Legyen az y = f(x) függvény az X intervallumban definiálva. Származék az y = f(x) függvényt az x o pontban határértéknek nevezzük

= .

Ha ez a határ véges, akkor az f(x) függvényt hívjuk meg megkülönböztethető pontban x o;

Ráadásul ezen a ponton szükségszerűen folyamatosnak bizonyul. Ha a vizsgált határérték egyenlő  (vagy - ), akkor feltéve, hogy a függvény a pontban o X Ha a vizsgált határérték egyenlő  (vagy - ), akkor feltéve, hogy a függvény a pontban o folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvénynek a pontja van.

végtelen származéka

A származékot a szimbólumok jelölik

y , f (x o), , . A derivált megtalálását ún különbségtétel funkciókat. A származék geometriai jelentése hogy a származéka az lejtő Ha a vizsgált határérték egyenlő  (vagy - ), akkor feltéve, hogy a függvény a pontban o ; egy adott pontban az y=f(x) görbe érintője fizikai jelentése - az, hogy az út időbeli deriváltja a mozgó pont pillanatnyi sebessége egyenes mozgás

s = s(t) a t o időpontban. Ha Vel

konstans szám, és u = u(x), v = v(x) néhány differenciálható függvény, akkor a következő differenciálási szabályok érvényesek:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2; 5) ha y = f(u), u = (x), azaz. y = f((x)) -összetett funkció vagy szuperpozíció

,  és f differenciálható függvényekből áll, majd , vagy

6) ha egy y = f(x) függvényre van inverz differenciálható x = g(y) függvény, és  0, akkor .

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Számítsuk ki az y=u v , (u>0) hatványexponenciális kifejezés deriváltját, ahol uÉs v a függvény lényege től Ha a vizsgált határérték egyenlő  (vagy - ), akkor feltéve, hogy a függvény a pontban, amelynek deriváltjai egy adott pontban vannak te",v".

Az y=u v egyenlőség logaritmusait véve ln y = v ln u.

Származékok egyenlővé tétele tekintetében Ha a vizsgált határérték egyenlő  (vagy - ), akkor feltéve, hogy a függvény a pontban az eredményül kapott egyenlőség mindkét oldaláról a 3., 5. szabály és a logaritmikus függvény deriváltjának képlete segítségével a következőket kapjuk:

y"/y = vu"/u +v" ln u, ahonnan y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Például, ha y = x sin x, akkor y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Ha az y = f(x) függvény a pontban differenciálható x, azaz véges deriváltja van ezen a ponton y", akkor = y"+, ahol 0 х 0-nál; így  y = y" х +  x.

A függvénynövekmény fő, x-hez képest lineáris részét hívjuk differenciális funkciókatés dy-vel jelöljük: dy = y" х. Ha ebbe a képletbe y=x-et teszünk, akkor dx = x"х = 1х =х, tehát dy=y"dx, azaz a szimbólum A származékos jelölést törtnek tekinthetjük.

Funkciónövekmény  y a görbe ordinátájának növekménye, és a d differenciál y az érintő ordináta növekménye.

Keressük meg az y=f(x) függvénynek az y = f (x) deriváltját. Ennek a származéknak a származékát ún másodrendű származék f(x), vagy függvények második származék, .

és ki van jelölve

A következők azonos módon vannak meghatározva és jelölve: - ,

harmadrendű származék

negyedrendű származék - és általában - .

n-edrendű származéka.15. 3. példa

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! Megoldás.

A 3. szabály szerint y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1)cos x. 3.16 Példa

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!. = .

n-edrendű származéka.17. Keresse meg y", y = tan x + . Az összeg és a hányados megkülönböztetésének szabályait felhasználva a következőket kapjuk: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + Keresse meg a származékot

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!összetett funkció .

ru

Lelet Származék A differenciálás deriváltja, szabályai és képletei

= .

Legyen az y = f(x) függvény az X intervallumban definiálva. véges, akkor az f(x) függvényt hívjuk meg megkülönböztethető pontban x o; Ráadásul ezen a ponton szükségszerűen folyamatosnak bizonyul.

Ha a vizsgált határérték egyenlő ¥ (vagy - ¥), akkor feltéve, hogy a függvény a pontban x o folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvénynek a pontja van x o végtelen derivált.

A származékot a szimbólumok jelölik

y ¢, f ¢(x o), , .

A derivált megtalálását ún A derivált megtalálását ún funkciókat. Geometriai jelentés származéka az, hogy a derivált az y=f(x) görbe érintőjének meredeksége egy adott pontban x o; fizikai jelentése - az, hogy az út időbeli deriváltja egy mozgó pont pillanatnyi sebessége egyenes vonalú mozgás közben s = s(t) a t o pillanatban.

