnek 24. Sabit ivmeli tek boyutlu harekette parçacığın koordinatının ve hızının zamana bağımlılığı aşağıdaki ilişkilerle tanımlanır:

Bir parçacığın koordinatı ile hızı arasında bağlantı kurun.

Çözüm. t zamanını bu denklemlerden hariç tutuyoruz. Bunu yapmak için ikame yöntemini kullanıyoruz. İkinci denklemden zamanı ifade ediyoruz ve ilk denklemde yerine koyalım:

Hareket orijinden başlıyorsa ( X 0 =0) dinlenmeden ( v 0 x =0), o zaman ortaya çıkan bağımlılık şu şekli alır:

Okulumdaki fizik dersinden çok iyi tanıyorum.

Örnek 25. Maddi bir noktanın hareketi şu denklemle tanımlanır: burada i ve j, x ve y eksenlerinin birim vektörleridir, α ve β ise pozitif sabitlerdir. Zamanın ilk anında parçacık x 0 = y 0 = 0 noktasındaydı. Parçacık yörünge denklemini y(x) bulun.

Çözüm. Problemin koşulu, hareketi tanımlayan vektör yöntemi kullanılarak formüle edilir. Koordinat yöntemine geçelim. Birim vektörlerin katsayıları hız vektörünün izdüşümleridir, yani:

Öncelikle birinci sınıf bir problemi çözerek x(t) ve y(t) bağımlılıklarını elde ederiz.

Örnek 28. Yüksek bir kuleden H hızla taş attı v 0 yatayla α açısında. Bulmak:

1) taşın ne kadar süre hareket halinde olacağı;

2) yere hangi mesafede düşeceği;

3) hangi hızla yere düşeceği;

4) düşme noktasında taşın yörüngesi ile ufuk çizgisinin hangi açıda olacağı;

5) bu noktada taşın normal ve teğetsel ivmesinin yanı sıra yörüngenin eğrilik yarıçapı;

6) taşı kaldırmanın en büyük yüksekliği.

Hava direncini ihmal edin.

Çözüm. Bu problemi örnek olarak kullanarak, bu sınıfın herhangi bir problemini çözmek için verilen algoritmanın genelleştirilmiş bir biçimde nasıl kurulabileceğini göstereceğiz.

1. Problem, Dünya'nın yerçekimi alanındaki maddi bir noktanın (taş) hareketini ele almaktadır. Dolayısıyla bu, dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilmiş, sabit bir yerçekimi ivmesi g olan bir harekettir.

Bir cisim ufka belli bir açıyla fırlatılırsa, uçuş sırasında yerçekimi kuvveti ve hava direnci kuvveti ona etki eder. Direnç kuvveti ihmal edilirse geriye kalan tek kuvvet yerçekimidir. Dolayısıyla Newton'un 2. yasasına göre cisim, yerçekimi ivmesine eşit bir ivmeyle hareket eder; ax = 0, ay = - g koordinat eksenlerine ivme izdüşümleri.

Şekil 1. Yataya açılı olarak fırlatılan bir cismin kinematik özellikleri

Bu nedenle vücudun hız projeksiyonları zamanla aşağıdaki gibi değişir:

burada $v_0$ başlangıç hızıdır, $(\mathbf \alpha )$ fırlatma açısıdır.

Orijin seçimimizle başlangıç koordinatları (Şekil 1) $x_0=y_0=0$ şeklindedir. Sonra şunu elde ederiz:

(1)

Formülleri (1) analiz edelim. Fırlatılan cismin hareket zamanını belirleyelim. Bunu yapmak için y koordinatını sıfıra eşitleyelim çünkü iniş anında vücudun yüksekliği sıfırdır. Buradan uçuş süresini öğreniyoruz:

Yüksekliğin sıfır olduğu ikinci zaman değeri sıfırdır, bu da fırlatma anına karşılık gelir, yani. Bu değerin aynı zamanda fiziksel bir anlamı da vardır.

Uçuş menzilini ilk formülden (1) elde ediyoruz. Uçuş menzili uçuşun sonundaki x koordinatının değeridir, yani. şu anda $t_0$'a eşit. Değeri (2) ilk formülde (1) değiştirerek şunu elde ederiz:

Bu formülden, en büyük uçuş menzilinin 45 derecelik atış açısında elde edildiği görülmektedir.

Denklemlerden (1) vücudun yörüngesinin denklemi elde edilebilir; hareket sırasında bir cismin x ve y koordinatlarını ilişkilendiren bir denklem. Bunu yapmak için ilk denklemden (1) zamanı ifade etmeniz gerekir:

ve onu ikinci denklemde yerine koyalım. Sonra şunu elde ederiz:

Bu denklem hareket yörüngesi denklemidir. Bunun, ikinci dereceden terimin önündeki “-” işaretiyle gösterildiği gibi, dalları aşağı doğru olan bir parabolün denklemi olduğu görülebilir. $\alpha $ fırlatma açısının ve fonksiyonlarının burada basitçe sabit olduğu unutulmamalıdır; sabit sayılar.

