Sorokina Vika

Pateikiami trikampio pusiausvyros savybių įrodymai ir nagrinėjamas teorijos pritaikymas uždavinių sprendimui.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Saratovo administracijos švietimo komitetas, Oktyabrsky rajono savivaldybės autonominis rajonas švietimo įstaiga vardu pavadintas licėjus Nr. A. S. Puškinas.

Savivaldybės mokslinė-praktinė

konferencija

"Pirmieji žingsniai"

Tema: Bisektorius ir jo savybės.

Darbą atliko: 8 klasės mokinys

Sorokina ViktorijaMokslinis vadovas: Aukščiausios kategorijos matematikos mokytojasPopova Nina Fedorovna.

Saratovas 2011 m

1. Titulinis puslapis……………………………………………………………1
2. Turinys…………………………………………………………2
3. Įvadas ir tikslai…………………………………………………………… ..3
4. Bisektoriaus savybių įvertinimas

• Trečioji taškų vieta…………………………………….3
• 1 teorema………………………………………………………………… 4
• 2 teorema……………………………………………………………… 4
• Pagrindinė trikampio pusiausvyros savybė:

1. 3 teorema……………………………………………………………………4
2. 1 užduotis…………………………………………………………………….7
3. 2 užduotis…………………………………………………………….8
4. 3 užduotis ................
5. 4 užduotis……………………………………………………………….9-10

• 4 teorema……………………………………………………… 10-11
• Bisektoriaus radimo formulės:

1. 5 teorema……………………………………………………………….11
2. 6 teorema……………………………………………………………….11
3. 7 teorema……………………………………………………………….12
4. 5 užduotis……………………………………………………………12-13

• 8 teorema……………………………………………………………….13
• 6 užduotis…………………………………………………………….14
• 7 užduotis…………………………………………………………… 14-15
• Kardinalių krypčių nustatymas naudojant bisektorių………………15

1. Išvada ir išvada………………………………………………………..15
2. Literatūros sąrašas………………………………………..16

Bisektorius

Geometrijos pamokoje, studijuodamas panašių trikampių temą, susidūriau su uždaviniu dėl teoremos apie pusiausvyros santykį su priešingomis kraštinėmis. Atrodytų, bisektoriaus temoje gali būti kažkas įdomaus, bet ši tema mane sudomino, ir norėjau ją panagrinėti giliau. Galų gale, bisektorius yra labai turtingas savo nuostabios savybės, padedantis spręsti įvairias problemas.

Svarstydami šią temą pastebėsite, kad geometrijos vadovėliuose labai mažai kalbama apie bisektoriaus ypatybes, tačiau egzaminuose, jas žinant, uždavinius galima išspręsti daug lengviau ir greičiau. Be to, norėdami išlaikyti GIA ir vieningus valstybinius egzaminus, šiuolaikiniai studentai turi mokytis patys Papildomos medžiagosĮ mokyklos mokymo programa. Štai kodėl aš nusprendžiau išsamiau išnagrinėti bisektoriaus temą.

Bisector (iš lotynų kalbos bi- „dvigubas“ ir „sectio“. kampo „pjovimas“ yra spindulys, kurio pradžia yra kampo viršūnėje, dalijantis kampą į dvi lygias dalis. Kampo bisektorius (kartu su jo išplėtimu) yra taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo kampo kraštinių (arba jų plėtinių) vieta.)

Trečias taškų lokusas

F paveikslas yra taškų lokusas (taškų rinkinys), turintis kokią nors savybę A, jei tenkinamos dvi sąlygos:

1. nuo to, kad taškas priklauso figūrai F, iš to išplaukia, kad ji turi nuosavybę A;
2. nuo to, kad taškas tenkina turtą A, iš to seka, kad jis priklauso figūrai F.

