Fonksiyonu keşfedin ve şematik bir grafiğini oluşturun. Fonksiyon çalışması örneğini çevrimiçi olarak tamamlayın

Alçı
29.09.2019

Talimatlar

Fonksiyonun tanım kümesini bulun. Örneğin, sin(x) fonksiyonu -∞'dan +∞'a kadar olan aralığın tamamında tanımlanır ve 1/x fonksiyonu, x = 0 noktası hariç, -∞'dan +∞'a kadar tanımlanır.

Süreklilik alanlarını ve süreksizlik noktalarını belirleyin. Tipik olarak bir fonksiyon tanımlandığı bölgede süreklidir. Süreksizlikleri tespit etmek için, argüman tanım alanı içindeki yalıtılmış noktalara yaklaşırken hesaplama yapılması gerekir. Örneğin, 1/x fonksiyonu x→0+ olduğunda sonsuza, x→0- olduğunda eksi sonsuza yönelir. Bu, x = 0 noktasında ikinci türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.
Süreksizlik noktasındaki limitler sonlu fakat eşit değilse bu birinci türden bir süreksizliktir. Eşit olmaları durumunda, yalıtılmış bir noktada tanımlanmamış olmasına rağmen fonksiyon sürekli olarak kabul edilir.

Varsa dikey asimptotları bulun. Dikey asimptot neredeyse her zaman ikinci türün süreksizlik noktasında bulunduğundan, önceki adımdaki hesaplamalar burada size yardımcı olacaktır. Bununla birlikte, bazen tanım alanından hariç tutulan tek tek noktalar değil, noktaların tüm aralıklarıdır ve daha sonra dikey asimptotlar bu aralıkların kenarlarına yerleştirilebilir.

Fonksiyonun olup olmadığını kontrol edin özel özellikler: çift, tek ve periyodiklik.
f(x) = f(-x) tanım kümesindeki herhangi bir x için fonksiyon çift olacaktır. Örneğin cos(x) ve x^2 - eşit işlevler.

Periyodiklik, herhangi bir x f(x) = f(x + T) için periyot adı verilen belirli bir T sayısının bulunduğunu söyleyen bir özelliktir. Örneğin, tüm ana trigonometrik fonksiyonlar(sinüs, kosinüs, teğet) - periyodik.

Noktaları bulun. Bunu yapmak için, verilen fonksiyonun türevini hesaplayın ve x'in sıfır olduğu değerleri bulun. Örneğin, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 fonksiyonunun g(x) = 3x^2 + 18x türevi vardır ve bu, x = 0 ve x = -6'da sıfırdır.

Hangi uç noktaların maksimum, hangilerinin minimum olduğunu belirlemek için bulunan sıfırlarda türevin işaretlerindeki değişimi izleyin. g(x), x = -6 noktasında artıdan işaretini değiştirir ve x = 0 noktasında eksiden artıya döner. Sonuç olarak, f(x) fonksiyonunun birinci noktada minimumu, ikinci noktasında minimumu vardır.

Böylece monotonluk bölgelerini de buldunuz: f(x) -∞;-6 aralığında monoton olarak artar, -6;0'da monoton olarak azalır ve 0;+∞'da tekrar artar.

İkinci türevi bulun. Kökleri, belirli bir fonksiyonun grafiğinin nerede dışbükey ve nerede içbükey olacağını gösterecektir. Örneğin f(x) fonksiyonunun ikinci türevi h(x) = 6x + 18 olacaktır. x = -3'te işareti eksiden artıya değiştirerek sıfıra gider. Sonuç olarak, f(x)'in grafiği bu noktadan önce dışbükey, sonra içbükey olacak ve bu noktanın kendisi de bir dönüm noktası olacaktır.

Bir fonksiyonun dikey asimptotların yanı sıra başka asimptotları da olabilir, ancak bu ancak tanım kümesinin . Bunları bulmak için x→∞ veya x→-∞ olduğunda f(x)'in limitini hesaplayın. Eğer sonlu ise yatay asimptotu bulmuş olursunuz.

Eğik asimptot kx + b formundaki düz bir çizgidir. K'yı bulmak için f(x)/x'in limitini x→∞ olarak hesaplayın. Aynı x→∞ için b - sınırını (f(x) – kx) bulmak için.

