Jakie modele wykorzystują układy równań. Model matematyczny w praktyce. Rozważmy cechy podejścia deterministycznego ciągłego na przykładzie, wykorzystując równania różniczkowe jako model matematyczny

Modele matematyczne wyróżniają się przede wszystkim charakterem prezentowanych właściwości układu, stopniem ich szczegółowości, sposobami uzyskania i formalną reprezentacją.

Modele strukturalne i funkcjonalne. Jeśli MM wyświetla elementy i ich połączenia w systemie, nazywa się to strukturalny model matematyczny. Jeżeli MM odzwierciedla jakiekolwiek procesy zachodzące w systemie, wówczas jest klasyfikowany jako funkcjonalne modele matematyczne. Oczywiste jest, że mogą również istnieć mieszane MM , które opisują zarówno właściwości funkcjonalne, jak i strukturalne systemu. Strukturalne MM dzielą się na topologiczne i geometryczne, które stanowią dwa poziomy hierarchii MM tego typu. Te pierwsze odzwierciedlają kompozycję systemu i powiązania pomiędzy jego elementami. Topologiczny MM Wskazane jest użycie go na początkowym etapie badania złożonego systemu. Taki MM ma postać wykresów , tabele, macierze, listy itp., a jego budowę poprzedza się zazwyczaj opracowaniem schematu strukturalnego systemu.

Geometryczne MM oprócz informacji prezentowanych w topologicznym MM zawiera informacje o kształcie i wielkości systemu i jego elementów oraz ich względnym położeniu. Geometryczne MM zwykle obejmuje zbiór równań prostych i powierzchni oraz zależności algebraicznych, które określają przynależność obszarów przestrzeni do układu lub jego elementów. Geometryczne MM znajdują zastosowanie przy projektowaniu elementów systemów technicznych, opracowywaniu dokumentacji technicznej i procesach technologicznych wytwarzania wyrobów.

Funkcjonalny mm składają się z relacji łączących zmienne fazowe , te. parametry wewnętrzne, zewnętrzne i wyjściowe systemu. Funkcjonowanie złożonych systemów często można opisać jedynie za pomocą zestawu jego reakcji na znane (lub dane) wpływy wejściowe. Ten typ funkcjonalnego MM jest klasyfikowany jako czarna skrzynka i zwykle jest tzw imitacja model matematyczny, co oznacza, że ​​jedynie imituje zewnętrzne przejawy funkcjonowania, nie ujawniając i nie opisując istoty procesów zachodzących w systemie. MM symulacyjne są szeroko stosowane w badaniu złożonych systemów.

Jeśli chodzi o formę prezentacji, przykładem jest symulacja MM algorytmiczny MM, ponieważ powiązanie pomiędzy parametrami wejściowymi i wyjściowymi systemu można opisać jedynie w postaci algorytmu nadającego się do realizacji w postaci programu. Typ algorytmicznego MM obejmuje szeroką klasę zarówno funkcjonalnych, jak i strukturalnych MM. Jeśli powiązania między parametrami systemu można wyrazić w formie analitycznej, wtedy mówimy analityczny modele matematyczne . Tworząc hierarchię MM dla tego samego systemu, zwykle dąży się do tego, aby uproszczona wersja MM została przedstawiona w formie analitycznej, która pozwala na dokładne rozwiązanie, które można zastosować do porównania podczas testowania wyników uzyskanych przy użyciu pełniejszych i dlatego bardziej złożone wersje MM.

Oczywiste jest, że MM konkretnego systemu, jeśli chodzi o jego formę prezentacyjną, może zawierać cechy zarówno MM analitycznego, jak i algorytmicznego. Ponadto w procesie modelowania MM analityczny jest przekształcany na algorytmiczny.

Zgodnie z metodą otrzymywania modeli matematycznych może być teoretyczny Lub empiryczny. Te pierwsze uzyskuje się w wyniku badania właściwości układu, procesów w nim zachodzących w oparciu o wykorzystanie znanych podstawowych praw zachowania i równań równowagi, drugie zaś powstają w wyniku przetworzenia wyników obserwacji zewnętrznych układu przejaw tych właściwości i procesów. Jednym ze sposobów konstruowania empirycznych MM jest prowadzenie badań eksperymentalnych związanych z pomiarem zmiennych fazowych układu, a następnie uogólnianie wyników tych pomiarów w formie algorytmicznej lub w postaci zależności analitycznych. Zatem empiryczny MM pod względem formy prezentacji może zawierać cechy zarówno algorytmicznego, jak i analitycznego MM . Zatem konstrukcja empirycznego MM sprowadza się do rozwiązania problemy z identyfikacją.

Cechy modeli funkcjonalnych. Jedna z charakterystycznych cech funkcjonalny MM to obecność lub brak zmiennych losowych wśród jego parametrów. W obecności takich ilości nazywa się MM stochastyczny(lub probabilistyczny), a w przypadku ich braku - deterministyczny.

Nie wszystkie parametry systemów rzeczywistych można scharakteryzować dobrze określonymi wartościami. Zatem MM takich układów, ściśle mówiąc, należy zaliczyć do stochastycznych, gdyż parametrami wyjściowymi układu będą zmienne losowe. Wartości parametrów zewnętrznych mogą być również losowe .

Do analizy stochastycznych MM konieczne jest wykorzystanie wniosków teorii prawdopodobieństwa, procesów losowych i statystyki matematycznej. Jednak główna trudność w ich zastosowaniu wiąże się zwykle z faktem, że probabilistyczne charakterystyki zmiennych losowych (oczekiwania matematyczne, wariancje, prawa rozkładu) są często nieznane lub znane z małą dokładnością, tj. MM nie spełnia wymagań produktywności . W takich przypadkach skuteczniejsze jest zastosowanie MM, który jest bardziej szorstki od stochastycznego, ale jednocześnie odporniejszy na zawodność danych wyjściowych.

Istotną cechą klasyfikacji MM jest ich zdolność do opisu zmian parametrów systemu w czasie. Jeśli MM odzwierciedla wpływ właściwości inercyjnych układu, wówczas zwykle nazywa się to dynamiczny. Natomiast nazywa się MM, który nie uwzględnia zmian parametrów systemu w czasie statyczny.

Stacjonarny Opisują układy, w których zachodzą tzw. procesy stacjonarne , te. procesy, w których interesujące nas parametry wyjściowe są stałe w czasie. Procesy okresowe są również uważane za stan ustalony. , w którym niektóre parametry wyjściowe pozostają niezmienione, inne zaś ulegają wahaniom.

Jeżeli parametry wyjściowe układu zmieniają się powoli i w rozpatrywanym stałym momencie zmiany te można pominąć, wówczas rozważa się MM niestacjonarne.

