Kaip nustatyti kvadratinės lygties šaknų skaičių. Kvadratinė lygtis

Kvadratinė lygtis yra a*x^2 +b*x+c=0 formos lygtis, kur a,b,c yra kai kurie savavališki realieji skaičiai, o x yra kintamasis. Be to, skaičius a nėra lygus 0.

Skaičiai a,b,c vadinami koeficientais. Skaičius a vadinamas pirmaujančiu koeficientu, skaičius b yra koeficientas x, o skaičius c vadinamas laisvuoju nariu. Kai kuriose literatūroje aptinkami ir kiti pavadinimai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, o skaičius b vadinamas antruoju.

Kvadratinių lygčių klasifikacija

Kvadratinės lygtys turi savo klasifikaciją.

Remiantis šansų prieinamumu:

1. Pilnas

2. Nebaigta

Pagal aukščiausio laipsnio nežinomybės koeficiento vertę(pirminio koeficiento vertė):

1. Duota

2. Neatstovaujama

Kvadratinė lygtis vadinamas užbaigtu jei joje yra visi trys koeficientai ir jie skiriasi nuo nulio. Bendras komplekto vaizdas kvadratinė lygtis: a*x^2 +b*x+c=0;

Kvadratinė lygtis vadinamas nepilnu jei lygtyje a*x^2 +b*x+c=0 vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui (b=0 arba c=0), tačiau nepilna kvadratinė lygtis bus lygtis, kuri ir koeficientas b, ir koeficientas c lygus nuliui vienu metu (ir b=0, ir c=0).

Verta paminėti, kad čia nieko nesakoma apie pagrindinį koeficientą, nes pagal kvadratinės lygties apibrėžimą jis turi skirtis nuo nulio.

duota jeigu jo pirmaujantis koeficientas lygus vienetui (a=1). Aukščiau pateiktos kvadratinės lygties bendroji forma yra: x^2 +d*x+e=0.

Kvadratinė lygtis vadinama nežinomas, jei pirmaujantis lygties koeficientas skiriasi nuo nulio. Bendroji neredukuotos kvadratinės lygties forma yra: a*x^2 +b*x+c=0.

Reikėtų pažymėti, kad bet kuri nesumažinta kvadratinė lygtis gali būti sumažinta iki redukuotos. Norėdami tai padaryti, kvadratinės lygties koeficientus turite padalyti iš pagrindinio koeficiento.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

Pažiūrėkime į pavyzdį: turime lygtį 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Transformuokime jį į pateiktą lygtį. Pirmaujantis koeficientas yra 2. Iš jo padalinkime savo lygties koeficientus ir užrašykime atsakymą.

x^2 – 3*x+3,5 =0;

Kaip pastebėjote, dešinėje kvadratinės lygties pusėje yra antrojo laipsnio a*x^2 +b*x+c daugianomas. Jis taip pat vadinamas kvadratiniu trinamiu.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats x) kvadratas, o trečiosios (ar didesnės) laipsnio x neturėtų būti.

Daugelio lygčių sprendimas yra kvadratinių lygčių sprendimas.

Išmokime nustatyti, kad tai yra kvadratinė lygtis, o ne kokia nors kita lygtis.

1 pavyzdys.

Atsikratykime vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkime iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus mažėjančia X galių tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Padauginkime viską iš:

Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad ten yra, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Žiūrėkite, ji sumažinta – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai visas kvadratines lygtis paprastai skirsto į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota- tai lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas!!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė lygtis, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Šis skirstymas nustatomas sprendimo metodais. Pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirmiausia sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Yra neišsamių kvadratinių lygčių tipai:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia, kad jūs turite žinoti ir visada atsiminti, kad tai negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės pusės. Juk prisimeni, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Oi! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kurios neturi šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Taigi,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia atsisakysime pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sunkiau (tik šiek tiek) nei šias.

Prisiminti, Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Kiti metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis naudojant šį metodą yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį. Ypatingas dėmesysžengti žingsnį. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra lygties tipas, kuris vadinamas sumažinta (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma lygi, t.y. gauname pirmąją lygtį:

Ir produktas yra lygus:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomasis, - kai kurie skaičiai ir.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, A - laisvas narys.

Kodėl? Nes jei lygtis iš karto tampa tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje kėdės lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia pažvelkime į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus – jie paprastesni.

