Funkcijos padidėjimas, sumažėjimas ir ekstremumai

Funkcijos didėjimo, mažėjimo ir ekstremalių intervalų nustatymas yra ir savarankiška užduotis, ir esminė kitų užduočių dalis, ypač pilnas funkcijų tyrimas. Pateikiama pradinė informacija apie funkcijos padidėjimą, sumažėjimą ir kraštutinumus teorinis skyrius apie išvestinę, kurią labai rekomenduoju išankstiniam tyrimui (arba kartojimas)– taip pat dėl ​​to, kad ši medžiaga yra pagrįsta pačia iš esmės išvestinė, yra harmoningas šio straipsnio tęsinys. Nors, jei laiko mažai, galima ir grynai formaliai praktikuoti pavyzdžius iš šios dienos pamokos.

Ir šiandien ore tvyro reto vieningumo dvasia, ir aš tiesiogiai jaučiu, kad visi esantys dega noru išmokti tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę. Todėl jūsų monitoriaus ekranuose iš karto atsiranda protinga, gera, amžina terminija.

Kam? Viena iš priežasčių yra pati praktiškiausia: kad būtų aišku, ko iš jūsų paprastai reikalaujama atliekant tam tikrą užduotį!

Funkcijos monotoniškumas. Funkcijos ekstremumai ir ekstremumai

Panagrinėkime kai kurias funkcijas. Paprasčiau tariant, manome, kad ji tęstinis visoje skaičių eilutėje:

Tik tuo atveju iš karto atsikratykime galimų iliuzijų, ypač tiems skaitytojams, kurie neseniai susipažino funkcijos pastovaus ženklo intervalai. Dabar mes NEDOMINA, kaip funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu (viršuje, apačioje, kur ašis susikerta). Kad įtikintumėte, mintyse ištrinkite ašis ir palikite vieną grafiką. Nes čia slypi susidomėjimas.

Funkcija dideja intervale, jei bet kuriuose dviejuose šio intervalo taškuose, sujungtuose santykiu , nelygybė yra teisinga. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš apačios į viršų“. Per tą laiką demonstravimo funkcija auga.

Taip pat ir funkcija mažėja apie intervalą, jei bet kurių dviejų taškų tam tikro intervalo toks, kad , Nelygybė yra tiesa. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš viršaus į apačią“. Mūsų funkcija mažėja intervalais .

Jei funkcija didėja arba mažėja per intervalą, ji vadinama griežtai monotoniškasšiuo intervalu. Kas yra monotonija? Supraskite tai pažodžiui – monotonija.

Taip pat galite apibrėžti nemažėjantis funkcija (atsipalaidavusi būsena pirmajame apibrėžime) ir nedidėjantis funkcija (suminkštinta sąlyga 2-oje apibrėžime). Nemažėjanti arba nedidėjanti intervalo funkcija vadinama monotonine tam tikro intervalo funkcija (griežtas monotoniškumas yra ypatingas „paprasčiausio“ monotoniškumo atvejis).

Teorija taip pat svarsto kitus funkcijos padidėjimo/sumažėjimo nustatymo būdus, įskaitant pusintervalus, segmentus, tačiau kad nepiltume ant galvos aliejus-alyva-alyva, sutiksime operuoti atvirais intervalais su kategoriškais apibrėžimais. - tai yra aiškiau ir gana daug praktinių problemų išspręsti.

Taigi, mano straipsniuose formuluotė „funkcijos monotoniškumas“ beveik visada bus paslėpta intervalais griežta monotonija(griežtai didėjanti arba griežtai mažėjanti funkcija).

Taško kaimynystė. Žodžiai, po kurių mokiniai bėga kur tik gali ir iš siaubo slepiasi kampuose. ...Nors po įrašo Cauchy ribos Tikriausiai jie jau nebeslepia, o tik truputi dreba =) Nesijaudink, dabar nebus matematinės analizės teoremų įrodymų - reikėjo aplinkos griežčiau suformuluoti apibrėžimus ekstremalūs taškai. Prisiminkime:

Taško kaimynystė vadinamas intervalas, kuriame yra duotas taškas, o patogumo dėlei intervalas dažnai laikomas simetrišku. Pavyzdžiui, taškas ir jo standartinė kaimynystė:

Tiesą sakant, apibrėžimai:

Taškas vadinamas griežtas maksimalus taškas, Jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė . Mūsų konkretus pavyzdys tai yra esmė.

