Dengan layanan ini Anda bisa mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi satu variabel f(x) dengan solusi yang diformat dalam Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, maka perlu dicari titik ekstrem dari fungsi dua variabel. Anda juga dapat menemukan interval fungsi naik dan turun.

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

kamu =

di segmen [ ;]

Sertakan teori

Aturan untuk memasukkan fungsi:

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsi dari satu variabel

Persamaan f" 0 (x *) = 0 adalah kondisi yang diperlukan ekstrem dari fungsi satu variabel, mis. di titik x * turunan pertama fungsi tersebut harus hilang. Ini menyoroti titik stasioner x s, yang fungsinya tidak bertambah atau berkurang.

Kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi satu variabel

Misalkan f 0 (x) terdiferensialkan dua kali terhadap x yang termasuk dalam himpunan D. Jika pada titik x* syarat terpenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Maka titik x* adalah titik minimum lokal (global) dari fungsi tersebut.

Jika pada titik x* syarat terpenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Maka titik x* adalah maksimum lokal (global).

Contoh No.1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: pada segmen.
Larutan.

Titik kritisnya adalah satu x 1 = 2 (f’(x)=0). Titik ini termasuk dalam segmen tersebut. (Intinya x=0 tidak kritis, karena 0∉).
Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik kritis.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawaban: f menit = 5/2 pada x=2; f maks =9 pada x=1

Contoh No.2. Dengan menggunakan turunan orde tinggi, carilah titik ekstrem dari fungsi y=x-2sin(x) .
Larutan.
Tentukan turunan dari fungsi tersebut: y’=1-2cos(x) . Mari kita cari titik kritisnya: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Kita mencari y’’=2sin(x), hitung , yang berarti x= π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik minimum dari fungsi tersebut; , yang berarti x=- π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.

Contoh No.3. Selidiki fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Larutan. Di sini perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsinya. Jika ekstrem x=0, cari tahu jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik-titik yang ditemukan tidak ada x = 0, maka hitunglah nilai fungsi f(x=0).
Perlu dicatat bahwa ketika turunan pada setiap sisi suatu titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin terjadi tidak habis bahkan untuk fungsi-fungsi yang terdiferensiasi: dapat terjadi bahwa untuk lingkungan kecil sembarang di satu sisi titik x 0 atau di kedua sisi turunannya berubah tanda. Pada titik ini, perlu menggunakan metode lain untuk mempelajari fungsi secara ekstrem.

Untuk menentukan sifat suatu fungsi dan membicarakan perilakunya, perlu dicari interval kenaikan dan penurunan. Proses ini disebut penelitian fungsi dan pembuatan grafik. Titik ekstrem digunakan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi, karena pada titik tersebut fungsi bertambah atau berkurang dari intervalnya.

Artikel ini mengungkap definisi yang kami rumuskan bukti yang cukup menambah dan mengurangi interval dan kondisi adanya ekstrem. Hal ini berlaku untuk memecahkan contoh dan masalah. Bagian tentang diferensiasi fungsi harus diulangi karena penyelesaiannya perlu menggunakan pencarian turunan.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definisi 1

Fungsi y = f (x) akan bertambah pada interval x jika, untuk sembarang x 1 ∈ X dan x 2 ∈ X, x 2 > x 1, pertidaksamaan f (x 2) > f (x 1) terpenuhi. Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar.

Definisi 2

Fungsi y = f (x) dianggap menurun pada interval x jika, untuk sembarang x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, persamaan f (x 2) > f (x 1) dianggap benar. Dengan kata lain, nilai fungsi yang lebih besar berarti nilai argumen yang lebih kecil. Perhatikan gambar di bawah ini.

Komentar: Apabila fungsi tersebut pasti dan kontinu pada ujung-ujung selang naik dan turun, yaitu (a; b), dimana x = a, x = b, maka titik-titik tersebut termasuk dalam selang naik dan turun. Hal ini tidak bertentangan dengan definisi, artinya terjadi pada interval x.

Properti dasar fungsi dasar ketik y = sin x – kepastian dan kontinuitas nilai argumen yang sebenarnya. Dari sini kita mendapatkan bahwa sinus meningkat pada interval - π 2; π 2, maka pertambahan ruas tersebut berbentuk - π 2; π 2.

Definisi 3

Titik x 0 disebut titik maksimum untuk fungsi y = f (x), padahal untuk semua nilai x pertidaksamaan f (x 0) ≥ f (x) valid. Fungsi maksimal adalah nilai fungsi di suatu titik, dan dilambangkan dengan y m a x .

Titik x 0 disebut titik minimum fungsi y = f (x), bila untuk semua nilai x pertidaksamaan f (x 0) ≤ f (x) valid. Fungsi minimal adalah nilai fungsi di suatu titik, dan mempunyai sebutan dalam bentuk y m i n .

Lingkungan titik x 0 dipertimbangkan titik ekstrim, dan nilai fungsi yang sesuai dengan titik ekstrem. Perhatikan gambar di bawah ini.

Ekstrem fungsi dengan terbesar dan dengan nilai terendah fungsi. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar pertama menyatakan bahwa perlu dicari nilai fungsi terbesar dari segmen [a; B ] . Ditemukan dengan menggunakan titik maksimum dan sama dengan nilai maksimum fungsi, dan angka kedua lebih seperti mencari titik maksimum di x = b.