Fonksiyonu tam olarak incelemek ve grafiğini çizmek için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1) fonksiyonun tanım kümesini bulun;

2) fonksiyonun süreksizlik noktalarını ve dikey asimptotları (varsa) bulun;

3) fonksiyonun sonsuzdaki davranışını araştırın, yatay ve eğik asimptotları bulun;

4) fonksiyonu parite (tuhaflık) ve periyodiklik (trigonometrik fonksiyonlar için) açısından inceleyin;

5) fonksiyonun monotonluğunun ekstremumlarını ve aralıklarını bulun;

6) dışbükeylik aralıklarını ve bükülme noktalarını belirler;

7) Koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve mümkünse grafiği netleştiren bazı ek noktaları bulun.

Fonksiyonun çalışması grafiğinin oluşturulmasıyla eş zamanlı olarak gerçekleştirilir.

Örnek 9 Fonksiyonu keşfedin ve bir grafik oluşturun.

1. Tanımın kapsamı: ;

2. Fonksiyon bazı noktalarda süreksizlikten zarar görmektedir
,
;

Fonksiyonu dikey asimptotların varlığı açısından inceliyoruz.

;
,
─ dikey asimptot.

;
,
─ dikey asimptot.

3. Fonksiyonu eğik ve yatay asimptotların varlığı açısından inceliyoruz.

Dümdüz
─ eğik asimptot, eğer
,
.

,
.

Dümdüz
─ yatay asimptot.

4. Fonksiyon çifttir çünkü
.

Fonksiyonun paritesi, grafiğin ordinat eksenine göre simetrisini gösterir.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremumlarını bulun.
;
Kritik noktaları bulalım, yani. Türevin 0 olduğu veya bulunmadığı noktalar:
;

. Üç puanımız var . Bu noktalar gerçek eksenin tamamını dört aralığa böler. İşaretleri tanımlayalım

her birinin üzerinde.
(-∞; -1) ve (-1; 0) aralıklarında fonksiyon artar, (0; 1) ve (1; +∞) ─ aralıklarında ise azalır. Bir noktadan geçerken
.

türevin işareti artıdan eksiye değişir, dolayısıyla bu noktada fonksiyonun maksimumu vardır

6. Dışbükeylik ve bükülme noktalarının aralıklarını bulun. Hangi noktaları bulalım

0'dır veya mevcut değildir.
,
,

gerçek kökleri yoktur.
Puanlar
Ve gerçek ekseni üç aralığa bölün. İşareti tanımlayalım

her aralıkta.
Böylece aralıklardaki eğri
Ve
Puanlar
aşağı doğru dışbükey, (-1;1) aralığında yukarıya doğru dışbükey; fonksiyon noktalarda olduğundan bükülme noktaları yoktur

tanımlanmadı.

7. Eksenler ile kesişme noktalarını bulun.
Akslı
fonksiyonun grafiği (0; -1) noktasında ve eksenle kesişir

grafik kesişmiyor çünkü bu fonksiyonun payının gerçek kökleri yoktur.

Verilen fonksiyonun grafiği Şekil 1’de gösterilmektedir.

Şekil 1 ─ Fonksiyon grafiği

Türev kavramının ekonomide uygulanması. Esneklik fonksiyonu

Ekonomik süreçleri incelemek ve diğer uygulamalı problemleri çözmek için bir fonksiyonun esnekliği kavramı sıklıkla kullanılır. Tanım.
Esneklik fonksiyonu fonksiyonun bağıl artış oranının limiti denir değişkenin göreceli artışına
en

, . (VII)
Bir fonksiyonun esnekliği, fonksiyonun yaklaşık olarak yüzde kaç oranında değişeceğini gösterir bağımsız değişken değiştiğinde

%1 oranında.
Talep ve tüketim analizinde esneklik fonksiyonu kullanılmaktadır. Talebin esnekliği (mutlak değer olarak) ise
o zaman talep esnek kabul edilir, eğer
─ nötr ise

─ fiyata (veya gelire) göre esnek değildir.Örnek 10
Fonksiyonun esnekliğini hesaplayın = 3.

ve esneklik endeksinin değerini bulun.