Ha Ha konstans szám, és u = u(x), v = v(x) néhány differenciálható függvény, akkor a következő differenciálási szabályok érvényesek:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) ha y = f(u), u = j(x), azaz. y = f(j(x)) - összetett funkció vagy szuperpozíció, j és f differenciálható függvényekből áll, majd , vagy

6) ha egy y = f(x) függvényre van egy inverz differenciálható függvény x = g(y), és ¹ 0, akkor .

A derivált meghatározása és a differenciálás szabályai alapján lehetőség nyílik a főbb elemi függvények táblázatos deriváltjainak összeállítására.

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m О R).

2. (a u)" = a u lna× u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u× u".

7. (cos u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Számítsuk ki az y=u v , (u>0) hatványexponenciális kifejezés deriváltját, ahol uÉs v a függvény lényege től Ha a vizsgált határérték egyenlő  (vagy - ), akkor feltéve, hogy a függvény a pontban, amelynek deriváltjai egy adott pontban vannak te",v".

Az y=u v egyenlőség logaritmusait véve ln y = v ln u.

Származékok egyenlővé tétele tekintetében Ha a vizsgált határérték egyenlő  (vagy - ), akkor feltéve, hogy a függvény a pontban az eredményül kapott egyenlőség mindkét oldaláról a 3., 5. szabály és a logaritmikus függvény deriváltjának képlete segítségével a következőket kapjuk:

y"/y = vu"/u +v" ln u, ahonnan y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Például, ha y = x sin x, akkor y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).

Ha az y = f(x) függvény a pontban differenciálható x, azaz véges deriváltja van ezen a ponton y", akkor = y"+a, ahol a®0 Dх® 0-nál; ezért D y = y" Dх + a x.

A függvénynövekmény Dx-hez képest lineáris fő részét hívjuk differenciál funkcióés dy-vel jelöljük: dy = y" Dx. Ha ebbe a képletbe y=x-et teszünk, akkor dx = x"Dx = 1×Dx = Dx, tehát dy=y"dx, azaz a derivált jelölésére szolgáló szimbólum törtnek tekinthető.

D függvény növekménye y a görbe ordinátájának növekménye, és a d differenciál y az érintő ordináta növekménye.

Keressük meg az y=f(x) függvény deriváltját y ¢= f ¢(x). Ennek a származéknak a származékát ún másodrendű származék f(x), vagy függvények második származék,és ki van jelölve .

A következők azonos módon vannak meghatározva és jelölve:

harmadrendű származék - ,

negyedrendű származék -

és általában n-edrendű származéka - .

3. példa.15. Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)×sin x függvény deriváltját!

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! A 3. szabály szerint y"=(3x3 -2x+1)"×sin x + (3x3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

3.16. példa. Keresse meg y", y = tan x + .

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! Az összeg és a hányados megkülönböztetésének szabályait felhasználva a következőket kapjuk: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

3. példa.17. Keresse meg az y= komplex függvény deriváltját,
u=x 4 +1.

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! A komplex függvény differenciálási szabálya szerint a következőt kapjuk: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Mivel u=x 4 +1, akkor
(2 x 4 +2+ .

3. példa.18.

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! Képzeljük el az y= függvényt két függvény szuperpozíciójaként: y = e u és u = x 2 . Van: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. Behelyettesítés x 2 helyett u, azt kapjuk, hogy y=2x .

3. példa.19. Határozzuk meg az y=ln sin x függvény deriváltját.

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! Jelöljük u=sin x, akkor az y=ln u komplex függvény deriváltját az y" = (ln u)" u (sin x)" x = képlettel számítjuk .

3.20. példa. Keresse meg az y= függvény deriváltját.

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! A több szuperpozíció eredményeként kapott összetett függvény esetét az 5. szabály szekvenciális alkalmazásával oldjuk meg:

.

Példa 3.21. Számítsa ki az y=ln deriváltot .

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! A logaritmusokat figyelembe véve és a logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát megkülönböztetve a következőket kapjuk:

A függvény szélsőértéke

Az y=f(x) függvényt meghívjuk növekvő (csökkenő) egy bizonyos intervallumban, ha x 1-re< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Ha az y = f(x) differenciálható függvény növekszik (csökken) egy intervallumon, akkor a deriváltja ezen az intervallumon f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Pont x o hívott helyi maximum pont (minimális) f(x) függvény, ha van a pont szomszédsága x o, amelynek minden pontjára igaz az f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)) egyenlőtlenség.

A maximum és minimum pontokat hívjuk szélsőséges pontok, és a függvény értékei ezeken a pontokon az ő szélsőségek.

