വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ അളവുകൾ കണക്കാക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയിൽ നിന്നാണ് സൈനും കോസൈനും ആദ്യം ഉണ്ടായത്. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ഡിഗ്രി അളവ് മാറ്റുന്നില്ലെങ്കിൽ, വീക്ഷണാനുപാതം, ഈ വശങ്ങൾ എത്രമാത്രം നീളത്തിൽ മാറിയാലും, എല്ലായ്പ്പോഴും അതേപടി നിലനിൽക്കുമെന്ന് ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടു.

അങ്ങനെയാണ് സൈൻ, കോസൈൻ എന്നീ ആശയങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്. സൈനസ് ന്യൂനകോണ്ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ എതിർ വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ്, കൂടാതെ കോസൈൻ ഹൈപ്പോടെൻസിനോട് ചേർന്നുള്ള വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ്.

കോസൈനുകളുടെയും സൈനുകളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

എന്നാൽ കോസൈനുകളും സൈനുകളും കേവലം വലത് ത്രികോണങ്ങളേക്കാൾ കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിൻ്റെ മങ്ങിയതോ നിശിതമോ ആയ കോണിൻ്റെയോ വശത്തിൻ്റെയോ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ, കോസൈനുകളുടെയും സൈനുകളുടെയും സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ചാൽ മതിയാകും.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം വളരെ ലളിതമാണ്: "ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ ചതുരം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും ചതുരങ്ങൾ ഈ വശങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി മൈനസ് അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട്.

സൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് രണ്ട് വ്യാഖ്യാനങ്ങളുണ്ട്: ചെറുതും വിപുലീകരിച്ചതും. മൈനർ പറയുന്നതനുസരിച്ച്: "ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, കോണുകൾ എതിർവശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്." ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം കാരണം ഈ സിദ്ധാന്തം പലപ്പോഴും വികസിക്കുന്നു: "ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, കോണുകൾ എതിർവശങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്, അവയുടെ അനുപാതം ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ വ്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്."

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ മാറ്റവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് എത്ര വേഗത്തിൽ മാറുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഒരു ഗണിത ഉപകരണമാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്. ജ്യാമിതിയിലും നിരവധി സാങ്കേതിക വിഭാഗങ്ങളിലും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക മൂല്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ: സൈനും കോസൈനും. ഒരു സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു കോസൈൻ ആണ്, ഒരു കോസൈൻ ഒരു സൈൻ ആണ്, എന്നാൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അപേക്ഷ

വലത് ത്രികോണങ്ങളും അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് സൈനുകളും കോസൈനുകളും പ്രത്യേകിച്ചും പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും സൗകര്യം സാങ്കേതികവിദ്യയിലും പ്രതിഫലിക്കുന്നു. കോസൈൻ, സൈൻ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കോണുകളും വശങ്ങളും വിലയിരുത്താൻ എളുപ്പമായിരുന്നു, സങ്കീർണ്ണമായ രൂപങ്ങളെയും വസ്തുക്കളെയും "ലളിതമായ" ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിച്ചു. എഞ്ചിനീയർമാർ പലപ്പോഴും വീക്ഷണാനുപാത കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു ഡിഗ്രി നടപടികൾ, പട്ടികയല്ലാത്ത കോണുകളുടെ കോസൈനുകളും സൈനുകളും കണക്കാക്കാൻ ധാരാളം സമയവും പരിശ്രമവും ചെലവഴിച്ചു.

സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജെൻ്റുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവയുടെ ആയിരക്കണക്കിന് മൂല്യങ്ങൾ അടങ്ങിയ ബ്രാഡിസ് ടേബിളുകൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിനെത്തി. വ്യത്യസ്ത കോണുകൾ. സോവിയറ്റ് കാലഘട്ടത്തിൽ, ചില അധ്യാപകർ തങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികളെ ബ്രാഡിസ് പട്ടികകളുടെ പേജുകൾ മനഃപാഠമാക്കാൻ നിർബന്ധിച്ചു.

57.295779513 ഡിഗ്രി ദൂരത്തിന് തുല്യമായ നീളമുള്ള ആർക്കിൻ്റെ കോണീയ മൂല്യമാണ് റേഡിയൻ.

ബിരുദം (ജ്യാമിതിയിൽ) - ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ 1/360 ഭാഗം അല്ലെങ്കിൽ 1/90 ഭാഗം വലത് കോൺ.

π = 3.141592653589793238462... (പൈയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം).

കോണുകൾക്കുള്ള കോസൈൻ ടേബിൾ: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

ആംഗിൾ x (ഡിഗ്രിയിൽ)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
ആംഗിൾ x (റേഡിയനിൽ)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

• 2. മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി: [-1;1]
• 3. ഓഡ് ഫംഗ്ഷൻ.
• 7. ഫംഗ്‌ഷൻ പോസിറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകൾ: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
• 8. ഫംഗ്‌ഷൻ നെഗറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകൾ: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
• 9. കൂടുന്ന ഇടവേളകൾ: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
• 10. ഇടവേളകൾ കുറയുന്നു:
• 11. കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ: -pi/2 +2*pi*n
• 12. കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനം: -1
• 13. പരമാവധി പോയിൻ്റുകൾ: pi/2 +2*pi*n
• 14. പരമാവധി പ്രവർത്തനം: 1

കോസൈൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

• 1. ഡെഫനിഷൻ ഏരിയ: പൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ അക്ഷം
• 2. മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി: [-1;1]
• 3. ഈവൻ ഫംഗ്‌ഷൻ.
• 4. ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ്: 2*pi
• 5. ഓക്സ് അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ: (pi/2 +pi*n; 0)
• 6. Oy അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ: (0;1)
• 7. ഫംഗ്‌ഷൻ പോസിറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകൾ: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
• 8. ഫംഗ്‌ഷൻ നെഗറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകൾ: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
• 9. കൂടുന്ന ഇടവേളകൾ: [-pi + 2*pi*n; 2*പി*എൻ]
• 10. ഇടവേളകൾ കുറയുന്നു:
• 11. കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ: pi+2*pi*n
• 12. കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനം: -1
• 13. പരമാവധി പോയിൻ്റുകൾ: 2*pi*n
• 14. പരമാവധി പ്രവർത്തനം: 1

ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

• 1. നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
• 3. ഓഡ് ഫംഗ്ഷൻ.
• 5. ഓക്സ് അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ: (pi*n; 0)
• 6. Oy അക്ഷവുമായി ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ: (0;0)
• 9. ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

• 1. ഡൊമെയ്ൻ: (pi*n; pi +pi*n)
• 2. മൂല്യ ശ്രേണി: മുഴുവൻ സംഖ്യയുടെ അക്ഷം
• 3. ഓഡ് ഫംഗ്ഷൻ.
• 4. ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ്: പൈ
• 5. ഓക്സ് അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ: (pi/2 + pi*n; 0)
• 6. Oy അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ: ഇല്ല
• 7. ഫംഗ്‌ഷൻ പോസിറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകൾ: (pi*n; pi/2 +pi*n)
• 8. ഫംഗ്‌ഷൻ നെഗറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകൾ: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
• 9. ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു (pi*n; pi +pi*n)
• 10. കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല.

താഴെയുള്ള ചിത്രം നിരവധി യൂണിറ്റ് സർക്കിളുകൾ കാണിക്കുന്നു, ഇത് വിവിധ കോർഡിനേറ്റ് ക്വാർട്ടറുകളിലെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ അടയാളങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ശാഖയായ ത്രികോണമിതിയുടെ പ്രധാന വിഭാഗങ്ങളാണ് സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നീ ആശയങ്ങൾ, കോണിൻ്റെ നിർവചനവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വൈദഗ്ധ്യത്തിന് ഫോർമുലകളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും ഓർമ്മപ്പെടുത്തലും മനസ്സിലാക്കലും ആവശ്യമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ വികസിത സ്പേഷ്യൽ ചിന്തയും ആവശ്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് ത്രികോണമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പലപ്പോഴും സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നത്. അവയെ മറികടക്കാൻ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും നിങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിചയപ്പെടണം.

