Tiems, kurie domisi Pitagoro teoremos, kuri nagrinėjama mokyklos programoje, istorija, bus įdomu ir toks faktas, kaip 1940 m. išleista knyga su trimis šimtais septyniasdešimt šios iš pažiūros paprastos teoremos įrodymų. Tačiau tai suintrigavo daugelio skirtingų epochų matematikų ir filosofų mintis. Gineso rekordų knygoje tai įrašyta kaip teorema su didžiausiu įrodymų skaičiumi.

Pitagoro teoremos istorija

Su Pitagoro vardu siejama teorema buvo žinoma dar gerokai iki didžiojo filosofo gimimo. Taigi Egipte statant konstrukcijas prieš penkis tūkstančius metų buvo atsižvelgta į stačiojo trikampio kraštinių santykį. Babiloniečių tekstuose toks pat stačiojo trikampio kraštinių santykis minimas likus 1200 metų iki Pitagoro gimimo.

Kyla klausimas, kodėl tada istorija sako, kad Pitagoro teoremos kilmė priklauso jam? Atsakymas gali būti tik vienas – jis įrodė trikampio kraštinių santykį. Jis padarė tai, ko prieš šimtmečius nepadarė tie, kurie paprasčiausiai naudojo patirties nustatytą formato santykį ir hipotenuzą.

Iš Pitagoro gyvenimo

Būsimasis didis mokslininkas, matematikas, filosofas gimė Samos saloje 570 m.pr.Kr. Istoriniai dokumentai išsaugojo informaciją apie Pitagoro tėvą, kuris buvo drožėjas Brangūs akmenys, bet apie motiną informacijos nėra. Jie sakė apie gimusį berniuką, kad jis buvo nepaprastas vaikas, kuris parodė vaikystė aistra muzikai ir poezijai. Istorikai Hermodamas ir Ferekidas iš Syros laiko jaunojo Pitagoro mokytojus. Pirmasis įvedė berniuką į mūzų pasaulį, o antrasis, būdamas filosofas ir italų filosofijos mokyklos įkūrėjas, nukreipė jaunuolio žvilgsnį į logotipus.

Būdamas 22 metų (548 m. pr. Kr.) Pitagoras išvyko į Nakratis studijuoti egiptiečių kalbos ir religijos. Toliau jo kelias buvo Memfyje, kur kunigų dėka, atlikę išradingus išbandymus, jis suprato Egipto geometriją, kuri, ko gero, paskatino smalsų jaunuolį įrodyti Pitagoro teoremą. Istorija vėliau šį pavadinimą skirs teoremai.

Babilono karaliaus nelaisvė

Pakeliui namo į Hellą Pitagorą paima Babilono karalius. Tačiau buvimas nelaisvėje buvo naudingas smalsiam trokštančio matematiko protui; jis turėjo daug ko išmokti. Iš tiesų tais metais matematika Babilone buvo labiau išvystyta nei Egipte. Dvylika metų jis praleido studijuodamas matematiką, geometriją ir magiją. Ir galbūt būtent Babilono geometrija buvo įtraukta į trikampio kraštinių santykio įrodymą ir teoremos atradimo istoriją. Pitagoras tam turėjo pakankamai žinių ir laiko. Tačiau nėra jokio dokumentinio patvirtinimo ar paneigimo, kad tai įvyko Babilone.

530 m.pr.Kr. Pitagoras pabėga iš nelaisvės į tėvynę, kur gyvena tirono Polikrato dvare pusiau vergo statusu. Pitagoras nepatenkintas tokiu gyvenimu ir jis pasitraukia į Samoso urvus, o paskui išvyksta į Italijos pietus, kur tuo metu buvo Graikijos kolonija Krotonas.

Slaptas vienuolinis ordinas

Šios kolonijos pagrindu Pitagoras suorganizavo slaptą vienuolijų ordiną, kuri buvo religinė sąjunga ir kartu mokslinė draugija. Ši draugija turėjo savo chartiją, kurioje buvo kalbama apie ypatingo gyvenimo būdo laikymąsi.

Pitagoras teigė, kad norint suprasti Dievą, žmogus turi išmanyti tokius mokslus kaip algebra ir geometrija, išmanyti astronomiją ir suprasti muziką. Tyrimas susivedė į mistinės skaičių pusės ir filosofijos pažinimą. Pažymėtina, kad tuo metu Pitagoro skelbti principai šiuo metu turi prasmę imituojant.

Daugelis Pitagoro mokinių atradimų buvo priskirti jam. Tačiau trumpai tariant, to meto senovės istorikų ir biografų Pitagoro teoremos sukūrimo istorija yra tiesiogiai susijusi su šio filosofo, mąstytojo ir matematiko vardu.

Pitagoro mokymai

Galbūt idėją apie ryšį tarp teoremos ir Pitagoro vardo paskatino didžiojo graiko teiginys, kad visi mūsų gyvenimo reiškiniai yra užšifruoti liūdnai pagarsėjusiame trikampyje su jo kojomis ir hipotenuze. Ir šis trikampis yra „raktas“ sprendžiant visas kylančias problemas. Didysis filosofas sakė, kad turėtumėte pamatyti trikampį, tada galite manyti, kad problema yra išspręsta dviem trečdaliais.

Apie savo mokymą Pitagoras savo mokiniams kalbėjo tik žodžiu, neužsirašinėdamas, slapstydamas. Deja, mokymas didžiausias filosofas iki šių dienų neišliko. Kažkas iš jos nutekėjo, bet neįmanoma pasakyti, kiek tame, kas tapo žinoma, yra tiesos, o kiek melo. Net ir Pitagoro teoremos istorijoje ne viskas aišku. Matematikos istorikai abejoja Pitagoro autoryste, jų nuomone, teorema buvo naudojama daugelį šimtmečių iki jo gimimo.

Pitagoro teorema

Gali pasirodyti keista, bet istoriniai faktai Paties Pitagoro teoremos įrodymų nėra – nei archyvuose, nei kituose šaltiniuose. Šiuolaikinėje versijoje manoma, kad jis priklauso ne kam kitam, o pačiam Euklidui.