Előfeltételek extrémum. Ha a lényeg x o az f(x) függvény szélsőpontja, akkor vagy f ¢(x о) = 0, vagy f ¢(x о) nem létezik. Az ilyen pontokat ún kritikai, maga a függvény pedig a kritikus pontban van definiálva. Egy függvény szélsőpontját a kritikus pontjai között kell keresni.

Az első elégséges feltétel. Hadd x o- kritikus pont. Ha f ¢ (x) a ponton való áthaladáskor x o módosítja a plusz jelet mínuszra, majd a pontra x o a függvénynek van maximuma, egyébként minimuma. Ha a kritikus ponton áthaladva a derivált nem vált előjelet, akkor a pontban x o nincs szélsőség.

Második elégséges feltétel. Legyen az f(x) függvénynek deriváltja
f ¢ (x) a pont közelében x o a második derivált pedig magában a pontban x o. Ha f ¢(x о) = 0, >0 (<0), то точка x o az f(x) függvény lokális minimum (maximum) pontja. Ha =0, ​​akkor vagy az első elégséges feltételt kell használnia, vagy magasabb származékokat kell használnia.

Egy szakaszon az y = f(x) függvény akár a kritikus pontokon, akár a szakasz végén elérheti minimális vagy maximum értékét.

Példa 3.22. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 függvény szélsőértékét.

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! Mivel f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), akkor az x 1 = 2 és x 2 = 3 függvény kritikus pontjai. Extréma csak ezeket a pontokat. Mivel az x 1 = 2 ponton áthaladva a derivált az előjelet pluszról mínuszra változtatja, akkor ezen a ponton a függvénynek van maximuma. Az x 2 = 3 ponton áthaladva a derivált az előjelét mínuszról pluszra változtatja, így az x 2 = 3 pontban a függvénynek minimuma van. Kiszámolva a függvény értékeit az x 1 = 2 és x 2 = 3 pontokban, megkapjuk a függvény szélsőértékét: maximum f(2) = 14 és minimum f(3) = 13.

3.23. példa. A kőfal közelében téglalap alakú területet kell építeni úgy, hogy az három oldalról dróthálóval legyen elkerítve, a negyedik oldal pedig a fal mellett legyen. Erre van a lineáris méteres háló. Milyen képarány mellett lesz a webhely legnagyobb területe?

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! Jelöljük az emelvény oldalait -vel xÉs y. A telek területe S = xy. Hadd y- ez a fal melletti oldal hossza. Ekkor feltétel szerint a 2x + y = a egyenlőségnek teljesülnie kell. Ezért y = a - 2x és S = x(a - 2x), ahol 0 £ x £ a/2 (a pad hossza és szélessége nem lehet negatív). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0, x = a/4, innen
y = a - 2×a/4 =a/2. Mivel x = a/4 az egyetlen kritikus pont, nézzük meg, hogy ezen a ponton áthaladva változik-e a derivált előjele. x-nél< a/4 S ¢ >0, és x >a/4 S ¢ esetén<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Mivel S folyamatos bekapcsolt állapotban van, és értékei az S(0) és S(a/2) végén egyenlők nullával, a talált érték lesz a függvény legnagyobb értéke. Így a lelőhely legkedvezőbb oldalaránya a feladat adott feltételei mellett y = 2x.

3.24. példa. V=16p » 50 m 3 űrtartalmú zárt hengeres tartály gyártása szükséges. Mekkora legyen a tartály mérete (R sugár és H magasság), hogy a gyártáshoz a legkevesebb anyag kerüljön felhasználásra?

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját! A henger teljes felülete S = 2pR(R+H). Ismerjük a henger térfogatát V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Ez azt jelenti, hogy S(R) = 2p(R2 +16/R). Megtaláljuk ennek a függvénynek a származékát:
S¢(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S¢(R) = 0, ha R3 = 8, ezért
R=2, H=16/4=4.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg származékaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője kivehető a derivált előjeléből:

Ha mégis kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, akkor általában tisztázódnak a származéktáblázat és a legegyszerűbb differenciálási szabályok megismerése után. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. A négyzetgyök származéka
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Az ív koszinusz származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Exponenciális függvény deriváltja

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát old meg, ezt a hibát már nem követi el.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amelyben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. azért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összegdifferenciálás szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét alkalmazva kapjuk:

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.

A „Get A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témakört, amely szükséges a matematika egységes államvizsga 60-65 ponttal történő sikeres letételéhez. Teljesen a Profil egységes államvizsga matematika 1-13. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. évfolyam, valamint pedagógusok számára. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.

Minden szükséges elmélet. Az egységes államvizsga gyors megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Komplex fogalmak világos magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.

