Atkarpos konstravimas naudojant du taškus. Lygiagrečios sekcijos

Praktinė pamoka: „Lygiatakis. Lygiagretaus vamzdžio sekcijų konstrukcija“.

1. Tikslas praktinis darbas : . Įtvirtinti žinias apie teorinę medžiagą apie daugiakampį,problemų sprendimo įgūdžiai sekcijų statyba, gebėjimas analizuoti piešinį.

2. Didaktinė įranga praktiniam darbui : Darbo vieta, daugiakampių modeliai ir patobulinimai, matavimo prietaisai, žirklės, klijai, storas popierius.

Laikas: 2 valandos

Užduotys darbui:

1 pratimas

Sukurkite gretasienio ABCDA atkarpą 1 B 1 C 1 D 1 plokštuma, einanti per taškus M, N, P, gulinčius atitinkamai ant tiesių, A 1 B 1, AD, DC

Pavyzdys ir problemos sprendimo seka:

1. Taškai N ir P yra pjūvio plokštumoje ir gretasienio apatinio pagrindo plokštumoje. Sukurkime tiesią liniją, einančią per šiuos taškus. Ši tiesi linija yra pjovimo plokštumos pėdsakas į gretasienio pagrindo plokštumą.

2. Tęskime tiesę, kurioje yra gretasienio AB pusė. Tiesės AB ir NP susikerta tam tikru tašku S. Šis taškas priklauso pjūvio plokštumai.

3. Kadangi taškas M taip pat priklauso pjūvio plokštumai ir kerta tiesę AA 1 tam tikru momentu X.

4. Taškai X ir N yra toje pačioje paviršiaus AA plokštumoje 1 D 1 D, sujunkite juos ir gaukite tiesią liniją XN.

5. Kadangi gretasienio paviršių plokštumos yra lygiagrečios, tai per tašką M galime nubrėžti tiesią liniją į paviršių A 1 B 1 C 1 D 1 , lygiagrečiai tiesei NP. Ši linija susikirs su B puse 1 SU 1 taške Y.

6. Panašiai nubrėžkite tiesę YZ, lygiagrečią tiesei XN. Sujungiame Z su P ir gauname norimą skyrių - MYZPNX.

2 užduotis

1 variantas. Sukurkite gretasienio АВСDA1В1С1D1 atkarpą pagal plokštumą, apibrėžtą šiais taškaisM, NIrP

1 lygis: visi trys taškai yra ant kraštų, kylančių iš viršūnės A

2 lygis.Mguli veide AA1D1D,Nguli ant veido AA1B1B,Pguli veide CC1D1D.

3 lygis.Mguli ant įstrižainės B1D,Nguli ant įstrižainės AC1,Pguli ant krašto C1D1.

2 variantas.Sukurkite gretasienio ABCDA1B1C1D1 atkarpą plokštuma, einančia per tiesę DQ, kur taškas Q yra kraštinėje CC1, o taškas P, apibrėžtas taip

1 lygis: visi trys taškai yra ant kraštų, kylančių iš viršūnės C

2 lygis: M yra krašto A1B1 tęsinyje, o taškas A1 yra tarp taškų B1 ir P.

3 lygis: P yra įstrižainėje B1D

Darbo tvarka:

1.Studijuokite teorinę medžiagą šiomis temomis:

Lygiagretaus vamzdžio.

Dešinysis gretasienis.

Pasviręs gretasienis.

Priešingi gretasienio veidai.

Lygiagretainių įstrižainių savybės.

Ppjovimo plokštumos samprata ir jos konstravimo taisyklės.

Kokių tipų daugiakampiai gaunami kubo ir gretasienio pjūvyje.

2. StatytigretasienisABCDA 1 B 1 C 1 D 1

3. Išanalizuokite problemos Nr.1 ​​sprendimą

4.Nuosekliai kurkite skyriųgretasienisABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plokštuma, einanti per uždavinio Nr. 1 taškus P, Q, R.

5. Sukonstruokite dar tris gretasienius ir ant jų pasirinkite 1, 2 ir 3 lygių uždavinius.

Vertinimo kriterijus :

Literatūra: Atanasyan L.S. Geometrija: Vadovėlis 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijose. L.S. Atanasjanas, V.F. Butuzovas, S.B. Kodomtsev ir kiti – M.: Švietimas, 2010 Ziv B.G. Geometrijos uždaviniai: Vadovas 7-11 klasių mokiniams. bendrojo išsilavinimo institucijose. / B.G. Ziv, V.M. Maileris, A.G. Bakhanskis. - M.: Edukacija, 2010. V. N. Litvinenka Erdvinių sampratų kūrimo užduotys. Knyga mokytojams. - M.: Švietimas, 2010 m

Didaktinė medžiagaį praktinės pamokos užduotį

Į užduotį Nr. 1:

Kai kurie galimi skyriai:

Sukurkite gretasienio atkarpas su plokštuma, einančia per šiuos taškus

Problemos, susijusios su kubo atkarpų konstravimu naudojant plokštumą, paprastai yra paprastesnės nei, pavyzdžiui, problemos, susijusios su piramidės atkarpomis.

Galime nubrėžti tiesią liniją per du taškus, jei jie yra toje pačioje plokštumoje. Konstruojant kubo atkarpas galimas ir kitas variantas konstruojant pjovimo plokštumos pėdsaką. Kadangi trečioji plokštuma kerta dvi lygiagrečias plokštumas išilgai lygiagrečių linijų, tai jei viename iš paviršių jau buvo nutiesta tiesė, o kitame yra taškas, per kurį eina atkarpa, tada galime nubrėžti tiesę, lygiagrečią šiai tašką per šį tašką.

Pažiūrėkime konkrečių pavyzdžių kaip sukonstruoti kubo dalis naudojant plokštumą.

1) Sukurkite kubo atkarpą su plokštuma, einančia per taškus A, C ir M.