ത്രികോണമിതിയിലെ ആശയങ്ങൾ

മനസ്സിലാക്കുക അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾത്രികോണമിതി, ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു വലത് ത്രികോണവും ഒരു കോണും എന്താണെന്നും എല്ലാ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകളും അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്നും നിങ്ങൾ ആദ്യം തീരുമാനിക്കണം. കോണുകളിൽ ഒന്ന് 90 ഡിഗ്രി അളക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണം ചതുരാകൃതിയിലാണ്. ചരിത്രപരമായി, വാസ്തുവിദ്യ, നാവിഗേഷൻ, കല, ജ്യോതിശാസ്ത്രം എന്നിവയിലെ ആളുകൾ പലപ്പോഴും ഈ കണക്ക് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. അതനുസരിച്ച്, ഈ കണക്കിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്തുകൊണ്ട്, ആളുകൾ അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ അനുബന്ധ അനുപാതങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങി.

വലത് ത്രികോണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാന വിഭാഗങ്ങൾ ഹൈപ്പോടെൻസും കാലുകളുമാണ്. വലത് കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്. കാലുകൾ, യഥാക്രമം, ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് വശങ്ങളാണ്. ഏതൊരു ത്രികോണത്തിൻ്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയാണ്.

സ്കൂളിൽ പഠിക്കാത്ത ത്രികോണമിതിയുടെ ഒരു വിഭാഗമാണ് സ്ഫെറിക്കൽ ത്രികോണമിതി, എന്നാൽ ജ്യോതിശാസ്ത്രം, ജിയോഡെസി തുടങ്ങിയ പ്രായോഗിക ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണമിതിയിലെ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത, അതിന് എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണുകൾ

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ എന്നത് ആവശ്യമുള്ള കോണിൻ്റെ എതിർവശത്തുള്ള കാലിൻ്റെ അനുപാതവും ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും ആണ്. അതനുസരിച്ച്, കോസൈൻ എന്നത് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിൻ്റെയും ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെയും അനുപാതമാണ്. ഈ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾക്കും എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നിൽ താഴെ കാന്തിമാനമുണ്ട്, കാരണം ഹൈപ്പോടെനസ് എല്ലായ്പ്പോഴും കാലിനേക്കാൾ നീളമുള്ളതാണ്.

ഒരു കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് എന്നത് ആവശ്യമുള്ള കോണിൻ്റെ തൊട്ടടുത്ത ഭാഗത്തേക്കുള്ള എതിർ വശത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമായ മൂല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ കോസൈനിലേക്കുള്ള സൈൻ. Cotangent, അതാകട്ടെ, ആവശ്യമുള്ള കോണിൻ്റെ തൊട്ടടുത്ത ഭാഗത്തിൻ്റെ എതിർ വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ്. ഒരു കോണിൻ്റെ കോടാൻജെൻ്റ് ഒന്നിനെ ടാൻജെൻ്റ് മൂല്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലും ലഭിക്കും.

യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ

ജ്യാമിതിയിലെ ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഒരു വൃത്തമാണ്, അതിൻ്റെ ആരം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. അത്തരമൊരു വൃത്തം ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, സർക്കിളിൻ്റെ മധ്യഭാഗം ഉത്ഭവ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ റേഡിയസ് വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം എക്സ് അക്ഷത്തിൻ്റെ (അബ്സിസ്സ ആക്സിസ്) പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. സർക്കിളിലെ ഓരോ പോയിൻ്റിനും രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്: XX, YY, അതായത്, abscissa, ordinate എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ. XX തലത്തിലെ സർക്കിളിലെ ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് അതിൽ നിന്ന് abscissa അക്ഷത്തിലേക്ക് ഒരു ലംബമായി ഇടുന്നതിലൂടെ, X അക്ഷത്തിലേക്ക് വരച്ച ലംബമായ തിരഞ്ഞെടുത്ത ബിന്ദുവിലേക്ക് (C എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു) ആരം രൂപപ്പെടുത്തിയ ഒരു വലത് ത്രികോണം നമുക്ക് ലഭിക്കും. (വിഭജന പോയിൻ്റിനെ G എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു), കൂടാതെ സെഗ്‌മെൻ്റ് ഉത്ഭവത്തിനും (ബിന്ദു A അക്ഷരത്താൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു) G എന്ന കവല പോയിൻ്റിനും ഇടയിലുള്ള abscissa അക്ഷമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണം ACG ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു വലത് ത്രികോണമാണ്, ഇവിടെ AG എന്നത് ഹൈപ്പോടെൻസും AC, GC എന്നിവ കാലുകളുമാണ്. സർക്കിൾ എസിയുടെ ആരത്തിനും എജി എന്ന പദവിയുള്ള അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിൻ്റെ സെഗ്‌മെൻ്റിനും ഇടയിലുള്ള കോണിനെ α (ആൽഫ) എന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, cos α = AG/AC. AC എന്നത് യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൻ്റെ ആരം ആണെന്നും അത് ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്നും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, അത് cos α=AG ആയി മാറുന്നു. അതുപോലെ, sin α=CG.

കൂടാതെ, ഈ ഡാറ്റ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് സർക്കിളിലെ പോയിൻ്റ് C യുടെ കോർഡിനേറ്റ് നിർണ്ണയിക്കാനാകും, കാരണം cos α=AG, sin α=CG, അതായത് പോയിൻ്റ് C ഉണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകി(cos α; sin α). ടാൻജെൻ്റ് സൈനിൻ്റെയും കോസൈൻ്റെയും അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, നമുക്ക് ടാൻ α = y/x, cot α = x/y എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഒരു നെഗറ്റീവ് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ കോണുകൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലൂടെ, ചില കോണുകളുടെ സൈൻ, കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം.

കണക്കുകൂട്ടലുകളും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ

യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലൂടെയുള്ള ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സാരാംശം പരിഗണിച്ച്, ചില കോണുകൾക്കായി ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് നേടാനാകും. മൂല്യങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികൾ

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു അജ്ഞാത മൂല്യം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങളെ ത്രികോണമിതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മൂല്യം sin x = α, k ഉള്ള ഐഡൻ്റിറ്റികൾ - ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

cos x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡൻ്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ± ആർക്കോസ് α + 2πk.

tg x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡൻ്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:

1. ടാൻ x = 0, x = π/2 + πk.
2. ടാൻ x = a, x = arctan α + πk.

ctg x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡൻ്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ

ഈ വിഭാഗം സ്ഥിരമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾഫോമിൻ്റെ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്ക് നീങ്ങാൻ കഴിയുന്ന രീതികളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിൻ്റെ ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ 0 മുതൽ ഇടവേളയുടെ കോണിൻ്റെ അനുബന്ധ സൂചകങ്ങളിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൂടുതൽ സൗകര്യത്തിനായി 90 ഡിഗ്രി.

ഒരു കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

കോണിൻ്റെ കോസൈനിനായി:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം രണ്ട് നിയമങ്ങൾക്ക് വിധേയമായി സാധ്യമാണ്. ആദ്യം, കോണിനെ ഒരു മൂല്യമായി (π/2 ± a) അല്ലെങ്കിൽ (3π/2 ± a) പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം മാറുന്നു:

• പാപത്തിൽ നിന്ന് കോസിലേക്ക്;
• കോസ് മുതൽ പാപം വരെ;
• tg മുതൽ ctg വരെ;
• ctg മുതൽ tg വരെ.

കോണിനെ (π ± a) അല്ലെങ്കിൽ (2π ± a) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും.

രണ്ടാമതായി, കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടയാളം മാറില്ല: ഇത് തുടക്കത്തിൽ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അത് അങ്ങനെ തന്നെ തുടരുന്നു. നെഗറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കും സമാനമാണ്.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളും രണ്ട് ഭ്രമണ കോണുകളുടെ വ്യത്യാസവും അവയുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. സാധാരണയായി കോണുകളെ α, β എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. ടാൻ (α ± β) = (tg α ± ടാൻ β) / (1 ∓ ടാൻ α * ടാൻ β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഏത് കോണിലും α, β എന്നിവയ്ക്ക് സാധുതയുള്ളതാണ്.

ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ

ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ ആംഗിൾ ത്രികോണമിതി ഫോർമുലകൾ യഥാക്രമം 2α, 3α കോണുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളെ α കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

തുകയിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ഈ ഫോർമുല ലളിതമാക്കി, നമുക്ക് sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 എന്ന ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും. അതുപോലെ sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് തുകയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്കുള്ള തുകയുടെ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഐഡൻ്റിറ്റികളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

ഡിഗ്രി റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ

ഈ ഐഡൻ്റിറ്റികളിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ചതുരവും ക്യൂബിക് ശക്തികളും ഒന്നിലധികം കോണിൻ്റെ ആദ്യ ശക്തിയുടെ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

യൂണിവേഴ്സൽ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ

സാർവത്രിക ത്രികോണമിതി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒരു അർദ്ധകോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), ഇവിടെ x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), ഇവിടെ x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn കൂടെ.

പ്രത്യേക കേസുകൾ

പ്രോട്ടോസോവയുടെ പ്രത്യേക കേസുകൾ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾതാഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു (k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്).

സൈനിൻ്റെ അളവ്:

പാപം x മൂല്യം	x മൂല്യം
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ -2π/3 + 2πk

കോസൈനിനുള്ള ഘടകഭാഗങ്ങൾ:

cos x മൂല്യം	x മൂല്യം
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

സ്‌പർശനത്തിനുള്ള ഘടകഭാഗങ്ങൾ:

tg x മൂല്യം	x മൂല്യം
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

കോട്ടാൻജെൻ്റിനുള്ള ഘടകഭാഗങ്ങൾ:

ctg x മൂല്യം	x മൂല്യം
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

സൈനുകളുടെ സിദ്ധാന്തം

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് പതിപ്പുകളുണ്ട് - ലളിതവും വിപുലീകൃതവും. ലളിതമായ സിദ്ധാന്തം sines: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, a, b, c ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ, α, β, γ എന്നിവ യഥാക്രമം വിപരീത കോണുകളാണ്.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിനായുള്ള വിപുലീകൃത സൈൻ സിദ്ധാന്തം: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ഈ ഐഡൻ്റിറ്റിയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണം ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരത്തെ R സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം

ഐഡൻ്റിറ്റി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. ഫോർമുലയിൽ, a, b, c ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ, α എന്നത് a വശത്തിന് എതിർ കോണാണ്.

ടാൻജൻ്റ് സിദ്ധാന്തം

ഫോർമുല രണ്ട് കോണുകളുടെ സ്പർശനങ്ങളും അവയ്‌ക്കെതിരായ വശങ്ങളുടെ നീളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. വശങ്ങൾ a, b, c എന്ന് ലേബൽ ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു, അനുബന്ധ വിപരീത കോണുകൾ α, β, γ എന്നിവയാണ്. ടാൻജെൻ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഫോർമുല: (a - b) / (a+b) = tan ((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

കോട്ടാൻജെൻ്റ് സിദ്ധാന്തം

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം അതിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. a, b, c എന്നിവ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും A, B, C എന്നിവ യഥാക്രമം അവയ്‌ക്കെതിരായ കോണുകളാണെങ്കിൽ, r എന്നത് ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരവും p എന്നത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ അർദ്ധപരിധിയുമാണ്, ഇനിപ്പറയുന്നവ ഐഡൻ്റിറ്റികൾ സാധുവാണ്:

• കട്ടിൽ A/2 = (p-a)/r;
• കട്ടിൽ B/2 = (p-b)/r;
• കട്ടിൽ C/2 = (p-c)/r.

അപേക്ഷ

ത്രികോണമിതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സൈദ്ധാന്തിക ശാസ്ത്രം മാത്രമല്ല ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ജ്യോതിശാസ്ത്രം, വായു, കടൽ നാവിഗേഷൻ, സംഗീത സിദ്ധാന്തം, ജിയോഡെസി, രസതന്ത്രം, ശബ്ദശാസ്ത്രം, ഒപ്റ്റിക്സ്, ഇലക്ട്രോണിക്സ്, ആർക്കിടെക്ചർ, ഇക്കണോമിക്സ്, മെക്കാനിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, അളക്കുന്ന ജോലി, കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്, എന്നിങ്ങനെ മനുഷ്യ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വിവിധ ശാഖകൾ അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും നിയമങ്ങളും പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. കാർട്ടോഗ്രഫി, സമുദ്രശാസ്ത്രം, കൂടാതെ മറ്റു പലതും.

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയാണ് ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ, അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ഒരു ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളിലെ കോണുകളും നീളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി പ്രകടിപ്പിക്കാനും ഐഡൻ്റിറ്റികൾ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, നിയമങ്ങൾ എന്നിവയിലൂടെ ആവശ്യമായ അളവുകൾ കണ്ടെത്താനും കഴിയും.

4-ന് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ? നിങ്ങൾ സന്തോഷം കൊണ്ട് പൊട്ടിത്തെറിക്കുന്നില്ലേ?

ചോദ്യം, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, രസകരമാണ് ... ഇത് സാധ്യമാണ്, ഒരു 4 കൊണ്ട് കടന്നുപോകാൻ കഴിയും! ഒപ്പം പൊട്ടിത്തെറിക്കാതിരിക്കാനും... പതിവായി വ്യായാമം ചെയ്യുക എന്നതാണ് പ്രധാന വ്യവസ്ഥ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള അടിസ്ഥാന തയ്യാറെടുപ്പ് ഇതാ. പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ വായിക്കാത്ത ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ എല്ലാ രഹസ്യങ്ങളും നിഗൂഢതകളും ഉപയോഗിച്ച്... ഈ വിഭാഗം പഠിക്കുക, ഇതിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുക വിവിധ ഉറവിടങ്ങൾ- എല്ലാം പ്രവർത്തിക്കും! അടിസ്ഥാന വിഭാഗം "നിങ്ങൾക്ക് എ സി മതി!" അത് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രശ്നവും ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ പെട്ടെന്ന് ... ലിങ്കുകൾ പിന്തുടരുക, അലസമായിരിക്കരുത്!

മഹത്തായതും ഭയങ്കരവുമായ ഒരു വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കും.

ത്രികോണമിതി

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയലുകൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

ഈ വിഷയം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വളരെയധികം പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഇത് ഏറ്റവും കഠിനമായ ഒന്നായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. സൈനും കോസൈനും എന്താണ്? ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണ്? എന്താണ് ഒരു നമ്പർ സർക്കിൾ?നിങ്ങൾ ഈ നിരുപദ്രവകരമായ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുമ്പോൾ, ആ വ്യക്തി വിളറിയതായി മാറുകയും സംഭാഷണം വഴിതിരിച്ചുവിടാൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ... പക്ഷേ വെറുതെയായി. ഇവ ലളിതമായ ആശയങ്ങളാണ്. ഈ വിഷയം മറ്റുള്ളവരെക്കാൾ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല. ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ ആദ്യം മുതൽ നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് വളരെ പ്രധാനപെട്ടതാണ്. നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണമിതി ഇഷ്ടപ്പെടും. അതിനാൽ,

സൈനും കോസൈനും എന്താണ്? ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണ്?

നമുക്ക് പുരാതന കാലം മുതൽ ആരംഭിക്കാം. വിഷമിക്കേണ്ട, ഏകദേശം 15 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ഞങ്ങൾ 20 നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ ത്രികോണമിതിയിലൂടെ കടന്നുപോകും. കൂടാതെ, അത് ശ്രദ്ധിക്കാതെ, എട്ടാം ക്ലാസിലെ ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു ഭാഗം ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കും.

വശങ്ങളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം വരയ്ക്കാം എ, ബി, സികോണും എക്സ്. ഇവിടെ ഇതാ.

