ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഒന്നിലധികം ഉദാഹരണങ്ങൾ. LCM-ൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം

ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർഏറ്റവും വലുത് വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു പൊതു വിഭജനംരണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതവും.

GCD, LCM എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള കാൽക്കുലേറ്റർ

GCD, LOC എന്നിവ കണ്ടെത്തുക

GCD, LOC എന്നിവ കണ്ടെത്തി: 5806

കാൽക്കുലേറ്റർ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം

• ഇൻപുട്ട് ഫീൽഡിൽ നമ്പറുകൾ നൽകുക
• നിങ്ങൾ തെറ്റായ പ്രതീകങ്ങൾ നൽകിയാൽ, ഇൻപുട്ട് ഫീൽഡ് ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യും
• "GCD, LCM എന്നിവ കണ്ടെത്തുക" ബട്ടൺ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

നമ്പറുകൾ എങ്ങനെ നൽകാം

• അക്കങ്ങൾ ഒരു സ്‌പേസ്, പിരീഡ് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു
• നൽകിയ നമ്പറുകളുടെ ദൈർഘ്യം പരിമിതമല്ല, അതിനാൽ ദൈർഘ്യമേറിയ സംഖ്യകളുടെ GCD, LCM എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല

എന്താണ് GCD, NOC?

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനംഎല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും വലിയ സ്വാഭാവിക പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് പല സംഖ്യകൾ. ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം ഇങ്ങനെ ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു ജി.സി.ഡി.
ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതംബാക്കിയില്ലാതെ ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണ് പല സംഖ്യകൾ. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എന്ന് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു എൻ.ഒ.സി.

ഒരു സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യകൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാം?

ഒരു സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ മറ്റൊന്നിനാൽ ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കാം. തുടർന്ന്, അവയെ സംയോജിപ്പിച്ച്, അവയിൽ ചിലതിൻ്റെയും അവയുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെയും വിഭജനം നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം.

സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ചില അടയാളങ്ങൾ

1. ഒരു സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന
ഒരു സംഖ്യയെ രണ്ടായി ഹരിക്കണോ (അത് ഇരട്ടയാണോ എന്ന്) നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഈ സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം നോക്കിയാൽ മതി: ഇത് 0, 2, 4, 6 അല്ലെങ്കിൽ 8 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സംഖ്യ തുല്യമാണ്, അതായത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
ഉദാഹരണം: 34938 എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.
പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ അവസാന അക്കം നോക്കുന്നു: 8 - അതായത് സംഖ്യയെ രണ്ടായി ഹരിക്കാനാകും.

2. ഒരു സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന
ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക മൂന്നാൽ ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുകയും അത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുകയും വേണം. അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വളരെ വലുതാണെങ്കിലും, നിങ്ങൾക്ക് അതേ പ്രക്രിയ വീണ്ടും ആവർത്തിക്കാം.
ഉദാഹരണം: 34938 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.
പരിഹാരം:സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: 3+4+9+3+8 = 27. 27 എന്നത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതായത് സംഖ്യയെ മൂന്നായി ഹരിക്കുന്നു.

3. ഒരു സംഖ്യയുടെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന
ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം പൂജ്യമോ അഞ്ചോ ആകുമ്പോൾ അതിനെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണം: 34938 എന്ന സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.
പരിഹാരം:അവസാന അക്കം നോക്കൂ: 8 എന്നാൽ സംഖ്യയെ അഞ്ചായി ഹരിക്കാനാവില്ല.

4. ഒരു സംഖ്യയുടെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന
ഈ അടയാളം മൂന്നാൽ ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളവുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്: ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
ഉദാഹരണം: 34938 എന്ന സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.
പരിഹാരം:സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: 3+4+9+3+8 = 27. 27 എന്നത് 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതായത് സംഖ്യയെ ഒമ്പത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ GCD, LCM എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ജിസിഡി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

മിക്കതും ലളിതമായ രീതിയിൽരണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണക്കാക്കുന്നത് ഈ സംഖ്യകളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ വിഭജനങ്ങളും കണ്ടെത്തി അവയിൽ ഏറ്റവും വലുത് തിരഞ്ഞെടുക്കുക എന്നതാണ്.

GCD (28, 36) കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ രീതി പരിഗണിക്കാം:

1. ഞങ്ങൾ രണ്ട് അക്കങ്ങളും ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നു: 28 = 1 · 2 · 2 · 7, 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. ഞങ്ങൾ പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്, രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും ഉള്ളവ: 1, 2, 2 എന്നിവ.
3. ഈ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: 1 2 2 = 4 - ഇത് 28, 36 സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനമാണ്.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ LCM എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഏറ്റവും സാധാരണമായ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആദ്യ ഗുണിതങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം, തുടർന്ന് അവയിൽ നിന്ന് രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായതും അതേ സമയം ഏറ്റവും ചെറിയതുമായ ഒരു സംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യ രീതി. രണ്ടാമത്തേത് ഈ സംഖ്യകളുടെ ജിസിഡി കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. അത് മാത്രം പരിഗണിക്കാം.

