Trikampio bisektoriaus teorema padalija priešingą pusę. Trikampio bisektorius - kas tai?

Kas yra trikampio kampo pusiausvyra? Atsakant į šį klausimą garsioji žiurkė, bėgiojanti po kampus ir dalinanti kampą per pusę, išlenda iš kai kurių žmonių burnos." Jei atsakymas turėtų būti „jumoras", tai galbūt jis teisingas. Tačiau su mokslinis taškasŽvelgiant iš perspektyvos, atsakymas į šį klausimą turėtų skambėti maždaug taip: pradedant nuo kampo viršūnės ir padalijant pastarąją į dvi lygias dalis." Geometrijoje ši figūra taip pat suvokiama kaip pusiaukampio atkarpa prieš jos susikirtimą priešinga trikampio pusė.Tai nėra klaidinga nuomonė.Bet kas Kas dar žinoma apie kampo pusiausvyrą, be jo apibrėžimo?

Kaip ir bet kuris geometrinis taškų lokusas, jis turi savo ypatybes. Pirmasis iš jų, veikiau, yra net ne ženklas, o teorema, kurią galima trumpai išreikšti taip: „Jei jai priešinga kraštinė yra padalinta į dvi dalis pusiau, tai jų santykis atitiks santykį didelio trikampio kraštinės“.

Antroji jo savybė: visų kampų bisektorių susikirtimo taškas vadinamas centru.

Trečiasis ženklas: trikampio vieno vidinio ir dviejų išorinių kampų pusiausvyros susikerta vieno iš trijų įbrėžtų apskritimų centre.

Ketvirtoji trikampio kampo bisektoriaus savybė yra ta, kad jei kiekvienas yra lygus, tada pastarasis yra lygiašonis.

Penktasis ženklas taip pat susijęs su lygiašoniu trikampiu ir yra pagrindinė jo atpažinimo brėžinyje pagal pusiausvyrą gairė, būtent: lygiašonis trikampis vienu metu tarnauja kaip mediana ir aukštis.

Kampo bisektorius galima sukonstruoti naudojant kompasą ir liniuotę:

Šeštoji taisyklė teigia, kad neįmanoma sukurti trikampio naudojant pastarąjį tik su esamomis pusiausvyromis, kaip ir neįmanoma tokiu būdu sudaryti kubo padvigubinimo, apskritimo kvadrato ir kampo trišakio. Griežtai kalbant, tai visos trikampio kampo pusiausvyros savybės.

Jei atidžiai perskaitėte ankstesnę pastraipą, galbūt jus sudomino viena frazė. "Kas yra kampo trisekcija?" – tikriausiai paklausite. Trisektorius yra šiek tiek panašus į pusiau, bet jei nubraižysite pastarąjį, kampas bus padalintas į dvi lygias dalis, o statant trisekciją – į tris. Natūralu, kad kampo pusiausvyrą lengviau įsiminti, nes mokykloje trisekcija nemokoma. Tačiau dėl išsamumo papasakosiu ir apie tai.

Trisektoriaus, kaip jau sakiau, negalima sukonstruoti tik kompasu ir liniuote, bet jį galima sukurti naudojant Fudžitos taisykles ir kai kurias kreives: Paskalio sraiges, kvadratus, Nikomedo konchoidus, kūginius pjūvius,

Kampo trisiekcijos uždaviniai gana paprastai išsprendžiami naudojant nevsis.

Geometrijoje yra teorema apie kampo trisektorius. Tai vadinama Morley teorema. Ji teigia, kad kiekvieno kampo trisektorių susikirtimo taškai, esantys viduryje, bus viršūnės

Mažas juodas trikampis didelio viduje visada bus lygiakraštis. Šią teoremą 1904 m. atrado britų mokslininkas Frankas Morley.

Štai kiek galite sužinoti apie kampo padalijimą: Kampo trisiklių ir pusiausvyrų visada reikia išsamiai paaiškinti. Tačiau čia buvo pateikta daug apibrėžimų, kurių dar nebuvau atskleidęs: Paskalio sraigė, Nikomedo sraigė ir kt. Būkite tikri, apie juos galima rašyti daug daugiau.

Trikampio pusiausvyra yra atkarpa, kuri padalija trikampio kampą į du lygius kampus. Pavyzdžiui, jei trikampio kampas lygus 120 0, tai nubrėžę pusiausvyrą, sukonstruosime du kampus po 60 0.