ഒരു വലത് കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന വശങ്ങളെ കാലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. എ, സി- കാലുകൾ. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്. ശേഷിക്കുന്ന വശത്തെ ഹൈപ്പോടെനസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടെ- ഹൈപ്പോടെനസ്.

ത്രികോണവും ത്രികോണവും, ചിന്തിക്കൂ! അവനെ എന്തു ചെയ്യണം? എന്നാൽ പുരാതന ആളുകൾക്ക് എന്തുചെയ്യണമെന്ന് അറിയാമായിരുന്നു! നമുക്ക് അവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം. നമുക്ക് വശം അളക്കാം വി. ചിത്രത്തിൽ, സെല്ലുകൾ പ്രത്യേകമായി വരച്ചിരിക്കുന്നു ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ അസൈൻമെൻ്റുകൾഅത് സംഭവിക്കുന്നു. വശം വിനാല് സെല്ലുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. ശരി. നമുക്ക് വശം അളക്കാം എ.മൂന്ന് സെല്ലുകൾ.

ഇനി നമുക്ക് വശത്തിൻ്റെ നീളം വിഭജിക്കാം എഓരോ വശവും നീളം വി. അല്ലെങ്കിൽ, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, നമുക്ക് മനോഭാവം എടുക്കാം എലേക്ക് വി. a/v= 3/4.

നേരെമറിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് വിഭജിക്കാം വിഓൺ എ.നമുക്ക് 4/3 ലഭിക്കും. കഴിയും വിവിഭജിക്കുക കൂടെ.ഹൈപ്പോടെനസ് കൂടെസെല്ലുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, പക്ഷേ ഇത് 5 ന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളത്= 4/5. ചുരുക്കത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വശങ്ങളുടെ നീളം പരസ്പരം വിഭജിച്ച് കുറച്ച് സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും.

അതുകൊണ്ട്? ഈ രസകരമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഇതുവരെ ഒന്നുമില്ല. വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ അർത്ഥമില്ലാത്ത ഒരു വ്യായാമം.)

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാം. നമുക്ക് ത്രികോണം വലുതാക്കാം. നമുക്ക് വശങ്ങൾ നീട്ടാം അകത്തും കൂടെ, എന്നാൽ അങ്ങനെ ത്രികോണം ദീർഘചതുരാകൃതിയിൽ തുടരുന്നു. കോർണർ എക്സ്, തീർച്ചയായും, മാറില്ല. ഇത് കാണുന്നതിന്, ചിത്രത്തിന് മുകളിൽ നിങ്ങളുടെ മൗസ് ഹോവർ ചെയ്യുക, അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ സ്പർശിക്കുക (നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ടാബ്‌ലെറ്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ). പാർട്ടികൾ എ, ബി, സിആയി മാറും m, n, k, കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, വശങ്ങളുടെ നീളം മാറും.

എന്നാൽ അവരുടെ ബന്ധം അങ്ങനെയല്ല!

മനോഭാവം a/vആയിരുന്നു: a/v= 3/4, ആയി m/n= 6/8 = 3/4. മറ്റ് പ്രസക്തമായ കക്ഷികളുടെ ബന്ധങ്ങളും മാറില്ല . നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളതുപോലെ വശങ്ങളുടെ നീളം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ മാറ്റാം, കൂട്ടുക, കുറയ്ക്കുക, ആംഗിൾ x മാറ്റാതെ – ബന്ധപ്പെട്ട കക്ഷികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം മാറില്ല . നിങ്ങൾക്ക് അത് പരിശോധിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ പുരാതന ആളുകളുടെ വാക്ക് നിങ്ങൾക്ക് എടുക്കാം.

എന്നാൽ ഇത് ഇതിനകം വളരെ പ്രധാനമാണ്! ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതം വശങ്ങളുടെ നീളത്തെ (ഒരേ കോണിൽ) ഒരു തരത്തിലും ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, പാർട്ടികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം അതിൻ്റേതായ പ്രത്യേക പേര് നേടിയിട്ടുണ്ട്. നിങ്ങളുടെ പേരുകൾ, സംസാരിക്കാൻ.) എന്നെ കണ്ടുമുട്ടുക.

ആംഗിൾ x ൻ്റെ സൈൻ എന്താണ് ? ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ എതിർവശത്തിൻ്റെ അനുപാതം ഇതാണ്:

sinx = a/c

x കോണിൻ്റെ കോസൈൻ എന്താണ് ? ഇത് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ അനുപാതമാണ്:

കൂടെosx= ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളത്

എന്താണ് ടാൻജെൻ്റ് x ? എതിർവശവും തൊട്ടടുത്ത വശവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം ഇതാണ്:

tgx =a/v

ആംഗിൾ x ൻ്റെ കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്താണ് ? തൊട്ടടുത്തുള്ള വശത്തിൻ്റെ വിപരീത അനുപാതമാണിത്:

ctgx = v/a

എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. Sine, cosine, tangent, cotangent എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്. അളവില്ലാത്ത. വെറും അക്കങ്ങൾ. ഓരോ കോണിനും അതിൻ്റേതായ ഉണ്ട്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞാൻ എല്ലാം വിരസമായി ആവർത്തിക്കുന്നത്? പിന്നെ എന്താ ഇത് ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ എളുപ്പമാക്കാം. "നമുക്ക് ദൂരെ നിന്ന് തുടങ്ങാം..." എന്ന വാചകം പരിചിതമാണോ? അതിനാൽ ദൂരെ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക.

സൈനസ്ആംഗിൾ ഒരു അനുപാതമാണ് അകലെലെഗ് ആംഗിളിൽ നിന്ന് ഹൈപ്പോടെൻസസ് വരെ. കോസൈൻ- അയൽക്കാരൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ അനുപാതം.

ടാൻജെൻ്റ്ആംഗിൾ ഒരു അനുപാതമാണ് അകലെലെഗ് കോണിൽ നിന്ന് അടുത്തുള്ള ഒന്ന് വരെ. കോട്ടാൻജെൻ്റ്- വിപരീതമായി.

ഇത് എളുപ്പമാണ്, അല്ലേ?

ശരി, ടാൻജെൻ്റിലും കോട്ടാൻജെൻ്റിലും കാലുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂവെന്നും സൈനിലും കോസൈനിലും ഹൈപ്പോടെനസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നുവെന്നും നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാകും.

ഈ മഹത്തായ കുടുംബത്തെ - സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നും വിളിക്കുന്നു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കേണ്ട ഒരു ചോദ്യം.

എന്തുകൊണ്ടാണ് നമ്മൾ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്ന് പറയുന്നത് മൂലയോ?കക്ഷികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത്, അതുമായി എന്താണ് ബന്ധം? മൂലയോ?

രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം നോക്കാം. ആദ്യത്തേതിന് സമാനമാണ്.

ചിത്രത്തിന് മുകളിൽ നിങ്ങളുടെ മൗസ് ഹോവർ ചെയ്യുക. ഞാൻ ആംഗിൾ മാറ്റി എക്സ്. മുതൽ വർദ്ധിപ്പിച്ചു x മുതൽ x വരെ.എല്ലാ ബന്ധങ്ങളും മാറി! മനോഭാവം a/v 3/4 ആയിരുന്നു, അനുബന്ധ അനുപാതം t/v 6/4 ആയി.

മറ്റെല്ലാ ബന്ധങ്ങളും വ്യത്യസ്തമായി!

അതിനാൽ, വശങ്ങളുടെ അനുപാതങ്ങൾ അവയുടെ നീളത്തെ (ഒരു കോണിൽ x) ഒരു തരത്തിലും ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, എന്നാൽ ഈ കോണിനെ കുത്തനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു! അവനിൽ നിന്ന് മാത്രം.അതിനാൽ, sine, cosine, tangent, cotangent എന്നീ പദങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു മൂല.ഇവിടെ കോണാണ് പ്രധാനം.