Yra įrodymų iš vieno didžiausių matematikos istorikų Moritzo Cantoro, kuris atrado Berlyno muziejuje saugomą papirusą, kurį egiptiečiai užrašė apie 2300 m. pr. Kr. e. lygybė, kuri yra tokia: 3² + 4² = 5².

Trumpa Pitagoro teoremos istorija

Euklido „Principų“ teoremos formuluotė vertime skamba taip pat kaip šiuolaikinė interpretacija. Jos skaityme nėra nieko naujo: priešingos stačiojo kampo pusės kvadratas, lygi sumai kraštinių, besiribojančių su stačiu kampu, kvadratai. Tai, kad senovės Indijos ir Kinijos civilizacijos naudojo teoremą, patvirtina traktatas „Zhou - bi suan jin“. Jame yra informacijos apie Egipto trikampį, kurio kraštinių santykis yra 3:4:5.

Ne mažiau įdomi ir kita kinų matematinė knyga „Chu-pei“, kurioje taip pat minima Pitagoro trikampis su paaiškinimais ir brėžiniais, sutampančiais su Bašaros induizmo geometrijos brėžiniais. Apie patį trikampį knygoje rašoma, kad jei statųjį kampą galima išskaidyti į jo sudedamąsias dalis, tai linija, jungianti kraštinių galus, bus lygi penkioms, jei pagrindas lygus trims, o aukštis lygus keturiems. .

Indijos traktatas „Sulva Sutra“, datuojamas maždaug VII–V a. pr. e., kalba apie statybas stačiu kampu naudojant Egipto trikampį.

Teoremos įrodymas

Viduramžiais mokiniai laikė, kad įrodyti teoremą per sunku. Silpni studentai teoremas išmoko mintinai, nesuprasdami įrodymo prasmės. Šiuo atžvilgiu jie gavo slapyvardį „asiliukai“, nes Pitagoro teorema jiems buvo neįveikiama kliūtis, kaip tiltas asilui. Viduramžiais studentai sugalvojo nuotaikingą eilėraštį šios teoremos tema.

Labiausiai įrodyti Pitagoro teoremą lengvu keliu, turėtumėte tiesiog išmatuoti jo puses, nenaudodami įrodyme plotų sąvokos. Kraštinės, esančios priešingos stačiajam kampui, ilgis yra c, o šalia jos – a ir b, todėl gauname lygtį: a 2 + b 2 = c 2. Šis teiginys, kaip minėta aukščiau, patikrinamas išmatuojant stačiojo trikampio kraštinių ilgį.

Jei pradėsime teoremos įrodymą atsižvelgdami į stačiakampių, pastatytų trikampio šonuose, plotą, galime nustatyti visos figūros plotą. Jis bus lygus kvadrato, kurio kraštinė yra (a+b), plotui ir, kita vertus, keturių trikampių ir vidinio kvadrato plotų sumai.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2 , ką ir reikėjo įrodyti.

Praktinė Pitagoro teoremos reikšmė yra ta, kad ją galima naudoti atkarpų ilgiams rasti jų nematuojant. Statant konstrukcijas skaičiuojami atstumai, atramų ir sijų išdėstymas, nustatomi svorio centrai. Pitagoro teorema galioja visiems šiuolaikinės technologijos. Kurdami filmus 3D-6D matmenimis, jie nepamiršo ir teoremos, kur be trijų mums įprastų matmenų atsižvelgiama į aukštį, ilgį, plotį, laiką, kvapą ir skonį. Klausiate, kaip skoniai ir kvapai susiję su teorema? Viskas labai paprasta – rodant filmą reikia skaičiuoti, kur ir kokius kvapus bei skonius režisuoti žiūrovų salėje.

Tai tik pradžia. Smalsių protų laukia neribotos galimybės atrasti ir kurti naujas technologijas.

Kūrybiškumo potencialas dažniausiai priskiriamas humanitariniams mokslams, gamtos mokslus paliekant analizei, praktiniam požiūriui ir sausai formulių bei skaičių kalbai. Matematikos negalima priskirti prie humanitarinių mokslų dalykų. Tačiau be kūrybiškumo „visų mokslų karaliene“ toli nenueisi – žmonės tai žinojo jau seniai. Pavyzdžiui, nuo Pitagoro laikų.

Mokykliniuose vadovėliuose, deja, dažniausiai nepaaiškinama, kad matematikoje svarbu ne tik prigrūsti teoremas, aksiomas ir formules. Svarbu suprasti ir pajusti pagrindinius jos principus. Ir tuo pačiu pasistenkite išlaisvinti savo mintis nuo klišių ir elementarių tiesų – tik tokiomis sąlygomis gimsta visi didieji atradimai.

Tokie atradimai apima tai, ką šiandien žinome kaip Pitagoro teoremą. Jos pagalba bandysime parodyti, kad matematika ne tik gali, bet ir turėtų jaudinti. Ir kad šis nuotykis tiktų ne tik vėplai su storais akiniais, bet visiems, kas stipriu protu ir stipria dvasia.

Iš problemos istorijos

Griežtai kalbant, nors teorema vadinama „Pitagoro teorema“, pats Pitagoras jos neatrado. Stačiakampis trikampis ir jo ypatingos savybės buvo tiriamos gerokai prieš jį. Šiuo klausimu yra du poliariniai požiūriai. Remiantis viena versija, Pitagoras pirmasis rado išsamų teoremos įrodymą. Kito teigimu, įrodymas nepriklauso Pitagoro autorystei.

Šiandien nebegalite patikrinti, kas teisus, o kas neteisus. Yra žinoma, kad Pitagoro įrodymas, jei jis kada nors egzistavo, neišliko. Tačiau yra pasiūlymų, kad garsusis įrodymas iš Euklido elementų gali priklausyti Pitagorui, o Euklidas jį tik užfiksavo.