O kadangi trikampyje yra trys kampai, galima nubrėžti tris pusiausvyras. Jie visi turi vieną ribą. Šis taškas yra į trikampį įbrėžto apskritimo centras. Kitu būdu šis susikirtimo taškas vadinamas trikampio centru.

Kai du vidinės ir išorinis kampas, kampas yra 90 0. Išorinis trikampio kampas yra kampas, esantis greta trikampio vidinio kampo.

Ryžiai. 1. Trikampis, kuriame yra 3 pusiausvyros

Bisektorius dalijasi priešinga pusėį du segmentus, sujungtus su šonais:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Bisektoriaus taškai yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, o tai reiškia, kad jie yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių. Tai yra, jei iš bet kurio bisektoriaus taško nuleisime statmenis į kiekvieną iš trikampio kampo kraštinių, tada šie statmenys bus lygūs.

Jei iš vienos viršūnės nubrėžiate medianą, pusiausvyrą ir aukštį, mediana bus ilgiausia atkarpa, o aukštis - trumpiausias.

Kai kurios bisektoriaus savybės

Tam tikrų tipų trikampiuose pusiausvyra turi ypatingos savybės. Tai visų pirma taikoma lygiašoniam trikampiui. Ši figūra turi dvi identiškas puses, o trečioji vadinama pagrindu.

Jei iš lygiašonio trikampio kampo viršūnės į pagrindą nubrėžiate bisektorių, jis turės ir aukščio, ir medianos savybes. Atitinkamai, bisektoriaus ilgis sutampa su medianos ir aukščio ilgiu.

Apibrėžimai:

• Aukštis- statmenas, nubrėžtas iš trikampio viršūnės į priešingą kraštinę.
• Mediana– atkarpa, jungianti trikampio viršūnę ir priešingos kraštinės vidurį.

Ryžiai. 2. Bisektorius lygiašoiame trikampyje

Tai taip pat taikoma lygiakraštiui trikampiui, ty trikampiui, kurio visos trys kraštinės yra lygios.

Užduoties pavyzdys

Trikampyje ABC: BR yra bisektorius, kai AB = 6 cm, BC = 4 cm, o RC = 2 cm. Atimkite trečiosios kraštinės ilgį.

Ryžiai. 3. Bisektorius trikampyje

Sprendimas:

Bisektorius padalija trikampio kraštinę tam tikra proporcija. Naudokime šią proporciją ir išreikškime AR. Tada rasime trečiosios kraštinės ilgį kaip atkarpų, į kurias ši kraštinė buvo padalinta iš pusiausvyros, sumą.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Tada visas segmentas AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Iš viso gautų įvertinimų: 107.

Vidiniai trikampio kampai vadinami trikampio bisektoriumi.
Trikampio kampo pusiausvyra taip pat suprantama kaip atkarpa tarp jo viršūnės ir dvikampio susikirtimo su priešinga trikampio kraštine taško.
8 teorema. Trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.
Iš tiesų, pirmiausia panagrinėkime dviejų pusių, pavyzdžiui, AK 1 ir VK 2, susikirtimo tašką P. Šis taškas yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir AC, nes jis yra ant kampo A bisektoriaus ir vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir BC, nes priklauso kampo B pusiausvyrai. Tai reiškia, kad jis yra vienodai nutolęs nuo kraštinės AC ir BC, taigi priklauso trečiajam bisektoriui CK 3, tai yra, taške P susikerta visi trys bisektoriai.
Trikampio vidinio ir išorinio kampų pusiausvyros savybės
9 teorema. Bisektorius vidinis kampas trikampis padalija priešingą kraštinę į dalis, proporcingas gretimoms kraštinėms.
Įrodymas. Nagrinėkime trikampį ABC ir jo kampo B pusiausvyrą. Per viršūnę C nubrėžkime tiesę CM, lygiagrečią pusiausvyrai BC, kol ji taške M susikerta su kraštinės AB tęsiniu. Kadangi VC yra kampo ABC pusiausvyra, tai ∠ ABC = ∠ KBC. Be to, ∠ АВК=∠ ВСМ, kaip lygiagrečių linijų atitinkami kampai, ir ∠ КВС=∠ ВСМ, kaip skersiniai kampai lygiagrečioms tiesėms. Vadinasi ∠ ВСМ=∠ ВМС, todėl trikampis ВСМ yra lygiašonis, vadinasi, ВС=ВМ. Pagal teoremą apie lygiagrečias tieses, kertančias kampo kraštines, turime AK:K C=AB:VM=AB:BC, ką ir reikėjo įrodyti.
10 teorema Trikampio ABC išorinio kampo B pusiausvyra turi panašią savybę: atkarpos AL ir CL nuo viršūnių A ir C iki pusės taško L susikirtimo su kraštinės AC tęsiniu yra proporcingos trikampio kraštinėms: AL: C.L.=AB:BC.
Ši savybė įrodoma taip pat, kaip ir ankstesnė: paveiksle pagalbinė tiesė SM nubrėžta lygiagrečiai pusiausvyrai BL. Kampai BMC ir BC yra lygūs, vadinasi, trikampio BMC kraštinės BM ir BC yra lygios. Iš to darome išvadą AL:CL=AB:BC.