Çözüm: Formül (VII)'ye göre fonksiyonun esnekliği:
x=3 olsun, o zaman

.Bağımsız değişkenin %1 oranında artması durumunda bağımlı değişkenin değerinin %1,42 oranında artacağı anlamına gelmektedir.Örnek 11 Talep fonksiyonuna izin verin fiyatla ilgili
benziyor , Nerede

─ sabit katsayı. Talep fonksiyonunun esneklik göstergesinin x = 3 den fiyatındaki değerini bulun. birimler

Çözüm: talep fonksiyonunun esnekliğini formül (VII) kullanarak hesaplayın
İnanmak
para birimleri elde ederiz
para birimleri Fiyattaki %1'lik bir artış talepte %6'lık bir düşüşe neden olacaktır; talep esnektir.

Sorun, f (x) = x 2 4 x 2 - 1 fonksiyonunun grafiğinin yapısıyla birlikte tam olarak incelenmesini gerektiriyorsa, bu prensibi ayrıntılı olarak ele alacağız.

Bu tip bir problemi çözmek için ana problemin özelliklerini ve grafiklerini kullanmalısınız. temel işlevler. Araştırma algoritması aşağıdaki adımları içerir:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tanımın alanını bulma

Fonksiyon tanımı alanında araştırma yapıldığı için bu adımla başlamak gerekir.

Örnek 1

Verilen örnek, paydanın sıfırlarını ODZ'den hariç tutmak için bulmayı içerir.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Sonuç olarak kökleri, logaritmaları vb. elde edebilirsiniz. Daha sonra ODZ, g (x) ≥ 0 eşitsizliği ile g (x) 4 türünde çift dereceli bir kök için, g (x) > 0 eşitsizliği ile logaritma log a g (x) için aranabilir.

ODZ'nin sınırlarını incelemek ve dikey asimptotları bulmak

Bu noktalardaki tek taraflı limitler sonsuz olduğunda, fonksiyonun sınırlarında dikey asimptotlar vardır.

Örnek 2

Örneğin, sınır noktalarını x = ± 1 2'ye eşit olarak düşünün.

Daha sonra tek taraflı limiti bulmak için fonksiyonu incelemek gerekir. O zaman şunu elde ederiz: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Bu, tek taraflı sınırların sonsuz olduğunu gösterir; bu, x = ± 1 2 düz çizgilerinin grafiğin dikey asimptotları olduğu anlamına gelir.

Bir fonksiyonun incelenmesi ve onun çift mi yoksa tek mi olduğu

y (- x) = y (x) koşulu sağlandığında fonksiyon çift kabul edilir. Bu, grafiğin Oy'a göre simetrik olarak yerleştirildiğini göstermektedir. y (- x) = - y (x) koşulu karşılandığında, fonksiyon tek olarak kabul edilir. Bu, simetrinin koordinatların kökenine göre olduğu anlamına gelir. En az bir eşitsizlik sağlanmazsa genel formda bir fonksiyon elde ederiz.

y (- x) = y (x) eşitliği fonksiyonun çift olduğunu gösterir. İnşa ederken Oy'a göre simetri olacağını dikkate almak gerekir.

Eşitsizliği çözmek için sırasıyla f " (x) ≥ 0 ve f " (x) ≤ 0 koşullarıyla artan ve azalan aralıklar kullanılır.

Tanım 1

Sabit noktalar- bunlar türevi sıfıra çeviren noktalardır.

Kritik noktalar- bunlar, fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı tanım bölgesinden gelen iç noktalardır.

Karar verirken aşağıdaki notlar dikkate alınmalıdır:

  • f " (x) > 0 formundaki artan ve azalan eşitsizliklerin mevcut aralıkları için kritik noktalar çözüme dahil edilmez;
  • fonksiyonun sonlu türevi olmadan tanımlandığı noktalar artan ve azalan aralıklara dahil edilmelidir (örneğin y = x 3, burada x = 0 noktası fonksiyonu tanımlı yapar, türev bu noktada sonsuz değerine sahiptir) nokta, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 artan aralığa dahildir);
  • Anlaşmazlıkları önlemek için Milli Eğitim Bakanlığı tarafından önerilen matematik literatürünün kullanılması tavsiye edilir.

Kritik noktaların, fonksiyonun tanım tanım kümesini karşılamaları durumunda, artan ve azalan aralıklara dahil edilmesi.

Tanım 2

İçin Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için bulunması gerekir:

  • türev;
  • kritik noktalar;
  • kritik noktaları kullanarak tanım alanını aralıklara bölmek;
  • +'nın bir artış ve -'nin bir azalma olduğu aralıkların her biri için türevin işaretini belirleyin.

