Lygiagretainio priešingų kraštinių savybė. Apskaičiuokite lygiagretainio kampų ir ploto sumą: savybės ir charakteristikos

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios, t.y. guli ant lygiagrečių linijų

Lygiagretainio savybės:
22 teorema. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios.
Įrodymas. Lygiagretainyje ABCD nubrėžiame įstrižainę AC. Trikampiai ACD ir ACB yra kongruentiški, nes turi bendrą kraštinę AC ir dvi lygių kampų poras. greta jo: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (kaip skersiniai kampai su lygiagrečiomis tiesėmis AD ir BC). Tai reiškia, kad AB = CD ir BC = AD, kaip atitinkamos lygių trikampių kraštinės ir kt. Iš šių trikampių lygybės taip pat išplaukia, kad atitinkami trikampių kampai yra lygūs:
23 teorema. Lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs: ∠ A=∠ C ir ∠ B=∠ D.
Pirmosios poros lygybė gaunama iš trikampių ABD ir CBD lygybės, o antrosios - ABC ir ACD.
24 teorema. Gretimi lygiagretainio kampai, t.y. kampai, esantys šalia vienos pusės, sudaro 180 laipsnių.
Taip yra todėl, kad jie yra vidiniai vienpusiai kampai.
25 teorema. Lygiagretainio įstrižainės viena kitą dalija susikirtimo taške.
Įrodymas. Apsvarstykite trikampius BOC ir AOD. Pagal pirmąją savybę AD=BC ∠ OAD=∠ OCB ir ∠ ODA=∠ OBC guli kryžmai lygiagrečioms tiesėms AD ir BC. Todėl trikampiai BOC ir AOD yra lygūs šoniniuose ir gretimuose kampuose. Tai reiškia, kad BO = OD ir AO = OS, kaip ir atitinkamos lygių trikampių kraštinės ir kt.

Lygiagretainio ženklai
26 teorema. Jei keturkampio priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai yra lygiagretainis.
Įrodymas. Tegu keturkampio ABCD kraštinės AD ir BC, AB ir CD atitinkamai lygios (2 pav.). Nubrėžkime įstrižainę AC. Trikampiai ABC ir ACD yra lygūs iš trijų kraštinių. Tada kampai BAC ir DCA yra lygūs, todėl AB lygiagreti CD. Kraštinių BC ir AD lygiagretumas išplaukia iš kampų CAD ir ACB lygybės.
27 teorema. Jei keturkampio priešingi kampai poromis lygūs, tai lygiagretainis.
Tegu ∠ A=∠ C ir ∠ B=∠ D. Kadangi ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, tada ∠ A+∠ B=180 o ir kraštinės AD ir BC lygiagrečios (remiantis tiesių lygiagretumu). Taip pat įrodysime kraštinių AB ir CD lygiagretumą ir padarysime išvadą, kad ABCD pagal apibrėžimą yra lygiagretainis.
28 teorema. Jeigu gretimi keturkampio kampai, t.y. Kampai, esantys greta vienos pusės, sudaro 180 laipsnių, tada tai yra lygiagretainis.
Jei vidiniai vienpusiai kampai sudaro 180 laipsnių, tiesios linijos yra lygiagrečios. Taigi AB lygiagreti CD, o BC lygiagreti AD. Keturkampis pagal apibrėžimą pasirodo esąs lygiagretainis.
29 teorema. Jei keturkampio įstrižainės susikirtimo taške dalija viena kitą, tai keturkampis yra lygiagretainis.
Įrodymas. Jei AO = OC, BO = OD, tai trikampiai AOD ir BOC yra lygūs, kaip turintys lygius (vertikalius) kampus viršūnėje O, uždarytus tarp lygių kraštinių porų. Iš trikampių lygybės darome išvadą, kad AD ir BC yra lygūs. Kraštinės AB ir CD taip pat yra lygios, o keturkampis pagal 1 kriterijų pasirodo lygiagretainiu.
30 teorema. Jei keturkampis turi porą lygiagrečių lygiagrečių kraštinių, tai jis yra lygiagretainis.
Tegul keturkampio ABCD kraštinės AB ir CD yra lygiagrečios ir lygios. Nubrėžkime įstrižaines AC ir BD. Iš šių tiesių lygiagretumo matyti, kad skersiniai kampai ABO = CDO ir BAO = OCD yra lygūs. Trikampiai ABO ir CDO yra lygūs šoniniuose ir gretimuose kampuose. Todėl AO=OS, VO=ОD, t.y. Įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško, o keturkampis pagal 4 kriterijų pasirodo lygiagretainiu.