Pirmoji geometrijoje nagrinėjamų taškų lokusas yra apskritimas, t.y. taškų, esančių vienodu atstumu nuo vieno fiksuoto taško, vieta. Antroji – atkarpos statmenoji pusiausvyra, t.y. taškų, esančių vienodu atstumu nuo atkarpos pabaigos, vieta. Ir galiausiai, trečiasis - bisektorius - geometrinis taškų, esančių vienodu atstumu nuo kampo kraštų, lokusas

1 teorema:

Bisektoriaus taškai yra vienodai nutolę nuo šonų jis kampelis.

Įrodymas:

Tegul R - bisektoriaus taškas A. Nukreipkime nuo esmėsP statmenai RV ir Kompiuteris kampo šonuose. Tada VAR = SAR hipotenuze ir smailiu kampu. Taigi, PB = PC

2 teorema:

Jei taškas P yra vienodai nutolęs nuo kampo A kraštinių, tada jis yra ant pusiausvyros.

Įrodymas: PB = PC => VAR = CAP => BAP = CAP => AR yra pusiausvyra.

Tarp pagrindinių geometrinių faktų yra teorema, kad bisektorius dalija priešingą pusę priešingų kraštinių atžvilgiu. Šis faktas ilgą laiką liko šešėlyje, tačiau visur yra problemų, kurias daug lengviau išspręsti, jei žinai šį ir kitus faktus apie pusiausvyrą. Susidomėjau ir nusprendžiau toliau tyrinėti šią bisektoriaus savybę.

Pagrindinė trikampio kampo pusiausvyros savybė

3 teorema. Bisektorius dalija priešingą trikampio kraštinę gretimų kraštinių atžvilgiu.

1 įrodymas:

Duota: AL - trikampio ABC bisektorius

Įrodykite:

Įrodymas: tegul F yra linijos susikirtimo taškas AL ir tiesė, einanti per tašką IN lygiagrečiai kintamosios srovės pusei.

Tada BFA = FAC = BAF. Todėl B.A.F. lygiašoniai ir AB = BF. Iš trikampių panašumo Turime ALC ir FLB

santykis

kur

2 įrodymas

Tegul F yra taškas, kertamas tiesės AL ir tiesės, einančios per tašką C lygiagrečiai pagrindui AB. Tada galite pakartoti samprotavimus.

3 įrodymas

Tegul K ir M yra statmenų, numestų į tiesę, pagrindai AL iš taškų B ir C atitinkamai. Trikampiai ABL ir ACL yra panašūs dviem kampais. Štai kodėl
. Ir iš BKL ir CML panašumo turime

Iš čia

4 įrodymas

Naudokime ploto metodą. Apskaičiuokime trikampių plotus ABL ir ACL du keliai.

Iš čia.

5 įrodymas

Tegul α= JŪS, φ= BLA. Pagal sinusų teoremą trikampyje ABL

Ir trikampyje ACL.

nes,

Tada, padalijus abi lygybės puses į atitinkamas kitos dalis, gauname.

1 problema

Duota: Trikampyje ABC VC yra pusiausvyra, BC = 2, KS = 1,

Sprendimas:

2 problema

Duota:

Raskite stačiojo trikampio su 24 ir 18 kojelėmis smailiųjų kampų pusiausvyras

Sprendimas:

Tegul kraštinė AC = 18, kraštinė BC = 24,

ESU. - trikampio pusiausvyra.

Naudodami Pitagoro teoremą randame,

kad AB = 30.

Nuo tada

Panašiai suraskime antrąją pusiausvyrą.

Atsakymas:

3 problema

IN taisyklingas trikampis ABC su stačiu kampu B kampo bisektorius A kerta šoną B.C.

Taške D. Yra žinoma, kad BD = 4, DC = 6.

Raskite trikampio plotą ADC

Sprendimas:

Pagal trikampio pusiausvyros savybę

Pažymime AB = 2 x, AC = 3 x. Pagal teoremą

Pitagoras BC 2 + AB 2 = AC 2 arba 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Iš čia mes tai randame x = Tada AB = , S ABC=

Vadinasi,

4 problema

Duota:

Lygiašoniame trikampyje ABC pusėje AB lygus 10, bazė AC yra 12.