LCM കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുകയും മുമ്പ് കണ്ടെത്തിയ GCD കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും വേണം. 28, 36 എന്നീ സംഖ്യകൾക്കുള്ള LCM നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

1. 28, 36 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം കണ്ടെത്തുക: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, 4 ന് തുല്യമാണ്
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

നിരവധി നമ്പറുകൾക്കായി GCD, LCM എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു

രണ്ട് സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്താനാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനത്തിനായി കണ്ടെത്തേണ്ട സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഈ സംഖ്യകളുടെ പൊതു അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം കണ്ടെത്തുന്നു. നിരവധി സംഖ്യകളുടെ ജിസിഡി കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധവും ഉപയോഗിക്കാം: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

സമാനമായ ബന്ധം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതത്തിന് ബാധകമാണ്: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

ഉദാഹരണം: 12, 32, 36 എന്നീ നമ്പറുകൾക്കായി GCD, LCM എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

1. ആദ്യം, നമുക്ക് അക്കങ്ങൾ ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യാം: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. നമുക്ക് പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്താം: 1, 2, 2.
3. അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം GCD നൽകും: 1·2·2 = 4
4. ഇനി നമുക്ക് LCM കണ്ടെത്താം: ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യം നമുക്ക് LCM (12, 32) കണ്ടെത്താം: 12·32 / 4 = 96 .
5. മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെയും LCM കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ GCD(96, 36) കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

എന്നാൽ പല സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും മറ്റ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാൽ ഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്:

സംഖ്യ 12, 1, 2, 3, 4, 6, 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു;

36 എന്ന സംഖ്യയെ 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

സംഖ്യയെ മൊത്തത്തിൽ ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളെ (12-ന് ഇവ 1, 2, 3, 4, 6, 12 എന്നിവയാണ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ വിഭജനം എ- ഇതാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയെ വിഭജിക്കുന്നു എഒരു തുമ്പും ഇല്ലാതെ. രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വിഭജനങ്ങളുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു സംയുക്തം .

12, 36 എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് പൊതുവായ ഘടകങ്ങളുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ സംഖ്യകൾ ഇവയാണ്: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ വിഭജനം 12 ആണ്. ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും പൊതു വിഭജനം എഒപ്പം ബി- നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകളും ബാക്കിയില്ലാതെ വിഭജിക്കപ്പെടുന്ന സംഖ്യയാണിത് എഒപ്പം ബി.

സാധാരണ ഗുണിതങ്ങൾഈ ഓരോ സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് പല സംഖ്യകൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, 9, 18, 45 എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് 180 ൻ്റെ ഒരു പൊതു ഗുണിതമുണ്ട്. എന്നാൽ 90, 360 എന്നിവയും അവയുടെ പൊതു ഗുണിതങ്ങളാണ്. എല്ലാ പൊതു ഗുണിതങ്ങളിലും എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഏറ്റവും ചെറിയ ഒന്നുണ്ട്, ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽഇതാണ് 90. ഈ നമ്പർ വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും ചെറിയപൊതു ഗുണിതം (CMM).

LCM എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, അത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും വലുതായിരിക്കണം.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം (LCM). പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി:

സഹവാസം:

പ്രത്യേകിച്ചും, കോപ്രൈം നമ്പറുകളാണെങ്കിൽ, പിന്നെ:

രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം എംഒപ്പം എൻമറ്റെല്ലാ പൊതു ഗുണിതങ്ങളുടേയും വിഭജനമാണ് എംഒപ്പം എൻ. മാത്രമല്ല, പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങളുടെ കൂട്ടം m, n LCM ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ കൂട്ടവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു( m, n).

എന്നതിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടിക്സ് ചില സംഖ്യ-സിദ്ധാന്ത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം.

അതിനാൽ, ചെബിഷെവ് പ്രവർത്തനം. ഒപ്പം:

ലാൻഡൗ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും ഗുണങ്ങളിൽ നിന്നും ഇത് പിന്തുടരുന്നു g(n).

വിതരണ നിയമത്തിൽ നിന്ന് എന്താണ് പിന്തുടരുന്നത് പ്രധാന സംഖ്യകൾ.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം (LCM) കണ്ടെത്തുന്നു.

NOC( എ, ബി) പല തരത്തിൽ കണക്കാക്കാം:

1. ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം അറിയാമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് LCM-മായി അതിൻ്റെ കണക്ഷൻ ഉപയോഗിക്കാം:

2. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും കാനോനിക്കൽ വിഘടനം പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി അറിയപ്പെടട്ടെ:

എവിടെ p 1 ,...,p k- വിവിധ പ്രൈം നമ്പറുകൾ, കൂടാതെ d 1 ,...,d kഒപ്പം ഇ 1 ,...,ഇ കെ- നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ (അനുബന്ധ പ്രൈം വികാസത്തിൽ ഇല്ലെങ്കിൽ അവ പൂജ്യങ്ങളാകാം).