Taškas vadinamas griežtas minimalus taškas, Jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė . Brėžinyje yra taškas „a“.

Pastaba : kaimynystės simetrijos reikalavimas visai nebūtinas. Be to, svarbu pats egzistavimo faktas kaimynystė (maža ar mikroskopinė), kuri atitinka nurodytas sąlygas

Taškai vadinami griežtai ekstremalūs taškai arba tiesiog ekstremalūs taškai funkcijas. Tai yra apibendrintas maksimalaus ir minimalaus balo terminas.

Kaip suprantame žodį „ekstremalus“? Taip, taip pat tiesiogiai kaip monotonija. Ekstremalūs kalnelių taškai.

Kaip ir monotoniškumo atveju, laisvi postulatai egzistuoja ir teoriškai yra dar labiau paplitę (kurios, žinoma, patenka į griežtus atvejus!):

Taškas vadinamas maksimalus taškas, Jei egzistuoja jo aplinka yra tokia visiems
Taškas vadinamas minimalus taškas, Jei egzistuoja jo aplinka yra tokia visiemsšios kaimynystės vertybes, nelygybė galioja.

Atkreipkite dėmesį, kad pagal paskutinius du apibrėžimus bet kuris pastovios funkcijos taškas (arba funkcijos „plokščia atkarpa“) laikomas ir maksimaliu, ir mažiausiu tašku! Funkcija, beje, yra ir nedidinanti, ir nemažinanti, tai yra monotoniška. Tačiau šiuos svarstymus paliksime teoretikams, nes praktikoje beveik visada kontempliuojame tradicines „kalvas“ ir „daubas“ (žr. brėžinį) su unikaliu „kalno karaliumi“ arba „pelkės princese“. Kaip įvairovė atsiranda patarimas, nukreiptas aukštyn arba žemyn, pavyzdžiui, funkcijos minimumas taške.

O, o kalbant apie honorarą:
– vadinasi prasmė maksimalus funkcijos;
– vadinasi prasmė minimumas funkcijas.

Dažnas vardas - kraštutinumai funkcijas.

Būkite atsargūs su savo žodžiais!

Ekstremalūs taškai– tai yra „X“ reikšmės.
Kraštutinumai– „žaidimo“ reikšmės.

! Pastaba : kartais išvardyti terminai nurodo „X-Y“ taškus, kurie yra tiesiogiai PATSIOS funkcijos GRAFĖJE.

Kiek ekstremalių gali turėti funkcija?

Nėra, 1, 2, 3, ... ir tt iki begalybės. Pavyzdžiui, sinusas turi be galo daug minimumų ir maksimumų.

SVARBU! Terminas „maksimali funkcija“ nėra tapatus terminas „didžiausia funkcijos reikšmė“. Nesunku pastebėti, kad vertė yra maksimali tik vietiniame mikrorajone, o viršuje kairėje yra „šaltesni bendražygiai“. Taip pat „funkcijos minimumas“ nėra tas pats, kas „minimali funkcijos reikšmė“, o brėžinyje matome, kad reikšmė yra minimali tik tam tikroje srityje. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinami ekstremumo taškai vietiniai ekstremumo taškai o ekstremumai – vietiniai kraštutinumai. Jie vaikšto ir klaidžioja netoliese ir globalus broliai. Taigi, bet kuri parabolė turi savo viršūnę pasaulinis minimumas arba pasaulinis maksimumas. Be to, aš neskirsiu kraštutinumų tipų, o paaiškinimas išsakomas labiau bendrais ugdymo tikslais - papildomi būdvardžiai „vietinis“ / „pasaulinis“ neturėtų jus nustebinti.

Apibendrinkime savo nedidelė ekskursijaį teoriją su bandomuoju šūviu: ką reiškia užduotis „rasti funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremumo taškus“?

