Trigonometrik fonksiyonların azaltılmasına yönelik formüllerin türetilmesi. Azaltma formülleri. Hızlı ve kolay

Matematiğin trigonometri bölümüne aittirler. Onların özü getirmektir trigonometrik fonksiyonlar daha "basit" bir görünüme doğru açılar. Bunları bilmenin önemi hakkında çok şey yazılabilir. Bu formüllerden zaten 32 tane var!

Paniğe kapılmayın, matematik dersindeki diğer birçok formül gibi bunları öğrenmenize gerek yok. Ekstra bilgi Kafanızı yormanıza gerek yok, “anahtarları” veya yasaları hatırlamanız gerekiyor ve gerekli formülü hatırlamak veya türetmek sorun olmayacak. Bu arada, makalelerde yazdığımda “... öğrenmen gerekiyor!!!” - bu gerçekten de onu öğrenmenin gerekli olduğu anlamına gelir.

İndirgeme formüllerine aşina değilseniz, bunların türetilmesinin basitliği sizi hoş bir şekilde şaşırtacaktır - bunun yardımıyla bunun kolayca yapılabileceği bir "yasa" vardır. Ve 32 formülden herhangi birini 5 saniyede yazabilirsiniz.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkacak problemlerden sadece bazılarını listeleyeceğim; burada bu formüller hakkında bilgi sahibi olmadan bunları çözmede başarısız olma olasılığı yüksektir. Örneğin:

– bahsettiğimiz dik üçgenin çözümüne ilişkin problemler dış açı ve görevler iç köşeler bu formüllerden bazıları da gereklidir.

– trigonometrik ifadelerin değerlerinin hesaplanmasına ilişkin görevler; sayısal trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi; Gerçek trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi.

– teğetlerle ilgili problemler ve geometrik anlamı Teğet, diğer problemlerin yanı sıra teğet için de bir indirgeme formülü gereklidir.

– stereometrik problemler, çözme sırasında genellikle 90 ila 180 derece aralığında yer alan bir açının sinüsünü veya kosinüsünü belirlemek gerekir.

Ve bunlar sadece Birleşik Devlet Sınavı ile ilgili noktalardır. Ve cebir dersinin kendisinde, indirgeme formülleri bilgisi olmadan çözümü basitçe yapılamayan birçok problem vardır.

Peki bu neye yol açıyor ve belirtilen formüller sorunları çözmemizi nasıl kolaylaştırıyor?

Örneğin, 0'dan 450 dereceye kadar herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını veya kotanjantını belirlemeniz gerekir:

alfa açısı 0 ile 90 derece arasında değişir

* * *

O halde burada işleyen “yasayı” anlamak gerekir:

1. İlgili çeyrekte fonksiyonun işaretini belirleyin.

Size hatırlatmama izin verin:

2. Aşağıdakileri unutmayın:

işlev ortak işleve değişir

işlev ortak işleve değişmez

Bir fonksiyonun ortak fonksiyona dönüşmesi kavramı ne anlama geliyor?

Cevap: sinüs kosinüse dönüşür veya tersi, kotanjanta teğet veya tam tersi.

İşte bu!

Şimdi sunulan yasaya göre birkaç indirgeme formülünü kendimiz yazacağız:

Bu açı üçüncü çeyrekte yer alır, üçüncü çeyrekte kosinüs negatiftir. 180 derecemiz olduğundan fonksiyonu ortak fonksiyona çevirmiyoruz, bunun anlamı:

Açı ilk çeyrekte yer alır, ilk çeyrekteki sinüs pozitiftir. 360 derecemiz olduğundan, fonksiyonu bir ortak fonksiyona değiştirmiyoruz, bu şu anlama geliyor:

Bitişik açıların sinüslerinin eşit olduğuna dair başka bir kanıt:

Açı ikinci çeyrekte yer alır, ikinci çeyrekteki sinüs ise pozitiftir. 180 derecemiz olduğundan fonksiyonu ortak fonksiyona çevirmiyoruz, bunun anlamı:

Her formül üzerinde zihinsel olarak veya yazılı olarak çalışın; hiçbir şeyin karmaşık olmadığına ikna olacaksınız.

