Visos formulės yra geometrine progresija. Geometrinė progresija su pavyzdžiais

Panagrinėkime tam tikrą seriją.

7 28 112 448 1792...

Visiškai aišku, kad bet kurio jo elemento vertė yra lygiai keturis kartus didesnė nei ankstesnio. Tai reiškia, kad ši serija yra progresas.

Geometrinė progresija yra begalinė skaičių seka. Pagrindinis bruožas o tai reiškia, kad kitas skaičius gaunamas iš ankstesnio, padauginus iš kokio nors konkretaus skaičiaus. Tai išreiškiama tokia formule.

a z +1 =a z ·q, kur z yra pasirinkto elemento skaičius.

Atitinkamai, z ∈ N.

Laikotarpis, kai mokykloje mokomasi geometrinės progresijos – 9 klasė. Pavyzdžiai padės suprasti sąvoką:

0.25 0.125 0.0625...

Remiantis šia formule, progreso vardiklį galima rasti taip:

Nei q, nei b z negali būti lygūs nuliui. Be to, kiekvienas progresavimo elementas neturėtų būti lygus nuliui.

Atitinkamai, norėdami sužinoti kitą serijos skaičių, turite padauginti paskutinį skaičių iš q.

Norėdami nustatyti šią eigą, turite nurodyti pirmąjį jo elementą ir vardiklį. Po to galima rasti bet kurį iš vėlesnių terminų ir jų sumą.

Veislės

Priklausomai nuo q ir a 1, ši progresija skirstoma į keletą tipų:

• Jei ir a 1, ir q yra didesni už vieną, tada tokia seka didėja su kiekvienu kitas elementas geometrinė progresija. To pavyzdys pateikiamas žemiau.

Pavyzdys: a 1 =3, q=2 – abu parametrai yra didesni už vieną.

Tada skaičių seką galima parašyti taip:

3 6 12 24 48 ...

• Jei |q| yra mažesnis už vienetą, tai yra, daugyba iš jo yra lygi dalybai, tada progresija su panašiomis sąlygomis yra mažėjanti geometrinė progresija. To pavyzdys pateikiamas žemiau.

Pavyzdys: a 1 = 6, q = 1/3 – a 1 yra didesnis už vieną, q yra mažesnis.

Tada skaičių seką galima parašyti taip:

6 2 2/3 ... - bet kuris elementas yra 3 kartus didesnis nei po jo einantis elementas.

• Kintamasis ženklas. Jei q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Pavyzdys: a 1 = -3, q = -2 – abu parametrai yra mažesni už nulį.

Tada skaičių seką galima parašyti taip:

3, 6, -12, 24,...

Formulės

Yra daug formulių, kaip patogiai naudoti geometrines progresijas:

• z-ojo termino formulė. Leidžia apskaičiuoti elementą pagal tam tikrą skaičių neskaičiuojant ankstesnių skaičių.

Pavyzdys:q = 3, a 1 = 4. Reikia suskaičiuoti ketvirtąjį progresijos elementą.

Sprendimas:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Pirmųjų elementų, kurių kiekis lygus, suma z. Leidžia apskaičiuoti visų sekos elementų sumą ikia zimtinai.

Nuo (1-q) yra vardiklyje, tada (1 - q)≠ 0, todėl q nėra lygus 1.

Pastaba: jei q = 1, progresija būtų be galo pasikartojančių skaičių serija.

Geometrinės progresijos suma, pavyzdžiai:a 1 = 2, q= -2. Apskaičiuokite S5.

Sprendimas:S 5 = 22 - skaičiavimas naudojant formulę.

• Suma, jei |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Pavyzdys:a 1 = 2 , q= 0,5. Raskite sumą.

Sprendimas:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Kai kurios savybės:

• Būdinga savybė. Jei tokia sąlyga tinka bet kokiamz, tada duotoji skaičių serija yra geometrinė progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Be to, bet kurio geometrinės progresijos skaičiaus kvadratas randamas pridedant bet kurių kitų dviejų tam tikros serijos skaičių kvadratus, jei jie yra vienodu atstumu nuo šio elemento.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kurt- atstumas tarp šių skaičių.

