Dik bir üçgenin düz bir çizgi etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisim. Devrimin bedenleri ve yüzeyleri. Görsel Kılavuz (2019)

Görev 16 Birleşik Devlet Sınavı 2015. Dönme organları.

Ivanova E.N.

MBOU Ortaokulu No. 8, Kamensk-Shakhtinsky

Çizgi segmenti AB C, bu parçaya paralel ve ondan 2'ye eşit bir mesafe ile ayrılmış. Devrim yüzeyinin alanını bulun.

Cevap. Gerekli devir yüzeyi, taban yarıçapı 2'ye eşit olan bir silindirin yan yüzeyidir, generatrix 1'e eşittir. Bu yüzeyin alanı 4'e eşittir.

Çizgi segmenti AB uzunluk 1 düz bir çizgi etrafında döner C, bu bölüme dik ve en yakın ucundan belli bir mesafede konumlanmış A 2'ye eşit bir mesafede (düz AB Ve İle aynı düzlemde yer alır). Devrimin yüzey alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey, iç yarıçapı 2, dış yarıçapı 3 olan bir halkadır. Bu halkanın alanı 5'tir.

Çizgi segmenti AB C, bu segmente dik ve ortasından geçiyor. Devrimin yüzey alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey yarıçapı 1 olan bir dairedir. Alanı eşittir.

Çizgi segmenti AB uzunluk 2 düz bir çizgi etrafında döner C A. Devrimin yüzey alanını bulun.

Çizgi segmenti AB C, bu doğru parçasına dik ve noktadan geçen C, bu segmenti 1:2 oranında bölüyoruz. Devrimin yüzey alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey yarıçapı 2 olan bir dairedir. Alanı 4'tür.

Çizgi segmenti AB uzunluk 2 düz bir çizgi etrafında döner C, noktadan geçerek A ve bu segmentle 30°'lik bir açı oluşturuyor. Devrimin yüzey alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey, generatrisi 2'ye eşit olan, tabanın yarıçapı 1'e eşit olan bir koninin yan yüzeyidir. Alanı 2'ye eşittir.

Çizgi segmenti AB uzunluk 3 düz bir çizgi etrafında döner C, noktadan geçerek A ve noktadan uzak B 2'ye eşit bir mesafeye. Devrim yüzeyinin alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey, generatrisi 3'e, tabanın yarıçapı 2'ye eşit olan bir koninin yan yüzeyidir. Alanı 6'ya eşittir.

Çizgi segmenti AB uzunluk 2 düz bir çizgi etrafında döner C bu segmentin ortasından geçerek onunla 30 derecelik bir açı oluşturuyor. Devrimin yüzey alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey, jeneratörleri 1'e eşit olan ve taban yarıçapları 0,5 olan iki yan koni yüzeyinden oluşur. Alanı eşittir.

Çizgi segmenti AB uzunluk 3 düz bir çizgi etrafında döner C, noktadan geçerek C bu parçayı 1:2 oranında bölüyor ve onunla 30 derecelik bir açı oluşturuyor. Devrimin yüzey alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey, jeneratörleri 2 ve 1'e eşit olan ve tabanların yarıçapları sırasıyla 1 ve 0,5'e eşit olan iki yan koni yüzeyinden oluşur. Alanı 2,5'tir.

Çizgi segmenti AB uzunluk 3 düz bir çizgi etrafında döner C onunla aynı düzlemde ve uçlarından aralıklı olarak uzanıyor A Ve B sırasıyla 1 ve 2 mesafelerinde. Devrim yüzeyinin alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey, generatrisi 3'e eşit, tabanların yarıçapları 1 ve 2'ye eşit olan kesik koninin yan yüzeyidir. Alanı 9'a eşittir.

Çizgi segmenti AB uzunluk 2 düz bir çizgi etrafında döner C, onunla aynı düzlemde, en yakın uçtan aralıklı olarak uzanıyor A 1'e eşit bir mesafeye kadar ve bu segmentle 30°'lik bir açı oluşturacak şekilde. Devrimin yüzey alanını bulun.

Cevap. Gerekli yüzey, generatrisi 2'ye eşit, tabanların yarıçapları 1 ve 2'ye eşit olan kesik bir koninin yan yüzeyidir. Alanı 6'ya eşittir.