Kondisi yang cukup bagi suatu fungsi untuk bertambah dan berkurang

Untuk mencari maksimum dan minimum suatu fungsi, perlu diterapkan tanda-tanda ekstrem jika fungsi tersebut memenuhi kondisi tersebut. Tanda pertama dianggap yang paling sering digunakan.

Kondisi cukup pertama untuk kondisi ekstrem

Definisi 4

Misalkan diberikan suatu fungsi y = f (x), yang terdiferensialkan di lingkungan titik x 0, dan mempunyai kontinuitas di titik tertentu x 0. Dari sini kita mendapatkan itu

• ketika f " (x) > 0 dengan x ∈ (x 0 - ε ; x 0) dan f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• ketika f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 untuk x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), maka x 0 adalah titik minimum.

Dengan kata lain, kita memperoleh kondisinya untuk menetapkan tanda:

• bila suatu fungsi kontinu di titik x 0, maka mempunyai turunan yang tandanya berubah-ubah, yaitu dari + ke -, yang berarti titik tersebut disebut maksimum;
• bila suatu fungsi kontinu di titik x 0, maka mempunyai turunan yang tandanya berubah-ubah dari - menjadi +, artinya titik tersebut disebut minimum.

Untuk menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi dengan benar, Anda harus mengikuti algoritma untuk menemukannya:

• temukan domain definisi;
• temukan turunan fungsi pada luas tersebut;
• mengidentifikasi angka nol dan titik di mana fungsi tersebut tidak ada;
• menentukan tanda turunan pada interval;
• pilih titik di mana fungsi berubah tanda.

Mari kita pertimbangkan algoritme dengan menyelesaikan beberapa contoh pencarian ekstrem suatu fungsi.

Contoh 1

Tentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi yang diberikan y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Larutan

Cakupan suatu fungsi tertentu adalah segalanya bilangan real kecuali x = 2. Pertama, cari turunan dari fungsi tersebut dan dapatkan:

y" = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Dari sini kita melihat bahwa nol dari fungsi tersebut adalah x = - 1, x = 5, x = 2, artinya setiap tanda kurung harus disamakan dengan nol. Mari tandai pada sumbu bilangan dan dapatkan:

Sekarang kita tentukan tanda turunan dari setiap interval. Penting untuk memilih titik yang termasuk dalam interval dan menggantinya ke dalam ekspresi. Misalnya titik x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Kami mengerti

y" (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, yang berarti interval - ∞ ; - 1 mempunyai turunan positif, demikian pula diperoleh bahwa

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Karena interval kedua ternyata kurang dari nol, berarti turunan pada interval tersebut akan negatif. Yang ketiga dengan minus, yang keempat dengan plus. Untuk menentukan kontinuitas perlu memperhatikan tanda turunannya, jika berubah maka ini merupakan titik ekstrim.

Diketahui bahwa di titik x = - 1 fungsi tersebut kontinu, artinya turunannya akan berubah tanda dari + menjadi -. Berdasarkan tanda pertama kita mengetahui bahwa x = - 1 adalah titik maksimum, yang berarti kita peroleh

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Titik x = 5 menunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu dan turunannya akan berubah tanda dari – menjadi +. Artinya x = -1 adalah titik minimum, dan penentuannya berbentuk

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Gambar grafis

Menjawab: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Perlu diperhatikan fakta bahwa penggunaan kriteria cukup pertama untuk suatu ekstrem tidak memerlukan diferensiasi fungsi pada titik x 0, ini menyederhanakan penghitungan.

Contoh 2

Tentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Larutan.

Domain suatu fungsi adalah semua bilangan real. Ini dapat ditulis sebagai sistem persamaan dalam bentuk:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Maka Anda perlu mencari turunannya:

kamu" = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 kamu" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Titik x = 0 tidak mempunyai turunan, karena nilai limit satu sisinya berbeda-beda. Kami mendapatkan bahwa:

lim y"x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Maka fungsinya kontinu di titik x = 0, lalu kita hitung

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Perlu dilakukan perhitungan untuk mencari nilai argumen ketika turunannya menjadi nol:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Semua titik yang diperoleh harus ditandai pada garis lurus untuk menentukan tanda setiap interval. Oleh karena itu, perlu untuk menghitung turunan pada titik-titik sembarang untuk setiap interval. Misalnya kita mengambil titik dengan nilai x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Kami mengerti

y" (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y" (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y"(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Gambar pada garis lurus terlihat seperti ini

Ini berarti bahwa kita sampai pada kesimpulan bahwa kita perlu menggunakan tanda ekstrem pertama. Mari kita hitung dan temukan itu

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , maka dari sini titik maksimalnya bernilai x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Mari kita beralih ke menghitung minimum:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Mari kita hitung maksimum fungsi tersebut. Kami mengerti

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Gambar grafis

Menjawab:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = kamu 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Jika diberikan fungsi f " (x 0) = 0, maka jika f "" (x 0) > 0, kita peroleh bahwa x 0 adalah titik minimum jika f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Contoh 3

Tentukan maxima dan minima dari fungsi y = 8 x x + 1.

Larutan

Pertama, kita menemukan domain definisi. Kami mengerti

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Kita perlu membedakan fungsinya, setelah itu kita mendapatkannya

y" = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Pada x = 1, turunannya menjadi nol, artinya titik tersebut merupakan titik ekstrem yang mungkin. Untuk memperjelasnya, perlu dicari turunan keduanya dan menghitung nilainya di x = 1. Kita mendapatkan:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Artinya, dengan menggunakan kondisi cukup 2 untuk suatu ekstrem, kita peroleh bahwa x = 1 adalah titik maksimum. Jika tidak, entrinya akan terlihat seperti y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Gambar grafis

Menjawab: y m a x = y (1) = 4 ..