• Elementaiskiriasi qkartą.
• Progresijos elementų logaritmai taip pat sudaro progresiją, bet aritmetinę, tai yra, kiekvienas iš jų yra tam tikru skaičiumi didesnis už ankstesnįjį.

Kai kurių klasikinių problemų pavyzdžiai

Norint geriau suprasti, kas yra geometrinė progresija, gali padėti 9 klasės sprendimų pavyzdžiai.

• Sąlygos:a 1 = 3, a 3 = 48. Rastiq.

Sprendimas: kiekvienas paskesnis elementas yra didesnis nei ankstesnisq kartą.Vienus elementus būtina išreikšti kitais, naudojant vardiklį.

Vadinasi,a 3 = q 2 · a 1

Keičiantq= 4

• Sąlygos:a 2 = 6, a 3 = 12. Apskaičiuokite S 6.

Sprendimas:Norėdami tai padaryti, tiesiog suraskite q, pirmąjį elementą, ir pakeiskite jį formulėje.

a 3 = q· a 2 , vadinasi,q= 2

a 2 = q · 1,Štai kodėl a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Raskite ketvirtąjį progresijos elementą.

Sprendimas: tam pakanka ketvirtąjį elementą išreikšti per pirmąjį ir per vardiklį.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Taikymo pavyzdys:

• Banko klientas įnešė 10 000 rublių indėlį, pagal kurį kiekvienais metais prie pagrindinės sumos bus pridėta 6 proc. Kiek pinigų bus sąskaitoje po 4 metų?

Sprendimas: pradinė suma yra 10 tūkstančių rublių. Tai reiškia, kad praėjus metams po investicijos sąskaitoje bus suma lygi 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Atitinkamai, suma sąskaitoje po kitų metų bus išreikšta taip:

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Tai yra, kiekvienais metais suma padidėja 1,06 karto. Tai reiškia, kad norint rasti lėšų sumą sąskaitoje po 4 metų, pakanka rasti ketvirtąjį progresijos elementą, kurį suteikia pirmasis elementas lygus 10 tūkst., o vardiklis lygus 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625

Sumos skaičiavimo problemų pavyzdžiai:

Geometrinė progresija naudojama įvairioms problemoms spręsti. Sumos nustatymo pavyzdys gali būti pateiktas taip:

a 1 = 4, q= 2, apskaičiuokiteS 5.

Sprendimas: visi skaičiavimui reikalingi duomenys yra žinomi, tereikia juos pakeisti formulėje.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Apskaičiuokite pirmųjų šešių elementų sumą.

Sprendimas:

Geom. progresija, kiekvienas kitas elementas yra q kartus didesnis nei ankstesnis, tai yra, norint apskaičiuoti sumą, kurią reikia žinoti elementąa 1 ir vardiklisq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Panašiai reikia rastia 1 , žinanta 2 Irq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrinė progresija yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys yra ne nulis, o kiekvienas paskesnis narys yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties nulinio skaičiaus.

Geometrinės progresijos samprata

Geometrinė progresija žymima b1,b2,b3, …, bn, ….

Bet kurio geometrinės klaidos nario santykis su ankstesniu jos nariu yra lygus tam pačiam skaičiui, ty b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Tai tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo aritmetinė progresija. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu. Paprastai geometrinės progresijos vardiklis žymimas raide q.

Begalinės geometrinės progresijos |q| suma<1

Vienas iš būdų nurodyti geometrinę progresiją – nurodyti pirmąjį jos narį b1 ir geometrinės paklaidos q vardiklį. Pavyzdžiui, b1=4, q=-2. Šios dvi sąlygos apibrėžia geometrinę progresiją 4, -8, 16, -32, ….

Jei q>0 (q nelygu 1), tai progresija yra monotoniška seka. Pavyzdžiui, seka, 2, 4,8,16,32, ... yra monotoniškai didėjanti seka (b1=2, q=2).