പിന്നെ NOC ( എ,ബി) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എൽസിഎം വിഘടനത്തിൽ സംഖ്യകളുടെ വിഘടനങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എ, ബി, ഈ ഗുണിതത്തിൻ്റെ രണ്ട് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിൽ ഏറ്റവും വലുത് എടുക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം:

നിരവധി സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണക്കാക്കുന്നത് രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ LCM ൻ്റെ നിരവധി തുടർച്ചയായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് ചുരുക്കാം:

ഭരണം.സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുടെ LCM കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

- സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക;

- ആവശ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഏറ്റവും വലിയ വിഘടനം (നൽകിയവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം) കൈമാറുക, തുടർന്ന് ആദ്യ സംഖ്യയിൽ ദൃശ്യമാകാത്തതോ അതിൽ ദൃശ്യമാകുന്നതോ ആയ മറ്റ് സംഖ്യകളുടെ വിഘടനത്തിൽ നിന്ന് ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക കുറച്ച് തവണ;

— പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ LCM ആയിരിക്കും.

ഏതെങ്കിലും രണ്ടോ അതിലധികമോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് അവരുടേതായ LCM ഉണ്ട്. സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിതമല്ലെങ്കിലോ വികാസത്തിൽ സമാന ഘടകങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിലോ, അവയുടെ LCM ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

സംഖ്യ 28 (2, 2, 7) ൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ഘടകം 3 (നമ്പർ 21) മായി സപ്ലിമെൻ്റ് ചെയ്യുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം (84) ആയിരിക്കും ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ, ഇത് 21 ഉം 28 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ 30-ൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ 25-ൻ്റെ ഘടകം 5-നാൽ സപ്ലിമെൻ്റ് ചെയ്യുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം 150 ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയായ 30-നേക്കാൾ വലുതാണ്, കൂടാതെ നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളാലും ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാനാകും. ഈ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഉൽപ്പന്നംസാധ്യമായതിൽ (150, 250, 300...), നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളും ഗുണിതങ്ങളാണ്.

2,3,11,37 സംഖ്യകൾ പ്രധാന സംഖ്യകളാണ്, അതിനാൽ അവയുടെ LCM നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഭരണം. പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ LCM കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യകളെല്ലാം ഒരുമിച്ച് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ:

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള നിരവധി സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം (LCM) കണ്ടെത്താൻ:

1) ഓരോ സംഖ്യയെയും അതിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെയും ശക്തികൾ എഴുതുക:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) ഈ ഓരോ സംഖ്യകളുടെയും എല്ലാ പ്രൈം ഡിവൈസറുകളും (മൾട്ടിപ്ലയറുകൾ) എഴുതുക;

4) ഈ സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ വിപുലീകരണങ്ങളിലും കാണപ്പെടുന്ന അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും ഏറ്റവും വലിയ ബിരുദം തിരഞ്ഞെടുക്കുക;

5) ഈ ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക.

ഉദാഹരണം. സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തുക: 168, 180, 3024.

പരിഹാരം. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു ഏറ്റവും വലിയ ബിരുദങ്ങൾഎല്ലാ പ്രൈം ഡിവൈസറുകളും അവയെ ഗുണിക്കുക:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

രണ്ടാമത്തെ നമ്പർ: b=

ആയിരം സെപ്പറേറ്റർസ്പേസ് സെപ്പറേറ്റർ ഇല്ലാതെ ""

ഫലമായി:

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം gcd( എ,ബി)=6

LCM-ൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം( എ,ബി)=468

ശേഷിക്കാതെ എ, ബി എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും വലിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനംഈ സംഖ്യകളുടെ (GCD). gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) അല്ലെങ്കിൽ hcf(a,b) എന്നിവയാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതം a, b എന്നീ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ LCM ആണ് ശേഷിക്കാതെ a, b എന്നിവ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ. LCM(a,b), അല്ലെങ്കിൽ lcm(a,b) എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

a, b എന്നീ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു പരസ്പരം പ്രധാനം, അവയ്ക്ക് +1 ഉം −1 ഉം ഒഴികെയുള്ള പൊതു വിഭജനങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ.

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം

രണ്ടെണ്ണം കൊടുക്കട്ടെ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 1). ഈ സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. അത്തരമൊരു നമ്പർ കണ്ടെത്തുക λ , ഇത് സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നു എ 1 ഒപ്പം എ 2 ഒരേ സമയം. അൽഗോരിതം വിവരിക്കാം.

1) ഈ ലേഖനത്തിൽ, നമ്പർ എന്ന വാക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായി മനസ്സിലാക്കും.

അനുവദിക്കുക എ 1 ≥ എ 2 ഒപ്പം അനുവദിക്കുക

എവിടെ എം 1 , എ 3 ചില പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, എ 3 <എ 2 (വിഭജനത്തിൻ്റെ ശേഷിപ്പ് എ 1 വീതം എ 2 കുറവായിരിക്കണം എ 2).

