A b c គឺជាសមីការការ៉េ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាបន្ទាប់ពីសិក្សាអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េពេញលេញ។

ដោយប្រើការរើសអើង មានតែសមីការការ៉េពេញលេញប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើ ដែលអ្នកនឹងឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ "ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ"។

តើ​សមីការ​ការ៉េ​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​ហៅ​ថា​ពេញលេញ? នេះ។ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + b x + c = 0ដែលមេគុណ a, b និង c មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ យើង​ត្រូវ​គណនា​ការ​រើសអើង D ។

D = b 2 – 4ac ។

អាស្រ័យលើតម្លៃរបស់អ្នករើសអើង យើងនឹងសរសេរចម្លើយ។

ប្រសិនបើការរើសអើងគឺជាលេខអវិជ្ជមាន (D< 0),то корней нет.

ប្រសិនបើការរើសអើងគឺសូន្យ នោះ x = (-b)/2a ។ ពេលអ្នករើសអើង លេខវិជ្ជមាន(D > 0),

បន្ទាប់មក x 1 = (-b − √D)/2a និង x 2 = (-b + √D)/2a ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ x ២- 4x + 4 = 0 ។

ឃ = 4 2 − 4 4 = 0

x = (- (−4))/2 = 2

ចម្លើយ៖ ២.

ដោះស្រាយសមីការ ២ x ២ + x + 3 = 0 ។

ឃ = 1 2 − 4 2 3 = − 23

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស.

ដោះស្រាយសមីការ ២ x ២ + 5x − 7 = 0.

ឃ = 5 2 − 4 2 (–7) = 81

x 1 = (−5 − √81)/(2 2)= (−5 − 9)/4= − 3.5

x 2 = (−5 + √81)/(2 2) = (−5 + 9)/4=1

ចម្លើយ៖ - ៣.៥; ១.

ដូច្នេះ ចូរយើងស្រមៃមើលដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ពេញលេញ ដោយប្រើដ្យាក្រាមក្នុងរូបភាពទី 1 ។

ដោយប្រើរូបមន្តទាំងនេះ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ន សមីការត្រូវបានសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ

ក x ២ + bx + គ,បើមិនដូច្នោះទេអ្នកអាចមានកំហុស។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងការសរសេរសមីការ x + 3 + 2x 2 = 0 អ្នកអាចសម្រេចចិត្តខុសថា

a = 1, b = 3 និង c = 2. បន្ទាប់មក

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ហើយបន្ទាប់មកសមីការមានឫសពីរ។ ហើយនេះមិនមែនជាការពិតទេ។ (សូមមើលដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ទី 2 ខាងលើ) ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើសមីការមិនត្រូវបានសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារទេ ដំបូងសមីការការ៉េពេញលេញត្រូវតែសរសេរជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារ ( monomial ដែលមាននិទស្សន្តធំជាងគេគួរតែមកមុន នោះគឺ ក x ២ បន្ទាប់មកជាមួយតិច – bxហើយបន្ទាប់មកសមាជិកឥតគិតថ្លៃ ជាមួយ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងសមីការ quadratic ជាមួយនឹងមេគុណគូនៅក្នុងពាក្យទីពីរ អ្នកអាចប្រើរូបមន្តផ្សេងទៀត។ ចូរយើងស្គាល់រូបមន្តទាំងនេះ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េពេញលេញ ពាក្យទីពីរមានមេគុណគូ (b=2k) នោះអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមក្នុងរូបភាពទី 2 ។

សមីការការ៉េពេញលេញត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយប្រសិនបើមេគុណនៅ x ២ គឺស្មើនឹងមួយ ហើយសមីការយកទម្រង់ x 2 + px + q = 0. សមីការបែបនេះអាចត្រូវបានផ្តល់សម្រាប់ដំណោះស្រាយ ឬវាអាចត្រូវបានទទួលបានដោយការបែងចែកមេគុណទាំងអស់នៃសមីការដោយមេគុណ កឈរនៅ x ២ .

រូបភាពទី 3 បង្ហាញដ្យាក្រាមសម្រាប់ដោះស្រាយការេដែលបានកាត់បន្ថយ
សមីការ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរូបមន្តដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ

3x ២ + 6x − 6 = 0 ។

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមក្នុងរូបភាពទី 1 ។

ឃ = 6 2– 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (−6 − 6√3)/(2 3) = (6 (−1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (−6 + 6√3)/(2 3) = (6 (−1+ √(3)))/6 = −1 + √3

ចម្លើយ៖ −1–√3; −1 + √3

អ្នកអាចសម្គាល់ឃើញថា មេគុណនៃ x ក្នុងសមីការនេះគឺជាចំនួនគូ ពោលគឺ b = 6 ឬ b = 2k, whence k = 3. បន្ទាប់មក ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមនៃរូប D 1 = 3 2– 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (−3 − 3√3)/3 = (3 (−1 − √(3)))/3 = – 1– √3

x 2 = (−3 + 3√3)/3 = (3 (−1 + √(3)))/3 = − 1 + √3

ចម្លើយ៖ −1–√3; −1 + √3. ដោយកត់សំគាល់ថាមេគុណទាំងអស់នៅក្នុងសមីការការ៉េនេះត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ហើយអនុវត្តការបែងចែក យើងទទួលបានសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 + 2x – 2 = 0 ដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការកាត់បន្ថយការេ
រូបភាពទី ៣ ។

ឃ 2 = 2 2 − 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (−2 − 2√3)/2 = (2 (−1 - √(3)))/2 = – 1– √3

x 2 = (−2 + 2√3)/2 = (2 (−1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

ចម្លើយ៖ −1–√3; −1 + √3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តផ្សេងគ្នាយើងបានទទួលចម្លើយដូចគ្នា។ ដូច្នេះ ដោយបានស្ទាត់ជំនាញយ៉ាងម៉ត់ចត់នូវរូបមន្តដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមក្នុងរូបភាពទី 1 នោះ អ្នកនឹងតែងតែអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។

blog.site នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។

សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានសិក្សានៅថ្នាក់ទី 8 ដូច្នេះមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅទីនេះទេ។ សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយពួកគេគឺចាំបាច់ណាស់។

សមីការ quadratic គឺជាសមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 ដែលមេគុណ a, b និង c គឺជាលេខបំពាន និង a ≠ 0 ។

មុននឹងសិក្សាវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយជាក់លាក់ សូមចំណាំថាសមីការការ៉េទាំងអស់អាចបែងចែកជាបីថ្នាក់៖

1. មិនមានឫស;
2. មានឫសពិតប្រាកដមួយ;
3. ពួកគេមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

នេះគឺជាភាពខុសគ្នាដ៏សំខាន់រវាងសមីការការ៉េ និងសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលឫសតែងតែមាន និងមានតែមួយគត់។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ថាតើសមីការមួយមានឫសប៉ុន្មាន? មានរឿងអស្ចារ្យសម្រាប់រឿងនេះ - រើសអើង.