Galime išskirti šiuos lygčių tipus:

I., šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar pažvelkime į kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai užrašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Paskaičiuokime kairę lygties pusę ir raskime šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminantas

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote šaknį iš diskriminanto šaknų formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknis:
• Jei tada lygtis turi identiškos šaknys, bet iš esmės viena šaknis:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl tai įmanoma skirtingi kiekiaišaknys? Kreipkimės į geometrine prasme kvadratinė lygtis. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Ypatingu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nesikirsti su ašimi arba gali susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei, tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

Ir produktas yra lygus:

Išsirinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Išsirinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą, ir patikrinkime, ar jų suma yra lygi:

ir: jie duoda iš viso.

ir: jie duoda iš viso. Norint gauti, pakanka tiesiog pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Todėl šaknų suma lygi jų modulių skirtumai.

Parinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą ir kurių skirtumas lygus:

ir: jų skirtumas lygus – netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, šaknis su mažesniu moduliu turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Pažymime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatykime, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad pagal bent jau, viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys turi minuso ženklą.

Parinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vietos teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad naudotumėte jį, turite atlikti veiksmus automatiškai. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo kūrinio:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: suma turi būti lygi, o sandauga turi būti lygi.

Bet kadangi turi būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Turite perkelti visas sąlygas į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Gerai, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite vadovauti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia, kad pagrindinis koeficientas būtų lygus:

Puiku. Tada šaknų suma lygi ir sandaugai.

Čia pasirinkti taip pat paprasta, kaip kriaušes gliaudyti: juk tai pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas narys yra neigiamas. Kuo tai ypatinga? Ir faktas yra tas, kad šaknys turės skirtingus ženklus. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o jų modulių skirtumą: šis skirtumas lygus, o produktas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką daryti pirmiausia? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turėtų būti lygi, o tai reiškia, kad minuso šaknis bus didesnė.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik pateiktose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vietos teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerandama tinkama laisvojo nario faktorių pora, tada nėra sveikų šaknų ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Viso kvadrato parinkimo būdas

Jei visi terminai, turintys nežinomąjį, yra pavaizduoti terminų forma iš sutrumpintų daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratu -, tada pakeitus kintamuosius, lygtis gali būti pateikta nepilnos kvadratinės lygties forma.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

IN bendras vaizdas transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tau nieko neprimena? Tai yra diskriminacinis dalykas! Būtent taip mes gavome diskriminuojančios formulę.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė lygtis- tai formos lygtis, kur - nežinomasis, - kvadratinės lygties koeficientai, - laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis atrodo taip: ,
• jei yra laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis atrodo taip: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškime nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Sumažinkime lygtį iki standartinis vaizdas: ,

2) Apskaičiuokime diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknis, kurios randamos pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos kur lygtis) šaknų suma lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , A.

2.3. Sprendimas pasirenkant pilną kvadratą

Jei formos kvadratinė lygtis turi šaknis, tada ją galima parašyti tokia forma: .

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Jūs jau esate geresnis už didžiąją daugumą jūsų bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Dėl sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio galiojimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Taip pat nagrinėjamos kvadratinės lygties problemos mokyklos mokymo programa ir universitetuose. Jie reiškia a*x^2 + b*x + c = 0 formos lygtis, kur x- kintamasis, a, b, c – konstantos; a<>0 . Užduotis – rasti lygties šaknis.

Kvadratinės lygties geometrinė reikšmė

Funkcijos, pavaizduotos kvadratine lygtimi, grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo su abscisių (x) ašimi taškai. Iš to išplaukia, kad galimi trys atvejai:
1) parabolė neturi susikirtimo taškų su abscisių ašimi. Tai reiškia, kad jis yra viršutinėje plokštumoje šakomis į viršų arba apačioje su šakomis žemyn. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis neturi realių šaknų (ji turi dvi sudėtingas šaknis).

2) parabolė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi. Toks taškas vadinamas parabolės viršūne, o kvadratinė lygtis jame įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną tikrąją šaknį (arba dvi identiškas šaknis).

3) Paskutinis atvejis praktikoje įdomesnis – yra du parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taškai. Tai reiškia, kad yra dvi tikrosios lygties šaknys.

Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomių išvadų apie parabolės išdėstymą.

