Kuo skiriasi lygiagretainis ir jo savybės? Apskaičiuokite lygiagretainio kampų ir ploto sumą: savybės ir charakteristikos

20.09.2019

Kaip Euklido geometrijoje taškas ir tiesė yra pagrindiniai plokštumų teorijos elementai, taip lygiagretainis yra viena iš pagrindinių išgaubtų keturkampių figūrų. Iš jo, kaip siūlai iš rutulio, išplaukia „stačiakampio“, „kvadrato“, „rombo“ ir kitų geometrinių dydžių sąvokos.

Susisiekus su

Lygiagretainio apibrėžimas

išgaubtas keturkampis, susidedantis iš atkarpų, kurių kiekviena pora yra lygiagreti, geometrijoje žinomas kaip lygiagretainis.

Kaip atrodo klasikinis lygiagretainis, pavaizduotas keturkampiu ABCD. Kraštinės vadinamos bazėmis (AB, BC, CD ir AD), statmenas, nubrėžtas iš bet kurios viršūnės į priešingą šiai viršūnei pusę, vadinamas aukščiu (BE ir BF), tiesės AC ir BD – įstrižainėmis.

Dėmesio! Kvadratas, rombas ir stačiakampis yra specialūs lygiagretainio atvejai.

Šonai ir kampai: santykių ypatumai

Pagrindinės savybės, apskritai, iš anksto nustatytas paties pavadinimo, jie įrodomi teorema. Šios savybės yra tokios:

Priešingos pusės yra identiškos poromis.
Vienas prieš kitą esantys kampai poromis yra lygūs.

Įrodymas: Panagrinėkime ∆ABC ir ∆ADC, kurie gaunami padalijus keturkampį ABCD iš tiesės AC. ∠BCA=∠CAD ir ∠BAC=∠ACD, nes AC yra bendras (atitinkamai vertikalūs kampai BC||AD ir AB||CD). Iš to išplaukia: ∆ABC = ∆ADC (antrasis trikampių lygybės ženklas).

Atkarpos AB ir BC ∆ABC poromis atitinka tieses CD ir AD ∆ADC, tai reiškia, kad jos yra identiškos: AB = CD, BC = AD. Taigi ∠B atitinka ∠D ir jie yra lygūs. Kadangi ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kurios taip pat poromis yra identiškos, tada ∠A = ∠C. Turtas įrodytas.

Figūros įstrižainių charakteristikos

Pagrindinis bruožasšių lygiagretainio tiesių: susikirtimo taškas dalija jas pusiau.

Įrodymas: Tegul t.y. yra figūros ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas. Jie sudaro du proporcingus trikampius – ∆ABE ir ∆CDE.

AB = CD, nes jie yra priešingi. Pagal linijas ir sekantą ∠ABE = ∠CDE ir ∠BAE = ∠DCE.

Pagal antrąjį lygybės kriterijų ∆ABE = ∆CDE. Tai reiškia, kad elementai ∆ABE ir ∆CDE: AE = CE, BE = DE ir kartu jie yra proporcingos AC ir BD dalys. Turtas įrodytas.

Gretimų kampų ypatybės

Gretimose pusėse kampų suma lygi 180°, nes jie yra toje pačioje pusėje lygiagrečių linijų ir skersinės. Keturkampiui ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektoriaus savybės:

, nuleistas į vieną pusę, yra statmenos;
priešingos viršūnės turi lygiagrečius bisektorius;
trikampis, gautas nubrėžus pusiaukampį, bus lygiašonis.

Lygiagretainio charakteristikų nustatymas taikant teoremą

Šios figūros charakteristikos išplaukia iš pagrindinės jo teoremos, kuri teigia: keturkampis laikomas lygiagretainiu tuo atveju, jei jo įstrižainės susikerta, ir šis taškas padalija jas į lygias atkarpas.

