Žvaigždžių naujienos
Aritmetinė progresija kaip spręsti pavyzdžius. Aritmetinė progresija
Pamoka ir pristatymas tema: "Skaičių sekos. Aritmetinė progresija"
Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.
Mokomosios priemonės internetinėje parduotuvėje "Integral" 9 klasės vadovėliams
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovičius A.G. Muravina G.K.
Taigi, kas yra aritmetinė progresija?
Skaitinė seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, lygi sumai ankstesnis ir tam tikras fiksuotas skaičius vadinamas aritmetine progresija.
Aritmetinė progresija yra nuolat apibrėžiama skaitinė progresija.
Užrašykime pasikartojančią formą: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, skaičius d – progresijos skirtumas. a ir d yra tam tikri duoti skaičiai.
Pavyzdys. 1,4,7,10,13,16... Aritmetinė progresija su $a=1, d=3$.
Pavyzdys. 3,0,-3,-6,-9... Aritmetinė progresija su $a=3, d=-3$.
Pavyzdys. 5,5,5,5,5... Aritmetinė progresija su $a=5, d=0$.
Aritmetinė progresija turi monotoniškumo savybes: jei progresijos skirtumas didesnis už nulį, tai seka didėja, jei progresijos skirtumas mažesnis už nulį, tai seka mažėja.
Jei į aritmetinė progresija elementų skaičius yra baigtinis, tada progresija vadinama baigtine aritmetine progresija.
Jei pateikiama seka $a_(n)$ ir tai yra aritmetinė progresija, tada įprasta žymėti: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė
Aritmetinė progresija taip pat gali būti nurodyta analitine forma. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti:$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Lengvai pastebime šabloną: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Mūsų formulė vadinama aritmetinės progresijos n-ojo nario formule.
Grįžkime prie mūsų pavyzdžių ir užrašykite kiekvieno pavyzdžio formulę.
Pavyzdys. 1,4,7,10,13,16... Aritmetinė progresija, kurioje a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.
Pavyzdys. 3,0,-3,-6,-9... Aritmetinė progresija, kuriai a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.
Pavyzdys. Duota aritmetinė progresija: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Yra žinoma, kad $a_(1)=5$, $d=3$. Raskite $a_(23)$.
b) Yra žinoma, kad $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Rasti n.
c) Yra žinoma, kad $d=-1$, $a_(22)=15$. Raskite $a_(1)$.
d) Yra žinoma, kad $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Rasti d.
Sprendimas.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.
Pavyzdys. Dalijant devintą aritmetinės progresijos narį iš antrojo nario, koeficientas lieka 7, o dalijant devintąjį narį iš penkto, koeficientas yra 2, o likusioji dalis yra 5. Raskite trisdešimtąjį progresijos narį.
Sprendimas.
Paeiliui parašykime 2,5 ir 9 formules savo progresijos narius.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Taip pat žinome iš sąlygos:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Arba:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Sukurkime lygčių sistemą:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
Išsprendę sistemą gauname: $d=6, a_(1)=1$.
Raskime $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.
Baigtinės aritmetinės progresijos suma
Turėkime baigtinę aritmetinę progresiją. Kyla klausimas: ar įmanoma suskaičiuoti visų jos narių sumą?Pabandykime suprasti šią problemą.
Tegu pateikiama baigtinė aritmetinė progresija: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Įveskime jos narių sumos žymėjimą: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Pažiūrėkime konkretus pavyzdys, kokia suma?
Tegu mums duota aritmetinė progresija 1,2,3,4,5...100.
Tada pateikkime jos narių sumą taip:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Tačiau panaši formulė taikoma bet kokiai aritmetinei progresijai:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Parašykime savo formulę bendruoju atveju: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, kur $k<1$.
Išveskime aritmetinės progresijos narių sumos apskaičiavimo formulę, formulę parašykime du kartus skirtingomis tvarka:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Sudėkime šias formules:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Dešinėje mūsų lygybės pusėje yra n narių, ir mes žinome, kad kiekvienas iš jų yra lygus $a_(1)+a_(n)$.
Tada:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Mūsų formulę taip pat galima perrašyti į formą: kadangi $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
tada $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Dažniausiai patogiau naudoti šią konkrečią formulę, todėl verta ją prisiminti!
Pavyzdys. Pateikiama baigtinė aritmetinė progresija.
Rasti:
a) $s_(22),jei a_(1)=7, d=2$.
b) d, jei $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Sprendimas.
a) Naudokime antrąją sumos formulę $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 USD.
b) Šiame pavyzdyje naudosime pirmąją formulę: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8) = 27 $.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.
Pavyzdys. Raskite visų nelyginių dviženklių skaičių sumą.
Sprendimas.
Mūsų progresavimo sąlygos yra: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Raskime paskutinio progreso nario skaičių:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
99 USD = 11 + 2 (n-1) $.
$n = 45 $.
Dabar suraskime sumą: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.
Pavyzdys. Vaikinai išėjo į žygį. Yra žinoma, kad pirmą valandą jie nuėjo 500 m, po to pradėjo eiti 25 metrais mažiau nei pirmą valandą. Kiek valandų jiems prireiks įveikti 2975 metrus?
Sprendimas.
Kiekvieną valandą nuvažiuotas kelias gali būti pavaizduotas kaip aritmetinė progresija:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Aritmetinės progresijos skirtumas yra $d=-25$.
2975 metrų įveiktas atstumas yra aritmetinės progresijos terminų suma.
$S_(n)=2975$, kur n – kelionėje praleistos valandos.