1) Jei koeficientas a yra didesnis už nulį, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, jei jis yra neigiamas, parabolės šakos nukreiptos žemyn;

2) Jei koeficientas b didesnis už nulį, tada parabolės viršūnė yra kairiojoje pusplokštumoje, jei ji neigiama prasmė- tada dešinėje.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas

Perkelkime konstantą iš kvadratinės lygties

lygybės ženklui gauname išraišką

Abi puses padauginkite iš 4a

Norėdami gauti visą kvadratą kairėje, pridėkite b^2 iš abiejų pusių ir atlikite transformaciją

Iš čia randame

Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė

Diskriminantas yra radikalios išraiškos reikšmė, jei ji yra teigiama, tai lygtis turi dvi realias šaknis, apskaičiuotas pagal formulę Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (dvi sutampančius šaknis), kurį galima lengvai gauti iš aukščiau pateiktos formulės, kai D=0, kai diskriminantas yra neigiamas, lygtis neturi realių šaknų. Tačiau kvadratinės lygties sprendiniai randami kompleksinėje plokštumoje, o jų reikšmė apskaičiuojama pagal formulę

Vietos teorema

Panagrinėkime dvi kvadratinės lygties šaknis ir jų pagrindu sukurkime kvadratinę lygtį, nesunkiai išplaukia pati Vietos teorema: jei turime formos kvadratinę lygtį. tada jos šaknų suma lygi koeficientui p, paimtam su priešingu ženklu, o lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q. Aukščiau pateiktų dalykų formulė atrodys taip: Jei klasikinėje lygtyje konstanta a nėra lygi nuliui, tuomet reikia iš jos padalyti visą lygtį ir taikyti Vietos teoremą.

Faktoringo kvadratinės lygties grafikas

Tegul užduotis yra nustatyta: koeficientas kvadratinė lygtis. Norėdami tai padaryti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (rasti šaknis). Tada mes pakeisime rastas šaknis į kvadratinės lygties išplėtimo formulę. Tai išspręs problemą.

Kvadratinės lygties uždaviniai

1 užduotis. Raskite kvadratinės lygties šaknis

x^2-26x+120=0 .

Sprendimas: Užrašykite koeficientus ir pakeiskite juos diskriminuojančioje formulėje

Šaknis iš duota vertė yra lygus 14, jį lengva rasti skaičiuotuvu arba prisiminti dažnai naudojant, tačiau patogumo dėlei straipsnio pabaigoje pateiksiu skaičių kvadratų, su kuriais dažnai galima susidurti sprendžiant tokias problemas, sąrašą.
Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule

ir gauname

2 užduotis. Išspręskite lygtį

2x 2 +x-3=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį, išrašykite koeficientus ir raskite diskriminantą


Naudodami žinomas formules randame kvadratinės lygties šaknis

3 užduotis. Išspręskite lygtį

9x 2 -12x+4=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį. Diskriminanto nustatymas

Gavome atvejį, kai šaknys sutampa. Raskite šaknų reikšmes naudodami formulę

4 užduotis. Išspręskite lygtį

x^2+x-6=0 .

Sprendimas: Tais atvejais, kai yra maži x koeficientai, patartina taikyti Vietos teoremą. Pagal jos sąlygą gauname dvi lygtis

Iš antrosios sąlygos matome, kad sandauga turi būti lygi -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Turime tokią galimą sprendinių porą (-3;2), (3;-2) . Atsižvelgdami į pirmąją sąlygą, atmetame antrąją sprendimų porą.
Lygties šaknys yra lygios

5 uždavinys Raskite stačiakampio kraštinių ilgius, jei jo perimetras yra 18 cm, o plotas 77 cm 2.

Sprendimas: Pusė stačiakampio perimetro yra lygi gretimų jo kraštinių sumai. Pažymime x kaip didesnę kraštinę, tada 18-x yra jos mažesnė pusė. Stačiakampio plotas lygus šių ilgių sandaugai:
x(18-x)=77;
arba
x 2 -18x+77=0.
Raskime lygties diskriminantą

Lygties šaknų apskaičiavimas

Jeigu x=11, Tai 18's = 7 , ir atvirkščiai (jei x=7, tai 21s=9).

6 uždavinys. Padalinkite kvadratinę lygtį 10x 2 -11x+3=0.

Sprendimas: Apskaičiuokime lygties šaknis, tam randame diskriminantą

Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule ir apskaičiuojame

Taikome kvadratinės lygties išskaidymo pagal šaknis formulę

Atidarę skliaustus gauname tapatybę.

Kvadratinė lygtis su parametru

1 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , ar lygtis (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 turi vieną šaknį?