Šiandien taip pat žinoma, kad problemos apie taisyklingas trikampis rasta Egipto šaltiniuose iš faraono Amenemhato I laikų, ant Babilono karaliaus Hamurabio valdymo laikų molio lentelių, senovės Indijos traktate „Sulva Sutra“ ir senovės kinų veikale „Zhou-bi suan jin“.

Kaip matote, Pitagoro teorema užėmė matematikų protus nuo seniausių laikų. Tai patvirtina apie 367 skirtingi šiandien egzistuojantys įrodymai. Šiuo atveju jokia kita teorema negali su ja konkuruoti. Iš žymių įrodinėjimo autorių galime prisiminti Leonardo da Vinci ir dvidešimtąjį JAV prezidentą Jamesą Garfieldą. Visa tai byloja apie nepaprastą šios teoremos svarbą matematikai: dauguma geometrijos teoremų yra išvestos iš jos arba kaip nors su ja susijusios.

Pitagoro teoremos įrodymai

Mokykliniuose vadovėliuose dažniausiai pateikiami algebriniai įrodymai. Tačiau teoremos esmė yra geometrijoje, todėl pirmiausia apsvarstykime tuos garsiosios teoremos įrodymus, kurie yra pagrįsti šiuo mokslu.

1 įrodymas

Paprasčiausiam Pitagoro teoremos stačiajam trikampiui įrodymui reikia nustatyti idealios sąlygos: tegul trikampis būna ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Yra pagrindo manyti, kad senovės matematikai iš pradžių svarstė būtent tokį trikampį.

pareiškimas „Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai“ galima iliustruoti tokiu piešiniu:

Pažvelkite į lygiašonį stačiakampį trikampį ABC: hipotenuzėje AC galite sukurti kvadratą, sudarytą iš keturių trikampių, lygių pradiniam ABC. O kraštinėse AB ir BC pastatytas kvadratas, kurių kiekviename yra du panašūs trikampiai.

Beje, šis piešinys buvo daugelio anekdotų ir animacinių filmų, skirtų Pitagoro teoremai, pagrindas. Garsiausias turbūt "Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis":

2 įrodymas

Šis metodas sujungia algebrą ir geometriją ir gali būti laikomas senovės Indijos matematiko Bhaskari įrodymo variantu.

Sukurkite stačiakampį trikampį su kraštinėmis a, b ir c(1 pav.). Tada sukurkite du kvadratus, kurių kraštinės yra lygios dviejų kojų ilgių sumai - (a+b). Kiekviename iš kvadratų padarykite konstrukcijas, kaip parodyta 2 ir 3 paveiksluose.

Pirmajame kvadrate pastatykite keturis trikampius, panašius į 1 paveiksle. Gaunate du kvadratus: vienas su kraštine a, antras su kraštine. b.

Antrajame kvadrate keturi panašūs trikampiai sudaro kvadratą su kraštine lygus hipotenuzei c.

Sukonstruotų kvadratų plotų suma 2 pav. yra lygi kvadrato, kurį sukonstravome su kraštine c 3 pav., plotui. Tai galima lengvai patikrinti apskaičiuojant kvadratų plotą pav. 2 pagal formulę. Ir įbrėžto kvadrato plotas 3 paveiksle, atimant keturių lygių stačiųjų trikampių, įrašytų į kvadratą, plotus iš didelio kvadrato su kraštine ploto (a+b).

Užrašę visa tai, turime: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Atidarykite skliaustus, atlikite visus reikiamus algebrinius skaičiavimus ir gaukite a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Šiuo atveju plotas, įrašytas 3 pav. kvadratas taip pat gali būti apskaičiuojamas naudojant tradicinę formulę S=c 2. Tie. a 2 +b 2 =c 2– įrodėte Pitagoro teoremą.

3 įrodymas

Pats senovės Indijos įrodymas buvo aprašytas XII amžiuje traktate „Žinių karūna“ („Siddhanta Shiromani“) ir kaip pagrindinį argumentą autorius naudoja kreipimąsi į mokinių ir pasekėjų matematinius gabumus ir stebėjimo įgūdžius: „ Žiūrėk!"

Bet mes išanalizuosime šį įrodymą išsamiau:

Kvadrato viduje pastatykite keturis stačiuosius trikampius, kaip nurodyta brėžinyje. Pažymėkime didžiojo kvadrato, dar žinomo kaip hipotenuzė, kraštą, Su. Pavadinkime trikampio kojas A Ir b. Pagal brėžinį vidinio kvadrato pusė yra (a–b).

Naudokite kvadrato ploto formulę S=c 2 Norėdami apskaičiuoti išorinio kvadrato plotą. Ir tuo pačiu metu apskaičiuokite tą pačią vertę, pridėdami vidinio kvadrato plotą ir visų keturių stačiųjų trikampių plotus: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Apskaičiuodami kvadrato plotą galite naudoti abi parinktis, kad įsitikintumėte, jog jos duoda tą patį rezultatą. Ir tai suteikia jums teisę tai užsirašyti c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Išsprendę gausite Pitagoro teoremos formulę c 2 =a 2 + b 2. Teorema įrodyta.

4 įrodymas

Šis keistas senovės kinų įrodymas buvo vadinamas „Nuotakos kėde“ dėl į kėdę panašios figūros, kuri susidaro iš visų konstrukcijų:

Jis naudoja brėžinį, kurį jau matėme 3 pav. antrajame įrodyme. O vidinis kvadratas su kraštine c yra sukonstruotas taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame senovės Indijos įrodyme.

Jei mintyse nupjovėte du žalius stačiuosius trikampius iš piešinio 1 pav., perkelkite juos į priešingos pusės pritvirtinkite kvadratą su kraštine c ir hipotenomis prie alyvinės spalvos trikampių hipotenų, gausite figūrą, vadinamą „nuotakos kėde“ (2 pav.). Aiškumo dėlei tą patį galite padaryti su popieriniais kvadratais ir trikampiais. Įsitikinsite, kad „nuotakos kėdę“ suformuotų du kvadratai: maži su šonu b ir didelis su šonu a.

Šios konstrukcijos leido senovės Kinijos matematikams ir mums, jomis sekantiems, prieiti prie išvados c 2 =a 2 + b 2.