Kampų pusiausvyros A ir C susikerta taške D. Raskite BD.

Sprendimas:

Kadangi trikampio pusiausvyros susikerta ties

Vienas taškas, tada BD yra B pusiausvyra. Tęskime BD iki sankryžos su AC taške M. Tada M yra AC, BM AC vidurio taškas. Štai kodėl

Kadangi CD - trikampio pusiausvyra Tada BMC

Vadinasi,.

Atsakymas:

4 teorema. Trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.

Iš tiesų, pirmiausia panagrinėkime dviejų pusių sankirtos tašką P, pavyzdžiui, AK 1 ir VK 2 . Šis taškas yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir AC, nes yra ant pusiausvyrosA, ir yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir BC, kaip priklauso pusiausvyraiB. Tai reiškia, kad jis yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AC ir BC, taigi priklauso trečiajam pussektoriui SC 3 , tai yra, taške P susikerta visos trys pusiausvyros.

Bisektoriaus radimo formulės
5 teorema: (pirmoji pusiausvyros formulė): Jei trikampyje ABC atkarpa AL yra pusiausvyra A, tada AL² = AB·AC – LB·LC.

Įrodymas: Tegul M yra tiesės AL susikirtimo taškas su apskritimu, apibrėžtu apie trikampį ABC (41 pav.). Kampas BAM lygus kampui MAC pagal sąlygą. Kampai BMA ir BCA yra sutapti kaip įrašyti kampai, sujungti ta pačia styga. Tai reiškia, kad trikampiai BAM ir LAC yra panašūs dviem kampais. Todėl AL: AC = AB: AM. Tai reiškia AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

6 teorema: . (antra pusiausvyros formulė): Trikampyje ABC, kurio kraštinės AB=a, AC=b irA lygi 2α ir pusiausvyrai l, lygybė galioja:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Įrodymas : Tegu ABC yra duotasis trikampis, AL jo bisektorius, a=AB, b=AC, l=AL. Tada S ABC = S ALB + S ALC . Todėl ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorema įrodyta.

7 teorema: Jei a, b yra trikampio kraštinės, Y yra kampas tarp jų,yra šio kampo pusiausvyra. Tada.

Geometrija yra vienas sudėtingiausių ir painiausių mokslų. Joje tai, kas iš pirmo žvilgsnio atrodo akivaizdu, labai retai pasirodo teisinga. Bisektoriniai, aukščiai, medianos, projekcijos, liestinės – daugybė tikrai sudėtingų terminų, kuriuos labai lengva supainioti.

Tiesą sakant, turėdami tinkamą norą, galite suprasti bet kokio sudėtingumo teoriją. Kalbant apie pusiausvyras, medianas ir aukščius, turite suprasti, kad jie nėra būdingi tik trikampiams. Iš pirmo žvilgsnio tai paprastos linijos, tačiau kiekviena iš jų turi savo savybes ir funkcijas, kurių žinojimas labai supaprastina geometrinių uždavinių sprendimą. Taigi, kas yra trikampio pusiausvyra?

Apibrėžimas

Pats terminas „bisektorius“ kilęs iš lotyniškų žodžių „du“ ir „supjaustyti“, „pjaustyti“ derinio, kuris netiesiogiai nurodo jo savybes. Paprastai, kai vaikai supažindinami su šiuo spinduliu, jiems duodama trumpa frazė, kurią reikia prisiminti: „Biektoris yra žiurkė, kuri bėga už kampų ir dalija kampą per pusę“. Natūralu, kad vyresniems moksleiviams toks paaiškinimas netinka, be to, dažniausiai jų klausiama ne apie kampą, o apie geometrinę figūrą. Taigi trikampio pusiausvyra yra spindulys, jungiantis trikampio viršūnę su priešinga pusė, dalijant kampą į dvi lygias dalis. Taškas, esantis priešingoje pusėje, į kurį ateina bisektorius, atsitiktinai pasirenkamas savavališkam trikampiui.