Örnek 3

f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) tanım kümesindeki türevi bulun 1) 2 .

Çözüm

Çözmek için ihtiyacınız olan:

  • bulmak sabit noktalar bu örnekte x = 0;
  • paydanın sıfırlarını bulun, örnek x = ± 1 2'de sıfır değerini alır.

Her aralığın türevini belirlemek için sayı eksenine noktalar yerleştiririz. Bunun için aralıktan herhangi bir noktayı alıp hesaplama yapmak yeterlidir. Sonuç pozitif ise grafikte + işareti gösteririz, bu fonksiyonun arttığını, - ise azaldığını gösterir.

Örneğin, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, bu da soldaki ilk aralığın + işaretine sahip olduğu anlamına gelir. Sayı doğrusu üzerinde düşünün.

Cevap:

  • fonksiyon - ∞ aralığında artar; - 1 2 ve (- 1 2 ; 0 ] ;
  • [ 0 ; 1 2) ve 1 2; + ∞ .

Diyagramda + ve - kullanılarak fonksiyonun pozitifliği ve negatifliği gösterilir, oklar ise azalma ve artışı gösterir.

Bir fonksiyonun ekstrem noktaları, fonksiyonun tanımlandığı ve türevin işaret değiştirdiği noktalardır.

Örnek 4

X = 0 olan bir örneği ele alırsak, o zaman içindeki fonksiyonun değeri f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0'a eşittir. Türevin işareti +'dan -'ye değiştiğinde ve x = 0 noktasından geçtiğinde, koordinatları (0; 0) olan nokta maksimum nokta olarak kabul edilir. İşaret -'den +'ya değiştiğinde minimum bir puan elde ederiz.

Dışbükeylik ve içbükeylik, f "" (x) ≥ 0 ve f "" (x) ≤ 0 formundaki eşitsizliklerin çözülmesiyle belirlenir. Daha az yaygın olarak kullanılan ad, içbükeylik yerine dışbükeylik ve dışbükeylik yerine dışbükeylik adıdır.

Tanım 3

İçin içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarının belirlenmesi gerekli:

  • ikinci türevi bulun;
  • ikinci türev fonksiyonunun sıfırlarını bulun;
  • tanım alanını görünen noktalarla aralıklara bölün;
  • aralığın işaretini belirleyiniz.

Örnek 5

Tanım alanından ikinci türevi bulun.

Çözüm

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Pay ve paydanın sıfırlarını buluyoruz; örneğimizde paydanın sıfırları x = ± 1 2

Şimdi sayı doğrusu üzerindeki noktaları çizmeniz ve her aralığın ikinci türevinin işaretini belirlemeniz gerekiyor. Bunu anlıyoruz

Cevap:

  • fonksiyon - 1 2 aralığından dışbükeydir; 1 2;
  • fonksiyon - ∞ aralıklarından içbükeydir; - 1 2 ve 1 2; + ∞ .

Tanım 4

Bükülme noktası– bu x 0 biçiminde bir noktadır; f(x0) . Fonksiyonun grafiğine teğet olduğunda, x 0'dan geçtiğinde fonksiyonun işareti ters yönde değişir.

Başka bir deyişle bu, ikinci türevin geçtiği ve işaret değiştirdiği bir noktadır ve noktalarda sıfıra eşittir veya yoktur. Tüm noktalar fonksiyonun tanım kümesi olarak kabul edilir.

Örnekte ikinci türev x = ± 1 2 noktalarından geçerken işaret değiştirdiğinden bükülme noktalarının olmadığı açıktı. Bunlar da tanım kapsamına dahil değildir.

Yatay ve eğik asimptotları bulma

Sonsuzda bir fonksiyon tanımlarken yatay ve eğik asimptotlara bakmanız gerekir.

Tanım 5

Eğik asimptotlar y = k x + b denklemiyle verilen düz çizgiler kullanılarak gösterilir; burada k = lim x → ∞ f (x) x ve b = lim x → ∞ f (x) - k x.

k = 0 ve b sonsuza eşit olmadığı için eğik asimptotun şöyle olduğunu buluruz: yatay.

Başka bir deyişle asimptotlar, bir fonksiyonun grafiğinin sonsuzda yaklaştığı çizgiler olarak kabul edilir. Bu, bir fonksiyon grafiğinin hızlı bir şekilde oluşturulmasını kolaylaştırır.