A differenciálási feladatok megoldása során különféle osztályok függvényeinek deriváltjait kell keresni. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a legfontosabbakat differenciálási szabályok, amelyet folyamatosan használni fogunk a származékok keresésekor. Mindezeket a szabályokat egy függvény deriváltjának definíciója alapján fogjuk bizonyítani, és mindenképpen elidőzünk a példák részletes megoldásán, hogy megértsük alkalmazásuk elvét.

A differenciálás szabályainak bizonyításakor feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények valamely X intervallumon differenciálhatók.

Vagyis bármelyikre igaz, hogy hol vannak a megfelelő függvények növekményei.

Egy másik bejegyzésben.

A megkülönböztetés alapvető szabályai a következők:

Egy állandó tényező végrehajtása a derivált előjelén túl.

Bizonyítsuk be a képletet. A származékos definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:

A határértékre való áthaladás előjelén túl tetszőleges tényező is elvihető (ez a határ tulajdonságaiból ismert), ezért

Ezzel be is fejeződik a megkülönböztetés első szabályának bizonyítása.

Gyakran először a differenciálható függvény formáját kell egyszerűsíteni ahhoz, hogy a deriválttáblázatot és a derivált keresési szabályokat használhassuk. A következő példák egyértelműen megerősítik ezt.

Példa.

Funkciódifferenciálás végrehajtása .

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!

A logaritmikus függvény tulajdonságai alapján mehet a jelölésre. Továbbra is emlékezni kell a logaritmikus függvény deriváltjára, és hozzá kell adni egy állandó tényezőt:

Példa.

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!

Alakítsuk át az eredeti függvényt .

Alkalmazzuk azt a szabályt, hogy a szorzót a derivált előjelén kívül helyezzük, és vesszük az exponenciális függvény deriváltját a táblázatból:

Összeg származéka, különbség származéka.

A differenciálás második szabályának bizonyítására a derivált definícióját és a folytonos függvény határértékének tulajdonságát használjuk.

Hasonló módon igazolható, hogy n függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő n derivált összegével (különbsége).

Példa.

Keresse meg egy függvény deriváltját .

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!

Egyszerűsítsük az eredeti függvény formáját.

A derivált összeg (különbség) szabályt használjuk:

Az előző bekezdésben bebizonyítottuk, hogy a konstans tényező tehát kivehető a derivált előjeléből

Nincs más hátra, mint a származéktáblázat használata:

A függvények szorzatának származéka.

Bizonyítsuk be a két függvény szorzatának megkülönböztetésének szabályát.

Írjuk fel a függvények szorzata és az argumentum növekmény arányának határát. Figyelembe vesszük, hogy és (a függvény növekménye nullára hajlamos, mivel az argumentum növekménye nulla).

Q.E.D.

Példa.

Funkciók megkülönböztetése .

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!

Ebben a példában. Alkalmazzuk a termék származékos szabályt:

Az alapvető elemi függvények deriváltjainak táblázatához fordulunk, és megkapjuk a választ:

Példa.

Keresse meg a függvény deriváltját!

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!

Ebben a példában . Ezért,

Nézzük meg a három függvény szorzatának deriváltjának megtalálásának esetét. Elvileg ugyanazt a rendszert használva meg lehet különböztetni négy, öt és huszonöt függvény szorzatát.

Példa.

Végezze el a funkció differenciálását.

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!

A két függvény szorzatának differenciálási szabályából indulunk ki. Függvényként f(x) az (1+x)sinx szorzatot, g(x)ként pedig lnx szorzatot vesszük:

Megtalálni Ismét alkalmazzuk a termék származékos szabályt:

A derivált összeg szabályt és a derivált táblázatot használjuk:

Cseréljük ki az eredményt:

Amint láthatja, néha egy példában több megkülönböztetési szabályt kell alkalmazni. Nincs ebben semmi bonyolult, a lényeg az, hogy következetesen cselekedjünk, és ne keverjünk össze mindent.

Példa.

Keresse meg a függvény deriváltját!

Számítsa ki az y=(3x 3 -2x+1)sin x függvény deriváltját!

A függvény a kifejezések különbségét reprezentálja, és ezért

Az első kifejezésben a kettőt vesszük a derivált jeleként, a második kifejezésre pedig a szorzat megkülönböztetésének szabályát alkalmazzuk:

Két függvény hányadosának deriváltja (tört deriváltja).

Bizonyítsuk be a két függvény (törtek) hányadosának megkülönböztetésének szabályát! . Érdemes megemlíteni, hogy g(x) nem tűnik el egyetlen x esetén sem az X intervallumban.