നമുക്ക് അങ്ങനെ നടിക്കാം λ വിഭജിക്കുന്നു എ 1 ഒപ്പം എ 2 പിന്നെ λ വിഭജിക്കുന്നു എം 1 എ 2 ഒപ്പം λ വിഭജിക്കുന്നു എ 1 −എം 1 എ 2 =എ 3 ("സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം. ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്" എന്ന ലേഖനത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന 2). എല്ലാ പൊതു വിഭജനവും പിന്തുടരുന്നു എ 1 ഒപ്പം എ 2 ആണ് പൊതു വിഭജനം എ 2 ഒപ്പം എ 3. എങ്കിൽ വിപരീതവും ശരിയാണ് λ പൊതു വിഭജനം എ 2 ഒപ്പം എ 3 പിന്നെ എം 1 എ 2 ഒപ്പം എ 1 =എം 1 എ 2 +എ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് λ . അതിനാൽ പൊതു വിഭജനം എ 2 ഒപ്പം എ 3 ഒരു പൊതു വിഭജനം കൂടിയാണ് എ 1 ഒപ്പം എ 2. കാരണം എ 3 <എ 2 ≤എ 1, അപ്പോൾ നമുക്ക് സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്ന് പറയാം എ 1 ഒപ്പം എസംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ലളിതമായ പ്രശ്നത്തിലേക്ക് 2 ചുരുക്കി എ 2 ഒപ്പം എ 3 .

എങ്കിൽ എ 3 ≠0, അപ്പോൾ നമുക്ക് വിഭജിക്കാം എ 2 വീതം എ 3. പിന്നെ

,

എവിടെ എം 1 ഒപ്പം എ 4 ചില പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, ( എഡിവിഷനിൽ നിന്ന് 4 ശേഷിക്കുന്നു എ 2 വീതം എ 3 (എ 4 <എ 3)). സമാനമായ ന്യായവാദത്തിലൂടെ, സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഹരിച്ചുകൾ എന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി എ 3 ഒപ്പം എ 4 സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എ 2 ഒപ്പം എ 3, കൂടാതെ പൊതുവായ വിഭജനങ്ങൾക്കൊപ്പം എ 1 ഒപ്പം എ 2. കാരണം എ 1 , എ 2 , എ 3 , എ 4, ... നിരന്തരം കുറഞ്ഞുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു പരിമിത സംഖ്യയും ഉള്ളതിനാൽ എ 2 ഉം 0 ഉം, പിന്നെ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ എൻ, ഡിവിഷൻ്റെ ബാക്കി എ n ന് എ n+1 പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും ( എ n+2 =0).

.

ഓരോ പൊതു വിഭജനവും λ സംഖ്യകൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഹരിക്കൽ കൂടിയാണ് എ 2 ഒപ്പം എ 3 , എ 3 ഒപ്പം എ 4 , .... എ n ഒപ്പം എ n+1. വിപരീതവും ശരിയാണ്, സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനം എ n ഒപ്പം എ n+1 എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഹരങ്ങളാണ് എ n−1 ഒപ്പം എ n, ...., എ 2 ഒപ്പം എ 3 , എ 1 ഒപ്പം എ 2. എന്നാൽ സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനം എ n ഒപ്പം എ n+1 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയാണ് എ n+1, കാരണം എ n ഒപ്പം എ n+1 എന്നത് കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് എ n+1 (അത് ഓർക്കുക എ n+2 =0). അതുകൊണ്ട് എ n+1 എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഹരിക്കൽ കൂടിയാണ് എ 1 ഒപ്പം എ 2 .

നമ്പർ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക എസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ വിഭജനമാണ് n+1 എ n ഒപ്പം എ n+1, ഏറ്റവും വലിയ വിഭജനം മുതൽ എ n+1 തന്നെ എ n+1. എങ്കിൽ എ n+1 നെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ഗുണനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യകളും സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഹരിച്ചാണ്. എ 1 ഒപ്പം എ 2. നമ്പർ എ n+1 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനംസംഖ്യകൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 .

നമ്പറുകൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളാകാം. സംഖ്യകളിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം മറ്റേ സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. പൂജ്യം സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.

മുകളിലുള്ള അൽഗോരിതം വിളിക്കുന്നു യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതംരണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്താൻ.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

630, 434 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുക.

• ഘട്ടം 1. 630 എന്ന സംഖ്യയെ 434 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 196 ആണ്.
• ഘട്ടം 2. 434 എന്ന സംഖ്യയെ 196 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 42 ആണ്.
• ഘട്ടം 3. 196 എന്ന സംഖ്യയെ 42 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 28 ആണ്.
• ഘട്ടം 4. 42 എന്ന സംഖ്യയെ 28 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കി 14 ആണ്.
• ഘട്ടം 5. 28 എന്ന സംഖ്യയെ 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ബാക്കിയുള്ളത് 0 ആണ്.

ഘട്ടം 5-ൽ, ഡിവിഷൻ്റെ ശേഷിക്കുന്നത് 0 ആണ്. അതിനാൽ, 630, 434 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം 14 ആണ്. 2, 7 എന്നീ സംഖ്യകളും 630, 434 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഹരിച്ചാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

കോപ്രൈം നമ്പറുകൾ

നിർവ്വചനം 1. സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം അനുവദിക്കുക എ 1 ഒപ്പം എ 2 എന്നത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. തുടർന്ന് ഈ നമ്പറുകളിലേക്ക് വിളിക്കുന്നു പരസ്പരം പ്രധാന സംഖ്യകൾ, പൊതു വിഭജനം ഇല്ല.