d4 teorema. (pirmoji pusiausvyros formulė): Jei trikampyje ABC atkarpa AL yra kampo A pusiausvyra, tai AL? = AB·AC – LB·LC.

Įrodymas: Tegul M yra tiesės AL susikirtimo taškas su apskritimu, apibrėžtu apie trikampį ABC (41 pav.). Kampas BAM lygus kampui MAC pagal sąlygą. Kampai BMA ir BCA yra sutapti kaip įrašyti kampai, sujungti ta pačia styga. Tai reiškia, kad trikampiai BAM ir LAC yra panašūs dviem kampais. Todėl AL: AC = AB: AM. Taigi AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Ką ir reikėjo įrodyti. Pastaba: teoremą apie susikertančių stygų atkarpas apskritime ir įbrėžtus kampus žr. temoje apskritimas ir apskritimas.

d5 teorema. (antra pusiausvyros formulė): Trikampyje ABC, kurio kraštinės AB=a, AC=b ir kampas A lygus 2? ir pusiausvyrą l, lygybė galioja:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

Įrodymas: Tegu ABC yra duotasis trikampis, AL jo bisektorius (42 pav.), a=AB, b=AC, l=AL. Tada S ABC = S ALB + S ALC. Todėl absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Teorema įrodyta.

Geometrija yra vienas sudėtingiausių ir painiausių mokslų. Joje tai, kas iš pirmo žvilgsnio atrodo akivaizdu, labai retai pasirodo teisinga. Bisektoriniai, aukščiai, medianos, projekcijos, liestinės – daugybė tikrai sudėtingų terminų, kuriuos labai lengva supainioti.

Tiesą sakant, turėdami tinkamą norą, galite suprasti bet kokio sudėtingumo teoriją. Kalbant apie pusiausvyras, medianas ir aukščius, turite suprasti, kad jie nėra būdingi tik trikampiams. Iš pirmo žvilgsnio tai paprastos linijos, tačiau kiekviena iš jų turi savo savybes ir funkcijas, kurių žinojimas labai supaprastina geometrinių uždavinių sprendimą. Taigi, kas yra trikampio pusiausvyra?

Apibrėžimas

Pats terminas „bisektorius“ kilęs iš lotyniškų žodžių „du“ ir „supjaustyti“, „pjaustyti“ derinio, kuris netiesiogiai nurodo jo savybes. Paprastai, kai vaikai supažindinami su šiuo spinduliu, jiems duodama trumpa frazė, kurią reikia prisiminti: „Biektoris yra žiurkė, kuri bėga už kampų ir dalija kampą per pusę“. Natūralu, kad vyresniems moksleiviams toks paaiškinimas netinka, be to, dažniausiai jų klausiama ne apie kampą, o apie geometrinę figūrą. Taigi trikampio bisektorius yra spindulys, jungiantis trikampio viršūnę su priešinga kraštine, tuo pačiu padalijant kampą į dvi lygias dalis. Taškas, esantis priešingoje pusėje, į kurį ateina bisektorius, atsitiktinai pasirenkamas savavališkam trikampiui.

