Umarım bu makaleyi okuduktan sonra tam sayının köklerini bulmayı öğreneceksiniz. ikinci dereceden denklem.

Diskriminant kullanılarak yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız diğer yöntemler kullanılır.

Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? Bu ax 2 + b x + c = 0 formundaki denklemler a, b ve c katsayılarının sıfıra eşit olmadığı durumda. Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklemi tam olarak çözmek için diskriminant D'yi hesaplamamız gerekir.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.

Diskriminant negatif bir sayı ise (D< 0),то корней нет.

Diskriminant sıfır ise x = (-b)/2a olur. Ayrımcı olduğunda pozitif sayı(D>0),

bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.

Örneğin. Denklemi çöz x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cevap: Kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cevap: – 3.5; 1.

Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.

Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem bir polinom olarak yazılmıştır standart görünüm

A x 2 + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:

a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve denklemin iki kökü var. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).

Bu nedenle, eğer denklem standart formda bir polinom olarak yazılmamışsa, öncelikle ikinci dereceden denklemin tamamı standart formda bir polinom olarak yazılmalıdır (en büyük üssü olan monom ilk önce gelmelidir, yani A x 2 , daha azıyla – bx ve sonra ücretsiz bir üye İle.

İkinci dereceden ikinci dereceden denklemi ve çift katsayılı ikinci dereceden denklemi çözerken, diğer formülleri kullanabilirsiniz. Gelin bu formülleri tanıyalım. Tam ikinci dereceden bir denklemde ikinci terimin çift katsayısı varsa (b = 2k), o zaman denklemi Şekil 2'deki şemada gösterilen formülleri kullanarak çözebilirsiniz.

Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı x 2 bire eşittir ve denklem şu şekli alır x 2 + piksel + q = 0. Çözüm için böyle bir denklem verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta x 2 .

Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.

Örnek. Denklemi çöz

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3

Bu denklemde x'in katsayısının çift sayı olduğunu fark edebilirsiniz, yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekil D'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3. Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölünebilir olduğunu fark edip bölme işlemini gerçekleştirerek indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu denklemi indirgenmiş ikinci dereceden denklem formüllerini kullanarak çözün
denklemler şekil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3.

Görüldüğü gibi bu denklemi çözerken çeşitli formüller aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Örneğin, üç terimli \(3x^2+2x-7\) için diskriminant \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) değerine eşit olacaktır. Ve üç terimli \(x^2-5x+11\) için, \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)'a eşit olacaktır.

Diskriminant \(D\) harfiyle gösterilir ve genellikle çözmede kullanılır. Ayrıca diskriminantın değerine göre grafiğin yaklaşık olarak nasıl göründüğünü anlayabilirsiniz (aşağıya bakınız).

Diskriminant ve denklemin kökleri

Diskriminant değeri ikinci dereceden denklemlerin sayısını gösterir:
- eğer \(D\) pozitifse denklemin iki kökü olacaktır;
- eğer \(D\) sıfıra eşitse – yalnızca bir kök vardır;
- eğer \(D\) negatifse, kök yoktur.

Bunun öğretilmesine gerek yok, sadece diskriminanttan (yani \(\sqrt(D)\) denklemin köklerini hesaplama formülüne dahil edildiğini bilerek böyle bir sonuca varmak zor değil) : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Her duruma daha detaylı bakalım.

Diskriminant pozitif ise

Bu durumda kökü pozitif bir sayıdır, bu da \(x_(1)\) ve \(x_(2)\)'nin farklı anlamlara sahip olacağı anlamına gelir, çünkü ilk formülde \(\sqrt(D)\ ) eklenir ve ikincisinde çıkarılır. Ve iki farklı kökümüz var.

Örnek : \(x^2+2x-3=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

Cevap : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Diskriminant sıfır ise

Diskriminant sıfır ise kaç kök olacaktır? Hadi akıl yürütelim.

Kök formüller şuna benzer: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ve \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Ve eğer diskriminant sıfırsa kökü de sıfırdır. Sonra ortaya çıkıyor:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Yani denklemin köklerinin değerleri aynı olacaktır çünkü sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez.

Örnek : \(x^2-4x+4=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

\(x^2-4x+4=0\)		Katsayıları yazıyoruz:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Diskriminantı \(D=b^2-4ac\) formülünü kullanarak hesaplıyoruz
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Denklemin köklerini bulma
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		İki tane var özdeş kökler yani bunları ayrı ayrı yazmanın bir anlamı yok; tek olarak yazıyoruz.