Geometrijoje nagrinėjami ypatingi lygiagretainių atvejai.

Vaizdo įrašų kursas „Gaukite A“ apima visas jums reikalingas temas sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 60-65 balams. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visi būtina teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi triukai sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sprendimo pagrindas sudėtingos užduotys Vieningo valstybinio egzamino 2 dalys.

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis. Šio apibrėžimo jau pakanka, nes iš jo išplaukia likusios lygiagretainio savybės ir įrodomos teoremų forma.

Pagrindinės lygiagretainio savybės:

• lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis;
• Lygiagretainis turi priešingas kraštines, kurios yra lygios poromis;
• Lygiagrečiame priešingi kampai poromis lygūs;
• Lygiagretainio įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško.

Lygiagretainis – išgaubtas keturkampis

Pirmiausia įrodykime teoremą, kad lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis. Daugiakampis yra išgaubtas, jei bet kuri jo pusė yra pratęsta iki tiesios linijos, visos kitos daugiakampio kraštinės bus toje pačioje šios tiesios linijos pusėje.

Tegu pateikiamas lygiagretainis ABCD, kuriame AB yra priešinga CD kraštinė, o BC yra priešinga kraštinė AD. Tada iš lygiagretainio apibrėžimo išplaukia, kad AB || CD, BC || REKLAMA.

Lygiagrečios atkarpos neturi bendrų taškų ir nesikerta. Tai reiškia, kad CD yra vienoje AB pusėje. Kadangi atkarpa BC jungia atkarpos AB tašką B su atkarpos CD tašku C, o atkarpa AD jungia kitus taškus AB ir CD, atkarpos BC ir AD taip pat yra toje pačioje AB tiesės pusėje, kur yra CD. Taigi visos trys pusės – CD, BC, AD – guli toje pačioje AB pusėje.

Panašiai įrodyta, kad kitų lygiagretainio kraštinių atžvilgiu kitos trys kraštinės yra toje pačioje pusėje.

Priešingos pusės ir kampai yra lygūs

Viena iš lygiagretainio savybių yra ta Lygiagrečiame priešingos kraštinės ir priešingi kampai yra lygūs poromis. Pavyzdžiui, jei pateikiamas lygiagretainis ABCD, tada jis turi AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ši teorema įrodoma taip.

Lygiagretainis yra keturkampis. Tai reiškia, kad jis turi dvi įstrižaines. Kadangi lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis, bet kuris iš jų padalija jį į du trikampius. Apsvarstykite lygiagretainį ABCD trikampiai ABC ir ADC, gautas nubrėžus įstrižainę AC.

Šie trikampiai turi vieną bendrą kraštinę – AC. Kampas BCA lygus kampui CAD kaip vertikaliai su lygiagrečiais BC ir AD. Kampai BAC ir ACD taip pat lygūs vertikaliems kampams, kai AB ir CD yra lygiagrečiai. Todėl ∆ABC = ∆ADC dviem kampais ir kraštine tarp jų.

Šiuose trikampiuose kraštinė AB atitinka kraštinę CD, o kraštinė BC – AD. Todėl AB = CD ir BC = AD.

Kampas B atitinka kampą D, ty ∠B = ∠D. Lygiagretainio kampas A yra dviejų kampų – ∠BAC ir ∠CAD – suma. Kampas C yra lygus ∠BCA ir ∠ACD. Kadangi kampų poros yra lygios viena kitai, tai ∠A = ∠C.

Taigi įrodyta, kad lygiagretainio priešingos kraštinės ir kampai yra lygūs.