5 įrodymas

Tai dar vienas būdas rasti Pitagoro teoremos sprendimą naudojant geometriją. Jis vadinamas Garfieldo metodu.

Sukurkite statųjį trikampį ABC. Turime tai įrodyti BC 2 = AC 2 + AB 2.

Norėdami tai padaryti, tęskite koją AC ir sukonstruoti segmentą CD, kuris lygus kojai AB. Nuleiskite statmeną REKLAMA linijos segmentas ED. Segmentai ED Ir AC yra lygūs. Sujunkite taškus E Ir IN, ir E Ir SU ir gaukite piešinį, kaip paveikslėlyje žemiau:

Norėdami įrodyti bokštą, vėl pasitelkiame jau išbandytą metodą: gautos figūros plotą randame dviem būdais ir išraiškas prilyginame viena kitai.

Raskite daugiakampio plotą LOVA galima padaryti sudėjus trijų jį sudarančių trikampių plotus. Ir vienas iš jų, ERU, yra ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Taip pat nepamirškime to AB = CD, AC=ED Ir BC = SE– tai leis supaprastinti įrašymą ir jo neperkrauti. Taigi, S ABED = 2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Kartu akivaizdu, kad LOVA- Tai trapecija. Todėl apskaičiuojame jo plotą pagal formulę: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Mūsų skaičiavimams patogiau ir aiškiau pavaizduoti segmentą REKLAMA kaip segmentų suma AC Ir CD.

Užrašykime abu figūros ploto skaičiavimo būdus, tarp jų padėdami lygybės ženklą: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Mes naudojame mums jau žinomą ir aukščiau aprašytą segmentų lygybę, kad supaprastintume dešinę žymėjimo pusę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Dabar atidarykime skliaustus ir pakeiskime lygybę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Atlikę visas transformacijas, gauname būtent tai, ko mums reikia: BC 2 = AC 2 + AB 2. Įrodėme teoremą.

Žinoma, šis įrodymų sąrašas toli gražu nėra baigtas. Pitagoro teorema taip pat gali būti įrodyta naudojant vektorius, kompleksinius skaičius, diferencialines lygtis, stereometriją ir kt. Ir net fizikai: jei, pavyzdžiui, skystis pilamas į kvadratinius ir trikampius tūrius, panašius į parodytus brėžiniuose. Pildami skystį, galite įrodyti plotų lygybę ir dėl to pačią teoremą.

Keletas žodžių apie Pitagoro trynukus

Mokyklos programoje šis klausimas mažai nagrinėjamas arba visai nenagrinėjamas. Tuo tarpu jis yra labai įdomus ir turi didelę reikšmę geometrijoje. Pitagoro trigubai naudojami daugeliui matematinių uždavinių spręsti. Jų supratimas gali būti naudingas tolesniam mokymuisi.

Taigi, kas yra Pitagoro trynukai? Taip jie vadina sveikieji skaičiai, surinkti po tris, kurių dviejų kvadratų suma lygi trečiajam kvadrato skaičiui.

Pitagoro trigubai gali būti:

• primityvus (visi trys skaičiai yra santykinai pirminiai);
• ne primityvus (jei kiekvienas trigubo skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, gaunamas naujas trigubas, kuris nėra primityvus).

Dar prieš mūsų erą senovės egiptiečius žavėjo Pitagoro trynukų skaičiaus manija: uždaviniuose jie laikė statųjį trikampį, kurio kraštinės yra 3, 4 ir 5 vienetai. Beje, bet kuris trikampis, kurio kraštinės yra lygios skaičiams iš Pitagoro trigubo, pagal nutylėjimą yra stačiakampis.

Pitagoro trynukų pavyzdžiai: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) ir kt.

Praktinis teoremos taikymas

Pitagoro teorema naudojama ne tik matematikoje, bet ir architektūroje bei statybose, astronomijoje ir net literatūroje.

Pirmiausia apie statybą: joje randa Pitagoro teorema platus pritaikymas užduotyse skirtingi lygiai sunkumų. Pavyzdžiui, pažiūrėkite į romaninį langą:

Lango plotį pažymėkime kaip b, tada didžiojo puslankio spindulį galima žymėti kaip R ir išreikšti per b: R=b/2. Mažesnių puslankių spindulys taip pat gali būti išreikštas per b: r=b/4. Šioje užduotyje mus domina lango vidinio apskritimo spindulys (vadinkime jį p).

Pitagoro teorema tiesiog naudinga skaičiuojant R. Norėdami tai padaryti, naudojame stačiakampį trikampį, kuris paveikslėlyje pažymėtas punktyrine linija. Trikampio hipotenuzė susideda iš dviejų spindulių: b/4+p. Viena koja reiškia spindulį b/4, kitas b/2-p. Naudodami Pitagoro teoremą rašome: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Toliau atidarome skliaustus ir gauname b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Paverskime šią išraišką į bp/2=b 2 /4-bp. Ir tada mes padaliname visus terminus iš b, pateikiame panašių gauti 3/2*p=b/4. Ir galų gale mes tai surandame p=b/6– ko mums ir reikėjo.

Naudodami teoremą galite apskaičiuoti gegnių ilgį dvišlaičiu stogu. Nustatykite, kokio aukščio reikia mobiliojo telefono bokšto, kad signalas pasiektų tam tikrą lygį atsiskaitymas. Ir netgi nuolat diegti Kalėdų eglutė miesto aikštėje. Kaip matote, ši teorema gyvena ne tik vadovėlių puslapiuose, bet ir dažnai praverčia Tikras gyvenimas.

Literatūroje Pitagoro teorema įkvėpė rašytojus nuo antikos laikų ir tebekelia tai mūsų laikais. Pavyzdžiui, XIX amžiaus vokiečių rašytojas Adelbertas von Chamisso buvo įkvėptas parašyti sonetą:

Tiesos šviesa greitai neišsklaidys,
Tačiau sužibėjęs vargu ar išsisklaidys
Ir, kaip ir prieš tūkstančius metų,
Tai nesukels abejonių ar ginčų.