រើសអើង

សូមអោយសមីការការ៉េ ax 2 + bx + c = 0 ។ បន្ទាប់មក លេខដែលបែងចែកគឺសាមញ្ញជាលេខ D = b 2 − 4ac ។

អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តនេះដោយបេះដូង។ វាមកពីណាមិនសំខាន់ទេឥឡូវនេះ។ រឿងមួយទៀតគឺសំខាន់៖ តាមរយៈសញ្ញានៃអ្នករើសអើង អ្នកអាចកំណត់ថាតើសមីការបួនជ្រុងមានឫសប៉ុន្មាន។ ពោលគឺ៖

1. ប្រសិនបើ D< 0, корней нет;
2. ប្រសិនបើ D = 0 មានឫសមួយពិតប្រាកដ។
3. ប្រសិនបើ D > 0 វានឹងមានឫសពីរ។

សូមចំណាំ៖ អ្នករើសអើងបង្ហាញពីចំនួនឫស ហើយមិនមែនសញ្ញាទាំងអស់នោះទេ ព្រោះហេតុផលមួយចំនួនដែលមនុស្សជាច្រើនជឿ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ អ្នកនឹងយល់គ្រប់យ៉ាងដោយខ្លួនឯង៖

កិច្ចការ។ តើសមីការការ៉េមានឫសប៉ុន្មាន៖

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0 ។

ចូរយើងសរសេរមេគុណសម្រាប់សមីការទីមួយ ហើយស្វែងរកការរើសអើង៖
a = 1, b = −8, c = 12;
ឃ = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ដូច្នេះអ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ យើងវិភាគសមីការទីពីរតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា៖
a = 5; b = 3; c = 7;
ឃ = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131 ។

អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន គ្មានឫសគល់ទេ។ សមីការចុងក្រោយដែលនៅសល់គឺ៖
a = 1; b = −6; c = 9;
ឃ = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0 ។

អ្នករើសអើងគឺសូន្យ - ឫសនឹងមានតែមួយ។

សូមចំណាំថាមេគុណត្រូវបានសរសេរចុះសម្រាប់សមីការនីមួយៗ។ បាទ វាមានរយៈពេលយូរ បាទ វាជាការធុញទ្រាន់ ប៉ុន្តែអ្នកនឹងមិនលាយឡំ និងបង្កើតកំហុសឆោតល្ងង់នោះទេ។ ជ្រើសរើសសម្រាប់ខ្លួនអ្នក៖ ល្បឿនឬគុណភាព។

និយាយអីញ្ចឹង ប្រសិនបើអ្នកទទួលបានវា មួយសន្ទុះក្រោយមក អ្នកនឹងមិនចាំបាច់សរសេរមេគុណទាំងអស់នោះទេ។ អ្នកនឹងធ្វើប្រតិបត្តិការបែបនេះនៅក្នុងក្បាលរបស់អ្នក។ មនុស្សភាគច្រើនចាប់ផ្តើមធ្វើវានៅកន្លែងណាមួយបន្ទាប់ពីសមីការដោះស្រាយ 50-70 - ជាទូទៅមិនមែនច្រើននោះទេ។

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅដំណោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ ប្រសិនបើការរើសអើង D > 0 ឫសអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

រូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

នៅពេល D = 0 អ្នកអាចប្រើរូបមន្តទាំងនេះណាមួយ - អ្នកនឹងទទួលបានលេខដូចគ្នាដែលនឹងក្លាយជាចម្លើយ។ ជាចុងក្រោយ ប្រសិនបើ D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0 ។

សមីការទីមួយ៖
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
ឃ = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16 ។

D > 0 ⇒ សមីការមានឫសពីរ។ តោះស្វែងរកពួកគេ៖

សមីការទីពីរ៖
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64 ។

D > 0 ⇒ សមីការម្តងទៀតមានឫសពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកគេ។

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1\right))=-5; \\ & ((x)_(២))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1\right))=3. \\ \end(តម្រឹម)\]

ទីបំផុតសមីការទីបី៖
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
ឃ = 12 2 − 4 1 36 = 0 ។

D = 0 ⇒ សមីការមានឫសតែមួយ។ រូបមន្តណាមួយអាចត្រូវបានប្រើ។ ឧទាហរណ៍ទីមួយ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពីឧទាហរណ៍អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ ប្រសិនបើអ្នកស្គាល់រូបមន្ត និងអាចរាប់បាន នោះនឹងមិនមានបញ្ហាអ្វីឡើយ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ កំហុសកើតឡើងនៅពេលជំនួសមេគុណអវិជ្ជមានទៅក្នុងរូបមន្ត។ នៅទីនេះម្តងទៀត បច្ចេកទេសដែលបានពិពណ៌នាខាងលើនឹងជួយ: មើលរូបមន្តតាមព្យញ្ជនៈ សរសេរជំហាននីមួយៗ - ហើយឆាប់ៗនេះអ្នកនឹងកម្ចាត់កំហុស។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

វាកើតឡើងថាសមីការការ៉េគឺខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចពីអ្វីដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងនិយមន័យ។ ឧទាហរណ៍:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0 ។

វាងាយស្រួលក្នុងការកត់សំគាល់ថាសមីការទាំងនេះបាត់ពាក្យមួយឃ្លា។ សមីការ​ការ៉េ​បែបនេះ​គឺ​កាន់តែ​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​ជាង​សមីការ​ស្ដង់ដារ៖ ពួកគេ​មិន​តម្រូវ​ឲ្យ​គណនា​ការ​រើសអើង​ឡើយ។ ដូច្នេះសូមណែនាំគំនិតថ្មី៖

សមីការ ax 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ quadratic មិនពេញលេញ ប្រសិនបើ b = 0 ឬ c = 0, i.e. មេគុណនៃអថេរ x ឬធាតុទំនេរគឺស្មើនឹងសូន្យ។

ជាការពិតណាស់វាអាចទៅរួចទាំងស្រុង ករណីរឹងនៅពេលដែលមេគុណទាំងពីរនេះស្មើនឹងសូន្យ៖ b = c = 0 ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការយកទម្រង់ ax 2 = 0 ។ ជាក់ស្តែង សមីការបែបនេះមានឫសតែមួយ៖ x = 0 ។

ចូរយើងពិចារណាករណីដែលនៅសល់។ អនុញ្ញាតឱ្យ b = 0 បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 + c = 0 ។ ចូរយើងបំប្លែងវាបន្តិច៖

ដោយសារឫសការ៉េនព្វន្ធមានតែមកពីមិនមែន លេខអវិជ្ជមានសមភាពចុងក្រោយមានន័យសម្រាប់តែ (−c /a) ≥ 0។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖

1. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 + c = 0 វិសមភាព (−c /a) ≥ 0 ត្រូវបានពេញចិត្ត វានឹងមានឫសពីរ។ រូបមន្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ;
2. ប្រសិនបើ (−c/a)< 0, корней нет.

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ការរើសអើងមិនត្រូវបានទាមទារទេ - មិនមានការគណនាស្មុគ្រស្មាញទាល់តែសោះនៅក្នុងសមីការ quadratic មិនពេញលេញ។ តាមពិតទៅ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការចងចាំវិសមភាព (−c /a) ≥ 0។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញតម្លៃ x 2 ហើយមើលអ្វីដែលនៅម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើគ្នា។ ប្រសិនបើមានលេខវិជ្ជមាននោះនឹងមានឫសពីរ។ ប្រសិនបើវាអវិជ្ជមានវានឹងមិនមានឫសអ្វីទាំងអស់។

ឥឡូវសូមមើលសមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx = 0 ដែលក្នុងនោះធាតុទំនេរស្មើនឹងសូន្យ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ: វាតែងតែមានឫសពីរ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងកត្តាពហុនាម៖

យកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប

ផលិតផលគឺសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយគឺសូន្យ។ នេះគឺជាកន្លែងដែលឫសមកពី។ សរុបសេចក្តី សូមក្រឡេកមើលសមីការមួយចំនួនខាងក្រោម៖

កិច្ចការ។ ដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0 ។

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7 ។

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ។ មិនមានឫសទេពីព្រោះ ការ៉េមិនអាចស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានទេ។

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5 ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ។ ករណីនៃឫសពិត ច្រើន និងស្មុគស្មាញត្រូវបានពិចារណា។ ការបំបែកឯកតា ត្រីកោណមាត្រ. ការបកស្រាយធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ឫស និងកត្តា។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

ពិចារណាសមីការការ៉េ៖
(1) .
ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ(១) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
; .
រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានផ្សំដូចនេះ៖
.
នៅពេលដែលឫសនៃសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេស្គាល់ នោះពហុធានៃដឺក្រេទីពីរអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃកត្តា (កត្តា):
.