Šio tipo uždaviniai yra paprasčiausias iš visų kubo atkarpų konstravimo uždavinių. Kadangi taškai A ir C yra toje pačioje plokštumoje (ABC), per juos galime nubrėžti tiesią liniją. Jo pėdsakas yra segmentas AC. Jis nematomas, todėl AC vaizduojame su smūgiu. Panašiai sujungiame taškus M ir C, esančius toje pačioje plokštumoje (CDD1), ir taškus A ir M, esančius toje pačioje plokštumoje (ADD1). Trikampis ACM yra reikalinga sekcija.

2) Sukurkite kubo atkarpą su plokštuma, einančia per taškus M, N, P.

Čia tik taškai M ir N yra toje pačioje plokštumoje (ADD1), todėl per juos nubrėžiame tiesią liniją ir gauname pėdsaką MN (nematomas). Kadangi priešingi kubo paviršiai yra lygiagrečiose plokštumose, pjovimo plokštuma kerta lygiagrečias plokštumas (ADD1) ir (BCC1) išilgai lygiagrečių linijų. Mes jau sukonstravome vieną iš lygiagrečių linijų - tai yra MN.

Per tašką P brėžiame tiesę, lygiagrečią MN. Jis kerta kraštą BB1 taške S. PS yra pjovimo plokštumos pėdsakas veide (BCC1).

Nubrėžiame tiesią liniją per taškus M ir S, esančius toje pačioje plokštumoje (ABB1). Gavome MS pėdsaką (matomas).

Plokštumos (ABB1) ir (CDD1) yra lygiagrečios. Plokštumoje jau yra tiesė MS (ABB1), todėl per tašką N plokštumoje (CDD1) nubrėžiame lygiagrečią MS tiesę. Ši linija kerta kraštą D1C1 taške L. Jos pėdsakas yra NL (nematomas). Taškai P ir L yra toje pačioje plokštumoje (A1B1C1), todėl per juos nubrėžiame tiesią liniją.

Pentagon MNLPS yra reikalinga sekcija.

3) Sukurkite kubo atkarpą su plokštuma, einančia per taškus M, N, P.

Taškai M ir N yra toje pačioje plokštumoje (ВСС1), todėl per juos galima nubrėžti tiesią liniją. Gauname pėdsaką MN (matomas). Plokštuma (BCC1) lygiagreti plokštumai (ADD1), todėl per tašką P, esantį (ADD1), brėžiame tiesę, lygiagrečią su MN. Jis kerta kraštą AD taške E. Gavome pėdsaką PE (nematomas).

Nebėra taškų, esančių toje pačioje plokštumoje, arba tiesės ir taškų lygiagrečiose plokštumose. Todėl, norėdami gauti papildomą tašką, turime tęsti vieną iš esamų eilučių.

Jei tęsiame tiesę MN, tai, kadangi ji yra plokštumoje (BCC1), turime ieškoti MN susikirtimo taško su viena iš šios plokštumos tiesių. Jau yra susikirtimo taškai su CC1 ir B1C1 – tai M ir N. Liko tiesės BC ir BB1. Tęskime BC ir MN, kol jie susikirs taške K. Taškas K yra tiesėje BC, o tai reiškia, kad jis priklauso plokštumai (ABC), todėl per jį galime nubrėžti tiesę ir tašką E, esantį šioje plokštumoje. Jis kerta kraštą CD taške H. EH yra jo pėdsakas (nematomas). Kadangi H ir N yra toje pačioje plokštumoje (CDD1), per juos galima nubrėžti tiesią liniją. Gauname HN (nematomą) pėdsaką.

Plokštumos (ABC) ir (A1B1C1) yra lygiagrečios. Viename iš jų yra tiesė EH, kitame – taškas M. Per M galime nubrėžti tiesę, lygiagrečią EH. Gauname MF pėdsaką (matomą). Nubrėžkite tiesią liniją per taškus M ir F.

Šešiakampis MNHEPF yra reikalinga sekcija.

Jei tęstume tiesę MN, kol ji susikirs su kita tiesia plokštuma (BCC1), BB1, gautume tašką G, priklausantį plokštumai (ABB1). Tai reiškia, kad per G ir P galime nubrėžti tiesę, kurios pėdsakas yra PF. Toliau nubrėžiame tiesias linijas per taškus, esančius lygiagrečiose plokštumose, ir gauname tą patį rezultatą.

Dirbant su tiesia PE, gaunama tokia pati sekcija MNHEPF.

4) Sukurkite kubo atkarpą su plokštuma, einančia per tašką M, N, P.

Čia galime nubrėžti tiesę per taškus M ir N, esančius toje pačioje plokštumoje (A1B1C1). Jos pėdsakas yra MN (matomas). Nebėra taškų, esančių toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiose plokštumose.

Tęskime tiesią MN. Jis yra plokštumoje (A1B1C1), todėl gali susikirsti tik su viena iš šios plokštumos tiesių. Jau yra susikirtimo taškai su A1D1 ir C1D1 – N ir M. Dar dvi šios plokštumos tiesės – A1B1 ir B1C1. A1B1 ir MN susikirtimo taškas yra S. Kadangi jis yra tiesėje A1B1, jis priklauso plokštumai (ABB1), o tai reiškia, kad per ją ir tašką P, esantį toje pačioje plokštumoje, galima nubrėžti tiesią liniją. Tiesė PS kerta kraštą AA1 taške E. PE yra jos pėdsakas (matomas). Per taškus N ir E, esančius toje pačioje plokštumoje (ADD1), galite nubrėžti tiesę, kurios pėdsakas yra ŠV (nematomas). Plokštumoje (ADD1) yra tiesė NE, lygiagrečioje jai plokštumoje (BCC1) yra taškas P. Per tašką P galime nubrėžti tiesę PL, lygiagrečią NE. Jis kerta kraštą CC1 taške L. PL yra šios linijos pėdsakas (matomas). Taškai M ir L yra toje pačioje plokštumoje (CDD1), o tai reiškia, kad per juos galima nubrėžti tiesią liniją. Jos pėdsakas yra ML (nematomas). Pentagon MLPEN yra reikalinga sekcija.