Bir birim kare döndürülerek elde edilen silindirin yan yüzey alanını bulun ABCD düz bir çizgi etrafında reklam .

Cevap. Gerekli silindir şekilde gösterilmiştir. Tabanının ve generatrisinin yarıçapı 1'e eşittir. Bu silindirin yan yüzey alanı 2'ye eşittir.

Bir dikdörtgenin dönme yüzey alanını bulun ABCD taraflarla AB = 4, MÖ = 3 düz bir çizgi etrafında AB Ve CD .

Cevap. İstenilen cisim taban yarıçapı 2 ve generatrixi 3 olan bir silindirdir. Yüzey alanı 20'dir.

Birim karenin döndürülmesiyle elde edilen bir cismin yüzey alanını bulun ABCD düz bir çizgi etrafında AC. .

Cevap. İstenilen dönme cismi, taban yarıçapları ve yükseklikleri eşit olan iki koninin birleşimidir. Yüzey alanı eşittir.

Döndürülerek elde edilen vücudun yüzey alanını bulun dik üçgen ABC bacaklı AC=BC= 1 düz bir çizgi etrafında AC. .

Cevap. İstenilen koni şekilde gösterilmiştir. Tabanının yarıçapı 1'dir ve jeneratörü eşittir. Bu koninin yüzey alanı eşittir.

Eşkenar üçgenin döndürülmesiyle elde edilen bir cismin toplam yüzey alanını bulun ABC 1. taraf açıortayı içeren çizginin etrafında olacak şekilde CD bu üçgen.

Cevap. İstenilen koni şekilde gösterilmiştir. Tabanının yarıçapı 0,5, generatrisi 1'dir. Bu koninin toplam yüzey alanı 3/4'tür.

Eşkenar üçgenin devriminin yüzey alanını bulun ABC 1. taraf düz bir çizgi etrafında olacak şekilde AB .

Cevap. İstenilen dönme gövdesi, yarıçapı eşit ve yüksekliği 0,5 olan ortak bir tabana sahip iki koniden oluşur. Yüzey alanı eşittir.

Bir ikizkenar yamuğun dönme gövdesinin hacmini bulun ABCD yanları olan reklam Ve M.Ö., 1'e eşit ve bazlar AB Ve CD, düz çizgi etrafında sırasıyla 2 ve 1'e eşit AB .

Cevap. İstenilen dönme gövdesi, taban yarıçapı ve yüksekliği 1 olan, tabanları üzerinde 0,5 yüksekliğinde konilerin inşa edildiği bir silindirdir. Hacmi eşittir.

Dikdörtgen bir yamuğun devrim gövdesinin hacmini bulun ABCD nedenlerle AB Ve CD, sırasıyla 2 ve 1'e eşit, düz çizginin etrafında daha küçük olan kenar 1'e eşit AB .

Cevap. Gerekli devir gövdesi, taban yarıçapı ve yüksekliği 1'e eşit olan, bir koninin oluşturulduğu temelde yüksekliği 1 olan bir silindirdir. Hacmi eşittir.

Düzgün bir altıgenin dönme cismi hacmini bulun ABCDEF 1. taraf düz bir çizgi etrafında olacak şekilde reklam .

Cevap. İstenilen dönme gövdesi, taban yarıçapı eşit ve yüksekliği 1 olan bir silindir ile taban yarıçapı ve yüksekliği 0,5 olan iki koniden oluşur. Hacmi eşittir.

ABCDEFşekilde gösterilen ve düz bir çizgi etrafında üç birim kareden oluşan A.F. .

Cevap. İstenilen devir gövdesi, tabanları 2 ve 1, yüksekliği 1 olan iki silindirden oluşur. Hacmi 5'tir.

Bir çokgenin dönüş katının hacmini bulun ABCDEFGHşekilde gösterilen ve düz bir çizgi etrafında dört birim kareden oluşan C kenarların orta noktalarından geçerek AB Ve E.F. .

Cevap. İstenilen dönme gövdesi, yüksekliği 1 ve taban yarıçapları 1,5 ve 0,5 olan iki silindirden oluşur. Hacmi 2,5'tir.

Bir çokgenin dönüş katının hacmini bulun ABCDEFGHşekilde gösterilen ve düz bir çizgi etrafında beş birim kareden oluşan C kenarların orta noktalarından geçerek AB Ve E.F. .