Jei geometrinės paklaidos vardiklis yra q=1, tai visi geometrinės progresijos nariai bus lygūs vienas kitam. Tokiais atvejais sakoma, kad progresas yra pastovi seka.

Kad skaičių seka (bn) būtų geometrinė progresija, būtina, kad kiekvienas jos narys, pradedant nuo antrojo, būtų gretimų narių geometrinis vidurkis. Tai yra, būtina įvykdyti šią lygtį
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), kai n>0, kur n priklauso aibei natūraliuosius skaičius N.

Dabar įdėkime (Xn) – geometrinę progresiją. Geometrinės progresijos q vardiklis ir |q|∞).
Jei dabar S žymėsime begalinės geometrinės progresijos sumą, bus taikoma ši formulė:
S=x1/(1-q).

Pažvelkime į paprastą pavyzdį:

Raskite begalinės geometrinės progresijos 2, -2/3, 2/9, - 2/27, … sumą.

Norėdami rasti S, naudojame begalinės aritmetinės progresijos sumos formulę. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Dabar panagrinėkime begalinės geometrinės progresijos sumavimo klausimą. Duotosios begalinės progresijos dalinę sumą vadinkime jos pirmųjų narių suma. Dalinę sumą pažymėkime simboliu

Kiekvienam begaliniam progresui

galima sudaryti (taip pat begalinę) jos dalinių sumų seką

Tegul seka su neribotu padidėjimu turi ribą

Šiuo atveju skaičius S, ty progresijos dalinių sumų riba, vadinamas begalinės progresijos suma. Įrodysime, kad begalinė mažėjanti geometrinė progresija visada turi sumą, ir išvesime šios sumos formulę (taip pat galime parodyti, kad jei begalinė progresija neturi sumos, ji neegzistuoja).

Parašykime dalinės sumos išraišką kaip progresijos narių sumą naudodami formulę (91.1) ir apsvarstykime dalinės sumos ribą ties

Iš 89 teoremos žinoma, kad mažėjančiai progresijai; todėl taikydami skirtumo ribos teoremą, randame

(čia taip pat naudojama taisyklė: pastovus koeficientas imamas už ribinio ženklo). Egzistavimas įrodytas ir tuo pačiu gaunama be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumos formulė:

Lygybę (92.1) galima parašyti ir formoje

Čia gali atrodyti paradoksalu, kad begalinio skaičiaus terminų sumai priskiriama labai apibrėžta baigtinė reikšmė.

Šiai situacijai paaiškinti galima pateikti aiškią iliustraciją. Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė lygi vienetui (72 pav.). Padalinkite šį kvadratą horizontalia linija į dvi lygias dalis ir pritvirtinkite viršutinę dalį prie apatinės taip, kad susidarytų stačiakampis su kraštinėmis 2 ir . Po to šio stačiakampio dešinę pusę horizontalia linija vėl padalinsime per pusę ir viršutinę dalį pritvirtinsime prie apatinės (kaip parodyta 72 pav.). Tęsdami šį procesą, originalų kvadratą, kurio plotas lygus 1, nuolat transformuojame į vienodo dydžio figūrėles (įgauname laiptų formą su retinimo laipteliais).

Be galo tęsiant šį procesą, visas kvadrato plotas suskaidomas į begalinį skaičių narių - stačiakampių plotai, kurių pagrindai lygūs 1, o stačiakampių plotai tiksliai sudaro begalinę mažėjančią progresiją, jos sumą

y., kaip ir galima tikėtis, lygus aikštės plotui.

Pavyzdys. Raskite šių begalinių progresijų sumas:

Sprendimas, a) Pastebime, kad ši progresija Todėl naudodami (92.2) formulę randame

b) Čia tai reiškia, kad naudojant tą pačią formulę (92.2) turime

c) Mes nustatome, kad ši progresija neturi sumos.

5 pastraipoje parodėme be galo mažėjančios progresijos terminų sumos formulės taikymą periodinio inversijai. dešimtainisį bendrą trupmeną.