Buvo galima tęsti tiesę NM abiem kryptimis ir ieškoti jos susikirtimo taškų ne tik su tiesia A1B1, bet ir su tiesia linija B1C1, kuri taip pat yra plokštumoje (A1B1C1). Šiuo atveju per tašką P iš karto nubrėžiame dvi linijas: vieną plokštumoje (ABB1) per taškus P ir S, o antrąją plokštumoje (BCC1), per taškus P ir R. Po to belieka sujungti taškai, esantys toje pačioje plokštumoje: M c L, E - su N.

Kaip žinote, bet kurio matematikos egzamino pagrindinė dalis yra problemų sprendimas. Gebėjimas spręsti problemas yra pagrindinis matematinio išsivystymo lygio rodiklis.

Gana dažnai mokykliniuose, taip pat universitetuose ir technikume laikomuose egzaminuose pasitaiko atvejų, kai studentai, parodantys gerus teorijos rezultatus, žinantys visus reikiamus apibrėžimus ir teoremas, sutrinka spręsdami labai paprastas problemas. .

Per mokymosi metus kiekvienas mokinys išsprendžia daugybę problemų, tačiau tuo pačiu metu visiems mokiniams siūlomos tos pačios užduotys. O jei kai kurie mokiniai mokosi Bendrosios taisyklės ir problemų sprendimo būdus, tada kiti, susidūrę su nepažįstamo tipo problema, net nežino, kaip prie jos prieiti.

Viena iš šios situacijos priežasčių yra ta, kad kai kurie mokiniai gilinasi į problemos sprendimo procesą ir bando suvokti bei suprasti bendrosios technikos ir jų sprendimo būdus, tada kiti apie tai negalvoja, stengiasi kuo greičiau išspręsti siūlomas problemas.

Daugelis studentų neanalizuoja sprendžiamų problemų ir nenustato bendrų jų sprendimo būdų bei metodų. Tokiais atvejais problemos sprendžiamos tik siekiant gauti norimą atsakymą.

Pavyzdžiui, daugelis studentų net nežino, kokia yra statybos problemų sprendimo esmė. Bet statybos uždaviniai yra privalomos stereometrijos kurso užduotys. Šios problemos yra ne tik gražios ir originalios savo sprendimo būdais, bet ir turi didelę praktinę vertę.

Konstravimo užduočių dėka vystosi gebėjimas mintyse įsivaizduoti vieną ar kitą. geometrinė figūra, vystosi erdvinis mąstymas, loginis mąstymas, taip pat geometrinė intuicija. Statybos problemos lavina praktinius problemų sprendimo įgūdžius.

Statybos problemos nėra paprastos, nes nėra vienos taisyklės ar algoritmo joms spręsti. Kiekviena nauja užduotis yra unikali ir reikalauja individualaus požiūrio į sprendimą.

Bet kurios statybos problemos sprendimo procesas yra kai kurių tarpinių konstrukcijų seka, vedanti į tikslą.

Daugiakampių atkarpų konstravimas grindžiamas šiomis aksiomomis:

1) Jei du tiesės taškai yra tam tikroje plokštumoje, tai visa tiesė yra šioje plokštumoje;

2) Jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tada jos susikerta išilgai tiesės, einančios per šį tašką.

Teorema: Jei dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečioji plokštuma, tai susikirtimo tiesės yra lygiagrečios.

Sukurkite daugiakampio atkarpą su plokštuma, einančia per taškus A, B ir C. Apsvarstykite šiuos pavyzdžius.

Atsekimo metodas

aš. Sukurti prizmės skerspjūvis plokštuma, einanti per duotąją tiesę g (pėdsakas) vieno iš prizmės pagrindų ir taško A plokštumoje.

1 atvejis.

Taškas A priklauso kitam prizmės pagrindui (arba paviršiui, lygiagrečiam tiesei g) - pjovimo plokštuma kerta šį pagrindą (veidą) išilgai atkarpos BC, lygiagrečiai pėdsakui g .

2 atvejis.

Taškas A priklauso šoniniam prizmės paviršiui:

Tiesės AD atkarpa BC yra šio paviršiaus sankirta su pjovimo plokštuma.

3 atvejis.

Statant keturkampės prizmės pjūvį su plokštuma, einančia per tiesę g prizmės apatinio pagrindo plokštumoje ir tašką A vienoje iš šoninių kraštinių.

II. Sukurti piramidės skerspjūvis plokštuma, einanti per nurodytą tiesę g (pėdsakas) piramidės pagrindo ir taško A plokštumoje.

Norint sukonstruoti piramidės atkarpą su plokštuma, pakanka sukonstruoti jos šoninių paviršių susikirtimo vietas su pjovimo plokštuma.

1 atvejis.

Jei taškas A priklauso paviršiui, lygiagrečiam tiesei g, tai pjovimo plokštuma kerta šį paviršių išilgai atkarpos BC lygiagrečiai g pėdsakui.

2 atvejis.

Jei taškas A, priklausantis atkarpai, yra paviršiuje, kuris nėra lygiagretus pėdsako g paviršiui, tada:

1) sukonstruotas taškas D, kuriame veido plokštuma kerta duotąjį pėdsaką g;

2) nubrėžkite tiesią liniją per taškus A ir D.

Tiesės AD atkarpa BC yra šio paviršiaus sankirta su pjovimo plokštuma.

Atkarpos BC galai taip pat priklauso gretimiems paviršiams. Todėl, naudojant aprašytą metodą, galima sukonstruoti šių paviršių sankirtą su pjovimo plokštuma. ir kt.

3 atvejis.

Statant keturkampės piramidės atkarpą su plokštuma, einančia per pagrindo kraštinę ir tašką A vienoje iš šoninių briaunų.

Problemos, susijusios su atkarpų konstravimu per tašką ant veido

1. Sukurkite tetraedro ABCD atkarpą plokštuma, einančia per viršūnę C ir taškus M ir N atitinkamai paviršiuose ACD ir ABC.