Cevap. 1. İstenilen devir gövdesi, taban yarıçapı 1,5 ve yüksekliği 2 olan, taban yarıçapı 0,5 ve yüksekliği 1 olan bir silindirin kesildiği bir silindirdir, hacmi 4,25'tir.

Birim küpün dönme gövdesinin hacmini bulun ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 düz bir çizgi etrafında A.A. 1 .

Cevap. İstenilen devir gövdesi, yarıçapı eşit ve yüksekliği 1'e eşit olan bir silindirdir. Hacmi 2'ye eşittir.

Düzenli bir üçgen prizmanın dönme cismi hacmini bulun ABCA 1 B 1 C A.A. 1 .

Cevap. İstenilen dönme gövdesi, taban yarıçapı ve yüksekliği 1'e eşit olan bir silindirdir. Hacmi eşittir.

Düzenli bir altıgen prizmanın devrim cismin hacmini bulun ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 e 1 F 1, bir çizgi etrafında tüm kenarları 1'e eşit olan A.A. 1 .

Cevap. İstenilen devir gövdesi, yarıçapı 2'ye ve yüksekliği 1'e eşit olan bir silindirdir. Hacmi 4'e eşittir.

Düzenli dörtgen piramidin devrim cismin hacmini bulun SABCD bir çizgi etrafında tüm kenarları 1'e eşit olan İle yüksekliği içeren SH bu piramit.

Cevap. İstenilen dönme cismi, taban yarıçapı ve yüksekliği eşit olan bir konidir.

Hacmi eşittir.

Bir birim tetrahedronun dönme gövdesinin hacmini bulun ABCD kaburga çevresinde AB .

Cevap. 1. İstenilen dönme gövdesi, ortak yarıçaplı ve yüksekliği 0,5 olan iki koniden oluşur. Hacmi 0,25'tir.

Bir birim düzenli oktahedronun devrim gövdesinin hacmini bulun S'ABCDS" düz bir çizgi etrafında S"S" .

Cevap. İstenilen dönüş gövdesi, ortak yarıçapa ve eşit yüksekliğe sahip iki koniden oluşur. Hacmi eşittir.

Tüm dihedral açılarŞekilde gösterilen çokyüzlülerin her biri düzdür. Bu çokyüzlünün bir çizgi etrafındaki devriminin gövdesinin hacmini bulun reklam .

Cevap. İstenilen dönme cismi, yarıçapı 2'ye ve yüksekliği 2'ye eşit olan bir silindirdir. Hacmi 10'a eşittir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

T, apsis ekseni etrafında dönmeyle oluşan bir devrim cismi olsun kavisli yamuküst yarı düzlemde yer alan ve apsis ekseni, x=a ve x=b düz çizgileri ve y=f(x) sürekli fonksiyonunun grafiği ile sınırlanan.

Bunun böyle olduğunu kanıtlayalım devrimin gövdesi küp şeklindedir ve hacmi formülle ifade edilir

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

İlk olarak, dönme eksenine dik olan Oyz düzlemini \Pi olarak seçersek, bu dönme kütlesinin düzenli olduğunu kanıtlarız. Oyz düzleminden x kadar uzakta bulunan kesitin yarıçapı f(x) olan bir daire olduğuna ve S(x) alanının \pi f^2(x)'e eşit olduğuna dikkat edin (Şekil 46). Dolayısıyla S(x) fonksiyonu f(x)'in sürekliliğinden dolayı süreklidir. Sonraki ise S(x_1)\leqslant S(x_2), o zaman bu şu anlama gelir . Ancak kesitlerin Oyz düzlemine izdüşümleri, O merkezli f(x_1) ve f(x_2) yarıçaplı dairelerdir ve O'dan itibaren f(x_1)\leqslant f(x_2) bundan, yarıçapı f(x_1) olan bir dairenin, yarıçapı f(x_2) olan bir dairenin içinde bulunduğu sonucu çıkar.

Yani devrimin gövdesi düzenlidir. Bu nedenle küp şeklindedir ve hacmi formülle hesaplanır.