Bir cisim v0 hızıyla ufka $(\mathbf \alpha )$ açıyla fırlatılıyor. Uçuş süresi $t = 2 s$. Vücut hangi Hmax yüksekliğine yükselecek?

$$t_B = 2 sn$$ $$H_max - ?$$

Vücudun hareketi yasası şu şekildedir:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Başlangıç hız vektörü OX ekseniyle bir $(\mathbf \alpha )$ açısı oluşturur. Buradan,

\ \ \

Bir dağın tepesinden ufka = 30$()^\circ$ açıyla $v_0 = 6 m/s$ başlangıç hızıyla bir taş atılıyor. Eğik düzlem açısı = 30$()^\circ$. Taş, fırlatma noktasından ne kadar uzağa düşecek?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Koordinatların kökenini fırlatma noktasına, OX - aşağıya doğru eğik düzlem boyunca, OY - yukarıya doğru eğimli düzleme dik olarak yerleştirelim. Hareketin kinematik özellikleri:

Hareket kanunu:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2) \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

Ortaya çıkan $t_В$ değerini yerine koyarsak $S$'ı buluruz:

Yataya belirli bir açıyla fırlatılan cismin hareketi

Vektörü ufka α açısıyla yönlendirilen V 0 hızıyla fırlatılan bir cismin XOY düzlemindeki hareketini, fırlatma anında cismi gösterildiği gibi koordinatların başlangıç noktasına yerleştirdiğini düşünelim. Şekil 1'de.

Direnç kuvvetlerinin yokluğunda, ufka belli bir açıyla fırlatılan bir cismin hareketi, yerçekiminin etkisi altındaki eğrisel hareketin özel bir durumu olarak düşünülebilir. Newton'un 2. yasasını uygulamak


∑ F ben

aldık
mg = ma,


	a = g
Hızlanma vektörü a'nın OX ve OU eksenleri üzerindeki izdüşümleri eşittir:


		= −g
g = sabit nerede	yerçekimi ivmesi,			ki bu her zaman
dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilmiş	sayısal değer g = 9,8 m/s2;		= −g		Çünkü op-amp ekseni açık

Şekil 1 yukarıya doğru yönlendirilmiştir, OY ekseninin aşağıya doğru yönlendirilmesi durumunda vektörün izdüşümü

2 op-amp eksenindeki a pozitif olacaktır(sorunların koşullarını okuyarak, koşullarda belirtilmemişse eksenlerin yönünü kendiniz seçin).

Hızlanma vektörü a'nın OX ve OU eksenleri üzerindeki projeksiyonlarının değerleri,

aşağıdaki çıktı:

∙ yataya belli bir açıyla fırlatılan bir cisim aynı anda iki harekete katılır - yatay olarak tekdüze ve yatay olarak tekdüze olarak değişken


dikeyler.
Bu durumda vücudun hızı

	V = Vx + Vy

Zamanın ilk anında (cesedi fırlatma anındaki) cismin hızı
V 0 = V 0 x			V 0 y .
Başlangıç hız vektörünün OX ve OU eksenlerindeki izdüşümleri eşittir
		Vcosa

V 0 y		V 0 günah α

Düzgün değişken hareket için, hız ve yer değiştirmenin zamana bağımlılığı aşağıdaki denklemlerle verilmektedir:

V 0 +

S 0 + V 0 t +

ve S 0 zamanın ilk anında cismin hızı ve yer değiştirmesidir,

ve S t, cismin t anındaki hızı ve yer değiştirmesidir.

Vektör denkleminin (8) OX ve OU eksenlerindeki izdüşümleri eşittir

V 0x

Axt,

V ty = V 0 y + a y t

İnşaat

V 0 y - gt

Vektör denkleminin (9) OX ve OU eksenlerindeki izdüşümleri eşittir

S öküz + V öküz t +

ay t 2

S 0 yıl

Voy t +

eşitlikleri (4) dikkate alarak şunu elde ederiz:

S 0 yıl

Voy t-

GT 2

Sox ve Soy nerede

vücut koordinatları

zamanın ilk anında,

ve Stx ve Sty -

t anındaki vücudun koordinatları.

t hareketi sırasında (atma anından aynı noktaya düşme anına kadar)

seviye) vücut maksimum hmax yüksekliğine yükselir, oradan alçalır ve fırlatma noktasından L mesafesinde (uçuş menzili) uçar - bkz. Şekil 1.

1) Vücut hareket süresi t Sy vücut koordinatlarının değerleri dikkate alınarak bulunabilir.