Įrodymas: tegul keturkampio ABCD tiesės AC ir BD susikerta t.y. Kadangi ∠AED = ∠BEC ir AE+CE=AC BE+DE=BD, tai ∆AED = ∆BEC (pagal pirmąjį trikampių lygybės kriterijų). Tai yra, ∠EAD = ∠ECB. Jie taip pat yra vidiniai skersinio AC linijos kampai AD ir BC. Taigi, pagal paralelizmo apibrėžimą - AD || B.C. Taip pat gaunama panaši eilučių BC ir CD savybė. Teorema įrodyta.

Figūros ploto apskaičiavimas

Šios figūros plotas randama keliais būdais vienas iš paprasčiausių: padauginti aukštį ir pagrindą, prie kurio jis traukiamas.

Įrodymas: iš viršūnių B ir C nubrėžkite statmenis BE ir CF. ∆ABE ir ∆DCF yra lygūs, nes AB = CD ir BE = CF. ABCD dydis yra lygus stačiakampiui EBCF, nes juos sudaro proporcingos figūros: S ABE ir S EBCD, taip pat S DCF ir S EBCD. Iš to išplaukia, kad ši sritis geometrinė figūra yra taip pat kaip stačiakampis:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Norėdami nustatyti bendroji formulė Lygiagretainio plotas žymimas aukščiu as hb, o šonas - b. Atitinkamai:

Kiti būdai rasti plotą

Ploto skaičiavimai per lygiagretainio kraštines ir kampą, kurį jie sudaro, yra antrasis žinomas metodas.

Spr-ma - plotas;

a ir b yra jos kraštinės

α yra kampas tarp atkarpų a ir b.

Šis metodas praktiškai pagrįstas pirmuoju, bet tuo atveju, jei jis nežinomas. visada nupjauna taisyklingas trikampis, kurio parametrai yra trigonometrinės tapatybės, tai yra . Pakeitę santykį, gauname . Pirmojo metodo lygtyje aukštį pakeičiame šiuo produktu ir gauname šios formulės pagrįstumo įrodymą.

Per lygiagretainio įstrižaines ir kampą, kurią jie sukuria susikirsdami, taip pat galite rasti sritį.

Įrodymas: AC ir BD susikerta ir sudaro keturis trikampius: ABE, BEC, CDE ir AED. Jų suma lygi šio keturkampio plotui.

Kiekvieno iš šių ∆ plotą galima rasti pagal išraišką , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Nuo , skaičiuojant naudojama viena sinuso reikšmė. Tai yra . Kadangi AE+CE=AC=d 1 ir BE+DE=BD=d 2, ploto formulė sumažinama iki:

Taikymas vektorinėje algebroje

Šio keturkampio sudedamųjų dalių savybės buvo pritaikytos vektorių algebroje, būtent dviejų vektorių pridėjimas. Lygiagretainio taisyklė teigia, kad jei pateikti vektoriaiIrNeyra kolinearūs, tada jų suma bus lygi šios figūros, kurios pagrindai atitinka šiuos vektorius, įstrižai.

Įrodymas: nuo savavališkai pasirinktos pradžios – t.y. - sudaryti vektorius ir . Toliau sukonstruojame lygiagretainį OASV, kur atkarpos OA ir OB yra kraštinės. Taigi, OS yra ant vektoriaus arba sumos.

Lygiagretainio parametrų skaičiavimo formulės

Tapatybės suteikiamos tokiomis sąlygomis:

a ir b, α - kraštinės ir kampas tarp jų;
d 1 ir d 2, γ - įstrižainės ir jų susikirtimo taške;
h a ir h b - aukščiai nuleisti į a ir b puses;

Parametras	Formulė
Šonų radimas
išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų kosinuso
išilgai įstrižainių ir šonų
per aukštį ir priešingą viršūnę
Įstrižainių ilgio radimas
šonuose ir viršūnės tarp jų dydis

aš. Jei du priešingos pusės keturkampiai yra lygiagretūs ir lygūs, tada šis keturkampis yra lygiagretainis.

1 užduotis. Iš lygiagretainio ABCD viršūnių B ir D, kuriose AB≠ BC ir smailusis kampas A, į tiesę AC nubrėžti statmenys BK ir DM. Įrodykite, kad keturkampis BMDK yra lygiagretainis.

