Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение Неравенства с двумя переменными и их системы

22.01.2024

Часто приходится изображать на координатной плоскости мно-жество решений неравенства с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

2у + Зх < 6.

Сначала построим прямую. Для этого запишем неравенство в виде уравнения 2у + Зх = 6 и выразим y. Таким образом, получим: y=(6-3 x)/2.

Эта прямая раз-бивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее.

Возь-мем из каждой области по контрольной точке , например А (1;1) и В (1; 3)

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + Зх < 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2∙3 + 3∙1 < 6.

Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + Зх = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той об-ласти, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.

Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + Зх < 6.

Пример

Изобразим множество решений неравенства х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 > 0 на координатной плоскости.

Построим сначала график уравнения х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 = 0. Вы-делим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 2 2 .

Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.

Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность пунктирной линией.

Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 ме-няет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.

Пример

Изобразим на координатной плоскости множество решений нера-венства

(у - х 2)(у - х - 3) < 0.

Сначала построим график уравнения (у - х 2)(у - х - 3) = 0. Им яв-ляется парабола у = х 2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х 2)(у - х - 3) проис-ходит только на этих линиях. Для точки А (0; 5) определим знак это-го выражения: (5- 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для кото-рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Алгоритм решения неравенств с двумя переменными

1. Приведем неравенство к виду f (х; у) < 0 (f (х; у) > 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)

2. Записываем равенство f (х; у) = 0

3. Распознаем графики, записанные в левой части.

4. Строим эти графики. Если неравенство строгое (f (х; у) < 0 или f (х; у) > 0), то - штрихами, если неравенство нестрогое (f (х; у) ≤ 0 или f (х; у) ≥ 0), то - сплошной линией.

5. Определяем, на сколько частей графики разбили координатную плоскость

6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения f (х; у)

7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов)

8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными

Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.

Уравнение с двумя переменными;

Неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;

Здесь х и у - переменные, р - выражение, от них зависящее

Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.

Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу - найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.

Пример 1 - решить уравнение и неравенство:

Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.

Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:

Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую

Рис. 1. График уравнения, пример 1

Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х 0 , х 0 +1)

Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х 0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .

Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.

Пример 2 - решить уравнение и неравенство:

Мы знаем, что заданное уравнение - это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

В произвольной точке х 0 уравнение имеет два решения: (х 0 ; у 0) и (х 0 ; -у 0).

Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).

Рассмотрим уравнение с модулями.

Пример 3 - решить уравнение:

В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х 0 ; у 0) является решением, то и точка (х 0 ; -у 0) - также решение, точки (-х 0 ; у 0) и (-х 0 ; -у 0) также являются решением.

Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.

Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.

Пример 4 - изобразить множество решений неравенства:

Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.

Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D 1 . Между отрезком ломаной и прямой - область D 2 , ниже прямой - область D 3 , между отрезком ломаной и прямой - область D 4

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.

В области возьмем точку (0;1). Имеем:

В области возьмем точку (10;1). Имеем:

Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

В области возьмем точку (0;-5). Имеем:

Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

Решение неравенства с двумя переменными , а тем более системы неравенств с двумя переменными , представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода. Попробуем в нем разобраться.

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

y > f(x); y ≥ f(x); y < f(x); y ≤ f(x).

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Какое множество точек задается неравенством x · y ≤ 4?

Решение.

1) Строим график уравнения x · y = 4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y = 4/x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.

2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2).
Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.

Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y = 4/x, рисуем сплошной линией.

Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом (рис. 1).

Задача 2.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{ y > x 2 + 2;
{y + x > 1;
{ x 2 + y 2 ≤ 9.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций (рис. 2) :

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – прямая

x 2 + y 2 = 9 – окружность.

1) y > x 2 + 2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 5 > 0 2 + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x 2 + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x > 1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 > 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 9.
Проверяем неравенство: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 9, не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 9, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку (рис. 3) .

(рис. 4) .

Задача 3.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой:
{x 2 + y 2 ≤ 16;
{x ≥ -y;
{x 2 + y 2 ≥ 4.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций:

x 2 + y 2 = 16 – окружность,

x = -y – прямая

x 2 + y 2 = 4 – окружность (рис. 5) .

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Берем точку (0; 0), которая лежит внутри окружности x 2 + y 2 = 16.
Проверяем неравенство: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 16, удовлетворяют первому неравенству системы.
Закрасим их красной штриховкой.

Берем точку (1; 1), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 1 ≥ -1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой x = -y, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их синей штриховкой.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Берем точку (0; 5), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 4.
Проверяем неравенство: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 4, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их голубым цветом.

В данной задаче все неравенства нестрогие, значит, все границы рисуем сплошной линией. Получаем следующую картинку (рис. 6) .

Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис 7) .

Остались вопросы? Не знаете, как решить систему неравенств с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 1

Неравенства с двумя переменными Неравенства 3х – 4у  0; и являются неравенствами с двумя переменными х и у. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство. При х = 5 и у = 3 неравенство 3х - 4у  0 обращается в верное числовое неравенство 3  0. Пара чисел (5;3) является решением данного неравенства. Пара чисел (3;5) не является его решением.