Tada:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1 000 n–25 (n–1) n = 5 950 USD.
Padalinkite abi puses iš 25.
40 n-(n-1) n = 238 USD.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Akivaizdu, kad logiškiau pasirinkti $n=7$.
Atsakymas. Vaikinai kelyje buvo 7 valandas.
Būdinga aritmetinės progresijos savybė
Vaikinai, atsižvelgdami į aritmetinę progresiją, panagrinėkime atsitiktinius tris progresijos narius iš eilės: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.Mes tai žinome:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Sudėkime savo išraiškas:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Jei progresija yra baigtinė, tai ši lygybė galioja visoms sąlygoms, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį.
Jei iš anksto nežinoma, kokios formos seka, bet žinoma, kad: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Tada galime drąsiai teigti, kad tai aritmetinė progresija.
Skaitinė seka yra aritmetinė progresija, kai kiekvienas šios progresijos narys yra lygus dviejų gretimų mūsų progresijos narių aritmetiniam vidurkiui (nepamirškite, kad baigtinei progresijai ši sąlyga netenkinama pirmajam ir paskutiniajam progresijos nariams) .
Pavyzdys. Raskite x tokį, kad $3x+2$; $x-1 $; $4x+3$ – trys aritmetinės progresijos nariai iš eilės.
Sprendimas. Naudokime savo formulę:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Patikrinkime, mūsų išraiškos bus tokios formos: -2,2; -2,4; -2.6.
Akivaizdu, kad tai yra aritmetinės progresijos nariai ir $d = -0,2 $.
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
1. Raskite dvidešimt pirmąjį aritmetinės progresijos narį 38;30;22…2. Raskite aritmetinės progresijos 10,21,32 penkioliktąjį narį...
3. Yra žinoma, kad $a_(1)=7$, $d=8$. Raskite $a_(31)$.
4. Yra žinoma, kad $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Rasti n.
5. Raskite aritmetinės progresijos 3;12;21… pirmųjų septyniolikos narių sumą.
6. Raskite x tokį, kad $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – trys iš eilės aritmetinės progresijos nariai.
Aritmetinės progresijos suma.
Aritmetinės progresijos suma yra paprastas dalykas. Ir prasme, ir formule. Tačiau šia tema yra visokių užduočių. Nuo pagrindinio iki gana tvirto.
Pirmiausia supraskime sumos prasmę ir formulę. Ir tada mes nuspręsime. Savo malonumui.) Sumos reikšmė paprasta kaip moo. Norėdami rasti aritmetinės progresijos sumą, tereikia atidžiai pridėti visus jos terminus. Jei šių terminų nedaug, galite pridėti be jokių formulių. Bet jei daug, ar daug... papildymas erzina.) Tokiu atveju gelbsti formulė.
Sumos formulė paprasta:
Išsiaiškinkime, kokios raidės yra įtrauktos į formulę. Tai daug ką išaiškins.
S n - aritmetinės progresijos suma. Papildymo rezultatas Visi nariai, su Pirmas Autorius paskutinis. Svarbu. Jie tiksliai sumuojasi Visi nariai iš eilės, nepraleidžiant ir nepraleidžiant. Ir, būtent, pradedant nuo Pirmas. Tokiose problemose kaip trečiojo ir aštunto dėmenų sumos arba penkto iki dvidešimto narių sumos radimas, tiesioginis formulės taikymas nuvils.)
a 1 - Pirmas progresijos narys. Čia viskas aišku, viskas paprasta Pirmas eilutės numeris.
a n- paskutinis progresijos narys. Paskutinis serijos numeris. Nelabai pažįstamas pavadinimas, bet pritaikius prie sumos, labai tinka. Tada pamatysite patys.
n - paskutinio nario numeris. Svarbu suprasti, kad formulėje šis skaičius sutampa su pridėtų terminų skaičiumi.
Apibrėžkime sąvoką paskutinis narys a n. Sudėtingas klausimas: kuris narys bus Paskutinis jei duota begalinis aritmetinė progresija?)
Norint atsakyti užtikrintai, reikia suprasti elementarią aritmetinės progresijos prasmę ir... atidžiai perskaityti užduotį!)
Atliekant užduotį rasti aritmetinės progresijos sumą, paskutinis narys visada pasirodo (tiesiogiai arba netiesiogiai), kuris turėtų būti ribojamas. Kitu atveju galutinė, konkreti suma tiesiog neegzistuoja. Sprendimui nesvarbu, ar progresija pateikta: baigtinė ar begalinė. Nesvarbu, kaip jis pateikiamas: skaičių serija ar n-ojo nario formulė.
Svarbiausia suprasti, kad formulė veikia nuo pirmojo progreso nario iki termino su skaičiumi n. Tiesą sakant, visas formulės pavadinimas atrodo taip: aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma.Šių pačių pirmųjų narių skaičius, t.y. n, lemia tik užduotis. Užduotyje visa ši vertinga informacija dažnai yra užšifruota, taip... Bet nesvarbu, toliau pateiktuose pavyzdžiuose atskleidžiame šias paslaptis.)
Užduočių, susijusių su aritmetinės progresijos suma, pavyzdžiai.
Visų pirma naudinga informacija:
Pagrindinis sunkumas atliekant užduotis, susijusias su aritmetinės progresijos suma, yra teisingas formulės elementų nustatymas.
Užduočių autoriai šiuos elementus užšifruoja su beribe fantazija.) Svarbiausia čia nebijoti. Suvokus elementų esmę, pakanka juos tiesiog iššifruoti. Išsamiai pažvelkime į kelis pavyzdžius. Pradėkime nuo užduoties, pagrįstos tikru GIA.
1. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a n = 2n-3.5. Raskite pirmųjų 10 jo terminų sumą.
Šaunuolis. Lengva.) Ką turime žinoti, norėdami nustatyti sumą pagal formulę? Pirmasis narys a 1, Paskutinis terminas a n, taip paskutinio nario numeris n.
Kur galiu gauti paskutinio nario numerį? n? Taip, čia, su sąlyga! Sakoma: surask sumą pirmieji 10 narių. Na, su kokiu numeriu bus? paskutinis, dešimtas narys?) Nepatikėsite, jo skaičius yra dešimtas!) Todėl vietoj a n pakeisime į formulę a 10, o vietoj to n- dešimt. Pasikartosiu, paskutinio nario skaičius sutampa su narių skaičiumi.
Belieka nustatyti a 1 Ir a 10. Tai nesunkiai apskaičiuojama naudojant n-ojo nario formulę, kuri pateikta problemos teiginyje. Nežinote, kaip tai padaryti? Dalyvaukite ankstesnėje pamokoje, be šios nėra jokio būdo.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Išsiaiškinome visų aritmetinės progresijos sumos formulės elementų reikšmę. Belieka juos pakeisti ir suskaičiuoti:
Viskas. Atsakymas: 75.
Kita užduotis, pagrįsta GIA. Šiek tiek sudėtingiau:
2. Duota aritmetinė progresija (a n), kurios skirtumas lygus 3,7; a 1 = 2,3. Raskite pirmųjų 15 jo terminų sumą.
Iš karto parašome sumos formulę:
Ši formulė leidžia mums rasti bet kurio termino reikšmę pagal jo skaičių. Ieškome paprasto pakaitalo:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Belieka visus elementus pakeisti aritmetinės progresijos sumos formulėje ir apskaičiuoti atsakymą:
Atsakymas: 423.
Beje, jei sumos formulėje vietoj a n Mes tiesiog pakeičiame formulę n-tuoju nariu ir gauname:
Pateiksime panašius ir gaukime naują aritmetinės progresijos narių sumos formulę:
 |
Kaip matote, čia to nereikia n-asis terminas a n. Kai kuriose problemose ši formulė labai padeda, taip... Galite prisiminti šią formulę. Arba galite tiesiog parodyti jį tinkamu laiku, kaip čia. Juk visada reikia atsiminti sumos formulę ir n-ojo nario formulę.)
Dabar užduotis trumpo šifravimo forma):
3. Raskite visų teigiamų dviženklių skaičių, kurie yra trijų kartotiniai, sumą.
Oho! Nei pirmas tavo narys, nei paskutinis, nei progresas... Kaip gyventi!?
Teks mąstyti galva ir iš sąlygos ištraukti visus aritmetinės progresijos sumos elementus. Mes žinome, kas yra dviženkliai skaičiai. Jie susideda iš dviejų skaičių.) Koks bus dviženklis skaičius Pirmas? 10, tikriausiai.) A paskutinis dalykas dviženklis skaičius? 99, žinoma! Triženkliai seks paskui jį...
Trijų kartotiniai... Hm... Tai skaičiai, kurie dalijasi iš trijų, štai! Dešimt nesidalija iš trijų, 11 nesidalija... 12... dalijasi! Taigi, kažkas atsiranda. Jau galite užsirašyti seriją pagal problemos sąlygas:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Ar ši serija bus aritmetinė progresija? tikrai! Kiekvienas terminas nuo ankstesnio skiriasi griežtai trimis. Jei prie termino pridėsite 2 ar 4, tarkime, rezultatas, t.y. naujas skaičius nebedalinamas iš 3. Iš karto galite nustatyti aritmetinės progresijos skirtumą: d = 3. Tai pravers!)
Taigi, galime drąsiai užsirašyti kai kuriuos progreso parametrus:
Koks bus skaičius? n paskutinis narys? Kas galvoja, kad 99 – mirtinai klysta... Skaičiai visada eina iš eilės, bet mūsų nariai peršoka per tris. Jie nesutampa.
Čia yra du sprendimai. Vienas iš būdų – itin darbštiems. Galite užsirašyti progresą, visą skaičių seką ir pirštu suskaičiuoti narių skaičių.) Antrasis būdas – mąstantiems. Reikia atsiminti n-ojo termino formulę. Jei pritaikysime formulę savo problemai, pamatysime, kad 99 yra trisdešimtasis progresijos narys. Tie. n = 30.
Pažiūrėkime į aritmetinės progresijos sumos formulę:
Žiūrime ir džiaugiamės.) Iš problemos teiginio ištraukėme viską, ko reikia sumai apskaičiuoti:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Lieka tik elementari aritmetika. Pakeičiame skaičius į formulę ir apskaičiuojame:
Atsakymas: 1665 m
Kitas populiarus galvosūkių tipas:
4. Pateikta aritmetinė progresija:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Raskite terminų sumą nuo dvidešimties iki trisdešimt keturių.
Žiūrime į sumos formulę ir... susinerviname.) Formulė, priminsiu, apskaičiuoja sumą nuo pirmos narys. Ir užduotyje reikia apskaičiuoti sumą nuo dvidešimties... Formulė neveiks.
Žinoma, galite surašyti visą eigą iš eilės ir pridėti terminus nuo 20 iki 34. Bet... tai kažkaip kvaila ir užtrunka ilgai, tiesa?)