Formuluotė skatina jus rasti:

– didėjančios/mažėjančios funkcijos intervalai (nemažėjanti, nedidėjanti atsiranda daug rečiau);

– maksimalus ir (arba) minimalus balas (jei yra). Na, o kad nepasisektų, geriau susirasti minimumus/maksimumus patiems ;-)

Kaip visa tai nustatyti? Naudojant išvestinę funkciją!

Kaip rasti didėjimo, mažėjimo intervalus,
funkcijos ekstremumai ir ekstremumai?

Iš tikrųjų daugelis taisyklių jau žinomos ir suprantamos pamoka apie vedinio reikšmę.

Tangentinė išvestinė atneša linksmų naujienų, kad funkcija vis didėja apibrėžimo sritis.

Su kotangentu ir jo išvestine situacija yra visiškai priešinga.

Arsinusas didėja per intervalą - išvestinė čia yra teigiama: .
Kai funkcija apibrėžta, bet nediferencijuojama. Tačiau kritiniame taške yra dešinioji išvestinė ir dešinioji liestinė, o kitame krašte yra jų kairiarankiai atitikmenys.

Manau, jums nebus per sunku atlikti panašius argumentus dėl lanko kosinuso ir jo išvestinės.

Visi pirmiau minėti atvejai, kurių daugelis yra lentelės vediniai, primenu, sekite tiesiai iš išvestiniai apibrėžimai.

Kodėl tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę?

Norėdami geriau suprasti, kaip atrodo šios funkcijos grafikas: kur eina „iš apačios į viršų“, kur „iš viršaus žemyn“, kur pasiekia minimumus ir maksimumus (jei išvis pasiekia). Ne visos funkcijos yra tokios paprastos – daugeliu atvejų mes visai neįsivaizduojame apie konkrečios funkcijos grafiką.

Atėjo laikas pereiti prie prasmingesnių pavyzdžių ir apsvarstyti funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalų paieškos algoritmas:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos padidėjimo/sumažėjimo intervalus ir kraštutinumus

Sprendimas:

1) Pirmas žingsnis yra rasti funkcijos sritis, taip pat atkreipkite dėmesį į lūžio taškus (jei jie yra). IN tokiu atveju funkcija yra tęstinė visoje skaičių eilutėje, ir šis veiksmas tam tikru mastu yra formalus. Tačiau daugeliu atvejų čia įsiplieskia rimtos aistros, todėl vertinkime pastraipą be panieka.

2) Antrasis algoritmo taškas yra dėl

būtina ekstremumo sąlyga:

Jei taške yra ekstremumas, tada reikšmė neegzistuoja.

Supainioti dėl pabaigos? „X modulio“ funkcijos ekstremumas .

Sąlyga būtina, bet nepakankamai, ir atvirkščiai ne visada tiesa. Taigi iš lygybės dar neišplaukia, kad funkcija taške pasiekia maksimumą ar minimumą. Klasikinis pavyzdys jau pabrėžta aukščiau - tai kubinė parabolė ir jos kritinis taškas.

Bet kad ir kaip būtų, būtina sąlyga extremum diktuoja poreikį rasti įtartinus taškus. Norėdami tai padaryti, raskite išvestinę ir išspręskite lygtį:

Pirmojo straipsnio pradžioje apie funkcijų grafikus Aš jums pasakiau, kaip greitai sukurti parabolę naudojant pavyzdį : „...paimame pirmąją išvestinę ir prilyginame ją nuliui: ...Taigi, mūsų lygties sprendimas: - būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė...“. Dabar, manau, visi supranta, kodėl parabolės viršūnė yra būtent šiame taške =) Apskritai čia reikėtų pradėti nuo panašaus pavyzdžio, bet jis per paprastas (net arbatinukui). Be to, pačioje pamokos pabaigoje yra analogas apie funkcijos išvestinė. Todėl padidinkime laipsnį:

2 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalus

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir apytikslis galutinis užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.