കോൺ അതിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കണം. ഓരോ കോണിനും അതിൻ്റേതായ സൈനും കോസൈനും ഉണ്ട്. മിക്കവാറും എല്ലാവർക്കും അവരുടേതായ ടാൻജെൻ്റും കോട്ടാൻജെൻ്റും ഉണ്ട്.അതു പ്രധാനമാണ്. നമുക്ക് ഒരു ആംഗിൾ നൽകിയാൽ, അതിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങൾക്കറിയാം ! തിരിച്ചും. ഒരു സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയാൽ, അതിനർത്ഥം നമുക്ക് ആംഗിൾ അറിയാം എന്നാണ്.

ഓരോ കോണിനും അതിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ വിവരിക്കുന്ന പ്രത്യേക പട്ടികകളുണ്ട്. അവയെ ബ്രാഡിസ് ടേബിളുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവ വളരെക്കാലം മുമ്പ് സമാഹരിച്ചതാണ്. കാൽക്കുലേറ്ററോ കമ്പ്യൂട്ടറോ ഇല്ലാതിരുന്ന കാലത്ത്...

തീർച്ചയായും, എല്ലാ കോണുകളുടെയും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഓർക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. കുറച്ച് ആംഗിളുകൾക്കായി മാത്രം നിങ്ങൾ അവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്, ഇതിനെക്കുറിച്ച് പിന്നീട് കൂടുതൽ. എന്നാൽ മന്ത്രവാദം എനിക്ക് ഒരു ആംഗിൾ അറിയാം, അതിനർത്ഥം അതിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ എനിക്കറിയാം” -എപ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കുന്നു!

അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ എട്ടാം ക്ലാസ്സിൽ നിന്ന് ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു ഭാഗം ആവർത്തിച്ചു. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമുണ്ടോ? അത്യാവശ്യം. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നം ഇതാ. ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, എട്ടാം ക്ലാസ് മതി. നൽകിയ ചിത്രം:

എല്ലാം. കൂടുതൽ ഡാറ്റ ഇല്ല. വിമാനത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

കോശങ്ങൾ അധികം സഹായിക്കുന്നില്ല, ത്രികോണം എങ്ങനെയോ തെറ്റായി സ്ഥാനം പിടിച്ചിരിക്കുന്നു.... ഉദ്ദേശ്യത്തോടെ, ഞാൻ ഊഹിക്കുന്നു... വിവരങ്ങളിൽ നിന്ന് ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം ഉണ്ട്. 8 സെല്ലുകൾ. ചില കാരണങ്ങളാൽ, ആംഗിൾ നൽകി.

ഇവിടെയാണ് നിങ്ങൾ ത്രികോണമിതിയെക്കുറിച്ച് ഉടനടി ഓർമ്മിക്കേണ്ടത്. ഒരു കോണുണ്ട്, അതായത് അതിൻ്റെ എല്ലാ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും നമുക്ക് അറിയാം. നാല് ഫംഗ്ഷനുകളിൽ ഏതാണ് നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്? നമുക്ക് നോക്കാം, നമുക്ക് എന്തറിയാം? ഹൈപ്പോടെനസും കോണും നമുക്കറിയാം, പക്ഷേ നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് തൊട്ടടുത്തുള്ളഈ മൂലയിലേക്ക് കത്തീറ്റർ! ഇത് വ്യക്തമാണ്, കോസൈൻ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കേണ്ടതുണ്ട്! ഇവിടെ നമ്മൾ ആരംഭിക്കുന്നു. കോസൈൻ (അനുപാതം തൊട്ടടുത്തുള്ളകാൽ മുതൽ ഹൈപ്പോടെൻസസ്):

cosC = BC/8

ഞങ്ങളുടെ ആംഗിൾ സി 60 ഡിഗ്രിയാണ്, അതിൻ്റെ കോസൈൻ 1/2 ആണ്. പട്ടികകളൊന്നുമില്ലാതെ നിങ്ങൾ ഇത് അറിയേണ്ടതുണ്ട്! അതാണ്:

1/2 = BC/8

പ്രാഥമിക രേഖീയ സമവാക്യം. അജ്ഞാതം - സൂര്യൻ. സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മറന്നവർ, ലിങ്ക് നോക്കുക, ബാക്കിയുള്ളവർ പരിഹരിക്കുക:

BC = 4

ഓരോ കോണിനും അതിൻ്റേതായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് പുരാതന ആളുകൾ മനസ്സിലാക്കിയപ്പോൾ, അവർക്ക് ന്യായമായ ഒരു ചോദ്യം ഉണ്ടായിരുന്നു. സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എങ്ങനെയെങ്കിലും പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടതാണോ?ഒരു ആംഗിൾ ഫംഗ്‌ഷൻ അറിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റുള്ളവ കണ്ടെത്താനാകുമോ? ആംഗിൾ തന്നെ കണക്കാക്കാതെ?

അവർ വളരെ അസ്വസ്ഥരായിരുന്നു...)

ഒരു കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.

തീർച്ചയായും, ഒരേ കോണിലെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പദപ്രയോഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഏത് ബന്ധവും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഫോർമുലകളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതിയിൽ ധാരാളം സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്. എന്നാൽ ഇവിടെ നമ്മൾ ഏറ്റവും അടിസ്ഥാനപരമായവ നോക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു: അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികൾ.അവ ഇതാ:

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ നന്നായി അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അവയില്ലാതെ ത്രികോണമിതിയിൽ പൊതുവെ ഒന്നും ചെയ്യാനില്ല. ഈ അടിസ്ഥാന ഐഡൻ്റിറ്റികളിൽ നിന്ന് മൂന്ന് സഹായ ഐഡൻ്റിറ്റികൾ കൂടി പിന്തുടരുന്നു:

അവസാനത്തെ മൂന്ന് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ ഓർമ്മയിൽ നിന്ന് പെട്ടെന്ന് വീഴുമെന്ന് ഞാൻ ഉടൻ തന്നെ മുന്നറിയിപ്പ് നൽകുന്നു. ചില കാരണങ്ങളാൽ.) തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞു വരാം ആദ്യത്തെ മൂന്ന്. പക്ഷേ, ഇൻ കഠിനമായ സമയം... നീ മനസ്സിലാക്കുന്നു.)

സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ചുവടെയുള്ളത് പോലെ, മറക്കാവുന്ന ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഒരു മാർഗമുണ്ട്. ഒപ്പം പിശകുകൾ നാടകീയമായി കുറയ്ക്കുകമറവി കാരണം, കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും. "ഒരേ കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ" എന്ന പാഠഭാഗം 555-ൽ ഈ സമ്പ്രദായമുണ്ട്.

ഏത് ജോലികളിലാണ് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്? മറ്റൊന്ന് നൽകിയാൽ ചില ആംഗിൾ ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ടാസ്ക്. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ അത്തരമൊരു ചുമതല വർഷം തോറും ഉണ്ട്.) ഉദാഹരണത്തിന്:

x ഒരു നിശിതകോണും cosx=0.8 ഉം ആണെങ്കിൽ sinx ൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

ചുമതല ഏതാണ്ട് പ്രാഥമികമാണ്. സൈനും കോസൈനും അടങ്ങുന്ന ഒരു ഫോർമുല ഞങ്ങൾ തിരയുകയാണ്. ഫോർമുല ഇതാ:

sin 2 x + cos 2 x = 1

ഞങ്ങൾ ഇവിടെ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതായത് കോസൈന് പകരം 0.8:

sin 2 x + 0.8 2 = 1

ശരി, ഞങ്ങൾ പതിവുപോലെ കണക്കാക്കുന്നു:

sin 2 x + 0.64 = 1

sin 2 x = 1 - 0.64

പ്രായോഗികമായി അത്രമാത്രം. ഞങ്ങൾ സൈനിൻ്റെ വർഗ്ഗം കണക്കാക്കി, സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാൻ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, ഉത്തരം തയ്യാറാണ്! 0.36 ൻ്റെ റൂട്ട് 0.6 ആണ്.