Yra elegantiškesnis sprendimas. Padalinkime seriją į dvi dalis. Pirma dalis bus nuo pirmos kadencijos iki devynioliktos. Antra dalis - nuo dvidešimt iki trisdešimt keturių. Aišku, kad jei paskaičiuotume pirmosios dalies sąlygų sumą S 1-19, pridėkime jį prie antrosios dalies terminų suma S 20-34, gauname progresijos sumą nuo pirmos iki trisdešimt ketvirtosios S 1-34. Kaip šitas:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Iš to matome, kad suraskite sumą S 20-34 galima atlikti paprastu atėmimu
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Svarstomos abi sumos dešinėje pusėje nuo pirmos narys, t.y. standartinė sumos formulė jiems yra gana tinkama. Pradėkime?
Progresavimo parametrus ištraukiame iš problemos teiginio:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Norint apskaičiuoti pirmųjų 19 ir pirmųjų 34 terminų sumas, mums reikės 19 ir 34 terminų. Apskaičiuojame juos naudodami n-ojo nario formulę, kaip ir 2 uždavinyje:
a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nieko nebelieka. Iš 34 terminų sumos atimkite 19 terminų sumą:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Atsakymas: 262,5
Viena svarbi pastaba! Yra labai naudingas triukas sprendžiant šią problemą. Vietoj tiesioginio skaičiavimo ko jums reikia (S 20-34), suskaičiavome kažkas, ko, atrodo, nereikia - S 1-19. Ir tada jie nusprendė S 20-34, pašalindami nereikalingus dalykus iš viso rezultato. Toks „apgaulė su ausimis“ dažnai gelbsti nuo baisių problemų.)
Šioje pamokoje nagrinėjome uždavinius, kuriems pakanka suprasti aritmetinės progresijos sumos reikšmę. Na, jūs turite žinoti keletą formulių.)
Praktinis patarimas:
Sprendžiant bet kokį uždavinį, susijusį su aritmetinės progresijos suma, rekomenduoju nedelsiant išrašyti dvi pagrindines formules iš šios temos.
N-ojo termino formulė:
Šios formulės iš karto pasakys, ko ieškoti ir kokia kryptimi galvoti, norint išspręsti problemą. Padeda.
O dabar savarankiško sprendimo užduotys.
5. Raskite visų dviženklių skaičių, kurie nesidalija iš trijų, sumą.
Šaunu?) Užuomina paslėpta pastaboje apie 4 uždavinį. Na, 3 uždavinys padės.
6. Aritmetinė progresija pateikiama sąlyga: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Raskite pirmųjų 24 jo terminų sumą.
Neįprasta?) Tai pasikartojanti formulė. Apie tai galite perskaityti ankstesnėje pamokoje. Neignoruokite nuorodos, tokios problemos dažnai aptinkamos Valstybinėje mokslų akademijoje.
7. Vasja sutaupė pinigų atostogoms. Net 4550 rublių! Ir nusprendžiau savo mylimam žmogui (sau) padovanoti kelias laimės dienas). Gyvenk gražiai, nieko sau neneigdamas. Pirmą dieną išleiskite 500 rublių, o kiekvieną kitą dieną išleiskite 50 rublių daugiau nei praėjusią! Kol baigsis pinigai. Kiek dienų Vasya turėjo laimės?
Ar sunku?) Padės papildoma formulė iš 2 užduoties.
Atsakymai (netvarkingai): 7, 3240, 6.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Skaičių sekos sąvoka reiškia, kad kiekvienas natūralusis skaičius atitinka tam tikrą realią reikšmę. Tokia skaičių serija gali būti arba savavališka, arba turėti tam tikras savybes – progresiją. Pastaruoju atveju kiekvienas paskesnis sekos elementas (narys) gali būti apskaičiuojamas naudojant ankstesnįjį.
Aritmetinė progresija yra skaitinių reikšmių seka, kurioje jos gretimi nariai skiriasi vienas nuo kito tuo pačiu skaičiumi (visi serijos elementai, pradedant nuo 2-osios, turi panašią savybę). Šis skaičius – skirtumas tarp ankstesnių ir vėlesnių terminų – yra pastovus ir vadinamas progresijos skirtumu.
Progresavimo skirtumas: apibrėžimas
Apsvarstykite seką, susidedančią iš j reikšmių A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j priklauso natūraliųjų skaičių aibei N. Aritmetika progresija pagal jos apibrėžimą yra seka , kurioje a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Reikšmė d yra norimas šios progresijos skirtumas.
d = a(j) – a(j-1).
Paryškinkite:
- Didėjanti progresija, tokiu atveju d > 0. Pavyzdys: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Mažėjanti progresija, tada d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Skirtumų progresija ir savavališki jo elementai
Jei žinomi 2 savavališki progresijos nariai (i-oji, k-oji), tada skirtumas tam tikrai sekai gali būti nustatytas remiantis ryšiu:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, o tai reiškia d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Progresavimo skirtumas ir pirmasis jo terminas
Ši išraiška padės nustatyti nežinomą reikšmę tik tais atvejais, kai žinomas sekos elemento numeris.
Progresavimo skirtumas ir jo suma
Progresijos suma yra jos sąlygų suma. Norėdami apskaičiuoti bendrą pirmųjų j elementų vertę, naudokite atitinkamą formulę:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, bet kadangi a(j) = a(1) + d(j – 1), tada S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.
Studijuodami algebrą vidurinė mokykla(9 klasė) vienas iš svarbiomis temomis yra skaičių sekų, apimančių progresijas – geometrines ir aritmetines, tyrimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.
Kas yra aritmetinė progresija?