Atėjo ilgai lauktas susitikimo su trupmeninėmis-racionaliosiomis funkcijomis momentas:

3 pavyzdys

Išnagrinėkite funkciją naudodami pirmąją išvestinę

Atkreipkite dėmesį į tai, kaip skirtingai galima performuluoti vieną ir tą pačią užduotį.

Sprendimas:

1) Funkcija taškuose patiria begalinius netolygumus.

2) Mes nustatome kritinius taškus. Raskime pirmąją išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

Išspręskime lygtį. Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis yra nulis:

Taigi gauname tris svarbius taškus:

3) Nubraižome VISUS aptiktus taškus skaičių tiesėje ir intervalo metodas mes apibrėžiame IŠVEDINĖS požymius:

Primenu, kad reikia paimti tam tikrą intervalo tašką ir jame apskaičiuoti išvestinės vertę ir nustatyti jo ženklą. Pelningiau net neskaičiuoti, o „įvertinti“ žodžiu. Paimkime, pavyzdžiui, tašką, priklausantį intervalui, ir atliksime keitimą: .

Du „pliusai“ ir vienas „minusas“ suteikia „minusą“, o tai reiškia, kad išvestinė yra neigiama per visą intervalą.

Veiksmas, kaip suprantate, turi būti atliktas kiekvienam iš šešių intervalų. Beje, atkreipkite dėmesį, kad skaitiklio koeficientas ir vardiklis yra griežtai teigiami bet kuriame bet kurio intervalo taške, o tai labai supaprastina užduotį.

Taigi, išvestinė mums pasakė, kad PATI FUNKCIJA padidėja ir sumažėja . To paties tipo intervalus patogu sujungti su prisijungimo piktograma.

Kai funkcija pasiekia maksimumą:
Tuo metu funkcija pasiekia minimumą:

Pagalvokite, kodėl jums nereikia perskaičiuoti antrosios vertės ;-)

Einant per tašką, išvestinė ženklo nekeičia, todėl funkcija ten NE EKSTREMUMO - ir sumažėjo, ir liko mažėjanti.

! Pakartokime svarbus punktas : taškai nelaikomi kritiniais – juose yra funkcija nenustatyta. Atitinkamai, čia Iš principo negali būti kraštutinumų(net jei išvestinė keičia ženklą).

Atsakymas: funkcija padidėja ir mažėja Kai pasiekiamas funkcijos maksimumas: , o taške – minimumas: .

Žinios apie monotoniškumo intervalus ir ekstremumus, kartu su nustatytais asimptotų jau suteikia labai gerą idėją išvaizda funkcinė grafika. Vidutinio pasirengimo žmogus gali žodžiu nustatyti, kad funkcijos grafikas turi du vertikalius asimptotus ir įstrižą asimptotą. Štai mūsų herojus:

Pabandykite dar kartą susieti tyrimo rezultatus su šios funkcijos grafiku.
Kritiniame taške ekstremumo nėra, bet yra grafiko linksniavimas(kas, kaip taisyklė, nutinka panašiais atvejais).

4 pavyzdys

Raskite funkcijos kraštutinumą

5 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus, maksimumus ir minimumus

...tai beveik kaip kokia „X kube“ šventė šiandien...
Soooo, kas galerijoje už tai pasiūlė išgerti? =)

Kiekviena užduotis turi savo esminius niuansus ir technines subtilybes, kurios pakomentuojamos pamokos pabaigoje.

didėja intervale \(X\), jei bet kuriam \(x_1, x_2\in X\), kad \(x_1

Funkcija vadinama nemažėjantis

\(\blacktriangleright\) Iškviečiama funkcija \(f(x)\). mažėja intervale \(X\), jei bet kuriam \(x_1, x_2\in X\), kad \(x_1 f(x_2)\) .

Funkcija vadinama nedidėjantis intervale \(X\), jei bet kuriam \(x_1, x_2\in X\), kad \(x_1

\(\blacktriangleright\) Iškviečiamos didėjančios ir mažėjančios funkcijos griežtai monotoniškas, o nedidėjantis ir nemažėjantis yra tiesiog monotoniškas.