ചുമതല ഏതാണ്ട് പ്രാഥമികമാണ്. എന്നാൽ "ഏകദേശം" എന്ന വാക്ക് ഒരു കാരണത്താലാണ്... sinx= - 0.6 എന്ന ഉത്തരവും അനുയോജ്യമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത... (-0.6) 2 ഉം 0.36 ആയിരിക്കും.

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് ഒരെണ്ണം വേണം. രണ്ടാമത്തേത് തെറ്റാണ്. എങ്ങനെയാകണം!? അതെ, പതിവുപോലെ.) അസൈൻമെൻ്റ് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക. ചില കാരണങ്ങളാൽ അത് പറയുന്നു:... x ഒരു നിശിത കോണാണെങ്കിൽ...ടാസ്‌ക്കുകളിൽ, ഓരോ വാക്കിനും ഒരു അർത്ഥമുണ്ട്, അതെ... ഈ പദപ്രയോഗം പരിഹാരത്തിനുള്ള അധിക വിവരമാണ്.

90°യിൽ താഴെയുള്ള കോണാണ് നിശിതകോണം. അത്തരം കോണുകളിലും എല്ലാംത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ - സൈൻ, കോസൈൻ, കോട്ടാൻജെൻ്റോടുകൂടിയ ടാൻജെൻ്റ് - പോസിറ്റീവ്.ആ. ഞങ്ങൾ ഇവിടെ നെഗറ്റീവ് ഉത്തരം നിരസിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്.

യഥാർത്ഥത്തിൽ, എട്ടാം ക്ലാസ്സുകാർക്ക് അത്തരം സൂക്ഷ്മതകൾ ആവശ്യമില്ല. അവ വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ, അവിടെ കോണുകൾ നിശിതമായിരിക്കും. അവർക്കറിയില്ല, സന്തോഷമുള്ളവരേ, നെഗറ്റീവ് കോണുകളും 1000° കോണുകളും ഉണ്ടെന്ന്... കൂടാതെ ഈ ഭയങ്കരമായ കോണുകൾക്കെല്ലാം അതിൻ്റേതായ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുണ്ട്, പ്ലസ്, മൈനസ്...

എന്നാൽ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക്, അടയാളം കണക്കിലെടുക്കാതെ - ഒരു വഴിയുമില്ല. വളരെയധികം അറിവ് ദുഃഖങ്ങളെ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു, അതെ...) കൂടാതെ ശരിയായ തീരുമാനംചുമതലയിൽ അധിക വിവരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കണം (ആവശ്യമെങ്കിൽ). ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രിയിലൂടെ ഇത് നൽകാം:

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റെന്തെങ്കിലും വഴി. ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ കാണും.) അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് തന്നിരിക്കുന്ന ആംഗിൾ x ഏത് പാദത്തിൽ പതിക്കുന്നു, ഈ പാദത്തിൽ ആവശ്യമുള്ള ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിന് എന്ത് അടയാളമുണ്ട്?

ത്രികോണമിതിയുടെ ഈ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ എന്താണ് ത്രികോണമിതി വൃത്തം, ഈ വൃത്തത്തിലെ കോണുകളുടെ അളവ്, ഒരു കോണിൻ്റെ റേഡിയൻ അളവ് എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠങ്ങളിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു. ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ സൈനുകളുടെ പട്ടിക, ടാൻജെൻ്റുകളുടെ കോസൈനുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

അതിനാൽ, ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കാം:

പ്രായോഗിക ഉപദേശം:

1. sine, cosine, tangent, cotangent എന്നിവയുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഓർക്കുക. അത് വളരെ ഉപകാരപ്രദമായിരിക്കും.

2. ഞങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു: സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ കോണുകളുമായി ശക്തമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഒന്ന് അറിയാം, അതായത് മറ്റൊന്ന് അറിയാം.

3. ഞങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു: ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ അടിസ്ഥാനപരമായി പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികൾ. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അറിയാം, അതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾക്ക് (ആവശ്യമായ അധിക വിവരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ) മറ്റുള്ളവയെല്ലാം കണക്കാക്കാം.

ഇനി സാധാരണ പോലെ തീരുമാനിക്കാം. ആദ്യം, എട്ടാം ക്ലാസ്സിൻ്റെ പരിധിയിലുള്ള ജോലികൾ. എന്നാൽ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും ...)

1. ctgA = 0.4 ആണെങ്കിൽ tgA യുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

2. β എന്നത് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഒരു കോണാണ്. sinβ = 12/13 ആണെങ്കിൽ tanβ ൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

3. tgх = 4/3 ആണെങ്കിൽ x എന്ന നിശിതകോണിൻ്റെ സൈൻ നിർണ്ണയിക്കുക.

4. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

(1-cosx)(1+cosx), sinx = 0.3 ആണെങ്കിൽ

ഉത്തരങ്ങൾ (അർദ്ധവിരാമങ്ങളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, ക്രമരഹിതമായി):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

സംഭവിച്ചത്? കൊള്ളാം! എട്ടാം ക്ലാസുകാർക്ക് അവരുടെ എ കൾ എടുക്കാൻ ഇതിനകം പോകാം.)

എല്ലാം ശരിയായില്ലേ? ടാസ്‌ക്കുകൾ 2 ഉം 3 ഉം എങ്ങനെയോ അത്ര നല്ലതല്ല...? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! അത്തരം ജോലികൾക്കായി ഒരു മനോഹരമായ സാങ്കേതികതയുണ്ട്. സൂത്രവാക്യങ്ങളില്ലാതെ എല്ലാം പ്രായോഗികമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! അതിനാൽ, പിശകുകളില്ലാതെ. സെക്ഷൻ 555 ലെ "ഒരു കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം" എന്ന പാഠത്തിൽ ഈ സാങ്കേതികവിദ്യ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. മറ്റെല്ലാ ജോലികളും അവിടെയാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്.

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ പോലെയുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങളായിരുന്നു ഇവ, എന്നാൽ ഒരു സ്ട്രിപ്പ്-ഡൗൺ പതിപ്പിൽ. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ - വെളിച്ചം). ഇപ്പോൾ ഏതാണ്ട് സമാന ജോലികൾ, പക്ഷേ ഒരു പൂർണ്ണമായ ഫോർമാറ്റിൽ. വിജ്ഞാനഭാരമുള്ള ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക്.)

6. sinβ = 12/13 ആണെങ്കിൽ tanβ ൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക, ഒപ്പം

7. tgх = 4/3 ആണെങ്കിൽ sinх നിർണ്ണയിക്കുക, കൂടാതെ x ഇടവേളയിൽ (- 540°; - 450°) പെടുന്നു.

8. ctgβ = 1 ആണെങ്കിൽ sinβ cosβ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരങ്ങൾ (അരാജകത്വത്തിൽ):

0,8; 0,5; -2,4.

ഇവിടെ പ്രശ്നം 6-ൽ ആംഗിൾ വളരെ വ്യക്തമായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല... എന്നാൽ പ്രശ്നം 8-ൽ അത് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല! ഇത് ഉദ്ദേശ്യത്തോടെയാണ്). അധിക വിവരങ്ങൾ ടാസ്ക്കിൽ നിന്ന് മാത്രമല്ല, തലയിൽ നിന്നും എടുക്കുന്നു.) എന്നാൽ നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു ശരിയായ ടാസ്ക് ഉറപ്പാണ്!

തീരുമാനിച്ചില്ലെങ്കിലോ? ഹും... ശരി, സെക്ഷൻ 555 ഇവിടെ സഹായിക്കും. അവിടെ ഈ ജോലികൾക്കെല്ലാം പരിഹാരങ്ങൾ വിശദമായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു, മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

ഈ പാഠം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് വളരെ പരിമിതമായ ധാരണ നൽകുന്നു. എട്ടാം ക്ലാസിൽ. മൂപ്പർക്ക് ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ട്...

ഉദാഹരണത്തിന്, ആംഗിൾ ആണെങ്കിൽ എക്സ്(ഈ പേജിലെ രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം നോക്കൂ) - ഇത് മണ്ടത്തരമാക്കണോ!? ത്രികോണം പൂർണ്ണമായും തകരും! അപ്പോൾ നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? കാലും ഹൈപ്പോടെനസും ഉണ്ടാവില്ല... സൈൻ അപ്രത്യക്ഷമായി...

