നക്ഷത്ര വാർത്ത
വിശദമായ പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. കോഴ്സ് വർക്ക്: ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും
മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല. പക്ഷേ വെറുതെയായി. ഒരു കഥാപാത്രം പറയുന്നതുപോലെ,
"അത് എങ്ങനെ പാചകം ചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ല"
അതിനാൽ എങ്ങനെ "പാചകം" ചെയ്യാം, സൈനുമായി അസമത്വം സമർപ്പിക്കേണ്ടത് ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ കണ്ടെത്തും. ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കും ലളിതമായ രീതിയിൽ- ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച്.
അതിനാൽ, ഒന്നാമതായി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ആവശ്യമാണ്.
സൈനുമായുള്ള അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:
- സൈൻ അക്ഷത്തിൽ ഞങ്ങൾ $a$ എന്ന സംഖ്യ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും അത് വൃത്തവുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ കോസൈൻ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു;
- അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ വൃത്തവുമായി ഈ വരിയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ ഷേഡുള്ളതായിരിക്കും, അസമത്വം കർശനമാണെങ്കിൽ ഷേഡുള്ളതല്ല;
- അസമത്വത്തിൽ “$>$” എന്ന ചിഹ്നം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അസമത്വത്തിൻ്റെ പരിഹാര മേഖല രേഖയ്ക്ക് മുകളിലും സർക്കിൾ വരെയും സ്ഥിതിചെയ്യും, അസമത്വത്തിൽ “$” എന്ന ചിഹ്നം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ വരിക്ക് താഴെയും സർക്കിൾ വരെയും സ്ഥിതിചെയ്യും.<$”;
- ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ $\sin(x)=a$ എന്ന ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- $n=0$ ക്രമീകരണം, ഞങ്ങൾ ആദ്യ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു (അത് ഒന്നുകിൽ ഒന്നുകിൽ ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ നാലാം പാദത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു);
- രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഏരിയയിലൂടെ രണ്ടാമത്തെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റിലേക്ക് ഏത് ദിശയിലാണ് പോകുന്നത് എന്ന് നോക്കുന്നു: പോസിറ്റീവ് ദിശയിലാണെങ്കിൽ, $n=1$ എടുക്കണം, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് ദിശയിലാണെങ്കിൽ, $n=- 1$;
- പ്രതികരണമായി, ചെറിയ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് $+ 2\pi n$ മുതൽ വലിയ $+ 2\pi n$ വരെ ഇടവേള എഴുതിയിരിക്കുന്നു.
അൽഗോരിതം പരിമിതി
പ്രധാനപ്പെട്ടത്: ഡിഅൽഗോരിതം നൽകിയിരിക്കുന്നു പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല$\sin(x) > 1 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ അസമത്വത്തിന്; \\sin(x) \geq 1, \\sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
സൈനുമായുള്ള അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രത്യേക കേസുകൾ
മുകളിലുള്ള അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാതെ യുക്തിസഹമായി പരിഹരിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതും പ്രധാനമാണ്.
പ്രത്യേക കേസ് 1.അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:
$\sin(x)\leq 1.$
മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി എന്ന വസ്തുത കാരണം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം$y=\sin(x)$ മൊഡ്യൂളോ $1$ എന്നതിനേക്കാൾ വലുതല്ല, തുടർന്ന് അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ഏതെങ്കിലും സമയത്ത്നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് $x$ (സൈനിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ) $1$-ൽ കൂടരുത്. അതിനാൽ, ഉത്തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു: $x \in R$.
അനന്തരഫലം:
$\sin(x)\geq -1.$
പ്രത്യേക കേസ് 2.അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:
$\sin(x)< 1.$
സ്പെഷ്യൽ കേസ് 1-ന് സമാനമായ ന്യായവാദം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, $\sin(x) = 1$ എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരമായ പോയിൻ്റുകൾ ഒഴികെ, എല്ലാ $x \in R$ നും അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം $1$-ൽ കുറവാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
അതിനാൽ, ഉത്തരത്തിൽ നമ്മൾ എഴുതുന്നു: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
അനന്തരഫലം:അസമത്വവും സമാനമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു
$\sin(x) > -1.$
ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.
ഉദാഹരണം 1:അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- സൈൻ അക്ഷത്തിൽ $\frac(1)(2)$ കോർഡിനേറ്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം.
- കോസൈൻ അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരച്ച് ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകാം.
- നമുക്ക് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താം. അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ അവ തണലാക്കും.
- അസമത്വ ചിഹ്നം $\geq$ ആണ്, അതായത് വരയ്ക്ക് മുകളിലുള്ള പ്രദേശം ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു, അതായത്. ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തം.
- ആദ്യത്തെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അസമത്വത്തെ സമത്വമാക്കി മാറ്റുകയും അത് പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: $\sin(x)=\frac(1)(2) \\Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. ഞങ്ങൾ $n=0$ സജ്ജീകരിച്ച് ആദ്യത്തെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഏരിയ ആദ്യ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് പോകുന്നു, അതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾ $n$ $1$ ന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുന്നു: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
അതിനാൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എടുക്കും:
$x \in \ഇടത്[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$
ഉദാഹരണം 2:അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:
$\sin(x)< -\frac{1}{2}$
സൈൻ അക്ഷത്തിൽ $-\frac(1)(2)$ എന്ന കോർഡിനേറ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുകയും കോസൈൻ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുകയും ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യാം. നമുക്ക് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താം. അസമത്വം കർശനമായതിനാൽ അവ തണലായിരിക്കില്ല. അസമത്വ ചിഹ്നം $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
$n=0$ എന്ന് ഊഹിച്ചാൽ, നമ്മൾ ആദ്യത്തെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. ഞങ്ങളുടെ ഏരിയ ആദ്യ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് നെഗറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് പോകുന്നു, അതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾ $n$ $-1$ ന് തുല്യമായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
അതിനാൽ, ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേള ആയിരിക്കും:
$x \in \ഇടത്(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$
ഉദാഹരണം 3:അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$
ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഉദാഹരണം ഉടനടി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ആദ്യം നിങ്ങൾ അത് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത് ഞങ്ങൾ കൃത്യമായി ചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ അടയാളത്തെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് അതിനെ വിപരീതമാക്കുന്നു!
അതിനാൽ, ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത എല്ലാം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
നമുക്ക് ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ $-2$ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം (ചിഹ്നത്തെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്!). ഉണ്ടായിരിക്കും:
$\sin(\ഇടത്(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\വലത്)) \geq \frac(1)(2).$
ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു അസമത്വം വീണ്ടും നമുക്കുണ്ട്. എന്നാൽ ഇവിടെ വേരിയബിൾ മാറ്റാൻ ഇത് മതിയാകും:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ത്രികോണമിതി അസമത്വം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
ഈ അസമത്വം ഉദാഹരണം 1-ൽ പരിഹരിച്ചു, അതിനാൽ നമുക്ക് അവിടെ നിന്ന് ഉത്തരം കടമെടുക്കാം:
$t \in \ഇടത്[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\വലത്].$
എന്നാൽ, തീരുമാനം ഇതുവരെ അവസാനിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മൾ യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങേണ്ടതുണ്ട്.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \ഇടത്ത്[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\വലത്].$
നമുക്ക് ഇടവേള ഒരു സിസ്റ്റമായി സങ്കൽപ്പിക്കുക:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ട് ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), അത് ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഇടവേളയുടെ ഇടത് അതിർത്തി ആദ്യ അസമത്വത്തിന് ഉത്തരവാദിയാണ്, വലത് അതിർത്തി രണ്ടാമത്തേതിന് ഉത്തരവാദിയാണ്. മാത്രമല്ല, ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു: ബ്രാക്കറ്റ് ചതുരമാണെങ്കിൽ, അസമത്വം അയവുള്ളതായിരിക്കും, അത് വൃത്താകൃതിയിലാണെങ്കിൽ, അത് കർശനമായിരിക്കും. ഇടതുവശത്ത് $x$ നേടുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല രണ്ട് അസമത്വങ്ങളിലും.
$\frac(\pi)(6)$ ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് വലത്തോട്ട് നീക്കാം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$
ലളിതമാക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കും:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$
ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ $4$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \ right. $
സിസ്റ്റത്തെ ഇടവേളയിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും:
$x \in \ഇടത്[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$
1.5 ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും
1.5.1 ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു
ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ മിക്ക രചയിതാക്കളും ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഈ വിഷയം പരിഗണിക്കാൻ തുടങ്ങാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ പ്രധാന ത്രികോണമിതി കോണുകളുടെ മാത്രമല്ല, മറ്റ് മൂല്യങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള അറിവും കഴിവുകളും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.
അതേസമയം, ഫോമിൻ്റെ അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം , , , ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടപ്പിലാക്കാം: ആദ്യം ഈ അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ചില ഇടവേളകൾ () കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് കണ്ടെത്തിയ ഇടവേളയുടെ അറ്റത്ത് ചേർത്ത് അന്തിമ ഉത്തരം എഴുതുക a സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ കാലഘട്ടത്തിൻ്റെ ഗുണിതം: ( 
). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്, കാരണം അഥവാ . അർത്ഥത്തിനായുള്ള തിരയൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അവബോധത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, സൈനിൻ്റെയോ കോസൈൻ ഗ്രാഫിൻ്റെയോ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങളുടെ സമമിതി പ്രയോജനപ്പെടുത്തി ആർക്കുകളുടെയും സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെയും തുല്യത ശ്രദ്ധിക്കാനുള്ള അവരുടെ കഴിവ്. ഇത് ചിലപ്പോൾ ധാരാളം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ കഴിവുകൾക്കപ്പുറമാണ്. ശ്രദ്ധിക്കപ്പെട്ട ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ മറികടക്കാൻ, സമീപ വർഷങ്ങളിൽ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വ്യത്യസ്ത സമീപനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ ഇത് പഠന ഫലങ്ങളിൽ ഒരു പുരോഗതിക്കും കാരണമായില്ല.