സിദ്ധാന്തം 1. എങ്കിൽ എ 1 ഒപ്പം എ 2 കോപ്രൈം നമ്പറുകൾ, കൂടാതെ λ കുറച്ച് സംഖ്യ, പിന്നെ സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും പൊതു വിഭജനം λa 1 ഒപ്പം എ 2 എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു വിഭജനം കൂടിയാണ് λ ഒപ്പം എ 2 .

തെളിവ്. സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിന് യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം പരിഗണിക്കുക എ 1 ഒപ്പം എ 2 (മുകളിൽ കാണുക).

.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്ന്, സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം പിന്തുടരുന്നു എ 1 ഒപ്പം എ 2 അതിനാൽ എ n ഒപ്പം എ n+1 എന്നത് 1 ആണ്. അതായത് എ n+1 =1.

ഈ സമത്വങ്ങളെല്ലാം നമുക്ക് ഗുണിക്കാം λ , പിന്നെ

.

പൊതു വിഭജനം അനുവദിക്കുക എ 1 λ ഒപ്പം എ 2 അതെ δ . പിന്നെ δ ഒരു ഗുണിതമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എ 1 λ , എം 1 എ 2 λ ഒപ്പം എ 1 λ -എം 1 എ 2 λ =എ 3 λ ("സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം", പ്രസ്താവന 2 കാണുക). കൂടുതൽ δ ഒരു ഗുണിതമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എ 2 λ ഒപ്പം എം 2 എ 3 λ , അതിനാൽ, ഒരു ഘടകമാണ് എ 2 λ -എം 2 എ 3 λ =എ 4 λ .

ഈ രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് അത് ബോധ്യപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു δ ഒരു ഗുണിതമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എ n−1 λ ഒപ്പം എം n−1 എഎൻ λ , അതിനാൽ ഇൻ എ n−1 λ −എം n−1 എഎൻ λ =എ n+1 λ . കാരണം എ n+1 =1, അപ്പോൾ δ ഒരു ഗുണിതമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് λ . അതിനാൽ നമ്പർ δ സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനമാണ് λ ഒപ്പം എ 2 .

സിദ്ധാന്തം 1-ൻ്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

അനന്തരഫലം 1. അനുവദിക്കുക എഒപ്പം സിപ്രൈം നമ്പറുകൾ താരതമ്യേനയാണ് ബി. പിന്നെ അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം acഎന്നത് സംബന്ധിച്ച് ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ് ബി.

ശരിക്കും. സിദ്ധാന്തം 1 ൽ നിന്ന് acഒപ്പം ബിസമാനമായ പൊതു വിഭജനങ്ങൾ ഉണ്ട് സിഒപ്പം ബി. എന്നാൽ അക്കങ്ങൾ സിഒപ്പം ബിതാരതമ്യേന ലളിതമാണ്, അതായത്. ഒരൊറ്റ പൊതു വിഭജനം ഉണ്ടായിരിക്കുക 1. പിന്നെ acഒപ്പം ബിഒരൊറ്റ പൊതു വിഭജനവും ഉണ്ട് 1. അതിനാൽ acഒപ്പം ബിപരസ്പരം ലളിതമാണ്.

അനന്തരഫലം 2. അനുവദിക്കുക എഒപ്പം ബികോപ്രൈം നമ്പറുകളും അനുവദിക്കുക ബിവിഭജിക്കുന്നു എകെ. പിന്നെ ബിവിഭജിക്കുന്നു ഒപ്പം കെ.

ശരിക്കും. അംഗീകാര വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് എകെഒപ്പം ബിഒരു പൊതു വിഭജനം ഉണ്ട് ബി. സിദ്ധാന്തം 1 പ്രകാരം, ബിഒരു പൊതു വിഭജനം ആയിരിക്കണം ബിഒപ്പം കെ. അതുകൊണ്ട് ബിവിഭജിക്കുന്നു കെ.

പരിണതഫലം 1 പൊതുവൽക്കരിക്കാം.

അനന്തരഫലം 3. 1. അക്കങ്ങൾ അനുവദിക്കുക എ 1 , എ 2 , എ 3 , ..., എ m ആണ് സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാനം ബി. പിന്നെ എ 1 എ 2 , എ 1 എ 2 · എ 3 , ..., എ 1 എ 2 എ 3 ··· എ m, ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം സംഖ്യയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ പ്രൈം ആണ് ബി.

2. നമുക്ക് രണ്ട് വരി സംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകാം

ആദ്യ ശ്രേണിയിലെ ഓരോ സംഖ്യയും രണ്ടാം ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും അനുപാതത്തിൽ പ്രധാനമാണ്. പിന്നെ ഉൽപ്പന്നം

ഈ ഓരോ സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു സംഖ്യയെ ഹരിച്ചാൽ എ 1, അപ്പോൾ അതിന് ഫോം ഉണ്ട് സാ 1 എവിടെ എസ്കുറച്ച് നമ്പർ. എങ്കിൽ qസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനമാണ് എ 1 ഒപ്പം എ 2, പിന്നെ

എവിടെ എസ് 1 എന്നത് ചില പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. പിന്നെ

ആണ് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതങ്ങൾ എ 1 ഒപ്പം എ 2 .