Įstrižainės dalijamos per pusę

Kadangi lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis, jis turi dvi įstrižaines ir jos susikerta. Duotas lygiagretainis ABCD, jo įstrižainės AC ir BD susikerta taške E. Apsvarstykite jų suformuotus trikampius ABE ir CDE.

Šių trikampių kraštinės AB ir CD yra lygios priešingoms lygiagretainio kraštinėms. Kampas ABE lygus kampui CDE, esantis skersai su lygiagrečiomis tiesėmis AB ir CD. Dėl tos pačios priežasties ∠BAE = ∠DCE. Tai reiškia, kad ∆ABE = ∆CDE dviem kampais ir šone tarp jų.

Taip pat galite pastebėti, kad kampai AEB ir CED yra vertikalūs, todėl taip pat lygūs vienas kitam.

Kadangi trikampiai ABE ir CDE yra lygūs vienas kitam, tai visi juos atitinkantys elementai yra lygūs. Pirmojo trikampio kraštinė AE atitinka antrojo trikampio kraštinę CE, o tai reiškia, kad AE = CE. Panašiai BE = DE. Kiekviena lygiagretainio atkarpų pora sudaro lygiagretainio įstrižainę. Taigi įrodyta, kad Lygiagretainio įstrižainės dalinamos pusiau pagal jų susikirtimo tašką.

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

Lygiagretainis turi visas keturkampių savybes, bet papildomai turi ir savo skiriamieji bruožai. Žinodami juos, nesunkiai rasime ir lygiagretainio kraštines, ir kampus.

Lygiagretainio savybės

1. Bet kurio lygiagretainio, kaip ir bet kurio keturkampio, kampų suma yra 360°.
2. Lygiagretainio vidurio linijos ir jo įstrižainės susikerta viename taške ir juo dalijasi pusiau. Šis taškas paprastai vadinamas lygiagretainio simetrijos centru.
3. Priešingos lygiagretainio kraštinės visada yra lygios.
4. Be to, ši figūra visada turi vienodus priešingus kampus.
5. Kampų, besiribojančių su bet kuria lygiagretainio kraštine, suma visada yra 180°.
6. Lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma lygi dvigubai dviejų gretimų jo kraštinių kvadratų sumai. Tai išreiškiama formule:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), kur d 1 ir d 2 yra įstrižainės, a ir b yra gretimos kraštinės.
7. Bukojo kampo kosinusas visada yra mažesnis už nulį.

Kaip praktiškai naudojant šias savybes rasti nurodyto lygiagretainio kampus? O kokios kitos formulės gali mums tai padėti? Pažiūrėkime į konkrečias užduotis, kurioms reikia: rasti lygiagretainio kampus.

Lygiagretainio kampų radimas

1 atvejis. Bukojo kampo matas yra žinomas, turime rasti smailųjį kampą.

Pavyzdys: Lygiagretainio ABCD kampas A yra 120°. Raskite likusių kampų matmenis.

Sprendimas: Naudodami savybę Nr. 5 galime rasti kampo B matą, esantį greta užduotyje pateikto kampo. Jis bus lygus:

• 180°–120° = 60°

Ir dabar, naudodami savybę Nr. 4, nustatome, kad du likę kampai C ir D yra priešingi kampams, kuriuos jau radome. Kampas C yra priešingas kampui A, kampas D yra priešingas kampui B. Todėl jie yra lygūs poromis.

• Atsakymas: B = 60°, C = 120°, D = 60°

2 atvejis. Žinomi kraštinių ir įstrižainių ilgiai

Šiuo atveju turime naudoti kosinuso teoremą.

Pirmiausia galime apskaičiuoti reikalingo kampo kosinusą naudodami formulę, o tada naudodami specialią lentelę rasti, kam lygus pats kampas.

