ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾക്കുള്ള പൈതഗോറിയൻ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ: ഉദാഹരണങ്ങൾ, വിവരണങ്ങൾ, അവലോകനങ്ങൾ

പൈതഗോറസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികൾ

ഒമ്പതാം "എ" ക്ലാസ്സിലെ വിദ്യാർത്ഥി

മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ നമ്പർ 8

ശാസ്ത്ര ഉപദേഷ്ടാവ്:

ഗണിത അധ്യാപകൻ,

മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ നമ്പർ 8

കല. നൊവൊരൊജ്ഹ്ദെസ്ത്വെംസ്കയ

ക്രാസ്നോദർ മേഖല.

കല. നൊവൊരൊജ്ഹ്ദെസ്ത്വെംസ്കയ

വ്യാഖ്യാനം.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ജ്യാമിതിയുടെ ഗതിയിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അത് വളരെ ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്നു. നിരവധി ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം, ഭാവിയിൽ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ ജ്യാമിതി കോഴ്സുകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം. ഈ സിദ്ധാന്തം അതിൻ്റെ രൂപവും തെളിവുകളുടെ രീതികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചരിത്രപരമായ വസ്തുക്കളുടെ ഒരു സമ്പത്തിനാൽ ചുറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ജ്യാമിതിയുടെ വികാസത്തിൻ്റെ ചരിത്രം പഠിക്കുന്നത് ഒരു സ്നേഹം വളർത്തുന്നു ഈ വിഷയം, വൈജ്ഞാനിക താൽപ്പര്യം, പൊതു സംസ്കാരം, സർഗ്ഗാത്മകത എന്നിവയുടെ വികസനം പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഗവേഷണ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

തിരയൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നിറയ്ക്കുകയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതായിരുന്നു സൃഷ്ടിയുടെ ലക്ഷ്യം. കണ്ടെത്താനും അവലോകനം ചെയ്യാനും കഴിഞ്ഞു വിവിധ വഴികൾസ്‌കൂൾ പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ പേജുകൾക്കപ്പുറം വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് തെളിവുകളും ആഴത്തിലാക്കലും.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു മഹത്തായ സിദ്ധാന്തമാണെന്നും അതിന് വലിയ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ പ്രാധാന്യമുണ്ടെന്നും ശേഖരിച്ച മെറ്റീരിയൽ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നു.

ആമുഖം. ചരിത്രപരമായ പരാമർശം 5 പ്രധാന ഭാഗം 8

3. ഉപസംഹാരം 19

4. ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യം 20
1. ആമുഖം. ചരിത്രപരമായ റഫറൻസ്.

സത്യത്തിൻ്റെ സാരാംശം അത് എന്നേക്കും നമുക്കുവേണ്ടിയാണ്,

ഒരിക്കലെങ്കിലും അവളുടെ ഉൾക്കാഴ്ചയിൽ നാം വെളിച്ചം കാണുമ്പോൾ,

പിന്നെ വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം

ഞങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അവനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം അത് നിഷേധിക്കാനാവാത്തതും കുറ്റമറ്റതുമാണ്.

സന്തോഷിക്കാനായി, പൈതഗോറസ് ദേവന്മാരോട് ഒരു നേർച്ച നേർന്നു:

അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തെ സ്പർശിച്ചതിന്,

അവൻ നൂറു കാളകളെ അറുത്തു, നിത്യതയ്ക്ക് നന്ദി;

ഇരയ്ക്ക് ശേഷം അദ്ദേഹം പ്രാർത്ഥനകളും സ്തുതികളും നൽകി.

അന്നുമുതൽ, കാളകൾ മണക്കുമ്പോൾ, അവർ തള്ളുന്നു,

ആ പാത വീണ്ടും ഒരു പുതിയ സത്യത്തിലേക്ക് ആളുകളെ നയിക്കുന്നു,

അവർ ക്രോധത്തോടെ അലറുന്നു, അതിനാൽ കേൾക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല,

അത്തരം പൈതഗോറസ് എന്നെന്നേക്കുമായി അവരിൽ ഭീതി ജനിപ്പിച്ചു.

പുതിയ സത്യത്തെ ചെറുക്കാൻ ശക്തിയില്ലാത്ത കാളകൾ,

എന്താണ് അവശേഷിക്കുന്നത്? - നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾ അടയ്ക്കുക, അലറുക, വിറയ്ക്കുക.

പൈതഗോറസ് തൻ്റെ സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെ തെളിയിച്ചുവെന്ന് അറിയില്ല. ഈജിപ്ഷ്യൻ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ശക്തമായ സ്വാധീനത്തിലാണ് അദ്ദേഹം അത് കണ്ടെത്തിയത് എന്നത് ഉറപ്പാണ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് - 3, 4, 5 വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ - പൈതഗോറസിൻ്റെ ജനനത്തിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ പിരമിഡുകളുടെ നിർമ്മാതാക്കൾക്ക് അറിയാമായിരുന്നു, അദ്ദേഹം തന്നെ ഈജിപ്ഷ്യൻ പുരോഹിതന്മാരുമായി 20 വർഷത്തിലേറെ പഠിച്ചു. തൻ്റെ പ്രസിദ്ധമായ സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ച പൈതഗോറസ് ദേവന്മാർക്ക് ഒരു കാളയെ ബലിയർപ്പിച്ചുവെന്നും മറ്റ് സ്രോതസ്സുകൾ പ്രകാരം 100 കാളകളെ പോലും ബലിയർപ്പിച്ചുവെന്നും ഒരു ഐതിഹ്യം സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് പൈതഗോറസിൻ്റെ ധാർമ്മികവും മതപരവുമായ വീക്ഷണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾക്ക് വിരുദ്ധമാണ്. സാഹിത്യ സ്രോതസ്സുകളിൽ നിങ്ങൾക്ക് വായിക്കാൻ കഴിയും, "മൃഗങ്ങളെ കൊല്ലുന്നത് പോലും അദ്ദേഹം വിലക്കി, അവയ്ക്ക് ഭക്ഷണം നൽകുന്നത് വളരെ കുറവാണ്, കാരണം മൃഗങ്ങൾക്കും നമ്മെപ്പോലെ ആത്മാക്കൾ ഉണ്ട്." പൈതഗോറസ് തേൻ, റൊട്ടി, പച്ചക്കറികൾ, ഇടയ്ക്കിടെ മത്സ്യം എന്നിവ മാത്രം കഴിച്ചു. ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി കൂടുതൽ വിശ്വസനീയമായി കണക്കാക്കാം: "... ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് കാലുകളുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ പോലും, അദ്ദേഹം ഗോതമ്പ് കുഴച്ചുകൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച കാളയെ ബലിയർപ്പിച്ചു."

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ജനപ്രീതി വളരെ വലുതാണ്, അതിൻ്റെ തെളിവുകൾ ഫിക്ഷനിൽ പോലും കാണപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശസ്ത ഇംഗ്ലീഷ് എഴുത്തുകാരനായ ഹക്സ്ലിയുടെ "യംഗ് ആർക്കിമിഡീസ്" എന്ന കഥയിൽ. അതേ തെളിവ്, എന്നാൽ ഒരു ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസിന്, പ്ലേറ്റോയുടെ ഡയലോഗ് "മെനോ" ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

"വീട്" എന്ന യക്ഷിക്കഥ.