យើងសន្មត់បន្ថែមទៀតថា - ចំនួនពិត.
ចូរយើងពិចារណា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ:
.
ប្រសិនបើការរើសអើងមានភាពវិជ្ជមាន នោះសមីការបួនជ្រុង (1) មានឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា៖
; .
បន្ទាប់មក កត្តាកំណត់នៃត្រីកោណមាត្របួនជ្រុងមានទម្រង់៖
.
ប្រសិនបើការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការការ៉េ (1) មានឫសពិតពីរ (ស្មើគ្នា)៖
.
ការបំបែកជាកត្តា៖
.
ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន នោះសមីការបួនជ្រុង (1) មានឫសផ្សំស្មុគស្មាញពីរ៖
;
.
នេះគឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ ;
ហើយជាផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃឫស៖
; .
បន្ទាប់មក

.

ការបកស្រាយក្រាហ្វិក

ប្រសិនបើអ្នកសាងសង់ ក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។
,
ដែលជាប៉ារ៉ាបូឡា បន្ទាប់មកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សនឹងជាឫសគល់នៃសមីការ
.
នៅ ក្រាហ្វកាត់អ័ក្ស x (អ័ក្ស) នៅពីរចំណុច។
នៅពេល ក្រាហ្វប៉ះអ័ក្ស x នៅចំណុចមួយ។
នៅពេល ក្រាហ្វមិនឆ្លងកាត់អ័ក្ស x ទេ។

ខាងក្រោមនេះជាឧទាហរណ៍នៃក្រាហ្វបែបនេះ។

រូបមន្តមានប្រយោជន៍ទាក់ទងនឹងសមីការការ៉េ

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

យើងអនុវត្តការបំប្លែង និងអនុវត្តរូបមន្ត (f.1) និង (f.3)៖




,
កន្លែងណា
; .

ដូច្នេះ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីពីរក្នុងទម្រង់៖
.
នេះបង្ហាញថាសមីការ

បានសម្តែងនៅ
និង។
នោះហើយជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
.

ឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឧទាហរណ៍ ១

(1.1) .

ដំណោះស្រាយ

.
ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការរបស់យើង (1.1) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
យើងរកឃើញអ្នករើសអើង៖
.
ដោយសារការរើសអើងមានភាពវិជ្ជមាន សមីការមានឫសពិតពីរ៖
;
;
.

ពីទីនេះយើងទទួលបានកត្តាកត្តានៃត្រីកោណចតុកោណៈ

.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 2 x 2 + 7 x + 3កាត់អ័ក្ស x នៅពីរចំណុច។

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាឆ្លងកាត់អ័ក្ស abscissa (អ័ក្ស) នៅពីរចំណុច៖
និង។
ចំណុចទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម (១.១)។

ចម្លើយ

;
;
.

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
(2.1) .

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងសរសេរសមីការ quadratic ក្នុង ទិដ្ឋភាពទូទៅ:
.
ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការដើម (២.១) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
យើងរកឃើញអ្នករើសអើង៖
.
ដោយសារការរើសអើងគឺសូន្យ សមីការមានឫសច្រើន (ស្មើគ្នា) ពីរ៖
;
.

បន្ទាប់មក កត្តាកត្តានៃត្រីភាគីមានទម្រង់៖
.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 2 − 4 x + 4ប៉ះអ័ក្ស x នៅចំណុចមួយ។

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាប៉ះអ័ក្ស x (អ័ក្ស) នៅចំណុចមួយ៖
.
ចំណុចនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម (២.១)។ ដោយសារតែឫសនេះត្រូវបានកត្តាពីរដង:
,
បន្ទាប់មកឫសបែបនេះជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាពហុគុណ។ នោះគឺពួកគេជឿថាមានឫសពីរស្មើគ្នា៖
.

ចម្លើយ

;
.

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
(3.1) .

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងសរសេរសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖
(1) .
ចូរសរសេរសមីការដើមឡើងវិញ (៣.១)៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយ (1) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
យើងរកឃើញអ្នករើសអើង៖
.
អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះមិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

អ្នកអាចរកឃើញឫសស្មុគស្មាញ៖
;
;
.

បន្ទាប់មក


.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនឆ្លងកាត់អ័ក្ស x ទេ។ មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាមិនប្រសព្វអ័ក្ស x (អ័ក្ស) ទេ។ ដូច្នេះមិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

ចម្លើយ

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។ ឫសស្មុគស្មាញ៖
;
;
.

សមីការ​ការ៉េ​ - ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​! * តទៅនេះហៅថា KU ។មិត្តភ័ក្តិ វាហាក់ដូចជាថាមិនមានអ្វីសាមញ្ញជាងនៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាងការដោះស្រាយសមីការបែបនេះទេ។ ប៉ុន្តែមានអ្វីមួយបានប្រាប់ខ្ញុំថាមនុស្សជាច្រើនមានបញ្ហាជាមួយគាត់។ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តមើលថាតើមានការចាប់អារម្មណ៍តាមតម្រូវការប៉ុន្មានដែល Yandex ផ្តល់ឱ្យក្នុងមួយខែ។ នេះជាអ្វីដែលបានកើតឡើងសូមមើល៖

តើ​វា​មានន័យ​យ៉ាង​ដូចម្តេច? នេះមានន័យថាមនុស្សប្រហែល 70,000 នាក់ក្នុងមួយខែកំពុងស្វែងរក ព័ត៌មាននេះ។តើ​នេះ​មាន​អ្វី​ទាក់ទង​នឹង​រដូវ​ក្ដៅ និង​អ្វី​នឹង​កើត​ឡើង​ក្នុង​អំឡុង​ឆ្នាំ​សិក្សា - វា​នឹង​មាន​សំណើ​ច្រើន​ជាង​ពីរដង។ នេះមិនមែនជារឿងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ ព្រោះក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រីទាំងនោះដែលបានបញ្ចប់ការសិក្សាតាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ និងកំពុងត្រៀមប្រឡង Unified State កំពុងស្វែងរកព័ត៌មាននេះ ហើយសិស្សសាលាក៏ខិតខំធ្វើឱ្យការចងចាំរបស់ពួកគេឡើងវិញផងដែរ។

ទោះបីជាមានគេហទំព័រជាច្រើនដែលប្រាប់អ្នកពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនេះក៏ដោយ ក៏ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តចូលរួមវិភាគទាន និងបោះពុម្ពផ្សាយសម្ភារៈផងដែរ។ ជាដំបូង ខ្ញុំចង់ឱ្យអ្នកទស្សនាមកកាន់គេហទំព័ររបស់ខ្ញុំដោយផ្អែកលើសំណើនេះ; ទីពីរ នៅក្នុងអត្ថបទផ្សេងទៀត នៅពេលដែលប្រធានបទ "KU" កើតឡើង ខ្ញុំនឹងផ្តល់តំណភ្ជាប់ទៅកាន់អត្ថបទនេះ។ ទីបី ខ្ញុំ​នឹង​ប្រាប់​អ្នក​បន្តិច​ទៀត​អំពី​ដំណោះ​ស្រាយ​របស់​គាត់ ជា​ជាង​មាន​ចែង​នៅ​លើ​គេហទំព័រ​ផ្សេង​ទៀត។ តោះ​ចាប់ផ្តើម!ខ្លឹមសារនៃអត្ថបទ៖

សមីការ​ការ៉េ​គឺជា​សមីការ​នៃ​ទម្រង់​៖

ដែលជាកន្លែងដែលមេគុណ a,ខហើយ c ជាលេខបំពាន ដោយ a≠0។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលាសម្ភារៈត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោម - សមីការត្រូវបានបែងចែកជាបីថ្នាក់:

1. ពួកគេមានឫសពីរ។

2. * មានឫសតែមួយ។

3. ពួកគេគ្មានឫសទេ។ វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ជាពិសេសនៅទីនេះថាពួកគេមិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

តើឫសត្រូវបានគណនាយ៉ាងដូចម្តេច? គ្រាន់តែ!