Smailiojo kampo formulė yra tokia:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kur
• a yra tas, kurio ieškote aštrus kampas,
• A ir B yra lygiagretainio kraštinės,
• d - mažesnė įstrižainė

Bukojo kampo formulė šiek tiek pasikeičia:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kur
• ß yra bukas kampas,
• A ir B yra pusės
• D - didelė įstrižainė

Pavyzdys: reikia rasti lygiagretainio, kurio kraštinės yra 6 cm ir 3 cm, o mažesnė įstrižainė yra 5,2 cm, smailią kampą

Pakeiskite reikšmes į formulę, kad surastumėte aštrų kampą:

• coza = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
• coza = 1/2. Iš lentelės sužinome, kad norimas kampas yra 60°.

Kaip Euklido geometrijoje taškas ir tiesė yra pagrindiniai plokštumų teorijos elementai, taip lygiagretainis yra viena iš pagrindinių išgaubtų keturkampių figūrų. Iš jo, kaip siūlai iš rutulio, išplaukia „stačiakampio“, „kvadrato“, „rombo“ ir kitų geometrinių dydžių sąvokos.

Susisiekus su

Lygiagretainio apibrėžimas

išgaubtas keturkampis, susidedantis iš atkarpų, kurių kiekviena pora yra lygiagreti, geometrijoje žinomas kaip lygiagretainis.

Kaip atrodo klasikinis lygiagretainis, pavaizduotas keturkampiu ABCD. Kraštinės vadinamos bazėmis (AB, BC, CD ir AD), statmenas, nubrėžtas iš bet kurios viršūnės į priešingą šiai viršūnei pusę, vadinamas aukščiu (BE ir BF), tiesės AC ir BD – įstrižainėmis.

Dėmesio! Kvadratas, rombas ir stačiakampis yra specialūs lygiagretainio atvejai.

Šonai ir kampai: santykių ypatumai

Pagrindinės savybės, apskritai, iš anksto nustatytas paties pavadinimo, jie įrodomi teorema. Šios savybės yra tokios:

1. Priešingos pusės yra identiškos poromis.
2. Vienas prieš kitą esantys kampai poromis yra lygūs.

Įrodymas: Panagrinėkime ∆ABC ir ∆ADC, kurie gaunami padalijus keturkampį ABCD iš tiesės AC. ∠BCA=∠CAD ir ∠BAC=∠ACD, nes AC yra bendras (atitinkamai vertikalūs kampai BC||AD ir AB||CD). Iš to išplaukia: ∆ABC = ∆ADC (antrasis trikampių lygybės ženklas).

Atkarpos AB ir BC ∆ABC poromis atitinka tieses CD ir AD ∆ADC, tai reiškia, kad jos yra identiškos: AB = CD, BC = AD. Taigi ∠B atitinka ∠D ir jie yra lygūs. Kadangi ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kurios taip pat poromis yra identiškos, tada ∠A = ∠C. Turtas įrodytas.

Figūros įstrižainių charakteristikos

Pagrindinis bruožasšių lygiagretainio tiesių: susikirtimo taškas dalija jas pusiau.

Įrodymas: Tegul t.y. yra figūros ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas. Jie sudaro du proporcingus trikampius – ∆ABE ir ∆CDE.

AB = CD, nes jie yra priešingi. Pagal linijas ir sekantus ∠ABE = ∠CDE ir ∠BAE = ∠DCE.

Pagal antrąjį lygybės kriterijų ∆ABE = ∆CDE. Tai reiškia, kad elementai ∆ABE ir ∆CDE: AE = CE, BE = DE ir kartu jie yra proporcingos AC ir BD dalys. Turtas įrodytas.

Gretimų kampų ypatybės

Gretimose pusėse kampų suma lygi 180°, nes jie yra toje pačioje pusėje lygiagrečių linijų ir skersinės. Keturkampiui ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektoriaus savybės:

1. , nuleistas į vieną pusę, yra statmenos;
2. priešingos viršūnės turi lygiagrečius bisektorius;
3. trikampis, gautas nubrėžus pusiaukampį, bus lygiašonis.

Lygiagretainio charakteristikų nustatymas taikant teoremą

Šios figūros charakteristikos išplaukia iš pagrindinės jo teoremos, kuri teigia: keturkampis laikomas lygiagretainiu tuo atveju, jei jo įstrižainės susikerta, ir šis taškas padalija jas į lygias atkarpas.