\(\juodas trikampis dešinysis\) Pagrindinės savybės:

aš. Jei funkcija \(f(x)\) yra griežtai monotoniška \(X\) , tada iš lygybės \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) seka \(f( x_1)= f(x_2)\) ir atvirkščiai.

Pavyzdys: funkcija \(f(x)=\sqrt x\) griežtai didėja visiems \(x\in \) , todėl lygtis \(x^2=9\) šiame intervale turi daugiausiai vieną sprendinį, tiksliau vienas: \(x=-3\) .

funkcija \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) griežtai didėja visiems \(x\in (-1;+\infty)\), taigi lygtis \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) šiame intervale turi ne daugiau kaip vieną sprendinį, tiksliau nė vieno, nes kairiosios pusės skaitiklis niekada negali būti lygus nuliui.

III. Jei funkcija \(f(x)\) yra nemažėjanti (nedidėjanti) ir ištisinė atkarpoje \(\), o atkarpos galuose ji įgauna reikšmes \(f(a)= A, f(b)=B\) , tada \(C\in \) (\(C\in \) ) lygtis \(f(x)=C\) visada turi bent vieną sprendinį.

Pavyzdys: funkcija \(f(x)=x^3\) yra griežtai didėjanti (ty griežtai monotoniška) ir nenutrūkstama visoms \(x\in\mathbb(R)\) , todėl bet kuriai \(C\ ( -\infty;+\infty)\) lygtis \(x^3=C\) turi tiksliai vieną sprendimą: \(x=\sqrt(C)\) .

1 užduotis #3153

Užduoties lygis: lengvesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

turi lygiai dvi šaknis.

Perrašykime lygtį taip: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Apsvarstykite funkciją \(f(t)=t^3+t\) . Tada lygtis bus perrašyta tokia forma: \ Ištirkime funkciją \(f(t)\) . \ Vadinasi, funkcija \(f(t)\) didėja visiems \(t\) . Tai reiškia, kad kiekviena funkcijos \(f(t)\) reikšmė atitinka tiksliai vieną argumento \(t\) reikšmę. Todėl, kad lygtis turėtų šaknis, būtina: \ Kad gauta lygtis turėtų dvi šaknis, jos diskriminantas turi būti teigiamas: \

Atsakymas:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

2 užduotis #2653

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurioms taikoma lygtis \

turi dvi šaknis.

(Užduotis iš prenumeratorių.)

Pakeiskime: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Tada lygtis bus tokia: \ Apsvarstykite funkciją \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Tada mūsų lygtis bus tokia: \

Raskime išvestinę \ Atminkite, kad visų \(w\ne 0\) išvestinė yra \(f"(w)>0\) , nes \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Taip pat atkreipkite dėmesį kad pati funkcija \(f(w)\) yra apibrėžta visiems \(w\). Be to, \(f(w)\) yra tęstinis, galime daryti išvadą, kad \(f (w)\) didėja iš viso \(\mathbb(R)\) .
Tai reiškia, kad lygybė \(f(t)=f(u)\) galima tada ir tik tada, kai \(t=u\) . Grįžkime prie pradinių kintamųjų ir išspręskime gautą lygtį:

\ Kad ši lygtis turėtų dvi šaknis, ji turi būti kvadratinė, o diskriminantas – teigiamas:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Atsakymas:

\((-\infty;1)\puodelis(1;2)\)

3 užduotis #3921

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas teigiamas parametro \(a\) reikšmes, kurioms taikoma lygtis

turi bent \(2\) sprendinius.

Perkelkime visus terminus, kuriuose yra \(ax\) į kairę ir tuos, kuriuose yra \(x^2\) į dešinę, ir apsvarstykime funkciją
\

Tada pradinė lygtis bus tokia:
\

Raskime išvestinę:
\

Nes \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), tada \(f"(t)\geqslant 0\) bet kuriam \(t\in \mathbb(R)\) .

Be to, \(f"(t)=0\), jei \((t-2)^2=0\) ir \(1+\cos(2t)=0\) tuo pačiu metu, o tai nėra tiesa bet kuriam \ (t\). Todėl \(f"(t)> 0\) bet kuriam \(t\in \mathbb(R)\) .