Ważną właściwością MM z punktu widzenia dalszej analizy jest jej liniowość, w sensie powiązania parametrów układu zależnościami liniowymi. Oznacza to, że w przypadku zmiany dowolnego zewnętrznego (lub wewnętrznego) parametru systemu liniowy MM przewiduje liniową zmianę zależnego od niego parametru wyjściowego, a gdy zmienią się dwa lub więcej parametrów, sumowanie ich wpływów, tj. taki MM ma tę właściwość superpozycje. Jeśli MM nie ma właściwości superpozycji, wówczas nazywa się go nieliniowy .

Opracowano wiele metod matematycznych do analizy ilościowej liniowych MM, natomiast możliwości analizy nieliniowych MM kojarzone są głównie z metodami matematyki obliczeniowej. Aby zastosować metody analityczne do badania nieliniowego układu MM, zwykle poddaje się go linearyzacji, tj. nieliniowe zależności pomiędzy parametrami zastępowane są przybliżonymi zależnościami liniowymi i tzw linearyzowane Systemy MM. Ponieważ linearyzacja wiąże się z wprowadzeniem dodatkowych błędów, wyniki analizy zlinearyzowanego modelu należy traktować z pewną ostrożnością. Faktem jest, że linearyzacja MM może prowadzić do utraty jego adekwatności. Uwzględnienie efektów nieliniowych w MM jest szczególnie ważne np. przy opisie zmian form ruchu czy położeń równowagi, gdy niewielkie zmiany parametrów wejściowych mogą powodować jakościowe zmiany stanu układu.

Każdy parametr systemu może być dwojakiego rodzaju - zmieniać się w sposób ciągły w pewnym zakresie jego wartości lub przyjmować tylko niektóre wartości dyskretne. Możliwa jest także sytuacja pośrednia, gdy w jednym obszarze parametr przyjmuje wszystkie możliwe wartości, a w innym tylko dyskretne. Pod tym względem podkreślają ciągły dyskretny I mieszany modele matematyczne . W procesie analizy MM tego typu można konwertować z jednego na drugi, przy czym podczas takiej konwersji należy monitorować spełnienie wymagania adekwatność MM rozważanego systemu.

Formy reprezentacji modeli matematycznych. Modelując matematycznie złożony system, zazwyczaj nie da się opisać jego zachowania za pomocą jednego MM, a nawet gdyby taki MM został skonstruowany, okazałby się on zbyt skomplikowany do analizy ilościowej. Dlatego najczęściej stosuje się takie systemy zasada rozkładu. Polega na warunkowym podziale systemu na podsystemy, które pozwalają na ich niezależne badanie z późniejszym uwzględnieniem ich wzajemnego wpływu. Z kolei zasadę dekompozycji można zastosować do każdego wybranego podsystemu aż do poziomu dość prostych elementów. W tym przypadku powstaje hierarchia Połączone ze sobą podsystemy MM. Dla poszczególnych typów MM wyróżnia się także poziomy hierarchiczne. Przykładowo, wśród strukturalnych systemów MM, topologiczne MM klasyfikowane są na wyższym poziomie hierarchii , i do niższego poziomu, charakteryzującego się większą szczegółowością, - geometryczny MM . Spośród poziomów funkcjonalnych poziomy hierarchiczne odzwierciedlają stopień szczegółowości opisu procesów zachodzących w systemie i jego elementach. Z tego punktu widzenia zazwyczaj wyróżnia się trzy główne poziomy: mikro – makro – i meta.

Modele matematyczne na poziomie mikro opisywać procesy w układach o parametrach rozproszonych, oraz modele matematyczne na poziomie makro- w układach o parametrach skupionych. W pierwszym z nich zmienne fazowe mogą zależeć zarówno od współrzędnych czasowych, jak i przestrzennych, a w drugim tylko od czasu.

Jeżeli w MM na poziomie makro liczba zmiennych fazowych jest rzędu 10 4 -10 5 , wówczas analiza ilościowa takiego MM staje się uciążliwa i wymaga znacznych zasobów obliczeniowych. Ponadto przy tak dużej liczbie zmiennych fazowych trudno jest zidentyfikować istotne cechy układu i cechy jego zachowania. W tym przypadku łącząc i powiększając elementy złożonego układu, dążą do zmniejszenia liczby zmiennych fazowych, wykluczając z uwzględnienia parametry wewnętrzne elementów, ograniczając się jedynie do opisu wzajemnych powiązań pomiędzy powiększonymi elementami. Takie podejście jest typowe dla MM metapoziom.

Najpopularniejsza forma prezentacji dynamiczny(ewolucyjny) MM na poziomie mikro to sformułowanie problemu wartości brzegowych dla równań różniczkowych fizyki matematycznej. To sformułowanie obejmuje cząstkowe równania różniczkowe i warunki brzegowe. Z kolei warunki brzegowe zawierają warunki początkowe i brzegowe. Warunki początkowe obejmują rozkłady pożądanych zmiennych fazowych w pewnym momencie. Granice obszaru przestrzennego, którego konfiguracja odpowiada rozpatrywanemu elementowi lub systemowi jako całości, są warunkami brzegowymi. Przy przedstawianiu MM zaleca się stosowanie zmiennych bezwymiarowych i współczynników równań.

MM na poziomie mikro nazywa się jednowymiarowym, dwuwymiarowym lub trójwymiarowym , jeśli wymagane zmienne fazowe zależą odpowiednio od jednej, dwóch lub trzech współrzędnych przestrzennych. Dwa ostatnie typy MM są łączone w wielowymiarowe modele matematyczne poziomu mikro .

Modelowanie, pojęcia ogólne

Zadaniem modelowania jest badanie złożonych obiektów lub procesów z wykorzystaniem ich modeli fizycznych lub matematycznych. Celem modelowania jest znalezienie optymalnego (najlepszego według wszelkich kryteriów) rozwiązania technicznego. Rodzaje modelowania:

Ø fizyczny;

Ø matematyczny;

Ø grafika (geometryczna).

Podczas modelowania najważniejsze właściwości badanego układu zastępuje się ścisłymi, choć uproszczonymi w stosunku do pierwotnego zjawiska naturalnego, sformułowaniami naukowymi - modelami. Model zapewnia możliwość dokładnego opisu i przewidywania zachowania systemu, ale tylko w ściśle ograniczonym obszarze zastosowań – o ile wstępne uproszczenia, na podstawie których zbudowano model, sprawdzają się.

Przykładowo, symulując lot satelity wokół Ziemi, jego ściany można uznać za absolutnie solidne, a symulując zderzenie tego samego satelity z mikrometeorytem, ​​nawet supertwarde żelazo można z bardzo dużą dokładnością opisać jako idealny nieściśliwy płyn . Jest to paradoksalna cecha modelowania – jego dokładność, urzeczywistniana przez zasadniczo niedokładne modele układu rzeczywistego, które ze swej istoty są przybliżone, odpowiednie tylko w pewnym obszarze zjawisk.