Cevap : \(x=2\)

İkinci dereceden denklemler gibi diskriminant da 8. sınıfta cebir dersinde işlenmeye başlıyor. İkinci dereceden bir denklemi bir diskriminant aracılığıyla ve Vieta teoremini kullanarak çözebilirsiniz. İkinci dereceden denklemleri ve ayırıcı formülleri inceleme yöntemi, gerçek eğitimdeki birçok şey gibi, okul çocuklarına oldukça başarısız bir şekilde öğretilir. Bu yüzden geçiyorlar okul yılları 9-11. sınıflarda eğitim yerini alıyor " yüksek öğrenim"ve herkes tekrar bakıyor - “İkinci dereceden denklem nasıl çözülür?”, “Denklemin kökleri nasıl bulunur?”, “Ayırt edici nasıl bulunur?” Ve...

Diskriminant formülü

İkinci dereceden a*x^2+bx+c=0 denkleminin diskriminantı D, D=b^2–4*a*c'ye eşittir.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri (çözümleri) diskriminantın (D) işaretine bağlıdır:
D>0 – denklemin 2 farklı gerçek kökü vardır;
D=0 - denklemin 1 kökü vardır (2 eşleşen kök):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminant hesaplama formülü oldukça basittir, pek çok web sitesi çevrimiçi diskriminant hesaplayıcı sunmaktadır. Bu tür komut dosyalarını henüz çözemedik, dolayısıyla bunun nasıl uygulanacağını bilen varsa lütfen bize e-posta ile yazın. Bu e-posta adresi spam robotlarından korunuyor. Görüntülemek için JavaScript'i etkinleştirmiş olmanız gerekir. .

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için genel formül:

Formülü kullanarak denklemin köklerini buluyoruz
Kare değişkenin katsayısı eşleştirilmişse, diskriminantın değil dördüncü kısmının hesaplanması tavsiye edilir.
Bu gibi durumlarda denklemin kökleri aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

Kökleri bulmanın ikinci yolu Vieta Teoremidir.

Teorem yalnızca ikinci dereceden denklemler için değil aynı zamanda polinomlar için de formüle edilmiştir. Bunu Wikipedia'da veya diğer elektronik kaynaklarda okuyabilirsiniz. Ancak basitleştirmek için yukarıdaki ikinci dereceden denklemlerin yani (a=1) formundaki denklemlerin ilgili kısmını ele alalım.
Vieta formüllerinin özü, denklemin köklerinin toplamının, değişkenin ters işaretle alınan katsayısına eşit olmasıdır. Denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir. Vieta teoremi formüllerle yazılabilir.
Vieta formülünün türetilmesi oldukça basittir. İkinci dereceden denklemi basit faktörlerle yazalım
Gördüğünüz gibi ustaca olan her şey aynı zamanda basittir. Köklerin modülleri arasındaki fark veya köklerin modülleri arasındaki fark 1, 2 olduğunda Vieta formülünü kullanmak etkilidir. Örneğin, Vieta teoremine göre aşağıdaki denklemlerin kökleri vardır




Denklem 4'e kadar analiz şu şekilde görünmelidir. Denklemin köklerinin çarpımı 6 olduğundan kökler (1, 6) ve (2, 3) değerleri veya zıt işaretli çiftler olabilir. Köklerin toplamı 7'dir (zıt işaretli değişkenin katsayısı). Buradan ikinci dereceden denklemin çözümlerinin x=2 olduğu sonucuna varıyoruz; x=3.
Serbest terimin bölenleri arasından denklemin köklerini seçmek, Vieta formüllerini yerine getirmek için işaretlerini ayarlamak daha kolaydır. İlk başta bunu yapmak zor görünebilir, ancak birkaç ikinci dereceden denklem üzerinde pratik yapıldığında, bu teknik, diskriminantın hesaplanmasından ve ikinci dereceden denklemin köklerini klasik yolla bulmaktan daha etkili olacaktır.
Gördüğünüz gibi, diskriminantın incelenmesine ilişkin okul teorisi ve denkleme çözüm bulma yöntemleri pratik anlamdan yoksundur - “Okul çocukları neden ikinci dereceden bir denkleme ihtiyaç duyuyor?”, “Ayırt edicinin fiziksel anlamı nedir?”