Taškai C ir M yra ant veido ACD, o tai reiškia, kad tiesė CM yra šio veido plokštumoje (1 pav.).

Tegul P yra tiesių CM ir AD susikirtimo taškas. Panašiai taškai C ir N yra veide ACB, o tai reiškia, kad tiesė CN yra šio veido plokštumoje. Tegul Q yra tiesių CN ir AB susikirtimo taškas. Taškai P ir Q priklauso ir pjūvio plokštumai, ir paviršiui ABD. Todėl segmentas PQ yra atkarpos pusė. Taigi, trikampis CPQ yra reikalinga sekcija.

2. Sukurkite tetraedro ABCD pjūvį pagal plokštumą MPN, kur taškai M, N, P yra atitinkamai briaunoje AD, paviršiuje BCD ir paviršiuje ABC, o MN nėra lygiagreti plokštumai ABC (2 pav.).

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip sukurti daugiakampio skerspjūvį?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Ar žinote, kas vadinama daugiakampio pjūviu pagal plokštumą? Jei vis dar abejojate savo atsakymo į šį klausimą teisingumu, galite pasitikrinti gana paprastai. Siūlome atlikti trumpą testą žemiau.

Klausimas. Koks yra figūros, rodančios gretasienio pjūvį plokštuma, skaičius?

Taigi, teisingas atsakymas yra 3 paveiksle.

Jei atsakysite teisingai, tai patvirtina, kad suprantate, su kuo kalbate. Deja, net ir teisingas atsakymas į testo klausimą negarantuoja aukščiausių įvertinimų pamokose tema „Daugiakampių pjūviai“. Juk sunkiausia atpažinti ne pjūvius baigtuose brėžiniuose, nors tai irgi labai svarbu, o jų konstrukcija.

Pirmiausia suformuluosime daugiakampio atkarpos apibrėžimą. Taigi, daugiakampio atkarpa yra daugiakampis, kurio viršūnės yra daugiakampio kraštuose, o kraštinės yra ant jo paviršių.

Dabar pasitreniruokime greitai ir tiksliai konstruoti sankirtos taškus duota tiesė su duota plokštuma. Norėdami tai padaryti, išspręskime šią problemą.

Sukurkite tiesės MN susikirtimo taškus su trikampės prizmės ABCA 1 B 1 C 1 apatinio ir viršutinio pagrindo plokštumais, jei taškas M priklauso šoninei briaunai CC 1, o taškas N priklauso briaunai BB 1.

Pradėkime nuo tiesės MN pratęsimo į abi puses brėžinyje (1 pav.). Tada, norėdami gauti problemai reikalingus susikirtimo taškus, pratęsiame linijas, esančias viršutiniame ir apatiniame pagrinduose. Ir dabar ateina pats sunkiausias momentas sprendžiant problemą: kurias eilutes abiejose bazėse reikia pratęsti, nes kiekviena iš jų turi tris eilutes.

Norint teisingai užbaigti paskutinį statybos žingsnį, būtina nustatyti, kurios iš tiesioginių bazių yra toje pačioje plokštumoje su mus dominančia tiese MN. Mūsų atveju tai yra tiesus CB apatinėje ir C 1 B 1 viršutinėje bazėje. Ir kaip tik tuos pratęsiame tol, kol jie susikerta su tiese NM (2 pav.).

Gauti taškai P ir P 1 yra tiesės MN susikirtimo taškai su trikampės prizmės ABCA 1 B 1 C 1 viršutinio ir apatinio pagrindo plokštumais.

Išanalizavę pateiktą problemą, galite pereiti tiesiai prie daugiakampių atkarpų konstravimo. Svarbiausia čia bus samprotavimai, kurie padės pasiekti norimą rezultatą. Dėl to galiausiai bandysime sukurti šabloną, kuris atspindėtų veiksmų seką sprendžiant tokio tipo problemas.

Taigi, panagrinėkime šią problemą. Sukurkite trikampės prizmės ABCA 1 B 1 C 1 pjūvį plokštuma, einančia per taškus X, Y, Z, priklausančius atitinkamai kraštinėms AA 1, AC ir BB 1.

Sprendimas: Nubraižykime brėžinį ir nustatykime, kurios taškų poros yra toje pačioje plokštumoje.

Taškų X ir Y, X ir Z poras galima sujungti, nes jie guli toje pačioje plokštumoje.

Sukonstruokime papildomą tašką, kuris bus tame pačiame paviršiuje kaip ir taškas Z. Norėdami tai padaryti, prailginsime linijas XY ir CC 1, nes jie guli veido plokštumoje AA 1 C 1 C. Gautą tašką vadinkime P.

Taškai P ir Z yra toje pačioje plokštumoje – veido CC 1 B 1 B plokštumoje. Todėl galime juos sujungti. Tiesė PZ kerta briauną CB tam tikrame taške, pavadinkime jį T. Taškai Y ir T yra apatinėje prizmės plokštumoje, juos sujunkite. Taip susidarė keturkampis YXZT, ir tai yra norima atkarpa.

Apibendrinti. Norėdami sukurti daugiakampio atkarpą su plokštuma, turite:

1) nubrėžkite tiesias linijas per taškų poras, esančias toje pačioje plokštumoje.

2) raskite tieses, iš kurių susikerta daugiakampio pjūvio plokštumos ir paviršiai. Norėdami tai padaryti, turite rasti pjūvio plokštumai priklausančios tiesės susikirtimo taškus su tiesia linija, esančia viename iš veidų.

Daugiakampių pjūvių konstravimo procesas yra sudėtingas, nes kiekviename konkretus atvejis tai yra kitaip. Ir jokia teorija to neaprašo nuo pradžios iki galo. Tikrai yra tik vienas teisingu keliu mokymasis greitai ir tiksliai konstruoti bet kurio daugiakampio atkarpas yra nuolatinė praktika. Kaip daugiau skyrių statysite, tuo lengviau galėsite tai padaryti ateityje.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

1. Pozicinės problemos samprata. Prisiminkite, kad lėktuvas vadinamas pjovimo plokštuma daugiakampis, jei abiejose šios plokštumos pusėse yra daugiakampio taškai. Daugiakampio pjūvis Plokštuma yra daugiakampis, kurio kraštinės yra atkarpos, išilgai kurių pjovimo plokštuma kerta daugiakampio paviršius.