Funkcjonujące procesy i strukturę systemu można opisać za pomocą modelowania matematycznego. Modelowanie matematyczne to proces tworzenia modelu matematycznego i działania na jego podstawie w celu uzyskania informacji o rzeczywistym systemie. Model matematyczny to zbiór obiektów matematycznych i powiązań między nimi, który w sposób adekwatny odzwierciedla najważniejsze właściwości układu. Obiekty matematyczne – liczby, zmienne, macierze itp. Powiązania pomiędzy obiektami matematycznymi - równania, nierówności itp. Wszelkie obliczenia naukowe i techniczne są wyspecjalizowanymi rodzajami modelowania matematycznego.

System to zbiór elementów naturalnie ze sobą powiązanych, tworzących jedną całość, wskazującą na powiązania między nimi i cel działania. Właściwości układu różnią się od sumy właściwości jego elementów. Przykłady: Maszyna ¹ å(części + komponenty); Człowiek ¹ å(mózg + wątroba + kręgosłup).

Klasyfikacja modeli matematycznych

Ze względu na metodę analizy modele matematyczne dzielimy na analityczne, algorytmiczne i symulacyjne.

Modele analityczne mogą być:

1) jakościowy, gdy określa się charakter zależności parametrów wyjściowych od parametrów wejściowych, samo istnienie rozwiązania itp. Na przykład, czy siła cięcia będzie się zwiększać, czy zmniejszać wraz ze wzrostem prędkości, czy możliwe będzie poruszanie się z prędkością większą niż prędkość światła itp. Budowa takiego modelu jest niezbędnym krokiem podczas badania złożonego systemu.

2) modele liczące (analityczne) reprezentują wyraźne zależności matematyczne pomiędzy charakterystyką wejściową, wewnętrzną i wyjściową systemu. Takie modele są zawsze preferowane, ponieważ są najskuteczniejsze w analizie praw funkcjonowania systemu, optymalizacji itp. Niestety, nie zawsze udaje się je uzyskać i to jedynie przy znacznym uproszczeniu badanego układu. Oprócz modeli obliczeniowych (analitycznych) budowanych w oparciu o zrozumienie procesów zachodzących w systemie, mogą to być również modele budowane w oparciu o analizę wyników eksperymentów z „czarną skrzynką”. Przykładem jest zależność siły skrawania od prędkości, posuwu i głębokości skrawania.

3) numeryczne, gdy dla zadanych wartości wejściowych uzyskują wartości liczbowe parametrów wyjściowych. Przykładem są obliczenia metodą elementów skończonych. Modele numeryczne są uniwersalne, dają jednak jedynie cząstkowe wyniki, z których trudno wyciągać ogólne wnioski.

Model algorytmiczny przedstawiono w postaci algorytmu obliczeniowego. W przeciwieństwie do modeli analitycznych, postęp obliczeń zależy od wyników pośrednich.

Modelowanie symulacyjne opiera się na bezpośrednim opisie modelowanego obiektu. Konstruując model symulacyjny, opisano prawa funkcjonowania każdego elementu z osobna oraz powiązania pomiędzy nimi. W odróżnieniu od analitycznego charakteryzuje się podobieństwem strukturalnym pomiędzy obiektem a modelem. Modelowanie symulacyjne jest najczęściej wykorzystywane w badaniu złożonych procesów losowych. Na przykład półfabrykaty, których rozmiary mają losowy rozrzut, są dostarczane na wejście automatycznego modelu linii (AL). Co więcej, model obróbki na każdej maszynie AL jest wrażliwy na rzeczywiste wymiary przedmiotu obrabianego. Po wirtualnej „obróbce” setek tysięcy detali możliwe jest znalezienie zestawu okoliczności, w których AL się zatrzyma i uniknięcie tego podczas projektowania.

Ze względu na charakter funkcjonowania i rodzaj parametrów systemu dzieli się także modele matematyczne

ciągłe i dyskretne;

statyczne i dynamiczne;

deterministyczne i stochastyczne (probabilistyczne).

W układach ciągłych parametry zmieniają się stopniowo, w układach dyskretnych zmieniają się gwałtownie i impulsywnie. Przykładowo w modelu frezu tokarskiego zużycie stale wzrasta, a awaria (odpryskiwanie płyty) następuje natychmiastowo – dyskretnie.

W modelach statycznych wszystkie parametry zawarte w modelu mają wartości stałe, a obliczone parametry na wyjściu układu zmieniają się jednocześnie ze zmianą parametrów na wejściu. Takie modele opisują systemy z szybko zanikającymi procesami przejściowymi.

Modele dynamiczne uwzględniają bezwładność układu. W rezultacie zmiana parametru wyjściowego jest opóźniona w stosunku do zmiany parametru wejściowego. Takie modele dokładniej opisują rzeczywisty system, ale są trudniejsze w realizacji.

Dane wyjściowe systemów deterministycznych są jednoznacznie określone przez ich stan wejściowy i bieżący. Pomija się możliwe losowe zmiany parametrów systemu lub parametrów wejściowych. Natomiast w układach stochastycznych uwzględnia się probabilistyczny charakter zmian parametrów układu, przyjmując wartości losowe zgodnie z pewnym prawem rozkładu.

Główne cechy klasyfikacyjne i rodzaje MM stosowane w CAD podano w tabeli 1.

Tabela 1.

Znak klasyfikacji	Modele matematyczne
Charakter wyświetlanych właściwości obiektu	Strukturalny;
funkcjonalny	Przynależność do poziomu hierarchicznego
Poziom mikro; poziom makro; metapoziom	Poziom szczegółowości opisu w obrębie jednego poziomu
Pełny;	makromodele
Metoda reprezentacji właściwości obiektu	Analityczne, algorytmiczne, symulacyjne

Ze względu na charakter wyświetlanych właściwości obiektu MM dzielą się na strukturalny I funkcjonalny.

Strukturalny MM mają na celu ukazanie właściwości strukturalnych obiektu. Istnieją strukturalne MM topologiczne I geometryczny.

W topologiczne MM wyświetla kompozycję i relacje między elementami obiektu. Modele topologiczne mogą mieć formę wykresów, tabel (macierzy), list itp.

W geometryczny MM wyświetla właściwości geometryczne obiektów, oprócz informacji o względnym położeniu elementów, zawiera także informację o kształcie części. Geometryczne MM można wyrazić za pomocą zestawu równań linii i powierzchni; relacje algebraologiczne opisujące obszary tworzące bryłę przedmiotu; wykresy i listy przedstawiające konstrukcje ze standardowych elementów konstrukcyjnych itp.

Funkcjonalny mm mają na celu ukazanie procesów fizycznych lub informacyjnych zachodzących w przedmiocie podczas jego eksploatacji lub wytwarzania. Funkcjonalne MM to układy równań łączących zmienne fazowe, parametry wewnętrzne, zewnętrzne i wyjściowe, tj. algorytm obliczania wektora parametrów wyjściowych Y dla danych wektorów parametrów elementu X i parametry zewnętrzne Q.