Definisi 5

Fungsi y = f (x) mempunyai turunan sampai orde ke-n di lingkungan ε suatu titik tertentu x 0 dan turunannya sampai orde n + ke-1 di titik x 0 . Maka f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Maka bila n bilangan genap, maka x 0 dianggap sebagai titik belok, bila n bilangan ganjil, maka x 0 merupakan titik ekstrem, dan f (n + 1) (x 0) > 0, maka x 0 adalah titik minimum, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Contoh 4

Tentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Larutan

Fungsi aslinya adalah fungsi keseluruhan rasional, artinya domain definisinya adalah semua bilangan real. Fungsinya perlu dibedakan. Kami mengerti

y" = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7x - 5)

Turunan ini akan menjadi nol pada x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Artinya, titik-titik tersebut mungkin merupakan titik ekstrem. Hal ini diperlukan untuk menerapkan kondisi cukup ketiga untuk ekstrem. Menemukan turunan kedua memungkinkan Anda menentukan secara akurat keberadaan fungsi maksimum dan minimum. Turunan kedua dihitung pada titik-titik kemungkinan ekstremnya. Kami mengerti

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 tahun "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Artinya x 2 = 5 7 adalah titik maksimum. Dengan menerapkan kriteria cukup ke-3, diperoleh bahwa untuk n = 1 dan f (n + 1) 5 7< 0 .

Sifat titik x 1 = - 1, x 3 = 3 perlu ditentukan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari turunan ketiga dan menghitung nilai pada titik-titik tersebut. Kami mengerti

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) kamu " " " (- 1) = 96 ≠ 0 kamu " " " (3) = 0

Artinya x 1 = - 1 adalah titik belok fungsi tersebut, karena untuk n = 2 dan f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Perlu diselidiki titik x 3 = 3. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan ke-4 dan melakukan perhitungan pada titik ini:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Dari keputusan di atas kita menyimpulkan bahwa x 3 = 3 adalah titik minimum dari fungsi tersebut.

Gambar grafis

Menjawab: x 2 = 5 7 adalah titik maksimum, x 3 = 3 adalah titik minimum dari fungsi yang diberikan.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

>> Ekstrem

Fungsi ekstrem

Definisi ekstrem

Fungsi y = f(x) disebut meningkat (menurun) dalam selang waktu tertentu, jika untuk x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Jika fungsi terdiferensiasi y = f(x) bertambah (berkurang) pada suatu interval, maka turunannya pada interval tersebut f " (X)> 0

(F"(X)< 0).

Dot X HAI ditelepon titik maksimum lokal (minimum) fungsi f (x) jika terdapat lingkungan titik tersebut x o, untuk semua titik yang pertidaksamaannya f(x) benar≤ f (x o ) (f (x )≥ f (xo )).

Poin maksimum dan minimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut adalah nya ekstrem.

Poin ekstrem

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem . Jika intinya X HAI adalah titik ekstrem dari fungsi f (x), maka f " (x o ) = 0, atau f(x o ) tidak ada. Titik-titik seperti ini disebut kritis, dan fungsi itu sendiri didefinisikan pada titik kritis. Titik ekstrem suatu fungsi harus dicari di antara titik-titik kritisnya.

Kondisi cukup pertama. Membiarkan X HAI - titik kritis. Jika f" (x ) ketika melewati suatu titik X HAI mengubah tanda plus menjadi minus, lalu pada intinya x o fungsinya memiliki maksimum, selain itu ia memiliki minimum. Jika pada saat melewati titik kritis turunannya tidak berubah tanda, maka pada titik tersebut X HAI tidak ada yang ekstrim.

Kondisi cukup kedua. Biarkan fungsi f(x) memiliki
F" (x ) di sekitar titik tersebut X HAI dan turunan kedua pada titik itu sendiri x o. Jika f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o adalah titik minimum (maksimum) lokal dari fungsi f (x). Jika =0, ​​maka Anda perlu menggunakan kondisi cukup pertama atau melibatkan kondisi yang lebih tinggi.

Pada suatu ruas, fungsi y = f(x) dapat mencapai nilai minimum atau maksimumnya baik pada titik kritis maupun pada ujung ruas.

Contoh 3.22.

Larutan. Karena F " (

Masalah menemukan ekstrem suatu fungsi

Contoh 3.23. A

Larutan. X Dan kamu kamu
0 ≤ X≤
> 0, dan kapan x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi kv. unit).

Contoh 3.24. hal ≈

Larutan. hal
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22.Tentukan ekstrem fungsi f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Larutan. Karena F " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Ekstrem hanya dapat berada pada titik-titik tersebut. Karena ketika melewati titik x 1 = 2 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka pada titik tersebut fungsinya sudah maksimal. Ketika melewati titik x 2 = 3, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, sehingga pada titik x 2 = 3 fungsinya mempunyai nilai minimum. Setelah menghitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita cari ekstrem dari fungsi tersebut: f maksimum (2) = 14 dan minimum f (3) = 13.