Išmintingiausias, kai paliečia tavo žvilgsnį
Tiesos šviesa, ačiū dievams;
Ir šimtas jaučių, paskerstų, guli -
Dovana iš laimingojo Pitagoro.

Nuo tada jaučiai beviltiškai riaumoja:
Amžinai sunerimo bulių gentis
Čia paminėtas įvykis.

Jiems atrodo, kad tuoj ateis laikas,
Ir jie vėl bus paaukoti
Puiki teorema.

(vertė Viktoras Toporovas)

O XX amžiuje sovietų rašytojas Jevgenijus Veltistovas savo knygoje „Elektronikos nuotykiai“ visą skyrių paskyrė Pitagoro teoremos įrodymams. Ir dar pusė skyriaus istorijos apie dvimatį pasaulį, kuris galėtų egzistuoti, jei Pitagoro teorema taptų pagrindiniu vieno pasaulio dėsniu ir net religija. Ten gyventi būtų daug lengviau, bet ir daug nuobodžiau: pavyzdžiui, ten niekas nesupranta žodžių „apvalus“ ir „pūkas“ reikšmės.

O knygoje „Elektronikos nuotykiai“ autorius matematikos mokytojo Tarataro lūpomis sako: „Matematikoje svarbiausia yra minčių judėjimas, naujos idėjos“. Kaip tik toks kūrybinis minties polėkis ir lemia Pitagoro teoremą – ne veltui ji turi tiek daug įvairiausių įrodymų. Tai padeda peržengti pažįstamo ribas ir pažvelgti į pažįstamus dalykus naujai.

Išvada

Šis straipsnis skirtas padėti jums pažvelgti daugiau mokyklos mokymo programa matematikos ir išmokti ne tik tuos Pitagoro teoremos įrodymus, kurie pateikiami vadovėliuose „Geometrija 7-9“ (L.S. Atanasjanas, V.N. Rudenko) ir „Geometrija 7-11“ (A.V. Pogorelovas), bet ir kitų įdomių būdų įrodyti. garsioji teorema. Taip pat pažiūrėkite, kaip Pitagoro teorema gali būti taikoma kasdieniame gyvenime.

Pirma, ši informacija leis jums gauti aukštesnius balus matematikos pamokose – informacija šia tema iš papildomų šaltinių visada yra labai vertinama.

Antra, norėjome padėti jums pajusti, kaip sekasi matematika įdomus mokslas. Įsitikinkite konkrečių pavyzdžių kad jame visada yra vietos kūrybai. Tikimės, kad Pitagoro teorema ir šis straipsnis įkvėps jus savarankiškai tyrinėti ir padaryti įdomių atradimų matematikos ir kitų mokslų srityse.

Pasakykite mums komentaruose, jei jums pasirodė įdomūs straipsnyje pateikti įrodymai. Ar ši informacija jums buvo naudinga studijuojant? Parašykite mums, ką manote apie Pitagoro teoremą ir šį straipsnį – mes mielai visa tai aptarsime su jumis.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Pitagoro teorema: kvadratų, esančių ant kojų, plotų suma ( a Ir b), lygus kvadrato, pastatyto ant hipotenuzos, plotui ( c).

Geometrinė formulė:

Iš pradžių teorema buvo suformuluota taip:

Algebrinė formulė:

Tai reiškia, kad trikampio hipotenuzės ilgį žymi c, o kojų ilgiai per a Ir b :

a 2 + b 2 = c 2

Abi teoremos formuluotės yra lygiavertės, tačiau antroji formuluotė yra elementaresnė, joje nereikia ploto sąvokos. Tai yra, antrąjį teiginį galima patikrinti nieko nežinant apie plotą ir matuojant tik stačiojo trikampio kraštinių ilgius.

Konversinė Pitagoro teorema:

Įrodymas

Įjungta Šis momentas Mokslinėje literatūroje užfiksuoti 367 šios teoremos įrodymai. Tikriausiai Pitagoro teorema yra vienintelė teorema, turinti tokį įspūdingą įrodymų skaičių. Tokią įvairovę galima paaiškinti tik pagrindine teoremos reikšme geometrijai.

Žinoma, konceptualiai visas jas galima suskirstyti į nedidelį skaičių klasių. Žymiausi iš jų: įrodymai ploto metodu, aksiominiai ir egzotiniai įrodymai (pavyzdžiui, naudojant diferencialines lygtis).

Per panašius trikampius

Šis algebrinės formuluotės įrodymas yra paprasčiausias iš įrodymų, sudarytas tiesiai iš aksiomų. Visų pirma, jame nenaudojama figūros ploto sąvoka.

Leisti ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C. Nubrėžkime aukštį iš C o jo pagrindą pažymėkite H. Trikampis ACH panašus į trikampį ABC dviejuose kampuose. Taip pat trikampis CBH panašus ABC. Įvedant užrašą

mes gauname

Kas yra lygiavertė

Sudėjus, gauname

Įrodymai naudojant ploto metodą

Žemiau pateikti įrodymai, nepaisant akivaizdaus jų paprastumo, nėra tokie paprasti. Jie visi naudoja ploto savybes, kurių įrodymas yra sudėtingesnis nei pačios Pitagoro teoremos įrodymas.

Įrodymas naudojant lygiavertį papildymą

1. Išdėstykime keturis vienodus stačiuosius trikampius, kaip parodyta 1 paveiksle.
2. Keturkampis su šonais c yra kvadratas, nes dviejų smailiųjų kampų suma yra 90°, o tiesių kampų - 180°.
3. Visos figūros plotas, viena vertus, lygus kvadrato su kraštine (a + b) plotui, kita vertus, keturių trikampių ir dviejų vidinių trikampių plotų sumai. kvadratai.

Q.E.D.

Įrodymai per lygiavertiškumą

Elegantiškas įrodymas naudojant permutaciją

Vieno tokio įrodymo pavyzdys parodytas brėžinyje dešinėje, kur ant hipotenuzos pastatytas kvadratas perskirstomas į du kvadratus, pastatytus iš šonų.