Liczba poziomów hierarchicznych w modelowaniu jest zdeterminowana złożonością projektowanych obiektów i możliwościami narzędzi projektowych. Jednakże w przypadku większości obszarów tematycznych istniejące poziomy hierarchiczne można podzielić na jeden z trzech ogólnych poziomów, zwanych poniżej mikro-, makro- I metapoziomy.

W zależności od miejsca w hierarchii opisów modele matematyczne są podzielone na MM związane mikro-, makro- I metapoziomy.

Funkcja MM na poziomie mikro jest odzwierciedleniem procesów fizycznych zachodzących w ciągłej przestrzeni i czasie. Typowymi MM na poziomie mikro są równania różniczkowe cząstkowe (PDE).

Na poziomie makro wykorzystują powiększoną dyskretyzację przestrzeni według kryterium funkcjonalnego, co prowadzi do reprezentacji MM na tym poziomie w postaci układów równań różniczkowych zwyczajnych (ODE). Systemy ODE są modelami uniwersalnymi na poziomie makro, odpowiednimi do analizy zarówno stanów dynamicznych, jak i ustalonych obiektów. Modele trybów stanu ustalonego można również przedstawić w postaci układów równań algebraicznych. Kolejność układu równań zależy od liczby wybranych elementów obiektu. Jeżeli rząd układu zbliża się do 10 3, to operowanie modelem staje się utrudnione i w związku z tym konieczne jest przejście do reprezentacji w poziom meta.

Na poziomie meta Za elementy przyjmuje się dość złożone zestawy części. Poziom meta charakteryzuje się szeroką gamą stosowanych typów MM. W przypadku wielu obiektów MM na poziomie meta są nadal reprezentowane przez systemy ODE. Ponieważ jednak modele nie opisują zmiennych fazowych wewnętrznych elementów, a jedynie pojawiają się zmienne fazowe związane z wzajemnymi połączeniami elementów, powiększanie elementów na poziomie meta oznacza uzyskanie MM o akceptowalnym wymiarze dla obiektów znacznie bardziej złożonych niż na poziomie makro .

W wielu obszarach tematycznych możliwe jest wykorzystanie specyficznych cech funkcjonowania obiektów w celu uproszczenia MM. Przykładem są elektroniczne cyfrowe urządzenia automatyki, w których możliwe jest zastosowanie dyskretnej reprezentacji zmiennych fazowych, takich jak napięcia i prądy. W rezultacie MM staje się układem równań logicznych opisujących procesy konwersji sygnału. Takie modele logiczne są znacznie bardziej ekonomiczne niż modele elektryczne, które opisują zmiany napięć i prądów jako ciągłe funkcje czasu. Ważna klasa MM dalej poziom meta makijaż modele kolejkowe, służący do opisu procesów funkcjonowania systemów informatycznych i obliczeniowych, obszarów produkcyjnych, linii i warsztatów.

Modele strukturalne dzielą się także na modele o różnych poziomach hierarchicznych. Jednocześnie na niższych poziomach hierarchii dominuje stosowanie modeli geometrycznych, natomiast na wyższych poziomach hierarchii stosuje się modele topologiczne.

Według poziomu szczegółowości opisu na każdym poziomie hierarchii przeznaczyć pełny MM i makromodele.

Pełny MM jest modelem, w którym pojawiają się zmienne fazowe charakteryzujące stany wszystkich istniejących połączeń międzyelementowych (czyli stany wszystkich elementów projektowanego obiektu), opisujące nie tylko procesy na zewnętrznych zaciskach modelowanego obiektu, ale także wewnętrzne procesy obiektu.

Makromodel- MM, który wyświetla stany znacznie mniejszej liczby połączeń międzyelementowych, co odpowiada opisowi obiektu z powiększonym wyborem elementów.

Notatka. Pojęcia „pełnego MM” i „makromodelu” są względne i zwykle stosuje się je do rozróżnienia dwóch modeli, które wykazują różny stopień szczegółowości w opisie właściwości obiektu.

W drodze reprezentacji właściwości obiektu Funkcjonalne MM dzielą się na analityczny I algorytmiczne.

Analityczny MM są jawnymi wyrażeniami parametrów wyjściowych jako funkcji parametrów wejściowych i wewnętrznych. Takie MM charakteryzują się dużą efektywnością, jednak uzyskanie jednoznacznego wyrażenia możliwe jest tylko w określonych szczególnych przypadkach, z reguły przy przyjęciu istotnych założeń i ograniczeń, które zmniejszają dokładność i zawężają zakres adekwatności modelu.

Algorytmiczne MM wyrażają powiązania między parametrami wyjściowymi a parametrami wewnętrznymi i zewnętrznymi w formie algorytmu.

Imitacja MM to model algorytmiczny, który odzwierciedla zachowanie badanego obiektu w czasie, gdy określone są zewnętrzne wpływy na obiekt. Przykładami symulacyjnych MM są modele obiektów dynamicznych w postaci systemów ODE oraz modele systemów kolejkowych określone w postaci algorytmicznej.

Zwykle w modele symulacyjne pojawiają się zmienne fazowe. Zatem na poziomie makro modele symulacyjne są układami równań algebraiczno-różniczkowych:

Gdzie V- wektor zmiennych fazowych; T- czas; V o- wektor warunków początkowych. Przykłady zmiennych fazowych obejmują prądy i napięcia w układach elektrycznych, siły i prędkości w układach mechanicznych, ciśnienia i natężenia przepływu w układach hydraulicznych.

Parametry wyjściowe systemów mogą być dwojakiego rodzaju. Po pierwsze, są to parametry funkcjonalne, czyli funkcjonały zależności V( T) w przypadku zastosowania (1). Przykładowe takie parametry: amplitudy sygnałów, opóźnienia czasowe, moce rozpraszania itp. Po drugie, są to parametry charakteryzujące zdolność projektowanego obiektu do pracy w określonych warunkach zewnętrznych. Te parametry wyjściowe stanowią wartości graniczne zakresów zmiennych zewnętrznych, w których zachowana jest funkcjonalność obiektu.

Przy projektowaniu obiektów technicznych można wyróżnić dwie główne grupy procedur: analizę i syntezę. Synteza charakteryzuje się wykorzystaniem modeli strukturalnych, a analiza charakteryzuje się wykorzystaniem modeli funkcjonalnych. Matematyczne wsparcie analizy obejmuje modele matematyczne, metody numeryczne i algorytmy wykonywania procedur projektowych. Komponenty MO są określane za pomocą podstawowego aparatu matematycznego specyficznego dla każdego z hierarchicznych poziomów projektowania.

W CAD analiza odbywa się poprzez modelowanie matematyczne.

Modelowanie matematyczne- proces tworzenia modelu i obsługi go w celu uzyskania informacji o obiekcie rzeczywistym.