Contoh 3.23.Area persegi panjang perlu dibangun di dekat dinding batu sehingga di tiga sisinya dipagari dengan kawat kasa, dan sisi keempat berbatasan dengan dinding. Untuk ini ada A meter linier mesh. Pada rasio aspek berapa situs tersebut akan memiliki luas terluas?

Larutan.Mari kita tunjukkan sisi-sisi platform dengan X Dan kamu. Luas situs tersebut adalah S = xy. Membiarkan kamu- ini adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka dengan syarat persamaan 2x + y = a harus dipenuhi. Jadi y = a - 2x dan S = x (a - 2x), dimana
0 ≤ X≤ a /2 (panjang dan lebar luas tidak boleh negatif). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pada x = a/4, dari mana
y = a - 2 × a/4 =a/2. Karena x = a /4 adalah satu-satunya titik kritis; mari kita periksa apakah tanda turunannya berubah ketika melewati titik ini. Pada x a /4 S "> 0, dan kapan x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv. unit). Karena S kontinu pada dan nilai pada ujung S(0) dan S(a /2) sama dengan nol, maka nilai yang didapat adalah nilai tertinggi fungsi. Jadi, rasio aspek situs yang paling disukai dalam kondisi masalah tertentu adalah y = 2x.

Contoh 3.24.Diperlukan pembuatan tangki berbentuk silinder tertutup dengan kapasitas V=16 hal ≈ 50 m3. Berapa dimensi tangki (radius R dan tinggi H) agar bahan yang digunakan untuk pembuatannya paling sedikit?

Larutan.Luas permukaan total silinder adalah S = 2 P R(R+H). Kita mengetahui volume silinder V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / hal R2 = 16/R2. Jadi S(R) = 2 P (R 2 +16/Kanan). Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 pada R 3 = 8, oleh karena itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Menaikkan, menurunkan, dan ekstrem suatu fungsi

Menemukan interval kenaikan, penurunan, dan ekstrem suatu fungsi merupakan tugas independen dan merupakan bagian penting dari tugas lain, khususnya, studi fungsi penuh. Informasi awal tentang kenaikan, penurunan, dan ekstrem fungsi diberikan dalam bab teori tentang turunan, yang sangat saya rekomendasikan untuk studi pendahuluan (atau pengulangan)– juga karena alasan bahwa materi berikut ini didasarkan pada hal tersebut pada dasarnya turunan, menjadi kelanjutan yang harmonis dari artikel ini. Meskipun demikian, jika waktunya singkat, maka praktik formal murni dari contoh-contoh dari pelajaran hari ini juga dimungkinkan.

Dan hari ini ada semangat kebulatan suara yang langka di udara, dan saya dapat langsung merasakan bahwa setiap orang yang hadir membara dengan hasrat. belajar mengeksplorasi suatu fungsi menggunakan turunannya. Oleh karena itu, terminologi yang masuk akal, baik, dan abadi segera muncul di layar monitor Anda.

Untuk apa? Salah satu alasannya adalah yang paling praktis: sehingga jelas apa yang umumnya diminta dari Anda dalam suatu tugas tertentu!

Monotonisitas fungsi. Titik ekstrem dan ekstrem suatu fungsi

Mari kita pertimbangkan beberapa fungsinya. Sederhananya, kita berasumsi bahwa dia kontinu pada seluruh garis bilangan:

Untuk berjaga-jaga, yuk segera hilangkan ilusi yang mungkin ada, terutama bagi para pembaca yang baru mengenalnya interval tanda konstan fungsi. Sekarang kita TIDAK TERTARIK, bagaimana letak grafik fungsi terhadap sumbu (di atas, di bawah, tempat perpotongan sumbu). Untuk meyakinkan, hapus sumbu secara mental dan sisakan satu grafik. Karena di situlah letak ketertarikannya.

Fungsi meningkat pada suatu interval jika untuk dua titik mana pun pada interval ini yang dihubungkan oleh relasi , pertidaksamaan tersebut benar. Itu adalah, nilai yang lebih besar argumennya sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”. Fungsi demonstrasi bertambah selama interval.

Begitu pula fungsinya berkurang pada suatu interval jika untuk dua titik mana pun pada interval tertentu sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan tersebut benar. Artinya, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil, dan grafiknya bergerak “dari atas ke bawah”. Fungsi kami menurun secara berkala .

Jika suatu fungsi bertambah atau berkurang dalam suatu interval, maka disebut sangat monoton pada interval ini. Apa itu monoton? Anggap saja secara harfiah – monoton.

Anda juga dapat mendefinisikan tidak menurun fungsi (kondisi santai pada definisi pertama) dan tidak meningkat fungsi (kondisi melunak dalam definisi ke-2). Fungsi yang tidak bertambah atau tidak bertambah pada suatu interval disebut fungsi monoton pada interval ini (monotonitas yang ketat adalah kasus khusus dari monotonisitas yang “sederhana”).

Teori ini juga mempertimbangkan pendekatan lain untuk menentukan kenaikan/penurunan suatu fungsi, termasuk setengah interval, segmen, tetapi agar tidak menuangkan minyak-minyak-minyak ke kepala Anda, kami setuju untuk beroperasi dengan interval terbuka dengan definisi kategoris - ini lebih jelas, dan cukup untuk memecahkan banyak masalah praktis.

Dengan demikian, dalam artikel saya, kata-kata "monotonisitas suatu fungsi" hampir selalu disembunyikan interval monoton yang ketat(fungsi yang meningkat secara ketat atau menurun secara ketat).