Pagrindinės funkcijos ir savybės

Ši sija turi keletą pagrindinių savybių. Pirma, kadangi trikampio pusiausvyra padalija kampą į pusę, bet kuris jame esantis taškas bus vienodu atstumu nuo viršūnę sudarančių kraštinių. Antra, kiekviename trikampyje pagal galimų kampų skaičių galite nubraižyti tris bisektorius (taigi, tame pačiame keturkampyje jų jau bus keturi ir pan.). Taškas, kuriame susikerta visi trys spinduliai, yra į trikampį įbrėžto apskritimo centras.

Savybės tampa sudėtingesnės

Šiek tiek apsunkinkime teoriją. Dar viena įdomi savybė: trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę į atkarpas, kurių santykis lygus viršūnę sudarančių kraštinių santykiui. Iš pirmo žvilgsnio tai sudėtinga, bet iš tikrųjų viskas paprasta: siūlomame paveikslėlyje RL: LQ = PR: PK. Beje, ši savybė buvo vadinama „Biektorių teorema“ ir pirmą kartą pasirodė senovės graikų matematiko Euklido darbuose. Tai buvo prisiminta viename iš rusų vadovėlių tik XVII amžiaus pirmajame ketvirtyje.

Tai šiek tiek sudėtingiau. Keturkampyje pusiaukampis nupjauna lygiašonį trikampį. Šiame paveikslėlyje rodomi visi vienodi medianinio AF kampai.

O keturkampiuose ir trapecijose vienpusių kampų pusiausvyros yra statmenos viena kitai. Pavaizduotame brėžinyje kampas APB yra 90 laipsnių.

Lygiašoniame trikampyje

Lygiašonio trikampio bisektorius yra daug naudingesnis spindulys. Tai tuo pačiu metu ne tik kampo daliklis per pusę, bet ir mediana bei aukštis.

Mediana yra segmentas, kuris ateina iš kurio nors kampo ir patenka į priešingos pusės vidurį, taip padalydamas jį į lygias dalis. Aukštis yra statmenas, nusileidęs iš viršūnės į priešingą pusę; su jo pagalba bet kokia problema gali būti redukuojama į paprastą ir primityvią Pitagoro teoremą. Esant tokiai situacijai, trikampio pusiausvyra yra lygi skirtumo tarp hipotenuzės kvadrato ir kitos kojos šaknei. Beje, su šia savybe dažniausiai susiduriama geometrinėse problemose.

Konsoliduoti: šiame trikampyje bisektorius FB yra mediana (AB = BC) ir aukštis (kampai FBC ir FBA yra 90 laipsnių).

Konspekte

Taigi, ką reikia atsiminti? Trikampio pusiausvyra yra spindulys, dalijantis jo viršūnę. Trijų spindulių sankirtoje yra apskritimo centras, įrašytas į nurodytą trikampį (vienintelis šios savybės trūkumas yra tas, kad jis neturi praktinė vertė ir tarnauja tik kompetentingam brėžinio atlikimui). Jis taip pat padalija priešingą pusę į segmentus, kurių santykis yra lygus kraštinių, tarp kurių šis spindulys praėjo, santykiui. Keturkampyje savybės šiek tiek komplikuojasi, tačiau, reikia pripažinti, jos praktiškai niekada neatsiranda mokyklinio lygio uždaviniuose, todėl dažniausiai programoje neliečiamos.

Lygiašonio trikampio pusiausvyra yra didžiausia bet kurio moksleivio svajonė. Tai yra ir mediana (ty dalija priešingą pusę per pusę), ir aukštis (statmena tai pusei). Sprendžiant uždavinius su tokiu bisektoriumi, redukuojama iki Pitagoro teoremos.