Norint tai suprasti, būtina apibrėžti nagrinėjamą progresą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios vėliau bus naudojamos sprendžiant problemas.
Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.
Nežinomam nariui nustatyti panaudokime formulę: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pakeiskime į ją žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 = 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite nesunkiai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) /6 = 2. Taigi, mes atsakėme į pirmąją uždavinio dalį.
Norėdami atkurti 7-ojo termino seką, turėtumėte naudoti apibrėžimą algebrinė progresija, tai yra, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Pavyzdys Nr. 3: progresijos sudarymas
Dar labiau apsunkinkime stipresnė būklė užduotys. Dabar turime atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galima pateikti tokį pavyzdį: pateikiami du skaičiai, pavyzdžiui - 4 ir 5. Būtina sukurti algebrinę progresiją, kad tarp jų būtų dedami dar trys nariai.
Prieš pradėdami spręsti šią problemą, turite suprasti, kokią vietą pateikti skaičiai užims ateityje. Kadangi tarp jų bus dar trys nariai, tada a 1 = -4 ir a 5 = 5. Tai nustatę pereiname prie problemos, kuri yra panaši į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 = a 1 + 4 * d. Iš: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Tai, ką mes čia gavome, yra ne sveikoji skirtumo reikšmė, o racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.
Dabar rastą skirtumą pridėkime prie 1 ir atkurkime trūkstamus progreso terminus. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kurie sutapo su problemos sąlygomis.
Pavyzdys Nr. 4: pirmasis progresavimo terminas
Toliau pateiksime aritmetinės progresijos su sprendiniais pavyzdžius. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar panagrinėkime kitokio tipo uždavinį: duoti du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia išsiaiškinti, kuriuo skaičiumi ši seka prasideda.
Iki šiol naudojamos formulės daro prielaidą, kad žinome apie 1 ir d. Problemos pareiškime apie šiuos skaičius nieko nežinoma. Nepaisant to, kiekvienam terminui, apie kurį turima informacija, užrašysime išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gavome dvi lygtis, kuriose yra 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.
Lengviausias būdas išspręsti šią sistemą yra išreikšti 1 kiekvienoje lygtyje ir palyginti gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (duoti tik 3 skaitmenys po kablelio).
Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų posakių. Pavyzdžiui, pirmiausia: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą 43-ią progresijos terminą. Gauname: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Maža paklaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.
Pavyzdys Nr. 5: suma
Dabar pažvelkime į kelis pavyzdžius su aritmetinės progresijos sumos sprendiniais.
Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti 100 šių skaičių sumą?
Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, šią problemą galima išspręsti, tai yra sudėti visus skaičius paeiliui, ką kompiuteris padarys vos tik žmogui paspaudus Enter klavišą. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipsite dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Taikydami sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Įdomu tai, kad ši problema vadinama „gausišku“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, kuriam dar tik 10 metų, sugebėjo ją mintyse išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad jei sudėsite skaičius sekos galuose poromis, visada gausite tą patį rezultatą, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., o kadangi šios sumos bus lygiai 50 (100 / 2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.
Pavyzdys Nr. 6: terminų suma nuo n iki m
Dar vieną tipinis pavyzdys aritmetinės progresijos suma yra tokia: pateikiant skaičių eilę: 3, 7, 11, 15, ..., reikia rasti, kokiai bus jos narių suma nuo 8 iki 14.
Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmajame iš jų reikia surasti nežinomus terminus nuo 8 iki 14, o paskui juos susumuoti iš eilės. Kadangi terminų nedaug, šis metodas nėra gana daug darbo reikalaujantis. Nepaisant to, šią problemą siūloma išspręsti naudojant antrąjį metodą, kuris yra universalesnis.
Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n > m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais rašome dvi sumos išraiškas:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Kadangi n > m, akivaizdu, kad 2-oji suma apima ir pirmąją. Paskutinė išvada reiškia, kad paėmę skirtumą tarp šių sumų ir prie jo pridėję terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), gausime reikiamą problemos atsakymą. Turime: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti n ir m formules. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau suma S mn priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.
Kaip matyti iš aukščiau pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos žiniomis apie n-ojo nario išraišką ir pirmųjų narių aibės sumos formulę. Prieš pradedant spręsti bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką reikia rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.
Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su sprendiniu Nr. 6 pavyzdyje galima būtų sustoti ties formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ir suskirstykite bendrą problemą į atskiras dalis (V tokiu atveju pirmiausia suraskite terminus a n ir a m).
Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Sužinojome, kaip rasti aritmetinę progresiją. Jei išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)
Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje kiekvienas skaičius yra didesnis (arba mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu dydžiu.
Ši tema dažnai atrodo sudėtinga ir nesuprantama. Raidžių indeksai, n-tas progresijos narys, progresijos skirtumas - visa tai kažkaip painu, taip... Išsiaiškinkime aritmetinės progresijos reikšmę ir viskas tuoj pasitaisys.)
Aritmetinės progresijos samprata.
Aritmetinė progresija yra labai paprasta ir aiški sąvoka. Ar turite kokių nors abejonių? Veltui.) Pažiūrėkite patys.
Parašysiu nebaigtą skaičių seką:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Ar galite pratęsti šią seriją? Kokie skaičiai bus po penkių? Visi... uh..., trumpai tariant, visi supras, kad po to bus skaičiai 6, 7, 8, 9 ir t.t.
Apsunkinkime užduotį. Pateikiu nebaigtą skaičių seriją:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Galėsite pagauti modelį, pratęsti seriją ir pavadinti septintoji eilės numeris?