Asimptot yoksa ancak fonksiyon her iki sonsuzda da tanımlıysa, fonksiyonun grafiğinin nasıl davranacağını anlamak için fonksiyonun bu sonsuzluklardaki limitini hesaplamak gerekir.

Örnek 6

Örnek olarak şunu düşünelim

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

yatay bir asimptottur. Fonksiyonu inceledikten sonra oluşturmaya başlayabilirsiniz.

Bir fonksiyonun değerini ara noktalarda hesaplamak

Grafiği daha doğru hale getirmek için ara noktalarda birkaç fonksiyon değerinin bulunması önerilir.

Örnek 7

İncelediğimiz örnekten, fonksiyonun değerlerini x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 noktalarında bulmak gerekir. Fonksiyon çift olduğundan değerlerin bu noktalardaki değerlerle çakıştığını yani x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 elde ederiz.

Yazalım ve çözelim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Fonksiyonun maksimum ve minimumlarını, dönüm noktalarını ve ara noktaları belirlemek için asimptotların oluşturulması gerekir. Uygun tanımlama için artan, azalan, dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları kaydedilir. Aşağıdaki resme bakalım.

Okları takip ederek asimptotlara yaklaşmanızı sağlayacak grafik çizgilerini işaretli noktalardan çizmek gerekiyor.

Bu, fonksiyonun tam olarak araştırılmasını tamamlar. Geometrik dönüşümlerin kullanıldığı bazı temel fonksiyonların oluşturulma durumları vardır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

  • Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

  • Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
  • Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
  • Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
  • Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

  • Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
  • Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Tam bir çalışma yürütün ve fonksiyonun grafiğini çizin

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Fonksiyonun kapsamı. Fonksiyon bir kesir olduğundan paydanın sıfırlarını bulmamız gerekir.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Tek x=1x=1 noktasını fonksiyonun tanım alanından hariç tutuyoruz ve şunu elde ediyoruz:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Süreksizlik noktası civarında fonksiyonun davranışını inceleyelim. Tek taraflı limitleri bulalım:

Limitler sonsuza eşit olduğundan, x=1x=1 noktası ikinci türden bir süreksizliktir, x=1x=1 düz çizgisi ise dikey bir asimptottur.

3) Fonksiyon grafiğinin koordinat eksenleri ile kesişme noktalarını belirleyelim.

X=0x=0'a eşitlediğimiz OyOy ordinat ekseni ile kesişme noktalarını bulalım:

Böylece OyOy ekseni ile kesişme noktası (0;8)(0;8) koordinatlarına sahiptir.

y=0y=0 olarak ayarladığımız OxOx abscissa ekseni ile kesişme noktalarını bulalım:

Denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla OxOx ekseniyle kesişme noktaları yoktur.

Herhangi bir xx için x2+8>0x2+8>0 olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) için y>0y>0( fonksiyonu şunu alır: pozitif değerler, grafik x ekseninin üzerindedir), x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) için y fonksiyonu<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Fonksiyon ne çift ne de tektir çünkü:

5) Periyodiklik fonksiyonunu inceleyelim. Fonksiyon kesirli rasyonel bir fonksiyon olduğundan periyodik değildir.

6) Fonksiyonu ekstremum ve monotonluk açısından inceleyelim. Bunu yapmak için fonksiyonun ilk türevini buluyoruz:

Birinci türevi sıfıra eşitleyelim ve durağan noktaları bulalım (burada y′=0y′=0):

Üç kritik noktamız var: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Fonksiyonun tüm tanım alanını bu noktalarla aralıklara bölelim ve her aralıkta türevin işaretlerini belirleyelim:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) için y' türevi<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) türevi y′>0y′>0 için fonksiyon bu aralıklarda artar.

Bu durumda, x=−2x=−2 bir yerel minimum noktadır (fonksiyon önce azalır, sonra artar), x=4x=4 bir yerel maksimum noktadır (fonksiyon önce artar, sonra azalır).

Bu noktalardaki fonksiyonun değerlerini bulalım:

Böylece minimum nokta (−2;4)(−2;4), maksimum nokta (4;−8)(4;−8) olur.