Sprendžiant geometrines užduotis tiek vidutinėms, tiek vidutinėms, reikia žinoti pagrindines bisektoriaus funkcijas bei pagrindines jo savybes. aukštas lygis sunkumų. Tiesą sakant, šis spindulys randamas tik planimetrijoje, todėl negalima teigti, kad įsimenant informaciją apie jį galėsite susidoroti su visų tipų užduotimis.

Trikampio pusiausvyra yra atkarpa, kuri padalija trikampio kampą į dvi dalis vienodi kampai. Pavyzdžiui, jei trikampio kampas lygus 120 0, tai nubrėžę pusiausvyrą, sukonstruosime du kampus po 60 0.

O kadangi trikampyje yra trys kampai, galima nubrėžti tris pusiausvyras. Jie visi turi vieną ribą. Šis taškas yra į trikampį įbrėžto apskritimo centras. Kitu būdu šis susikirtimo taškas vadinamas trikampio centru.

Kai susikerta du vidinio ir išorinio kampo bisektoriai, gaunamas 90 0 kampas. Išorinis trikampio kampas yra kampas, esantis greta trikampio vidinio kampo.

Ryžiai. 1. Trikampis, kuriame yra 3 pusiausvyros

Bisektorius padalija priešingą pusę į du segmentus, sujungtus su šonais:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Bisektoriaus taškai yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, o tai reiškia, kad jie yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių. Tai yra, jei iš bet kurio bisektoriaus taško nuleisime statmenis į kiekvieną iš trikampio kampo kraštinių, tada šie statmenys bus lygūs.

Jei iš vienos viršūnės nubrėžiate medianą, pusiausvyrą ir aukštį, mediana bus ilgiausia atkarpa, o aukštis - trumpiausias.

Kai kurios bisektoriaus savybės

Tam tikrų tipų trikampiuose pusiausvyra turi ypatingos savybės. Tai visų pirma taikoma lygiašoniam trikampiui. Ši figūra turi dvi identiškas puses, o trečioji vadinama pagrindu.

Jei iš lygiašonio trikampio kampo viršūnės į pagrindą nubrėžiate bisektorių, jis turės ir aukščio, ir medianos savybes. Atitinkamai, bisektoriaus ilgis sutampa su medianos ir aukščio ilgiu.

Apibrėžimai:

• Aukštis- statmenas, nubrėžtas iš trikampio viršūnės į priešingą kraštinę.
• Mediana– atkarpa, jungianti trikampio viršūnę ir priešingos kraštinės vidurį.

Ryžiai. 2. Bisektorius lygiašoiame trikampyje

Tai taip pat taikoma lygiakraštiui trikampiui, ty trikampiui, kurio visos trys kraštinės yra lygios.

Užduoties pavyzdys

Trikampyje ABC: BR yra bisektorius, kai AB = 6 cm, BC = 4 cm, o RC = 2 cm. Atimkite trečiosios kraštinės ilgį.

Ryžiai. 3. Bisektorius trikampyje

Sprendimas:

Bisektorius padalija trikampio kraštinę tam tikra proporcija. Naudokime šią proporciją ir išreikškime AR. Tada rasime trečiosios kraštinės ilgį kaip atkarpų, į kurias ši kraštinė buvo padalinta iš pusiausvyros, sumą.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Tada visas segmentas AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Iš viso gautų įvertinimų: 107.

Kas yra trikampio kampo pusiausvyra? Atsakant į šį klausimą garsioji žiurkė, bėgiojanti po kampus ir dalinanti kampą per pusę, išlenda iš kai kurių žmonių burnos." Jei atsakymas turėtų būti „jumoras", tai galbūt jis teisingas. Tačiau su mokslinis taškasŽvelgiant iš perspektyvos, atsakymas į šį klausimą turėtų skambėti maždaug taip: pradedant nuo kampo viršūnės ir padalijant pastarąją į dvi lygias dalis." Geometrijoje ši figūra taip pat suvokiama kaip pusiaukampio atkarpa prieš jos susikirtimą priešinga trikampio pusė.Tai nėra klaidinga nuomonė.Bet kas Kas dar žinoma apie kampo pusiausvyrą, be jo apibrėžimo?