Modelowanie większości obiektów technicznych można wykonywać na poziomach mikro, makro i meta, różniących się stopniem szczegółowości uwzględnienia procesów zachodzących w obiekcie.

poziom mikro, zwany Rozpowszechniane, jest układem równań różniczkowych cząstkowych (PDDE), opisującym procesy w ośrodku ciągłym przy zadanych warunkach brzegowych. Zmiennymi niezależnymi są współrzędne przestrzenne i czas. Do modeli NA poziom mikro Obowiązuje wiele porównań z fizyki matematycznej. Przedmiotem badań są pola wielkości fizycznych, które są potrzebne przy analizie wytrzymałości konstrukcji budowlanych lub części inżynierskich, badaniu procesów w ośrodkach ciekłych, modelowaniu stężeń i przepływów cząstek w urządzeniach elektronicznych itp. Wykorzystując te równania, wyznacza się pola naprężeń mechanicznych i odkształcenia, obliczane są potencjały elektryczne, ciśnienie, temperatura itp. Możliwości wykorzystania MM w postaci PDE ograniczają się do pojedynczych części; próby analizy procesów w środowiskach wieloskładnikowych, jednostkach montażowych i obwodach elektronicznych za ich pomocą nie mogą zakończyć się sukcesem ze względu na nadmierny wzrost kosztu czasu i pamięci komputera.

Układ równań różniczkowych z reguły jest znany (równania Lame’a dla mechaniki ośrodków sprężystych; równania Naviera-Stokesa dla hydrauliki; równania ciepła dla termodynamiki itp.), ale jego dokładne rozwiązanie można uzyskać tylko w szczególnych przypadkach, więc pierwszy problem, który pojawia się podczas modelowania, polega na skonstruowaniu przybliżonego modelu dyskretnego. W tym celu stosuje się metody różnic skończonych oraz całkowe równania brzegowe, jednym z wariantów tych ostatnich jest metoda elementów brzegowych.

Liczba wspólnie badanych różnych środowisk (liczba części, warstw materiału, faz stanu agregacji) w praktycznie stosowanych modelach mikropoziomowych nie może być duża ze względu na trudności obliczeniowe. Jedynym sposobem na radykalne zmniejszenie kosztów obliczeniowych w środowiskach wieloskładnikowych jest przyjęcie innego podejścia do modelowania w oparciu o pewne założenia.

Założenie wyrażone dyskretyzacją przestrzeni pozwala przejść do modeli poziom makro, zwany Zskupiony. Model matematyczny obiektu technicznego na poziom makro jest układem równań algebraicznych i różniczkowych zwyczajnych (ODE) z określonymi warunkami początkowymi.

W tych równaniach zmienną niezależną jest czas T i wektor zmiennych zależnych V stanowią zmienne fazowe charakteryzujące stan powiększonych elementów dyskretnej przestrzeni. Do takich zmiennych należą siły i prędkości układów mechanicznych, napięcia i prądy układów elektrycznych, ciśnienia i natężenia przepływu układów hydraulicznych i pneumatycznych itp.

MM opiera się na równaniach składowych poszczególnych elementów oraz równaniach topologicznych, których postać wyznaczają połączenia pomiędzy elementami. Warunkiem stworzenia jednolitej analizy matematycznej i programowej na poziomie makro są analogie równań składowych i topologicznych fizycznie jednorodnych podsystemów tworzących obiekt techniczny. Do otrzymania równań topologicznych stosuje się metody formalne.

Główne metody pozyskiwania obiektów MM na poziomie makro to:

Metoda uogólniona

Metoda tabelaryczna

Metoda węzłowa

Metoda zmiennych stanu.

Metody różnią się między sobą rodzajem i wymiarem otrzymanego układu równań, sposobem dyskretyzacji równań składowych gałęzi reaktywnych oraz dopuszczalnymi typami gałęzi zależnych. Uproszczenie opisu poszczególnych komponentów (części) umożliwia badanie modeli procesów w urządzeniach, urządzeniach, zespołach mechanicznych, których liczba elementów może sięgać kilku tysięcy. W przypadku skomplikowanych obiektów technicznych wymiar MM staje się zbyt duży, a przy modelowaniu konieczne jest przejście na poziom meta.

NA poziom meta modelują głównie dwie kategorie obiektów technicznych: obiekty będące przedmiotem badań w teorii automatyki oraz obiekty będące przedmiotem teorii kolejkowania. Dla pierwszej kategorii obiektów możliwe jest zastosowanie aparatu matematycznego na poziomie makro, dla drugiej kategorii obiektów stosuje się metody modelowania zdarzeń.

Gdy liczba elementów badanego systemu przekroczy pewien próg, złożoność modelu systemu na poziomie makro ponownie staje się nadmierna. Po przyjęciu odpowiednich założeń przechodzimy dalej funkcjonalno-logiczne poziom, na którym do badania procesów analogowych (ciągłych) wykorzystuje się aparat funkcji przenoszenia lub aparat logiki matematycznej i maszyn skończonych, jeżeli przedmiotem badań jest proces dyskretny.

Do badania obiektów jeszcze bardziej złożonych (przedsiębiorstwa produkcyjne i ich stowarzyszenia, systemy i sieci komputerowe, systemy społeczne itp.) wykorzystuje się aparat teorii kolejkowania, można także zastosować inne podejścia, na przykład sieci Petriego. Te modele należą do systemowe poziom modelowania.

Do klasyfikacji modeli matematycznych można podejść także z różnych punktów widzenia, opierając klasyfikację na różnych zasadach (patrz tabela 20.1).

według gałęzi nauki : modele matematyczne w fizyce, biologii, socjologii itp. Taka klasyfikacja jest naturalna dla specjalisty z jednej nauki lub dziedziny.

Modele można klasyfikować zgodnie z zastosowanym aparatem matematycznym : modele oparte na zastosowaniu równań różniczkowych zwyczajnych, równań różniczkowych cząstkowych, metod probabilistyczno-statystycznych, dyskretnych przekształceń algebraicznych itp. Taka klasyfikacja jest wygodna dla specjalisty w dziedzinie modelowania matematycznego.

W zależności z celów modelarskich Można podać następującą klasyfikację:

· modele opisowe (opisowe);

· modele optymalizacji jednokryterialnej;

· optymalizacja modeli wielokryterialnych;

· modele gier;

· modele symulacyjne.

Na przykład, modelując ruch komety w Układzie Słonecznym, opisuje się (przewiduje) trajektorię jej lotu, odległość, na jaką minie ona od Ziemi itp., czyli wyznacza się cele czysto opisowe. Badacz nie ma możliwości wpływania na ruch komety ani czegokolwiek zmieniać.

W innych przypadkach możesz wpływać na procesy, próbując osiągnąć jakiś cel.

Na przykład, Zmieniając asortyment produktów wytwarzanych przez przedsiębiorstwo oraz wielkość produkcji każdego rodzaju produktu, można znaleźć wartości, przy których osiągany jest maksymalny zysk, tj. optymalny plan produkcji ustalany jest według kryterium maksymalizacji zysku.