Fig. 30 pavaizduota trikampė prizmė. (Šiame projekcijos brėžinyje taškų vaizdai žymimi tomis pačiomis raidėmis kaip ir atitinkami originalūs taškai). Įsivaizduokime, kad reikia pažymėti taškus: a) M, guli ant krašto; b) N, guli į veidą; c) guli prizmės viduje.

Jei pavaizduotume šiuos taškus taip, kaip parodyta paveiksle a), tada tik apie tašką M galime apytiksliai pasakyti, kad jis guli ant ribos . Taško padėtis N Ir K Iš šios nuotraukos neįmanoma nustatyti. b) paveikslas jau leidžia daryti išvadą, kad taškas N guli veide, o esmė yra

prizmės viduje. Kaip galima padaryti tokias išvadas? Faktas yra tas, kad antrame paveikslėlyje mes nustatome taškų projekcijas N Ir Kį pagrindinę plokštumą, lygiagrečią šoniniams prizmės kraštams. Griežtai kalbant, siekiant įsitikinti, kad esmė M guli ant ribos, vien vizualinio suvokimo taip pat nepakanka. (Projekte, su kuriuo buvo padarytas prizmės vaizdas, taškas M tarnauja kaip bet kurio taško projekcija tiesėje, lygiagrečioje projektavimo krypčiai ir einančioje per ją.)

Jei nurodysime, kad projektuojant lygiagrečiai šoniniams prizmės kraštams, taškas M projektuojamas ant pagrindo taške A, tada atsiranda toks pasitikėjimas.

Panaši situacija parodyta fig. 31. Čia reikia pažymėti taškus: a) M ant šoninio krašto S.A.; b) N- ant ribos SAB;
V) KAM- piramidės viduje. Skirtumas tas, kad dešinėje figūroje naudojama centrinė pažymėtų taškų projekcija į piramidės pagrindo plokštumą nuo jos viršaus S.

Kad vaizdas būtų aiškus, aptartuose pavyzdžiuose reikia naudoti ne vieną dizainą, o du. Pirmasis dizainas, kurio pagalba daromas daugiakampio vaizdas, vadinamas išorės Antrasis dizainas yra pagalbinio pobūdžio. Tai siejama su pačia figūra - tai, kaip taisyklė, yra projekcija į plokštumą, kurioje yra vienas iš daugiakampio paviršių. Susidursime tik su prizmėmis ir piramidėmis, o dažniausiai tokią plokštumą pasirenkame jų pagrindo plokštumą. Pagalbinis projektavimas vadinamas vidinis. Iš nagrinėjamų pavyzdžių aišku, kad prizmei patogu naudoti vidinį lygiagretų dizainą, o piramidei - centrinį.

Leisti F 0 – tam tikra figūra erdvėje, kuri lygiagrečiai projektuojama į plokštumą p(išorinis dizainas). Kad figūros vaizdas būtų aiškus, erdvėje pasirenkame ne plokštumą, o tam tikrą plokštumą p, ir apsvarstykite naują, lygiagrečią arba centrinę figūros taškų dizainą F 0 į šią plokštumą (vidinė projekcija).

Apsvarstykite erdvės tašką M 0 ir jo projekcija į plokštumą p 0 ¢ vidaus projektavimo metu. Projektuokime abu šiuos taškus į plokštumą p. Šiuo atveju projekcija M taškų M 0 vadinamas pagrindinis(arba tiesiog projekcija), ir projekcija M¢ taškai – antraeilis.

Jei dėl taško M 0 figūrų F 0 jo projekcija ir antrinė projekcija yra žinomos, tada iš vaizdo galime spręsti apie šio taško padėtį originale. Šiuo atveju jie sako, kad esmė M 0, priklausantis figūrai F 0 yra duota ant projekcijos brėžinio. Figūros vaizdas F 0, ant kurio pateiktas kiekvienas figūros taškas, vadinamas pilnas.

Projekciniuose brėžiniuose dažnai tenka spręsti įvairių figūrų sankirtos suradimo problemas. Tokios užduotys vadinamos pozicinis. Jei kuris nors vaizdas yra baigtas, bet kokia padėties problema gali būti išspręsta šiame paveikslėlyje.

Baigdami atkreipiame dėmesį į tai. Jeigu M 0 ¢ , N 0 ¢, K 0 ¢, ... – taškų vaizdai M 0 , N 0 , K 0 , ... vidinio dizaino, tada išorinio dizaino (lygiagrečiai) vaizdams MM¢, NN¢, KK¢, ... lygiagrečios linijos M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... ant paviršiaus p taip pat bus lygiagreti. Jeigu M 0 ¢, N 0 ¢, K 0 ¢, ... – taškų vaizdai M 0 , N 0 , K 0, ... su vidine centrine konstrukcija su centru S 0, tada vaizdai MM¢, NN¢, KK¢, ... tiesioginis M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... išorinio projektavimo metu susikerta plokštumoje p vienu metu S.Šis taškas bus taško vaizdas S 0 .

Iš padėties problemų mus domins tik problemos, susijusios su daugiakampių atkarpų konstravimu. Panagrinėkime pagrindinius tokių sekcijų kūrimo būdus. Paprastai, sprendžiant stereometrines problemas, figūros taškų vaizdai projekcijos brėžinyje žymimi tomis pačiomis raidėmis, kaip ir atitinkami taškai pirminėje figūroje. Šios taisyklės laikysimės ir ateityje.