നിരവധി വർഷങ്ങളായി, ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഞങ്ങൾ ഈ വിഷയം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പഠിക്കുന്നു:
1. ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫുകളും y = a ഉം നിർമ്മിക്കുന്നു, അത് അനുമാനിക്കുന്നു.
അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ സമവാക്യവും അതിൻ്റെ പരിഹാരവും എഴുതുന്നു. n 0 നൽകുന്നു; 1; 2, സമാഹരിച്ച സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: . ഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സയും y = aയുമാണ് മൂല്യങ്ങൾ. അസമത്വം എല്ലായ്പ്പോഴും ഇടവേളയിൽ (), അസമത്വം എല്ലായ്പ്പോഴും ഇടവേളയിൽ () പിടിക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്.
ഈ ഇടവേളകളുടെ അറ്റത്ത് സൈനിൻ്റെ കാലയളവിൻ്റെ ഗുണിതമായ ഒരു സംഖ്യ ചേർക്കുന്നതിലൂടെ, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നമുക്ക് രൂപത്തിൽ അസമത്വത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കും: ; രണ്ടാമത്തെ കാര്യത്തിൽ, രൂപത്തിൽ അസമത്വത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരം:
സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമായ ഫോർമുലയിൽ നിന്നുള്ള സൈനിനു വിപരീതമായി മാത്രം, n = 0 ന് നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകളും n = 1 എന്ന ഫോമിലെ മൂന്നാമത്തെ റൂട്ടും ലഭിക്കും. 
. വീണ്ടും, അവ ഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് അബ്‌സിസസുകളാണ്. ഇടവേളയിൽ () അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു, ഇടവേളയിൽ () അസമത്വം
ഇപ്പോൾ അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ എഴുതുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: ;
രണ്ടാമത്തേതിൽ: .
സംഗഹിക്കുക. അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന് അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അനുബന്ധ സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് അത് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുലയിൽ നിന്ന്, കൂടാതെ ൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തി, അസമത്വത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഫോമിൽ എഴുതുക: .
അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും , അസമത്വത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഫോമിൽ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു: .
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് എല്ലാ വിദ്യാർത്ഥികളെയും പഠിപ്പിക്കാൻ ഈ സാങ്കേതികവിദ്യ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, കാരണം ഈ സാങ്കേതികത പൂർണ്ണമായും വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ശക്തമായ കമാൻഡ് ഉള്ള കഴിവുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താനുമുള്ള കഴിവുകൾ ഇവയാണ്. കൂടാതെ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം, a എന്ന സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിൻ്റെ മൂല്യം, അതിൻ്റെ ചിഹ്നം എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ച് എല്ലാത്തരം ന്യായവാദ സാങ്കേതിക വിദ്യകളും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനായി ഒരു അധ്യാപകൻ്റെ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശത്തിൽ ധാരാളം വ്യായാമങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിഹരിക്കുന്നത് പൂർണ്ണമായും അനാവശ്യമാണ്. . അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയ തന്നെ ഹ്രസ്വവും വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതും ഏകതാനവുമാണ്.
ഈ രീതിയുടെ മറ്റൊരു നേട്ടം, വലതുവശത്ത് സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ ഒരു ടേബിൾ മൂല്യം അല്ലാത്തപ്പോൾ പോലും അസമത്വങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു എന്നതാണ്.
ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമുക്ക് ഇത് തെളിയിക്കാം. നമുക്ക് ഒരു അസമത്വം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക. നമുക്ക് അനുബന്ധ സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് അത് പരിഹരിക്കാം:
എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.
എപ്പോൾ n = 1 
എപ്പോൾ n = 2 
ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള അവസാന ഉത്തരം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:
ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു പോരായ്മ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ - ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള ഔപചാരികതയുടെ സാന്നിധ്യം. എന്നാൽ എല്ലാം ഈ സ്ഥാനങ്ങളിൽ നിന്ന് മാത്രം വിലയിരുത്തുകയാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളെയും ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളെയും ഔപചാരികതയെയും കുറ്റപ്പെടുത്താൻ കഴിയും.
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകളുടെ രൂപീകരണത്തിൽ നിർദ്ദിഷ്ട രീതിക്ക് യോഗ്യമായ സ്ഥാനമുണ്ടെങ്കിലും, ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് രീതികളുടെ പ്രാധാന്യവും സവിശേഷതകളും കുറച്ചുകാണാൻ കഴിയില്ല. ഇടവേള രീതി ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.
നമുക്ക് അതിൻ്റെ സാരാംശം പരിഗണിക്കാം.
സെറ്റ് എഡിറ്റ് ചെയ്തത് എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്, ബാക്കിയുള്ള പാഠപുസ്തകങ്ങളും നിങ്ങൾ അവഗണിക്കരുത്. § 3. ബീജഗണിതത്തിലും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിലും "ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രം സ്കൂളിലെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ, രണ്ട് പ്രധാന ഘട്ടങ്ങൾ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും: ü ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി പ്രാഥമിക പരിചയം...
ഗവേഷണം നടത്തുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലികൾ പരിഹരിച്ചു: 1) ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ നിലവിലെ പാഠപുസ്തകങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് അവയിൽ അവതരിപ്പിച്ച രീതികൾ തിരിച്ചറിയാൻ വിശകലനം ചെയ്തു. വിശകലനം ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: · സെക്കൻഡറി സ്കൂളിൽ, വിവിധ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളിൽ വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ ചെലുത്തുന്നില്ല, പ്രധാനമായും...
1. വാദം സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിൽ (വ്യത്യസ്‌തമാണ് എക്സ്), എന്നിട്ട് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ടി.
2. ഞങ്ങൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ നിർമ്മിക്കുന്നു ടോയ്ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ y=ചെലവ്ഒപ്പം y=a.
3. ഞങ്ങൾ അങ്ങനെ കണ്ടെത്തുന്നു ഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള പോയിൻ്റുകൾ, അതിനിടയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് y=a നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിൽ. ഈ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
4. വാദത്തിന് ഇരട്ട അസമത്വം എഴുതുക ടി, കോസൈൻ കാലയളവ് കണക്കിലെടുത്ത് ( ടികണ്ടെത്തിയ അബ്സിസ്സകൾക്കിടയിലായിരിക്കും).
5. ഒരു റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉണ്ടാക്കുക (യഥാർത്ഥ ആർഗ്യുമെൻ്റിലേക്ക് മടങ്ങുക) മൂല്യം പ്രകടിപ്പിക്കുക എക്സ്ഇരട്ട അസമത്വത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു.
ഉദാഹരണം 1.
അടുത്തതായി, അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ആ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു ടി, sinusoid സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് ഉയർന്നത് ഋജുവായത്. കോസൈൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആനുകാലികത കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഇരട്ട അസമത്വമായി എഴുതാം, തുടർന്ന് യഥാർത്ഥ വാദത്തിലേക്ക് മടങ്ങുക. എക്സ്.
ഉദാഹരണം 2.
മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ടി, അതിൽ sinusoid നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണ്.
ഇരട്ട അസമത്വത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു ടി,വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ കാലയളവ് എന്നത് മറക്കരുത് y=ചെലവ്തുല്യമാണ് 2π. വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു എക്സ്, ഇരട്ട അസമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും ക്രമേണ ലളിതമാക്കുന്നു.
അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഉത്തരം അടച്ച സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു.
ഉദാഹരണം 3.
മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും ടി, അതിൽ sinusoid ൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലായിരിക്കും.
മൂല്യങ്ങൾ ടിഇരട്ട അസമത്വത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഇത് എഴുതുക, അതേ മൂല്യങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതുക 2xപ്രകടിപ്പിക്കുകയും എക്സ്. ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ ഉത്തരം എഴുതാം.
പിന്നെയും ഫോർമുല ചെലവ്>എ.
എങ്കിൽ ചെലവ്>എ, (-1≤എ≤1), തുടർന്ന് - ആർക്കോസ് a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുക, പരീക്ഷാ പരിശോധനയിൽ നിങ്ങൾക്ക് സമയം ലാഭിക്കാം.
ഇപ്പോൾ ഫോർമുല
, തീരുമാനിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ UNT അല്ലെങ്കിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ ഉപയോഗിക്കണം ത്രികോണമിതി അസമത്വംതരം ചെലവ്
എങ്കിൽ ചെലവ് , (-1≤എ≤1), തുടർന്ന് ആർക്കോസ് a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
ഈ ലേഖനത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഈ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് വളരെ വേഗത്തിലും ഗ്രാഫുകളില്ലാതെയും ഉത്തരം ലഭിക്കും!
സൈൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആനുകാലികത കണക്കിലെടുത്ത്, വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങൾ ഇരട്ട അസമത്വം എഴുതുന്നു ടി, അവസാനത്തെ അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇരട്ട അസമത്വത്തെ നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യാം എക്സ്.ഉത്തരം ഒരു ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം.
നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കാം:
രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫോമിൻ്റെ അസമത്വം ലഭിക്കുന്നതിന് ഇരട്ട ആർഗ്യുമെൻ്റ് സൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്: sint≥a.അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം പിന്തുടർന്നു.
ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു:
പ്രിയ ബിരുദധാരികളും അപേക്ഷകരും! മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി പോലെയുള്ള ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ, ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്ന, ഒരു യൂണിറ്റ് ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ (ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ) ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്ന രീതി ത്രികോണമിതിയുടെ വിഭാഗം പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടങ്ങളിൽ മാത്രമേ ബാധകമാകൂ എന്ന് ഓർമ്മിക്കുക. "ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നു." ഗ്രാഫുകളോ സർക്കിളുകളോ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ആദ്യം ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചത് നിങ്ങൾ ഓർക്കുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ ഈ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ചിന്തിക്കില്ല. നിങ്ങൾ അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? അത് ശരിയാണ്, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്. അതിനാൽ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കണം, പ്രത്യേകിച്ച് പരിശോധന സമയത്ത്, എപ്പോൾ ഓരോ മിനിറ്റും വിലപ്പെട്ടതാണ്. അതിനാൽ, ഈ പാഠത്തിൻ്റെ മൂന്ന് അസമത്വങ്ങൾ ഉചിതമായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുക.
എങ്കിൽ sint>a, എവിടെ -1≤ എ≤1, പിന്നെ arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുക!
അവസാനമായി: ഗണിതശാസ്ത്രം നിർവചനങ്ങളും നിയമങ്ങളും ഫോർമുലകളും ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ?!
തീർച്ചയായും നിങ്ങൾ ചെയ്യും! ഏറ്റവും ജിജ്ഞാസയോടെ, ഈ ലേഖനം പഠിക്കുകയും വീഡിയോ കാണുകയും ചെയ്തു: “എത്ര ദൈർഘ്യമേറിയതും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമാണ്! ഗ്രാഫുകളോ സർക്കിളുകളോ ഇല്ലാതെ അത്തരം അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു സൂത്രവാക്യം ഉണ്ടോ? അതെ, തീർച്ചയായും ഉണ്ട്!
ഫോമിലെ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്: പാപം (-1≤എ≤1) ഫോർമുല സാധുവാണ്:
- π - arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇത് പ്രയോഗിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം വളരെ വേഗത്തിൽ ലഭിക്കും!
ഉപസംഹാരം: സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കൂ, സുഹൃത്തുക്കളേ!
പേജ് 1 / 1 1
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ
പ്രസക്തി. ചരിത്രപരമായി, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾക്കും അസമത്വങ്ങൾക്കും സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ പ്രത്യേക സ്ഥാനം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. സ്കൂൾ കോഴ്സിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് ത്രികോണമിതി എന്നും പൊതുവെ മുഴുവൻ ഗണിത ശാസ്ത്രവും ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.
ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിലെ കേന്ദ്ര സ്ഥാനങ്ങളിലൊന്നാണ്, വിദ്യാഭ്യാസ സാമഗ്രികളുടെ ഉള്ളടക്കം, വിദ്യാഭ്യാസ, വൈജ്ഞാനിക പ്രവർത്തന രീതികൾ എന്നിവ അവരുടെ പഠനസമയത്ത് രൂപപ്പെടുത്തുകയും വലിയ സംഖ്യകൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പ്രയോഗിക്കുകയും വേണം. സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ സ്വഭാവമുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ.
ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നത് ത്രികോണമിതിയിലെ എല്ലാ വിദ്യാഭ്യാസ സാമഗ്രികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവ് ചിട്ടപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള മുൻവ്യവസ്ഥകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ത്രികോണമിതി പദപ്രയോഗങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന രീതികൾ മുതലായവ) കൂടാതെ പഠിച്ച മെറ്റീരിയലുമായി ഫലപ്രദമായ ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. ബീജഗണിതത്തിൽ (സമവാക്യങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യത, അസമത്വങ്ങൾ, ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ സമാന രൂപാന്തരങ്ങൾ മുതലായവ).
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ പരിഗണിക്കുന്നത് ഈ കഴിവുകളെ പുതിയ ഉള്ളടക്കത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു.
സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യവും അതിൻ്റെ നിരവധി പ്രയോഗങ്ങളും തിരഞ്ഞെടുത്ത വിഷയത്തിൻ്റെ പ്രസക്തിയുടെ തെളിവാണ്. കോഴ്സ് ജോലിയുടെ ലക്ഷ്യങ്ങളും ലക്ഷ്യങ്ങളും ഗവേഷണ വിഷയവും നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
പഠനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശം: ലഭ്യമായ തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനവും പ്രത്യേകവുമായ രീതികൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുക, സ്കൂൾ കുട്ടികൾ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു കൂട്ടം പ്രശ്നങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
ഗവേഷണ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:
1. ഗവേഷണ വിഷയത്തിൽ ലഭ്യമായ സാഹിത്യത്തിൻ്റെ വിശകലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, മെറ്റീരിയൽ ചിട്ടപ്പെടുത്തുക.
2. "ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം ഏകീകരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഒരു കൂട്ടം ജോലികൾ നൽകുക.
പഠന വിഷയം സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിലെ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളാണ്.
പഠന വിഷയം: ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളുടെ തരങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും.
സൈദ്ധാന്തിക പ്രാധാന്യം മെറ്റീരിയൽ വ്യവസ്ഥാപിതമാക്കുക എന്നതാണ്.
പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യം: പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ സൈദ്ധാന്തിക അറിവിൻ്റെ പ്രയോഗം; ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന പൊതു രീതികളുടെ വിശകലനം.
ഗവേഷണ രീതികൾ : ശാസ്ത്രീയ സാഹിത്യത്തിൻ്റെ വിശകലനം, നേടിയ അറിവിൻ്റെ സമന്വയവും പൊതുവൽക്കരണവും, പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൻ്റെ വിശകലനം, അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ രീതികൾക്കായി തിരയുക.
§1. ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളുടെ തരങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികളും
1.1 ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ
ചിഹ്നം അല്ലെങ്കിൽ > ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് ത്രികോണമിതി പദപ്രയോഗങ്ങളെ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു ത്രികോണമിതി അസമത്വം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അസമത്വത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളുടെ പ്രധാന ഭാഗം അവയെ ലളിതമായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിക്കൊണ്ട് പരിഹരിക്കുന്നു:
ഇത് ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ്റെ ഒരു രീതിയായിരിക്കാം, വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റം ( 
, 
മുതലായവ), അവിടെ സാധാരണ അസമത്വം ആദ്യം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് രൂപത്തിൻ്റെ അസമത്വം 
മുതലായവ, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് രീതികൾ.
ഏറ്റവും ലളിതമായ അസമത്വങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും: യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രാഫിക്കായി.
അനുവദിക്കുകf(x
- അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒന്ന്. അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻ 
ഒരു കാലയളവിൽ അതിൻ്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ഇത് മതിയാകും, അതായത്. ഫംഗ്ഷൻ്റെ കാലയളവിന് തുല്യമായ ദൈർഘ്യമുള്ള ഏത് സെഗ്‌മെൻ്റിലുംഎഫ്
x
. അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം എല്ലാം കണ്ടെത്തുംx
, അതുപോലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ കാലയളവുകളുടെ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാൽ കണ്ടെത്തിയതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ മൂല്യങ്ങൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.
അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് നൽകാം 
(
) ഒപ്പം 
.
അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം (
).
1. ഒരു സംഖ്യയുടെ സൈനിൻ്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുകx യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ.
3. ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ, കോർഡിനേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുകഎ .
4. ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ OX അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ വരച്ച് അതിൻ്റെ കവല പോയിൻ്റുകൾ സർക്കിളിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുക.
5. ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ ഒരു ആർക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കുക, അതിൽ എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും ഓർഡിനേറ്റ് കുറവാണ്എ .
6. റൗണ്ടിൻ്റെ ദിശ സൂചിപ്പിക്കുക (എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ) കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ കാലയളവ് ഇടവേളയുടെ അറ്റത്ത് ചേർത്ത് ഉത്തരം എഴുതുക2πn
,
.
അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം .
1. ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുകx യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ.
2. ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ വരയ്ക്കുക.
3. ടാൻജെൻ്റുകളുടെ ഒരു രേഖ വരച്ച് അതിൽ ഒരു ഓർഡിനേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുകഎ .
4. ഈ പോയിൻ്റ് ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധിപ്പിച്ച് യൂണിറ്റ് സർക്കിളുമായി തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുക.
5. ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ ഒരു ആർക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കുക, അതിൻ്റെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കൾക്കും ടാൻജെൻ്റ് ലൈനിൽ ഓർഡിനേറ്റ് കുറവാണ്എ .
6. ട്രാവേഴ്സലിൻ്റെ ദിശ സൂചിപ്പിക്കുകയും ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണക്കിലെടുത്ത് ഉത്തരം എഴുതുകയും ചെയ്യുക, ഒരു കാലയളവ് ചേർക്കുകπn
,
(എൻട്രിയുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള സംഖ്യ എല്ലായ്പ്പോഴും വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യയേക്കാൾ കുറവാണ്).
ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക് വ്യാഖ്യാനവും പൊതു രൂപത്തിൽ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും അനുബന്ധത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (അനുബന്ധങ്ങൾ 1 ഉം 2 ഉം).