Įrodymas: tegul keturkampio ABCD tiesės AC ir BD susikerta t.y. Kadangi ∠AED = ∠BEC ir AE+CE=AC BE+DE=BD, tai ∆AED = ∆BEC (pagal pirmąjį trikampių lygybės kriterijų). Tai yra, ∠EAD = ∠ECB. Jie taip pat yra vidiniai skersinio AC linijos kampai AD ir BC. Taigi, pagal paralelizmo apibrėžimą - AD || B.C. Taip pat gaunama panaši eilučių BC ir CD savybė. Teorema įrodyta.

Figūros ploto apskaičiavimas

Šios figūros plotas randama keliais būdais vienas iš paprasčiausių: padauginti aukštį ir pagrindą, prie kurio jis traukiamas.

Įrodymas: iš viršūnių B ir C nubrėžkite statmenis BE ir CF. ∆ABE ir ∆DCF yra lygūs, nes AB = CD ir BE = CF. ABCD dydis yra lygus stačiakampiui EBCF, nes juos sudaro proporcingos figūros: S ABE ir S EBCD, taip pat S DCF ir S EBCD. Iš to išplaukia, kad ši sritis geometrinė figūra yra taip pat kaip stačiakampis:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Norėdami nustatyti bendroji formulė Lygiagretainio plotas žymimas aukščiu as hb, o šonas - b. Atitinkamai:

Kiti būdai rasti plotą

Ploto skaičiavimai per lygiagretainio kraštines ir kampą, kurį jie sudaro, yra antrasis žinomas metodas.

,

Spr-ma – plotas;

a ir b yra jos kraštinės

α yra kampas tarp atkarpų a ir b.

Šis metodas praktiškai pagrįstas pirmuoju, bet tuo atveju, jei jis nežinomas. visada nutraukia taisyklingas trikampis, kurio parametrai yra trigonometrinės tapatybės, tai yra . Pakeitę santykį, gauname . Pirmojo metodo lygtyje aukštį pakeičiame šiuo produktu ir gauname šios formulės pagrįstumo įrodymą.

Per lygiagretainio įstrižaines ir kampą, kurią jie sukuria susikirsdami, taip pat galite rasti sritį.

Įrodymas: AC ir BD susikerta ir sudaro keturis trikampius: ABE, BEC, CDE ir AED. Jų suma lygi šio keturkampio plotui.

Kiekvieno iš šių ∆ plotą galima rasti pagal išraišką , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Nuo , skaičiuojant naudojama viena sinuso reikšmė. Tai yra . Kadangi AE+CE=AC=d 1 ir BE+DE=BD=d 2, ploto formulė sumažinama iki:

.

Taikymas vektorinėje algebroje

Šio keturkampio sudedamųjų dalių savybės buvo pritaikytos vektorių algebroje, būtent dviejų vektorių pridėjimas. Lygiagretainio taisyklė teigia, kad jei pateikti vektoriaiIrNeyra kolinearūs, tada jų suma bus lygi šios figūros, kurios pagrindai atitinka šiuos vektorius, įstrižai.

Įrodymas: nuo savavališkai pasirinktos pradžios – t.y. - sudaryti vektorius ir . Toliau sukonstruojame lygiagretainį OASV, kur atkarpos OA ir OB yra kraštinės. Taigi, OS yra ant vektoriaus arba sumos.

Lygiagretainio parametrų skaičiavimo formulės

Tapatybės suteikiamos tokiomis sąlygomis:

1. a ir b, α - kraštinės ir kampas tarp jų;
2. d 1 ir d 2, γ - įstrižainės ir jų susikirtimo taške;
3. h a ir h b - aukščiai nuleisti į a ir b puses;

Parametras	Formulė
Šonų radimas
išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų kosinuso
išilgai įstrižainių ir šonų
per aukštį ir priešingą viršūnę
Įstrižainių ilgio radimas
šonuose ir viršūnės tarp jų dydis