Įrodymas.

Kadangi VC ir DM yra statmenos tai pačiai tiesei AC, tada VC II DM. Be to, BC ir DM yra aukščiai, nubrėžti lygiuose trikampiuose Δ ABC ir Δ CDA nuo lygių kampų ∠B ir ∠D viršūnių į tą pačią kraštinę AC, todėl BC = DM. Turime: dvi keturkampio BMDK kraštinės BC ir DM yra lygiagrečios ir lygios, vadinasi, BMDK yra lygiagretainis, ką ir reikėjo įrodyti.

II. Jei keturkampio priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.

2 užduotis. Keturkampio ABCD kraštinėse AB, BC, CD ir DA atitinkamai pažymėti taškai M, N, P ir Q taip, kad AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Įrodykite, kad ABCD ir MNPQ yra lygiagretainiai.

Įrodymas.

1. Pagal sąlygą keturkampyje ABCD priešingos kraštinės susideda iš lygių atkarpų, todėl yra lygios, t.y. AD = BC, AB = CD. Todėl ABCD yra lygiagretainis.

2. Apsvarstykite Δ MBN ir Δ PDQ. BM=DP ir BN=DQ pagal sąlygą. ∠B =∠D kaip lygiagretainio ABCD priešingi kampai. Tai reiškia, kad Δ MBN = Δ PDQ dviejose pusėse ir kampas tarp jų (1-asis trikampių lygybės ženklas). Ir lygiuose trikampiuose lygios kraštinės yra priešais vienodus kampus. Taigi MN = PQ. Įrodėme, kad keturkampio MNPQ priešingos kraštinės MN ir PQ yra lygios. Panašiai iš trikampių Δ MAQ ir Δ PCN lygybės išplaukia, kad kraštinės MQ ir PN yra lygios, kurios yra priešingos keturkampio MNPQ kraštinės. Turime: priešingos keturkampio MNPQ kraštinės yra lygios poromis. Todėl keturkampis MNPQ yra lygiagretainis. Problema išspręsta.

III. Jei keturkampio įstrižainės susikerta ir yra perkirstos per susikirtimo tašką, tai keturkampis yra lygiagretainis.

3 užduotis. Lygiagretainio ABCD įstrižainės susikerta taške O. Įrodykite, kad keturkampis MNPQ, kurio viršūnės yra atkarpų OA, OB, OC ir OD vidurio taškai, yra lygiagretainis.

Įrodymas.

Pagal lygiagretainio ABCD įstrižainių savybę jo įstrižainės AC ir BD dalijamos per pusę susikirtimo taško, t.y. OA = OS ir OB = OD. Keturkampio MNPQ įstrižainės taip pat susikerta taške O, kuris bus kiekvieno iš jų vidurio taškas. Iš tiesų, kadangi keturkampio MNPQ viršūnės pagal sąlygą yra atkarpų OA, OC, OB ir OD vidurio taškai, tai BN=ON=OQ=DQ ir AM=OM=OP=CP. Vadinasi, keturkampio MNPQ įstrižainės MP ir NQ yra perpjautos susikirtimo taške, todėl keturkampis MNPQ yra lygiagretainis, ką ir reikėjo įrodyti.

Tai keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

1 nuosavybė. Bet kuri lygiagretainio įstrižainė padalija jį į du vienodus trikampius.

Įrodymas . Pagal II charakteristiką (skersiniai kampai ir bendroji pusė).

Teorema įrodyta.

2 nuosavybė. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, o priešingi kampai yra lygūs.

Įrodymas .
Taip pat,

Teorema įrodyta.

Savybė 3. Lygiagrečiame įstrižainės dalinamos per susikirtimo tašką.

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

4 nuosavybė. Lygiagretainio kampo bisektorius, kertantis priešingą kraštinę, padalija jį į lygiašonį trikampį ir trapeciją. (Ch. žodžiai - viršūnė - du lygiašoniai? -ka).