***

Çözümle ilgili makalede şu gerçeğe dikkat çekildi - bir dar açının sinüsü dik üçgen içindeki diğer dar açının kosinüsüne eşittir.

İndirgeme formülleri sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) açılarıyla gitmenize izin veren ilişkilerdir. 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, birim çemberin ilk çeyreğinde yer alan `\alpha` açısının aynı fonksiyonlarına eşittir. Böylece indirgeme formülleri bizi 0 ila 90 derece aralığındaki açılarla çalışmaya "yönlendirir" ki bu çok uygundur.

Hepsi bir arada 32 indirgeme formülü var. Birleşik Devlet Sınavı, sınavlar ve testler sırasında şüphesiz kullanışlı olacaklar. Ancak bunları ezberlemenize gerek olmadığı konusunda hemen uyaralım! Biraz zaman harcamanız ve uygulamalarına yönelik algoritmayı anlamanız gerekiyor, o zaman gerekli eşitliği doğru zamanda elde etmeniz sizin için zor olmayacaktır.

Öncelikle tüm indirgeme formüllerini yazalım:

Açı için (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) veya (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Açı (`\pi \pm \alpha`) veya (`180^\circ \pm \alpha`) için:

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Açı için (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) veya (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;' ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;' ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;' ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Açı (`2\pi \pm \alpha`) veya (`360^\circ \pm \alpha`) için:

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

İndirgeme formüllerini genellikle açıların radyan cinsinden yazıldığı bir tablo biçiminde bulabilirsiniz:

Bunu kullanmak için ihtiyacımız olan fonksiyonun bulunduğu satırı ve istenen argümanın bulunduğu sütunu seçmemiz gerekir. Örneğin, bir tablo kullanarak 'sin(\pi + \alpha)'nın neye eşit olacağını bulmak için, ' sin \beta' satırı ile \pi + sütununun kesiştiği noktada cevabı bulmak yeterlidir. \alfa`. ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha` elde ederiz.

Ve açıların derece cinsinden yazıldığı ikinci benzer tablo:

İndirgeme formülleri veya bunların nasıl hatırlanacağı için anımsatıcı kural

Daha önce de belirttiğimiz gibi yukarıdaki ilişkilerin tamamını ezberlemenize gerek yoktur. Onlara dikkatlice baktığınızda muhtemelen bazı desenleri fark etmişsinizdir. Herhangi bir indirgeme formülünü kolayca elde edebileceğimiz bir anımsatıcı kural (anımsatıcı - hatırla) formüle etmemize izin verirler.

Bu kuralı uygulamak için, birim çemberin farklı bölgelerindeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirlemede (veya hatırlamada) iyi olmanız gerektiğini hemen belirtelim.
Aşının kendisi 3 aşamadan oluşur:

1. 1. İşlev argümanı `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ olarak temsil edilmelidir. pm \alpha` ve `\alpha` gereklidir dar açı(0'dan 90 dereceye kadar).
   2. `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` argümanları için, dönüştürülmüş ifadenin trigonometrik fonksiyonu bir ortak fonksiyona, yani tam tersi (sinüs) olarak değişir. kosinüse, kotanjanta teğet ve tam tersi). `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` bağımsız değişkenleri için işlev değişmez.
   3. Orijinal fonksiyonun işareti belirlenir. Sağ tarafta ortaya çıkan fonksiyon aynı işarete sahip olacaktır.

Bu kuralın pratikte nasıl uygulanabileceğini görmek için birkaç ifadeyi dönüştürelim:

1. 'çünkü(\pi + \alfa)'.

Fonksiyon tersine çevrilmez. `\pi + \alpha` açısı üçüncü çeyrektedir, bu çeyrekteki kosinüs “-” işaretine sahiptir, dolayısıyla dönüştürülen fonksiyon da “-” işaretine sahip olacaktır.

Cevap: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.

Anımsatıcı kurala göre işlev tersine çevrilecektir. `\frac (3\pi)2 - \alpha` açısı üçüncü çeyrektedir, buradaki sinüs “-” işaretine sahiptir, dolayısıyla sonuç da “-” işaretine sahip olacaktır.