“വിമാനങ്ങൾ പോലും പറക്കാത്ത ദൂരെ, ദൂരെയാണ് ജ്യാമിതിയുടെ രാജ്യം. ഈ അസാധാരണ രാജ്യത്ത് ഒരു അത്ഭുതകരമായ നഗരം ഉണ്ടായിരുന്നു - ടിയോറെം നഗരം. ഒരു ദിവസം ഞാൻ ഈ നഗരത്തിൽ വന്നു മനോഹരിയായ പെൺകുട്ടി Hypotenuse എന്ന് പേരിട്ടു. അവൾ ഒരു മുറി വാടകയ്ക്ക് എടുക്കാൻ ശ്രമിച്ചു, പക്ഷേ അവൾ എവിടെ അപേക്ഷിച്ചിട്ടും അവൾ നിരസിച്ചു. അവസാനം അവൾ പൊളിഞ്ഞ വീടിൻ്റെ അടുത്തെത്തി മുട്ടി. സ്വയം വലത് ആംഗിൾ എന്ന് സ്വയം വിളിക്കുന്ന ഒരാൾ അവൾക്ക് വാതിൽ തുറന്നു, അവൻ തന്നോടൊപ്പം ജീവിക്കാൻ ഹൈപ്പോടെനസിനെ ക്ഷണിച്ചു. റൈറ്റ് ആംഗിളും കാറ്റെറ്റ്സ് എന്നു പേരുള്ള അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ രണ്ട് ചെറിയ ആൺമക്കളും താമസിച്ചിരുന്ന വീട്ടിൽ ഹൈപ്പോടെൻസ് തുടർന്നു. അതിനുശേഷം, റൈറ്റ് ആംഗിൾ വീട്ടിലെ ജീവിതം ഒരു പുതിയ രീതിയിൽ മാറി. ജനാലയിൽ പൂക്കൾ നട്ടുപിടിപ്പിച്ച ഹൈപ്പോട്ടെനസ് മുൻവശത്തെ പൂന്തോട്ടത്തിൽ ചുവന്ന റോസാപ്പൂക്കൾ നട്ടു. വീടിന് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആകൃതി ലഭിച്ചു. രണ്ട് കാലുകളും ഹൈപ്പോടെനസിനെ ശരിക്കും ഇഷ്ടപ്പെടുകയും അവരുടെ വീട്ടിൽ എന്നേക്കും താമസിക്കാൻ അവളോട് ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു. വൈകുന്നേരങ്ങളിൽ, ഈ സൗഹൃദ കുടുംബം കുടുംബ മേശയിൽ ഒത്തുകൂടുന്നു. ചിലപ്പോൾ റൈറ്റ് ആംഗിൾ തൻ്റെ കുട്ടികളുമായി ഒളിച്ചു കളിക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും അവൻ നോക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഹൈപ്പോടെനസ് വളരെ സമർത്ഥമായി മറയ്ക്കുന്നു, അത് കണ്ടെത്താൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഒരു ദിവസം, കളിക്കുമ്പോൾ, റൈറ്റ് ആംഗിൾ രസകരമായ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ശ്രദ്ധിച്ചു: കാലുകൾ കണ്ടെത്താൻ അയാൾക്ക് കഴിഞ്ഞാൽ, ഹൈപ്പോടെനസ് കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. അതിനാൽ റൈറ്റ് ആംഗിൾ ഈ പാറ്റേൺ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഞാൻ പറയണം, വളരെ വിജയകരമായി. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഈ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

(എ. ഒകുനെവിൻ്റെ പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് "പാഠത്തിന് നന്ദി, കുട്ടികൾ").

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു തമാശ രൂപീകരണം:

നമുക്ക് ഒരു ത്രികോണം നൽകിയാൽ

കൂടാതെ, ഒരു വലത് കോണിൽ,

അതാണ് ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ ചതുരം

ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

ഞങ്ങൾ കാലുകൾ ചതുരമാക്കുന്നു,

ശക്തികളുടെ ആകെത്തുക ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു -

അത്രയും ലളിതമായ രീതിയിൽ

ഞങ്ങൾ ഫലത്തിലേക്ക് വരും.

പത്താം ക്ലാസിൽ ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെയും ജ്യാമിതിയുടെയും തുടക്കവും പഠിക്കുമ്പോൾ, എട്ടാം ക്ലാസിൽ ചർച്ച ചെയ്ത പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്ന രീതിക്ക് പുറമേ, മറ്റ് തെളിവ് രീതികളും ഉണ്ടെന്ന് എനിക്ക് ബോധ്യമായി. നിങ്ങളുടെ പരിഗണനയ്ക്കായി ഞാൻ അവ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
2. പ്രധാന ഭാഗം.

സിദ്ധാന്തം. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഒരു ചതുരം ഉണ്ട്

ഹൈപ്പോടെനസ് തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങൾ.

1 രീതി.

ബഹുഭുജങ്ങളുടെ മേഖലകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോട്ടീനസും കാലുകളും തമ്മിൽ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ബന്ധം ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കും.

തെളിവ്.

എ, സിഹൈപ്പോടെൻസും കൂടെ(ചിത്രം 1, എ).

അത് തെളിയിക്കട്ടെ c²=a²+b².

തെളിവ്.

നമുക്ക് ത്രികോണം വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിലേക്ക് പൂർത്തിയാക്കാം a + bചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ. 1, ബി. ഈ ചതുരത്തിൻ്റെ S ഏരിയ (a + b)² ആണ്. മറുവശത്ത്, ഈ ചതുരം നാല് തുല്യ വലത് കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളാൽ നിർമ്മിതമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ½ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട് ഓ, വശമുള്ള ഒരു ചതുരം കൂടെ,അതുകൊണ്ട് എസ് = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

അങ്ങനെ,

(a + b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
2 രീതി.

"സമാന ത്രികോണങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം പഠിച്ച ശേഷം, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിൽ നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനത പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കണ്ടെത്തി. അതായത്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാൽ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ശരാശരി ആനുപാതികമാണ് എന്ന പ്രസ്താവന ഞാൻ ഉപയോഗിച്ചു വലത് കോൺ.

വലത് ആംഗിൾ സി, സിഡി - ഉയരം (ചിത്രം 2) ഉള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക. അത് തെളിയിക്കട്ടെ എ.സി² +NE² = എബി² .

തെളിവ്.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലിനെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി:

AC = , SV = .

നമുക്ക് സ്ക്വയർ ചെയ്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതകൾ ചേർക്കാം:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), ഇവിടെ AD+DB=AB, തുടർന്ന്

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.
3 രീതി.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ നിശിതകോണിൻ്റെ കോസൈനിൻ്റെ നിർവചനം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് ചിത്രം നോക്കാം. 3.

തെളിവ്:

ABC എന്നത് വലത് കോണുള്ള C ഉള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ. C. വലത് കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഉയരമുള്ള CD വരയ്ക്കാം.

ഒരു കോണിൻ്റെ കോസൈൻ നിർവ്വചനം പ്രകാരം:

cos A = AD/AC = AC/AB. അതിനാൽ AB * AD = AC²

അതുപോലെ,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

അതിനാൽ AB * BD = BC².

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതകൾ ടേം പ്രകാരം ചേർത്ത് AD + DB = AB എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എ.സി² + സൂര്യൻ² = AB (AD + DB) = എബി²

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.
4 രീതി.

"ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം" എന്ന വിഷയം പഠിച്ച ശേഷം, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മറ്റൊരു രീതിയിൽ തെളിയിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക എ, സിഹൈപ്പോടെൻസും കൂടെ. (ചിത്രം 4).

അത് തെളിയിക്കട്ടെ c²=a²+b².

തെളിവ്.

പാപം B=ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളത് ; കോസ് B= a/c , തുടർന്ന്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതകൾ വർഗ്ഗീകരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പാപം² B= in²/s²; cos² IN= a²/c².

അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പാപം² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², എവിടെ sin² IN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², അതിനാൽ,

c²= a² + b².

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

5 രീതി.

ഈ തെളിവ് കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങൾ മുറിച്ച് (ചിത്രം 5) ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിൽ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭാഗങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

6 രീതി.

വശത്ത് തെളിവിനായി സൂര്യൻഞങ്ങൾ പണിയുകയാണ് ബി.സി.ഡി എബിസി(ചിത്രം 6). സമാന രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകൾ അവയുടെ സമാന രേഖീയ അളവുകളുടെ ചതുരങ്ങളായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം:

ആദ്യത്തെ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

c2 = a2 + b2.

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

7 രീതി.

നൽകിയത്(ചിത്രം 7):

എബിസി,= 90° , സൂര്യൻ= a, AC=b, AB = c.

തെളിയിക്കുക:c2 = a2 +b2.

തെളിവ്.