យើងគណនាអ្នករើសអើង។ នៅក្រោមពាក្យ "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" នេះមានរូបមន្តសាមញ្ញបំផុត:

រូបមន្តឫសមានដូចខាងក្រោម៖

* អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តទាំងនេះដោយបេះដូង។

អ្នកអាចសរសេរនិងដោះស្រាយភ្លាមៗ៖

ឧទាហរណ៍៖

1. ប្រសិនបើ D > 0 នោះសមីការមានឫសពីរ។

2. ប្រសិនបើ D = 0 នោះសមីការមានឫសតែមួយ។

3. ប្រសិនបើ D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

តោះមើលសមីការ៖

ក្នុង​ន័យ​នេះ កាល​ណា​អ្នក​រើស​អើង​ស្មើ​នឹង​សូន្យ វគ្គ​សាលា​និយាយ​ថា ឫស​មួយ​ទទួល​បាន ត្រង់​នេះ​ស្មើ​នឹង ៩។ គ្រប់យ៉ាងគឺត្រឹមត្រូវ វាអញ្ចឹង ប៉ុន្តែ...

គំនិតនេះគឺមិនត្រឹមត្រូវខ្លះ។ តាមពិតមានឫសពីរ។ បាទ/ចាស៎ កុំភ្ញាក់ផ្អើល អ្នកទទួលបានឫសពីរស្មើគ្នា ហើយដើម្បីឱ្យច្បាស់លាស់តាមគណិតវិទ្យា នោះចម្លើយគួរតែសរសេរឫសពីរ៖

x 1 = 3 x 2 = 3

ប៉ុន្តែនេះគឺដូច្នេះ - ភាពច្របូកច្របល់តូចមួយ។ នៅសាលា អ្នកអាចសរសេរវាចុះ ហើយនិយាយថាមានឫសមួយ។

ឥឡូវឧទាហរណ៍បន្ទាប់៖

ដូចដែលយើងដឹងហើយ ឫសនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនអាចយកបានទេ ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៅក្នុង ក្នុងករណី​នេះទេ

នោះជាដំណើរការសម្រេចចិត្តទាំងមូល។

មុខងារបួនជ្រុង។

នេះបង្ហាញពីអ្វីដែលដំណោះស្រាយមើលទៅដូចធរណីមាត្រ។ នេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ (នៅពេលអនាគតនៅក្នុងអត្ថបទមួយ យើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពការ៉េ)។

នេះគឺជាមុខងារនៃទម្រង់៖

ដែល x និង y ជាអថេរ

a, b, c - លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយមាន ≠ 0

ក្រាហ្វគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា៖

នោះ​គឺ​វា​ប្រែ​ថា​ដោយ​ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​ជាមួយ "y" ស្មើ​នឹង​សូន្យ យើង​រក​ឃើញ​ចំណុច​ប្រសព្វ​នៃ​ប៉ារ៉ាបូឡា​ជាមួយ​អ័ក្ស x ។ វាអាចមានពីរចំណុចនេះ (អ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន) មួយ (អ្នករើសអើងគឺសូន្យ) និងគ្មាន (អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន)។ ព័ត៌មានលម្អិតអំពី មុខងារបួនជ្រុង អ្នកអាចមើលអត្ថបទដោយ Inna Feldman ។

តោះមើលឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ 1: ដោះស្រាយ 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= −192

ឃ=ខ 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

ចម្លើយ៖ x 1 = 8 x 2 = −12

* វាអាចបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការបានភ្លាមៗ ដោយ 2 មានន័យថា ធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ។ ការគណនានឹងកាន់តែងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ 2៖ សម្រេចចិត្ត x ២–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac = (–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

យើងបានរកឃើញថា x 1 = 11 និង x 2 = 11

វាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យសរសេរ x = 11 នៅក្នុងចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ x = ១១

ឧទាហរណ៍ 3៖ សម្រេចចិត្ត x 2 −8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac = (–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនពិតទេ។

ចម្លើយ៖ គ្មានដំណោះស្រាយទេ។

អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។ មានដំណោះស្រាយ!

នៅទីនេះយើងនឹងនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងករណីនៅពេលដែលការរើសអើងអវិជ្ជមានត្រូវបានទទួល។ តើអ្នកដឹងអ្វីខ្លះអំពីចំនួនកុំផ្លិច? ខ្ញុំនឹងមិននិយាយលម្អិតនៅទីនេះអំពីមូលហេតុ និងកន្លែងដែលពួកគេក្រោកឡើង និងអ្វីដែលតួនាទី និងភាពចាំបាច់ជាក់លាក់របស់ពួកគេនៅក្នុងគណិតវិទ្យានោះទេ នេះគឺជាប្រធានបទសម្រាប់អត្ថបទដាច់ដោយឡែកដ៏ធំមួយ។

គំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ទ្រឹស្តីតិចតួច។

ចំនួនកុំផ្លិច z គឺជាចំនួននៃទម្រង់

z = a + ប៊ី

ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ខ្ញុំគឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។

a+bi - នេះគឺជាលេខតែមួយ មិនមែនជាការបន្ថែមទេ។

ឯកតាស្រមើលស្រមៃស្មើនឹងឫសនៃដកមួយ៖

ឥឡូវពិចារណាសមីការ៖

យើងទទួលបានឫសផ្សំពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ចូរយើងពិចារណាករណីពិសេស នេះគឺជាពេលដែលមេគុណ "b" ឬ "c" ស្មើនឹងសូន្យ (ឬទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ)។ ពួកគេអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយមិនមានការរើសអើងណាមួយឡើយ។

ករណី 1. មេគុណ b = 0 ។

សមីការក្លាយជា៖

តោះបម្លែង៖

ឧទាហរណ៍៖

4x 2 −16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = −2

ករណីទី 2. មេគុណ c = 0 ។

សមីការក្លាយជា៖

ចូរយើងបំប្លែង និងធ្វើកត្តា៖

*ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ។

ឧទាហរណ៍៖

9x 2–45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ឬ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

ករណីទី 3. មេគុណ b = 0 និង c = 0 ។

នៅទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនឹងតែងតែ x = 0 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានប្រយោជន៍ និងលំនាំនៃមេគុណ។

មានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងមេគុណធំ។

កx 2 + bx+ គ=0 រក្សាសមភាព

ក + ខ+ គ = ០,នោះ។

- ប្រសិនបើសម្រាប់មេគុណនៃសមីការ កx 2 + bx+ គ=0 រក្សាសមភាព

ក+ គ =ខ, នោះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះជួយដោះស្រាយសមីការប្រភេទជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ 1៖ 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ផលបូកនៃហាងឆេងគឺ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ដែលមានន័យថា

ឧទាហរណ៍ 2៖ 2501 x 2 +2507 x+6=0

រក្សាសមភាព ក+ គ =ខ, មធ្យោបាយ

ភាពទៀងទាត់នៃមេគុណ។

1. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 + bx + c = 0 មេគុណ "b" គឺស្មើនឹង (a 2 +1) ហើយមេគុណ "c" ជាលេខ ស្មើនឹងមេគុណ"a" បន្ទាប់មកឫសរបស់វាស្មើគ្នា

អ័ក្ស 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a ។

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 6x 2 + 37x + 6 = 0 ។

x 1 = −6 x 2 = −1/6 ។

2. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 – bx + c = 0 មេគុណ "b" គឺស្មើនឹង (a 2 +1) ហើយមេគុណ "c" គឺស្មើលេខនឹងមេគុណ "a" នោះឫសរបស់វាស្មើគ្នា។

អ័ក្ស 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a ។

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 15x 2 –226x +15 = 0 ។

x 1 = 15 x 2 = 1/15 ។

3. ប្រសិនបើនៅក្នុង Eq ។ ax 2 + bx – c = 0 coefficient “b” គឺស្មើនឹង (a 2 - ១) និងមេគុណ “គ” ជាលេខស្មើនឹងមេគុណ "a", បន្ទាប់មកឫសរបស់វាស្មើគ្នា

អ័ក្ស 2 + (a 2 −1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a ។

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 17x 2 +288x – 17 = 0 ។

x 1 = − 17 x 2 = 1/17 ។

4. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 – bx – c = 0 មេគុណ “b” គឺស្មើនឹង (a 2 – 1) ហើយមេគុណ c ជាលេខស្មើនឹងមេគុណ “a” នោះឫសរបស់វាស្មើគ្នា។