Cevap: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. 'çünkü(\frac (7\pi)2 - \alfa)'.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa))'. `3\pi`yi `2\pi+\pi` olarak temsil edelim. '2\pi' fonksiyonun periyodudur.

Önemli: `cos \alpha` ve `sin \alpha` fonksiyonlarının periyodu `2\pi` veya `360^\circ`'dir, argüman bu değerler kadar artırılırsa veya azaltılırsa değerleri değişmeyecektir.

Buna dayanarak ifademiz şu şekilde yazılabilir: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Anımsatıcı kuralını iki kez uygulayarak şunu elde ederiz: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Cevap: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

At kuralı

Yukarıda açıklanan anımsatıcı kuralın ikinci noktasına aynı zamanda indirgeme formüllerinin at kuralı da denir. Acaba neden atlar?

Yani, `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ argümanlarına sahip fonksiyonlarımız var pm \alpha`, `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` noktaları anahtardır ve koordinat eksenlerinde bulunurlar. `\pi' ve `2\pi` yatay x eksenindedir ve `\frac (\pi)2` ve `\frac (3\pi)2` dikey ordinattadır.

Kendimize şu soruyu soruyoruz: “Bir fonksiyon eş fonksiyona dönüşür mü?” Bu soruyu cevaplamak için başınızı kilit noktanın bulunduğu eksen boyunca hareket ettirmeniz gerekir.

Yani kilit noktaları yatay eksende olan tartışmalara başımızı yanlara sallayarak “hayır” cevabı veriyoruz. Anahtar noktaları dikey eksende bulunan köşelere ise at gibi başımızı yukarıdan aşağıya doğru sallayarak “evet” cevabını veriyoruz :)

Yazarın indirgeme formüllerini ezberlemeden nasıl hatırlayacağınızı ayrıntılı olarak anlattığı bir video eğitimini izlemenizi öneririz.

İndirgeme formüllerini kullanmanın pratik örnekleri

İndirgeme formüllerinin kullanımı 9. ve 10. sınıflarda başlar. Bunları kullanmanın birçok sorunu Birleşik Devlet Sınavına sunuldu. Bu formülleri uygulamanız gereken sorunlardan bazıları şunlardır:

• dik üçgen çözme problemleri;
• sayısal ve alfabetik trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi, değerlerinin hesaplanması;
• stereometrik görevler.

Örnek 1. İndirgeme formüllerini kullanarak hesaplama yapın a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Çözüm: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3';

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2';

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2'.

Örnek 2. İndirgeme formüllerini kullanarak kosinüsü sinüsten sinüse ifade ettikten sonra sayıları karşılaştırın: 1) 'sin \frac (9\pi)8' ve 'cos \frac (9\pi)8'; 2) 'sin \frac (\pi)8' ve 'cos \frac (3\pi)10'.

Çözüm: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8'

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8'

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5'

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Öncelikle `\frac (\pi)2 + \alpha` argümanının sinüs ve kosinüsü için iki formülü kanıtlayalım: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ve ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Gerisi onlardan türetilmiştir.

Bir birim çember alalım ve onun üzerinde koordinatları (1,0) olan A noktasını alalım. Döndükten sonra izin ver `\alpha` açısında `A_1(x, y)` noktasına gidecek ve `\frac (\pi)2 + \alpha` açısıyla döndükten sonra `A_2(-y, x)` noktasına gidecektir. Bu noktalardan OX doğrusuna dik açıları bıraktığımızda 'OA_1H_1' ve 'OA_2H_2' üçgenlerinin hipotenüsleri ve komşu açıları eşit olduğundan eşit olduğunu görüyoruz. Daha sonra sinüs ve kosinüs tanımlarına dayanarak `sin\alpha=y`, `cos\alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos yazabiliriz. (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. İndirgemeyi kanıtlayan ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ve ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` ifadesini nereye yazabiliriz? sinüs ve kosinüs açıları için formüller `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Teğet ve kotanjant tanımından yola çıkarak ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\) elde ederiz. pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ve ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, bu şunu kanıtlar: '\frac (\pi)2 + \alpha' açısının tanjant ve kotanjantını azaltma formülleri.