പുരാതന ആളുകൾ ഈ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഒരു വഴി കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇപ്പോൾ മൊബൈൽ ഫോണോ ടിവിയോ വൈദ്യുതിയോ ഉണ്ടാകുമായിരുന്നില്ല. അതെ അതെ! സൈദ്ധാന്തിക അടിസ്ഥാനംത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളില്ലാത്ത ഇവയെല്ലാം ഒരു വടി ഇല്ലാതെ പൂജ്യമാണ്. എന്നാൽ പുരാതന ആളുകൾ നിരാശരായില്ല. അവർ എങ്ങനെ പുറത്തായി എന്നത് അടുത്ത പാഠത്തിൽ.

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

വിദ്യാർത്ഥികൾ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലകളിലൊന്നാണ് ത്രികോണമിതി. ഇത് ആശ്ചര്യകരമല്ല: ഈ വിജ്ഞാന മേഖലയെ സ്വതന്ത്രമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് സ്പേഷ്യൽ ചിന്ത, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജൻ്റുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവ്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുക, കൂടാതെ പൈ നമ്പർ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് എന്നിവ ആവശ്യമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ. കൂടാതെ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയണം, ഇതിന് ഒന്നുകിൽ വികസിത ഗണിത മെമ്മറി അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ലോജിക്കൽ ശൃംഖലകൾ നേടാനുള്ള കഴിവ് ആവശ്യമാണ്.

ത്രികോണമിതിയുടെ ഉത്ഭവം

ഈ ശാസ്ത്രവുമായി പരിചയപ്പെടുന്നത് ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നാണ് ആരംഭിക്കേണ്ടത്, എന്നാൽ ആദ്യം നിങ്ങൾ ത്രികോണമിതി പൊതുവെ എന്താണ് ചെയ്യുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ചരിത്രപരമായി, ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയിലെ പ്രധാന പഠന ലക്ഷ്യം വലത് ത്രികോണങ്ങളായിരുന്നു. 90 ഡിഗ്രി കോണിൻ്റെ സാന്നിധ്യം രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരു കോണും അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളും ഒരു വശവും ഉപയോഗിച്ച് സംശയാസ്പദമായ ചിത്രത്തിൻ്റെ എല്ലാ പാരാമീറ്ററുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. മുൻകാലങ്ങളിൽ, ആളുകൾ ഈ പാറ്റേൺ ശ്രദ്ധിക്കുകയും കെട്ടിടങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തിലും നാവിഗേഷനിലും ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലും കലയിലും പോലും ഇത് സജീവമായി ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി.

ആദ്യ ഘട്ടം

തുടക്കത്തിൽ, വലത് ത്രികോണങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ആളുകൾ കോണുകളും വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു. പിന്നെ അവർ തുറന്നു പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഇത് ഉപയോഗത്തിൻ്റെ അതിരുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി ദൈനംദിന ജീവിതംഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഈ ശാഖ.

ഇന്ന് സ്കൂളിൽ ത്രികോണമിതിയുടെ പഠനം ആരംഭിക്കുന്നത് വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്നാണ്, അതിനുശേഷം വിദ്യാർത്ഥികൾ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ നേടിയ അറിവ് ഉപയോഗിക്കുകയും ഹൈസ്കൂളിൽ ആരംഭിക്കുന്ന അമൂർത്ത ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണമിതി

പിന്നീട്, ശാസ്ത്രം വികാസത്തിൻ്റെ അടുത്ത തലത്തിൽ എത്തിയപ്പോൾ, വ്യത്യസ്ത നിയമങ്ങൾ ബാധകമാകുന്ന ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതിയിൽ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി, ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലാണ്. ഈ വിഭാഗം സ്കൂളിൽ പഠിച്ചിട്ടില്ല, പക്ഷേ അതിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കാരണം ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലവും മറ്റേതെങ്കിലും ഗ്രഹത്തിൻ്റെ ഉപരിതലവും കുത്തനെയുള്ളതാണ്, അതായത് ഏത് ഉപരിതല അടയാളപ്പെടുത്തലും "ആർക്ക് ആകൃതിയിൽ" ആയിരിക്കും. ത്രിമാന സ്ഥലം.

ഭൂഗോളവും ത്രെഡും എടുക്കുക. ഗ്ലോബിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് ത്രെഡ് അറ്റാച്ചുചെയ്യുക, അങ്ങനെ അത് മുറുകെ പിടിക്കുക. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക - ഇത് ഒരു കമാനത്തിൻ്റെ ആകൃതി സ്വീകരിച്ചു. ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതി അത്തരം രൂപങ്ങളെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, ഇത് ജിയോഡെസി, ജ്യോതിശാസ്ത്രം, മറ്റ് സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ മേഖലകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മട്ട ത്രികോണം

ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വഴികളെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് പഠിച്ച ശേഷം, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണെന്നും അവയുടെ സഹായത്തോടെ എന്ത് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താമെന്നും ഏത് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും കൂടുതൽ മനസിലാക്കാൻ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതിയിലേക്ക് മടങ്ങാം.

ബന്ധപ്പെട്ട ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി മട്ട ത്രികോണം. ആദ്യം, ഹൈപ്പോടെനസ് 90 ഡിഗ്രി കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശമാണ്. ഇത് ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, അതിൻ്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ മൂലത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് വശങ്ങളും യഥാക്രമം 3 ഉം 4 സെൻ്റീമീറ്ററും ആണെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം 5 സെൻ്റീമീറ്ററായിരിക്കും. വഴിയിൽ, പുരാതന ഈജിപ്തുകാർക്ക് ഏകദേശം നാലര ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് ഇതിനെക്കുറിച്ച് അറിയാമായിരുന്നു.

വലത് കോണായി രൂപപ്പെടുന്ന രണ്ട് ശേഷിക്കുന്ന വശങ്ങളെ കാലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നാം ഓർക്കണം.

നിർവ്വചനം

അവസാനമായി, ജ്യാമിതീയ അടിത്തറയെക്കുറിച്ചുള്ള ഉറച്ച ധാരണയോടെ, ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം.

ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ എതിർ വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ് (അതായത് എതിർവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വശം ആവശ്യമുള്ള ആംഗിൾ) ഹൈപ്പോടെൻസിലേക്ക്. ഒരു കോണിൻ്റെ കോസൈൻ എന്നത് ഹൈപ്പോട്ടീനസുമായുള്ള തൊട്ടടുത്ത വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ്.

സൈനോ കോസൈനോ ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഓർക്കുക! എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം ഹൈപ്പോടെനസ് ഡിഫോൾട്ടായി ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, കാലിൻ്റെ നീളം എത്രയായാലും, അത് ഹൈപ്പോടെനസിനെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും, അതായത് അവയുടെ അനുപാതം എപ്പോഴും ഒന്നിൽ കുറവായിരിക്കും. അതിനാൽ, ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് 1-ൽ കൂടുതൽ മൂല്യമുള്ള ഒരു സൈനോ കോസൈനോ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകളിലോ ന്യായവാദത്തിലോ ഒരു പിശക് നോക്കുക. ഈ ഉത്തരം വ്യക്തമായും തെറ്റാണ്.

അവസാനമായി, ഒരു കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് എതിർ വശവും തൊട്ടടുത്ത വശവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്. സൈനിനെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതേ ഫലം ലഭിക്കും. നോക്കൂ: ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ വശത്തിൻ്റെ നീളം ഹൈപ്പോടെന്യൂസ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തെ വശത്തിൻ്റെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ഹൈപ്പോടെനസ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിലെ അതേ ബന്ധം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു.