എ 1 ഒപ്പം എ 2 താരതമ്യേന പ്രൈം ആണ്, പിന്നെ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എ 1 ഒപ്പം എ 2:

ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം നമുക്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

മുകളിൽ പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും ഒന്നിലധികം സംഖ്യകൾ പിന്തുടരുന്നു എ 1 , എ 2 , എ 3 സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായിരിക്കണം ε ഒപ്പം എ 3 ഉം തിരിച്ചും. സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം അനുവദിക്കുക ε ഒപ്പം എ 3 അതെ ε 1 . അടുത്തതായി, സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതങ്ങൾ എ 1 , എ 2 , എ 3 , എ 4 സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായിരിക്കണം ε 1 ഒപ്പം എ 4 . സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം അനുവദിക്കുക ε 1 ഒപ്പം എ 4 അതെ ε 2. അങ്ങനെ, സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി എ 1 , എ 2 , എ 3 ,...,എ m ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ε നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന n.

പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ അക്കങ്ങൾ വരുമ്പോൾ എ 1 , എ 2 , എ 3 ,...,എ m എന്നത് താരതമ്യേന പ്രൈം ആണ്, പിന്നെ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എ 1 , എ 2, മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഫോം (3) ഉണ്ട്. അടുത്തത്, മുതൽ എസംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് 3 പ്രൈം എ 1 , എ 2 പിന്നെ എ 3 പ്രധാന നമ്പർ എ 1 · എ 2 (പരിഹാരം 1). സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എ 1 ,എ 2 ,എ 3 ഒരു സംഖ്യയാണ് എ 1 · എ 2 · എ 3. സമാനമായ രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്തുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

പ്രസ്താവന 1. കോപ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എ 1 , എ 2 , എ 3 ,...,എ m അവരുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് എ 1 · എ 2 · എ 3 ··· എഎം.

പ്രസ്താവന 2. ഓരോ കോപ്രൈം നമ്പറുകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന ഏത് സംഖ്യയും എ 1 , എ 2 , എ 3 ,...,എ m എന്നത് അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് എ 1 · എ 2 · എ 3 ··· എഎം.

സാധാരണ ഗുണിതങ്ങൾ

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഓരോ സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും പൊതുവായ ഗുണിതംനൽകിയിരിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ.

രണ്ടോ അതിലധികമോ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഗുണിതം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഉദാഹരണം 1

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഗുണിതം കണക്കാക്കുക: $2$, $5$.

പരിഹാരം.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, $2$, $5$ എന്നിവയുടെ പൊതുവായ ഗുണിതം $10$ ആണ്, കാരണം ഇത് $2$ എന്ന സംഖ്യയുടെയും $5$ എന്ന സംഖ്യയുടെയും ഗുണിതമാണ്:

$2$, $5$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങൾ $–10, 20, –20, 30, –30$ മുതലായവയും ആയിരിക്കും, കാരണം അവയെല്ലാം $2$, $5$ എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ് 1

പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഏത് സംഖ്യയുടെയും ഒരു പൊതു ഗുണിതമാണ് പൂജ്യം.

വിഭജനത്തിൻ്റെ ഗുണഗണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ പല സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു ഗുണിതമാണെങ്കിൽ, ചിഹ്നത്തിലെ എതിർ സംഖ്യയും നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു ഗുണിതമായിരിക്കും. പരിഗണിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ കഴിയും.

നൽകിയിരിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കായി, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും.

ഉദാഹരണം 2

$111$, $55$ എന്നിവയുടെ പൊതുവായ ഗുണിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ നമുക്ക് ഗുണിക്കാം: $111\div 55=6105$. $6105$ എന്ന സംഖ്യയെ $111$ എന്ന സംഖ്യയും $55$ എന്ന സംഖ്യയും കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നത് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

അങ്ങനെ, $6105$ എന്നത് $111$, $55$ എന്നിവയുടെ പൊതുവായ ഗുണിതമാണ്.

ഉത്തരം: $111$, $55$ എന്നിവയുടെ പൊതുവായ ഗുണിതം $6105$ ആണ്.

പക്ഷേ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ ഇതിനകം കണ്ടതുപോലെ, ഈ പൊതു ഗുണിതം ഒന്നല്ല. മറ്റ് പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങൾ $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ മുതലായവ ആയിരിക്കും. അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി:

കുറിപ്പ് 2

ഏതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും അനന്തമായ സാധാരണ ഗുണിതങ്ങൾ ഉണ്ട്.

പ്രായോഗികമായി, പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ (സ്വാഭാവിക) സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, കാരണം തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗണങ്ങളും അതിൻ്റെ വിപരീതവും ഒത്തുചേരുന്നു.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളിലും, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമാണ് (LCM) മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

നിർവ്വചനം 2

നൽകിയിരിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോസിറ്റീവ് കോമൺ മൾട്ടിപ്പിൾ ആണ് ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതംഈ നമ്പറുകൾ.