Jei supratote, kad šis skaičius yra 20, sveikiname! Ne tik jautėtės pagrindiniai aritmetinės progresijos taškai, bet ir sėkmingai panaudojo juos versle! Jei to nesupratote, skaitykite toliau.
Dabar išverskime pagrindinius pojūčių dalykus į matematiką.)
Pirmas esminis punktas.
Aritmetinė progresija susijusi su skaičių serijomis. Iš pradžių tai kelia painiavą. Esame įpratę spręsti lygtis, braižyti grafikus ir visa tai... Bet čia pratęsiame eilutę, randame serijos numerį...
Viskas gerai. Tiesiog progresijos yra pirmoji pažintis su nauja matematikos šaka. Skyrius vadinasi „Serija“ ir veikia konkrečiai su skaičių ir posakių serijomis. Pripraskite.)
Antras esminis punktas.
Aritmetinėje progresijoje bet kuris skaičius skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.
Pirmajame pavyzdyje šis skirtumas yra vienas. Kad ir kokį skaičių imtumėte, jis bus vienu daugiau nei ankstesnis. Antroje – trys. Bet kuris skaičius yra trimis didesnis nei ankstesnis. Tiesą sakant, būtent šis momentas suteikia mums galimybę suvokti modelį ir apskaičiuoti tolesnius skaičius.
Trečias esminis punktas.
Ši akimirka nekrenta į akis, taip... Bet ji labai labai svarbi. Štai jis: kiekviena progresijos numeris stovi savo vietoje. Yra pirmas numeris, yra septintas, yra keturiasdešimt penktas ir t.t. Jei juos sumaišysite atsitiktinai, modelis išnyks. Aritmetinė progresija taip pat išnyks. Liko tik skaičių serija.
Tai ir yra visa esmė.
Žinoma, naujoje temoje atsiranda naujų terminų ir pavadinimų. Jūs turite juos žinoti. Priešingu atveju nesuprasite užduoties. Pavyzdžiui, turėsite nuspręsti, pavyzdžiui:
Užrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos (a n) narius, jei a 2 = 5, d = -2,5.
Įkvepia?) Raidės, kai kurios rodyklės... Ir užduotis, beje, negalėjo būti paprastesnė. Jums tereikia suprasti terminų ir pavadinimų reikšmę. Dabar mes įsisavinsime šį reikalą ir grįšime prie užduoties.
Terminai ir pavadinimai.
Aritmetinė progresija yra skaičių serija, kurioje kiekvienas skaičius skiriasi nuo ankstesnio ta pačia suma.
Šis kiekis vadinamas . Pažvelkime į šią koncepciją išsamiau.
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos skirtumas yra suma, kuria bet koks progresijos skaičius daugiau ankstesnis.
Vienas svarbus punktas. Prašome atkreipti dėmesį į žodį "daugiau". Matematiškai tai reiškia, kad kiekvienas progresijos skaičius yra pridedant aritmetinės progresijos skirtumas nuo ankstesnio skaičiaus.
Norėdami apskaičiuoti, tarkime antra serijos numerius, jums reikia Pirmas numerį papildytišis aritmetinės progresijos skirtumas. Skaičiavimui penktoji– skirtumas būtinas papildytiĮ ketvirta, na ir t.t.
Aritmetinės progresijos skirtumas Gal būt teigiamas, tada kiekvienas serijos skaičius pasirodys tikras daugiau nei ankstesnis.Ši progresija vadinama didėja. Pavyzdžiui:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Čia gaunamas kiekvienas skaičius pridedant teigiamas skaičius, +5 prieš ankstesnį.
Skirtumas gali būti neigiamas, tada kiekvienas serijos skaičius bus mažiau nei ankstesnis.Ši progresija vadinama (nepatikėsite!) mažėja.
Pavyzdžiui:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Čia taip pat gaunamas kiekvienas skaičius pridedantį ankstesnį, bet jau neigiamas skaičius, -5.
Beje, dirbant su progresija labai pravartu iš karto nustatyti jos pobūdį – ar jis didėja, ar mažėja. Tai labai padeda orientuotis priimant sprendimą, pastebėti savo klaidas ir jas ištaisyti, kol dar nevėlu.
Aritmetinės progresijos skirtumas paprastai žymimas raide d.
Kaip rasti d? Labai paprasta. Būtina atimti iš bet kurio serijos skaičiaus ankstesnis numerį. Atimti. Beje, atimties rezultatas vadinamas „skirtumu“.)
Apibrėžkime, pvz. d aritmetinei progresijai padidinti:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Paimame bet kurį norimą skaičių iš eilės, pavyzdžiui, 11. Iš jo atimame ankstesnis numeris tie. 8:
Tai yra teisingas atsakymas. Šiai aritmetinei progresijai skirtumas yra trys.
Galite pasiimti bet koks progresavimo skaičius, nes tam tikrai progresijai d-visada taip pat. Bent kažkur eilės pradžioje, bent jau viduryje, bent jau bet kur. Negalite imti tik pirmojo numerio. Tiesiog todėl, kad pats pirmasis numeris jokio ankstesnio.)
Beje, tai žinant d=3, rasti septintą šios progresijos skaičių labai paprasta. Prie penkto skaičiaus pridėkime 3 – gausime šeštą, bus 17. Prie šešto skaičiaus pridėkime tris, gausime septintą skaičių – dvidešimt.