Formülleri `\frac (\pi)2 - \alpha` argümanıyla kanıtlamak için bunu `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` olarak temsil etmek ve yukarıdaki yolun aynısını takip etmek yeterlidir. Örneğin, 'cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)'.

`\pi + \alpha` ve `\pi - \alpha` açıları `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` ve `\frac (\pi) olarak temsil edilebilir ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` sırasıyla.

Ve `\frac (3\pi)2 + \alpha` ve `\frac (3\pi)2 - \alpha`, `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` ve `\pi olarak +(\frac (\pi)2-\alfa)`.

Azaltma formüllerini kullanmanın iki kuralı vardır.

1. Açı (π/2 ±a) veya (3*π/2 ±a) olarak gösterilebiliyorsa, o zaman işlev adı değişiklikleri sin'den cos'a, cos'dan sin'e, tg'den ctg'ye, ctg'den tg'ye. Açı (π ±a) veya (2*π ±a) biçiminde gösterilebiliyorsa, o zaman Fonksiyonun adı değişmeden kalır.

Aşağıdaki resme bakın, tabelayı ne zaman değiştirmeniz gerektiğini, ne zaman değiştirmemeniz gerektiğini şematik olarak gösteriyor.

2. "Olduğun gibi kal" kuralı.

İndirgenmiş fonksiyonun işareti aynı kalır. Orijinal fonksiyonun artı işareti varsa, azaltılmış fonksiyonun da artı işareti vardır. Orijinal fonksiyonun eksi işareti varsa, indirgenmiş fonksiyonun da eksi işareti vardır.

Aşağıdaki şekil çeyreğe bağlı olarak temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini göstermektedir.

Sin(150˚) Hesapla

İndirgeme formüllerini kullanalım:

Sin(150˚) ikinci çeyrektedir; bu çeyrekte günahın işaretinin +'ya eşit olduğunu görüyoruz. Bu, verilen fonksiyonun aynı zamanda artı işaretine sahip olacağı anlamına gelir. İkinci kuralı uyguladık.

Şimdi 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ π/2'dir. Yani π/2+60 durumuyla karşı karşıyayız, dolayısıyla ilk kurala göre fonksiyonu sin'den cos'a değiştiriyoruz. Sonuç olarak Sin(150˚) = cos(60˚) = ½ elde ederiz.

İstenirse tüm indirgeme formülleri tek bir tabloda özetlenebilir. Ancak bu iki kuralı hatırlayıp kullanmak yine de daha kolaydır.

Bu makale trigonometrik indirgeme formüllerinin ayrıntılı bir çalışmasına ayrılmıştır. İndirgeme formüllerinin tam listesi verilmiş, kullanım örnekleri gösterilmiş ve formüllerin doğruluğunun kanıtı verilmiştir. Makale ayrıca, her formülü ezberlemeden indirgeme formülleri türetmenize olanak tanıyan bir anımsatıcı kural da sağlar.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Azaltma formülleri. Liste

İndirgeme formülleri, keyfi büyüklükteki açıların temel trigonometrik fonksiyonlarını 0 ila 90 derece (0 ila π 2 radyan) aralığındaki açıların fonksiyonlarına azaltmanıza olanak tanır. 0'dan 90 dereceye kadar açılarla çalışmak, keyfi olarak büyük değerlerle çalışmaktan çok daha uygundur, bu nedenle trigonometri problemlerinin çözümünde indirgeme formülleri yaygın olarak kullanılır.

Formüllerin kendisini yazmadan önce, anlamanız için birkaç önemli noktayı açıklığa kavuşturalım.

• İndirgeme formüllerindeki trigonometrik fonksiyonların argümanları ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z biçimindeki açılardır. Burada z herhangi bir tam sayıdır ve α isteğe bağlı bir dönüş açısıdır.
• Sayıları oldukça etkileyici olan tüm indirgeme formüllerini öğrenmek gerekli değildir. İstenilen formülün elde edilmesini kolaylaştıran anımsatıcı bir kural vardır. Anımsatıcı kural hakkında daha sonra konuşacağız.