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Eğrisel bir yamuk, hem altından hem de üstünden y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) eğrileriyle sınırlanmışsa, o zaman

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Formül (3), dönen bir şeklin sınırının parametrik denklemlerle belirlendiği durumda, dönen bir cismin hacmini hesaplamak için de kullanılabilir. Bu durumda, belirli integral işaretinin altındaki değişken değişikliğini kullanmanız gerekir.

Bazı durumlarda, dönme cisimlerini düz dairesel silindirlere değil, farklı türden şekillere ayırmanın uygun olduğu ortaya çıkıyor.

Örneğin, bulalım Kavisli bir yamuğun ordinat ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmi. İlk olarak, tabanında doğru parçasının bulunduğu, yüksekliği y# olan bir dikdörtgenin döndürülmesiyle elde edilen hacmi bulalım. Bu hacim iki düz dairesel silindirin hacimleri farkına eşittir.

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ancak artık gerekli hacmin yukarıdan ve aşağıdan şu şekilde tahmin edildiği açıktır:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Buradan kolayca takip edilir Ordinat ekseni etrafında dönen bir cismin hacminin formülü:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Örnek 4. R yarıçaplı bir topun hacmini bulalım.

Çözüm. Genelliği kaybetmeden, merkezi orijinde olan R yarıçaplı bir çemberi ele alacağız. Ox ekseni etrafında dönen bu daire bir top oluşturur. Bir dairenin denklemi x^2+y^2=R^2'dir, yani y^2=R^2-x^2. Dairenin ordinat eksenine göre simetrisini hesaba katarak önce gerekli hacmin yarısını buluruz

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Bu nedenle topun tamamının hacmi eşittir \frac(4)(3)\pi R^3.

Örnek 5. Yüksekliği h ve taban yarıçapı r olan bir koninin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Ox ekseni h yüksekliğiyle çakışacak şekilde bir koordinat sistemi seçelim (Şekil 47) ve koninin tepe noktasını koordinatların orijini olarak alalım. Daha sonra OA düz çizgisinin denklemi y=\frac(r)(h)\,x biçiminde yazılacaktır.

Formül (3)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Örnek 6. Asteroitin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulalım \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Şek. 48).

Çözüm. Hadi bir asteroit inşa edelim. Asteroitin ordinat eksenine göre simetrik olarak yerleştirilmiş üst kısmının yarısını ele alalım. Formül (3)'ü kullanarak ve belirli integral işareti altındaki değişkeni değiştirerek, yeni t değişkeni için integral sınırlarını buluruz.

Eğer x=a\cos^3t=0 ise t=\frac(\pi)(2) ve eğer x=a\cos^3t=a ise t=0 olur. y^2=a^2\sin^6t olduğunu düşünürsek ve dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, şunu elde ederiz:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Asteroitin dönmesiyle oluşan tüm vücudun hacmi \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Örnek 7. X ekseni ve sikloidin ilk yayının sınırladığı eğrisel bir yamuğun ordinat ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulalım. \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t))).\end(cases).

Çözüm. Formül (4)'ü kullanalım: V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx ve sikloidin ilk yayının t değişkeni 0'dan 2\pi'ye değiştiğinde oluştuğunu hesaba katarak integral işaretinin altındaki değişkeni değiştirin. Böylece,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\sağ)= 6\pi^3a^3. \end(hizalanmış)

Bir silindir (daha kesin olarak dairesel bir silindir), paralel öteleme ile birleştirilen iki daireden ve bu dairelerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan bir gövdedir. Çemberlere taban denir

silindir ve dairelerin karşılık gelen noktalarını birleştiren bölümler silindirin jeneratörleridir. Şekil 156 bir silindiri göstermektedir. O merkezli daireler onu oluşturan tabanlardır.

Silindirin tabanlarının eşit ve paralel düzlemlerde olduğu, silindirin jeneratörlerinin paralel ve eşit olduğu kanıtlanabilir. Silindirin yüzeyi taban ve yan yüzeyden oluşur. Yan yüzey generatrislerden oluşur.

Jeneratörleri taban düzlemlerine dik ise silindire düz denir. Şekil 155, b eğimli bir silindiri ve Şekil 155, a - düz olanı göstermektedir.

Aşağıda sadece düz silindiri ele alacağız ve onu kısaca silindir olarak adlandıracağız. Bir dikdörtgenin bir kenarından birinin etrafında eksen olarak döndürülmesiyle elde edilen bir gövde olarak düşünülebilir (Şek. 156).