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

5 nuosavybė. Lygiagretainiame tiesės atkarpa, kurios galai yra priešingose pusėse, einantys per įstrižainių susikirtimo tašką, šiuo tašku dalijami pusiau.

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

6 nuosavybė. Kampas tarp aukščių, nukritusių iš lygiagretainio bukojo kampo viršūnės, lygus aštrus kampas lygiagretainis.

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

7 nuosavybė. Greta vienos kraštinės lygiagretainio kampų suma yra 180°.

Įrodymas .

Teorema įrodyta.

Kampo bisektoriaus konstravimas. Trikampio kampo pusiausvyros savybės.

1) Sukonstruoti savavališką spindulį DE.

2) Duotame spindulyje sukonstruokite savavališką apskritimą, kurio centras yra viršūnėje ir tas pats
kurių centras yra pastatyto spindulio pradžioje.

3) F ir G – apskritimo susikirtimo su kraštinėmis taškai nurodytas kampas, H yra apskritimo ir sudaryto spindulio susikirtimo taškas

Sukurkite apskritimą, kurio centras yra taške H, o spindulys lygus FG.

5) I yra sukonstruotos sijos apskritimų susikirtimo taškas.

6) Nubrėžkite tiesią liniją per viršūnę ir I.

IDH yra reikalingas kampas.
)

1 nuosavybė. Trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę proporcingai gretimoms kraštinėms.

Įrodymas . Tegu x, y yra kraštinės c atkarpos. Tęskime spindulį BC. Ant spindulio BC iš C nubraižome atkarpą CK, lygią AC.

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Lygiagretainio apibrėžimas ir pagrindinės savybės

Pradėkime primindami para-ral-le-lo-gram apibrėžimą.

Apibrėžimas. Lygiagretainis- what-you-rekh-gon-nick, kuris turi kas dvi pro-ti-false puses, kurios yra lygiagrečios (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Prisiminkime pagrindinės pa-ral-le-lo-gram-ma savybės:

Kad galėtumėte naudotis visomis šiomis savybėmis, turite būti tikri, kad fi-gu-ra, apie ką nors -Roy mes kalbame apie, - pa-ral-le-lo-gram. Norėdami tai padaryti, turite žinoti tokius faktus kaip pa-ral-le-lo-gram-ma požymius. Dabar žiūrime į pirmuosius du iš jų.

2. Pirmasis lygiagretainio ženklas

Teorema. Pirmasis pa-ral-le-lo-gram-ma ženklas. Jei keturių anglių dvi priešingos pusės yra lygios ir lygiagrečios, tada ši keturių anglių slapyvardis - lygiagretainis. .

Ryžiai. 2. Pirmasis pa-ral-le-lo-gram-ma požymis

Įrodymas. Įdėkime dia-go-nalą į keturių-reh-coal-ni-ka (žr. 2 pav.), ji padalija ją į dvi tri-coal-ni-ka. Parašykime, ką žinome apie šiuos trikampius:

pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą.

Iš nurodytų trikampių lygybės matyti, kad tiesių linijų lygiagretumo ženklu kertant ch-nii jų s-ku-shchi. Turime tai:

Do-ka-za-but.

3. Antrasis lygiagretainio ženklas

Teorema. Antrasis ženklas yra pa-ral-le-lo-gram-ma. Jei keturių kampų kas dvi pro-ti-false pusės yra lygios, tada šis keturių kampų yra lygiagretainis. .

Ryžiai. 3. Antrasis pa-ral-le-lo-gram-ma ženklas

Įrodymas. Įdedame įstrižainę į keturių kampų kampą (žr. 3 pav.), ji padalija ją į du trikampius. Remdamiesi teorijos forma, užrašykite, ką žinome apie šiuos trikampius:

pagal trečiąjį trikampių lygybės ženklą.

Iš trikampių lygybės išplaukia, kad pagal lygiagrečių linijų ženklą, kai jas susikerta, s-ku-shchey. Pavalgykime:

par-ral-le-lo-gram pagal apibrėžimą. Q.E.D.