കോടാൻജെൻ്റ്, അതനുസരിച്ച്, കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശത്തിൻ്റെ എതിർവശത്തേക്ക് അനുപാതമാണ്. ഒന്നിനെ ടാൻജെൻ്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് അതേ ഫലം ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണെന്നതിൻ്റെ നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു, നമുക്ക് ഫോർമുലകളിലേക്ക് പോകാം.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ത്രികോണമിതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകളില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല - സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയില്ലാതെ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? എന്നാൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് കൃത്യമായി ആവശ്യമാണ്.

ത്രികോണമിതി പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ട ആദ്യത്തെ ഫോർമുല പറയുന്നത് ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്. ഈ ഫോർമുലപൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്, എന്നാൽ വശത്തെക്കാൾ കോണിൻ്റെ വലുപ്പം അറിയണമെങ്കിൽ അത് സമയം ലാഭിക്കുന്നു.

പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും രണ്ടാമത്തെ സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല, അത് സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വളരെ ജനപ്രിയമാണ്: ഒന്നിൻ്റെ ആകെത്തുകയും ഒരു കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചതുരവും കോണിൻ്റെ കോസൈനിൻ്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന് തുല്യമാണ്. സൂക്ഷ്മമായി നോക്കുക: ആദ്യ ഫോർമുലയിലെ അതേ പ്രസ്താവനയാണിത്, ഐഡൻ്റിറ്റിയുടെ ഇരുവശങ്ങളും മാത്രമേ കോസൈൻ്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ഒരു ലളിതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യംപൂർണ്ണമായും തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയില്ല. ഓർക്കുക: സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണെന്ന് അറിയുന്നത്, പരിവർത്തന നിയമങ്ങളും നിരവധി അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും, നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും ആവശ്യമായ കൂടുതൽ സ്വതന്ത്രമായി നേടാനാകും. സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾഒരു കടലാസിൽ.

ഇരട്ട കോണുകൾക്കും ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ട രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൂടി കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും വ്യത്യാസത്തിനുമുള്ള സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അവ ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവ രണ്ട് തവണ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നം ചേർക്കുന്നു.

ഡബിൾ ആംഗിൾ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. അവ മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായും ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ് - ഒരു പരിശീലനമെന്ന നിലയിൽ ആൽഫ ആംഗിൾ എടുത്ത് അവ സ്വയം നേടാൻ ശ്രമിക്കുക കോണിന് തുല്യമാണ്ബീറ്റ.

അവസാനമായി, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് ആൽഫ എന്നിവയുടെ ശക്തി കുറയ്ക്കാൻ ഡബിൾ ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതിയിലെ രണ്ട് പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ സൈൻ സിദ്ധാന്തവും കോസൈൻ സിദ്ധാന്തവുമാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ മനസിലാക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഓരോ വശത്തിൻ്റെയും വലുപ്പം മുതലായവ.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഓരോ വശത്തിൻ്റെയും നീളം വിപരീത കോണിൽ ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എന്ന് സൈൻ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു. ഒരേ നമ്പർ. മാത്രമല്ല, ഈ സംഖ്യ ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് ദൂരങ്ങൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത് ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വൃത്തം.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു, അത് ഏതെങ്കിലും ത്രികോണങ്ങളിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നു. രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം തൊട്ടടുത്ത കോണിൻ്റെ ഇരട്ട കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ കുറയ്ക്കുക - തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം മൂന്നാം വശത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അങ്ങനെ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസായി മാറുന്നു.

അശ്രദ്ധമായ തെറ്റുകൾ

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണെന്ന് അറിയാമെങ്കിലും, അസാന്നിദ്ധ്യം അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ പിശക് കാരണം ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്. അത്തരം തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായവ നോക്കാം.

ഒന്നാമതായി, അന്തിമഫലം ലഭിക്കുന്നതുവരെ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ദശാംശങ്ങളാക്കി മാറ്റരുത് - നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ഇങ്ങനെ നൽകാം പൊതു അംശം, വ്യവസ്ഥകളിൽ മറ്റുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞിട്ടില്ലെങ്കിൽ. അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തെ ഒരു തെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും പുതിയ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്, അത് രചയിതാവിൻ്റെ ആശയം അനുസരിച്ച് കുറയ്ക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ അനാവശ്യമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിങ്ങളുടെ സമയം പാഴാക്കും. മൂന്നിൻ്റെ റൂട്ട് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടിൻ്റെ റൂട്ട് പോലുള്ള മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും സത്യമാണ്, കാരണം അവ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും പ്രശ്നങ്ങളിൽ കാണപ്പെടുന്നു. "വൃത്തികെട്ട" നമ്പറുകൾ റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നതിനും ഇത് ബാധകമാണ്.

കൂടാതെ, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഏത് ത്രികോണത്തിനും ബാധകമാണ്, പക്ഷേ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് ബാധകമല്ല! വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഇരട്ടി ഗുണം കുറയ്ക്കാൻ നിങ്ങൾ തെറ്റായി മറന്നാൽ, നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായും തെറ്റായ ഫലം ലഭിക്കുമെന്ന് മാത്രമല്ല, വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പൂർണ്ണമായ ധാരണക്കുറവ് നിങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇത് അശ്രദ്ധമായ തെറ്റിനേക്കാൾ മോശമാണ്.

മൂന്നാമതായി, സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജൻ്റുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവയ്ക്കായി 30, 60 ഡിഗ്രി കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്. ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഓർക്കുക, കാരണം 30 ഡിഗ്രിയുടെ സൈൻ 60 ൻ്റെ കോസൈന് തുല്യമാണ്, തിരിച്ചും. അവരെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി നിങ്ങൾക്ക് അനിവാര്യമായും തെറ്റായ ഫലം ലഭിക്കും.

അപേക്ഷ

പല വിദ്യാർത്ഥികളും ത്രികോണമിതി പഠിക്കാൻ തിടുക്കം കാണിക്കുന്നില്ല, കാരണം അവർക്ക് അതിൻ്റെ പ്രായോഗിക അർത്ഥം മനസ്സിലാകുന്നില്ല. ഒരു എഞ്ചിനീയർക്കോ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനോ വേണ്ടി സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്താണ്? വിദൂര നക്ഷത്രങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരം കണക്കാക്കാനോ ഉൽക്കാശിലയുടെ പതനം പ്രവചിക്കാനോ മറ്റൊരു ഗ്രഹത്തിലേക്ക് ഗവേഷണ പേടകം അയയ്ക്കാനോ കഴിയുന്ന ആശയങ്ങളാണിവ. അവയില്ലാതെ, ഒരു കെട്ടിടം പണിയുക, ഒരു കാർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യുക, ഒരു ഉപരിതലത്തിലെ ലോഡ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വസ്തുവിൻ്റെ പാത കണക്കാക്കുക എന്നിവ അസാധ്യമാണ്. ഇവ ഏറ്റവും വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രമാണ്! എല്ലാത്തിനുമുപരി, സംഗീതം മുതൽ വൈദ്യശാസ്ത്രം വരെ എല്ലായിടത്തും ഒരു രൂപത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒടുവിൽ

അതിനാൽ നിങ്ങൾ സൈൻ, കൊസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്. നിങ്ങൾക്ക് അവ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഉപയോഗിക്കാനും സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കാനും കഴിയും.

ത്രികോണമിതിയുടെ മുഴുവൻ പോയിൻ്റും ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ അറിയാത്തവ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് വരുന്നു. ആകെ ആറ് പാരാമീറ്ററുകളുണ്ട്: മൂന്ന് വശങ്ങളുടെ നീളവും മൂന്ന് കോണുകളുടെ വലുപ്പവും. ടാസ്‌ക്കുകളിലെ വ്യത്യാസം വ്യത്യസ്ത ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റ നൽകിയിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയിലാണ്.

കാലുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന നീളം അല്ലെങ്കിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് അടിസ്ഥാനമാക്കി സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഈ പദങ്ങൾ ഒരു അനുപാതത്തിൽ കൂടുതലായി ഒന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, ഒരു അനുപാതം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായതിനാൽ, ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം ഒരു സാധാരണ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇവിടെ സാധാരണ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.