Hadi anlamaya çalışalım Diskriminant neyi tarif ediyor?

Cebir dersinde fonksiyonları, fonksiyonları inceleme şemalarını ve fonksiyonların grafiğini oluşturmayı incelerler. Tüm fonksiyonlar arasında parabol, denklemi şu şekilde yazılabilen önemli bir yer tutar:
Dolayısıyla ikinci dereceden denklemin fiziksel anlamı parabolün sıfırları, yani fonksiyonun grafiğinin apsis ekseni Ox ile kesişme noktalarıdır.
Aşağıda anlatılan parabollerin özelliklerini hatırlamanızı rica ediyorum. Sınavlara, testlere veya giriş sınavlarına girmenin zamanı gelecek ve referans materyal için minnettar olacaksınız. Karesi değişkenin işareti, grafikteki parabolün dallarının yukarı çıkıp çıkmayacağına (a>0) karşılık gelir,

veya dalları aşağı doğru olan bir parabol (a<0) .

Parabolün tepe noktası köklerin ortasındadır

Diskriminantın fiziksel anlamı:

Diskriminant sıfırdan büyükse (D>0), parabolün Ox ekseniyle iki kesişme noktası vardır.
Diskriminant sıfırsa (D=0), tepe noktasındaki parabol x eksenine dokunur.
Ve son durum, diskriminantın sıfırdan küçük olduğu durumdur (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemler. Ayrımcı. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

İkinci dereceden denklem türleri

İkinci dereceden denklem nedir? Neye benziyor? vadede ikinci dereceden denklem anahtar kelime "kare". Bu şu anlama gelir: denklemde mutlaka bir x kare olmalı. Buna ek olarak, denklem yalnızca X'i (birinci kuvvete göre) ve yalnızca bir sayıyı içerebilir (ya da içermeyebilir!) (ücretsiz üye). Ve ikiden büyük bir kuvvetin X'i olmamalıdır.

Matematiksel açıdan ikinci dereceden bir denklem, şu formdaki bir denklemdir:

Burada a, b ve c- bazı sayılar. b ve c- kesinlikle herhangi biri, ancak A– sıfırdan başka herhangi bir şey. Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, anlıyorsun...

Bu ikinci dereceden denklemlerde solda tam setüyeler. Katsayılı X'in karesi A, x üzeri katsayılı birinci kuvvet B Ve ücretsiz üye

Bu tür ikinci dereceden denklemlere denir tam dolu.

Farzedelim B= 0, ne elde ederiz? Sahibiz X birinci dereceye kadar kaybolacak. Bu, sıfırla çarpıldığında meydana gelir.) Örneğin şu şekilde ortaya çıkıyor:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Vesaire. Ve eğer her iki katsayı da B Ve C sıfıra eşitse, o zaman daha da basittir:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Bir şeyin eksik olduğu bu tür denklemlere denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Bu oldukça mantıklı.) Lütfen x karenin tüm denklemlerde mevcut olduğunu unutmayın.

Bu arada neden A sıfıra eşit olamaz mı? Ve onun yerine sen geçiyorsun A sıfır.) X karemiz kaybolacak! Denklem doğrusal hale gelecektir. Ve çözüm tamamen farklı...

İkinci dereceden denklemlerin tüm ana türleri bunlardır. Tam ve eksik.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi kolaydır. Formüllere ve açık, basit kurallara göre. İlk aşamada verilen denklemi standart bir forma getirmek gerekir; forma:

Eğer denklem size zaten bu formda verilmişse, ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur.) Önemli olan tüm katsayıları doğru belirlemek, A, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şuna benzer:

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı. Ama onun hakkında daha fazla bilgiyi aşağıda bulabilirsiniz. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Bu formüle göre hesaplıyoruz. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin denklemde:

A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

Çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...

En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün belirli sayılarla ayrıntılı bir şekilde kaydedilmesidir. Hesaplamalarda sorun varsa, bunu yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada A = -6; B = -5; C = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak ve hata sayısını yaklaşık 30 saniye sürecektir. keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir deneyin. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu?

Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri kullanıyorsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!

Ancak ikinci dereceden denklemler sıklıkla biraz farklı görünür. Örneğin şöyle: Tanıdın mı?) Evet! Bu.

tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. a, b ve c.