Pagrindinės funkcijos ir savybės

Ši sija turi keletą pagrindinių savybių. Pirma, kadangi trikampio pusiausvyra padalija kampą į pusę, bet kuris jame esantis taškas bus vienodu atstumu nuo viršūnę sudarančių kraštinių. Antra, kiekviename trikampyje pagal galimų kampų skaičių galite nubraižyti tris bisektorius (taigi, tame pačiame keturkampyje jų jau bus keturi ir pan.). Taškas, kuriame susikerta visi trys spinduliai, yra į trikampį įbrėžto apskritimo centras.

Savybės tampa sudėtingesnės

Šiek tiek apsunkinkime teoriją. Dar viena įdomi savybė: trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę į atkarpas, kurių santykis lygus viršūnę sudarančių kraštinių santykiui. Iš pirmo žvilgsnio tai sudėtinga, bet iš tikrųjų viskas paprasta: siūlomame paveikslėlyje RL: LQ = PR: PK. Beje, ši savybė buvo vadinama „Biektorių teorema“ ir pirmą kartą pasirodė senovės graikų matematiko Euklido darbuose. Tai buvo prisiminta viename iš rusų vadovėlių tik XVII amžiaus pirmajame ketvirtyje.

Tai šiek tiek sudėtingiau. Keturkampyje pusiaukampis nupjauna lygiašonį trikampį. Šis paveikslas rodo viską vienodi kampai vidutiniam AF.

O keturkampiuose ir trapecijose vienpusių kampų pusiausvyros yra statmenos viena kitai. Pavaizduotame brėžinyje kampas APB yra 90 laipsnių.

Lygiašoniame trikampyje

Lygiašonio trikampio bisektorius yra daug naudingesnis spindulys. Tai tuo pačiu metu ne tik kampo daliklis per pusę, bet ir mediana bei aukštis.

Mediana yra segmentas, kuris ateina iš kurio nors kampo ir patenka į priešingos pusės vidurį, taip padalydamas jį į lygias dalis. Aukštis yra statmenas, nusileidęs iš viršūnės į priešingą pusę; su jo pagalba bet kokia problema gali būti redukuojama į paprastą ir primityvią Pitagoro teoremą. Esant tokiai situacijai, trikampio pusiausvyra yra lygi skirtumo tarp hipotenuzės kvadrato ir kitos kojos šaknei. Beje, su šia savybe dažniausiai susiduriama geometrinėse problemose.

Konsoliduoti: šiame trikampyje bisektorius FB yra mediana (AB = BC) ir aukštis (kampai FBC ir FBA yra 90 laipsnių).

Konspekte

Taigi, ką reikia atsiminti? Trikampio pusiausvyra yra spindulys, dalijantis jo viršūnę. Trijų spindulių sankirtoje yra apskritimo centras, įrašytas į nurodytą trikampį (vienintelis šios savybės trūkumas yra tas, kad jis neturi praktinė vertė ir tarnauja tik kompetentingam brėžinio atlikimui). Jis taip pat padalija priešingą pusę į segmentus, kurių santykis yra lygus kraštinių, tarp kurių šis spindulys praėjo, santykiui. Keturkampyje savybės šiek tiek komplikuojasi, tačiau, reikia pripažinti, jos praktiškai niekada neatsiranda mokyklinio lygio uždaviniuose, todėl dažniausiai programoje neliečiamos.

Lygiašonio trikampio pusiausvyra yra didžiausia bet kurio moksleivio svajonė. Tai yra ir mediana (ty dalija priešingą pusę per pusę), ir aukštis (statmena tai pusei). Sprendžiant uždavinius su tokiu bisektoriumi, redukuojama iki Pitagoro teoremos.

Sprendžiant geometrines užduotis tiek vidutinėms, tiek vidutinėms, reikia žinoti pagrindines bisektoriaus funkcijas bei pagrindines jo savybes. aukštas lygis sunkumų. Tiesą sakant, šis spindulys randamas tik planimetrijoje, todėl negalima teigti, kad įsimenant informaciją apie jį galėsite susidoroti su visų tipų užduotimis.

Trikampio pusiausvyra yra įprasta geometrinė sąvoka, kuri nesukelia didelių mokymosi sunkumų. Turėdami žinių apie jo savybes, galite be didelių sunkumų išspręsti daugybę problemų. Kas yra bisektorius? Pabandysime supažindinti skaitytoją su visomis šios matematinės linijos paslaptimis.