Do-ka-za-but.

4. Pirmojo lygiagretainio požymio panaudojimo pavyzdys

Pažvelkime į pa-ral-le-lo-gram ženklų naudojimo pavyzdį.

Pavyzdys 1. Iškilime nėra anglių Raskite: a) anglių kampus; b) šimtaro šulinys.

Sprendimas. Iliustracija Fig. 4.

pa-ral-le-lo-gram pagal pirmąjį pa-ral-le-lo-gram-ma ženklą.

A. pagal par-ral-le-lo-gramo savybę apie pro-ti-klaidingus kampus, pagal par-ral-le-lo-gramo savybę apie kampų sumą, kai gulima į vieną pusę.

B. pagal melagingų pusių lygybės prigimtį.

re-tiy ženklas pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Apžvalga: lygiagretės apibrėžimas ir savybės

Prisiminkime tai lygiagretainis- tai keturių kvadratų kampas, turintis pro-ti-false puses poromis. Tai yra, jei - par-ral-le-lo-gram, tada (žr. 1 pav.).

Lygiagreti-le-lo-grama turi daugybę savybių: priešingi kampai yra lygūs (), priešingi kampai - mes lygūs ( ). Be to, dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram re-se-che-niya taške yra padalinta pagal kampų sumą, at-le- spaudžiant bet kurią pusę pa -ral-le-lo-gram-ma, lygus ir kt.

Tačiau norint pasinaudoti visomis šiomis savybėmis, būtina būti visiškai tikram, kad ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Šiuo tikslu yra par-ral-le-lo-gram ženklai: tai yra tie faktai, iš kurių galima padaryti vienareikšmę išvadą, kad what-you-rekh-coal-nickas yra par-ral- le-lo-gram-mama. Ankstesnėje pamokoje jau žiūrėjome į du ženklus. Dabar žiūrime trečią kartą.

6. Trečiasis lygiagretainio ženklas ir jo įrodymas

Jei keturių anglių taške yra dia-go-on re-se-che-niya taške jie daro-by-lams, tada duota keturių jums Roh-coal-nicck yra pa-ral-le -lo-gram-mama.

Duota:

What-you-re-anglies nick; ; .

Įrodykite:

Lygiagretainis.

Įrodymas:

Norint įrodyti šį faktą, būtina parodyti šalių paraleliškumą par-le-lo-gramai. O tiesių linijų lygiagretumas dažniausiai pasiekiamas per vidinių kryžminių kampų lygybę šiais stačiais kampais. Taigi, čia yra kitas būdas gauti trečiąjį par-ral -le-lo-gram-ma ženklą: per trikampių lygybę .

Pažiūrėkime, kaip šie trikampiai yra lygūs. Iš tiesų, iš sąlygos išplaukia: . Be to, kadangi kampai yra vertikalūs, jie yra lygūs. Tai yra:

(pirmasis lygybės ženklastri-coal-ni-cov- išilgai dviejų pusių ir kampe tarp jų).

Iš trikampių lygybės: (kadangi vidiniai skersiniai kampai ties šiomis tiesėmis ir skyrikliais yra lygūs). Be to, iš trikampių lygybės išplaukia, kad . Tai reiškia, kad mes suprantame, kad keturiuose angliuose du šimtai yra lygūs ir lygiagrečiai. Pagal pirmąjį ženklą pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-but.

7. Trečiojo lygiagretainio ženklo uždavinio pavyzdys ir apibendrinimas

Pažvelkime į trečiojo pa-ral-le-lo-gram ženklo naudojimo pavyzdį.

1 pavyzdys

Duota:

- lygiagretainis; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (žr. 2 pav.).

Įrodykite:- pa-ral-le-lo-gram.

Įrodymas:

Tai reiškia, kad keturių anglių-no-dia-go-on-ar tuo re-se-che-niya taško jie daro-by-lam. Pagal trečiąjį pa-ral-le-lo-gram ženklą iš to išplaukia, kad - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-but.