Pratimai

1. Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra 3/5, o pirmųjų keturių jos narių suma yra 13/27. Raskite pirmąjį progresijos narį ir vardiklį.

2. Raskite keturis skaičius, kurie sudaro kintamą geometrinę progresiją, kurioje antrasis narys yra mažesnis už pirmąjį 35, o trečiasis yra didesnis už ketvirtą 560.

3. Parodykite, kad jei seka

sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją, tada seką

bet kuriai jis sudaro be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Ar šis teiginys pasitvirtins, kai

Išveskite geometrinės progresijos narių sandaugos formulę.

Geometrinė progresija kartu su aritmetine progresija yra svarbi skaičių eilutė, kuri tiriama mokyklos algebros kurse 9 klasėje. Šiame straipsnyje apžvelgsime geometrinės progresijos vardiklį ir kaip jo vertė veikia jo savybes.

Geometrinės progresijos apibrėžimas

Pirmiausia pateikime šios skaičių serijos apibrėžimą. Tokia serija vadinama geometrine progresija racionalūs numeriai, kuris susidaro nuosekliai padauginus jo pirmąjį elementą iš pastovaus skaičiaus, vadinamo vardikliu.

Pavyzdžiui, skaičiai eilėje 3, 6, 12, 24, ... yra geometrinė progresija, nes padauginus 3 (pirmą elementą) iš 2, gausite 6. Jei padauginsite 6 iš 2, gausite 12 ir pan.

Nagrinėjamos sekos nariai dažniausiai žymimi simboliu ai, kur i yra sveikasis skaičius, nurodantis elemento skaičių serijoje.

Aukščiau pateiktą progresijos apibrėžimą matematine kalba galima parašyti taip: an = bn-1 * a1, kur b yra vardiklis. Šią formulę patikrinti nesunku: jei n = 1, tai b1-1 = 1, ir gauname a1 = a1. Jei n = 2, tai an = b * a1, ir vėl pasiekiame nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimą. Panašius samprotavimus galima tęsti didelės vertybės n.

Geometrinės progresijos vardiklis

Skaičius b visiškai nustato, kokį simbolį turės visa skaičių serija. Vardiklis b gali būti teigiamas, neigiamas arba didesnis arba mažesnis už vieną. Visos aukščiau pateiktos parinktys lemia skirtingas sekas:

• b > 1. Didėja racionaliųjų skaičių serija. Pavyzdžiui, 1, 2, 4, 8, ... Jei elementas a1 yra neigiamas, tai visa seka didės tik absoliučia reikšme, bet mažės priklausomai nuo skaičių ženklo.
• b = 1. Dažnai šis atvejis nevadinamas progresija, nes yra eilė identiškų racionaliųjų skaičių. Pavyzdžiui, -4, -4, -4.

Sumos formulė

Prieš pereinant prie konkrečių problemų svarstymo naudojant nagrinėjamos progresijos tipo vardiklį, reikėtų pateikti svarbią pirmųjų n elementų sumos formulę. Formulė atrodo taip: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Šią išraišką galite gauti patys, jei atsižvelgsite į rekursyvią progreso terminų seką. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktoje formulėje pakanka žinoti tik pirmąjį elementą ir vardiklį, kad būtų galima rasti savavališko skaičiaus terminų sumą.

Be galo mažėjanti seka

Aukščiau buvo paaiškinta, kas tai yra. Dabar, žinodami Sn formulę, pritaikykime ją šiai skaičių serijai. Kadangi bet koks skaičius, kurio modulis neviršija 1, kai pakeltas į dideli laipsniai linkęs į nulį, tai yra, b∞ => 0, jei -1

Kadangi skirtumas (1 - b) visada bus teigiamas, nepriklausomai nuo vardiklio reikšmės, be galo mažėjančios geometrinės progresijos S∞ sumos ženklą vienareikšmiškai lemia jo pirmojo elemento a1 ženklas.