കാല് അനുവദിക്കുക ബി എ.നമുക്ക് സെഗ്മെൻ്റ് തുടരാം NEഓരോ പോയിൻ്റിനും INകൂടാതെ ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുക ബിഎംഡിഅങ്ങനെ പോയിൻ്റുകൾ എംഒപ്പം എനേർരേഖയുടെ ഒരു വശത്ത് കിടന്നു സി.ഡികൂടാതെ, BD =b, ബി.ഡി.എം= 90°, ഡിഎം= എ, അപ്പോൾ ബിഎംഡി= എബിസിരണ്ട് വശങ്ങളിലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിലും. പോയിൻ്റുകൾ എ ഒപ്പം എംസെഗ്മെൻ്റുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുക എ.എം.നമുക്ക് ഉണ്ട് എം.ഡി. സി.ഡിഒപ്പം എ.സി. സിഡി,അതിനർത്ഥം അത് നേരായതാണ് എ.സിവരയ്ക്ക് സമാന്തരമായി എം.ഡി.കാരണം എം.ഡി.< АС, പിന്നെ നേരെ സി.ഡിഒപ്പം എ.എം.സമാന്തരമല്ല. അതുകൊണ്ടു, AMDC-ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രപസോയിഡ്.

വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ ABC ഉം ബിഎംഡി 1 + 2 = 90°, 3 + 4 = 90°, എന്നാൽ = = എന്നതിനാൽ 3 + 2 = 90°; പിന്നെ എ.വി.എം=180° - 90° = 90°. ട്രപസോയിഡ് ആണെന്ന് തെളിഞ്ഞു എഎംഡിസിമൂന്ന് ഓവർലാപ്പുചെയ്യാത്ത വലത് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് ഏരിയ ആക്സിയോമുകൾ പ്രകാരം

(a+b)(a+b)

അസമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

എb + c2 + ab = (a +b) , 2 എബി+ c2 = a2+ 2aബി+ b2,

c2 = a2 + b2.

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

8 രീതി.

ഈ രീതി ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും കാലുകളും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് എബിസി.അവൻ അനുബന്ധ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുകയും ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 8).

തെളിവ്.

1) ഡിബിസി= FBA= 90 °;

DBC+ എബിസി= FBA+ എബിസി,അർത്ഥമാക്കുന്നത്, FBC = DBA.

അങ്ങനെ, FBC=എബിഡി(രണ്ട് വശങ്ങളിലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിലും).

2) , ഇവിടെ AL DE, BD ഒരു പൊതു അടിത്തറയായതിനാൽ, DL-ആകെ ഉയരം.

3) , FB ഒരു അടിത്തറയായതിനാൽ, എബി- ആകെ ഉയരം.

4)

5) അതുപോലെ, അത് തെളിയിക്കാനാകും

6) ടേം അനുസരിച്ച് ടേം ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

, BC2 = AB2 + AC2 . തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

9 രീതി.

തെളിവ്.

1) അനുവദിക്കുക എബിഡിഇ- ഒരു ചതുരം (ചിത്രം 9), അതിൻ്റെ വശം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന് തുല്യമാണ് എബിസി= s, BC = a, AC =b).

2) അനുവദിക്കുക ഡി.കെ ബി.സി.ഒപ്പം DK = സൂര്യൻ, 1 + 2 = 90° (ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂർച്ചയുള്ള കോണുകൾ പോലെ), 3 + 2 = 90° (ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ കോൺ പോലെ), എബി= BD(ചതുരത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ).

അർത്ഥമാക്കുന്നത്, എബിസി= ബി.ഡി.കെ(ഹൈപ്പോടെന്യൂസും അക്യൂട്ട് ആംഗിളും വഴി).

3) അനുവദിക്കുക EL ഡി.കെ., എ.എം. ഇ.എൽ. ABC = BDK = DEL = EAM (കാലുകളോടെ) എന്ന് എളുപ്പത്തിൽ തെളിയിക്കാനാകും എഒപ്പം b).പിന്നെ കെ.എസ്= സെമി= എം.എൽ.= എൽ.കെ.= എ -ബി.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (എ - ബി),കൂടെ2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

10 രീതി.

"പൈതഗോറിയൻ പാൻ്റ്സ്" (ചിത്രം 10) എന്ന് തമാശയായി വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൽ തെളിവ് നടത്താം. വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളെ തുല്യ ത്രികോണങ്ങളാക്കി മാറ്റുക എന്നതാണ് ഇതിൻ്റെ ആശയം, അത് ഒരുമിച്ച് ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ചതുരം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

എബിസിഅമ്പടയാളം കാണിക്കുന്നതുപോലെ അത് നീക്കുക, അത് സ്ഥാനം പിടിക്കുന്നു കെ.ഡി.എൻ.ബാക്കിയുള്ള ചിത്രം എകെഡിസിബിസമചതുരത്തിൻ്റെ തുല്യ വിസ്തീർണ്ണം എ.കെ.ഡി.സിഇതൊരു സമാന്തരരേഖയാണ് എ.കെ.എൻ.ബി.

ഒരു പാരലലോഗ്രാം മോഡൽ നിർമ്മിച്ചു എ.കെ.എൻ.ബി. സൃഷ്ടിയുടെ ഉള്ളടക്കത്തിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഞങ്ങൾ സമാന്തരചലനം പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു. ഒരു സമാന്തര ത്രികോണം തുല്യ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു ത്രികോണമായി മാറുന്നത് കാണിക്കാൻ, വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മുന്നിൽ, ഞങ്ങൾ മോഡലിൽ ഒരു ത്രികോണം വെട്ടി താഴേക്ക് നീക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എ.കെ.ഡി.സിദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായി മാറി. അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

ഒരു വശത്ത് നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിന് ഒരു പരിവർത്തനം നടത്താം എ(ചിത്രം 11,എ):

a) സമചതുരം തുല്യ സമാന്തരമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 11.6):

b) സമാന്തരരേഖ ഒരു പാദത്തിൽ കറങ്ങുന്നു (ചിത്രം 12):

c) സമാന്തരരേഖ ഒരു തുല്യ ദീർഘചതുരമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 13): 11 രീതി.

തെളിവ്:

PCL -നേരായ (ചിത്രം 14);

KLOA= എ.സി.പി.എഫ്= എസിഇഡി= a2;

എൽജിബിഒ= SVMR =CBNQ= ബി 2;

എ.കെ.ജി.ബി= AKLO +എൽജിബിഒ= c2;

c2 = a2 + b2.

തെളിവ് തീർന്നു .

12 രീതി.

അരി. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു യഥാർത്ഥ തെളിവ് ചിത്രം 15 വ്യക്തമാക്കുന്നു.

ഇവിടെ: വലത് ആംഗിൾ C ഉള്ള ABC ത്രികോണം; ലൈൻ സെഗ്മെൻ്റ് ബി.എഫ്.ലംബമായി NEഅതിന് തുല്യമായ, സെഗ്മെൻ്റ് BEലംബമായി എബിഅതിന് തുല്യമായ, സെഗ്മെൻ്റ് എ.ഡിലംബമായി എ.സിഅതിന് തുല്യവും; പോയിൻ്റുകൾ എഫ്, സി,ഡിഒരേ വരിയിൽ പെട്ടതാണ്; ചതുർഭുജങ്ങൾ എ.ഡി.എഫ്.ബിഒപ്പം ASVEവലിപ്പത്തിൽ തുല്യമാണ്, മുതൽ ABF = ECB;ത്രികോണങ്ങൾ എ.ഡി.എഫ്ഒപ്പം എസിഇവലിപ്പത്തിൽ തുല്യമാണ്; രണ്ട് തുല്യ ചതുർഭുജങ്ങളിൽ നിന്നും അവ പങ്കിടുന്ന ത്രികോണം കുറയ്ക്കുക എബിസി,നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

, c2 = a2 + b2.

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

13 രീതി.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഒരു വശത്ത്, തുല്യമാണ് , മറ്റൊന്നിനൊപ്പം, ,

3. ഉപസംഹാരം.

തിരയൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നിറയ്ക്കുകയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതായിരുന്നു സൃഷ്ടിയുടെ ലക്ഷ്യം. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ പേജുകൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് അത് തെളിയിക്കാനും വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആഴത്തിലാക്കാനും വിവിധ മാർഗങ്ങൾ കണ്ടെത്താനും പരിഗണിക്കാനും സാധിച്ചു.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ജ്യാമിതിയുടെ മഹത്തായ സിദ്ധാന്തമാണെന്നും അതിന് വലിയ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ പ്രാധാന്യമുണ്ടെന്നും ഞാൻ ശേഖരിച്ച മെറ്റീരിയൽ എന്നെ കൂടുതൽ ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നു. ഉപസംഹാരമായി, ഞാൻ പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: പൈതഗോറിയൻ ത്രിമൂർത്തി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ജനപ്രീതിക്ക് കാരണം അതിൻ്റെ സൗന്ദര്യവും ലാളിത്യവും പ്രാധാന്യവുമാണ്!

4. ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യം.

1. വിനോദ ബീജഗണിതം. . മോസ്കോ "സയൻസ്", 1978.

2. 24/2001 "സെപ്റ്റംബർ ആദ്യം" എന്ന പത്രത്തിന് പ്രതിവാര വിദ്യാഭ്യാസപരവും രീതിശാസ്ത്രപരവുമായ സപ്ലിമെൻ്റ്.

3. ജ്യാമിതി 7-9. തുടങ്ങിയവ.

4. ജ്യാമിതി 7-9. തുടങ്ങിയവ.

പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം

മറ്റ് സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും പ്രശ്നങ്ങളുടെയും വിധി വിചിത്രമാണ്... ഉദാഹരണത്തിന്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രേമികളുടെയും ഭാഗത്തുനിന്നുള്ള അസാധാരണമായ ശ്രദ്ധയെ എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കാം? എന്തുകൊണ്ടാണ് അവരിൽ പലരും ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന തെളിവുകളിൽ തൃപ്തരായില്ല, പക്ഷേ സ്വന്തമായി കണ്ടെത്തി, തെളിവുകളുടെ എണ്ണം താരതമ്യേന മുൻകൂട്ടിക്കാണാൻ കഴിയുന്ന നൂറിലധികം ഇരുപത്തിയഞ്ച് നൂറ്റാണ്ടുകളായി കൊണ്ടുവന്നു?
എപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച്, അസാധാരണമായത് അതിൻ്റെ പേരിൽ ആരംഭിക്കുന്നു. ഇത് ആദ്യം രൂപപ്പെടുത്തിയത് പൈതഗോറസ് അല്ലെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഇതിന് തെളിവ് നൽകിയതും സംശയാസ്പദമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പൈതഗോറസ് ഒരു യഥാർത്ഥ വ്യക്തിയാണെങ്കിൽ (ചിലർ ഇത് സംശയിക്കുന്നു!), അവൻ മിക്കവാറും 6-5 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ ജീവിച്ചിരിക്കാം. ബി.സി ഇ. അദ്ദേഹം തന്നെ ഒന്നും എഴുതിയില്ല, സ്വയം ഒരു തത്ത്വചിന്തകൻ എന്ന് വിളിച്ചു, അതിനർത്ഥം "ജ്ഞാനത്തിനായി പരിശ്രമിക്കുക" എന്നാണ്, കൂടാതെ പൈതഗോറിയൻ യൂണിയൻ സ്ഥാപിച്ചു, അതിൽ അംഗങ്ങൾ സംഗീതം, ജിംനാസ്റ്റിക്സ്, ഗണിതം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജ്യോതിശാസ്ത്രം എന്നിവ പഠിച്ചു. പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, അദ്ദേഹം ഒരു മികച്ച പ്രാസംഗികൻ കൂടിയായിരുന്നു, ക്രോട്ടൺ നഗരത്തിലെ അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ താമസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇനിപ്പറയുന്ന ഐതിഹ്യത്തിന് തെളിവ്: “ക്രോട്ടണിലെ ആളുകൾക്ക് മുമ്പാകെ പൈതഗോറസിൻ്റെ ആദ്യ രൂപം യുവാക്കളോട് ഒരു പ്രസംഗത്തോടെ ആരംഭിച്ചു, അതിൽ അദ്ദേഹം അങ്ങനെയായിരുന്നു. കർശനമായ, എന്നാൽ അതേ സമയം യുവാക്കളുടെ കടമകൾ വളരെ ആകർഷകമായി വിവരിച്ചു, നഗരത്തിലെ മുതിർന്നവർ അവരെ ഉപദേശമില്ലാതെ ഉപേക്ഷിക്കരുതെന്ന് ആവശ്യപ്പെട്ടു. ഈ രണ്ടാമത്തെ പ്രസംഗത്തിൽ അദ്ദേഹം കുടുംബത്തിൻ്റെ അടിത്തറയായി ധാർമ്മികതയുടെ നിയമപരതയും വിശുദ്ധിയും ചൂണ്ടിക്കാട്ടി; അടുത്ത രണ്ടിൽ അദ്ദേഹം കുട്ടികളെയും സ്ത്രീകളെയും അഭിസംബോധന ചെയ്തു. അനന്തരഫലം അവസാന പ്രസംഗം, അതിൽ അദ്ദേഹം പ്രത്യേകിച്ച് ആഡംബരത്തെ അപലപിച്ചു, ആയിരക്കണക്കിന് വിലയേറിയ വസ്ത്രങ്ങൾ ഹീരയുടെ ക്ഷേത്രത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചു, കാരണം ഒരു സ്ത്രീ പോലും തെരുവിൽ അവയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ ധൈര്യപ്പെട്ടില്ല ... "എന്നിരുന്നാലും, AD രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പോലും, അതായത്. ... 700 വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, വളരെ യഥാർത്ഥ ആളുകൾ ജീവിക്കുകയും പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്തു, പൈതഗോറിയൻ യൂണിയൻ്റെ സ്വാധീനത്തിൻ കീഴിലുള്ള അസാധാരണ ശാസ്ത്രജ്ഞരും ഐതിഹ്യമനുസരിച്ച്, പൈതഗോറസ് സൃഷ്ടിച്ച കാര്യങ്ങളിൽ വലിയ ബഹുമാനവും ഉണ്ടായിരുന്നു.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ കേന്ദ്രസ്ഥാനങ്ങളിലൊന്ന് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വസ്തുതയും, റോമൻ കവി ക്വിൻ്റസ് ഹോറസ് ഫ്ലാക്കസിൻ്റെ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ തരണം ചെയ്ത തെളിവുകളുടെ രചയിതാക്കളുടെ സംതൃപ്തിയും ഈ സിദ്ധാന്തത്തോടുള്ള താൽപ്പര്യത്തിന് കാരണമാകുന്നു എന്നതിൽ സംശയമില്ല. നമ്മുടെ യുഗത്തിന് മുമ്പ് ജീവിച്ചിരുന്ന അദ്ദേഹം നന്നായി പറഞ്ഞു: "അറിയപ്പെടുന്ന വസ്തുതകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്."
തുടക്കത്തിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിലും കാലുകളിലും നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ മേഖലകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിച്ചു:
.
ബീജഗണിത രൂപീകരണം:
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
അതായത്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം c കൊണ്ടും കാലുകളുടെ നീളം a, b എന്നിവ കൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കുന്നു: a 2 + b 2 =c 2. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഫോർമുലേഷനുകളും തുല്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലേഷൻ കൂടുതൽ പ്രാഥമികമാണ്; ഇതിന് ഏരിയ എന്ന ആശയം ആവശ്യമില്ല. അതായത്, പ്രദേശത്തെക്കുറിച്ച് ഒന്നും അറിയാതെയും ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാത്രം അളക്കുന്നതിലൂടെയും രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും.
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാറ്റുക. ഓരോ മൂന്നിനും പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾഎ, ബി, സി
a 2 + b 2 = c 2, a, b എന്നീ കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട്, കൂടാതെ ഹൈപ്പോട്ടെനസ് c.