Taigi funkcija \(f(t)\) griežtai didėja visiems \(t\in \mathbb(R)\) .

Tai reiškia, kad lygtis \(f(ax)=f(x^2)\) yra lygiavertė lygčiai \(ax=x^2\) .

Lygtis \(x^2-ax=0\) \(a=0\) turi vieną šaknį \(x=0\), o \(a\ne 0\) turi dvi skirtingas šaknis \(x_1 =0 \) ir \(x_2=a\) .
Turime rasti \(a\) reikšmes, kuriose lygtis turės bent dvi šaknis, taip pat atsižvelgiant į tai, kad \(a>0\) .
Todėl atsakymas yra toks: \(a\in (0;+\infty)\) .

Atsakymas:

\((0;+\infty)\) .

4 užduotis #1232

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \

turi unikalų sprendimą.

Padauginkime dešinę ir kairę lygties puses iš \(2^(\sqrt(x+1))\) (nes \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) ir perrašykime lygtį formoje : \

Apsvarstykite funkciją \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)\(t\geqslant 0\) (nuo \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Darinys \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

Nes \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) visiems \(t\geqslant 0\) , tada \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Vadinasi, kaip \(t\geqslant 0\), funkcija \(y\) monotoniškai mažėja.

Lygtį galima nagrinėti tokia forma \(y(t)=y(z)\) , kur \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Iš funkcijos monotoniškumo matyti, kad lygybė galima tik tada, jei \(t=z\) .

Tai reiškia, kad lygtis yra lygiavertė lygčiai: \(ax=\sqrt(x+1)\), kuri savo ruožtu yra lygiavertė sistemai: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

Kai \(a=0\), sistema turi vieną sprendimą \(x=-1\), kuris tenkina sąlygą \(ax\geqslant 0\) .

Apsvarstykite atvejį \(a\ne 0\) . Sistemos \(D=1+4a^2>0\) pirmosios lygties diskriminantas visoms \(a\) . Vadinasi, lygtis visada turi dvi šaknis \(x_1\) ir \(x_2\), ir jos yra skirtingų ženklų (kadangi pagal Vietos teoremą \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Tai reiškia, kad \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) sąlygą tenkina teigiama šaknis. Todėl sistema visada turi unikalų sprendimą.

Taigi, \(a\in \mathbb(R)\) .

Atsakymas:

\(a\in \mathbb(R)\) .

5 užduotis #1234

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \

turi bent vieną šaknį iš segmento \([-1;0]\) .

Apsvarstykite funkciją \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) kai kuriems fiksuotiems \(a\) . Raskime jo išvestinę: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Atminkite, kad \(f"(x)\geqslant 0\) visoms \(x\) ir \(a\) reikšmėms ir yra lygi \(0\) tik \(x=a=1 \). Bet \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rodyklė dešinėn f(x)=2(x-1)^3 \Rodyklė dešinėn\) lygtis \(2(x-1)^3=0\) turi vieną šaknį \(x=1\), kuri netenkina sąlygos. Todėl \(a\) negali būti lygus \(1\) .

Tai reiškia, kad visiems \(a\ne 1\) funkcija \(f(x)\) griežtai didėja, todėl lygtis \(f(x)=0\) gali turėti ne daugiau kaip vieną šaknį. Atsižvelgiant į kubinės funkcijos ypatybes, kai kurių fiksuotų \(a\) \(f(x)\) grafikas atrodys taip:

Tai reiškia, kad norint, kad lygtis turėtų šaknį iš atkarpos \([-1;0]\), būtina: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Taigi, \(a\in [-2;0]\) .

Atsakymas:

\(a\in [-2;0]\) .

6 užduotis #2949

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

turi šaknis.

(Prenumeratorių užduotis)

ODZ lygtys: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftright rodyklė\quad x\in \). Todėl norint, kad lygtis turėtų šaknis, būtina, kad bent viena iš lygčių \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(arba)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] turėjo sprendimus dėl ODZ.