Şimdi doğrudan indirgeme formüllerine geçelim.

Azaltma formülleri, keyfi ve keyfi olarak büyük açılarla çalışmaktan 0 ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçmenize olanak tanır. Tüm formülleri tablo halinde yazalım.

Azaltma formülleri

sin α + 2 π z = sin α , çünkü α + 2 π z = çünkü α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , çünkü - α + 2 π z = çünkü α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - çünkü α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - çünkü α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - çünkü α , çünkü 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Bu durumda formüller radyan cinsinden yazılır. Ancak bunları derece kullanarak da yazabilirsiniz. Radyanı dereceye dönüştürmek, π'yi 180 dereceyle değiştirmek yeterlidir.

İndirgeme formüllerini kullanma örnekleri

İndirgeme formüllerinin nasıl kullanılacağını ve bu formüllerin pratik örneklerle çözmek için nasıl kullanıldığını göstereceğiz.

Trigonometrik fonksiyonun işaretinin altındaki açı bir değil birçok şekilde temsil edilebilir. Örneğin, bir trigonometrik fonksiyonun argümanı ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z biçiminde temsil edilebilir. Bunu gösterelim.

α = 16 π 3 açısını alalım. Bu açı şu şekilde yazılabilir:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Açının temsiline bağlı olarak uygun indirgeme formülü kullanılır.

Aynı açıyı α = 16 π 3 alalım ve tanjantını hesaplayalım

Örnek 1: İndirgeme formüllerini kullanma

α = 16 π 3 , t g α = ?

α = 16 π 3 açısını α = π + π 3 + 2 π 2 olarak temsil edelim.

Açının bu temsili indirgeme formülüne karşılık gelecektir

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Tabloyu kullanarak teğetin değerini belirtiyoruz

Şimdi α = 16 π 3 açısının başka bir gösterimini kullanıyoruz.

Örnek 2: İndirgeme formüllerini kullanma

α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Son olarak yazdığımız açının üçüncü gösterimi için

Örnek 3. İndirgeme formüllerinin kullanılması

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

Şimdi daha karmaşık indirgeme formüllerinin kullanımına bir örnek verelim

Örnek 4. İndirgeme formüllerinin kullanılması

Bir dar açının sinüs ve kosinüsü boyunca 197°'lik bir günah düşünelim.

İndirgeme formüllerini uygulayabilmek için α = 197 ° açısını formlardan birinde temsil etmeniz gerekir.

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Sorunun koşullarına göre açının dar olması gerekir. Buna göre onu temsil etmenin iki yolu var:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Aldık

sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)

Şimdi sinüsleri azaltma formüllerine bakalım ve uygun olanları seçelim.

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270° - 73° + 360°z) = - cos 73°

Anımsatıcı kural

Pek çok indirgeme formülü vardır ve neyse ki bunları ezberlemeye gerek yoktur. Farklı açılar ve trigonometrik fonksiyonlar için indirgeme formüllerinin türetilebileceği düzenlilikler vardır. Bu kalıplara anımsatıcı kurallar denir. Anımsatıcılar ezberleme sanatıdır. Anımsatıcı kural üç bölümden oluşur veya üç aşamadan oluşur.

Anımsatıcı kural

1. Orijinal fonksiyonun argümanı aşağıdaki formlardan biriyle temsil edilir:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

α açısı 0 ile 90 derece arasında olmalıdır.

2. Orijinal trigonometrik fonksiyonun işareti belirlenir. Formülün sağ tarafında yazılan fonksiyon aynı işarete sahip olacaktır.

3. ± α + 2 πz ve π ± α + 2 πz açıları için orijinal fonksiyonun adı değişmeden kalır ve π 2 ± α + 2 πz ve 3 π 2 ± α + 2 πz açıları için sırasıyla şu şekilde değişir: "ortak işlev". Sinüs - kosinüs. Teğet - kotanjant.

İndirgeme formülleri için anımsatıcı kılavuzu kullanmak için, birim çemberin çeyreğine göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleyebilmeniz gerekir. Anımsatıcı kuralı kullanma örneklerine bakalım.