Sprendimas: Tiesiogiai pakeitę reikšmę a=3 matome, kad ji neturi sprendimo. Toliau naudosime faktą, kad su nuliniu diskriminantu lygtis turi vieną daugybos 2 šaknį. Išrašykime diskriminantą

Supaprastinkime ir prilyginkime nuliui

Gavome kvadratinę lygtį parametro a atžvilgiu, kurios sprendimą galima lengvai gauti naudojant Vietos teoremą. Šaknų suma yra 7, o jų sandauga yra 12. Paprasta paieška nustatome, kad skaičiai 3,4 bus lygties šaknys. Kadangi skaičiavimų pradžioje jau atmetėme sprendimą a=3, vienintelis teisingas bus - a=4. Taigi, jei a=4 lygtis turi vieną šaknį.

2 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , lygtis a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 turi daugiau nei vieną šaknį?

Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykime vienaskaitos taškus, jie bus reikšmės a=0 ir a=-3. Kai a=0, lygtis bus supaprastinta iki formos 6x-9=0; x=3/2 ir bus viena šaknis. Jei a= -3, gauname tapatybę 0=0.
Apskaičiuokime diskriminantą

ir suraskite a reikšmę, kuriai esant ji yra teigiama

Iš pirmosios sąlygos gauname a>3. Antruoju atveju randame diskriminantą ir lygties šaknis


Apibrėžkime intervalus, kuriuose funkcija trunka teigiamas vertes. Pakeitę tašką a=0 gauname 3>0 . Taigi, už intervalo (-3;1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite esmės a=0, kurios turėtų būti neįtrauktos, nes pradinėje lygtyje yra viena šaknis.
Dėl to gauname du intervalus, atitinkančius problemos sąlygas

Praktikoje bus daug panašių užduočių, pabandykite užduotis išsiaiškinti patys ir nepamirškite atsižvelgti į vienas kitą paneigiančias sąlygas. Gerai išstudijuokite kvadratinių lygčių sprendimo formules, kurios dažnai reikalingos atliekant įvairius uždavinius ir mokslus.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 arba x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Išmokus spręsti pirmojo laipsnio lygtis, žinoma, norisi dirbti su kitais, ypač su antrojo laipsnio lygtimis, kurios kitaip vadinamos kvadratinėmis.

Kvadratinės lygtys yra lygtys ax² + bx + c = 0, kur kintamasis yra x, skaičiai yra a, b, c, kur a nėra lygus nuliui.

Jei kvadratinėje lygtyje vienas ar kitas koeficientas (c arba b) yra lygus nuliui, tada ši lygtis bus klasifikuojama kaip nepilna kvadratinė lygtis.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, jei studentai iki šiol sugebėjo išspręsti tik pirmojo laipsnio lygtis? Apsvarstykite nepilnas kvadratines lygtis skirtingi tipai ir paprastų būdų juos išspręsti.

a) Jei koeficientas c lygus 0, o koeficientas b nelygus nuliui, tada ax ² + bx + 0 = 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² + bx = 0.

Norint išspręsti tokią lygtį, reikia žinoti nepilnos kvadratinės lygties sprendimo formulę, kurią sudaro kairiosios jos pusės faktorinavimas ir vėliau sąlyga, kad sandauga lygi nuliui.

Pavyzdžiui, 5x² - 20x = 0. Kairiąją lygties pusę koeficientuojame, atlikdami įprastą matematinį veiksmą: bendrąjį koeficientą išimame iš skliaustų

5x (x - 4) = 0

Naudojame sąlygą, kad produktai lygūs nuliui.

5 x = 0 arba x - 4 = 0

Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 0; antroji šaknis yra 4.

b) Jei b = 0, o laisvasis narys nėra lygus nuliui, tai lygtis ax ² + 0x + c = 0 redukuojama į lygtį, kurios formos ax ² + c = 0. Lygtys sprendžiamos dviem būdais. : a) skaičiuojant kairėje pusėje esančios lygties daugianarį ; b) naudojant aritmetikos savybes kvadratinė šaknis. Tokią lygtį galima išspręsti vienu iš būdų, pavyzdžiui:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 5/2; antroji šaknis lygi - 5/2.

c) Jei b lygus 0, o c lygus 0, tai ax ² + 0 + 0 = 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² = 0. Tokioje lygtyje x bus lygus 0.

Kaip matote, nepilnos kvadratinės lygtys gali turėti ne daugiau kaip dvi šaknis.