2. Atkarpų konstravimas pagal lygiagrečių tiesių ir plokštumų savybes.Šis metodas ypač dažnai taikomas statant gretasienio atkarpas. Tai paaiškinama tuo, kad priešingos gretasienio kraštinės yra lygiagrečios. Pagal teoremą apie lygiagrečių plokštumų susikirtimą su trečiąja plokštuma, lygiagrečių paviršių susikirtimo linijos yra lygiagrečios atkarpos.

Užduotis 1. Keturkampės piramidės pagrindas SABCD yra lygiagretainis. Sukurkite piramidės atkarpą su plokštuma, einančia per tašką, esantį ant šoninio krašto AS, lygiagrečiai įstrižai BD pagrindu.

Kiek tokių lėktuvų galima pastatyti? Kokias formas galima gauti skerspjūvyje?

Sprendimas. Piramidės pagrindo plokštumoje nubrėžiame savavališką tiesią liniją a, lygiagrečiai įstrižai BD. Per šią liniją ir tašką eina plokštuma a, ir vienintelis toks. Remiantis tiesės ir plokštumos lygiagretumu, taigi ir plokštuma a yra tai, ko mes ieškome.

Pagrindo plokštumoje yra be galo daug tiesei lygiagrečių tiesių B.D. todėl problemos sąlygas tenkinančių plokštumų yra be galo daug.

Pjūvyje gauto daugiakampio tipas priklauso nuo plokštumos susikertančių paviršių skaičiaus a. Kadangi keturkampė piramidė turi penkis paviršius, skerspjūvis gali sudaryti trikampius, keturkampius ir penkiakampius.

Fig. 32 pavaizduoti įvairūs tiesios linijos atvejai a lygiagretainio atžvilgiu ABCD. Akivaizdu, kad priklausomai nuo šios vietos, bus nustatytas daugiakampio atkarpos tipas.

Kairėje, pav. 33 atvejis nagrinėjamas, kai tiesioji linija a 1 kerta šonus REKLAMA,AB taškuose M, N atitinkamai ir yra su tašku toje pačioje puserdvėje su riba BSD. Čia skerspjūvis yra trikampis MKN.

Dešiniajame paveiksle parodytas atvejis, kai tiesi linija a 3 guli su tašku išilgai skirtingos pusės iš lėktuvo BSD ir kerta šonus DC, B.C. bazės taškuose M, N atitinkamai. Pažymėkime pagal X tiesių susikirtimo taškas REKLAMA Ir a 3 . Kadangi jis yra tiesus REKLAMA guli veido plokštumoje A.S.D., tada esmė slypi šiame veide X. Kita vertus, taškas X priklauso linijai a 3 guli pjovimo plokštumoje. Todėl tiesi linija bus pjovimo plokštumos ir veido plokštumos susikirtimo linija ASD. Tai leidžia jums rasti tašką R = SDÇ KX. Panašiai taškas leidžia sukurti viršūnę TÎ B.S. norimą skyrių. Nagrinėjamu atveju pjovimo plokštuma kerta visus piramidės paviršius, o pjūvis yra penkiakampis.

Kiti santykinės linijos padėties atvejai a ir patys ištirkite piramidės pagrindą.

Panagrinėkime specialius sekcijų konstravimo būdus.

4. Pėdsakų metodas. Jei pjovimo plokštuma nėra lygiagreti daugiakampio paviršiui, tai ji kerta šio paviršiaus plokštumą tiesia linija. Tiesi linija, išilgai kurios pjovimo plokštuma kerta daugiakampio paviršiaus plokštumą, vadinama sekdami pjovimo plokštumąšio veido plokštumoje. Vienas iš daugiakampio atkarpų konstravimo būdų yra pagrįstas pjovimo plokštumos pėdsakų panaudojimu vieno iš jos paviršių plokštumoje. Dažniausiai statant prizmės ir nupjautinės piramidės pjūvius tokia plokštuma pasirenkama apatinio pagrindo plokštuma, o piramidės atveju – jos pagrindo plokštuma.

Pažvelkime į sekcijų konstravimą naudojant sekimo metodą naudodami pavyzdžius.

Užduotis 2. Pateiktas keturkampės prizmės vaizdas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Nurodykite tris taškus, priklausančius skirtingiems šoniniams paviršiams, ir sukurkite atkarpą, einančią per šiuos tris taškus.

Sprendimas. Prisiminkime, kad norint nurodyti tašką projekcijos brėžinyje, būtina nurodyti jo pirminę ir antrinę projekcijas. Prizmės atveju sutarėme naudoti vidinį lygiagretų dizainą, kad būtų nurodytos antrinės projekcijos. Todėl nustatyti tašką M, guli į veidą ABB 1 A 1, nurodykite jo projekciją M 1 ant pagrindinės plokštumos, lygiagrečios šoniniams prizmės kraštams. Taškai nustatomi taip pat N Ir K, guli veiduose REKLAMA 1 D.A. 1 , CDD 1 C 1 atitinkamai (34 pav.). Sukonstruokime pjovimo plokštumos pėdsaką prizmės apatinio pagrindo plokštumoje. Lygiagrečios linijos MM 1 yra toje pačioje plokštumoje, todėl bendruoju atveju tiesės susikerta tam tikru tašku X. Kadangi tiesi linija yra pjovimo plokštumoje, o tiesi - apatinio pagrindo plokštumoje, tada taškas X priklauso pjovimo plokštumos pėdsakui prizmės apatinio pagrindo plokštumoje. Lygiai taip pat taškai K, N ir jų antrinės projekcijos K 1 , N 1 leidžia rasti antrą tašką Y, priklausantis norimam pėdsakui.

Tiesiai AB, guli į veidą ABB 1 A 1, kerta taką XY taške Z, todėl tiesūs MZ guli veido plokštumoje ABB 1 A 1 ir sekantinėje plokštumoje. Linijos segmentas TR, Kur T = MZÇ A.A. 1 , P = MZÇ BB 1 bus atkarpos daugiakampio kraštinė. Toliau nuosekliai statome jo šonus TR Ir RQ, einantis per šiuos taškus N Ir K atitinkamai. Galiausiai pastatome šoną PQ.