7) Fonksiyonu bükülme ve dışbükeylik açısından inceliyoruz. Fonksiyonun ikinci türevini bulalım:

İkinci türevi sıfıra eşitleyelim:

Ortaya çıkan denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla bükülme noktaları da yoktur. Üstelik x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 sağlandığında, yani fonksiyon içbükeydir, x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y′′ tarafından sağlanır<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Fonksiyonun sonsuzdaki, yani noktasındaki davranışını inceleyelim.

Limitler sonsuz olduğundan yatay asimptot yoktur.

y=kx+by=kx+b formunun eğik asimptotlarını belirlemeye çalışalım. Bilinen formülleri kullanarak k,bk,b değerlerini hesaplıyoruz:


Fonksiyonun bir eğik asimptotu y=−x−1y=−x−1 olduğunu bulduk.

9) Ek noktalar. Grafiği daha doğru oluşturabilmek için fonksiyonun değerini başka noktalarda da hesaplayalım.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Elde edilen verilere dayanarak bir grafik oluşturacağız, onu x=1x=1 (mavi), y=−x−1y=−x−1 (yeşil) asimptotlarıyla tamamlayacağız ve karakteristik noktaları işaretleyeceğiz (ordinatla mor kesişim) eksen, turuncu ekstrema, siyah ek noktalar):

Görev 4: Geometrik, Ekonomik problemler (Ne olduğu hakkında hiçbir fikrim yok, burada çözümleri ve formülleriyle birlikte yaklaşık bir problem seçimi var)

Örnek 3.23. A

Çözüm. X Ve sen sen
y = a - 2×a/4 =a/2. Tek kritik nokta x = a/4 olduğundan bu noktadan geçerken türevin işaretinin değişip değişmediğini kontrol edelim. xa/4 S için " > 0 ve x >a/4 S " için< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Örnek 3.24.

Çözüm.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Örnek 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 fonksiyonunun ekstremumunu bulun.

Çözüm. F "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3) olduğundan, x 1 = 2 ve x 2 = 3 fonksiyonunun kritik noktaları. Ekstrem yalnızca şu şekilde olabilir: x 1 = 2 noktasından geçerken türevin işareti artıdan eksiye değiştiği için, bu noktada fonksiyon bir maksimuma sahiptir. x 2 = 3 noktasından geçerken türevin işareti eksiden değişir. artıya, dolayısıyla x 2 = 3 noktasında fonksiyonun minimum değeri vardır. Noktalardaki fonksiyon değerlerini hesapladıktan sonra.
x 1 = 2 ve x 2 = 3, fonksiyonun ekstremumunu buluruz: maksimum f(2) = 14 ve minimum f(3) = 13.

Örnek 3.23. Taş duvarın yanına, üç tarafı tel örgüyle çevrilecek ve dördüncü tarafı duvara bitişik olacak şekilde dikdörtgen bir alan inşa etmek gerekiyor. Bunun için var A doğrusal metre örgü. Site hangi en boy oranında en geniş alana sahip olacak?

Çözüm. Platformun kenarlarını şu şekilde belirtelim: X Ve sen. Sitenin alanı S = xy'dir. İzin vermek sen- bu, duvara bitişik tarafın uzunluğudur. O halde koşula göre 2x + y = a eşitliği sağlanmalıdır. Dolayısıyla y = a - 2x ve S = x(a - 2x), burada
0 ≤ x ≤ a/2 (pedin uzunluğu ve genişliği negatif olamaz). S " = a - 4x, a - 4x = 0, x = a/4'te, dolayısıyla
y = a - 2×a/4 =a/2. Tek kritik nokta x = a/4 olduğundan bu noktadan geçerken türevin işaretinin değişip değişmediğini kontrol edelim. xa/4 S için " > 0 ve x >a/4 S " için< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Örnek 3.24. Kapasitesi V=16p ≈ 50 m 3 olan kapalı silindirik bir tankın yapılması gerekmektedir. Üretiminde en az miktarda malzemenin kullanılması için tankın boyutları (yarıçap R ve yükseklik H) ne olmalıdır?

Çözüm. Silindirin toplam yüzey alanı S = 2pR(R+H). Silindirin hacmini biliyoruz V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Bu, S(R) = 2p(R2 +16/R) anlamına gelir. Bu fonksiyonun türevini buluyoruz:
S " (R) = 2p(2R- 16/R2) = 4p (R- 8/R2). R3 = 8 için S " (R) = 0, dolayısıyla,
R = 2, H = 16/4 = 4.


İlgili bilgiler.