1) Apsvarstykite pirmąją lygtį \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin (surinkta)\begin (sulygiuotas) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(sulygiuota) \end(surinkta)\dešinė. \quad\Leftright rodrow\quad \sin x=2a+2\]Šios lygties šaknys turi būti \(\) . Apsvarstykite apskritimą:

Taigi matome, kad bet kuriai \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) lygtis turės vieną sprendinį, o visų kitų neturės sprendinių. Todėl kai \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) lygtis turi sprendinius.

2) Apsvarstykite antrąją lygtį \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftright arrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Apsvarstykite funkciją \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Raskime jo išvestinę: \ ODZ išvestinėje yra vienas nulis: \(x=\frac34\) , kuris taip pat yra maksimalus funkcijos \(f(x)\) taškas.
Atminkite, kad \(f(0)=f(1)=0\) . Taigi schematiškai grafikas \(f(x)\) atrodo taip:

Todėl norint, kad lygtis turėtų sprendinius, būtina, kad grafikas \(f(x)\) susikirstų su tiese \(y=-a\) (paveikslėlyje parodytas vienas iš tinkamų variantų). Tai yra, tai būtina \ . Šiems \(x\) :

Funkcija \(y_1=\sqrt(x-1)\) griežtai didėja. Funkcijos \(y_2=5x^2-9x\) grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra taške \(x=\dfrac(9)(10)\) . Vadinasi, visiems \(x\geqslant 1\) funkcija \(y_2\) taip pat griežtai didėja (dešinioji parabolės šaka). Nes griežtai didėjančių funkcijų suma griežtai didėja, tada \(f_a(x)\) griežtai didėja (konstanta \(3a+8\) neturi įtakos funkcijos monotoniškumui).

Funkcija \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) visiems \(x\geqslant 1\) reiškia dešiniosios hiperbolės šakos dalį ir griežtai mažėja.

Išspręsti lygtį \(f_a(x)=g_a(x)\) reiškia rasti funkcijų \(f\) ir \(g\) susikirtimo taškus. Iš jų priešingo monotoniškumo matyti, kad lygtis gali turėti daugiausia vieną šaknį.

Kai \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Todėl lygtis turės unikalų sprendimą, jei:

\\ puodelis

Atsakymas:

\(a\in (-\infty;-1]\puodelis (128 pav.).

1. Apsvarstykite funkciją intervale (0, + 00).
Tegu x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Taigi iš nelygybės x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Tai reiškia, kad funkcija mažėja atvirame spindulyje (0, + 00) (129 pav.).

2. Apsvarstykite funkciją intervale (-oo, 0). Tegu x 1< х 2 , х 1 и х 2 - neigiami skaičiai. Tada - x 1 > - x 2, ir abi paskutinės nelygybės pusės - teigiami skaičiai, todėl (vėl panaudojome 1 pavyzdyje įrodytą nelygybę iš § 33). Toliau turime, iš kur gauname.

Taigi iš nelygybės x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) t.y. funkcija mažėja atvirame spindulyje (- 00 , 0)

Paprastai terminai „didinanti funkcija“ ir „mažėjanti funkcija“ jungiami bendru pavadinimu monotoninė funkcija, o didinimo ir mažėjimo funkcijos tyrimas vadinamas monotoniškumo funkcijos tyrimu.

Sprendimas.

1) Nubraižykime funkciją y = 2x2 ir paimkime šios parabolės šaką ties x< 0 (рис. 130).

2) Sukonstruoti ir pasirinkti jo dalį atkarpoje (131 pav.).

3) Sukonstruokime hiperbolę ir parinkime jos dalį atvirame spindulyje (4, + 00) (132 pav.).
4) Pavaizduokime visas tris „gabalėlius“ vienoje koordinačių sistemoje – tai funkcijos y = f(x) grafikas (133 pav.).

Perskaitykime funkcijos y = f(x) grafiką.

1. Funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė.

2. y = 0, kai x = 0; y > 0, jei x > 0.

3. Funkcija spindulyje mažėja (-oo, 0], atkarpoje didėja, spindulyje mažėja, segmente yra išgaubta aukštyn, spindulyje išgaubta žemyn)