ഉദാഹരണം 3

$4$, $7$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ LCM കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

കാരണം ഈ സംഖ്യകൾക്ക് പൊതുവായ വിഭജനങ്ങളില്ല, തുടർന്ന് $LCM(4,7)=28$.

ഉത്തരം: $NOK (4,7)=28$.

GCD വഴി NOC കണ്ടെത്തുന്നു

കാരണം LCM ഉം GCD ഉം തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധമുണ്ട്, അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയും രണ്ട് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ LCM:

കുറിപ്പ് 3

ഉദാഹരണം 4

$232$, $84$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ LCM കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

GCD വഴി LCM കണ്ടെത്താൻ നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് $232$, $84$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ GCD നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

ആ. $GCD(232, 84)=4$.

നമുക്ക് $LCC (232, 84)$ കണ്ടെത്താം:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

ഉത്തരം: $NOK (232.84)=$4872.

ഉദാഹരണം 5

$LCD(23, 46)$ കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

കാരണം $46$ എന്നത് $23$ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, തുടർന്ന് $gcd (23, 46)=23$. നമുക്ക് LOC കണ്ടെത്താം:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

ഉത്തരം: $NOK (23.46)=$46.

അങ്ങനെ, ഒരാൾക്ക് രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും ഭരണം:

കുറിപ്പ് 4

ഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കും പ്രശ്നങ്ങൾക്കും ധാരാളം അധിക അറിവ് ആവശ്യമാണ്. എൻഒസി പ്രധാന കാര്യങ്ങളിലൊന്നാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് ഹൈസ്‌കൂളിൽ പഠിക്കുന്ന വിഷയം, മാത്രമല്ല ശക്തികളും ഗുണന പട്ടികയും പരിചയമുള്ള ഒരു വ്യക്തിക്ക് ആവശ്യമായ സംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിയാനും കണ്ടെത്താനും ബുദ്ധിമുട്ട് ഉണ്ടാകില്ല; ഫലമായി.

നിർവ്വചനം

ഒരേ സമയം രണ്ട് സംഖ്യകളായി പൂർണ്ണമായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് പൊതുവായ ഗുണിതം (a, b). മിക്കപ്പോഴും, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളായ a, b എന്നിവ ഗുണിച്ചാണ് ഈ സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നത്. സംഖ്യ വ്യതിയാനങ്ങളില്ലാതെ ഒരേസമയം രണ്ട് സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കപ്പെടണം.

ആദ്യ അക്ഷരങ്ങളിൽ നിന്ന് ശേഖരിച്ച പദവിക്കായി സ്വീകരിച്ച ഹ്രസ്വ നാമമാണ് NOC.

ഒരു നമ്പർ നേടാനുള്ള വഴികൾ

എൽസിഎം കണ്ടെത്തുന്നതിന് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്ന രീതി എല്ലായ്പ്പോഴും അനുയോജ്യമല്ല; വലിയ സംഖ്യ, കൂടുതൽ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.

ഉദാഹരണം #1

ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണത്തിന്, സ്കൂളുകൾ സാധാരണയായി പ്രൈം, ഒറ്റ- അല്ലെങ്കിൽ ഇരട്ട-അക്ക സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ടാസ്ക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, 7, 3 അക്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുക, പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാണ്, അവയെ ഗുണിക്കുക. തൽഫലമായി, ഒരു സംഖ്യ 21 ഉണ്ട്, ഒരു ചെറിയ സംഖ്യ ഇല്ല.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

ചുമതലയുടെ രണ്ടാമത്തെ പതിപ്പ് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. 300, 1260 എന്നീ നമ്പറുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, LOC നിർബന്ധമാണ്. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു:

ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യകളെ ലളിതമായ ഘടകങ്ങളാക്കി വിഘടിപ്പിക്കുക. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. ആദ്യഘട്ടം പൂർത്തിയായി.

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ ഇതിനകം ലഭിച്ച ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. ലഭിച്ച ഓരോ നമ്പറുകളും അന്തിമ ഫലം കണക്കാക്കുന്നതിൽ പങ്കെടുക്കണം. ഓരോ ഘടകത്തിനും, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിൽ നിന്നാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ സംഭവങ്ങൾ എടുക്കുന്നത്. LCM ഒരു പൊതു സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങൾ അതിൽ ആവർത്തിക്കണം, ഓരോന്നും, ഒരു പകർപ്പിൽ ഉള്ളവ പോലും. രണ്ട് പ്രാരംഭ സംഖ്യകളിലും 2, 3, 5 എന്നീ സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, വ്യത്യസ്ത ശക്തികളിൽ 7 ഒരു കേസിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ.

അന്തിമ ഫലം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഏറ്റവും വലിയ ശക്തികളിൽ ഓരോ സംഖ്യയും എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ശരിയായി പൂരിപ്പിച്ചാൽ, വിശദീകരണമില്ലാതെ ടാസ്ക്ക് രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളായി യോജിക്കുന്നു:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

അതാണ് മുഴുവൻ പ്രശ്‌നവും, നിങ്ങൾ ഗുണനത്തിലൂടെ ആവശ്യമായ സംഖ്യ കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉത്തരം തീർച്ചയായും ശരിയാകില്ല, കാരണം 300 * 1260 = 378,000.