Euklido įrodymas

Euklido įrodymo brėžinys

Euklido įrodymo iliustracija

Euklido įrodymo idėja yra tokia: pabandykime įrodyti, kad pusė kvadrato, pastatyto ant hipotenuzos, ploto yra lygi kvadratų, pastatytų ant kojų, pusės plotų sumai, o tada didelis ir du maži kvadratai yra lygūs.

Pažiūrėkime į piešinį kairėje. Ant jo stačiojo trikampio kraštinėse sukonstravome kvadratus ir nubrėžėme spindulį s iš stačiojo kampo C viršūnės statmenai įdubai AB, jis perpjauna kvadratą ABIK, pastatytą ant hipotenuzės, į du stačiakampius - BHJI ir HAKJ, atitinkamai. Pasirodo, šių stačiakampių plotai yra tiksliai lygūs kvadratų, pastatytų ant atitinkamų kojų, plotams.

Pabandykime įrodyti, kad kvadrato DECA plotas lygus stačiakampio AHJK plotui. Norėdami tai padaryti, naudosime pagalbinį stebėjimą: Trikampio plotas, kurio aukštis ir pagrindas yra toks pat kaip ir nurodytas stačiakampis yra lygus pusei nurodyto stačiakampio ploto. Tai yra pasekmė, kai trikampio plotas apibrėžiamas kaip pusė pagrindo ir aukščio sandaugos. Iš šio stebėjimo matyti, kad trikampio ACK plotas yra lygus trikampio AHK plotui (neparodytas paveikslėlyje), kuris savo ruožtu yra lygus pusei stačiakampio AHJK ploto.

Dabar įrodykime, kad trikampio ACK plotas taip pat lygus pusei kvadratinio DECA ploto. Vienintelis dalykas, kurį reikia padaryti, yra įrodyti trikampių ACK ir BDA lygybę (nes trikampio BDA plotas yra lygus pusei kvadrato ploto pagal aukščiau pateiktą savybę). Lygybė akivaizdi, trikampiai yra vienodi iš abiejų pusių ir kampas tarp jų. Būtent - AB=AK,AD=AC - kampų CAK ir BAD lygybę nesunku įrodyti judėjimo metodu: trikampį CAK pasukame 90° prieš laikrodžio rodyklę, tada akivaizdu, kad atitinkamos dviejų trikampių kraštinės klausimas sutaps (dėl to, kad kampas ties kvadrato viršūne yra 90°).

Kvadrato BCFG ir stačiakampio BHJI plotų lygybės motyvai yra visiškai panašūs.

Taigi įrodėme, kad ant hipotenuzės pastatyto kvadrato plotas susideda iš kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų. Šio įrodymo idėją toliau iliustruoja aukščiau pateikta animacija.

Leonardo da Vinci įrodymas

Leonardo da Vinci įrodymas

Pagrindiniai įrodymo elementai yra simetrija ir judėjimas.

Laikykime piešinį, kaip matyti iš simetrijos, segmentu Caš nupjauna kvadratą ABHJ į dvi identiškas dalis (nes trikampiai ABC Ir JHaš lygus konstrukcijoje). Naudodami 90 laipsnių pasukimą prieš laikrodžio rodyklę, matome nuspalvintų figūrų lygybę CAJaš Ir GDAB . Dabar aišku, kad mūsų nuspalvintos figūros plotas yra lygus pusės kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų ir pradinio trikampio ploto sumai. Kita vertus, jis yra lygus pusei kvadrato, pastatyto ant hipotenuzės, ploto, pridėjus pradinio trikampio plotą. Paskutinis žingsnisįrodymas pateikiamas skaitytojui.

Įrodymas be galo mažu metodu

Šis įrodymas, naudojant diferencialines lygtis, dažnai priskiriamas garsiam anglų matematikui Hardy, gyvenusiam XX amžiaus pirmoje pusėje.

Žiūrint į paveikslėlyje pavaizduotą brėžinį ir stebint pusės pasikeitimą a, galime parašyti tokį ryšį be galo mažiems šoniniams prieaugiams Su Ir a(naudojant trikampio panašumą):

Įrodymas be galo mažu metodu

Naudodami kintamųjų atskyrimo metodą, randame

Bendresnė hipotenuzės pokyčio išraiška, kai prieaugis yra iš abiejų pusių

Integruodami šią lygtį ir naudodami pradines sąlygas, gauname

c 2 = a 2 + b 2 + pastovus.

Taip gauname norimą atsakymą

c 2 = a 2 + b 2 .

Kaip nesunku pastebėti, kvadratinė priklausomybė galutinėje formulėje atsiranda dėl tiesinio proporcingumo tarp trikampio kraštinių ir prieaugių, o suma siejama su nepriklausomais įnašais iš skirtingų kojelių prieaugio.

Paprastesnį įrodymą galima gauti, jei darome prielaidą, kad viena iš kojų nepadidėja (in tokiu atveju koja b). Tada gauname integravimo konstantą

Variacijos ir apibendrinimai

• Jei vietoj kvadratų šonuose statysime kitas panašias figūras, tada teisingas toks Pitagoro teoremos apibendrinimas: Stačiakampiame trikampyje panašių figūrų, pastatytų šonuose, plotų suma yra lygi figūros, pastatytos ant hipotenuzės, plotui. Visų pirma:
  • Taisyklingų trikampių, pastatytų ant kojų, plotų suma yra lygi taisyklingo trikampio, pastatyto ant hipotenuzės, plotui.
  • Ant kojelių pastatytų puslankių plotų (kaip ir skersmens) suma yra lygi ant hipotenuzės pastatyto puslankio plotui. Šis pavyzdys naudojamas figūrų, apribotų dviejų apskritimų lankais ir vadinamų Hipokrato lunulomis, savybėms įrodyti.

Istorija

Chu-pei 500–200 m.pr.Kr. Kairėje yra užrašas: aukščio ir pagrindo ilgių kvadratų suma yra hipotenuzės ilgio kvadratas.