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a ។

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 10x 2 – 99x –10 = 0 ។

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta ត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូបារាំងដ៏ល្បីល្បាញ Francois Vieta។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងអាចបង្ហាញពីផលបូក និងផលនៃឫសនៃ KU បំពានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា។

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

សរុបមក លេខ 14 ផ្តល់តែ 5 និង 9 ។ ទាំងនេះគឺជាឫសគល់។ ជាមួយនឹងជំនាញជាក់លាក់ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទបង្ហាញ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េជាច្រើនដោយផ្ទាល់មាត់ភ្លាមៗ។

លើសពីនេះទៀតទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ងាយស្រួលបន្ទាប់ពីដោះស្រាយសមីការការ៉េ នៅក្នុងវិធីធម្មតា។(តាមរយៈអ្នករើសអើង) ឫសលទ្ធផលអាចត្រូវបានពិនិត្យ។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យធ្វើបែបនេះជានិច្ច។

មធ្យោបាយដឹកជញ្ជូន

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ មេគុណ "a" ត្រូវបានគុណនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ ដូចជា "បោះ" ទៅវា នោះហើយជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្ត "ផ្ទេរ" ។វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលឫសនៃសមីការអាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ហើយសំខាន់បំផុតនៅពេលដែលការរើសអើងគឺជាការ៉េពិតប្រាកដ។

ប្រសិនបើ ក± b+c≠ 0 បន្ទាប់មកបច្ចេកទេសផ្ទេរត្រូវបានប្រើឧទាហរណ៍៖

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក្នុងសមីការ (2) វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថា x 1 = 10 x 2 = 1

ឫសលទ្ធផលនៃសមីការត្រូវតែបែងចែកដោយ 2 (ចាប់តាំងពីទាំងពីរត្រូវបាន "បោះ" ពី x 2) យើងទទួលបាន

x 1 = 5 x 2 = 0.5 ។

តើអ្វីជាហេតុផល? រកមើលអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង។

ការរើសអើងនៃសមីការ (១) និង (២) គឺស្មើគ្នា៖

ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឫសនៃសមីការ អ្នកទទួលបានតែភាគបែងផ្សេងគ្នា ហើយលទ្ធផលគឺអាស្រ័យយ៉ាងជាក់លាក់លើមេគុណនៃ x 2៖

ទីពីរ (កែប្រែ) មួយមានឫសធំជាង 2 ដង។

ដូច្នេះយើងបែងចែកលទ្ធផលដោយ 2 ។

* ប្រសិនបើយើងបង្វិលបីឡើងវិញ យើងនឹងបែងចែកលទ្ធផលដោយ 3 ។ល។

ចម្លើយ៖ x 1 = 5 x 2 = 0.5

ការ៉េ ur-ie និងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកដោយសង្ខេបអំពីសារៈសំខាន់របស់វា - អ្នកត្រូវតែអាចសម្រេចចិត្តយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងដោយមិនគិតពិចារណា អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តនៃឫសគល់ និងការរើសអើងដោយបេះដូង។ បញ្ហាជាច្រើនដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកិច្ចការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម ចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង (រួមបញ្ចូលធរណីមាត្រ)។

អ្វីដែលគួរកត់សម្គាល់!

1. ទម្រង់នៃការសរសេរសមីការអាច "បង្កប់ន័យ"។ ឧទាហរណ៍ ធាតុខាងក្រោមគឺអាចធ្វើទៅបាន៖

15+ 9x 2 − 45x = 0 ឬ 15x + 42 + 9x 2 − 45x = 0 ឬ 15 −5x + 10x 2 = 0 ។

អ្នកត្រូវនាំគាត់ទៅ ទិដ្ឋភាពស្តង់ដារ(ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំនៅពេលសម្រេចចិត្ត) ។

2. ចងចាំថា x គឺជាបរិមាណដែលមិនស្គាល់ ហើយវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរផ្សេងទៀត - t, q, p, h និងផ្សេងទៀត។

យើងបន្តសិក្សាលើប្រធានបទ " ការដោះស្រាយសមីការ" យើងបានស្គាល់សមីការលីនេអ៊ែររួចហើយ ហើយកំពុងបន្តទៅស្គាល់ សមីការ​ការ៉េ.

ជាដំបូង យើងនឹងពិនិត្យមើលថាតើសមីការបួនជ្រុងជាអ្វី របៀបដែលវាត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ទូទៅ និងផ្តល់និយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនេះ យើងនឹងប្រើឧទាហរណ៍ដើម្បីពិនិត្យមើលលម្អិតអំពីរបៀបដែលសមីការការ៉េមិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ។ ចូរយើងបន្តទៅដំណោះស្រាយ សមីការពេញលេញយើងនឹងទទួលបានរូបមន្តឫសគល់ ស្គាល់អ្នករើសអើងនៃសមីការការ៉េ និងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ធម្មតា។ ជាចុងក្រោយ ចូរយើងតាមដានទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ។

ការរុករកទំព័រ។

តើសមីការការ៉េជាអ្វី? ប្រភេទរបស់ពួកគេ។

ដំបូង​អ្នក​ត្រូវ​យល់​ច្បាស់​ថា​អ្វី​ជា​សមីការ​បួន​ជ្រុង។ ដូច្នេះ វាសមហេតុផលក្នុងការចាប់ផ្តើមការសន្ទនាអំពីសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ ក៏ដូចជានិយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនេះ អ្នកអាចពិចារណាអំពីប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការការ៉េ៖ កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ ក៏ដូចជាសមីការពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ

និយមន័យ។

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + b x + c = 0ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ a គឺមិនមែនសូន្យ។

ចូរនិយាយភ្លាមៗថា សមីការ quadratic ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាសមីការ quadratic គឺ សមីការពិជគណិតសញ្ញាបត្រទីពីរ។

និយមន័យដែលបានបញ្ជាក់អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ។ ដូច្នេះ 2 x 2 +6 x + 1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ។ល។ ទាំងនេះគឺជាសមីការការ៉េ។

និយមន័យ។

លេខ a, b និង c ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃសមីការការ៉េ a·x 2 +b·x+c=0 ហើយមេគុណ a ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ឬខ្ពស់បំផុត ឬមេគុណ x 2 b គឺជាមេគុណទីពីរ ឬមេគុណ x ហើយ c គឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ .

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េនៃទម្រង់ 5 x 2 −2 x −3=0 នៅទីនេះ មេគុណនាំមុខគឺ 5 មេគុណទីពីរគឺស្មើនឹង −2 ហើយពាក្យទំនេរគឺស្មើនឹង −3 ។ ចំណាំថានៅពេលដែលមេគុណ b និង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ដែលទើបតែបានផ្តល់ឱ្យ ទម្រង់​ខ្លីសរសេរសមីការការ៉េនៃទម្រង់ 5 x 2 −2 x−3=0 ហើយមិនមែន 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 ។

គួរកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលមេគុណ a និង/ឬ b ស្មើនឹង 1 ឬ −1 ពួកវាជាធម្មតាមិនមានវត្តមានយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងសមីការការ៉េ ដែលបណ្តាលមកពីភាពពិសេសនៃការសរសេរបែបនេះ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការការ៉េ y 2 −y + 3=0 មេគុណនាំមុខគឺមួយ ហើយមេគុណនៃ y គឺស្មើនឹង −1 ។

សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយ

អាស្រ័យលើតម្លៃនៃមេគុណនាំមុខ សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ និងមិនបានកាត់បន្ថយត្រូវបានសម្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា។

និយមន័យ។

សមីការ quadratic ដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​. បើមិនដូច្នោះទេសមីការការ៉េគឺ មិនបានប៉ះ.