Genel bir formül kullanılarak da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; C A ? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! İşte bu. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yokİle B !

, A

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Herhangi bir formül olmadan. İlk tamamlanmamış denklemi ele alalım. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.
Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor mu? İşte bu... Bu nedenle güvenle yazabiliriz:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, genel formülü kullanmaktan çok daha basittir. Bu arada, hangi X'in birinci, hangisinin ikinci olacağını kesinlikle kayıtsız bırakmama izin verin. Sırayla yazmakta fayda var x 1 x 2- daha küçük olan ve

- hangisi daha büyükse.

İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:

Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak: . Ayrıca iki kök, x1 = -3.

x 2 = 3
Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da sayıyı sağa taşıyıp ardından kökü çıkartarak.

Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...

Ayrımcı. Diskriminant formülü. ayrımcı ! Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur.) Çözüm için en genel formülü hatırlatıyorum. herhangi ikinci dereceden denklemler:

Kök işaretinin altındaki ifadeye diskriminant denir. Tipik olarak ayrımcı harfle gösterilir D. Diskriminant formülü:

D = b 2 - 4ac

Peki bu ifadede bu kadar dikkat çekici olan ne? Neden özel bir ismi hak etti? Ne diskriminantın anlamı? Nihayet -B, veya 2a bu formülde ona özel olarak hiçbir şey demiyorlar... Harfler ve harfler.

İşte olay şu. Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken mümkündür sadece üç vaka.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı farklı bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz olacak. Çünkü paya sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak basitleştirilmiş bir versiyonda, hakkında konuşmak gelenekseldir. tek çözüm.

3. Diskriminant negatiftir. Negatif bir sayının karekökü alınamaz. Oh iyi. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Dürüst olmak gerekirse, ikinci dereceden denklemleri basit bir şekilde çözerken, diskriminant kavramına gerçekten ihtiyaç yoktur. Katsayıların değerlerini formülde yerine koyarız ve sayarız. Orada her şey kendi kendine oluyor, iki kök, bir ve yok. Ancak daha karmaşık görevleri bilgi olmadan çözerken diskriminantın anlamı ve formülü geçinemiyorum. Özellikle parametreli denklemlerde. Bu tür denklemler Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavı için akrobasi niteliğindedir!)

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığın ayrımcı aracılığıyla. Veya öğrendiniz ki bu da fena değil.) Nasıl doğru bir şekilde belirleyeceğinizi biliyorsunuz a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anlıyorsunuz: dikkatle mi?

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...

İlk randevu . İkinci dereceden bir denklemi çözmeden ve onu standart forma getirmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendiniz karar verin.

Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız. Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol ediliyor son denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1 , kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz üye senin burcunla

. Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde hata yaptığınız anlamına gelir. Hatayı arayın. Bİşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: İle zıt B aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı
X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru! Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1.

Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Gittikçe daha az hata olacak. Üçüncü resepsiyon

. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! "Denklemler nasıl çözülür? Kimlik dönüşümleri" dersinde anlatıldığı gibi denklemi ortak bir paydayla çarpın. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...

Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

İşte bu! Çözmek bir zevktir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik ipuçları: 1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz.

Sağ

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız. 4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir.

Yap!

Artık karar verebiliriz.)

Denklemleri çözün:

8x2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Bu nedenle güvenle yazabiliriz:
Cevaplar (karışıklık içinde):

x 2 = 52

x 1,2 =
x 1 = 2

x2 = -0,5

Ayrıca iki kök
x1 = -3

x - herhangi bir sayı

çözüm yok
x 1 = 0,25

Her şey uyuyor mu? Harika! İkinci dereceden denklemler başınızı ağrıtmaz. İlk üçü işe yaradı ama geri kalanı işe yaramadı mı? O zaman sorun ikinci dereceden denklemlerde değil. Sorun denklemlerin özdeş dönüşümlerindedir. Linke bir göz atın, işinize yarar.

Pek işe yaramıyor mu? Yoksa hiç mi işe yaramıyor? O zaman Bölüm 555 size yardımcı olacaktır. Tüm bu örnekler burada ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Gösterilen anaÇözümdeki hatalar. Elbette çeşitli denklemlerin çözümünde aynı dönüşümlerin kullanılmasından da bahsediyoruz. Çok yardımcı oluyor!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.