Jei analizuosite trečiąjį pa-ral-le-lo-gram ženklą, galite pastebėti, kad šis ženklas yra su-vet- turi par-ral-le-lo-gram savybę. Tai yra faktas, kad dia-go-na-li de-la-xia nėra tik par-le-lo-gram savybė, o jos skiriamoji, kha-rak-te-ri-sti-che- savybė, pagal kurią ją galima atskirti nuo aibės what-you-rekh-coal-ni-cov.

ŠALTINIS

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Lygiagretainės samprata

1 apibrėžimas

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai (1 pav.).

1 paveikslas.

Lygiagretainis turi dvi pagrindines savybes. Panagrinėkime juos be įrodymų.

1 nuosavybė: Lygiagretainio priešingos kraštinės ir kampai yra atitinkamai lygūs.

2 nuosavybė: Lygiagretainiu nubrėžtos įstrižainės dalinamos pusiau pagal jų susikirtimo tašką.

Lygiagretainio ženklai

Panagrinėkime tris lygiagretainio charakteristikas ir pateikime jas teoremų pavidalu.

1 teorema

Jei dvi keturkampio kraštinės yra lygios viena kitai ir lygiagrečios, tai šis keturkampis bus lygiagretainis.

Įrodymas.

Pateikiame keturkampį $ABCD$. Kuriame $AB||CD$ ir $AB=CD$ Nubrėžkime įstrižainę $AC$ (2 pav.).

2 pav.

Apsvarstykite lygiagrečias tieses $AB$ ir $CD$ bei jų sekantą $AC$. Tada

\[\angle CAB=\angle DCA\]

kaip kryžminiai kampai.

Pagal $I$ trikampių lygybės kriterijų,

nes $AC$ yra jų bendra pusė, o $AB=CD$ pagal sąlygą. Reiškia

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Apsvarstykite tieses $AD$ ir $CB$ bei jų atkarpą $AC$; pagal paskutinę lygybę skersai gulinčių kampų gauname $AD||CB$.) Vadinasi, pagal apibrėžimą $1$ šis keturkampis yra lygiagretainis.

Teorema įrodyta.

2 teorema

Jei priešingos keturkampio kraštinės yra lygios viena kitai, tai yra lygiagretainis.

Įrodymas.

Pateikiame keturkampį $ABCD$. Kuriame $AD=BC$ ir $AB=CD$. Nubrėžkime jame įstrižainę $AC$ (3 pav.).

3 pav.

Kadangi $AD=BC$, $AB=CD$ ir $AC$ yra bendra kraštinė, tai pagal $III$ trikampių lygybės kriterijų,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Panagrinėkime eilutes $AD$ ir $CB$ bei jų sekantą $AC$; pagal paskutinę lygybę skersai gulinčių kampų gauname $AD||CB$. Todėl pagal apibrėžimą $1$ šis keturkampis yra lygiagretainis.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Panagrinėkime eilutes $AB$ ir $CD$ bei jų sekantą $AC$; pagal paskutinę lygybę tarp gulėjimo kampų gauname, kad $AB||CD$. Todėl pagal 1 apibrėžimą šis keturkampis yra lygiagretainis.

Teorema įrodyta.

3 teorema

Jei keturkampyje nubrėžtos įstrižainės pagal jų susikirtimo tašką yra padalintos į dvi lygias dalis, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas.

Pateikiame keturkampį $ABCD$. Nubrėžkime jame įstrižaines $AC$ ir $BD$. Tegul jie susikerta taške $O$ (4 pav.).

4 pav.

Kadangi pagal sąlygą $BO=OD,\AO=OC$, o kampai $\angle COB=\kampas DOA$ yra vertikalūs, tai pagal $I$ trikampių lygybės kriterijų,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Apsvarstykite eilutes $BC$ ir $AD$ bei jų sekantą $BD$; pagal paskutinę gulėjimo kampų lygybę gauname, kad $BC||AD$. Taip pat $BC=AD$. Todėl pagal teoremą $1$ šis keturkampis yra lygiagretainis.