Senovės kinų knygoje Chu-pei kalbama apie Pitagoro trikampį, kurio kraštinės yra 3, 4 ir 5: Toje pačioje knygoje pateikiamas piešinys, kuris sutampa su vienu iš induistų Bašaros geometrijos piešinių.

Kantoras (didžiausias vokiečių matematikos istorikas) mano, kad lygybė 3² + 4² = 5² jau buvo žinoma egiptiečiams apie 2300 m. e., karaliaus Amenemhato I laikais (pagal Berlyno muziejaus papirusą 6619). Pasak Cantor, harpedonaptės arba „virvės traukėjai“ statydavo stačius kampus naudodami stačiuosius trikampius, kurių kraštinės yra 3, 4 ir 5.

Labai lengva atkartoti jų konstravimo būdą. Paimkime 12 m ilgio virvę ir 3 m atstumu pririškime prie jos spalvotą juostelę. iš vieno galo ir 4 metrai nuo kito. Tiesus kampas bus uždarytas tarp 3 ir 4 metrų ilgio kraštų. Harpedonaptiečiams būtų galima prieštarauti, kad jų konstravimo būdas tampa nereikalingas, jei naudojamas, pavyzdžiui, medinis kvadratas, kurį naudoja visi staliai. Išties yra žinomi egiptiečių piešiniai, kuriuose randamas toks įrankis, pavyzdžiui, piešiniai, vaizduojantys dailidės dirbtuves.

Šiek tiek daugiau žinoma apie Pitagoro teoremą tarp babiloniečių. Viename tekste, datuojamame Hamurabio laikais, tai yra 2000 m. pr. e., pateiktas apytikslis stačiojo trikampio hipotenuzės skaičiavimas. Iš to galime daryti išvadą, kad Mesopotamijoje jie galėjo atlikti skaičiavimus su stačiakampiais trikampiais bent jau Kai kuriais atvejais. Viena vertus, remdamasis dabartiniu Egipto ir Babilono matematikos žinių lygiu ir, kita vertus, kritiniu graikų šaltinių tyrimu, Van der Waerden (olandų matematikas) padarė tokią išvadą:

Literatūra

Rusiškai

• Skopetsas Z. A. Geometrinės miniatiūros. M., 1990 m
• Elenskis Šč. Pitagoro pėdomis. M., 1961 m
• Van der Waerden B. L. Pabudimo mokslas. Matematika Senovės Egiptas, Babilonas ir Graikija. M., 1959 m
• Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje. M., 1982 m
• W. Litzman, „Pitagoro teorema“ M., 1960 m.
  • Svetainė apie Pitagoro teoremą su daugybe įrodymų, medžiaga paimta iš V. Litzmanno knygos, daug brėžinių pateikiama atskirų grafinių failų pavidalu.
• Pitagoro teorema ir Pitagoro trigubos skyrius iš D. V. Anosovo knygos „Žvilgsnis į matematiką ir kažkas iš jos“
• Apie Pitagoro teoremą ir jos įrodinėjimo būdus G. Glaseris, Rusijos švietimo akademijos akademikas, Maskva

Angliškai

• Pitagoro teorema WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, Pitagoro teoremos skyrius, apie 70 įrodymų ir daug papildomos informacijos (anglų k.)

Wikimedia fondas. 2010 m.

Geometrija nėra paprastas mokslas. Tai gali būti naudinga tiek mokyklos mokymo programoje, tiek realiame gyvenime. Daugelio formulių ir teoremų žinojimas supaprastins geometrinius skaičiavimus. Vienas is labiausiai paprastos figūros geometrijoje tai trikampis. Viena iš lygiašonių trikampių atmainų turi savo ypatybes.

Lygiakraščio trikampio ypatybės

Pagal apibrėžimą trikampis yra daugiakampis, turintis tris kampus ir tris kraštines. Tai plokščia dvimatė figūra, kurios savybės tiriamos vidurinė mokykla. Pagal kampo tipą išskiriami smailieji, bukieji ir stačiakampiai trikampiai. Statusis trikampis yra toks geometrinė figūra, kur vienas iš kampų yra 90º. Toks trikampis turi dvi kojeles (jos sukuria stačią kampą) ir vieną hipotenuzę (jis yra priešais stačią kampą). Priklausomai nuo to, kokie kiekiai yra žinomi, yra trys paprastus būdus Apskaičiuokite stačiojo trikampio hipotenuzę.

Pirmasis būdas yra rasti stačiojo trikampio hipotenuzę. Pitagoro teorema

Pitagoro teorema - seniausias būdas Apskaičiuokite bet kurią stačiojo trikampio kraštinę. Tai skamba taip: „Stačiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai“. Taigi, norint apskaičiuoti hipotenuzę, reikia išvesti kvadratinę šaknį iš dviejų kojų kvadratų sumos. Aiškumo dėlei pateikiamos formulės ir diagrama.

Antras būdas. Hipotenuzės apskaičiavimas naudojant 2 žinomus dydžius: koją ir gretimą kampą

Viena iš stačiojo trikampio savybių teigia, kad kojos ilgio ir hipotenuzės ilgio santykis yra lygus kampo tarp šios kojos ir hipotenuzės kosinusui. Pavadinkime mums žinomą kampą α. Dabar, naudodamiesi gerai žinomu apibrėžimu, galite lengvai suformuluoti hipotenuzės skaičiavimo formulę: Hipotenūza = leg/cos(α)

Trečias būdas. Hipotenuzės apskaičiavimas naudojant 2 žinomus dydžius: koją ir priešingą kampą

Jei žinomas priešingas kampas, vėl galima panaudoti stačiojo trikampio savybes. Kojos ir hipotenuzės ilgio santykis yra lygus priešingo kampo sinusui. Pavadinkime žinomą kampą α. Dabar skaičiavimams naudosime šiek tiek kitokią formulę:
Hipotenuzė = koja/nuodėmė (α)

Pavyzdžiai, padedantys suprasti formules

Norėdami geriau suprasti kiekvieną formulę, turėtumėte apsvarstyti iliustruojančių pavyzdžių. Taigi, tarkime, kad jums duotas stačiakampis trikampis, kuriame yra šie duomenys:

• Kojos - 8 cm.
• Gretimas kampas cosα1 yra 0,8.
• Priešingas kampas sinα2 yra 0,8.