Kaip ir bet kuris geometrinis taškų lokusas, jis turi savo ypatybes. Pirmasis iš jų, veikiau, yra net ne ženklas, o teorema, kurią galima trumpai išreikšti taip: „Jei jai priešinga kraštinė yra padalinta į dvi dalis pusiau, tai jų santykis atitiks santykį didelio trikampio kraštinės“.

Antroji jo savybė: visų kampų bisektorių susikirtimo taškas vadinamas centru.

Trečiasis ženklas: vieno vidinio ir dviejų pusiausvyros išoriniai kampai trikampiai susikerta vieno iš trijų įbrėžtų apskritimų centre.

Ketvirtoji trikampio kampo bisektoriaus savybė yra ta, kad jei kiekvienas iš jų yra lygus, tada pastarasis yra lygiašonis.

Penktasis ženklas taip pat susijęs su lygiašoniu trikampiu ir yra pagrindinė jo atpažinimo brėžinyje pagal pusiausvyrą gairė, būtent: lygiašonis trikampis vienu metu tarnauja kaip mediana ir aukštis.

Kampo bisektorius galima sukonstruoti naudojant kompasą ir liniuotę:

Šeštoji taisyklė teigia, kad neįmanoma sukurti trikampio naudojant pastarąjį tik su esamomis pusiausvyromis, kaip ir neįmanoma tokiu būdu sudaryti kubo padvigubinimo, apskritimo kvadrato ir kampo trišakio. Griežtai kalbant, tai visos trikampio kampo pusiausvyros savybės.

Jei atidžiai perskaitėte ankstesnę pastraipą, galbūt jus sudomino viena frazė. "Kas yra kampo trisekcija?" – tikriausiai paklausite. Trisektorius yra šiek tiek panašus į pusiau, bet jei nubraižysite pastarąjį, kampas bus padalintas į dvi lygias dalis, o statant trisekciją – į tris. Natūralu, kad kampo pusiausvyrą lengviau įsiminti, nes mokykloje trisekcija nemokoma. Tačiau dėl išsamumo papasakosiu ir apie tai.

Trisektoriaus, kaip jau sakiau, negalima sukonstruoti tik kompasu ir liniuote, bet jį galima sukurti naudojant Fudžitos taisykles ir kai kurias kreives: Paskalio sraiges, kvadratus, Nikomedo konchoidus, kūginius pjūvius,

Kampo trisiekcijos uždaviniai gana paprastai išsprendžiami naudojant nevsis.

Geometrijoje yra teorema apie kampo trisektorius. Tai vadinama Morley teorema. Ji teigia, kad kiekvieno kampo trisektorių susikirtimo taškai, esantys viduryje, bus viršūnės

Mažas juodas trikampis didelio viduje visada bus lygiakraštis. Šią teoremą 1904 m. atrado britų mokslininkas Frankas Morley.

Štai kiek galite sužinoti apie kampo padalijimą: Kampo trisiklių ir pusiausvyrų visada reikia išsamiai paaiškinti. Tačiau čia buvo pateikta daug apibrėžimų, kurių dar nebuvau atskleidęs: Paskalio sraigė, Nikomedo sraigė ir kt. Būkite tikri, apie juos galima rašyti daug daugiau.

Trikampis yra daugiakampis su trimis kraštinėmis arba uždara laužta linija su trimis grandimis, arba figūra, sudaryta iš trijų atkarpų, jungiančių tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje (žr. 1 pav.).

Esminiai elementai trikampis abc

Viršūnės – taškai A, B ir C;

Vakarėliai – viršūnes jungiančios atkarpos a = BC, b = AC ir c = AB;

Kampai – α, β, γ sudarytos iš trijų kraštinių porų. Kampai dažnai žymimi taip pat, kaip ir viršūnės, raidėmis A, B ir C.