ഉദാഹരണം 1.
അസമത്വം പരിഹരിക്കുക 
.
യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക 
, ഇത് എ, ബി പോയിൻ്റുകളിൽ വൃത്തത്തെ വിഭജിക്കുന്നു.
എല്ലാ അർത്ഥങ്ങളുംവൈ
ഇടവേളയിൽ NM കൂടുതലാണ്
, AMB ആർക്കിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഈ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. എല്ലാ ഭ്രമണ കോണുകളിലും, വലുത് 
, എന്നാൽ ചെറുത് 
,
കൂടുതൽ മൂല്യങ്ങൾ ഏറ്റെടുക്കും
(പക്ഷേ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ അല്ല).
ചിത്രം.1
അങ്ങനെ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേളയിലെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ആയിരിക്കും 
, അതായത്. 
. ഈ അസമത്വത്തിന് എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും ലഭിക്കുന്നതിന്, ഈ ഇടവേളയുടെ അറ്റത്ത് ചേർത്താൽ മതി 
, എവിടെ 
, അതായത്. 
,
.
മൂല്യങ്ങൾ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക 
ഒപ്പം 
സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ് 
,
ആ. 
;
.
ഉത്തരം: 
, .
1.2 ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി
പ്രായോഗികമായി, ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി പലപ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാകും. അസമത്വത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് രീതിയുടെ സാരാംശം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം 
:
1. വാദം സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിൽ (വ്യത്യസ്‌തമാണ്എക്സ് ), എന്നിട്ട് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകടി .
2. ഞങ്ങൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ നിർമ്മിക്കുന്നുടോയ്
ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ 
ഒപ്പം 
.
3. ഞങ്ങൾ അങ്ങനെ കണ്ടെത്തുന്നുഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള പോയിൻ്റുകൾ, അതിനിടയിൽസൈൻ തരംഗംസ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്ഉയർന്നത്
ഋജുവായത് . ഈ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
4. വാദത്തിന് ഇരട്ട അസമത്വം എഴുതുകടി , കോസൈൻ കാലയളവ് കണക്കിലെടുത്ത് (ടി കണ്ടെത്തിയ അബ്സിസ്സകൾക്കിടയിലായിരിക്കും).
5. ഒരു റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉണ്ടാക്കുക (യഥാർത്ഥ ആർഗ്യുമെൻ്റിലേക്ക് മടങ്ങുക) മൂല്യം പ്രകടിപ്പിക്കുകഎക്സ് ഇരട്ട അസമത്വത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു.
ഉദാഹരണം 2. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക: .
ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ കഴിയുന്നത്ര കൃത്യമായി നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് അസമത്വത്തെ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം 
ഒപ്പം 
(ചിത്രം 2).
ചിത്രം.2
പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ പോയിൻ്റിൽ വിഭജിക്കുന്നുഎ
കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം 
; 
. ഇടയില് 
ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകൾ 
ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകൾക്ക് താഴെ 
. പിന്നെ എപ്പോൾ പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് ചെയ്തത് 
.
ഉത്തരം: 
.
1.3 ബീജഗണിത രീതി
മിക്കപ്പോഴും, യഥാർത്ഥ ത്രികോണമിതി അസമത്വത്തെ നന്നായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു പകരക്കാരനായി ബീജഗണിത (യുക്തിപരമോ യുക്തിരഹിതമോ) അസമത്വത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയും. ഈ രീതി ഒരു അസമത്വത്തെ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക, ഒരു പകരക്കാരനെ അവതരിപ്പിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു.
ഈ രീതിയുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.
ഉദാഹരണം 3.
ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ 
.
(ചിത്രം 3)
ചിത്രം.3
, 
.
ഉത്തരം: 
,
ഉദാഹരണം 4. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:
ODZ: 
, 
.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: 
, 
അസമത്വം ഫോമിൽ എഴുതാം: 
.
അല്ലെങ്കിൽ, വിശ്വസിക്കുന്നു 
ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കും
,
,
.
ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് അവസാന അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ചിത്രം.4
, യഥാക്രമം 
. തുടർന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന്. 4 പിന്തുടരുന്നു 
, എവിടെ 
.
ചിത്രം.5
ഉത്തരം: 
, 
.
1.4 ഇടവേള രീതി
ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു സ്കീം:
ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഘടകം.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളും പൂജ്യങ്ങളും കണ്ടെത്തി അവയെ സർക്കിളിൽ സ്ഥാപിക്കുക.
ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് എടുക്കുകTO (എന്നാൽ നേരത്തെ കണ്ടെത്തിയില്ല) കൂടാതെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ അടയാളം കണ്ടെത്തുക. ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന് പുറത്ത് കോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കിരണത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് സ്ഥാപിക്കുക. അല്ലെങ്കിൽ, പോയിൻ്റ് സർക്കിളിനുള്ളിൽ വയ്ക്കുക.
ഒരു ബിന്ദു ഇരട്ട സംഖ്യയിൽ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനെ ഇരട്ട ഗുണനത്തിൻ്റെ ഒരു ബിന്ദു എന്നും ഒറ്റ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ അതിനെ ഒറ്റ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഒരു ബിന്ദു എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ആർക്കുകൾ വരയ്ക്കുക: ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുകTO , അടുത്ത പോയിൻ്റ് വിചിത്ര ഗുണിതമാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ആർക്ക് വൃത്തത്തെ വിഭജിക്കുന്നു, എന്നാൽ പോയിൻ്റ് ഇരട്ട ഗുണിതമാണെങ്കിൽ, അത് വിഭജിക്കില്ല.
വൃത്തത്തിന് പിന്നിലെ കമാനങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ഇടവേളകളാണ്; സർക്കിളിനുള്ളിൽ നെഗറ്റീവ് സ്പേസുകളുണ്ട്.
ഉദാഹരണം 5. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക
, 
.
ആദ്യ പരമ്പരയിലെ പോയിൻ്റുകൾ: 
.
രണ്ടാമത്തെ പരമ്പരയിലെ പോയിൻ്റുകൾ: 
.
ഓരോ പോയിൻ്റും ഒറ്റസംഖ്യയുടെ തവണ സംഭവിക്കുന്നു, അതായത്, എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഒറ്റ ഗുണിതമാണ്.
ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ അടയാളം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം 
: . യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അടയാളപ്പെടുത്താം (ചിത്രം 6):
അരി. 6
ഉത്തരം: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
ഉദാഹരണം 6 . അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.
പരിഹാരം:
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം .
സ്വീകരിക്കുകaeഎം :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ശ്രേണി മൂല്യങ്ങളിൽഎക്സ്
1
ഡോട്ടുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു 
. പരമ്പരഎക്സ്
2
പോയിൻ്റുകൾ നൽകുന്നു 
. ഒരു പരമ്പരഎക്സ്
3
ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ലഭിക്കും 
. ഒടുവിൽ, പരമ്പരഎക്സ്
4
പോയിൻ്റുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കും 
. ഈ പോയിൻ്റുകളെല്ലാം യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം, അവ ഓരോന്നിനും അടുത്തുള്ള പരാൻതീസിസിൽ അതിൻ്റെ ഗുണിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഇനി നമ്പർ പറയാം 
തുല്യമായിരിക്കും. ചിഹ്നത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നമുക്ക് ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉണ്ടാക്കാം:
അതിനാൽ, പൂർണ്ണവിരാമംഎ
കോണിൽ രൂപപ്പെടുന്ന കിരണത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കണം 
ബീം ഉപയോഗിച്ച്ഓ,
യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന് പുറത്ത്. (ഓക്സിലറി ബീം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുകകുറിച്ച്
എ
അത് ഒരു ചിത്രത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഡോട്ട്എ
ഏകദേശം തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നു.)
ഇപ്പോൾ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന്എ
അടയാളപ്പെടുത്തിയ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലേക്കും തുടർച്ചയായി ഒരു തരംഗമായ തുടർച്ചയായ വര വരയ്ക്കുക. ഒപ്പം പോയിൻ്റുകളിലും ഞങ്ങളുടെ ലൈൻ ഒരു ഏരിയയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പോകുന്നു: അത് യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന് പുറത്താണെങ്കിൽ, അത് അതിനുള്ളിലേക്ക് പോകുന്നു. പോയിൻ്റിനെ സമീപിക്കുന്നു 
, ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഗുണിതം തുല്യമായതിനാൽ, ലൈൻ ആന്തരിക മേഖലയിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു. അതുപോലെ പോയിൻ്റിൽ 
(ഗുണനിലവാരത്തോടെ) ലൈൻ പുറം മേഖലയിലേക്ക് തിരിയേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക ചിത്രം ഞങ്ങൾ വരച്ചു. 7. യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ ആവശ്യമുള്ള പ്രദേശങ്ങൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ ഇത് സഹായിക്കുന്നു. അവ "+" അടയാളം കൊണ്ട് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
ചിത്രം.7
അന്തിമ ഉത്തരം:
കുറിപ്പ്. യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ ബിന്ദുക്കളെയും കടന്ന് ഒരു തരംഗ രേഖ, പോയിൻ്റിലേക്ക് മടങ്ങാൻ കഴിയില്ലെങ്കിൽഎ , "നിയമവിരുദ്ധമായ" സ്ഥലത്ത് സർക്കിൾ കടക്കാതെ, ഇതിനർത്ഥം പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് സംഭവിച്ചു എന്നാണ്, അതായത് ഒറ്റസംഖ്യയുടെ വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെട്ടു.
ഉത്തരം: .