យោង​ទៅ​តាម និយមន័យនេះ។, សមីការការ៉េ x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ។ល។ - បានផ្តល់ឱ្យ ក្នុងពួកវានីមួយៗ មេគុណទីមួយគឺស្មើនឹងមួយ។ A 5 x 2 −x −1 = 0 ។ល។ - សមីការ​ការ៉េ​ដែល​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ មេគុណ​ឈាន​មុខ​គេ​គឺ​ខុស​ពី 1 ។

ពីសមីការ quadratic ដែលមិនកាត់បន្ថយណាមួយ ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណនាំមុខ អ្នកអាចទៅកាត់បន្ថយមួយ។ សកម្មភាពនេះគឺជាការបំប្លែងសមមូល ពោលគឺសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលទទួលបានតាមវិធីនេះមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការការ៉េដែលមិនកាត់បន្ថយដើម ឬដូចជាវាមិនមានឫសគល់។

ចូរយើងក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយអំពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ quadratic ដែលមិនកាត់បន្ថយទៅជាកាត់បន្ថយត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍។

ពីសមីការ 3 x 2 +12 x−7=0 ទៅកាន់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលត្រូវគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

យើងគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 3 វាមិនមែនជាសូន្យ ដូច្នេះយើងអាចអនុវត្តសកម្មភាពនេះបាន។ យើងមាន (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ដែលដូចគ្នា (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ហើយបន្ទាប់មក (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 ពីណា។ នេះ​ជា​របៀប​ដែល​យើង​ទទួល​បាន​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ ដែល​ស្មើ​នឹង​លេខ​ដើម។

ចម្លើយ៖

សមីការ​ក្រឡា​ចត្រង្គ​ពេញលេញ និង​មិន​ពេញលេញ

និយមន័យនៃសមីការការ៉េមានលក្ខខណ្ឌ a≠0។ លក្ខខណ្ឌនេះគឺចាំបាច់ដើម្បីឱ្យសមីការ a x 2 + b x + c = 0 គឺ quadratic ចាប់តាំងពីពេលដែល a = 0 វាពិតជាក្លាយជាសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ b x + c = 0 ។

ចំពោះមេគុណ b និង c ពួកគេអាចស្មើនឹងសូន្យ ទាំងបុគ្គល និងរួមគ្នា។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។

និយមន័យ។

សមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 ត្រូវបានហៅ មិនពេញលេញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ b, c គឺស្មើនឹងសូន្យ។

នៅក្នុងវេនរបស់វា។

និយមន័យ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េគឺជាសមីការដែលមេគុណទាំងអស់ខុសពីសូន្យ។

ឈ្មោះបែបនេះមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយចៃដន្យទេ។ វានឹងក្លាយជាច្បាស់ពីការពិភាក្សាខាងក្រោម។

ប្រសិនបើមេគុណ b ជាសូន្យ នោះសមីការការ៉េយកទម្រង់ ax 2 +0·x+c=0 ហើយវាស្មើនឹងសមីការ a·x 2 +c=0 ។ ប្រសិនបើ c=0 នោះគឺសមីការការ៉េមានទម្រង់ ax 2 +b·x+0=0 នោះវាអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា·x 2 +b·x=0 ។ ហើយជាមួយ b=0 និង c=0 យើងទទួលបានសមីការការ៉េ ax 2 = 0 ។ សមីការលទ្ធផលខុសពីសមីការការ៉េពេញលេញ ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេមិនមានទាំងពាក្យដែលមានអថេរ x ឬពាក្យឥតគិតថ្លៃ ឬទាំងពីរ។ ដូច្នេះឈ្មោះរបស់ពួកគេ - សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដូច្នេះសមីការ x 2 +x+1=0 និង −2 x 2 −5 x+0.2=0 គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េពេញលេញ និង x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x = 0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

ពីព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌមុនវាដូចខាងក្រោមថាមាន សមីការការ៉េមិនពេញលេញបីប្រភេទ:

• ax 2 = 0 មេគុណ b=0 និង c=0 ត្រូវគ្នានឹងវា;
• a x 2 +c=0 ពេល b=0 ;
• និង ax 2 +b·x=0 នៅពេល c=0 ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលតាមលំដាប់លំដោយថាតើសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃប្រភេទនីមួយៗនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច។

a x 2 = 0

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែលមេគុណ b និង c ស្មើនឹងសូន្យ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 = 0 ។ សមីការ ax 2 = 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ដែលទទួលបានពីដើមដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយចំនួនមិនសូន្យ a ។ ជាក់ស្តែង ឫសនៃសមីការ x 2 = 0 គឺសូន្យ ចាប់តាំងពី 0 2 = 0 ។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាសម្រាប់លេខដែលមិនសូន្យ p វិសមភាព p 2 > 0 ទទួលបាន ដែលមានន័យថាសម្រាប់ p≠0 សមភាព p 2 = 0 គឺមិនដែលសម្រេចបាន។

ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a·x 2 = 0 មានឫសតែមួយ x=0 ។

ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ −4 x 2 = 0 ។ វាស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x = 0 ដូច្នេះសមីការដើមមានឫសតែមួយសូន្យ។

ដំណោះស្រាយខ្លីក្នុងករណីនេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0 ។

a x 2 + c = 0

ឥឡូវសូមមើលពីរបៀបដែលសមីការ quadratic មិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណ b គឺសូន្យ និង c≠0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c = 0 ។ យើងដឹងថាការផ្លាស់ទីពាក្យមួយពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ក៏ដូចជាការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខមិនសូន្យ ផ្តល់សមីការសមមូល។ ដូច្នេះ យើងអាចអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលខាងក្រោមនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 +c=0៖

• ផ្លាស់ទី c ទៅខាងស្តាំ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = −c,
• ហើយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ a យើងទទួលបាន។

សមីការលទ្ធផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់របស់វា។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃ a និង c តម្លៃនៃកន្សោមអាចជាអវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a=1 និង c=2 បន្ទាប់មក) ឬវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a=−2 និង c=6, បន្ទាប់មក ) វាមិនមែនជាសូន្យទេ ព្រោះតាមលក្ខខណ្ឌ c≠0។ សូមក្រឡេកមើលករណីដោយឡែកពីគ្នា។

ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាការេនៃចំនួនណាមួយគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ វាកើតឡើងពីនេះថានៅពេលណា នោះសម្រាប់លេខណាមួយ p សមភាពមិនអាចក្លាយជាការពិតបានទេ។

ប្រសិនបើ នោះស្ថានភាពដែលមានឫសគល់នៃសមីការគឺខុសគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើយើងចងចាំអំពី នោះឫសនៃសមីការនឹងច្បាស់ភ្លាមៗ វាគឺជាលេខចាប់តាំងពី . វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលេខក៏ជាឫសគល់នៃសមីការដែរ ជាការពិត។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលអាចបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ តោះ​ធ្វើ​វា។

ចូរយើងសម្គាល់ឫសនៃសមីការដែលទើបតែប្រកាសថាជា x 1 និង −x 1 ។ ឧបមាថាសមីការមានឫស x 2 មួយទៀត ខុសពីឫសដែលបានចង្អុលបង្ហាញ x 1 និង −x 1 ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាការជំនួសឫសរបស់វាទៅជាសមីការជំនួសឱ្យ x បង្វែរសមីការទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ x 1 និង −x 1 យើងមាន ហើយសម្រាប់ x 2 យើងមាន។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការដកតាមកាលកំណត់នៃសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះការដកផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមភាពផ្តល់ឱ្យ x 1 2 −x 2 2 = 0 ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពលទ្ធផលជា (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 ។ យើងដឹងថាផលគុណនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះពីសមភាពលទ្ធផល វាធ្វើតាមថា x 1 −x 2 = 0 និង/ឬ x 1 + x 2 = 0 ដែលដូចគ្នា x 2 = x 1 និង/ឬ x 2 = −x 1 ។ ដូច្នេះ​យើង​បាន​ឈាន​ដល់​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា ចាប់​តាំង​ពី​ដើម​ដំបូង​យើង​បាន​និយាយ​ថា ឫស​នៃ​សមីការ x 2 គឺ​ខុស​ពី x 1 និង −x 1 ។ នេះបង្ហាញថាសមីការមិនមានឫសអ្វីក្រៅពី និង .