Apibrėžkime d mažėjančiai aritmetinei progresijai:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Primenu, kad, nepaisant ženklų, nustatyti d reikia iš bet kurio skaičiaus atimti ankstesnį. Pasirinkite bet kurį progresijos skaičių, pavyzdžiui, -7. Ankstesnis jo numeris yra -2. Tada:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmetinės progresijos skirtumas gali būti bet koks skaičius: sveikasis, trupmeninis, neracionalus, bet koks skaičius.
Kiti terminai ir pavadinimai.
Kiekvienas serijos numeris vadinamas aritmetinės progresijos narys.
Kiekvienas progreso narys turi savo numerį. Skaičiai griežtai tvarkingi, be jokių gudrybių. Pirma, antra, trečia, ketvirta ir kt. Pavyzdžiui, progresijoje 2, 5, 8, 11, 14, ... du yra pirmasis narys, penki yra antrasis, vienuolika yra ketvirtas, gerai, jūs suprantate...) Prašau aiškiai suprasti - patys skaičiai gali būti absoliučiai bet kas, vientisas, trupmeninis, neigiamas, bet koks, bet skaičių numeracija- griežtai tvarka!
Kaip įrašyti progresą bendras vaizdas? Jokiu problemu! Kiekvienas serijos skaičius parašytas kaip raidė. Aritmetinei progresijai žymėti dažniausiai naudojama raidė a. Nario numeris rodomas rodyklės apačioje dešinėje. Rašome terminus, atskirtus kableliais (arba kabliataškiais), taip:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- tai pirmasis numeris, a 3- trečia ir kt. Nieko įmantraus. Šią seriją galima trumpai parašyti taip: (a n).
Vyksta progresas baigtinis ir begalinis.
Galutinis progresija turi ribotą narių skaičių. Penki, trisdešimt aštuoni, nesvarbu. Bet tai yra baigtinis skaičius.
Begalinis progresija – turi begalinį narių skaičių, kaip galite spėti.)
Galite parašyti galutinę tokios serijos eigą, visus terminus ir tašką pabaigoje:
1, 2, 3, 4, 5.
Arba taip, jei narių daug:
1, 2, 14, 15.
Trumpame įraše turėsite papildomai nurodyti narių skaičių. Pavyzdžiui (dvidešimties narių), taip:
(a n), n = 20
Begalinę eigą galima atpažinti iš elipsės eilutės pabaigoje, kaip šios pamokos pavyzdžiuose.
Dabar galite išspręsti užduotis. Užduotys paprastos, skirtos tik aritmetinės progresijos prasmės supratimui.
Aritmetinės progresijos užduočių pavyzdžiai.
Pažvelkime į aukščiau pateiktą užduotį išsamiai:
1. Išrašykite pirmuosius šešis aritmetinės progresijos (a n) narius, jei a 2 = 5, d = -2,5.
Užduotį išverčiame į suprantamą kalbą. Pateikiama begalinė aritmetinė progresija. Žinomas antrasis šios progresijos skaičius: a 2 = 5. Progresavimo skirtumas žinomas: d = -2,5. Turime rasti pirmąją, trečiąją, ketvirtąją, penktąją ir šeštąją šios progresijos sąlygas.
Aiškumo dėlei aš parašysiu seriją pagal problemos sąlygas. Pirmieji šeši terminai, kai antrasis yra penki:
1, 5, 3, 4, 5, 6,...
a 3 = a 2 + d
Pakeisti į išraišką a 2 = 5 Ir d = -2,5. Nepamirškite apie minusą!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Trečioji kadencija pasirodė mažesnė nei antroji. Viskas logiška. Jei skaičius didesnis nei ankstesnis neigiamas reikšmė, o tai reiškia, kad pats skaičius bus mažesnis nei ankstesnis. Progresas mažėja. Gerai, atsižvelkime į tai.) Skaičiuojame ketvirtą savo serijos terminą:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Taigi buvo skaičiuojami terminai nuo trečio iki šešto. Rezultatas yra tokia serija:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Belieka surasti pirmąjį terminą a 1 pagal gerai žinomą antrąjį. Tai žingsnis kita kryptimi, į kairę.) Taigi, aritmetinės progresijos skirtumas d neturėtų būti pridėta a 2, A Atimti:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Viskas. Užduotis atsakymas:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Prabėgdamas norėčiau pažymėti, kad šią užduotį išsprendėme pasikartojantis būdu. Šis baisus žodis reiškia tik progreso nario paieškas pagal ankstesnį (greta esantį) numerį. Toliau apžvelgsime kitus būdus, kaip dirbti su progresu.
Iš šios paprastos užduoties galima padaryti vieną svarbią išvadą.
Prisiminti:
Jei žinome bent vieną aritmetinės progresijos narį ir skirtumą, galime rasti bet kurį šios progresijos narį.
Ar prisimeni? Ši paprasta išvada leidžia išspręsti daugumą šios temos mokyklos kurso problemų. Visos užduotys sukasi aplinkui trys pagrindiniai parametrai: aritmetinės progresijos narys, progresijos skirtumas, progresijos nario skaičius. Visi.
Žinoma, visa ankstesnė algebra nėra atšaukta.) Nelygybės, lygtys ir kiti dalykai yra susiję su progresija. Bet pagal pačią progresą– viskas sukasi aplink tris parametrus.
Pavyzdžiui, pažvelkime į kai kurias populiarias užduotis šia tema.