പരീക്ഷ:

6300 / 300 = 21 - ശരിയാണ്;

6300 / 1260 = 5 - ശരിയാണ്.

ലഭിച്ച ഫലത്തിൻ്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നതിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു - രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിലും സംഖ്യ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, LCM-നെ ഹരിച്ചാൽ, ഉത്തരം ശരിയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ NOC എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഉപയോഗശൂന്യമായ ഒരു ഫംഗ്ഷനും ഇല്ല, ഇത് ഒരു അപവാദമല്ല. ഈ സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഉദ്ദേശ്യം ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുക എന്നതാണ്. സെക്കൻഡറി സ്കൂളിലെ 5-6 ഗ്രേഡുകളിൽ സാധാരണയായി എന്താണ് പഠിക്കുന്നത്. പ്രശ്‌നത്തിൽ അത്തരം അവസ്ഥകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാ ഗുണിതങ്ങൾക്കും ഇത് ഒരു പൊതു വിഭജനം കൂടിയാണ്. സമാനമായ ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന് രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതങ്ങൾ മാത്രമല്ല, വളരെ വലിയ സംഖ്യകളും കണ്ടെത്താനാകും - മൂന്ന്, അഞ്ച്, മുതലായവ. കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ, ചുമതലയിൽ കൂടുതൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, പക്ഷേ സങ്കീർണ്ണത വർദ്ധിക്കുന്നില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, 250, 600, 1500 എന്നീ നമ്പറുകൾ നൽകിയാൽ, നിങ്ങൾ അവരുടെ പൊതുവായ LCM കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ഈ ഉദാഹരണം ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ കുറയ്ക്കാതെ വിശദമായി വിവരിക്കുന്നു.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

ഒരു പദപ്രയോഗം രചിക്കുന്നതിന്, എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പരാമർശിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 2, 5, 3 നൽകിയിരിക്കുന്നു - ഈ എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും പരമാവധി ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ശ്രദ്ധിക്കുക: എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂർണ്ണമായ ലഘൂകരണത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം, സാധ്യമെങ്കിൽ, ഒറ്റ അക്കങ്ങളുടെ തലത്തിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കുക.

പരീക്ഷ:

1) 3000 / 250 = 12 - ശരിയാണ്;

2) 3000 / 600 = 5 - ശരി;

3) 3000 / 1500 = 2 - ശരിയാണ്.

ഈ രീതിക്ക് ഏതെങ്കിലും തന്ത്രങ്ങളോ ജീനിയസ് ലെവൽ കഴിവുകളോ ആവശ്യമില്ല, എല്ലാം ലളിതവും വ്യക്തവുമാണ്.

മറ്റൊരു വഴി

ഗണിതത്തിൽ, പല കാര്യങ്ങളും ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, പല കാര്യങ്ങളും രണ്ടോ അതിലധികമോ വഴികളിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതമായ LCM കണ്ടെത്തുന്നതിനും ഇത് ബാധകമാണ്. ലളിതമായ രണ്ടക്ക, ഒറ്റ അക്ക സംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കാം. ഒരു പട്ടിക സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൽ ഗുണിതം ലംബമായും ഗുണനം തിരശ്ചീനമായും നൽകി, നിരയുടെ വിഭജിക്കുന്ന സെല്ലുകളിൽ ഉൽപ്പന്നം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വരി ഉപയോഗിച്ച് പട്ടിക പ്രതിഫലിപ്പിക്കാം, ഒരു സംഖ്യ എടുത്ത് ഈ സംഖ്യയെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാൽ ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ എഴുതാം, 1 മുതൽ അനന്തത വരെ, ചിലപ്പോൾ 3-5 പോയിൻ്റുകൾ മതിയാകും, രണ്ടാമത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ സംഖ്യകൾ ഒരേ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രക്രിയയ്ക്ക് വിധേയമാകുന്നു. ഒരു പൊതു ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ എല്ലാം സംഭവിക്കുന്നു.

30, 35, 42 നമ്പറുകൾ നൽകിയാൽ, എല്ലാ നമ്പറുകളെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന LCM നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

1) 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 മുതലായവയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ.

2) 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 മുതലായവയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ.

3) 42: 84, 126, 168, 210, 252 മുതലായവയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ.

എല്ലാ സംഖ്യകളും തികച്ചും വ്യത്യസ്തമാണെന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്, അവയിൽ പൊതുവായത് 210 ആണ്, അതിനാൽ ഇത് NOC ആയിരിക്കും. ഈ കണക്കുകൂട്ടലിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന പ്രക്രിയകളിൽ, സമാനമായ തത്ത്വങ്ങൾക്കനുസൃതമായി കണക്കാക്കുകയും അയൽപക്ക പ്രശ്നങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും നേരിടുകയും ചെയ്യുന്ന ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനവും ഉണ്ട്. വ്യത്യാസം ചെറുതാണ്, പക്ഷേ വളരെ പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നു, നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങളാലും ഹരിച്ച സംഖ്യ കണക്കാക്കുന്നത് LCM-ൽ ഉൾപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നത് GCD-ൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.