ចូរយើងសង្ខេបព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + c=0 គឺស្មើនឹងសមីការដែល

• មិនមានឫសប្រសិនបើ
• មានឫសពីរហើយប្រសិនបើ .

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការការ៉េ 9 x 2 +7 = 0 ។ បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីពាក្យសេរីទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ វានឹងយកទម្រង់ 9 x 2 = −7 ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមកដល់។ ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំមានលេខអវិជ្ជមាន សមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 +7 = 0 មិនមានឫសទេ។

ចូរដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញមួយផ្សេងទៀត −x 2 +9=0 ។ យើងផ្លាស់ទីប្រាំបួនទៅខាងស្តាំ៖ −x 2 = −9 ។ ឥឡូវនេះយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ −1 យើងទទួលបាន x 2 = 9 ។ នៅជ្រុងខាងស្តាំមានលេខវិជ្ជមាន ដែលយើងសន្និដ្ឋានថា ឬ . បន្ទាប់មកយើងសរសេរចម្លើយចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ −x 2 +9=0 មានឫសពីរ x=3 ឬ x=−3 ។

a x 2 + b x = 0

វានៅសល់ដើម្បីរកដំណោះស្រាយ ប្រភេទចុងក្រោយសមីការ​ការ៉េ​មិន​ពេញលេញ​សម្រាប់ c=0 ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ a x 2 + b x = 0 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយ វិធីសាស្រ្តកត្តា. ជាក់ស្តែង យើងអាចស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការយកកត្តារួម x ចេញពីតង្កៀប។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅសមីការសមមូលនៃទម្រង់ x·(a·x+b)=0 ។ ហើយសមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ x=0 និង a·x+b=0 ដែលជាសមីការបន្ទាប់គឺលីនេអ៊ែរ និងមានឫស x=−b/a។

ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ax 2 +b·x=0 មានឫសពីរ x=0 និង x=−b/a ។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយទៅនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ។

ការយក x ចេញពីតង្កៀបផ្តល់សមីការ។ វាស្មើនឹងសមីការពីរ x=0 និង . ដោះស្រាយអ្វីដែលយើងទទួលបាន សមីការលីនេអ៊ែរ: , និងចែកលេខចម្រុះដោយ ប្រភាគទូទៅ, យើង​ស្វែងរក ។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការដើមគឺ x=0 និង .

បន្ទាប់ពីទទួលបានការអនុវត្តចាំបាច់ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លី៖

ចម្លើយ៖

x=0 , ។

ការរើសអើង, រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស។ ចូរយើងសរសេរវាចុះ រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ: , កន្លែងណា D=b 2 −4 a គ- ហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ. ធាតុសំខាន់មានន័យថា។

វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីរបៀបដែលរូបមន្តឫសគល់ត្រូវបានយកមក និងរបៀបដែលវាត្រូវបានប្រើក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឲ្យ​យើង​ត្រូវ​ដោះស្រាយ​សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង ax 2 +b·x+c=0 ។ ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖

• យើងអាចបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះដោយចំនួនមិនមែនសូន្យ a ដែលបណ្តាលឱ្យមានសមីការការ៉េដូចខាងក្រោម។
• ឥឡូវ​នេះ ជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញនៅផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា៖ . បន្ទាប់ពីនេះ សមីការនឹងយកទម្រង់។
• ក្នុង​ដំណាក់​កាល​នេះ គេ​អាច​ផ្ទេរ​ពាក្យ​ពីរ​ចុង​ក្រោយ​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ​ដែល​មាន​សញ្ញា​ផ្ទុយ​គ្នា​យើង​មាន។
• ហើយ​សូម​បំប្លែង​កន្សោម​ខាង​ស្តាំ​ផង៖ .

ជាលទ្ធផល យើងមកដល់សមីការដែលស្មើនឹងសមីការការ៉េដើម ax 2 +b·x+c=0 ។

យើង​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ​ដែល​ស្រដៀង​គ្នា​នៅ​ក្នុង​កថាខណ្ឌ​មុន​រួច​ហើយ​នៅ​ពេល​ដែល​យើង​ពិនិត្យ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមទាក់ទងនឹងឫសនៃសមីការ៖

• ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ។
• ប្រសិនបើ នោះសមីការមានទម្រង់ ដូច្នេះហើយ ដែលឫសតែមួយគត់របស់វាអាចមើលឃើញ។
• ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក ឬ ដែលដូចគ្នានឹង ឬ នោះគឺសមីការមានឫសពីរ។

ដូច្នេះ វត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការ ហើយដូច្នេះសមីការការ៉េដើមគឺអាស្រ័យទៅលើសញ្ញានៃកន្សោមនៅខាងស្តាំ។ នៅក្នុងវេន សញ្ញានៃកន្សោមនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញានៃភាគយក ចាប់តាំងពីភាគបែង 4·a 2 តែងតែវិជ្ជមាន នោះគឺដោយសញ្ញានៃកន្សោម b 2 −4·a·c ។ កន្សោមនេះ b 2 −4 a c ត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េនិងកំណត់ដោយលិខិត ឃ. ពីទីនេះខ្លឹមសារនៃការរើសអើងគឺច្បាស់លាស់ - ដោយផ្អែកលើតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា ពួកគេបានសន្និដ្ឋានថាតើសមីការបួនជ្រុងមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើលេខរបស់ពួកគេគឺជាអ្វី - មួយ ឬពីរ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ ហើយសរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់៖ . ហើយយើងធ្វើការសន្និដ្ឋាន៖

• ប្រសិនបើ D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។
• ចុងក្រោយ ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការមានឫសពីរ ឬ ដែលអាចសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬ ហើយបន្ទាប់ពីពង្រីក និងកាត់បន្ថយប្រភាគទៅ កត្តា​កំណត់​រួមយើងទទួល។

ដូច្នេះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ពួកវាមើលទៅដូចជា កន្លែងដែលការរើសអើង D ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត D=b 2 −4·a·c ។

ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ ជាមួយនឹងការរើសអើងវិជ្ជមាន អ្នកអាចគណនាឫសពិតទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ។ នៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ រូបមន្តទាំងពីរផ្តល់តម្លៃដូចគ្នានៃឫស ដែលត្រូវនឹងដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការការ៉េ។ ហើយជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន នៅពេលព្យាយាមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការបួនជ្រុង យើងត្រូវប្រឈមមុខនឹងការស្រង់ចេញ ឫស​ការេពីចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលនាំយើងលើសពី និង កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា. ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែមានគូ conjugate ស្មុគស្មាញឫស ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត root ដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វា។ ប៉ុន្តែនេះទាក់ទងនឹងការស្វែងរកឫសស្មុគ្រស្មាញ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលាវាជាធម្មតា យើងកំពុងនិយាយអំពីមិនមែនអំពីស្មុគ្រស្មាញទេ ប៉ុន្តែអំពីឫសពិតនៃសមីការការ៉េ។ ក្នុងករណីនេះ គួរតែមុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ដើម្បីស្វែងរកអ្នករើសអើងជាមុនសិន ត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ)។ ហើយមានតែបន្ទាប់មកគណនាតម្លៃនៃឫស។

ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរ ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េ. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 អ្នកត្រូវ៖

• ដោយប្រើរូបមន្តបែងចែក D=b 2 −4·a·c គណនាតម្លៃរបស់វា;
• សន្និដ្ឋានថាសមីការការ៉េមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។
• គណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្តប្រសិនបើ D=0;
• ស្វែងរកឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស ប្រសិនបើការរើសអើងមានលក្ខណៈវិជ្ជមាន។

នៅទីនេះយើងគ្រាន់តែចំណាំថា ប្រសិនបើការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ អ្នកក៏អាចប្រើរូបមន្តបានដែរ វានឹងផ្តល់តម្លៃដូចគ្នាទៅនឹង .