തെളിവ്

ഓൺ ഈ നിമിഷംഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ 367 തെളിവുകൾ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാത്രമാണ് ഇത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകളുള്ള ഏക സിദ്ധാന്തം. ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രാധാന്യത്താൽ മാത്രമേ അത്തരം വൈവിധ്യത്തെ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.
തീർച്ചയായും, ആശയപരമായി അവയെല്ലാം ഒരു ചെറിയ എണ്ണം ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത്: ഏരിയ രീതിയുടെ തെളിവുകൾ, ആക്സിയോമാറ്റിക്, എക്സോട്ടിക് തെളിവുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്).

സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളിലൂടെ

ബീജഗണിത രൂപീകരണത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവ് സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് നിർമ്മിച്ച തെളിവുകളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇത് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.
ABC വലത് കോണുള്ള ഒരു ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ C. C യിൽ നിന്ന് ഉയരം വരച്ച് അതിൻ്റെ അടിത്തറയെ H കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ത്രികോണം ABCരണ്ട് മൂലകളിൽ.
അതുപോലെ, ത്രികോണം CBH എബിസിക്ക് സമാനമാണ്. നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എന്താണ് തുല്യം

അത് കൂട്ടിയാൽ നമുക്ക് കിട്ടും

അഥവാ

ഏരിയ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള തെളിവുകൾ

ചുവടെയുള്ള തെളിവുകൾ, അവയുടെ വ്യക്തമായ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത്ര ലളിതമല്ല. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവാണ് അവയെല്ലാം പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

സജ്ജീകരണത്തിലൂടെയുള്ള തെളിവ്

1. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നാല് തുല്യ വലത് ത്രികോണങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുക.
2. സി വശങ്ങളുള്ള ഒരു ചതുർഭുജം രണ്ടിൻ്റെ ആകെത്തുക ആയതിനാൽ ഒരു ചതുരമാണ് മൂർച്ചയുള്ള മൂലകൾ 90°, മടക്കാത്ത ആംഗിൾ 180° ആണ്.
3. മുഴുവൻ രൂപത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്, ഒരു വശത്ത്, വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം (a + b), മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണവും അകത്തെ ചതുരം.



ക്യു.ഇ.ഡി.

തുല്യത വഴിയുള്ള തെളിവുകൾ

അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു തെളിവിൻ്റെ ഉദാഹരണം വലതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, അവിടെ ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച രണ്ട് ചതുരങ്ങളാക്കി പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു.

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവ്

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവിൻ്റെ ആശയം ഇപ്രകാരമാണ്: ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പകുതി ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് വിസ്തീർണ്ണം വലുതും രണ്ട് ചെറുതുമായ സമചതുരങ്ങൾ തുല്യമാണ്. ഇടതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം. അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച്, AB എന്ന ഹൈപ്പോട്ടീനസിന് ലംബമായി C വലത്കോണിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണങ്ങൾ വരച്ചു, അത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ABIK എന്ന ചതുരത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു - BHJI, HAKJ, യഥാക്രമം. ഈ ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ അനുബന്ധ കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. DECA ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ദീർഘചതുരം AHJK യുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു സഹായ നിരീക്ഷണം ഉപയോഗിക്കും: ഒരേ ഉയരവും അടിത്തറയുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം തന്നിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരം നൽകിയിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെയും ഉയരത്തിൻ്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നമായി നിർവചിക്കുന്നതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണിത്. ഈ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്ന്, ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം AHK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിട്ടില്ല), ഇത് AHJK ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം DECA യുടെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം. ഇതിനായി ചെയ്യേണ്ട ഒരേയൊരു കാര്യം ACK, BDA എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കുക എന്നതാണ് (ത്രികോണ BDA യുടെ വിസ്തീർണ്ണം മുകളിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ). ഈ സമത്വം വ്യക്തമാണ്, ത്രികോണങ്ങൾ ഇരുവശത്തും തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും. അതായത് - AB=AK, AD=AC - CAK, BAD എന്നീ കോണുകളുടെ സമത്വം ചലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ഞങ്ങൾ CAK 90° ത്രികോണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും അനുബന്ധ വശങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്. ചോദ്യം ഒത്തുചേരും (ചതുരത്തിൻ്റെ ശീർഷത്തിലെ കോൺ 90° ആയതിനാൽ). ചതുരാകൃതിയിലുള്ള BCFG യുടെയും BHJI ചതുരത്തിൻ്റെയും സമത്വത്തിൻ്റെ ന്യായവാദം പൂർണ്ണമായും സമാനമാണ്. അങ്ങനെ, ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു.

ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ തെളിവ്

തെളിവിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ സമമിതിയും ചലനവുമാണ്.

സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നത് പോലെ, ഡ്രോയിംഗ് പരിഗണിക്കാം, സെഗ്മെൻ്റ് CI സ്ക്വയർ ABHJ രണ്ട് സമാന ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു (നിർമ്മാണത്തിൽ ABC, JHI ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ). 90-ഡിഗ്രി എതിർ ഘടികാരദിശയിലുള്ള ഭ്രമണം ഉപയോഗിച്ച്, ഷേഡുള്ള CAJI, GDAB എന്നിവയുടെ തുല്യത ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. നമ്മൾ ഷേഡുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പകുതി ഭാഗങ്ങളുടെയും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്. മറുവശത്ത്, ഇത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിനും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനും തുല്യമാണ്. അവസാന ഘട്ടംതെളിവ് വായനക്കാരന് നൽകുന്നു.

പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തംയൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്ന്, ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിൽ.

ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പൈതഗോറസാണ് ഇത് തെളിയിച്ചതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ രൂപീകരണം.

ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യം രൂപപ്പെടുത്തിയത് ഇപ്രകാരമാണ്:

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്,

കാലുകളിൽ പണിതു.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ബീജഗണിത രൂപീകരണം.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

അതായത്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ ദൈർഘ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു സി, ഒപ്പം കാലുകളുടെ നീളവും എഒപ്പം ബി:

രണ്ട് ഫോർമുലേഷനുകളും പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തംതുല്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലേഷൻ കൂടുതൽ പ്രാഥമികമാണ്, അത് അങ്ങനെയല്ല

പ്രദേശം എന്ന ആശയം ആവശ്യമാണ്. അതായത്, രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന പ്രദേശത്തെ കുറിച്ച് ഒന്നും അറിയാതെയും പരിശോധിക്കാം

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാത്രം അളക്കുന്നതിലൂടെ.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാറ്റുക.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ,

മട്ട ത്രികോണം.

അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ:

ഓരോ ട്രിപ്പിൾ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും എ, ബിഒപ്പം സി, അത്തരം

കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട് എഒപ്പം ബിഹൈപ്പോടെൻസും സി.

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവുകൾ.

നിലവിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ 367 തെളിവുകൾ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ സിദ്ധാന്തം

ഇത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകളുള്ള ഒരേയൊരു സിദ്ധാന്തമാണ് പൈതഗോറസ്. അത്തരം വൈവിധ്യം

ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രാധാന്യത്താൽ മാത്രമേ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.

തീർച്ചയായും, ആശയപരമായി അവയെല്ലാം ഒരു ചെറിയ എണ്ണം ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായത്:

തെളിവ് ഏരിയ രീതി, അച്ചുതണ്ട്ഒപ്പം വിദേശ തെളിവുകൾ(ഉദാഹരണത്തിന്,

ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ).

1. സമാനമായ ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്.

ബീജഗണിത രൂപീകരണത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവ് നിർമ്മിച്ച തെളിവുകളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്

സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇത് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.

അനുവദിക്കുക എബിസിവലത് കോണുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട് സി. നമുക്ക് ഉയരം വരയ്ക്കാം സിസൂചിപ്പിക്കുന്നു

അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം വഴി എച്ച്.

ത്രികോണം ACHഒരു ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ് എബിരണ്ട് കോണുകളിൽ സി. അതുപോലെ, ത്രികോണം സി.ബി.എച്ച്സമാനമായ എബിസി.

നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ:

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

,

ഏതാണ് യോജിക്കുന്നത് -

മടക്കി എ 2 ഒപ്പം ബി 2, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അല്ലെങ്കിൽ, തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ട കാര്യമാണ്.

2. ഏരിയ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്.

ചുവടെയുള്ള തെളിവുകൾ, അവയുടെ വ്യക്തമായ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത്ര ലളിതമല്ല. അവരെല്ലാവരും

പ്രദേശത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുക, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവുകളേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവുകൾ.

• സമപൂരകതയിലൂടെയുള്ള തെളിവ്.

നമുക്ക് നാല് തുല്യ ചതുരാകൃതിയിൽ ക്രമീകരിക്കാം

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ത്രികോണം

വലതുവശത്ത്.

വശങ്ങളുള്ള ചതുരാകൃതി സി- സമചതുരം Samachathuram,

രണ്ട് നിശിതകോണുകളുടെ ആകെത്തുക 90° ആയതിനാൽ, ഒപ്പം

മടക്കാത്ത ആംഗിൾ - 180°.

മുഴുവൻ രൂപത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്, ഒരു വശത്ത്,

വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ( a+b), മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തൃതികളുടെ ആകെത്തുക

ക്യു.ഇ.ഡി.

3. അനന്തമായ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്.

​

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗ് നോക്കുന്നു ഒപ്പം

സൈഡ് മാറുന്നത് നിരീക്ഷിക്കുന്നുഎ, നമുക്ക് കഴിയും

അനന്തമായി ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം എഴുതുക

ചെറിയ സൈഡ് ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾകൂടെഒപ്പം എ(സാദൃശ്യം ഉപയോഗിച്ച്

ത്രികോണങ്ങൾ):

വേരിയബിൾ വേർതിരിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇരുവശത്തുമുള്ള ഇൻക്രിമെൻ്റുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഹൈപ്പോടെൻസിലെ മാറ്റത്തിന് കൂടുതൽ പൊതുവായ പദപ്രയോഗം:

ഈ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിച്ച് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ഉത്തരത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

കാണാൻ എളുപ്പമുള്ളത് പോലെ, അന്തിമ ഫോർമുലയിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആശ്രിതത്വം രേഖീയമായതിനാൽ ദൃശ്യമാകുന്നു

ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും ഇൻക്രിമെൻ്റുകളും തമ്മിലുള്ള ആനുപാതികത, അതേസമയം തുക സ്വതന്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

വ്യത്യസ്ത കാലുകളുടെ വർദ്ധനവിൽ നിന്നുള്ള സംഭാവനകൾ.

കാലുകളിലൊന്നിൽ വർദ്ധനവ് അനുഭവപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചാൽ ലളിതമായ ഒരു തെളിവ് ലഭിക്കും

(വി ഈ സാഹചര്യത്തിൽകാല് ബി). തുടർന്ന് ഏകീകരണ സ്ഥിരാങ്കത്തിനായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ ചതുരം എല്ലായ്പ്പോഴും കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഓരോ സ്കൂൾ കുട്ടിക്കും അറിയാം, അവ ഓരോന്നും ചതുരാകൃതിയിലാണ്. ഈ പ്രസ്താവനയെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതിയുടെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്. നമുക്ക് അത് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം.

ഒരു വലത് ത്രികോണം എന്ന ആശയം

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ വർഗ്ഗം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ആ സിദ്ധാന്തം സത്യമായ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആശയവും ഗുണങ്ങളും നാം പരിഗണിക്കണം.

മൂന്ന് കോണുകളും മൂന്ന് വശങ്ങളും ഉള്ള ഒരു പരന്ന രൂപമാണ് ത്രികോണം. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്, അതിൻ്റെ പേര് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ, ഒരു വലത് കോണുണ്ട്, അതായത്, ഈ കോണിന് 90 o തുല്യമാണ്.

നിന്ന് പൊതു ഗുണങ്ങൾഎല്ലാ ത്രികോണങ്ങൾക്കും, ഈ ചിത്രത്തിൻ്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക 180 o ആണെന്ന് അറിയാം, അതായത് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്, വലത് കോണുകളല്ലാത്ത രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 o - 90 o = 90 o ആണ്. അവസാന വസ്തുതഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ വലത് അല്ലാത്ത ഏത് കോണും എപ്പോഴും 90 o-ൽ താഴെയായിരിക്കും എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

വലത് കോണിന് എതിർവശത്തായി കിടക്കുന്ന വശത്തെ ഹൈപോട്ടീനസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളും ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലുകളാണ്, അവ പരസ്പരം തുല്യമായിരിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ അവ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ത്രികോണമിതിയിൽ നിന്ന് നമുക്കറിയാം, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശം ഏത് കോണിനെതിരെ കിടക്കുന്നുവോ, ആ വശത്തിൻ്റെ നീളം കൂടും. ഇതിനർത്ഥം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് (90 o കോണിന് എതിർവശത്താണ്) എല്ലാ കാലുകളേക്കാളും വലുതായിരിക്കും (കോണുകൾക്ക് എതിർവശത്ത് കിടക്കുക)< 90 o).

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ

ഈ സിദ്ധാന്തം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ വർഗ്ഗം കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അവ ഓരോന്നും മുമ്പ് ചതുരാകൃതിയിലാക്കിയിരിക്കുന്നു. ഈ ഫോർമുലേഷൻ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി എഴുതാൻ, ഒരു വലത് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക, അതിൽ a, b, c എന്നീ വശങ്ങൾ യഥാക്രമം രണ്ട് കാലുകളും ഹൈപ്പോടെൻസും ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായി രൂപപ്പെടുത്തുന്ന സിദ്ധാന്തത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം: c 2 = a 2 + b 2. ഇവിടെ നിന്ന് പരിശീലനത്തിന് പ്രധാനപ്പെട്ട മറ്റ് ഫോർമുലകൾ ലഭിക്കും: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2), c = √(a 2 + b 2).

ഒരു വലത് കോണ സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, അതായത്, a = b, ഫോർമുലേഷൻ: ഹൈപ്പോടെന്യൂസിൻ്റെ വർഗ്ഗം കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നും ചതുരാകൃതിയിലുള്ളത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതപ്പെടും: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, ഇത് തുല്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: c = a√2.

ചരിത്രപരമായ പരാമർശം

ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ വർഗ്ഗം കാലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം, ഓരോന്നിനും ചതുരാകൃതിയിലുള്ളത്, പ്രസിദ്ധമായതിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു. ഗ്രീക്ക് തത്ത്വചിന്തകൻ. ധാരാളം പപ്പൈറി പുരാതന ഈജിപ്ത്, അതുപോലെ തന്നെ ബാബിലോണിയക്കാരുടെ കളിമൺ ഗുളികകളും ഈ ജനവിഭാഗങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിലെ ശ്രദ്ധേയമായ സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ചതായി സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതിൽ ഒന്ന് ഈജിപ്ഷ്യൻ പിരമിഡുകൾ, ഖഫ്രെയിലെ പിരമിഡ്, ഇതിൻ്റെ നിർമ്മാണം ബിസി 26-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ (പൈതഗോറസിൻ്റെ ജീവിതത്തിന് 2000 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്) 3x4x5 വലത് ത്രികോണത്തിലെ വീക്ഷണാനുപാതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിർമ്മിച്ചതാണ്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇപ്പോൾ സിദ്ധാന്തം ഗ്രീക്കിൻ്റെ പേര് വഹിക്കുന്നത്? ഉത്തരം ലളിതമാണ്: ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി തെളിയിക്കുന്നത് പൈതഗോറസാണ്. അവശേഷിക്കുന്ന ബാബിലോണിയൻ, ഈജിപ്ഷ്യൻ ലിഖിത സ്രോതസ്സുകൾ അതിൻ്റെ ഉപയോഗത്തെക്കുറിച്ച് മാത്രമേ പറയുന്നുള്ളൂ, പക്ഷേ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ തെളിവുകളൊന്നും നൽകുന്നില്ല.