§2. ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു കൂട്ടം പ്രശ്നങ്ങൾ
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ കഴിവ് വികസിപ്പിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, 3 ഘട്ടങ്ങളും വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.
1. തയ്യാറെടുപ്പ്,
2. ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കൽ;
3. മറ്റ് തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളുടെ ആമുഖം.
അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് സ്കൂൾ കുട്ടികളിൽ വികസിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എന്നതാണ് തയ്യാറെടുപ്പ് ഘട്ടത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം, അതായത്:
ഫോമിൻ്റെ ലളിതമായ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവ് ,
, ,
,
സൈൻ, കോസൈൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്;
നമ്പർ സർക്കിളിൻ്റെ ആർക്കുകൾക്കോ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ആർക്കുകൾക്കോ വേണ്ടി ഇരട്ട അസമത്വങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാനുള്ള കഴിവ്;
ത്രികോണമിതി പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ വിവിധ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനുള്ള കഴിവ്.
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ അറിവ് ചിട്ടപ്പെടുത്തുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ഈ ഘട്ടം നടപ്പിലാക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. പ്രധാന മാർഗ്ഗങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നതും ഒരു അധ്യാപകൻ്റെ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശത്തിലോ സ്വതന്ത്രമായോ നിർവ്വഹിക്കുന്ന ജോലികളും ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ വികസിപ്പിച്ച കഴിവുകളും ആകാം.
അത്തരം ജോലികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:
1
. യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുക 
, എങ്കിൽ
.
2.
കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൻ്റെ ഏത് പാദത്തിലാണ് പോയിൻ്റ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്? , എങ്കിൽ 
തുല്യം: 
3.
ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക , എങ്കിൽ:
4. എക്സ്പ്രഷൻ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകഐക്വാർട്ടേഴ്സ്.
എ) 
,
b) 
,
വി) 
5. ആർക്ക് എംആർ നൽകിയിരിക്കുന്നു.എം - മധ്യഐ-ആം പാദം,ആർ - മധ്യIIപാദം. ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം പരിമിതപ്പെടുത്തുകടി ഇതിനായി: (ഇരട്ട അസമത്വം ഉണ്ടാക്കുക) a) ആർക്ക് MR; ബി) ആർഎം ആർക്കുകൾ.
6. ഗ്രാഫിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത വിഭാഗങ്ങൾക്കുള്ള ഇരട്ട അസമത്വം എഴുതുക:
അരി. 1
7.
അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക 
, 
, 
, 
.
8. എക്സ്പ്രഷൻ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക .
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പഠനത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇനിപ്പറയുന്ന ശുപാർശകൾ ഞങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ രൂപീകരിച്ച ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നതിൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ നിലവിലുള്ള കഴിവുകളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഒന്നാമതായി, ഫോമിൻ്റെ അസമത്വത്തിലേക്ക് തിരിഞ്ഞ് ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതു രീതി നേടുന്നതിന് ഒരാൾക്ക് പ്രചോദിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. 
.
പ്രിപ്പറേറ്ററി ഘട്ടത്തിൽ നേടിയ അറിവും നൈപുണ്യവും ഉപയോഗിച്ച്, വിദ്യാർത്ഥികൾ നിർദ്ദിഷ്ട അസമത്വം ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരും. 
, എന്നാൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വത്തിന് ഒരു കൂട്ടം പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, കാരണം സൈൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം ഇത് പരിഹരിക്കുക അസാധ്യമാണ്. ഉചിതമായ ചിത്രീകരണത്തിലേക്ക് തിരിയുന്നതിലൂടെ ഈ ബുദ്ധിമുട്ട് ഒഴിവാക്കാം (സമവാക്യം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിക്കുക).
രണ്ടാമതായി, ചുമതല പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത വഴികളിലേക്ക് അധ്യാപകൻ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കണം, അസമത്വം ഗ്രാഫിക്കലായും ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ചും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉചിതമായ ഉദാഹരണം നൽകുക.
അസമത്വത്തിനുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം .
1. യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു.
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വിശദമായ പരിഹാര അൽഗോരിതം വാഗ്ദാനം ചെയ്യും, അത് ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള അവതരണത്തിൽ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ അടിസ്ഥാന കഴിവുകളും പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.
ഘട്ടം 1.നമുക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ വരച്ച് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്താം 
x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി അതിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക. ഈ രേഖ യൂണിറ്റ് സർക്കിളിനെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കും. ഈ പോയിൻ്റുകൾ ഓരോന്നും സൈൻ തുല്യമായ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു .
ഘട്ടം 2.ഈ നേർരേഖ വൃത്തത്തെ രണ്ട് കമാനങ്ങളായി വിഭജിച്ചു. കൂടുതൽ സൈനുള്ള സംഖ്യകളെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഒന്ന് നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം . സ്വാഭാവികമായും, വരച്ച നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണ് ഈ ആർക്ക് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.
അരി. 2
ഘട്ടം 3.അടയാളപ്പെടുത്തിയ ആർക്കിൻ്റെ അറ്റങ്ങളിൽ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക. യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൻ്റെ ഈ പോയിൻ്റ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് എഴുതാം 
.
ഘട്ടം 4.തിരഞ്ഞെടുത്ത ആർക്കിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ അറ്റവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നമ്പർ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന്, നാമകരണം ചെയ്ത അറ്റത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഈ ആർക്കിലൂടെ "നടക്കുന്നു". അതേ സമയം, എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങുമ്പോൾ, നമ്മൾ കടന്നുപോകുന്ന സംഖ്യകൾ വർദ്ധിക്കും (എതിർ ദിശയിൽ നീങ്ങുമ്പോൾ, അക്കങ്ങൾ കുറയും). അടയാളപ്പെടുത്തിയ ആർക്കിൻ്റെ രണ്ടാം അറ്റത്ത് യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന നമ്പർ നമുക്ക് എഴുതാം 
.
അങ്ങനെ ആ അസമത്വം നാം കാണുന്നു അസമത്വം സത്യമായ സംഖ്യകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക 
. സൈൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അതേ കാലയളവിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സംഖ്യകളുടെ അസമത്വം ഞങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു. അതിനാൽ, അസമത്വത്തിനുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും ഫോമിൽ എഴുതാം 
ഡ്രോയിംഗ് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിശോധിക്കാനും അസമത്വത്തിനുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് കണ്ടെത്താനും വിദ്യാർത്ഥികളോട് ആവശ്യപ്പെടണം രൂപത്തിൽ എഴുതാം 
, 
.
അരി. 3
കോസൈൻ പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി.
ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു 
ഒപ്പം 
, അത് നൽകി 
.
അരി. 4
അപ്പോൾ നമ്മൾ സമവാക്യം എഴുതുന്നു 
അവൻ്റെ തീരുമാനവും 
, 
, 
, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി 
, 
, 
.
(നൽകുന്നഎൻ
0, 1, 2 മൂല്യങ്ങൾ, സമാഹരിച്ച സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു). മൂല്യങ്ങൾ 
ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് അബ്സിസ്സസുകളാണ് ഒപ്പം . വ്യക്തമായും, എല്ലായ്പ്പോഴും ഇടവേളയിൽ 
അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു 
, ഒപ്പം ഇടവേളയിലും 
- അസമത്വം 
. ആദ്യ കേസിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്, തുടർന്ന് ഈ ഇടവേളയുടെ അറ്റത്ത് സൈനിൻ്റെ കാലയളവിൻ്റെ ഗുണിതമായ ഒരു സംഖ്യ ചേർത്താൽ, അസമത്വത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഇങ്ങനെ: 
, .
അരി. 5
സംഗഹിക്കുക. അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻ , നിങ്ങൾ അനുബന്ധ സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് അത് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക 
ഒപ്പം 
, കൂടാതെ അസമത്വത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഫോമിൽ എഴുതുക: , .
മൂന്നാമതായി, ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അനുബന്ധ ത്രികോണമിതി അസമത്വത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ഗണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വസ്തുത വളരെ വ്യക്തമായി സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു.
അരി. 6
അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമായ ടേൺ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ കാലഘട്ടത്തിന് തുല്യമായ അതേ ഇടവേളയിലൂടെ ആവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികളോട് പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സൈൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് സമാനമായ ഒരു ചിത്രീകരണം നിങ്ങൾക്ക് പരിഗണിക്കാം.
നാലാമതായി, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) ഒരു ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സാങ്കേതികതകൾ അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നതും ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഈ സാങ്കേതിക വിദ്യകളുടെ പങ്കിലേക്ക് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നതും ഉചിതമാണ്.
അധ്യാപകൻ നിർദ്ദേശിച്ച ജോലികൾ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സ്വതന്ത്രമായി പൂർത്തിയാക്കുന്നതിലൂടെ അത്തരം ജോലികൾ സംഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അവയിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഞങ്ങൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു:
അഞ്ചാമതായി, ഓരോ ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വത്തിനും ഒരു ഗ്രാഫ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ത്രികോണമിതി വൃത്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം ചിത്രീകരിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികൾ ആവശ്യപ്പെടണം. ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, തന്നിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള വളരെ സൗകര്യപ്രദമായ മാർഗ്ഗമായി അനുബന്ധ ചിത്രീകരണം വർത്തിക്കുന്നതിനാൽ, അതിൻ്റെ പ്രയോജനം, പ്രത്യേകിച്ച് സർക്കിളിൻ്റെ ഉപയോഗത്തിൽ നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ശ്രദ്ധിക്കണം.
ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് ഏറ്റവും ലളിതമല്ലാത്ത ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളിലേക്ക് വിദ്യാർത്ഥികളെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് ഉചിതമാണ്: ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ത്രികോണമിതി അസമത്വത്തിലേക്ക് തിരിയുന്നു, അനുബന്ധ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം സംയുക്ത തിരയലിലേക്ക് (അധ്യാപകൻ - വിദ്യാർത്ഥികൾ) തിരിയുന്നു. സമാന തരത്തിലുള്ള മറ്റ് അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള രീതി കണ്ടെത്തി.
ത്രികോണമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവ് ചിട്ടപ്പെടുത്തുന്നതിന്, അത്തരം അസമത്വങ്ങൾ പ്രത്യേകം തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിന് അത് പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന വിവിധ പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ അവരുടെ സവിശേഷതകളിൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഉൽപ്പാദനപരമായ അസമത്വങ്ങൾ എന്ന നിലയിൽ നമുക്ക് നിർദ്ദേശിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്നവ:
ഉപസംഹാരമായി, ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു കൂട്ടം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഒരു ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു.
1. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:
2. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: 3. അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുക: 4. അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുക:എ) 
, അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു 
;
b) 
, അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു 
.
5. അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുക:
എ) ;
b) ;
വി) 
;
ജി) 
;
d) 
.
6. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:
എ) ;
b) ;
വി) ;
ജി) 
;
d) ;
ഇ) ;
ഒപ്പം) 
.
7. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:
എ) 
;
b) ;
വി) ;
ജി) .
8. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:
എ) ;
b) ;
വി) ;
ജി) 
;
d) 
;
ഇ) ;
ഒപ്പം) 
;
h) .
വിപുലമായ തലത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ടാസ്‌ക്കുകൾ 6 ഉം 7 ഉം, ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിപുലമായ പഠനമുള്ള ക്ലാസുകളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ടാസ്ക് 8 ഉം നൽകുന്നത് ഉചിതമാണ്.
§3. ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക രീതികൾ
ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക രീതികൾ - അതായത്, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ മാത്രം ഉപയോഗിക്കാവുന്ന രീതികൾ. ഈ രീതികൾ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകളുടെ ഉപയോഗത്തെയും വിവിധ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും ഐഡൻ്റിറ്റികളുടെയും ഉപയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.
3.1 സെക്ടർ രീതി
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സെക്ടർ രീതി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഫോമിലെ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു 
, എവിടെപി
(
x
)
ഒപ്പംക്യു
(
x
)
- യുക്തിസഹമായ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് സമാനമായ യുക്തിസഹമായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ (സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജൻ്റുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവ യുക്തിസഹമായി അവയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്). നമ്പർ ലൈനിലെ ഇടവേളകളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. യുക്തിസഹമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അതിൻ്റെ അനലോഗ് ത്രികോണമിതി സർക്കിളിലെ സെക്ടറുകളുടെ രീതിയാണ്.sinx
ഒപ്പംcosx
(
) അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി അർദ്ധവൃത്തംtgx
ഒപ്പംctgx
(
).
ഇടവേള രീതിയിൽ, ഫോമിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെയും ഓരോ രേഖീയ ഘടകവും 
സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ ഒരു ബിന്ദുവിനോട് യോജിക്കുന്നു 
, ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ മാറ്റങ്ങളുടെ അടയാളം. സെക്ടർ രീതിയിൽ, ഫോമിൻ്റെ ഓരോ ഘടകങ്ങളും 
, എവിടെ 
- പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒന്ന്sinx
അഥവാcosx
ഒപ്പം 
, ഒരു ത്രികോണമിതി വൃത്തത്തിൽ രണ്ട് കോണുകൾ ഉണ്ട് 
ഒപ്പം 
, ഇത് സർക്കിളിനെ രണ്ട് സെക്ടറുകളായി വിഭജിക്കുന്നു. കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഒപ്പം പ്രവർത്തനം മാറ്റങ്ങളുടെ അടയാളം.
ഇനിപ്പറയുന്നവ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്:
a) രൂപത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ 
ഒപ്പം 
, എവിടെ 
, എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും അടയാളം നിലനിർത്തുക 
. ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെയും അത്തരം ഘടകങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു (എങ്കിൽ 
) അത്തരം ഓരോ നിരസിക്കലിലും, അസമത്വ ചിഹ്നം വിപരീതമാണ്.
ബി) ഫോമിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ 
ഒപ്പം 
ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. മാത്രമല്ല, ഇവ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഘടകങ്ങളാണെങ്കിൽ, രൂപത്തിൻ്റെ അസമത്വങ്ങൾ അസമത്വങ്ങളുടെ തുല്യമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു. 
ഒപ്പം 
. ഇവ ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഘടകങ്ങളാണെങ്കിൽ, തുല്യമായ നിയന്ത്രണ സംവിധാനത്തിൽ അവ അസമത്വങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഒപ്പം കർശനമായ പ്രാരംഭ അസമത്വത്തിൻ്റെയും സമത്വത്തിൻ്റെയും കാര്യത്തിൽ 
ഒപ്പം 
കർശനമല്ലാത്ത പ്രാരംഭ അസമത്വത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ. ഗുണിതം നിരസിക്കുമ്പോൾ 
അഥവാ 
അസമത്വ ചിഹ്നം വിപരീതമാണ്.
ഉദാഹരണം 1.
അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: a) 
, b) 
.
ഞങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട് b) . നമുക്കുള്ള അസമത്വം പരിഹരിക്കുക,
3.2 കേന്ദ്രീകൃത സർക്കിൾ രീതി
ഈ രീതി യുക്തിസഹമായ അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സമാന്തര സംഖ്യ അച്ചുതണ്ട് രീതിയുടെ ഒരു അനലോഗ് ആണ്.
അസമത്വ വ്യവസ്ഥയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
ഉദാഹരണം 5.
ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക 
ആദ്യം, ഞങ്ങൾ ഓരോ അസമത്വവും പ്രത്യേകം പരിഹരിക്കുന്നു (ചിത്രം 5). ചിത്രത്തിൻ്റെ മുകളിൽ വലത് കോണിൽ ഏത് ആർഗ്യുമെൻ്റിനാണ് ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ പരിഗണിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും.
ചിത്രം.5
അടുത്തതായി, വാദത്തിനായി ഞങ്ങൾ കേന്ദ്രീകൃത സർക്കിളുകളുടെ ഒരു സംവിധാനം നിർമ്മിക്കുന്നുഎക്സ് . ആദ്യത്തെ അസമത്വത്തിൻ്റെ പരിഹാരമനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു വൃത്തം വരച്ച് ഷേഡ് ചെയ്യുന്നു, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു വലിയ ആരത്തിൻ്റെ ഒരു വൃത്തം വരച്ച് രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിന് അനുസരിച്ച് ഷേഡ് ചെയ്യുന്നു, തുടർന്ന് മൂന്നാമത്തെ അസമത്വത്തിനും അടിസ്ഥാന വൃത്തത്തിനും ഞങ്ങൾ ഒരു വൃത്തം നിർമ്മിക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്ത് നിന്ന് ആർക്കുകളുടെ അറ്റങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ കിരണങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു, അങ്ങനെ അവ എല്ലാ സർക്കിളുകളും വിഭജിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാന സർക്കിളിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ടാക്കുന്നു (ചിത്രം 6).
ചിത്രം.6
ഉത്തരം:
, 
.
ഉപസംഹാരം
കോഴ്സ് ഗവേഷണത്തിൻ്റെ എല്ലാ ലക്ഷ്യങ്ങളും പൂർത്തിയായി. സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ ചിട്ടപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളുടെ പ്രധാന തരങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതികളും നൽകിയിരിക്കുന്നു (ഗ്രാഫിക്കൽ, ബീജഗണിതം, ഇടവേളകളുടെ രീതി, സെക്ടറുകൾ, കേന്ദ്രീകൃത സർക്കിളുകളുടെ രീതി). ഓരോ രീതിക്കും അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി. സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗത്തിന് ശേഷം പ്രായോഗിക ഭാഗം. ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു കൂട്ടം ജോലികൾ ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
ഈ കോഴ്സ് വർക്ക് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കായി ഉപയോഗിക്കാം. സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് ഈ വിഷയത്തിൻ്റെ വൈദഗ്ധ്യത്തിൻ്റെ നിലവാരം പരിശോധിക്കാനും വ്യത്യസ്ത സങ്കീർണ്ണതയുടെ ജോലികൾ പൂർത്തിയാക്കാനും കഴിയും.
ഈ വിഷയത്തിൽ പ്രസക്തമായ സാഹിത്യം പഠിച്ച ശേഷം, ബീജഗണിതത്തിൻ്റെയും പ്രാഥമിക വിശകലനത്തിൻ്റെയും സ്കൂൾ കോഴ്സിലെ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവും നൈപുണ്യവും വളരെ പ്രധാനമാണെന്ന് നമുക്ക് വ്യക്തമായും നിഗമനം ചെയ്യാം, ഇതിൻ്റെ വികസനത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ്റെ ഭാഗത്തുനിന്ന് കാര്യമായ പരിശ്രമം ആവശ്യമാണ്.
അതിനാൽ, ഈ കൃതി ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകർക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും, കാരണം "ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പരിശീലനം ഫലപ്രദമായി സംഘടിപ്പിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.