3 problema . Pateikiamas penkiakampės piramidės vaizdas SABCDE. Nustatykite taškus N Ir K, priklausantis šoniniams kraštams S.C., SD atitinkamai taškas M, guli į veidą ASE. Sukurkite atkarpą, einančią per duotus taškus.

Sprendimas. Norėdami nustatyti taškus K,N Ir M Naudokime vidinę centrinę projekciją, kurios centras yra piramidės viršuje. Šiuo atveju taškų projekcijos K Ir N bus taškai D Ir C, ir taško projekcija M– taškas (35 pav.).

Linijos ir gulėjimas plokštumoje paprastai susikerta taške X, guli pjovimo plokštumoje. Kita vertus, taškas X yra pagrindo plokštumoje, taigi, jis priklauso slenkančios plokštumos pėdsakui pagrindo plokštumoje. Antrasis norimo pėdsako taškas bus taškas. Tiesiai AE, guli į veidą ASE piramides, kerta taką XY taške Z. Tiesios linijos brėžimas ZM, surask šoną LP daugiakampis-pjūvis. Norėdami rasti atkarpos viršūnę, sukonstruojame tašką, o po to tiesę.

5. Vidaus projektavimo metodas.Šio metodo esmė ta, kad čia, naudojant vidinę projekciją, pjūvių taškai ieškomi pagal jų žinomas antrines projekcijas. Vidaus projektavimo metodą ypač patogu naudoti tais atvejais, kai pjovimo plokštumos pėdsakas yra toli nuo nurodytos figūros. Šis metodas taip pat būtinas, kai kai kurios linijos, kuriose yra daugiakampio pagrindo kraštinės, kerta pėdsaką už brėžinio ribų. Pažvelkime į metodo taikymą naudodami pavyzdžius.

4 uždavinys. Pateiktas šešiakampės prizmės vaizdas ir trys taškai, esantys trijuose šoniniuose paviršiuose, iš kurių nėra dviejų gretimų. Sukurkite prizmės atkarpą su plokštuma, einančia per duotus taškus.

Sprendimas. Tegu duotus taškus M,L,K guli veiduose , , , ir M¢,L¢,K¢– jų antrinės projekcijos
(36 pav.).

Raskime tašką, kuriame pjovimo plokštuma kerta šoninę briauną. Norėdami tai padaryti, naudodami vidinę taško projekciją, randame pagrindinę projekciją X, guli pjovimo plokštumoje. Ieškomas taškas X yra tiesės, einančios per tašką, susikirtimo taškas X¢ lygiagrečiai šoniniams prizmės kraštams ir tiesūs M.L., guli pjovimo plokštumoje. Taškas X leidžia sukurti viršūnę, o tada šoną QR skyriuose. Panašiai, naudodami tašką, sukuriame tašką Y, tiesus KY ir surask viršūnę R skyriuose. Toliau statomi šonai PQ Ir P.O. skyriuose.

Likusias konstrukcijas atliekame tokia seka:

1) pastatyti tašką Z¢=AK¢Ç BD;

2) rasti tašką Z (ZÎ PK);

3) atliekame tiesioginį OZ ir surask viršūnę S (SÎ DD 1) sekcijos;

4) nuosekliai statykite šonus S.R.,ST Ir KAM skyriuose.

5 problema . Pateiktas keturkampės piramidės ir trijų jos šoninėse briaunose esančių taškų vaizdas. Sukurkite atkarpą, einančią per duotus taškus.

Sprendimas. Leisti S.A.B.C.D.ši piramidė ir M,N, K– taško duomenys (37 pav.). Antrinės taškų projekcijos M, N, K vidinėje centrinėje projekcijoje iš viršaus S taškai bazinėje plokštumoje A, C Ir D atitinkamai. Atkreipkite dėmesį, kad šioje problemoje šonai ir KN sekcijos iš karto statomos. Belieka tik rasti atkarpos viršūnę L, guli ant šoninio krašto S.B.. Norėdami tai padaryti, mes sukonstruosime tašką ir "pakelsime" jį į pjovimo plokštumą naudodami vidinę projekciją. Taško išankstinis vaizdas X¢šiuo atveju svarbiausia bus centrinis dizainas X = X¢SÇ MN. Viršūnė L, priklausantis kraštui S.B., guli ant tiesios linijos KX.

6. Kombinuotas metodas. Šio metodo esmė – sekimo metodą arba vidinio projektavimo metodą derinti su konstrukcijomis, pagrįstomis lygiagrečių tiesių ir plokštumų savybėmis.

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį.

6 uždavinys. Taškas M yra krašto vidurio taškas REKLAMA Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Sukurkite kubo atkarpą su plokštuma, einančia per tašką M lygiagrečiai įstrižai ВD pagrindai ir įstrižainės AB 1 šoninis kraštas AA 1 IN 1 IN.

Sprendimas. Pjovimo plokštuma a lygiagrečiai įstrižai BD bazę ir eina per tašką M, taip pat guli prie pagrindo, todėl kerta pagrindą tiesia linija
(38 pav.).

Tiesiai l bus lėktuvo pėdsakas a kubo apatinio pagrindo plokštumoje. Pažymėkime. Trasa m lėktuvas a veido plokštumoje ABB 1 A 1 yra sukonstruotas panašiai. Šis takas eina per tašką N, lygiagrečiai AB 1 . Pažymėkime.

Galite tęsti ruožo statybą nesinaudodami specialius metodus. Tačiau mes naudosime pėdsakų metodą. Tegul būna tiesiai Saulė kerta taką l taške X. Taškai X ir norimą plokštumą a taip pat guli veido plokštumoje VSS 1 IN 1 . Pažymėkime pagal L linijos ir briaunos susikirtimo taškas IN 1 SU 1 . Toliau patogu naudoti teoremą apie dviejų lygiagrečių plokštumų susikirtimą su trečiąja plokštuma. Remiantis šia teorema, . Čia RÎ DD 1 ,PÎ C 1 D 1 .