പൈതഗോറസ് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രസ്തുത സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചുവെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഉയരം 90 o കോണിൽ നിന്ന് ഹൈപ്പോടെനസിലേക്ക് വരച്ച് അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിച്ചു.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ലളിതമായ ജോലി: ചരിഞ്ഞ സ്റ്റെയർകേസ് L ൻ്റെ നീളം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിന് H = 3 മീറ്റർ ഉയരമുണ്ടെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, സ്റ്റെയർകേസ് അതിൻ്റെ പാദത്തിലേക്കുള്ള ചുവരിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം P = 2.5 മീറ്ററാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, H ഉം P ഉം കാലുകൾ ആണ്, L ആണ് ഹൈപ്പോടെനസ്. ഹൈപ്പോടെന്യൂസിൻ്റെ നീളം കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: L 2 = H 2 + P 2, എവിടെ നിന്ന് L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2) = 3.905 മീറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ 3 മീറ്റർ 90, 5 സെ.മീ.

പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം: കാലുകളിൽ വിശ്രമിക്കുന്ന ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ( എഒപ്പം ബി), ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യം ( സി).

ജ്യാമിതീയ രൂപീകരണം:

ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യം രൂപപ്പെടുത്തിയത് ഇപ്രകാരമാണ്:

ബീജഗണിത രൂപീകരണം:

അതായത്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ ദൈർഘ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു സി, ഒപ്പം കാലുകളുടെ നീളവും എഒപ്പം ബി :

എ 2 + ബി 2 = സി 2

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഫോർമുലേഷനുകളും തുല്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലേഷൻ കൂടുതൽ പ്രാഥമികമാണ്; ഇതിന് ഏരിയ എന്ന ആശയം ആവശ്യമില്ല. അതായത്, പ്രദേശത്തെക്കുറിച്ച് ഒന്നും അറിയാതെയും ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാത്രം അളക്കുന്നതിലൂടെയും രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാറ്റുക:

തെളിവ്

ഇപ്പോൾ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ 367 തെളിവുകൾ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാത്രമാണ് ഇത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകളുള്ള ഏക സിദ്ധാന്തം. ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രാധാന്യത്താൽ മാത്രമേ അത്തരം വൈവിധ്യത്തെ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.

തീർച്ചയായും, ആശയപരമായി അവയെല്ലാം ഒരു ചെറിയ എണ്ണം ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത്: ഏരിയ രീതിയുടെ തെളിവുകൾ, ആക്സിയോമാറ്റിക്, എക്സോട്ടിക് തെളിവുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്).

സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളിലൂടെ

ബീജഗണിത രൂപീകരണത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവ് സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് നിർമ്മിച്ച തെളിവുകളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇത് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.

അനുവദിക്കുക എബിസിവലത് കോണുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട് സി. നമുക്ക് ഉയരം വരയ്ക്കാം സിഅതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം സൂചിപ്പിക്കുക എച്ച്. ത്രികോണം ACHഒരു ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ് എബിസിരണ്ട് മൂലകളിൽ. അതുപോലെ, ത്രികോണം സി.ബി.എച്ച്സമാനമായ എബിസി. നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എന്താണ് തുല്യം

അത് കൂട്ടിയാൽ നമുക്ക് കിട്ടും

ഏരിയ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള തെളിവുകൾ

ചുവടെയുള്ള തെളിവുകൾ, അവയുടെ വ്യക്തമായ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത്ര ലളിതമല്ല. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവാണ് അവയെല്ലാം പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

സജ്ജീകരണത്തിലൂടെയുള്ള തെളിവ്

1. ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നമുക്ക് നാല് തുല്യ വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കാം.
2. വശങ്ങളുള്ള ചതുരാകൃതി സിരണ്ട് നിശിത കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 90° ആയതിനാൽ ഒരു ചതുരം ആണ്, നേർകോണ് 180° ആണ്.
3. മുഴുവൻ രൂപത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്, ഒരു വശത്ത്, വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം (a + b), മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെയും രണ്ട് ആന്തരിക ഭാഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക ചതുരങ്ങൾ.

ക്യു.ഇ.ഡി.

തുല്യത വഴിയുള്ള തെളിവുകൾ

പെർമ്യൂട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഗംഭീരമായ തെളിവ്

അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു തെളിവിൻ്റെ ഉദാഹരണം വലതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, അവിടെ ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച രണ്ട് ചതുരങ്ങളാക്കി പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു.

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവ്

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവിനായി ഡ്രോയിംഗ്

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവിനുള്ള ചിത്രീകരണം

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവിൻ്റെ ആശയം ഇപ്രകാരമാണ്: ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പകുതി ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് വിസ്തീർണ്ണം വലുതും രണ്ട് ചെറുതുമായ സമചതുരങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

ഇടതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം. അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച്, AB എന്ന ഹൈപ്പോട്ടീനസിന് ലംബമായി C വലത്കോണിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണങ്ങൾ വരച്ചു, അത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ABIK എന്ന ചതുരത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു - BHJI, HAKJ, യഥാക്രമം. ഈ ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ അനുബന്ധ കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

DECA ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ദീർഘചതുരം AHJK യുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു സഹായ നിരീക്ഷണം ഉപയോഗിക്കും: ഒരേ ഉയരവും അടിത്തറയുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം തന്നിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരം നൽകിയിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെയും ഉയരത്തിൻ്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നമായി നിർവചിക്കുന്നതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണിത്. ഈ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്ന്, ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം AHK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിട്ടില്ല), ഇത് AHJK ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം DECA യുടെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം. ഇതിനായി ചെയ്യേണ്ട ഒരേയൊരു കാര്യം ACK, BDA എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കുക എന്നതാണ് (ത്രികോണ BDA യുടെ വിസ്തീർണ്ണം മുകളിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ). ഈ സമത്വം വ്യക്തമാണ്, ത്രികോണങ്ങൾ ഇരുവശത്തും തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും. അതായത് - AB=AK, AD=AC - CAK, BAD എന്നീ കോണുകളുടെ സമത്വം ചലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ഞങ്ങൾ CAK 90° ത്രികോണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും അനുബന്ധ വശങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്. ചോദ്യം ഒത്തുചേരും (ചതുരത്തിൻ്റെ ശീർഷത്തിലെ കോൺ 90° ആയതിനാൽ).

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള BCFG യുടെയും BHJI ചതുരത്തിൻ്റെയും സമത്വത്തിൻ്റെ ന്യായവാദം പൂർണ്ണമായും സമാനമാണ്.

അങ്ങനെ, ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. ഈ തെളിവിന് പിന്നിലെ ആശയം മുകളിലെ ആനിമേഷനിലൂടെ കൂടുതൽ ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ തെളിവ്

ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ തെളിവ്

തെളിവിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ സമമിതിയും ചലനവുമാണ്.

സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്ന ഡ്രോയിംഗ് പരിഗണിക്കാം, ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് സിഐചതുരം മുറിക്കുന്നു എബിഎച്ച്ജെ രണ്ട് സമാന ഭാഗങ്ങളായി (ത്രികോണങ്ങൾ മുതൽ എബിസിഒപ്പം ജെഎച്ച്ഐനിർമ്മാണത്തിൽ തുല്യമാണ്). 90 ഡിഗ്രി എതിർ ഘടികാരദിശയിലുള്ള ഭ്രമണം ഉപയോഗിച്ച്, ഷേഡുള്ള കണക്കുകളുടെ തുല്യത ഞങ്ങൾ കാണുന്നു സിഎജെഐ ഒപ്പം ജിഡിഎബി . നമ്മൾ ഷേഡുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പകുതി ഭാഗങ്ങളുടെയും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്. മറുവശത്ത്, ഇത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിനും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനും തുല്യമാണ്. തെളിവിൻ്റെ അവസാന ഘട്ടം വായനക്കാരന് വിടുന്നു.