അന്തിമ യോഗ്യതാ ജോലിയിലേക്ക് വിപുലീകരിച്ചുകൊണ്ട് ഗവേഷണം തുടരാം.
ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക
ബോഗോമോലോവ്, എൻ.വി. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരണം [ടെക്സ്റ്റ്] / എൻ.വി. ബോഗോമോലോവ്. - എം.: ബസ്റ്റാർഡ്, 2009. - 206 പേ.
വൈഗോഡ്സ്കി, എം.യാ. പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം [ടെക്സ്റ്റ്] / M.Ya. വൈഗോഡ്സ്കി. - എം.: ബസ്റ്റാർഡ്, 2006. - 509 പേ.
Zhurbenko, L.N. ഉദാഹരണങ്ങളിലും പ്രശ്നങ്ങളിലുമുള്ള ഗണിതം [ടെക്സ്റ്റ്] / L.N. സുർബെങ്കോ. – എം.: ഇൻഫ്രാ-എം, 2009. – 373 പേ.
ഇവാനോവ്, ഒ.എ. സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും അധ്യാപകർക്കും പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം [ടെക്സ്റ്റ്] / ഒ.എ. ഇവാനോവ്. – എം.: MTsNMO, 2009. – 384 പേ.
കാർപ്പ്, എ.പി. ആൾജിബ്രയെക്കുറിച്ചുള്ള അസൈൻമെൻ്റുകളും ഗ്രേഡ് 11 ൽ അന്തിമ ആവർത്തനവും സർട്ടിഫിക്കേഷനും സംഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും [ടെക്സ്റ്റ്] / എ.പി. കരിമീൻ. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2005. - 79 പേ.
കുലാനിൻ, ഇ.ഡി. ഗണിതത്തിലെ 3000 മത്സര പ്രശ്നങ്ങൾ [ടെക്സ്റ്റ്] / ഇ.ഡി. കുലാനിൻ. - എം.: ഐറിസ്-പ്രസ്സ്, 2007. - 624 പേ.
ലീബ്സൺ, കെ.എൽ. ഗണിതത്തിലെ പ്രായോഗിക ജോലികളുടെ ശേഖരണം [ടെക്സ്റ്റ്] / കെ.എൽ. ലെയ്ബ്സൺ. - എം.: ബസ്റ്റാർഡ്, 2010. - 182 പേ.
എൽബോ, വി.വി. പാരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങളും അവയുടെ പരിഹാരവും. ത്രികോണമിതി: സമവാക്യങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങൾ, സിസ്റ്റങ്ങൾ. പത്താം ക്ലാസ് [ടെക്സ്റ്റ്] / വി.വി. കൈമുട്ട്. - എം.: ARKTI, 2008. - 64 പേ.
മനോവ, എ.എൻ. ഗണിതം. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്നതിനുള്ള എക്സ്പ്രസ് ട്യൂട്ടർ: വിദ്യാർത്ഥി. മാനുവൽ [ടെക്സ്റ്റ്] / എ.എൻ. മനോവ. - റോസ്തോവ്-ഓൺ-ഡോൺ: ഫീനിക്സ്, 2012. - 541 പേ.
മൊർഡ്കോവിച്ച്, എ.ജി. ബീജഗണിതവും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും. 10-11 ഗ്രേഡുകൾ. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം [ടെക്സ്റ്റ്] / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - എം.: ഐറിസ്-പ്രസ്സ്, 2009. - 201 പേ.
നോവിക്കോവ്, എ.ഐ. ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങൾ [ടെക്സ്റ്റ്] / എ.ഐ. നോവിക്കോവ്. - എം.: FIZMATLIT, 2010. - 260 പേ.
ഒഗനേഷ്യൻ, വി.എ. സെക്കൻഡറി സ്കൂളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ: പൊതു രീതിശാസ്ത്രം. പാഠപുസ്തകം ഭൗതികശാസ്ത്ര വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള മാനുവൽ - പായ. വ്യാജം. ped. Inst. [ടെക്സ്റ്റ്] / വി.എ. ഒഗനേഷ്യൻ. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2006. - 368 പേ.
ഒലെഹ്നിക്, എസ്.എൻ. സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും. നിലവാരമില്ലാത്ത പരിഹാര രീതികൾ [ടെക്സ്റ്റ്] / എസ്.എൻ. ഒലെഹ്നിക്. - എം.: ഫാക്‌ടോറിയൽ പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ്, 1997. - 219 പേ.
സെവ്ര്യൂക്കോവ്, പി.എഫ്. ത്രികോണമിതി, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും [ടെക്സ്റ്റ്] / പി.എഫ്. സെവ്ര്യൂക്കോവ്. - എം.: പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 352 പേ.
സെർജീവ്, ഐ.എൻ. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ: ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഉത്തരങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളുമായി 1000 പ്രശ്നങ്ങൾ. ഗ്രൂപ്പ് സി [ടെക്സ്റ്റ്] / I.N യുടെ എല്ലാ ജോലികളും. സെർജീവ്. - എം.: പരീക്ഷ, 2012. - 301 പേ.
സോബോലെവ്, എ.ബി. എലിമെൻ്ററി മാത്തമാറ്റിക്സ് [ടെക്സ്റ്റ്] / എ.ബി. സോബോലെവ്. - എകറ്റെറിൻബർഗ്: സ്റ്റേറ്റ് എജ്യുക്കേഷണൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഓഫ് ഹയർ പ്രൊഫഷണൽ എഡ്യൂക്കേഷൻ USTU-UPI, 2005. - 81 പേ.
ഫെങ്കോ, എൽ.എം. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുമുള്ള ഇടവേളകളുടെ രീതി [ടെക്സ്റ്റ്] / എൽ.എം. ഫെങ്കോ. - എം.: ബസ്റ്റാർഡ്, 2005. - 124 പേ.
ഫ്രീഡ്മാൻ, എൽ.എം. ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളുടെ സൈദ്ധാന്തിക അടിത്തറ [ടെക്സ്റ്റ്] / എൽ.എം. ഫ്രീഡ്മാൻ. - എം.: ബുക്ക് ഹൗസ് "ലിബ്രോക്കോം", 2009. - 248 പേ.
അനെക്സ് 1
ലളിതമായ അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക് വ്യാഖ്യാനം
അരി. 1
അരി. 2
ചിത്രം.3
ചിത്രം.4
ചിത്രം.5
ചിത്രം.6
ചിത്രം.7
ചിത്രം.8
അനുബന്ധം 2
ലളിതമായ അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ
പ്രായോഗിക പാഠത്തിൽ, "ത്രികോണമിതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന തരം ജോലികൾ ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കും, കൂടാതെ വർദ്ധിച്ച സങ്കീർണ്ണതയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയും വിവിധ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളും അവയുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും.
B5, B7, C1, C3 എന്നീ തരത്തിലുള്ള ടാസ്‌ക്കുകളിൽ ഒന്ന് തയ്യാറാക്കാൻ ഈ പാഠം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.
"ത്രികോണമിതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയ പ്രധാന തരം ജോലികൾ അവലോകനം ചെയ്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, കൂടാതെ നിരവധി നിലവാരമില്ലാത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.
ടാസ്ക് നമ്പർ 1. കോണുകളെ റേഡിയനുകളിലേക്കും ഡിഗ്രികളിലേക്കും പരിവർത്തനം ചെയ്യുക: a) ; ബി)
a) ഡിഗ്രികളെ റേഡിയനുകളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം
നമുക്ക് അതിൽ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം പകരം വയ്ക്കാം.
b) റേഡിയനുകളെ ഡിഗ്രികളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക
നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കൽ നടത്താം 
.
ഉത്തരം. എ) ; ബി)
ടാസ്ക് നമ്പർ 2. കണക്കാക്കുക: a); ബി)
a) ആംഗിൾ പട്ടികയ്ക്ക് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകുന്നതിനാൽ, സൈൻ പിരീഡ് കുറച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അത് കുറയ്ക്കും. കാരണം ആംഗിൾ റേഡിയൻസിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ കാലയളവ് ആയി കണക്കാക്കും.
ബി) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സ്ഥിതി സമാനമാണ്. ആംഗിൾ ഡിഗ്രിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, സ്പർശനത്തിൻ്റെ കാലഘട്ടം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആംഗിൾ, കാലയളവിനേക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിലും, വലുതാണ്, അതിനർത്ഥം ഇത് മേലിൽ പ്രധാനമായല്ല, മറിച്ച് പട്ടികയുടെ വിപുലീകൃത ഭാഗത്തേക്കാണ്. ട്രൈഗോഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ വിപുലീകൃത പട്ടിക ഓർമ്മിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ മെമ്മറി വീണ്ടും പരിശീലിപ്പിക്കാതിരിക്കാൻ, നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് പിരീഡ് വീണ്ടും കുറയ്ക്കാം:
ടാൻജെൻ്റ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിചിത്രത ഞങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടുത്തി.
ഉത്തരം. a) 1; ബി)
ടാസ്ക് നമ്പർ 3. കണക്കാക്കുക 
, എങ്കിൽ.
ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ടാൻജെൻ്റുകളിലേക്ക് ചുരുക്കാം. അതേ സമയം, നമുക്ക് അത് ഭയപ്പെടാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടാൻജെൻ്റ് മൂല്യം നിലവിലില്ല.
ടാസ്ക് നമ്പർ 4. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.