Kampas, sudarytas iš trikampio kraštinių ir esantis jo vidinėje srityje, vadinamas vidiniu kampu, o esantis greta jo – gretimu trikampio kampu (2, p. 534).

Trikampio aukščiai, medianos, pusiausvyros ir vidurio linijos

Be pagrindinių trikampio elementų, taip pat atsižvelgiama į kitus segmentus su įdomiomis savybėmis: aukščius, medianas, pusiausvyras ir vidurio linijas.

Aukštis

Trikampio aukščiai- tai statmenai, nuleisti iš trikampio viršūnių į priešingas puses.

Norėdami nubrėžti aukštį, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) nubrėžkite tiesią liniją, kurioje yra viena iš trikampio kraštinių (jei aukštis nubrėžtas iš viršūnės aštrus kampas bukas trikampis);

2) iš viršūnės, esančios priešais nubrėžtą liniją, nubrėžkite atkarpą nuo taško iki šios linijos, sudarydami su ja 90 laipsnių kampą.

Taškas, kuriame aukštis kerta trikampio kraštinę, vadinamas aukščio pagrindas (žr. 2 pav.).

Trikampio aukščių savybės

Stačiakampiame trikampyje aukštis, nubrėžtas iš viršūnės stačiu kampu, padalija jį į du trikampius, panašius į pradinį trikampį.

Smailiame trikampyje jo du aukščiai atskiria panašius trikampius.

Jei trikampis yra smailus, tai visi aukščių pagrindai priklauso trikampio kraštinėms, o bukajame trikampyje du aukščiai patenka į kraštinių tęsinį.

Trys aukštumos smailiame trikampyje susikerta viename taške ir šis taškas vadinamas ortocentras trikampis.

Mediana

Medianos(iš lot. mediana – „viduris“) – tai atkarpos, jungiančios trikampio viršūnes su priešingų kraštinių vidurio taškais (žr. 3 pav.).

Norėdami sukurti medianą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) rasti šono vidurį;

2) tašką, kuris yra trikampio kraštinės vidurys su priešinga viršūne, sujunkite atkarpa.

Trikampio medianų savybės

Mediana padalija trikampį į du vienodo ploto trikampius.

Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną iš jų dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas gravitacijos centras trikampis.

Visas trikampis pagal jo medianas padalintas į šešis vienodus trikampius.

Bisektorius

Bisektoriai(iš lot. bis – du kartus ir seko – pjūvis) yra tiesios linijos atkarpos, uždarytos trikampio viduje, dalijančios jo kampus (žr. 4 pav.).

Norėdami sukurti pusiausvyrą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) sukonstruoti spindulį, išeinantį iš kampo viršūnės ir padalijantį jį į dvi lygias dalis (kampo pusiausvyrą);

2) raskite trikampio kampo su priešinga kraštine susikirtimo tašką;

3) pasirinkite atkarpą, jungiančią trikampio viršūnę su susikirtimo tašku priešingoje pusėje.

Trikampių bisektorių savybės

Trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę santykiu, lygiu dviejų gretimų kraštinių santykiui.

Bisektoriai vidiniai kampai trikampiai susikerta viename taške. Šis taškas vadinamas įbrėžto apskritimo centru.

Vidinių ir išorinių kampų pusiausvyros yra statmenos.

Jei trikampio išorinio kampo bisektorius kerta priešingos kraštinės tęsinį, tai ADBD=ACBC.

Trikampio vieno vidinio ir dviejų išorinių kampų pusiausvyros susikerta viename taške. Šis taškas yra vieno iš trijų šio trikampio išorinių apskritimų centras.

Trikampio dviejų vidinių ir vieno išorinio kampo pusiaukampių pagrindai yra toje pačioje tiesėje, jei išorinio kampo pusiausvyra nėra lygiagreti priešingai trikampio kraštinei.

Jei trikampio išorinių kampų pusiausvyros nėra lygiagrečios priešingos pusės, tada jų pagrindai yra toje pačioje tiesioje linijoje.