Dabar pažvelkime į keletą problemų, kuriose parodysime, kaip įgytas žinias pritaikyti konkretiems skaičiams.

Užduotis Nr. 1. Nežinomų progresijos elementų ir sumos skaičiavimas

Duota geometrinė progresija, progresijos vardiklis yra 2, o pirmasis jos elementas yra 3. Kam bus lygūs 7-asis ir 10-asis jos nariai ir kokia yra jos septynių pradinių elementų suma?

Problemos sąlyga yra gana paprasta ir apima tiesioginį aukščiau pateiktų formulių naudojimą. Taigi, norėdami apskaičiuoti elemento skaičių n, naudojame išraišką an = bn-1 * a1. 7-ajam elementui turime: a7 = b6 * a1, pakeitę žinomus duomenis, gauname: a7 = 26 * 3 = 192. Tą patį darome su 10-uoju nariu: a10 = 29 * 3 = 1536.

Naudokime gerai žinomą sumos formulę ir nustatykime šią reikšmę pirmiesiems 7 serijos elementams. Turime: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

2 uždavinys. Progresijos savavališkų elementų sumos nustatymas

Tegu -2 lygus geometrinės progresijos bn-1 * 4 vardikliui, kur n yra sveikas skaičius. Būtina nustatyti sumą nuo 5 iki 10 šios serijos elemento imtinai.

Iškeltos problemos negalima tiesiogiai išspręsti naudojant žinomas formules. Ją galima išspręsti 2 būdais įvairių metodų. Kad temos pristatymas būtų išsamus, pateikiame abu.

1 būdas. Idėja paprasta: reikia apskaičiuoti dvi atitinkamas pirmųjų narių sumas, o paskui iš vienos atimti kitą. Apskaičiuojame mažesnę sumą: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Dabar apskaičiuojame didesnę sumą: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje išraiškoje buvo susumuoti tik 4 terminai, nes 5-asis jau yra įtrauktas į sumą, kurią reikia apskaičiuoti pagal uždavinio sąlygas. Galiausiai imame skirtumą: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2 būdas. Prieš pakeisdami skaičius ir skaičiuodami, galite gauti sumos tarp atitinkamos eilutės m ir n narių formulę. Mes darome lygiai taip pat, kaip ir 1 metodu, tik pirmiausia dirbame su simboliniu sumos pavaizdavimu. Turime: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Galite pakeisti žinomus skaičius į gautą išraišką ir apskaičiuoti galutinį rezultatą: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Užduotis Nr. 3. Kas yra vardiklis?

Tegu a1 = 2, raskite geometrinės progresijos vardiklį, jei begalinė jo suma lygi 3 ir žinoma, kad tai mažėjanti skaičių seka.

Remiantis problemos sąlygomis, nesunku atspėti, kokia formule ją reikia spręsti. Žinoma, progresijos sumai be galo mažėja. Turime: S∞ = a1 / (1 - b). Iš kur išreiškiame vardiklį: b = 1 - a1 / S∞. Belieka tik pakeisti žinomos vertės ir gaukite reikiamą skaičių: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 arba -0,333(3). Šį rezultatą galime kokybiškai patikrinti, jei atsiminsime, kad tokio tipo sekos modulis b neturėtų viršyti 1. Kaip matyti, |-1 / 3|

Užduotis Nr. 4. Skaičių sekos atkūrimas

Tegu pateikiami 2 skaičių eilutės elementai, pavyzdžiui, 5-asis lygus 30, o 10-asis – 60. Iš šių duomenų reikia atkurti visą eilutę žinant, kad ji tenkina geometrinės progresijos savybes.

Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turite užsirašyti atitinkamą kiekvieno žinomo termino išraišką. Turime: a5 = b4 * a1 ir a10 = b9 * a1. Dabar padalykite antrąją išraišką iš pirmosios, gausime: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Iš čia mes nustatome vardiklį, paimdami penktąją iš uždavinio teiginio žinomų terminų santykio šaknį, b = 1,148698. Gautą skaičių pakeičiame viena iš žinomo elemento išraiškų, gauname: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Taigi, mes radome progresijos bn vardiklį, o geometrinę progresiją bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.