Bir silindirin yarıçapı tabanının yarıçapıdır. Silindirin yüksekliği taban düzlemleri arasındaki mesafedir. Silindirin ekseni tabanların merkezlerinden geçen düz bir çizgidir. Jeneratörlere paraleldir. Bir silindirin, silindir ekseninden geçen bir düzlemle kesitine eksenel kesit denir. Düz bir silindirin genatrisinden geçen ve bu generatriks boyunca çizilen eksenel kesite dik olan düzleme silindirin teğet düzlemi denir.

Şekil 157'de kesit OO silindirinin ekseninden geçer, yani eksenel bir kesittir.

Silindirin eksenine dik bir düzlem, yan yüzeyini tabanın çevresine eşit bir daire boyunca keser.

Bir silindirin içine yazılan bir prizma, tabanları silindirin tabanlarına yazılan eşit çokgenler olan bir prizmadır. Yan kaburgaları silindiri oluşturur. Bir prizmanın, tabanları silindirin tabanları etrafında çevrelenen eşit çokgenler ise, bir silindirin etrafında çevrelendiği söylenir. Yüzlerinin düzlemleri silindirin yan yüzeyine temas ediyor.

Şekil 158, bir silindirin içine yazılmış bir prizmayı göstermektedir. Şekil 159'da silindirin yanında bir prizma gösterilmektedir.

Örnek. Silindirin içine düzenli bir dörtgen prizma yazın.

Çözüm. 1) Silindirin tabanına bir ABCD karesi yazın (Şek. 158).

2) Jeneratörleri çizelim

3) Bu jeneratörlerin bitişik çiftleri aracılığıyla üst tabanı akorlar boyunca kesen düzlemler çizeriz

4) İstenilen prizma (düzenli ve yazılı prizma tanımlarına göre).

53. Koni.

Bir koni (daha doğrusu dairesel bir koni), bir daireden - koninin tabanı, bu dairenin düzleminde olmayan bir nokta - koninin tepesi ve koninin tepesini bağlayan tüm bölümlerden oluşan bir gövdedir. tabanın noktaları ile koni. Koninin tepe noktasını taban dairesinin noktalarına bağlayan bölümlere koninin üreteçleri denir. Koninin yüzeyi bir taban ve bir yan yüzeyden oluşur. Şekil 160a dairesel bir koniyi göstermektedir. S koninin tepe noktasıdır, O noktasında merkezi olan bir daire koninin tabanıdır, SA, SB ve SC koninin üreteçleridir.

Koninin tepesini tabanın merkezine bağlayan düz çizgi taban düzlemine dik ise koniye düz denir. Şekil 160, b eğimli bir koniyi göstermektedir ve Şekil 160, a - düz bir koniyi göstermektedir. Aşağıda sadece düz koniyi ele alacağız ve onu kısaca koni olarak adlandıracağız. Dik dairesel bir koni, dik bir üçgenin bacağı etrafında eksen olarak döndürülmesiyle elde edilen bir cisim olarak düşünülebilir (Şekil 161).

Bir koninin yüksekliği, tepesinden taban düzlemine inen dik açıdır. Düz bir koni için yüksekliğin tabanı tabanın merkezine denk gelir. Sağ koninin ekseni, yüksekliğini içeren düz çizgidir.

Bir koninin kendi ekseninden geçen bir düzleme göre kesitine eksenel kesit denir. Koninin genatrisinden geçen ve bu generatriks boyunca çizilen eksenel kesite dik olan düzleme koninin teğet düzlemi denir.

Şekil 162, koninin eksenel bölümü olan kendi ekseninden geçen bir koninin bir bölümünü göstermektedir.

Koninin eksenine dik bir düzlem, koniyi bir daire içinde ve yan yüzeyi - merkezi koninin ekseninde olan bir daire boyunca keser.

Koninin tabanına dik olan bir düzlem ondan daha küçük bir koniyi keser. Geriye kalan kısma kesik koni denir (Şek. 163).