Często trzeba znaleźć optymalne rozwiązanie problemu w oparciu o kilka kryteriów jednocześnie, a cele mogą być bardzo sprzeczne.

Na przykład, znając ceny żywności i zapotrzebowanie człowieka na żywność, ustalić dietę dużych grup ludzi (w wojsku, na obozach letnich itp.), która jest najtańsza i najbardziej pożywna. Oczywistym jest, że cele te mogą być ze sobą sprzeczne i konieczne jest znalezienie rozwiązania kompromisowego, które w pewnym stopniu spełni wszystkie kryteria.

Modele gier można odnosić nie tylko do gier dziecięcych (w tym komputerowych), ale także do rzeczy bardzo poważnych.

Na przykład, Przed bitwą, w obliczu niepełnych informacji o armii przeciwnika, dowódca musi opracować plan: w jakiej kolejności wprowadzić do bitwy określone jednostki itp., biorąc pod uwagę możliwą reakcję wroga.

Wreszcie zdarza się, że model w dużym stopniu imituje proces rzeczywisty, tj. naśladuje go.

Na przykład, Modelując zmianę (dynamikę) liczby mikroorganizmów w kolonii, można uwzględnić wiele pojedynczych obiektów i monitorować losy każdego z nich, stawiając określone warunki jego przetrwania, rozmnażania itp. W takim przypadku nie można zastosować jednoznacznego opisu matematycznego procesu, zastępując go pewnymi warunkami (np. po upływie określonego czasu mikroorganizm dzieli się na dwie części, a w drugim okresie umiera).

Obecnie modelowanie znajduje szerokie zastosowanie w zarządzaniu różnymi systemami, gdzie głównymi procesami jest podejmowanie decyzji na podstawie otrzymanych informacji. Modelowanie jest wykorzystywane w badaniach, projektowaniu i wdrażaniu systemów komputerowych (CS) i zautomatyzowanych systemów sterowania (ACS).

Wybór modelu matematycznego zależy od etapu rozwoju systemu. Na etapach badania obiektu kontrolnego (na przykład przedsiębiorstwa przemysłowego) i opracowywania specyfikacji technicznych dotyczących projektu statku powietrznego, zautomatyzowanego systemu sterowania, budowane są modele opisowe, a celem jest jak najpełniejsze przedstawienie informacji w zwartej formie o obiekcie niezbędnym dla programisty systemu.

Na etapie opracowywania projektu technicznego statku powietrznego zautomatyzowany system sterowania, modelowanie służy rozwiązaniu problemu projektowego, tj. wybór opcji optymalnej według określonego kryterium lub zestawu kryteriów przy danych ograniczeniach ze zbioru dopuszczalnych (budowa jednokryterialnych i wielokryterialnych modeli optymalizacyjnych).

Na etapie wdrażania i eksploatacji statków powietrznych oraz systemów zautomatyzowanego sterowania budowane są modele symulacyjne mające na celu odtworzenie możliwych sytuacji w celu podejmowania świadomych i obiecujących decyzji dotyczących zarządzania obiektem. Modele gier i symulacji są również szeroko stosowane w nauczaniu i szkoleniu personelu.

W zależności od charakteru badanych procesów , występujące w systemie (obiekcie), wszystkie typy modeli można podzielić na deterministyczne i stochastyczne, statyczne i dynamiczne, dyskretne, ciągłe i dyskretno-ciągłe.

Model deterministyczny wyświetla procesy deterministyczne, tj. procesów, w których zakłada się brak jakichkolwiek wpływów przypadkowych. W modelach deterministycznych parametry wejściowe można mierzyć jednoznacznie i z dowolną dokładnością, tj. są wielkościami deterministycznymi. W związku z tym określa się proces ewolucji takiego układu.

Na przykład, modele deterministyczne wykorzystywane są w fizyce (model ruchu samochodu w ruchu jednostajnie przyspieszonym: wyznaczając prędkość początkową i przyspieszenie, można dokładnie obliczyć drogę przebytą przez samochód od chwili, gdy zaczął się poruszać w warunkach idealnych); modele są również używane do opisu ruchu ciał niebieskich w astronomii.

Modele stochastyczne (teorii prawdopodobieństwa). służą do wyświetlania probabilistycznych procesów i zdarzeń. W tym przypadku analizuje się liczbę realizacji procesu losowego i szacuje się średnie charakterystyki. W modelach stochastycznych wartości parametrów wejściowych (zmiennych) znane są tylko z pewnym stopniem prawdopodobieństwa, tj. parametry te są stochastyczne; W związku z tym proces ewolucji systemu będzie losowy.

Na przykład, model opisujący zmiany temperatury powietrza w ciągu roku. Nie da się dokładnie przewidzieć temperatury powietrza w przyszłym okresie; podaje się jedynie zakres zmian temperatury i prawdopodobieństwo, że rzeczywista temperatura powietrza będzie mieściła się w tym zakresie.

Modele stochastyczne służą do badania układu, którego stan zależy nie tylko od wpływów kontrolowanych, ale także od niekontrolowanych, lub gdy występuje w nim źródło losowości. Systemy stochastyczne obejmują wszystkie systemy obejmujące ludzi, na przykład fabryki, lotniska, systemy i sieci komputerowe, sklepy, usługi konsumenckie itp.

Modele statyczne służą do opisu zachowania obiektu w dowolnym momencie, oraz modele dynamiczne odzwierciedlają zachowanie obiektu w czasie.

Na przykład, model probabilistyczno-statystyczny opisujący związek między rocznymi wskaźnikami wyników (zysk, wielkość produkcji, fundusz płac itp.) nowosybirskich przedsiębiorstw handlowych w ciągu ostatniego roku - statyczny. Jako dane wyjściowe do modelowania wykorzystuje się wskaźniki roczne za jeden rok, na przykład dla 100 przedsiębiorstw handlowych.

Jeśli rozwiązuje się ten sam problem, ale wskaźniki bada się przez kilka lat, do opisu zależności należy zastosować modele dynamiczne. W opisie matematycznym modelu dynamicznego zmienna czasu występuje zawsze, w opisie matematycznym modelu statycznego czas albo nie jest wprowadzony, albo jest ustalony na pewnym poziomie.

Dyskretne modele służą do opisu procesów, które z założenia są dyskretne modele ciągłe pozwalają odzwierciedlić ciągłe procesy w systemach, oraz symulacja dyskretno-ciągła używane w przypadkach, gdy chcą podkreślić obecność zarówno procesów dyskretnych, jak i ciągłych.

Na przykład, Modeluje się działanie filtru różniczkującego: w każdym kroku czasowym w równych odstępach czasu podawany jest sygnał wejściowy X(t); na wyjściu przyjmuje się wartość pochodnej X"(t). W tym przypadku na wejściu i sygnały wyjściowe są dyskretne w czasie i dlatego model jest dyskretny.