Kur naudojamos geometrinės progresijos?

Jei šios skaičių eilutės nebūtų praktiškai pritaikytos, jos tyrimas būtų sumažintas iki grynai teorinio susidomėjimo. Tačiau tokia programa egzistuoja.

Žemiau pateikiami 3 garsiausi pavyzdžiai:

• Zenono paradoksas, kai vikrusis Achilas negali pasivyti lėto vėžlio, sprendžiamas naudojant be galo mažėjančios skaičių sekos koncepciją.
• Jei kiekvienai ląstelei šachmatų lenta dėkite kviečių grūdus taip, kad į 1-ą langelį įdėtumėte 1 grūdą, į 2-ą - 2, į 3-ą - 3 ir t.
• Žaidime „Tower of Hanoi“, norint perkelti diskus iš vieno strypo į kitą, reikia atlikti 2n – 1 operacijas, tai yra jų skaičius eksponentiškai auga su naudojamų diskų skaičiumi n.

Matematika yra kasžmonės valdo gamtą ir save.

Sovietų matematikas, akademikas A.N. Kolmogorovas

Geometrinė progresija.

Be aritmetinės progresijos problemų, matematikos stojamuosiuose egzaminuose taip pat dažnai pasitaiko problemų, susijusių su geometrinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, reikia žinoti geometrinių progresijų ypatybes ir turėti gerus jo naudojimo įgūdžius.

Šis straipsnis skirtas pagrindinių geometrinės progresijos savybių pristatymui. Čia taip pat pateikiami tipinių problemų sprendimo pavyzdžiai., pasiskolintas iš matematikos stojamųjų egzaminų užduočių.

Pirmiausia atkreipkime dėmesį į pagrindines geometrinės progresijos savybes ir prisiminkime labiausiai svarbias formules ir pareiškimai, susijusi su šia sąvoka.

Apibrėžimas. Skaičių seka vadinama geometrine progresija, jei kiekvienas skaičius, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

Geometrinei progresijaiformulės galioja

, (1)

Kur. Formulė (1) vadinama formule generalinis narys geometrinė progresija, o (2) formulė parodo pagrindinę geometrinės progresijos savybę: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių ir geometriniu vidurkiu.

Pastaba, kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „geometrine“.

Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:

, (3)

Norėdami apskaičiuoti sumą Pirmas geometrinės progresijos nariaitaikoma formulė

Jei pažymime , tada

Kur. Kadangi , (6) formulė yra (5) formulės apibendrinimas.

Tuo atveju, kai ir geometrinė progresijabe galo mažėja. Norėdami apskaičiuoti sumąvisų be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių naudojama formulė

. (7)

Pavyzdžiui , naudodami (7) formulę galime parodyti, Ką

Kur. Šios lygybės gaunamos iš (7) formulės su sąlyga, kad , (pirmoji lygybė) ir , (antroji lygybė).

Teorema. Jei tada

Įrodymas. Jei tada

Teorema įrodyta.

Pereikime prie problemų sprendimo pavyzdžių tema „Geometrinė progresija“.

1 pavyzdys. Atsižvelgiant: , ir . Rasti.

Sprendimas. Jei pritaikysime (5) formulę, tai

Atsakymas:.

2 pavyzdys. Tebūnie. Rasti.

Sprendimas. Kadangi ir , naudojame formules (5), (6) ir gauname lygčių sistemą

Jeigu antroji sistemos (9) lygtis dalinama iš pirmosios, tada arba . Iš to išplaukia, kad . Panagrinėkime du atvejus.

1. Jei tada iš pirmosios sistemos (9) lygties turime.

2. Jei , tada .

3 pavyzdys. Leiskite , ir . Rasti.

Sprendimas. Iš (2) formulės išplaukia, kad arba . Nuo tada arba .