Daugiau paprastu būdu. Norėdami tai padaryti, įdėkite z iš skliaustų. Gausite: z(аz + b) = 0. Veiksnius galima užrašyti: z=0 ir аz + b = 0, nes abu gali baigtis nuliu. Žymėjime az + b = 0 antrąjį perkeliame į dešinę su kitu ženklu. Iš čia gauname z1 = 0 ir z2 = -b/a. Tai yra originalo šaknys.

Jeigu ten yra nepilna lygtis forma az² + c = 0, in tokiu atveju yra paprastas perkėlimas laisvasis terminas į dešinę lygties pusę. Taip pat pakeiskite jo ženklą. Rezultatas bus az² = -с. Išreikškite z² = -c/a. Paimkite šaknį ir užrašykite du sprendinius – teigiamą ir neigiamą kvadratinę šaknį.

pastaba

Jei lygtyje yra trupmeninių koeficientų, padauginkite visą lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad pašalintumėte trupmenas.

Žinios, kaip spręsti kvadratines lygtis, reikalingos ir moksleiviams, ir studentams, kartais tai gali padėti ir suaugusiam įprastas gyvenimas. Yra keletas specifinių sprendimo būdų.

Kvadratinių lygčių sprendimas

Kvadratinė lygtis formos a*x^2+b*x+c=0. Koeficientas x – norimas kintamasis, a, b, c – skaitiniai koeficientai. Atminkite, kad „+“ ženklas gali pasikeisti į „-“.

Norint išspręsti šią lygtį, reikia panaudoti Vietos teoremą arba rasti diskriminantą. Labiausiai paplitęs metodas yra rasti diskriminantą, nes kai kurioms a, b, c reikšmėms negalima naudoti Vietos teoremos.

Norint rasti diskriminantą (D), reikia parašyti formulę D=b^2 - 4*a*c. D reikšmė gali būti didesnė už, mažesnė už nulį arba lygi nuliui. Jei D yra didesnis arba mažesnis už nulį, tada bus dvi šaknys, jei D = 0, tada lieka tik viena šaknis, galime sakyti, kad D šiuo atveju yra dvi lygiavertės šaknys. Į formulę pakeiskite žinomus koeficientus a, b, c ir apskaičiuokite reikšmę.

Suradę diskriminantą, naudokite formules, kad surastumėte x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kur sqrt yra funkcija, reiškianti tam tikro skaičiaus kvadratinės šaknies paėmimą. Apskaičiavę šias išraiškas, rasite dvi savo lygties šaknis, po kurių lygtis laikoma išspręsta.

Jei D yra mažesnis už nulį, jis vis tiek turi šaknis. Šis skyrius mokykloje praktiškai nesimokomas. Universiteto studentai turėtų žinoti, kad po šaknimi yra neigiamas skaičius. Jie jo atsikrato paryškindami įsivaizduojamą dalį, tai yra, -1 po šaknimi visada yra lygus įsivaizduojamam elementui „i“, kuris padauginamas iš šaknies su tuo pačiu teigiamas skaičius. Pavyzdžiui, jei D=sqrt(-20), po transformacijos pasirodo D=sqrt(20)*i. Po šios transformacijos lygties sprendimas sumažinamas iki to paties šaknų radimo, kaip aprašyta aukščiau.

Vietos teorema susideda iš x(1) ir x(2) reikšmių pasirinkimo. Naudojamos dvi identiškos lygtys: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Ir labai svarbus punktas yra ženklas prieš koeficientą b, atminkite, kad šis ženklas yra priešingas lygties ženklui. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad apskaičiuoti x(1) ir x(2) yra labai paprasta, tačiau sprendžiant susidursite su tuo, kad teks atsirinkti skaičius.

Kvadratinių lygčių sprendimo elementai

Pagal matematikos taisykles kai kurios gali būti suskirstytos faktoriais: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jei jums pavyko šią kvadratinę lygtį paversti panašiu būdu naudojant matematines formules, tada drąsiai užrašykite atsakymą. x(1) ir x(2) bus lygūs gretimiems skliaustuose esantiems koeficientams, bet su priešingu ženklu.

Taip pat nepamirškite apie neišsamias kvadratines lygtis. Jums gali trūkti kai kurių terminų, jei taip, tada visi jo koeficientai yra tiesiog lygūs nuliui. Jei prieš x^2 arba x nieko nėra, tada koeficientai a ir b yra lygūs 1.