Przykład ciągły model czasu – model symulacyjny opisujący proces obróbki części w obszarze produkcyjnym warsztatu w trakcie zmiany roboczej. Wejście modelu odbiera żądania (części) w losowych odstępach czasu, a interwał przetwarzania części jest również ustawiany losowo. Wynikiem modelu jest oszacowanie średniego czasu przetwarzania części, oszacowanie średniego czasu oczekiwania w kolejce do przetwarzania, prawdopodobieństwo przestoju sprzętu itp. Symulowana jest praca systemu w sposób ciągły przez zadany okres czasu (zmiana robocza), tj. W każdej chwili część może dotrzeć do obróbki lub obróbka części może zostać zakończona.

Model matematyczny jest uproszczeniem sytuacji rzeczywistej i jest abstrakcyjnym, formalnie opisanym obiektem, którego badanie możliwe jest przy użyciu różnych metod matematycznych.

Rozważmy klasyfikacja modeli matematycznych.

Modele matematyczne dzielą się na:

1. W zależności od charakteru wyświetlanych właściwości obiektu:

· funkcjonalny;

· strukturalny.

Funkcjonalne modele matematyczne przeznaczone są do wyświetlania procesów informacyjnych, fizycznych, czasowych zachodzących w pracujących urządzeniach, podczas procesów technologicznych itp.

Zatem, modele funkcjonalne- ukazać procesy funkcjonowania obiektu. Najczęściej mają one postać układu równań.

Modele strukturalne- potrafi przyjmować postać macierzy, wykresów, list wektorów i wyrażać względne położenie elementów w przestrzeni. Modele te są zwykle stosowane w przypadkach, gdy można formułować i rozwiązywać problemy syntezy strukturalnej, abstrahując od procesów fizycznych zachodzących w obiekcie. Odzwierciedlają one właściwości konstrukcyjne projektowanego obiektu.

Aby uzyskać statyczną reprezentację modelowanego obiektu, stosuje się grupę metod tzw modele schematyczne - są to metody analityczne, które obejmują graficzną reprezentację działania systemu. Na przykład schematy blokowe, diagramy, diagramy operacji wielofunkcyjnych i schematy blokowe.

2. Metodami otrzymywania funkcjonalnych modeli matematycznych:

· teoretyczny;

· formalny;

· empiryczny.

Teoretyczny uzyskuje się na podstawie badania praw fizycznych. Struktura równań i parametrów modeli ma pewną interpretację fizyczną.

Formalny uzyskiwane są na podstawie manifestacji właściwości modelowanego obiektu w środowisku zewnętrznym, tj. traktowanie obiektu jako cybernetycznej „czarnej skrzynki”.

Podejście teoretyczne pozwala uzyskać bardziej uniwersalne modele, które obowiązują dla szerszych zakresów zmian parametrów zewnętrznych.

Formalne - dokładniejsze w punkcie przestrzeni parametrów, w którym dokonano pomiarów.

Empiryczne modele matematyczne powstają w wyniku prowadzenia eksperymentów (badanie zewnętrznych przejawów właściwości obiektu poprzez pomiar jego parametrów na wejściu i wyjściu) i przetwarzania ich wyników za pomocą metod statystyki matematycznej.

3. W zależności od liniowości i nieliniowości równań:

· liniowy;

· nieliniowy.

4. W zależności od zbioru dziedzin i wartości zmiennych modelu wyróżnia się:

· ciągły

· oddzielny (dziedziny definicji i wartości są ciągłe);

· ciągła-dyskretna (dziedzina definicji jest ciągła, a zakres wartości dyskretny). Modele te są czasami nazywane skwantowanymi;

· dyskretno-ciągły (dziedzina definicji jest dyskretna, a zakres wartości jest ciągły). Modele te nazywane są dyskretnymi;

· cyfrowy (dziedziny definicji i wartości są dyskretne)

5. Według formy powiązań między parametrami wyjściowymi, wewnętrznymi i zewnętrznymi:

· algorytmiczny;

· analityczny;

· liczbowy.

Algorytmiczne nazywane są modelami przedstawionymi w postaci algorytmów, które opisują sekwencję jednoznacznie zinterpretowanych operacji wykonywanych w celu uzyskania pożądanego rezultatu.

Algorytmiczne modele matematyczne ekspresyjne powiązania parametrów wyjściowych z parametrami wejściowymi i wewnętrznymi w postaci algorytmu.

Analityczne modele matematyczne to sformalizowany opis obiektu (zjawiska, procesu), który reprezentuje jawne wyrażenia matematyczne parametrów wyjściowych jako funkcje parametrów wejściowych i wewnętrznych.

Modelowanie analityczne polega na pośrednim opisie modelowanego obiektu za pomocą zestawu wzorów matematycznych. Język opisu analitycznego zawiera następujące główne grupy elementów semantycznych: kryterium (kryteria), niewiadome, dane, działania matematyczne, ograniczenia. Najważniejszą cechą modeli analitycznych jest to, że model nie jest strukturalnie podobny do modelowanego obiektu. Podobieństwo strukturalne odnosi się tu do jednoznacznej zgodności elementów i powiązań modelu z elementami i powiązaniami modelowanego obiektu. Do modeli analitycznych zalicza się modele zbudowane w oparciu o programowanie matematyczne, analizę korelacji i regresji. Model analityczny jest zawsze konstrukcją, którą można przeanalizować i rozwiązać matematycznie. Jeśli więc stosuje się matematyczny aparat do programowania, model składa się zasadniczo z funkcji celu i systemu ograniczeń zmiennych. Funkcja celu z reguły wyraża charakterystykę obiektu (systemu), który należy obliczyć lub zoptymalizować. W szczególności może to być wydajność układu technologicznego. Zmienne wyrażają charakterystykę techniczną obiektu (systemu), w tym zmienne, ograniczenia – ich dopuszczalne wartości graniczne.

Modele analityczne są skutecznym narzędziem do rozwiązywania problemów optymalizacji procesów zachodzących w układach technologicznych, a także optymalizacji i obliczania charakterystyk samych układów technologicznych.

Ważnym punktem jest wymiar konkretnego modelu analitycznego. Często w przypadku rzeczywistych układów technologicznych (linie zautomatyzowane, elastyczne systemy produkcyjne) wymiary ich modeli analitycznych są na tyle duże, że uzyskanie optymalnego rozwiązania okazuje się bardzo trudne z obliczeniowego punktu widzenia. Aby zwiększyć wydajność obliczeniową w tym przypadku stosuje się różne techniki. Jedna z nich polega na podzieleniu problemu wielkowymiarowego na podzadania o mniejszym wymiarze, tak aby autonomiczne rozwiązania podproblemów w określonej kolejności zapewniły rozwiązanie problemu głównego. W takim przypadku pojawiają się problemy w organizacji interakcji podzadań, które nie zawsze są proste. Inna technika polega na zmniejszeniu dokładności obliczeń, a tym samym skróceniu czasu potrzebnego na rozwiązanie problemu.