Pagal sąlygą. Tačiau todėl. Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą

Jei antroji sistemos lygtis yra padalinta iš pirmosios, tada arba .

Kadangi lygtis turi unikalią tinkamą šaknį. Šiuo atveju tai išplaukia iš pirmosios sistemos lygties.

Atsižvelgdami į (7) formulę, gauname.

Atsakymas:.

4 pavyzdys. Atsižvelgiant: ir . Rasti.

Sprendimas. Nuo tada.

Nuo tada arba

Pagal (2) formulę turime . Šiuo atžvilgiu iš lygybės (10) gauname arba .

Tačiau pagal sąlygą, todėl.

5 pavyzdys. Yra žinoma, kad. Rasti.

Sprendimas. Pagal teoremą turime dvi lygybes

Nuo tada arba . Nes tada.

Atsakymas:.

6 pavyzdys. Atsižvelgiant: ir . Rasti.

Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname

Nuo tada. Nuo , ir tada .

7 pavyzdys. Tebūnie. Rasti.

Sprendimas. Pagal (1) formulę galime rašyti

Todėl mes turime arba . Yra žinoma, kad ir , todėl ir .

Atsakymas:.

8 pavyzdys. Raskite begalinės mažėjančios geometrinės progresijos vardiklį, jei

Ir .

Sprendimas. Iš (7) formulės išplaukia Ir . Iš čia ir iš uždavinio sąlygų gauname lygčių sistemą

Jei pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė, o tada gautą lygtį padalinkite iš antrosios lygties, tada gauname

Arba .

Atsakymas:.

9 pavyzdys. Raskite visas reikšmes, kurių seka , , yra geometrinė progresija.

Sprendimas. Leiskite , ir . Pagal (2) formulę, kuri apibrėžia pagrindinę geometrinės progresijos savybę, galime parašyti arba .

Iš čia gauname kvadratinę lygtį, kurių šaknys yra Ir .

Patikrinkime: jei, tada , ir ; jei , tada ir .

Pirmuoju atveju turime ir , o antrajame – ir .

Atsakymas: ,.

10 pavyzdys.Išspręskite lygtį

, (11)

kur ir.

Sprendimas. Kairėje lygties pusėje (11) yra begalinės mažėjančios geometrinės progresijos suma, kurioje ir , atsižvelgiant į: ir .

Iš (7) formulės išplaukia, Ką . Šiuo atžvilgiu (11) lygtis įgauna formą arba . Tinkama šaknis kvadratinė lygtis yra

Atsakymas:.

11 pavyzdys. P nuoseklumas teigiami skaičiai sudaro aritmetinę progresiją, A – geometrinė progresija, ką tai turi bendro su . Rasti.

Sprendimas. Nes aritmetinė seka, Tai (pagrindinė aritmetinės progresijos savybė). Nes, tada arba . Tai reiškia, kad geometrinė progresija turi formą. Pagal (2) formulę, tada mes tai užrašome.

Nuo ir tada . Šiuo atveju išraiškaįgauna formą arba . Pagal sąlygą, taigi iš lygties.gauname unikalų nagrinėjamos problemos sprendimą, t.y. .

Atsakymas:.

12 pavyzdys. Apskaičiuokite sumą

. (12)

Sprendimas. Abi lygybės (12) puses padauginkite iš 5 ir gaukite

Jei iš gautos išraiškos atimsime (12)., Tai

arba .

Norėdami apskaičiuoti, reikšmes pakeičiame formule (7) ir gauname . Nuo tada.

Atsakymas:.

Čia pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai pravers stojantiesiems ruošiantis stojamiesiems egzaminams. Gilesniam problemų sprendimo metodų tyrimui, susijusi su geometrine progresija, Galite naudoti vadovėlius iš rekomenduojamos literatūros sąrašo.

1. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į kolegijas / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika gimnazistams: papildomi skyriai mokyklos mokymo programa. – M.: Lenandas / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Pilnas elementarios matematikos kursas uždaviniuose ir pratybose. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Vis dar turite klausimų?

Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.