2. Užrašykite baigtinę aritmetinę progresiją kaip eilutę, jei n=5, d = 0,4 ir a 1 = 3,6.
Čia viskas paprasta. Viskas jau duota. Reikia prisiminti, kaip skaičiuojami aritmetinės progresijos nariai, juos suskaičiuoti ir užrašyti. Patartina užduoties sąlygose nepraleisti žodžių: „galutinis“ ir „ n=5". Kad neskaičiuotumėte tol, kol visiškai pamėlynuosite.) Šioje eigoje yra tik 5 (penki) nariai:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Belieka surašyti atsakymą:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Kita užduotis:
3. Nustatykite, ar skaičius 7 bus aritmetinės progresijos narys (a n), jei a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kas žino? Kaip ką nors nustatyti?
Kaip-kaip... Užsirašykite eigą serijos forma ir pažiūrėkite, ar ten bus septynetas, ar ne! Mes skaičiuojame:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Dabar aiškiai matyti, kad mūsų vos septyni praslydo pro šalį nuo 6,5 iki 7,7! Septyni nepateko į mūsų skaičių seką, todėl septyni nebus nurodytos progresijos nariai.
Atsakymas: ne.
Čia yra problema, pagrįsta realus variantas GIA:
4. Išrašomi keli iš eilės einantys aritmetinės progresijos nariai:
...; 15; X; 9; 6; ...
Čia yra serija, parašyta be pabaigos ir pradžios. Nėra narių numerių, jokio skirtumo d. Viskas gerai. Norėdami išspręsti problemą, pakanka suprasti aritmetinės progresijos reikšmę. Pažiūrėkime ir pažiūrėkime, kas įmanoma žinoti iš šios serijos? Kokie yra trys pagrindiniai parametrai?
Narių numeriai? Čia nėra nei vieno numerio.
Bet yra trys skaičiai ir – dėmesio! - žodis "nuoseklus" būklės. Tai reiškia, kad skaičiai yra griežtai tvarkingi, be tarpų. Ar yra du šioje eilutėje? kaimyninisžinomi skaičiai? Taip aš turiu! Tai yra 9 ir 6. Todėl galime apskaičiuoti aritmetinės progresijos skirtumą! Atimti iš šešių ankstesnis numeris, t.y. devyni:
Liko tik smulkmenos. Koks skaičius bus ankstesnis X? penkiolika. Tai reiškia, kad X galima lengvai rasti paprastu pridėjimu. Pridėkite aritmetinės progresijos skirtumą prie 15:
Tai viskas. Atsakymas: x=12
Toliau nurodytas problemas sprendžiame patys. Pastaba: šios problemos nėra pagrįstos formulėmis. Tik tam, kad suprastume aritmetinės progresijos prasmę.) Tiesiog užrašome skaičių ir raidžių seką, žiūrime ir išsiaiškiname.
5. Raskite pirmąjį teigiamą aritmetinės progresijos narį, jei a 5 = -3; d = 1,1.
6. Yra žinoma, kad skaičius 5,5 yra aritmetinės progresijos narys (a n), kur a 1 = 1,6; d = 1,3. Nustatykite šio nario skaičių n.
7. Yra žinoma, kad aritmetinėje progresijoje a 2 = 4; a 5 = 15,1. Raskite 3.
8. Išrašomi keli iš eilės einantys aritmetinės progresijos nariai:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Raskite raide x pažymėtą progresijos terminą.
9. Traukinys pradėjo judėti iš stoties, tolygiai didindamas greitį 30 metrų per minutę. Koks bus traukinio greitis po penkių minučių? Atsakymą pateikite km/val.
10. Žinoma, kad aritmetinėje progresijoje a 2 = 5; a 6 = -5. Raskite 1.
Atsakymai (netvarkingai): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Viskas pavyko? Nuostabu! Galite sužinoti daugiau apie aritmetinę progresiją aukštas lygis, tolesnėse pamokose.
Ar ne viskas pavyko? Jokiu problemu. Specialiame 555 skyriuje visos šios problemos yra suskirstytos po gabalėlį.) Ir, žinoma, aprašyta paprasta praktinė technika, kuri iš karto aiškiai, aiškiai, iš pirmo žvilgsnio išryškina tokių užduočių sprendimą!
Beje, traukinio galvosūkyje yra dvi problemos, už kurias žmonės dažnai užkliūva. Vienas yra tik progresavimo požiūriu, o antrasis yra bendras bet kokioms matematikos ir fizikos problemoms. Tai matmenų vertimas iš vieno į kitą. Tai parodo, kaip šios problemos turi būti sprendžiamos.
Šioje pamokoje apžvelgėme elementarią aritmetinės progresijos reikšmę ir pagrindinius jos parametrus. To pakanka beveik visoms šios temos problemoms išspręsti. Papildyti dį skaičius, parašyk seriją, viskas išsispręs.
Pirštų sprendimas puikiai tinka labai trumpoms eilutės dalims, kaip parodyta šios pamokos pavyzdžiuose. Jei serija ilgesnė, skaičiavimai tampa sudėtingesni. Pavyzdžiui, jei 9 uždavinyje klausime pakeičiame "penkios minutės"įjungta "trisdešimt penkios minutės" problema žymiai pablogės.)
Taip pat yra užduočių, kurios iš esmės yra paprastos, bet skaičiavimų požiūriu absurdiškos, pavyzdžiui:
Pateikiama aritmetinė progresija (a n). Raskite 121, jei 1 = 3 ir d = 1/6.
Tai ką, ar mes pridėsime 1/6 daug, daug kartų?! Ar galite nusižudyti!
Jūs galite.) Jei nežinote paprastos formulės, pagal kurią galite išspręsti tokias užduotis per minutę. Ši formulė bus kitoje pamokoje. Ir čia ši problema išspręsta. Per minutę.)
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