Lingkungan suatu titik. Kata-kata yang membuat siswa lari kemanapun mereka bisa dan bersembunyi ketakutan di sudut. ...Meskipun setelah posting Batas Cauchy Mereka mungkin tidak lagi bersembunyi, tetapi hanya sedikit bergidik =) Jangan khawatir, sekarang tidak akan ada bukti teorema analisis matematis - Saya membutuhkan lingkungan untuk merumuskan definisi dengan lebih ketat titik ekstrim. Mari kita ingat:

Lingkungan suatu titik suatu interval yang memuat suatu titik tertentu disebut, dan untuk memudahkan interval tersebut sering dianggap simetris. Misalnya, suatu titik dan lingkungan standarnya:

Sebenarnya definisinya:

Intinya disebut titik maksimum yang ketat, Jika ada lingkungannya, untuk semua yang nilainya, kecuali titik itu sendiri, adalah pertidaksamaan . Di kami contoh spesifik inilah intinya.

Intinya disebut titik minimum yang ketat, Jika ada lingkungannya, untuk semua yang nilainya, kecuali titik itu sendiri, adalah pertidaksamaan . Pada gambar tersebut terdapat titik “a”.

Catatan : persyaratan kesimetrian lingkungan sama sekali tidak diperlukan. Selain itu, ini penting fakta keberadaan lingkungan (baik kecil atau mikroskopis) yang memenuhi kondisi yang ditentukan

Poinnya disebut titik ekstrem yang ketat atau sederhananya titik ekstrim fungsi. Artinya, ini adalah istilah umum untuk poin maksimum dan poin minimum.

Bagaimana kita memahami kata “ekstrim”? Ya, sama langsungnya dengan monoton. Titik ekstrim roller coaster.

Seperti dalam kasus monotonisitas, ada postulat longgar dan bahkan lebih umum dalam teori (yang, tentu saja, termasuk dalam kasus-kasus ketat!):

Intinya disebut titik maksimum, Jika ada lingkungannya sedemikian rupa untuk semua
Intinya disebut poin minimum, Jika ada lingkungannya sedemikian rupa untuk semua nilai-nilai lingkungan ini, kesenjangan tetap ada.

Perhatikan bahwa menurut dua definisi terakhir, setiap titik dari suatu fungsi konstan (atau “bagian datar” dari suatu fungsi) dianggap sebagai titik maksimum dan minimum! Omong-omong, fungsinya tidak bertambah dan tidak berkurang, yaitu monotonik. Namun, kami akan menyerahkan pertimbangan ini kepada para ahli teori, karena dalam praktiknya kami hampir selalu merenungkan “bukit” dan “lubang” tradisional (lihat gambar) dengan “raja bukit” atau “putri rawa” yang unik. Sebagai variasi, hal itu terjadi tip, diarahkan ke atas atau ke bawah, misalnya fungsi minimum pada suatu titik.

Oh, dan berbicara tentang royalti:
– artinya disebut maksimum fungsi;
– artinya disebut minimum fungsi.

Nama yang umum - ekstrem fungsi.

Harap berhati-hati dengan kata-kata Anda!

Poin ekstrem– ini adalah nilai “X”.
Ekstrem– arti “permainan”.

! Catatan : terkadang istilah yang tercantum merujuk pada titik “X-Y” yang terletak tepat pada GRAFIK fungsi SENDIRI.

Berapa banyak ekstrem yang dapat dimiliki suatu fungsi?

Tidak ada, 1, 2, 3, ... dst. hingga tak terbatas. Misalnya, sinus mempunyai nilai minimum dan maksimum yang tak terhingga banyaknya.

PENTING! Istilah "fungsi maksimum" tidak identik istilah “nilai maksimum suatu fungsi”. Sangat mudah untuk melihat bahwa nilainya maksimal hanya di lingkungan lokal, dan di kiri atas ada “kawan yang lebih keren”. Demikian pula, “nilai minimum suatu fungsi” tidak sama dengan “nilai minimum suatu fungsi”, dan pada gambar kita melihat bahwa nilainya minimum hanya di daerah tertentu. Dalam hal ini, titik ekstrem juga disebut titik ekstrem lokal, dan ekstrem – ekstrem lokal. Mereka berjalan dan berkeliaran di dekatnya dan global saudara laki-laki. Jadi, setiap parabola mempunyai titik puncaknya minimum global atau maksimum global. Selanjutnya, saya tidak akan membedakan jenis-jenis ekstrem, dan penjelasannya lebih disuarakan untuk tujuan pendidikan umum - kata sifat tambahan “lokal”/“global” seharusnya tidak mengejutkan Anda.

Mari kita rangkum tamasya kecil ke dalam teori dengan uji coba: apa maksud dari tugas “menemukan interval monotonisitas dan titik ekstrem suatu fungsi”?

Kata-katanya mendorong Anda untuk menemukan:

– interval fungsi naik/turun (tidak menurun, tidak meningkat lebih jarang muncul);

– poin maksimum dan/atau minimum (jika ada). Nah, untuk menghindari kegagalan, lebih baik cari sendiri nilai minimum/maksimumnya ;-)

Bagaimana cara menentukan semua ini? Menggunakan fungsi turunan!

Cara mencari interval kenaikan, penurunan,
titik ekstrem dan ekstrem fungsi?

Banyak aturan yang sebenarnya sudah diketahui dan dipahami pelajaran tentang arti turunan.

Turunan tangen membawa berita gembira bahwa fungsinya semakin meningkat domain definisi.