Örnek 1: Anımsatıcı kural kullanma

cos π 2 - α + 2 πz ve t g π - α + 2 πz için indirgeme formüllerini yazalım. α ilk çeyreğin logudur.

1. α koşulu ilk çeyreğin logu olduğundan kuralın ilk noktasını atlıyoruz.

2. cos π 2 - α + 2 πz ve t g π - α + 2 πz fonksiyonlarının işaretlerini belirleyin. π 2 - α + 2 πz açısı aynı zamanda ilk çeyreğin açısıdır ve π - α + 2 πz açısı ikinci çeyrektedir. İlk çeyrekte kosinüs fonksiyonu pozitiftir ve ikinci çeyrekteki teğet eksi işaretine sahiptir. Bu aşamada gerekli formüllerin nasıl görüneceğini yazalım.

çünkü π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Üçüncü noktaya göre π 2 - α + 2 π açısı için fonksiyonun adı Konfüçyüs olarak değişir, π - α + 2 πz açısı için ise fonksiyonun adı aynı kalır. Hadi yazalım:

çünkü π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Şimdi yukarıda verilen formüllere bakalım ve anımsatıcı kuralın çalıştığından emin olalım.

Belirli bir açı olan α = 777° olan bir örneğe bakalım. Sinüs alfayı dar açının trigonometrik fonksiyonuna indirgeyelim.

Örnek 2: Anımsatıcı kural kullanma

1. α = 777 ° açısını gerekli biçimde hayal edin

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Orijinal açı ilk çeyreğin açısıdır. Bu, açının sinüsünün pozitif işaretli olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak elimizde:

3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Şimdi anımsatıcı kuralı kullanırken trigonometrik fonksiyonun işaretini doğru belirlemenin ve açıyı doğru şekilde temsil etmenin ne kadar önemli olduğunu gösteren bir örneğe bakalım. Bir kez daha tekrarlayalım.

Önemli!

α açısı dar olmalı!

5 π 3 açısının tanjantını hesaplayalım. Ana trigonometrik fonksiyonların değer tablosundan hemen t g 5 π 3 = - 3 değerini alabilirsiniz, ancak anımsatıcı kuralı uygulayacağız.

Örnek 3: Anımsatıcı kural kullanma

α = 5 π 3 açısını gerekli formda hayal edelim ve kuralı kullanalım

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Alfa açısını 5 π 3 = π + 2 π 3 biçiminde temsil edersek, anımsatıcı kuralın uygulanmasının sonucu yanlış olacaktır.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Yanlış sonuç, 2 π 3 açısının dar olmamasından kaynaklanmaktadır.

İndirgeme formüllerinin kanıtı, trigonometrik fonksiyonların periyodiklik ve simetri özelliklerine ve ayrıca π 2 ve 3 π 2 açılarına göre kayma özelliğine dayanmaktadır. Tüm indirgeme formüllerinin geçerliliğinin kanıtı, 2 πz terimi dikkate alınmadan gerçekleştirilebilir, çünkü bu, açıdaki bir tam dönüş sayısı kadar bir değişikliği belirtir ve periyodiklik özelliğini tam olarak yansıtır.

İlk 16 formül doğrudan temel trigonometrik fonksiyonların özelliklerinden kaynaklanmaktadır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant.

İşte sinüsler ve kosinüsler için indirgeme formüllerinin bir kanıtı

sin π 2 + α = cos α ve cos π 2 + α = - sin α

Başlangıç ​​noktası, α açısı boyunca bir dönüşten sonra A 1 x, y noktasına ve π 2 + α açısı boyunca bir dönüşten sonra A 2 noktasına giden bir birim daireye bakalım. Her iki noktadan da apsis eksenine dikler çiziyoruz.