Model analityczny można badać następującymi metodami:

· analityczne, gdy dążą do uzyskania w ujęciu ogólnym zależności dla pożądanych cech;

· numeryczne, gdy dążą do uzyskania wyników numerycznych przy określonych danych wyjściowych;

· jakościowy, gdy mając rozwiązania w postaci jawnej, można znaleźć pewne właściwości rozwiązania (ocenić stabilność rozwiązania).

Modelowanie analityczne daje jednak dobre rezultaty w przypadku dość prostych systemów. W przypadku układów złożonych wymagane jest albo znaczne uproszczenie modelu wyjściowego, aby poznać przynajmniej ogólne właściwości układu. Pozwala to uzyskać przybliżone wyniki, a w celu ustalenia dokładniejszych szacunków zastosować inne metody, np. modelowanie symulacyjne.

Model numeryczny charakteryzuje się zależnością tego typu, która pozwala jedynie na rozwiązania otrzymane metodami numerycznymi dla określonych warunków początkowych i parametrów ilościowych modeli.

6. W zależności od tego, czy równania modelu uwzględniają bezwładność procesów zachodzących w obiekcie, czy też nie uwzględniają:

· dynamiczny Lub modele inercyjne(zapisane w formie równań różniczkowych lub całkowo-różniczkowych lub układów równań) ;

· statyczny Lub modele nieinercyjne(zapisane w postaci równań algebraicznych lub układów równań algebraicznych).

7. W zależności od obecności lub braku niepewności oraz rodzaju niepewności modelami są:

· deterministyczny e (brak niepewności);

· stochastyczny (występują niepewności w postaci zmiennych losowych lub procesów opisanych metodami statystycznymi w postaci praw lub funkcjonałów rozkładu, a także charakterystyk numerycznych);

· zamazany (do opisu niepewności wykorzystuje się aparat teorii zbiorów rozmytych);

· łączny (występują oba rodzaje niepewności).

W ogólnym przypadku rodzaj modelu matematycznego zależy nie tylko od charakteru rzeczywistego obiektu, ale także od problemów, dla których jest tworzony, i wymaganej dokładności ich rozwiązania

Główne typy modeli przedstawiono na rysunku 2.5.

Rozważmy inną klasyfikację modeli matematycznych. Klasyfikacja ta opiera się na koncepcji sterowalności obiektu sterującego. Warunkowo podzielimy wszystkie MM na cztery grupy.1. Modele prognostyczne (modele obliczeniowe bez kontroli). Można je podzielić na statyczny I dynamiczny.Głównym celem tych modeli jest poznanie stanu początkowego i informacja o zachowaniu się na granicy, aby dać prognozę zachowania się układu w czasie i przestrzeni. Modele takie mogą mieć także charakter stochastyczny. Z reguły modele prognostyczne opisywane są równaniami algebraicznymi, przestępnymi, różniczkowymi, całkowymi, całkowo-różniczkowymi i nierównościami. Przykłady obejmują modele dystrybucji ciepła, pola elektrycznego, kinetyki chemicznej, hydrodynamiki, aerodynamiki itp. 2.Modele optymalizacyjne. Modele te można również podzielić na statyczny I dynamiczny. Modele statyczne wykorzystywane są na poziomie projektowania różnych układów technologicznych. Dynamiczny - zarówno na poziomie projektowania, jak i przede wszystkim dla optymalnego sterowania różnymi procesami - technologicznymi, ekonomicznymi itp. Problemy optymalizacyjne mają dwa kierunki. Pierwsza zawiera zadania deterministyczne. Wszystkie zawarte w nich informacje wejściowe są całkowicie możliwe do ustalenia. Drugi kierunek dotyczy procesy stochastyczne. W tych problemach niektóre parametry są losowe lub zawierają element niepewności. Na przykład wiele problemów optymalizacyjnych dla urządzeń automatycznych zawiera parametry w postaci szumu losowego z pewnymi cechami probabilistycznymi. Metody znajdowania ekstremum funkcji wielu zmiennych z różnymi ograniczeniami nazywane są często metodami programowania matematycznego. Problemy programowania matematycznego są jednym z ważnych problemów optymalizacyjnych. W programowaniu matematycznym wyróżnia się następujące główne sekcje.· Programowanie liniowe . Funkcja celu jest liniowa, a zbiór, na którym szuka się ekstremum funkcji celu, jest określony przez układ liniowych równości i nierówności.· Programowanie nieliniowe . Nieliniowa funkcja celu i więzy nieliniowe.· Programowanie wypukłe . Funkcja celu jest wypukła i jest zbiorem, na którym rozwiązano problem ekstremalny.· Programowanie kwadratowe . Funkcja celu jest kwadratowa, a ograniczenia są liniowe.· Problemy wieloekstremalne. Zagadnienia, w których funkcja celu ma kilka ekstremów lokalnych. Zadania takie wydają się bardzo problematyczne.· Programowanie całkowite. W takich problemach na zmienne nakładane są warunki całkowite.

Ryż. 4.8. Klasyfikacja modeli matematycznych

Z reguły metody klasycznej analizy służące do znajdowania ekstremum funkcji kilku zmiennych nie mają zastosowania do problemów programowania matematycznego. Modele teorii optymalnego sterowania należą do najważniejszych w modelach optymalizacyjnych. Matematyczna teoria sterowania optymalnego jest jedną z teorii mających istotne zastosowania praktyczne, głównie w zakresie optymalnego sterowania procesami. Istnieją trzy typy modeli matematycznych teorii optymalnego sterowania.· Dyskretne optymalne modele sterowania. Tradycyjnie takie modele nazywane są modelami programowania dynamicznego, ponieważ główną metodą rozwiązywania takich problemów jest metoda programowania dynamicznego Bellmana.· Ciągłe modele optymalnego sterowania układami o parametrach skupionych (opisane równaniami pochodnymi zwyczajnymi).· Ciągłe modele optymalnego sterowania układami o parametrach rozłożonych (opisane cząstkowymi równaniami różniczkowymi).3. Modele cybernetyczne (gra). Do analizy sytuacji konfliktowych wykorzystuje się modele cybernetyczne. Zakłada się, że proces dynamiczny wyznaczany jest przez kilka podmiotów, które dysponują kilkoma parametrami kontrolnymi. Z systemem cybernetycznym związana jest cała grupa podmiotów mających własne zainteresowania. 4. Modelowanie symulacyjne . Opisane powyżej typy modeli nie obejmują dużej liczby różnych sytuacji, np. takich, które można w pełni sformalizować. Aby zbadać takie procesy, konieczne jest uwzględnienie w modelu matematycznym funkcjonującego elementu „biologicznego” – osoby. W takich sytuacjach stosuje się modelowanie symulacyjne, metody badań i procedury informacyjne.