Įrodykite, kad atkarpoje gautas šešiakampis yra taisyklingas.

Apskritimo vaizdas

1. Elipsė ir jos savybės. Vaizduodami cilindrą, kūgį ir rutulį (rutulį), turėsime piešti elipses. Galima apibrėžti elipsę Skirtingi keliai. Sumažinkime apibrėžimą suglaudindami plokštumą iki tiesės.

Elipsė vadinama linija, kuri yra apskritimo vaizdas, kai plokštuma suspausta iki tiesės, einančios per apskritimo centrą (39 pav.).

Jei pateikiamas apskritimas, tiesi linija, einanti per jo centrą, ir suspaudimo laipsnis, naudojant aukščiau pateiktą apibrėžimą, lengva sukurti bet kurio nurodyto apskritimo taško vaizdą. Sukūrę kelis vaizdo taškus ir sujungę juos lygia linija, galite nubrėžti elipsę, kuri yra apskritimo vaizdas.

Oxy kad jos ašis Jautis sutapo su tiesioginiu suspaudimu l, ir pradžia APIE buvo apskritimo centras w spindulys a(40 pav.). Šioje koordinačių sistemoje apskritimas w nustatomas pagal lygtį: arba

Tai reiškia, kad bet kuris taškas, kurio koordinatės atitinka (1) lygtį, priklauso apskritimui w, o taškas, kurio koordinatės netenkina (1), nepriklauso.

Leisti yra suspaudimo laipsnis, yra savavališkas plokštumos taškas ir M 0 – jo projekcija į tiesę l. Suspaudus iki taško M eina iki tokio taško . Kadangi jis yra tiesus MM 1 lygiagrečiai ašiai Oy, tada , ir projekcija M 0 iš šių taškų suspaudimo linijoje Jautis nustatoma pagal koordinates.

Iš čia, . Todėl suspaudimo formulės turi formą

Ir atvirkščiai, formulės (2) nustato plokštumos suspaudimą prie ašies Jautis su suspaudimo laipsniu , kuriame taškas eina į tašką .

Iš šių formulių,. Pakeitimas x Ir yį lygtį (1), gauname: . Tai reiškia, kad taško koordinatės M 1, kuris yra apskritimo taško vaizdas, tenkina lygtį

Kur. Tai lygtis sistemoje Oxy apibrėžia elipsę g, kuris gaunamas suspaudus apskritimą w prie ašies Jautis. Prisiminkite, kad (3) lygtis vadinama kanoninė elipsės lygtis.

Naudodami kanoninę elipsės lygtį galite ištirti jos geometrines savybes. Prisiminkime kai kurias sąvokas, susijusias su elipsėmis ir jos savybėmis.

Tegul elipsė g stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiama kanonine lygtimi (3). Nes x Ir yĮvesdami į šią lygtį iki antrojo laipsnio, galime padaryti tokias išvadas.

Jei , tada О g(41 pav.). Iš to išplaukia, kad kilmė APIE yra elipsės simetrijos centras. Elipsės simetrijos centras vadinamas jos centras.

Jei tada , . Iš to seka tiesios linijos Jautis Ir Oy yra elipsės simetrijos ašys. Elipsės simetrijos ašys vadinamos jos kirvius. Kiekviena ašis kerta elipsę dviejuose taškuose. Ašis Jautis turi lygtį , todėl iš (3) lygties taškų abscisei A 1 , A 2 turime sankryžų. Iš čia A 1 (a;0), A 2 (–a;0). Panašiai matome, kad ašis Oy taškuose kerta elipsę IN 1 (0;b) Ir IN 2 (0;–b). Elipsės ir jos ašių susikirtimo taškai vadinami viršūnės elipsė. Segmentai A 1 A 2 ir IN 1 IN 2 taip pat skambino elipsės ašys. Elipsės centras APIE yra kiekvieno iš šių atkarpų bendras vidurio taškas.

Atkarpa, kurios galai priklauso elipsei, vadinama akordasši elipsė. Elipsės styga, einanti per jos centrą, vadinama elipsės skersmuo. Reiškia, Elipsės ašys yra viena kitai statmenos jos skersmenys.

Atkreipkite dėmesį, kad mes turime . Tokiu atveju A 1 A 2 >B 1 B 2 ir segmentai A 1 A 2 , B 1 B 2 yra atitinkamai pavadinti didžiosios ir mažosios ašys elipsė. Tokiu atveju skaičiai vadinami atitinkamai didžiosios ir mažosios ašys elipsė. Kai, priešingai,. Čia ašių pavadinimai atitinkamai keičiasi.

Panagrinėkime elipsės parametrines lygtis ir elipsės taškų konstravimo būdą jomis remiantis.

Tegul segmentai A 1 A 2 ir IN 1 IN 2 yra elipsės ašys. Sukurkime ant jų koncentrinius apskritimus, kaip ir ant skersmenų. w 1 ir w 2 atitinkamai (42 pav.). Apsvarstykite spindulį h pradedant nuo taško APIE. Šis spindulys kerta apskritimus w 1 ir w 2 taškuose M 1 ir M 2. Per tašką M 1 nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią šalutinei ašiai IN 1 IN 2, ir per tašką M 2 – tiesi linija, lygiagreti pagrindinei ašiai A 1 A 2. Parodykime tą esmę Mšių tiesių sankirta priklauso elipsei su nurodytomis ašimis.

Pasirinkime stačiakampę koordinačių sistemą Oxy pradedant nuo taško APIE. Tegul šioje sistemoje yra taškas M turi koordinates ( x;y). Toliau leiskite spindulį h formuoja su spinduliu OA 1 kampas t. Jei tada , . Nuo taškų M Ir M 1 turi vienodas abscises ir taškus M Ir M 2 – lygios ordinatės,

Iš lygybių (4) , , todėl dėl pagrindinės trigonometrinė tapatybė turime, t.y. sukonstruotas taškas priklauso elipsei su pusiau ašimis a Ir b.

Už bet kokią vertę tÎ}