İki dik üçgen O A 1 H 1 ve O A 2 H 2 hipotenüs ve komşu açılar açısından eşittir. Daire üzerindeki noktaların konumundan ve üçgenlerin eşitliğinden A 2 noktasının A 2 - y, x koordinatlarına sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Sinüs ve kosinüs tanımlarını kullanarak şunu yazıyoruz:

sin α = y, çünkü α = x, sin π 2 + α = x, çünkü π 2 + α = y

günah π 2 + α = çünkü α, çünkü π 2 + α = - sin α

Trigonometrinin temel özdeşliklerini ve henüz kanıtlanmış olanları dikkate alarak şunu yazabiliriz:

t g π 2 + α = sin π 2 + α çünkü π 2 + α = çünkü α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = çünkü π 2 + α sin π 2 + α = - sin α çünkü α = - tgα

İndirgeme formüllerini π 2 - α argümanıyla kanıtlamak için π 2 + (- α) biçiminde sunulması gerekir. Örneğin:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α

İspat, zıt işaretli argümanlarla trigonometrik fonksiyonların özelliklerini kullanır.

Diğer tüm indirgeme formülleri yukarıda yazılanlara dayanarak kanıtlanabilir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Trigonometri. İndirgeme formülleri.

İndirgeme formüllerinin öğretilmesine gerek yoktur; anlaşılmaları gerekir. Bunların türetilmesi için algoritmayı anlayın. Çok kolay!

Bir birim çember alalım ve üzerine tüm derece ölçülerini (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) yerleştirelim.

Sin(a) ve cos(a) fonksiyonlarını her çeyrekte analiz edelim.

Y ekseni boyunca sin(a) fonksiyonuna ve X ekseni boyunca cos(a) fonksiyonuna baktığımızı unutmayın.

İlk çeyrekte fonksiyonun olduğu açıktır. günah(a)>0
Ve fonksiyon cos(a)>0
İlk çeyrek şu şekilde açıklanabilir: derece ölçüsü(90-α) veya (360+α) gibi.

İkinci çeyrekte fonksiyonun açık olduğu açıktır. günah(a)>0Çünkü Y ekseni bu çeyrekte pozitiftir.
Bir fonksiyon cos(a) çünkü X ekseni bu çeyrekte negatiftir.
İkinci çeyrek (90+α) veya (180-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.

Üçüncü çeyrekte fonksiyonların açık olduğu açıktır. günah(a) Üçüncü çeyrek (180+α) veya (270-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.

Dördüncü çeyrekte fonksiyonun olduğu açıktır. sin(a) çünkü Y ekseni bu çeyrekte negatiftir.
Bir fonksiyon cos(a)>0, çünkü X ekseni bu çeyrekte pozitiftir.
Dördüncü çeyrek (270+α) veya (360-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.

Şimdi indirgeme formüllerinin kendilerine bakalım.

Basitçe hatırlayalım algoritma:
1. Çeyrek.(Her zaman hangi çeyrekte olduğunuza bakın).
2. İmza.(Çeyrekler için pozitif veya negatif kosinüs veya sinüs fonksiyonlarına bakın).
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) varsa, o zaman fonksiyon değişiklikleri.

Ve böylece bu algoritmayı çeyrekler halinde analiz etmeye başlayacağız.

cos(90-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.


İrade cos(90-α) = sin(α)

sin(90-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.


İrade günah(90-α) = cos(α)

cos(360+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.
2. İlk çeyrekte kosinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.

İrade cos(360+α) = cos(α)

sin(360+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.
2. İlk çeyrekte sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade sin(360+α) = sin(α)

cos(90+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.

3. Parantez içinde (90° veya π/2) varsa fonksiyon kosinüsten sinüse değişir.
İrade cos(90+α) = -sin(α)

sin(90+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.

3. Parantez içinde (90° veya π/2) varsa fonksiyon sinüsten kosinüse değişir.
İrade sin(90+α) = cos(α)

cos(180-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.
2. İkinci çeyrekte kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade cos(180-α) = cos(α)

sin(180-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.
2. İkinci çeyrekte sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade günah(180-α) = günah(α)

Üçüncü ve dördüncü çeyreklerden bahsediyorum, benzer şekilde bir tablo oluşturalım:

Abone YOUTUBE'daki kanala ve videoyu izleyin, matematik ve geometri sınavlarına bizimle hazırlanın.