Dengan kotangen dan turunannya situasinya justru sebaliknya.

Arcsinus bertambah sepanjang interval - turunannya di sini positif: .
Ketika suatu fungsi terdefinisi tetapi tidak terdiferensiasi. Namun, pada titik kritis terdapat turunan bertangan kanan dan garis singgung bertangan kanan, dan pada sisi lainnya terdapat turunan bertangan kiri.

Saya rasa tidak akan terlalu sulit bagi Anda untuk melakukan penalaran serupa untuk arc cosinus dan turunannya.

Semua kasus di atas, banyak diantaranya turunan tabel, saya ingatkan, ikuti langsung dari definisi turunan.

Mengapa mengeksplorasi suatu fungsi menggunakan turunannya?

Untuk lebih memahami seperti apa grafik fungsi ini: dimana arahnya “bottom up”, dimana “top down”, dimana mencapai minimum dan maksimum (jika mencapai sama sekali). Tidak semua fungsi sesederhana itu - dalam banyak kasus, kita tidak tahu sama sekali tentang grafik fungsi tertentu.

Saatnya beralih ke contoh yang lebih bermakna dan mempertimbangkannya algoritma untuk mencari interval monotonisitas dan ekstrem suatu fungsi:

Contoh 1

Temukan interval kenaikan/penurunan dan ekstrem dari fungsi tersebut

Larutan:

1) Langkah pertama adalah menemukan domain suatu fungsi, dan catat juga break point (jika ada). DI DALAM pada kasus ini fungsinya kontinu pada seluruh garis bilangan, dan tindakan ini sampai batas tertentu formal. Namun dalam beberapa kasus, gairah yang serius berkobar di sini, jadi mari kita perlakukan paragraf tersebut tanpa meremehkan.

2) Poin kedua dari algoritma ini adalah karena

kondisi yang diperlukan untuk ekstrem:

Jika terdapat titik ekstrem pada suatu titik, maka nilainya tidak ada.

Bingung dengan endingnya? Ekstrem dari fungsi “modulus x”. .

Syaratnya perlu, tapi tidak cukup, dan kebalikannya tidak selalu benar. Jadi, persamaan tersebut belum berarti bahwa fungsi tersebut mencapai maksimum atau minimum di titik . Contoh klasik sudah disorot di atas - ini adalah parabola kubik dan titik kritisnya.

Namun bagaimanapun juga, kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem menentukan perlunya menemukan titik-titik yang mencurigakan. Untuk melakukannya, cari turunannya dan selesaikan persamaannya:

Di awal artikel pertama tentang grafik fungsi Saya sudah memberi tahu Anda cara cepat membuat parabola menggunakan sebuah contoh : “...kita ambil turunan pertama dan menyamakannya dengan nol: ...Jadi, penyelesaian persamaan kita: - pada titik inilah titik puncak parabola berada...”. Sekarang, saya rasa, semua orang mengerti mengapa titik puncak parabola terletak tepat di titik ini =) Secara umum, kita harus mulai dengan contoh serupa di sini, tetapi ini terlalu sederhana (bahkan untuk teko teh). Selain itu, ada analoginya di akhir pelajaran tentang turunan suatu fungsi. Oleh karena itu, mari kita tingkatkan derajatnya:

Contoh 2

Temukan interval monotonisitas dan ekstrem dari fungsi tersebut

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan perkiraan contoh tugas akhir di akhir pelajaran.

Saat yang ditunggu-tunggu untuk bertemu dengan fungsi rasional pecahan telah tiba:

Contoh 3

Jelajahi suatu fungsi menggunakan turunan pertama

Perhatikan betapa bervariasinya satu tugas yang sama dapat dirumuskan ulang.

Larutan:

1) Fungsi tersebut mengalami diskontinuitas tak hingga di titik-titiknya.

2) Kami mendeteksi titik-titik kritis. Mari kita cari turunan pertama dan samakan dengan nol:

Mari kita selesaikan persamaannya. Pecahan bernilai nol bila pembilangnya nol:

Jadi, kita mendapatkan tiga poin penting:

3) Kami memplot SEMUA titik yang terdeteksi pada garis bilangan dan metode interval kami mendefinisikan tanda-tanda DERIVATIF:

Saya ingatkan Anda bahwa Anda perlu mengambil suatu titik dalam interval tersebut dan menghitung nilai turunannya dan tentukan tandanya. Lebih menguntungkan bahkan tidak menghitung, tetapi “memperkirakan” secara lisan. Mari kita ambil, misalnya, sebuah titik yang termasuk dalam interval dan melakukan substitusi: .

Dua “plus” dan satu “minus” menghasilkan “minus”, yang berarti turunannya negatif pada seluruh interval.

Tindakan tersebut, seperti yang Anda pahami, perlu dilakukan untuk masing-masing dari enam interval. Omong-omong, perhatikan bahwa faktor pembilang dan penyebutnya benar-benar positif untuk setiap titik di interval mana pun, yang sangat menyederhanakan tugas.

Jadi, turunannya memberi tahu kita bahwa FUNGSI SENDIRI bertambah sebesar dan berkurang sebesar . Lebih mudah untuk menghubungkan interval dengan tipe yang sama dengan ikon gabung.