Susisiekus su

Koncepcijos esmė

Sąvokos pavadinimas kilęs iš lotyniškų žodžių, kurių reikšmė yra „bi“ - du, „sectio“ - pjaustyti. Jie konkrečiai nurodo geometrine prasme sąvokos – erdvės tarp spindulių suskaidymas į dvi lygias dalis.

Trikampio pusiausvyra yra atkarpa, kuri kyla iš figūros viršūnės, o kitas galas dedamas į priešingą pusę, tuo pačiu padalijant erdvę į dvi identiškas dalis.

Norėdami greitai asociatyviai įsiminti matematines sąvokas, daugelis mokytojų vartoja skirtingą terminiją, kuri atsispindi eilėraščiuose ar asociacijose. Žinoma, šį apibrėžimą rekomenduojama naudoti vyresniems vaikams.

Kaip pažymėta ši linija? Čia mes remiamės segmentų ar spindulių žymėjimo taisyklėmis. Jeigu mes kalbame apie apie trikampio figūros kampo bisektoriaus žymėjimą paprastai rašoma kaip atkarpa, kurios galai yra viršūnė ir susikirtimo taškas su priešinga viršūnei esančia puse. Be to, žymėjimo pradžia rašoma būtent nuo viršūnės.

Dėmesio! Kiek bisektorių turi trikampis? Atsakymas akivaizdus: kiek viršūnių – trys.

Savybės

Be apibrėžimo, mokykliniame vadovėlyje nerasite daug jo savybių. geometrinė koncepcija. Pirmoji trikampio pusiausvyros savybė, su kuria supažindinami moksleiviai, yra įrašytas centras, o antroji, tiesiogiai susijusi su juo, yra atkarpų proporcingumas. Esmė tokia:

1. Kad ir kokia būtų skiriamoji linija, joje yra taškų tokiu pat atstumu nuo šonų, kurie sudaro tarpą tarp spindulių.
2. Norint sutalpinti apskritimą į trikampę figūrą, būtina nustatyti tašką, kuriame šios atkarpos susikirs. Tai yra apskritimo centras.
3. Trikampės kraštinės dalys geometrinė figūra, į kurią dalijasi jos skiriamoji linija, yra V proporcinga priklausomybė iš kampą formuojančių šonų.

Likusias savybes pasistengsime įnešti į sistemą ir pateikti papildomų faktų, kurie padės geriau suprasti šios geometrinės koncepcijos privalumus.

Ilgis

Viena iš problemų, keliančių sunkumų moksleiviams, yra trikampio kampo pusiausvyros ilgio nustatymas. Pirmajame variante, kuriame nurodytas jo ilgis, yra šie duomenys:

• tarpo tarp spindulių, iš kurių viršūnės išeina tam tikra atkarpa, kiekis;
• kraštinių, sudarančių šį kampą, ilgiai.

Norėdami išspręsti problemą naudojama formulė, kurio reikšmė yra rasti kampą sudarančių kraštinių verčių sandaugos santykį, padidintą 2 kartus, jo pusės kosinusu ir kraštinių sumą.

Pažvelkime į konkretų pavyzdį. Tarkime, kad mums duota figūra ABC, kurioje iš kampo A nubrėžta atkarpa, kuri kerta kraštinę BC taške K. A reikšmę pažymime kaip Y. Remiantis tuo, AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Antrojoje problemos versijoje, kurioje nustatomas trikampio pusiausvyros ilgis, yra šie duomenys:

• žinomos visų figūros pusių reikšmės.

Sprendžiant tokio tipo problemą, iš pradžių nustatyti pusperimetrą. Norėdami tai padaryti, turite sudėti visų pusių reikšmes ir padalyti per pusę: p=(AB+BC+AC)/2. Toliau taikome skaičiavimo formulę, kuri buvo naudojama šio segmento ilgiui nustatyti ankstesnėje užduotyje. Tereikia šiek tiek pakeisti formulės esmę pagal naujus parametrus. Taigi, reikia rasti kraštinių, besiribojančių su viršūne pusiau perimetru, ilgių sandaugos antrosios laipsnio dvigubos šaknies santykį ir skirtumą tarp pusperimetro ir perimetro ilgio. priešingos pusės kampą sudarančių kraštinių suma. Tai yra, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Dėmesio! Kad būtų lengviau įsisavinti medžiagą, galite kreiptis į internete esančias komiškas pasakas, kuriose pasakojama apie šios linijos „nuotykius“.