അനന്തമായ രീതിയിലൂടെയുള്ള തെളിവ്

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവുകൾ പലപ്പോഴും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ ആദ്യ പകുതിയിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന പ്രശസ്ത ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹാർഡിക്ക് കാരണമാകുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗിലേക്ക് നോക്കുകയും വശത്തെ മാറ്റം നിരീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എ, അനന്തമായ സൈഡ് ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾക്കായി നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം എഴുതാം കൂടെഒപ്പം എ(ത്രികോണ സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച്):

അനന്തമായ രീതിയിലൂടെയുള്ള തെളിവ്

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഇരുവശത്തുമുള്ള ഇൻക്രിമെൻ്റുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഹൈപ്പോടെനസിലെ മാറ്റത്തിന് കൂടുതൽ പൊതുവായ പദപ്രയോഗം

ഈ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിച്ച് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

സി 2 = എ 2 + ബി 2 + സ്ഥിരം.

അങ്ങനെ നമ്മൾ ആഗ്രഹിച്ച ഉത്തരത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

സി 2 = എ 2 + ബി 2 .

കാണാൻ എളുപ്പമുള്ളതുപോലെ, ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും ഇൻക്രിമെൻ്റുകളും തമ്മിലുള്ള രേഖീയ ആനുപാതികത കാരണം അന്തിമ ഫോർമുലയിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആശ്രിതത്വം ദൃശ്യമാകുന്നു, അതേസമയം തുക വ്യത്യസ്ത കാലുകളുടെ വർദ്ധനവിൽ നിന്നുള്ള സ്വതന്ത്ര സംഭാവനകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

കാലുകളിലൊന്ന് വർദ്ധനവ് അനുഭവപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചാൽ ലളിതമായ ഒരു തെളിവ് ലഭിക്കും (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കാലിന് ബി). അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഏകീകരണ സ്ഥിരാങ്കം

വ്യതിയാനങ്ങളും പൊതുവൽക്കരണങ്ങളും

• ചതുരങ്ങൾക്കുപകരം ഞങ്ങൾ വശങ്ങളിൽ സമാനമായ മറ്റ് രൂപങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന സാമാന്യവൽക്കരണം ശരിയാണ്: ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന സമാന രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.പ്രത്യേകിച്ച്:
  • കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സാധാരണ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
  • കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച അർദ്ധവൃത്തങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം (വ്യാസം പോലെ) ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഹിപ്പോക്രാറ്റിക് ലുനുലേ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന രണ്ട് സർക്കിളുകളുടെ ആർക്കുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന രൂപങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ തെളിയിക്കാൻ ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

കഥ

ചു-പേയ് 500-200 ബിസി. ഇടതുവശത്ത് ലിഖിതമുണ്ട്: ഉയരത്തിൻ്റെയും അടിത്തറയുടെയും നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരമാണ്.

പുരാതന ചൈനീസ് പുസ്തകമായ ചു-പേയ് 3, 4, 5 വശങ്ങളുള്ള ഒരു പൈതഗോറിയൻ ത്രികോണത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു: അതേ പുസ്തകം ബഷാരയിലെ ഹിന്ദു ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു ഡ്രോയിംഗുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു ഡ്രോയിംഗ് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

കാൻ്റർ (ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ ജർമ്മൻ ചരിത്രകാരൻ) വിശ്വസിക്കുന്നത് 3² + 4² = 5² തുല്യത ഈജിപ്തുകാർക്ക് 2300 ബിസിയിൽ തന്നെ അറിയാമായിരുന്നു എന്നാണ്. e., രാജാവ് അമെനെംഹത് ഒന്നാമൻ്റെ കാലത്ത് (ബെർലിൻ മ്യൂസിയത്തിൻ്റെ പാപ്പിറസ് 6619 പ്രകാരം). കാൻ്ററിൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഹാർപിഡോനാപ്റ്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ "റോപ്പ് പുള്ളറുകൾ", 3, 4, 5 എന്നീ വശങ്ങളുള്ള വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് കോണുകൾ നിർമ്മിച്ചു.

അവരുടെ നിർമ്മാണ രീതി പുനർനിർമ്മിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. നമുക്ക് 12 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു കയർ എടുത്ത് അതിൽ 3 മീറ്റർ അകലത്തിൽ ഒരു നിറമുള്ള സ്ട്രിപ്പ് കെട്ടാം. ഒരറ്റത്ത് നിന്നും മറ്റേ അറ്റത്ത് നിന്ന് 4 മീറ്ററും. 3 മുതൽ 4 മീറ്റർ വരെ നീളമുള്ള വശങ്ങൾക്കിടയിൽ വലത് കോണിനെ അടച്ചിരിക്കും. എല്ലാ മരപ്പണിക്കാരും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു തടി ചതുരം ഉപയോഗിച്ചാൽ അവരുടെ നിർമ്മാണ രീതി അതിരുകടന്നതായി ഹാർപെഡോനാപ്ഷ്യൻമാരെ എതിർക്കാം. തീർച്ചയായും, ഈജിപ്ഷ്യൻ ഡ്രോയിംഗുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു, അതിൽ അത്തരമൊരു ഉപകരണം കാണപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മരപ്പണിക്കാരൻ്റെ വർക്ക്ഷോപ്പ് ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗുകൾ.

ബാബിലോണിയക്കാർക്കിടയിൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് കുറച്ചുകൂടി അറിയാം. ഹമ്മുറാബിയുടെ കാലം മുതൽ, അതായത് ബിസി 2000 വരെയുള്ള ഒരു വാചകത്തിൽ. e., ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. മെസൊപ്പൊട്ടേമിയയിൽ അവർക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ കഴിഞ്ഞുവെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം വലത് ത്രികോണങ്ങൾ, വഴി ഇത്രയെങ്കിലുംചില കേസുകളിൽ. ഒരു വശത്ത്, ഈജിപ്ഷ്യൻ, ബാബിലോണിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിൻ്റെ നിലവിലെ തലത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, മറുവശത്ത്, ഗ്രീക്ക് ഉറവിടങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിമർശനാത്മക പഠനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വാൻ ഡെർ വേർഡൻ (ഡച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ) ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി:

സാഹിത്യം

റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ

• സ്കോപെറ്റ്സ് Z. എ.ജ്യാമിതീയ മിനിയേച്ചറുകൾ. എം., 1990
• എലെൻസ്കി ഷ്ച്.പൈതഗോറസിൻ്റെ കാൽപ്പാടുകളിൽ. എം., 1961
• വാൻ ഡെർ വേർഡൻ ബി.എൽ.ഉണർത്തൽ ശാസ്ത്രം. പുരാതന ഈജിപ്ത്, ബാബിലോൺ, ഗ്രീസ് എന്നിവയുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം. എം., 1959
• ഗ്ലേസർ ജി.ഐ.സ്കൂളിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രം. എം., 1982
• W. ലിറ്റ്സ്മാൻ, "പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം" എം., 1960.
  • ധാരാളം തെളിവുകളുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു സൈറ്റ്, വി. ലിറ്റ്സ്മാൻ എഴുതിയ പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് എടുത്ത മെറ്റീരിയൽ, പ്രത്യേക ഗ്രാഫിക് ഫയലുകളുടെ രൂപത്തിൽ ധാരാളം ഡ്രോയിംഗുകൾ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
• ഡി.വി. അനോസോവിൻ്റെ പുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തവും പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് അധ്യായവും "ഗണിതവും അതിൽ നിന്നുള്ള ചിലതും"
• പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചും അത് തെളിയിക്കുന്ന രീതികളെക്കുറിച്ചും മോസ്കോയിലെ റഷ്യൻ അക്കാദമി ഓഫ് എഡ്യൂക്കേഷൻ്റെ അക്കാദമിഷ്യൻ ജി. ഗ്ലേസർ

ഇംഗ്ലീഷിൽ

• വോൾഫ്രാം മാത്ത് വേൾഡിലെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം
• കട്ട്-ദി-നോട്ട്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിഭാഗം, ഏകദേശം 70 തെളിവുകളും വിപുലമായ അധിക വിവരങ്ങളും (ഇംഗ്ലീഷ്)

വിക്കിമീഡിയ ഫൗണ്ടേഷൻ. 2010.