Bir koninin içine yazılan bir piramit, tabanı koninin tabanının dairesine yazılan bir çokgen olan ve tepe noktası koninin tepe noktası olan bir piramittir. Bir koni içine yazılan bir piramidin yan kenarları koniyi oluşturur. Bir piramidin tabanı koninin tabanı etrafında çevrelenmiş bir çokgen ise ve tepe noktası koninin tepe noktasıyla çakışıyorsa, bir piramidin bir koni etrafında çevrelendiği söylenir. Tarif edilen piramidin yan yüzlerinin düzlemleri, koninin teğet düzlemleridir.

Şekil 164, bir koninin içine yerleştirilmiş bir piramidi göstermektedir ve Şekil 165, bir piramidin içine yazılmış bir koniyi, yani bir koninin etrafında çevrelenmiş bir piramidi göstermektedir.

54. Top.

Top, uzaydaki tüm noktalardan daha fazla olmayan bir mesafede bulunan bir cisimdir.

belirli bir noktadan verilir. Bu noktaya topun merkezi, bu mesafeye de topun yarıçapı denir. Şekil 166, B yarıçaplı bir noktada merkezi olan bir topu göstermektedir. Noktaların bu topa ait olduğuna dikkat edin. Bir topun sınırına küresel yüzey veya küre denir. Şekil 166'da A, B ve D noktaları küreye aittir ancak örneğin M noktası küreye ait değildir. Böylece “küre noktaları”, topun merkezden yarıçapa eşit mesafede kaldırılan noktalarının tümü demektir. Bir topun merkezini küresel yüzey üzerindeki bir noktaya bağlayan herhangi bir parçaya yarıçap da denir. Küresel yüzeyin iki parçasını birbirine bağlayan ve topun merkezinden geçen parçaya çap denir. Herhangi bir çapın uçlarına topun taban tabana zıt noktaları denir.

Bir top, tıpkı bir silindir ve bir koni gibi, bir devrim cismidir. Yarım dairenin iki metrelik ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir (Şek. 167).

Bir topun düzleme göre her bölümü bir dairedir. Bu dairenin merkezi, topun merkezinden kesme düzlemine çizilen dikmenin tabanıdır.

O merkezli ve R yarıçaplı bir top bir düzlemle kesişirse, T. 3.5'e göre kesitte yarıçaplı bir daire elde edilir. merkez K. Topun kesitinin düzlem tarafından yarıçapı formül kullanılarak hesaplanabilir

Formülden, merkezden eşit uzaklıktaki düzlemlerin topla eşit dairelerde kesiştiği açıktır. Kesitin yarıçapı, kesme düzlemi bilyenin merkezine ne kadar yakınsa o kadar büyüktür, yani OK mesafesi o kadar küçüktür. En büyük yarıçap, topun merkezinden geçen bir düzlemin kesitine sahiptir. Bu dairenin yarıçapı topun yarıçapına eşittir.

Topun merkezinden geçen düzleme merkez düzlemi denir. Kürenin çap düzlemine göre kesitine büyük daire, kürenin kesitine ise büyük daire denir. Şekil 168'de a düzlemi çap düzlemidir, K yarıçaplı daire topun büyük dairesidir ve karşılık gelen daire de büyük dairedir.

Bir topun herhangi bir çapsal düzlemi onun simetri düzlemidir. Topun merkezi simetri merkezidir.

Küresel yüzeyin A noktasından geçen ve A noktasına çizilen yarıçapa dik olan düzleme teğet düzlem denir. A noktasına temas noktası denir (Şekil 169).

Teğet düzlemin topla tek bir ortak noktası vardır; temas noktası.

Küresel bir yüzeyin A noktasından bu noktaya çizilen yarıçapa dik olarak geçen düz çizgiye teğet denir (Şekil 169).

Küresel yüzey üzerindeki herhangi bir noktadan sonsuz sayıda teğet geçer ve bunların hepsi topun teğet düzleminde yer alır.

Küresel bir bölüm, bir topun kendisinden bir düzlemle kesilen kısmıdır. Küresel katman topun bulunduğu kısımdır.

ikisi arasında paralel düzlemler, topla kesişiyor (Şek. 170).

Küresel bir segment ve coius'tan aşağıdaki gibi küresel bir sektör elde edilir. Küresel bir bölüm yarım küreden daha küçükse, o zaman küresel bölüm, tepe noktası topun merkezinde olan ve tabanı bölümün tabanı olan bir koni ile tamamlanır. Segment yarım küreden daha büyükse, belirtilen koni ondan çıkarılır (Şek. 171).