Soya = 0, Arpacık = 0,

Voy ve (14) değerlerini sistemin (13) ikinci denkleminde değiştirerek şunu elde ederiz:

2) Uçuş menzili L Sх vücut koordinatlarının değerleri dikkate alınarak bulunabilir.

başlangıç zamanı ve t zamanında (bkz. Şekil 1)

Soх = 0, Stх = L,

Vox ve (17) değerlerini sistemin (13) ilk denkleminde değiştirerek şunu elde ederiz:

		L = V 0 cosα × t,
buradan (16)'yı hesaba katarak şunu elde ederiz:
L = Vcosα ×	2V günah α
L = Vcosα ×

3) Maksimum kaldırma yüksekliği h maksimum değeri verildiğinde bulunabilir

Vücudun maksimum kaldırma noktasında vücut hızı V

V 0x

Çünkü bu noktada V y

(11) ve (13) sistemlerinin ikinci denklemlerini kullanarak,

Voу'nun değeri ve gerçeği

cismin maksimum kaldırma noktasında Sy = hmax, şunu elde ederiz:

0 = V 0 sin α - g × t altında

GT Sub2

V 0 sin α × t -

hmaks

nerede tpod - yükselme süresi - vücudun maksimum kaldırma yüksekliğine kadar hareket süresi.

Bu sistemi çözersek şunu elde ederiz:

t'nin altında =

V 0 günah α

günah 2 α

(16) ve (22) değerlerinin karşılaştırılması sonuca varmak için zemin sağlar

· maksimum vücut kaldırma yüksekliğine kadar hareket süresi (t altında) vücudun bu yükseklikten iniş zamanına (tп) eşittir ve fırlatma anından aynı seviyeye düşme anına kadar vücudun tüm hareketinin süresinin yarısına eşittir.

altında	çay kaşığı

Vektörü yatayla α açısıyla yönlendirilen V 0 hızıyla fırlatılan bir cismin hareketinin XOY düzleminde incelenmesi bir bilgisayar modelinde çok açıktır.

"Açık Fizik" bilgisayar modelleri koleksiyonunda "Cesetlerin serbest düşüşü"

PHYSIKON şirketi. Bu modelde farklı başlangıç koşulları ayarlayabilirsiniz.

Örneğin, ele aldığımız durum h = 0 başlangıç koşuluyla belirtilmeli ve V0 ve α seçilmelidir (“Temizle” komutu). "Başlat" komutu vücudun hareketini gösterecek ve zaman içinde sabit anlarda hareketin yörüngesinin ve vücudun hız vektörlerinin yönünün bir resmini verecektir.

İncir. 2. Bölümdeki "Cisimlerin serbest düşüşü" bilgisayar modelinin iletişim penceresi

"Mekanik"; bir cisim orijinden hareket eder ve aynı seviyeye düşer.

Sorunun durumu, düşündüğümüz durumdan farklıysa, o zaman gerekli

sorunu çözmek için eksenlerin yönünü seçerek gövdeyi ilk ana yerleştirin

zaman, vücudun yörüngesini düşme noktasına kadar tasvir eder, böylece

zamanın ilk ve son anlarındaki vücudun koordinatlarını belirleyerek. Daha sonra

çözüm için temel olarak yukarıda tartışılan (3), (5), (8) ve (9) denklemlerini kullanın

Sorunu çözmek için algoritma.

Özel durumları ele alalım.

6 1. Ceset hızla fırlatıldı v 0 vektörü bir açıyla yönlendirilmiş olanα ila

ufuktan h yüksekliğinde ve fırlatma noktasından L kadar uzağa düştü. y'den başlangıca

Soya = h,

ve kalan koordinatların değerleri bizim seçtiğimiz şekilde seçilecektir.

Şek. 3. Bölümdeki "Cisimlerin serbest düşüşü" bilgisayar modelinin iletişim penceresi

"Mekanik"; cisim h=50m noktasından hareket ederek sıfır seviyesine düşer.

2. Bir cisim h yüksekliğinden yatay olarak V 0 hızıyla fırlatılıyor ve fırlatma noktasından L uzaklığına düşüyor. Düşündüğümüz durumdan farkı, vücut koordinatlarının değerlerinin S olmasıdır. sen ilk anda ayrıca denklem (25) ile belirlenecektir,

ve kalan koordinatların değerleri bizim seçtiğimiz şekilde seçilecektir. Ancak bu durumda, OU eksenine izdüşümdeki cismin başlangıç hızı sıfıra eşittir (α = 0 olduğundan), yani.

başlangıç hız vektörünün OX ve OU eksenlerindeki izdüşümleri eşittir



V 0 y

Şekil 4. Bölümdeki "Cisimlerin serbest düşüşü" bilgisayar modelinin iletişim penceresi

"Mekanik"; yatay olarak atılan bir cisim h=50m noktasından hareket ederek sıfır seviyesine düşer.

« Evde Basturma: yemek tarifi

Kayınvalidenin dili nasıl korunur »

2024 cavk.ru - Onarımlar hakkında. Bitiricilik. Boya türleri. Alçı. Teçhizat. Tasarım ve dekor

Geri bildirim

Yıldız haberleri

Yataya belli bir açıyla kuvvet uygulayın. Ufka belli bir açıyla fırlatılan bir cismin hareketi! Yerçekimi ivmesi

Site araması

Sitenin en iyisi

Sitede yeni