អ្នកអាចបន្តទៅឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ algorithm សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបួនជ្រុងដែលមានការរើសអើងវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន និងសូន្យ។ ដោយបានដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា វានឹងអាចដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងផ្សេងទៀត។ តោះ​ចាប់ផ្ដើម។

ឧទាហរណ៍។

រកឫសនៃសមីការ x 2 +2·x−6=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុងករណីនេះ យើងមានមេគុណនៃសមីការការ៉េដូចខាងក្រោមៈ a=1, b=2 និង c=−6 ។ យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដំបូងអ្នកត្រូវគណនាការរើសអើង ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងជំនួសសញ្ញា a, b និង c ដែលបានបង្ហាញទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង យើងមាន D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. ចាប់តាំងពី 28>0 នោះគឺ ការបែងចែកគឺធំជាងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫស យើងទទួលបាន នៅទីនេះអ្នកអាចសម្រួលកន្សោមលទ្ធផលដោយធ្វើ ផ្លាស់ទីមេគុណលើសពីសញ្ញាឫសបន្តដោយការកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

ចម្លើយ៖

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ធម្មតាបន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ −4 x 2 +28 x −49=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកអ្នករើសអើង៖ D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. ដូច្នេះ សមីការ​ការ៉េ​នេះ​មាន​ឫស​តែមួយ ដែល​យើង​រក​ឃើញ​ថា​ជា

ចម្លើយ៖

x=3.5 ។

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ 5·y 2 +6·y+2=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

នេះគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ៖ a=5, b=6 និង c=2។ យើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើងយើងមាន D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. ការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការបួនជ្រុងនេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការចង្អុលបង្ហាញឫសស្មុគ្រស្មាញ នោះយើងអនុវត្តរូបមន្តល្បីសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ហើយអនុវត្ត ប្រតិបត្តិការជាមួយលេខស្មុគស្មាញ:

ចម្លើយ៖

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ ឫសស្មុគស្មាញគឺ៖ .

ចូរយើងកត់សម្គាល់ម្តងទៀតថា ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការបួនជ្រុងគឺអវិជ្ជមាន នោះនៅក្នុងសាលារៀនជាធម្មតាពួកគេសរសេរចម្លើយភ្លាមៗដែលពួកគេបង្ហាញថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយឫសស្មុគស្មាញមិនត្រូវបានរកឃើញទេ។

រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ដែល D=b 2 −4·a·c អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានរូបមន្តនៃទម្រង់បង្រួមបន្ថែមទៀត ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការការ៉េជាមួយនឹងមេគុណ x (ឬសាមញ្ញជាមួយ a មេគុណមានទម្រង់ 2·n ជាឧទាហរណ៍ ឬ 14·ln5=2·7·ln5)។ ចូរនាំនាងចេញ។

ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េនៃទម្រង់ a x 2 +2 n x + c = 0 ។ ចូរយើងស្វែងរកឫសរបស់វាដោយប្រើរូបមន្តដែលយើងដឹង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាអ្នករើសអើង ឃ=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)ហើយបន្ទាប់មកយើងប្រើរូបមន្តឫស៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់កន្សោម n 2 −a c ជា D 1 (ជួនកាលវាតំណាងឱ្យ D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកំពុងពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 n នឹងយកទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល D 1 = n 2 −a·c ។

វាងាយស្រួលមើលថា D=4·D 1 ឬ D 1 =D/4។ ម្យ៉ាង​ទៀត ឃ ១ ជា​ចំណែក​ទី ៤ នៃ​អ្នក​រើសអើង។ វាច្បាស់ណាស់ថាសញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ។ នោះគឺសញ្ញា D 1 ក៏ជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរ 2·n អ្នកត្រូវការ

• គណនា D 1 = n 2 −a·c ;
• ប្រសិនបើ ឃ ១<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ប្រសិនបើ D 1 = 0 បន្ទាប់មកគណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត;
• ប្រសិនបើ D 1 > 0 បន្ទាប់មករកឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត។

ចូរយើងពិចារណាការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 x 2 −6 x −32=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

មេគុណទីពីរនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា 2·(−3) ។ នោះគឺអ្នកអាចសរសេរសមីការការ៉េដើមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 នៅទីនេះ a=5, n=−3 និង c=−32 ហើយគណនាផ្នែកទីបួននៃ រើសអើង៖ ឃ 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. ដោយសារតម្លៃរបស់វាគឺវិជ្ជមាន សមីការមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសត្រឹមត្រូវ៖

ចំណាំថាវាអាចប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ ការងារគណនាបន្ថែមទៀតនឹងត្រូវអនុវត្ត។

ចម្លើយ៖

ធ្វើឱ្យទម្រង់នៃសមីការការ៉េសាមញ្ញ

ពេលខ្លះ មុននឹងចាប់ផ្តើមគណនាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្ត វាមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការសួរសំណួរ៖ "តើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលទម្រង់សមីការនេះទេ?" យល់ស្របថានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការគណនា វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 11 x 2 −4 x−6=0 ជាង 1100 x 2 −400 x−600=0 ។

ជាធម្មតា ការធ្វើឱ្យទម្រង់សមីការបួនជ្រុងមានភាពសាមញ្ញត្រូវបានសម្រេចដោយការគុណ ឬបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងកថាខណ្ឌមុន គេអាចសម្រួលសមីការ 1100 x 2 −400 x −600=0 ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 100 ។

ការបំប្លែងស្រដៀងគ្នាត្រូវបានអនុវត្តជាមួយសមីការបួនជ្រុង ដែលជាមេគុណដែលមិនមែនជា . ក្នុងករណីនេះភាគីទាំងពីរនៃសមីការជាធម្មតាត្រូវបានបែងចែកដោយតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 12 x 2 −42 x+48=0 ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា៖ GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6 ។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 យើងមកដល់សមីការការ៉េសមមូល 2 x 2 −7 x + 8=0 ។

ហើយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការ quadratic ជាធម្មតាត្រូវបានធ្វើដើម្បីកម្ចាត់មេគុណប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះការគុណត្រូវបានអនុវត្តដោយភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការការ៉េត្រូវបានគុណដោយ LCM(6, 3, 1)=6 នោះវានឹងយកទម្រង់សាមញ្ញជាង x 2 +4·x−18=0 ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃចំណុចនេះ យើងកត់សម្គាល់ថាពួកគេស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណខ្ពស់បំផុតនៃសមីការបួនជ្រុងដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងការគុណ (ឬចែក) ភាគីទាំងពីរដោយ −1 ។ ឧទាហរណ៍ ជាធម្មតាមួយផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េ −2 x 2 −3 x + 7=0 ទៅកាន់ដំណោះស្រាយ 2 x 2 +3 x−7=0 ។

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការ quadratic បង្ហាញពីឫសនៃសមីការតាមរយៈមេគុណរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តឫស អ្នកអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។

រូបមន្តដែលគេស្គាល់ និងអាចអនុវត្តបានច្រើនបំផុតពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta មានទម្រង់ និង . ជាពិសេសសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។ ឧទាហរណ៍ដោយមើលទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 x 2 −7 x + 22 = 0 យើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាស្មើនឹង 7/3 ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹង 22 ។ /៣.

ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ដែល​បាន​សរសេរ​រួច​ហើយ អ្នក​អាច​ទទួល​បាន​ចំនួន​នៃ​ការ​តភ្ជាប់​ផ្សេង​ទៀត​រវាង​ឫស និង​មេគុណ​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ អ្នក​អាច​បង្ហាញ​ផលបូក​នៃ​ការេ​នៃ​ឫស​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​តាម​រយៈ​មេគុណ​របស់​វា៖ .

គន្ថនិទ្ទេស។

• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួល​ដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្ស ស្ថាប័នអប់រំ/ A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។