Pagal Pitagoro teoremą: Hipotenūza = kvadratinė šaknis iš (36+64) = 10 cm.
Pagal kojos dydį ir gretimą kampą: 8/0,8 = 10 cm.
Pagal kojos dydį ir priešingą kampą: 8/0,8 = 10 cm.

Kai suprasite formulę, galėsite lengvai apskaičiuoti hipotenuzą naudodami bet kokius duomenis.

Vaizdo įrašas: Pitagoro teorema

Instrukcijos

Jei reikia apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą, naudokite tokį algoritmą: - Trikampyje nustatykite, kurios kraštinės yra kojos, o kurios - hipotenuzė. Dvi pusės, sudarančios devyniasdešimties laipsnių kampą, yra kojos, likęs trečdalis yra hipotenuzė. (cm) - Pakelkite kiekvieną šio trikampio koją iki antrojo laipsnio, tai yra, padauginkite iš savęs. Pavyzdys 1. Tarkime, kad reikia apskaičiuoti hipotenuzą, jei viena trikampio kojelė yra 12 cm, o kita - 5 cm Pirma, kojų kvadratai yra lygūs: 12 * 12 = 144 cm ir 5 * 5 = 25 cm. Tada nustatykite kvadratų kojų sumą. Tam tikras skaičius yra hipotenuzė, jums reikia atsikratyti antrosios skaičiaus laipsnio, kad rastumėte ilgioši trikampio pusė. Norėdami tai padaryti, išimkite iš apačios kvadratinė šaknis kojelių kvadratų sumos vertė. 1 pavyzdys. 144+25=169. 169 kvadratinė šaknis yra 13. Todėl šio ilgis hipotenuzė lygus 13 cm.

Kitas būdas apskaičiuoti ilgį hipotenuzė slypi trikampio sinuso ir kampų terminologijoje. Pagal apibrėžimą: kampo alfa sinusas - priešinga hipotenuzės koja. Tai yra, žiūrint į paveikslą, sin a = CB / AB. Vadinasi, hipotenuzė AB = CB / sin a. 2 pavyzdys Tegul kampas yra 30 laipsnių, o priešinga kraštinė - 4 cm. Turime rasti hipotenuzą. Sprendimas: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Atsakymas: ilgis hipotenuzė lygus 8 cm.

Panašus būdas rasti hipotenuzė iš kampo kosinuso apibrėžimo. Kampo kosinusas yra šalia jo esančios pusės santykis ir hipotenuzė. Tai yra, cos a = AC/AB, taigi AB = AC/cos a. 3 pavyzdys Trikampyje ABC AB yra hipotenuzė, kampas BAC yra 60 laipsnių, kojelė AC yra 2 cm. Raskite AB.
Sprendimas: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Atsakymas: hipotenuzė yra 4 cm ilgio.

Naudingas patarimas

Surasdami kampo sinuso arba kosinuso reikšmę, naudokite sinusų ir kosinusų lentelę arba Bradis lentelę.

2 patarimas: kaip rasti hipotenuzės ilgį stačiakampiame trikampyje

Hipotenuzė yra ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė, todėl nenuostabu graikų kalbašis žodis išverstas kaip „tvirtas“. Ši pusė visada yra priešais 90° kampą, o pusės, sudarančios šį kampą, vadinamos kojomis. Žinodami šių kraštinių ilgius ir smailių kampų reikšmes įvairiuose šių dydžių deriniuose, galime apskaičiuoti hipotenuzės ilgį.

Instrukcijos

Jei žinomi abiejų trikampių (A ir B) ilgiai, naudokite hipotenuzės (C) ilgius, bene žinomiausią matematinį postulatą - Pitagoro teoremą. Jame teigiama, kad hipotenuzės ilgio kvadratas yra kojų ilgių kvadratų suma, iš kurios išplaukia, kad turėtumėte apskaičiuoti dviejų kraštinių ilgių kvadratų sumos šaknį: C = √ ( A² + B²). Pavyzdžiui, jei vienos kojos ilgis yra 15 ir -10 centimetrų, hipotenuzės ilgis bus maždaug 18,0277564 centimetro, nes √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564.027.

Jei žinomas tik vienos iš stačiakampio kojelių (A) ilgis, taip pat kampo, esančio priešais jį, reikšmė (α), tada hipotenuzės ilgį (C) galima naudoti naudojant vieną iš trigonometrinių funkcijos – sinusas. Norėdami tai padaryti, padalinkite ilgį žinoma partijažinomo kampo sinusu: C=A/sin(α). Pavyzdžiui, jei vienos iš kojų ilgis yra 15 centimetrų, o kampas priešingoje trikampio viršūnėje yra 30°, tada hipotenuzės ilgis bus lygus 30 centimetrų, nes 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Jei stačiakampiame trikampyje yra žinomas vieno iš smailiųjų kampų dydis (α) ir gretimos kojos (B) ilgis, tada hipotenuzės (C) ilgiui apskaičiuoti galite naudoti kitą trigonometrinė funkcija- kosinusas. Turėtumėte padalinti ilgį garsi kojažinomo kampo kosinusu: C=B/ cos(α). Pavyzdžiui, jei šios kojos ilgis yra 15 centimetrų, o vertė aštrus kampas, greta jo, yra 30°, tada hipotenuzės ilgis bus maždaug 17,3205081 centimetro, nes 15/cos(30°)=15/(0,5*√3)=30/√3≈17,3205081.

Ilgis paprastai naudojamas atstumui tarp dviejų linijos atkarpos taškų žymėti. Tai gali būti tiesi, laužyta arba uždara linija. Ilgį galite apskaičiuoti gana paprastai, jei žinote kai kuriuos kitus segmento rodiklius.

Instrukcijos

Jei jums reikia rasti kvadrato kraštinės ilgį, tada jis nebus , jei žinote jo plotą S. Dėl to, kad visos kvadrato kraštinės turi