നിർദ്ദിഷ്ട പദപ്രയോഗങ്ങൾ റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. അവ അസാധാരണമായി ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ പദപ്രയോഗം സാധാരണയായി ഒരു സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നമുക്ക് എല്ലാ ട്രൈഗോഫംഗ്ഷനുകളും ഓരോന്നായി ലളിതമാക്കാം:
കാരണം , തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ ഒരു കോഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറുന്നു, അതായത്. കോടാൻജെൻ്റിലേക്ക്, ആംഗിൾ രണ്ടാം പാദത്തിലേക്ക് വീഴുന്നു, അതിൽ യഥാർത്ഥ സ്പർശനത്തിന് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുണ്ട്.
മുമ്പത്തെ എക്സ്പ്രഷനിലെ അതേ കാരണങ്ങളാൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഒരു കോഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറുന്നു, അതായത്. കോടാൻജെൻ്റിലേക്ക്, ആംഗിൾ ആദ്യ പാദത്തിൽ പതിക്കുന്നു, അതിൽ യഥാർത്ഥ സ്പർശനത്തിന് പോസിറ്റീവ് ചിഹ്നമുണ്ട്.
നമുക്ക് എല്ലാം ഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:
പ്രശ്നം #5. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.
ഉചിതമായ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇരട്ട കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് എഴുതുകയും പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യാം:
കോസൈനിനുള്ള സാർവത്രിക മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്നാണ് അവസാനത്തെ ഐഡൻ്റിറ്റി.
പ്രശ്നം #6. കണക്കാക്കുക.
പ്രയോഗം തുല്യമാണ് എന്ന ഉത്തരം നൽകാത്ത സ്റ്റാൻഡേർഡ് തെറ്റ് വരുത്തരുത് എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം. ആർക്റ്റഞ്ചൻ്റിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് അതിനടുത്തായി രണ്ടിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു ഘടകം ഉള്ളിടത്തോളം കാലം നിങ്ങൾക്ക് അത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നതിന്, ഒരു സാധാരണ വാദമായി പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഇരട്ട കോണിൻ്റെ സ്പർശനത്തിനുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം എഴുതും.
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ആർക്റ്റഞ്ചൻ്റിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും; അതിൻ്റെ സംഖ്യാ ഫലത്തിന് നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക.
പ്രശ്നം നമ്പർ 7. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കും, പക്ഷേ ഡിനോമിനേറ്റർ അല്ല, കാരണം നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
ഒരു ത്രികോണമിതി വൃത്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് ആദ്യ സമവാക്യം. ഈ പരിഹാരം സ്വയം ഓർക്കുക. രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം സ്പർശനത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ ചിഹ്നം തുല്യമല്ല.
നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, വേരുകളുടെ ഒരു കുടുംബം സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത അതേ തരത്തിലുള്ള വേരുകളുടെ മറ്റൊരു കുടുംബത്തെ ഒഴിവാക്കുന്നു. ആ. വേരുകൾ ഇല്ല.
ഉത്തരം. വേരുകളില്ല.
പ്രശ്നം നമ്പർ 8. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
നമുക്ക് പൊതുവായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഉടൻ തന്നെ ശ്രദ്ധിക്കുക, നമുക്ക് അത് ചെയ്യാം:
സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമുകളിൽ ഒന്നായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അവിടെ നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവയിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തേത് എന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. നമുക്ക് ഇത് ഒരു കൂട്ടം സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായവയുടെ പ്രത്യേക കേസുകളാണ്; സമാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നിരവധി തവണ നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉടനടി സൂചിപ്പിക്കും. ഡബിൾ ആംഗിൾ സൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം ഒരു ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.
അവസാന സമവാക്യം നമുക്ക് പ്രത്യേകം പരിഹരിക്കാം:
ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, കാരണം സൈൻ മൂല്യത്തിന് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകാൻ കഴിയില്ല 
.
അതിനാൽ, വേരുകളുടെ ആദ്യ രണ്ട് കുടുംബങ്ങൾ മാത്രമാണ് പരിഹാരം; അവ ഒന്നായി സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ കാണിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:
 |
ഇത് എല്ലാ പകുതികളുടേയും ഒരു കുടുംബമാണ്, അതായത്.
നമുക്ക് ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ആദ്യം, പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങൾക്കായി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാതെ, ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സമീപനം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.
പ്രശ്നം നമ്പർ 9. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.
ന് തുല്യമായ ഒരു സൈൻ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ നമുക്ക് ഒരു സഹായ രേഖ വരയ്ക്കാം, കൂടാതെ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന കോണുകളുടെ ശ്രേണി കാണിക്കാം.
 |
കോണുകളുടെ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേള എങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കണമെന്ന് കൃത്യമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, അതായത്. അതിൻ്റെ ആരംഭം എന്താണ്, അതിൻ്റെ അവസാനം എന്താണ്. നമ്മൾ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ ഇടവേളയുടെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ പ്രവേശിക്കുന്ന പോയിൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കോണായിരിക്കും ഇടവേളയുടെ ആരംഭം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് ഇടതുവശത്തുള്ള പോയിൻ്റാണ്, കാരണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങുകയും ശരിയായ പോയിൻ്റ് കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുന്നു, നേരെമറിച്ച്, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ കോണുകളുടെ പരിധി വിടുന്നു. അതിനാൽ ശരിയായ പോയിൻ്റ് വിടവിൻ്റെ അവസാനത്തോട് യോജിക്കും.
അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഇടവേളയുടെ തുടക്കത്തിൻ്റെയും അവസാനത്തിൻ്റെയും കോണുകൾ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ്, വലത് പോയിൻ്റ് കോണും ഇടത് പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഉടൻ സൂചിപ്പിച്ച് ഉത്തരം നൽകുക എന്നതാണ്. ഇത് സത്യമല്ല! സർക്കിളിൻ്റെ മുകൾ ഭാഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇടവേള ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ സൂചിപ്പിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, താഴത്തെ ഭാഗത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിലും, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള പരിഹാര ഇടവേളയുടെ തുടക്കവും അവസാനവും ഞങ്ങൾ മിശ്രണം ചെയ്തു.
ഇടവേള വലത് പോയിൻ്റിൻ്റെ മൂലയിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് ഇടത് പോയിൻ്റിൻ്റെ കോണിൽ അവസാനിക്കുന്നതിന്, ആദ്യം വ്യക്തമാക്കിയ ആംഗിൾ രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ കുറവായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, റഫറൻസിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ ശരിയായ പോയിൻ്റിൻ്റെ ആംഗിൾ അളക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. ഘടികാരദിശയിൽ അത് തുല്യമായിരിക്കും. തുടർന്ന്, അതിൽ നിന്ന് പോസിറ്റീവ് ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങാൻ തുടങ്ങുന്നു, ഇടത് പോയിൻ്റിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ വലത് പോയിൻ്റിലെത്തും, അതിനുള്ള ആംഗിൾ മൂല്യം ലഭിക്കും. ഇപ്പോൾ കോണുകളുടെ ഇടവേളയുടെ ആരംഭം അവസാനത്തേക്കാൾ കുറവാണ്, കൂടാതെ കാലയളവ് കണക്കിലെടുക്കാതെ നമുക്ക് പരിഹാരങ്ങളുടെ ഇടവേള എഴുതാം:
ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭ്രമണത്തിന് ശേഷം അത്തരം ഇടവേളകൾ അനന്തമായ തവണ ആവർത്തിക്കപ്പെടുമെന്നതിനാൽ, സൈൻ കാലയളവ് കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം നേടുന്നു:
അസമത്വം കർശനമായതിനാൽ ഞങ്ങൾ പരാൻതീസിസുകൾ ഇടുന്നു, കൂടാതെ ഇടവേളയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സർക്കിളിലെ പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.
പ്രഭാഷണത്തിൽ ഞങ്ങൾ നൽകിയ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനുള്ള ഫോർമുലയുമായി നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഉത്തരം താരതമ്യം ചെയ്യുക.
ഉത്തരം. 
.
ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണ അസമത്വങ്ങളുടെ പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ ഈ രീതി നല്ലതാണ്. കൂടാതെ, ഈ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളെല്ലാം പഠിക്കാൻ മടിയുള്ളവർക്ക് ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, രീതി തന്നെ എളുപ്പമല്ല; പരിഹാരത്തിലേക്കുള്ള ഏത് സമീപനമാണ് നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമെന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രീതിക്ക് സമാനമായി, ഒരു സഹായ രേഖ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളും നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരത്തിനുള്ള ഈ സമീപനം സ്വയം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ, ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.
പ്രശ്നം നമ്പർ 10. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.
അസമത്വം കർശനമല്ല എന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനായി നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ഉത്തരം. 
പ്രശ്നം നമ്പർ 11. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.
കർശനമായ അസമത്വത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാര ഫോർമുല നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:
ഉത്തരം. 
.
പ്രശ്നം നമ്പർ 12. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: a) ; ബി)
ഈ അസമത്വങ്ങളിൽ, പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങൾക്കോ ത്രികോണമിതി സർക്കിളിനോ വേണ്ടി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ തിരക്കുകൂട്ടേണ്ട ആവശ്യമില്ല; സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി ഓർക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.
a) മുതൽ 
, അപ്പോൾ അസമത്വത്തിന് അർത്ഥമില്ല. അതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
b) കാരണം അതുപോലെ, ഏതൊരു വാദത്തിൻ്റെയും സൈൻ എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, വാദത്തിൻ്റെ എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
ഉത്തരം. a) പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല; ബി)
പ്രശ്നം 13. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക 
.