Pada saat fungsi mencapai maksimum:
Pada titik tersebut fungsi mencapai minimum:

Pikirkan mengapa Anda tidak perlu menghitung ulang nilai kedua ;-)

Ketika melewati suatu titik, turunannya tidak berubah tanda, sehingga fungsinya TIDAK ADA EKSTREMUMnya - turun dan tetap menurun.

! Mari kita ulangi poin penting : poin tidak dianggap kritis - poin tersebut mengandung fungsi tidak ditentukan. Oleh karena itu, di sini Pada prinsipnya tidak ada yang ekstrem(walaupun turunannya berubah tanda).

Menjawab: fungsi bertambah sebesar dan berkurang sebesar Pada titik maksimum fungsi tercapai: , dan pada intinya – minimum: .

Pengetahuan tentang interval monotonisitas dan ekstrem, ditambah dengan mapan asimtot sudah memberikan ide yang sangat bagus penampilan grafik fungsi. Seseorang dengan tingkat pelatihan rata-rata mampu menentukan secara verbal bahwa grafik suatu fungsi mempunyai dua asimtot vertikal dan satu asimtot miring. Inilah pahlawan kita:

Coba korelasikan kembali hasil penelitian dengan grafik fungsi ini.
Tidak ada titik ekstrim pada titik kritis, tapi ada infleksi grafik(yang biasanya terjadi dalam kasus serupa).

Contoh 4

Temukan ekstrem dari fungsinya

Contoh 5

Temukan interval monotonisitas, maksimum dan minimum dari fungsi tersebut

…ini hampir seperti liburan “X in a cube” hari ini....
Soooo, siapa di galeri yang menawarkan minuman untuk ini? =)

Setiap tugas memiliki nuansa substantif dan seluk-beluk teknisnya sendiri, yang dikomentari di akhir pelajaran.

Perhatikan grafik fungsi kontinu kamu=f(x) ditunjukkan pada gambar.

Nilai fungsi pada suatu titik X 1 akan lebih besar dari nilai fungsi di semua titik tetangga baik di kiri maupun di kanan X 1 . Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X maksimal 1. Pada intinya X Fungsi 3 jelas juga sudah maksimal. Jika kita mempertimbangkan intinya X 2, maka nilai fungsi di dalamnya lebih kecil dari semua nilai tetangganya. Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X minimal 2. Begitupun untuk intinya X 4 .

Fungsi kamu=f(x) pada intinya X 0 punya maksimum, jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilainya di semua titik pada suatu interval yang memuat titik tersebut X 0, yaitu jika ada lingkungan suatu titik X 0, yang diperuntukkan bagi semua orang X≠X 0 , milik lingkungan ini, kesenjangan tetap ada f(x)<f(x 0 ) .

Fungsi kamu=f(x) Memiliki minimum pada intinya X 0 , jika ada lingkungan suatu titik X 0 , itu untuk semua orang X≠X 0 milik lingkungan ini, ketimpangan tetap ada f(x)>f(x 0.

Titik-titik di mana fungsi mencapai maksimum dan minimum disebut titik ekstrem, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut disebut ekstrem fungsi.

Mari kita perhatikan fakta bahwa suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu segmen dapat mencapai maksimum dan minimumnya hanya pada titik-titik yang terdapat dalam segmen yang ditinjau.

Perhatikan bahwa jika suatu fungsi mempunyai nilai maksimum pada suatu titik, hal ini tidak berarti bahwa pada titik tersebut fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar di seluruh domain definisi. Pada gambar yang dibahas di atas, fungsi pada titik X 1 mempunyai nilai maksimum, meskipun ada titik yang nilai fungsinya lebih besar dari pada titik tersebut X 1 . Secara khusus, F(X 1) < F(X 4) yaitu minimum suatu fungsi lebih besar dari maksimum. Dari definisi maksimum hanya dapat disimpulkan bahwa ini adalah yang terbanyak sangat penting berfungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengan titik maksimum.

Teorema 1. (Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan suatu ekstrem.) Jika fungsi terdiferensiasi kamu=f(x) ada pada intinya x=x 0 ekstrem, maka turunannya pada titik ini menjadi nol.

Bukti. Biarlah, untuk lebih jelasnya, pada intinya X 0 fungsi memiliki maksimum. Kemudian, untuk kenaikan yang cukup kecil Δ X kita punya f(x 0 + Δ X) 0 ) , yaitu Tapi kemudian

Meneruskan pertidaksamaan ini hingga batasnya di Δ X→ 0 dan memperhitungkan turunannya F "(X 0) ada, dan oleh karena itu limit di sebelah kiri tidak bergantung pada bagaimana Δ X→ 0, kita mendapatkan: di Δ X → 0 – 0 F"(X 0) ≥ 0 a pada Δ X → 0 + 0 F"(X 0) ≤ 0. Sejak F"(X 0) mendefinisikan suatu bilangan, maka kedua pertidaksamaan ini kompatibel hanya jika F"(X 0) = 0.

Teorema yang terbukti menyatakan bahwa titik maksimum dan minimum hanya dapat berada di antara nilai argumen yang turunannya menjadi nol.

Kami mempertimbangkan kasus ketika suatu fungsi memiliki turunan di semua titik pada segmen tertentu. Bagaimana situasi jika turunannya tidak ada? Mari kita lihat contohnya.

Contoh.

1. kamu=|X|.

   Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan pada titik tersebut X=0 (pada titik ini grafik fungsi tidak memiliki garis singgung tertentu), tetapi pada titik ini fungsi tersebut memiliki minimum, karena kamu(0)=0, dan untuk semua X≠ 0kamu > 0.



Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di X=0, karena ia menuju tak terhingga di X=0. Namun saat ini fungsinya sudah maksimal.



Fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di X=0, sejak itu pada X→0. Pada titik ini fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum dan minimum. Benar-benar, f(x)=0 dan pada X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.



Jadi, dari contoh-contoh di atas dan teorema yang dirumuskan, jelas bahwa suatu fungsi dapat mempunyai ekstrem hanya dalam dua kasus: 1) pada titik-titik di mana turunannya ada dan sama dengan nol; 2) pada titik dimana turunannya tidak ada.

Namun, jika suatu saat nanti X 0 kita tahu itu f "(x 0 ) =0, maka seseorang tidak dapat menyimpulkan bahwa pada intinya X 0 fungsinya memiliki ekstrem.

Misalnya. .



Tapi titik X=0 bukan merupakan titik ekstrem, karena di sebelah kiri titik ini nilai fungsi terletak di bawah sumbu Sapi, dan di kanan atas.

Nilai suatu argumen dari domain suatu fungsi yang turunannya dari fungsi tersebut hilang atau tidak ada disebut poin kritis.




Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa titik ekstrem suatu fungsi termasuk titik kritis, namun tidak semua titik kritis merupakan titik ekstrem. Oleh karena itu, untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu mencari semua titik kritis fungsi tersebut, lalu memeriksa masing-masing titik tersebut secara terpisah untuk mengetahui nilai maksimum dan minimumnya. Teorema berikut memenuhi tujuan ini.

Teorema 2. (Kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem.) Biarkan fungsi tersebut kontinu pada suatu interval yang mengandung titik kritis X 0, dan terdiferensiasi di semua titik pada interval ini (kecuali, mungkin, titik itu sendiri X 0). Jika ketika bergerak dari kiri ke kanan melalui titik ini, turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka di titik tersebut X = X 0 fungsi memiliki maksimum. Jika, saat melewati X 0 dari kiri ke kanan, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka fungsinya mempunyai minimum pada titik ini.

Jadi, jika

Bukti. Mari kita asumsikan dulu ketika melewatinya X 0 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, yaitu di depan semua orang X, dekat dengan intinya X 0 f "(x)> 0 untuk X< x 0 , f "(x)< 0 untuk x>x 0 . Mari kita terapkan teorema Lagrange pada perbedaannya f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), dimana C berada diantara X Dan X 0 .

1. Membiarkan X< x 0 . Kemudian C< x 0 dan f "(c)> 0. Itu sebabnya f "(c)(x- x 0)< 0 dan karena itu

   f(x) - f(x 0 )< 0, yaitu f(x)< f(x 0 ).

2. Membiarkan x > x 0 . Kemudian c>x 0 dan f "(c)< 0. Cara f "(c)(x- x 0)< 0. Itu sebabnya f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Jadi, untuk semua nilai X cukup dekat dengan X 0 f(x)< f(x 0 ) . Dan ini berarti pada intinya X 0 fungsi memiliki maksimum.

Bagian kedua dari teorema minimum dibuktikan dengan cara yang sama.



Mari kita ilustrasikan arti teorema ini pada gambar. Membiarkan f "(x 1 ) =0 dan untuk apa pun X, cukup dekat dengan X 1, ketidaksetaraan terpenuhi

f "(x)< 0 jam X< x 1 , f "(x)> 0 jam x>x 1 .

Lalu ke kiri titik X 1 fungsi bertambah dan berkurang di sebelah kanan, oleh karena itu, kapan X = X 1 fungsi berubah dari naik ke turun, yaitu maksimal.

Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan poin-poinnya X 2 dan X 3 .


Semua hal di atas dapat digambarkan secara skematis pada gambar:

Aturan mempelajari fungsi y=f(x) untuk ekstrem

1. Temukan domain suatu fungsi f(x).
2. Temukan turunan pertama suatu fungsi f "(x).
3. Tentukan titik kritis untuk ini:
   1. carilah akar-akar persamaan yang sebenarnya f "(x)=0;
   2. temukan semua nilai X yang turunannya f "(x) tidak ada.
4. Tentukan tanda turunan di kiri dan kanan titik kritis. Karena tanda turunan tetap konstan antara dua titik kritis, maka cukup menentukan tanda turunan di satu titik di kiri dan satu titik di kanan titik kritis tersebut.
5. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh. Jelajahi fungsi minimum dan maksimum.




NILAI FUNGSI MAKSIMUM DAN TERKECIL PADA Suatu Segmen

Terbesar nilai suatu fungsi pada suatu interval adalah yang terbesar dari semua nilainya pada interval tersebut, dan Terkecil– nilai terkecil dari semua nilainya.

Pertimbangkan fungsinya kamu=f(x) kontinu pada segmen [ a, b]. Sebagaimana diketahui, fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya, baik pada batas segmen maupun di dalamnya. Jika nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi dicapai pada titik dalam segmen tersebut, maka nilai tersebut merupakan maksimum atau minimum fungsi tersebut, yaitu dicapai pada titik kritis.

Jadi, kita mendapatkan yang berikut ini aturan mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen[ a, b] :

1. Temukan semua titik kritis fungsi dalam interval ( a, b) dan hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut.
2. Hitung nilai fungsi di ujung-ujung ruas kapan x = a, x = b.
3. Dari semua nilai yang didapat, pilih yang terbesar dan terkecil.