Является ли пара чисел (-2; 3) решением неравенства: № 482 (б, в) Не является Является

Решением неравенства называется упорядоченная пара действительных чисел, обращающая это неравенство в верное числовое неравенство. Графически это соответствует заданию точки координатной плоскости. Решить неравенство - значит найти множество его решений

Неравенства с двумя переменными имеют вид: Множество решения неравенства - совокупность всех точек координатной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству.

Множества решения неравенства F(x,y) ≥ 0 х у F(x,y)≤0 х у

F(x, у)>0 F(x, у)

Правило пробной точки Построить F(x ; y)=0 Взяв из какой - либо области пробную точку установить, являются ли ее координаты решением неравенства Сделать вывод о решении неравенства х у 1 1 2 А(1;2) F(x ; y)=0

Линейные неравенства с двумя переменными Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ax + bx +c  0 или ax + bx +c

Найдите ошибку! № 484 (б) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Решить графически неравенство: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Строим сплошными линиями графики:

Определим знак неравенства в каждой из областей -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Решение неравенства - множество точек, из областей, содержащих знак плюс и решения уравнения -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Решаем вместе № 485 (б) № 486 (б, г) № 1. Задайте неравенством и изобразите на координатной плоскости множество точек, у которых: а) абсцисса больше ординаты; б) сумма абсциссы и ординаты больше их удвоенной разности.

Решаем вместе № 2. Задайте неравенством открытую полуплоскость, расположенную выше прямой АВ, проходящей через точки А(1;4) и В(3;5). Ответ: у  0,5х +3,5 № 3. При каких значениях b множество решений неравенства 3х – b у + 7  0 представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше прямой 3х – b у + 7 = 0. Ответ: b  0.

Домашнее задание П. 21, № 483; № 484(в,г); № 485(а); № 486(в).

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 2

Системы неравенств с двумя переменными

Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений переменных, которая каждое из неравенств системы в верное числовое неравенство. № 1. Изобразить множество решений систем неравенств. № 496 (устно)

а) x у 2 2 x у 2 2 б)

Решаем вместе № 1. При каких значениях k система неравенств задаёт на координатной плоскости треугольник? Ответ: 0

Решаем вместе x у 2 2 2 2 № 2. На рисунке изображён треугольник с вершинами А(0;5), В(4;0), С(1;-2), D(-4 ;2). Задайте этот четырёхугольник системой неравенств. А В С D

Решаем вместе № 3. При каких k и b множеством точек координатной плоскости, задаваемым системой неравенств является: а)полоса; б) угол; в) пустое множество. Ответ: а) k= 2,b  3; б) k ≠ 2, b – любое число; в) k = 2; b

Решаем вместе № 4. Какая фигура задаётся уравнением? (устно) 1) 2) 3) № 5. Изобразите на координатной плоскости множество решений точек, задаваемое неравенством.

Решаем вместе № 497(в,г), 498(в)

Домашнее задание П.22 №496, №497(а,б), №498(а,б), № 504.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 3

Найдите ошибку! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Найдите ошибку! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2

Определите неравенство 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4

0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Определите неравенство

0 - 3 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 Определите знак неравенства ≤

Решить графически систему неравенств -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств Преобразуем первое неравенство системы:

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными Получим равносильную систему

Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств

Решаем вместе № 502 Сборник Галицкого. № 9.66 б) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4

. № 9.66(в) Решаем вместе 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2

Решаем вместе № 9.66(г) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 |y|

Решить неравенство: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1

0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Запишите систему неравенств

11:11 3) Какую фигуру задает множество решений системы неравенств? Найдите площадь каждой фигуры. 6)Сколько пар натуральных чисел являются решениями системы неравенств? Вычислите сумму всех таких чисел. Решение тренировочных упражнений 2) Запишите систему неравенств с двумя переменными, множество решений которой изображено на рисунке 0 2 х у 2 1) Изобразите на координатной плоскости множество решений системы: 4) Задайте системой неравенств кольцо, изображенное на рисунке. 5)Решите систему неравенств у х 0 5 10 5 10

Решение тренировочных упражнений 7) Вычислите площадь фигуры, заданной множеством решений системы неравенств и найдите наибольшее расстояние между точками этой фигуры 8) При каком значении m система неравенств имеет только одно решение? 9)Укажите какие-нибудь значения k и b , при которых система неравенств задает на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.

Это интересно Английский математик Томас Гарриот (Harriot T., 1560-1621) ввёл знакомый нам знак неравенства, аргументируя его так: "Если символом равенства служат два параллельных отрезка, то символом неравенства должны быть пересекающиеся отрезки". В 1585 году молодой Гарриот был послан королевой Англии в исследовательскую экспедицию по Северной Америке. Там он увидел популярную среди индейцев татуировку в виде Вероятно поэтому Гарриот предложил знак неравенства в двух его видах: ">" больше, чем… и "

Это интересно Символы ≤ и ≥ нестрогого сравнения предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид.

Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:

(или знак )

где – некоторое выражение с данными переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.

Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.

Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид

Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.

Пример 1. Решить систему

Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):

Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.

Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).

Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.