A b c ikinci dereceden bir denklemdir. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Umarım bu makaleyi inceledikten sonra ikinci dereceden tam bir denklemin köklerini nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Diskriminant kullanılarak yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız diğer yöntemler kullanılır.

Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? Bu ax 2 + b x + c = 0 formundaki denklemler a, b ve c katsayılarının sıfıra eşit olmadığı durumda. Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklemi tam olarak çözmek için diskriminant D'yi hesaplamamız gerekir.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.

Diskriminant negatif bir sayı ise (D< 0),то корней нет.

Diskriminant sıfır ise x = (-b)/2a olur. Ayrımcı olduğunda pozitif sayı(D>0),

bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.

Örneğin. Denklemi çözün x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cevap: Kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cevap: – 3.5; 1.

Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.

Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmıştır

A x 2 + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:

a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve bu durumda denklemin iki kökü vardır. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).

Bu nedenle, eğer denklem standart formda bir polinom olarak yazılmamışsa, öncelikle ikinci dereceden denklemin tamamı standart formda bir polinom olarak yazılmalıdır (en büyük üssü olan monom ilk önce gelmelidir, yani A x 2 , daha azıyla – bx ve sonra ücretsiz bir üye İle.

İkinci dereceden ikinci dereceden denklemi ve çift katsayılı ikinci dereceden denklemi çözerken, diğer formülleri kullanabilirsiniz. Gelin bu formülleri tanıyalım. Tam ikinci dereceden bir denklemde ikinci terimin çift katsayısı varsa (b = 2k), o zaman denklemi Şekil 2'deki şemada gösterilen formülleri kullanarak çözebilirsiniz.

Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı x 2 bire eşittir ve denklem şu şekli alır: x 2 + piksel + q = 0. Böyle bir denklem çözüm için verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta x 2 .

Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.

Örnek. Denklemi çözün

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3

Bu denklemde x'in katsayısının çift sayı olduğunu fark edebilirsiniz, yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekil D'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3. Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölünebilir olduğunu fark edip bölme işlemini gerçekleştirerek indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu denklemi indirgenmiş ikinci dereceden denklem formüllerini kullanarak çözün
denklemler şekil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3.

Gördüğünüz gibi bu denklemi farklı formüller kullanarak çözdüğümüzde aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İkinci dereceden denklemler 8. sınıfta çalışılıyor, bu yüzden burada karmaşık bir şey yok. Bunları çözme yeteneği kesinlikle gereklidir.

İkinci dereceden bir denklem, a, b ve c katsayılarının keyfi sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu, ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denklemdir.

Belirli çözüm yöntemlerini incelemeden önce, tüm ikinci dereceden denklemlerin üç sınıfa ayrılabileceğini unutmayın:

1. Kökleri yoktur;
2. Tam olarak bir köke sahip olun;
3. İki farklı kökü var.

Bu, ikinci dereceden denklemler ile kökün her zaman var olduğu ve benzersiz olduğu doğrusal denklemler arasındaki önemli bir farktır. Bir denklemin kaç kökü olduğu nasıl belirlenir? Bunun için harika bir şey var - ayrımcı.

diskriminant

İkinci dereceden denklem ax 2 + bx + c = 0 verilse, diskriminant basitçe D = b 2 − 4ac sayısı olur.

Bu formülü ezbere bilmeniz gerekiyor. Artık nereden geldiği önemli değil. Başka bir şey daha önemlidir: Diskriminantın işaretiyle ikinci dereceden bir denklemin kaç kökü olduğunu belirleyebilirsiniz. Yani:

1. Eğer D< 0, корней нет;
2. Eğer D = 0 ise tam olarak bir kök vardır;
3. D > 0 ise iki kök olacaktır.

Lütfen dikkat: Birçok insanın inandığı gibi, ayrımcı, hiçbir şekilde işaretlerini değil, köklerin sayısını gösterir. Örneklere bir göz atın ve her şeyi kendiniz anlayacaksınız:

Görev. İkinci dereceden denklemlerin kaç kökü vardır:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

İlk denklemin katsayılarını yazalım ve diskriminantı bulalım:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki farklı kökü vardır. İkinci denklemi de benzer şekilde analiz ediyoruz:
bir = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant negatiftir, kök yoktur. Geriye kalan son denklem:
bir = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sıfırdır; kök bir olacaktır.

Lütfen her denklem için katsayıların yazıldığını unutmayın. Evet uzun, evet sıkıcı ama olasılıkları karıştırıp aptalca hatalar yapmayacaksınız. Kendiniz seçin: hız veya kalite.

Bu arada, eğer alışırsanız, bir süre sonra tüm katsayıları yazmanıza gerek kalmayacak. Bu tür operasyonları kafanızda gerçekleştireceksiniz. Çoğu insan bunu 50-70 çözülmüş denklemden sonra bir yerde yapmaya başlar - genel olarak o kadar da değil.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri

Şimdi çözümün kendisine geçelim. Diskriminant D > 0 ise kökler aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için temel formül

D = 0 olduğunda bu formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz; cevap olan aynı sayıyı elde edersiniz. Son olarak eğer D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

İlk denklem:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ denklemin iki kökü vardır. Onları bulalım:

İkinci denklem:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ Denklemin yine iki kökü vardır. Haydi onları bulalım

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(hizala)\]

Son olarak üçüncü denklem:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ denklemin tek kökü vardır. Herhangi bir formül kullanılabilir. Örneğin, ilki:

Örneklerden de görebileceğiniz gibi her şey çok basit. Formülleri biliyorsanız ve sayabiliyorsanız hiçbir sorun yaşanmayacaktır. Çoğu zaman, formülde negatif katsayılar değiştirilirken hatalar meydana gelir. Burada yine yukarıda açıklanan teknik yardımcı olacaktır: formüle tam anlamıyla bakın, her adımı yazın - çok geçmeden hatalardan kurtulacaksınız.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımda verilenden biraz farklı olduğu görülür. Örneğin:

1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Bu denklemlerde terimlerden birinin eksik olduğunu fark etmek kolaydır. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözmek standart denklemlerden bile daha kolaydır: diskriminantın hesaplanmasını bile gerektirmezler. O halde yeni bir konsept sunalım:

ax 2 + bx + c = 0 denklemine, b = 0 veya c = 0 ise tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir; x değişkeninin veya serbest elemanın katsayısı sıfırdır.

Elbette tamamen mümkün Zor olay Bu katsayıların her ikisi de sıfıra eşit olduğunda: b = c = 0. Bu durumda denklem ax 2 = 0 formunu alır. Açıkçası, böyle bir denklemin tek bir kökü vardır: x = 0.

Geri kalan durumları ele alalım. b = 0 olsun, ax 2 + c = 0 şeklinde tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Bunu biraz dönüştürelim:

Aritmetik karekök yalnızca olmayanlardan var olduğundan negatif sayı, son eşitlik yalnızca (−c /a) ≥ 0 için anlamlıdır. Sonuç:

1. Eğer ax 2 + c = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemde (−c /a) ≥ 0 eşitsizliği karşılanıyorsa, iki kök olacaktır. Formül yukarıda verilmiştir;
2. Eğer (−c /a)< 0, корней нет.

Gördüğünüz gibi bir diskriminant gerekli değildi; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerde hiçbir karmaşık hesaplama yoktur. Aslında (−c /a) ≥ 0 eşitsizliğini hatırlamaya bile gerek yok. x 2 değerini ifade edip eşittir işaretinin diğer tarafında ne olduğunu görmek yeterli. Pozitif bir sayı varsa iki kökü olacaktır. Negatif ise hiçbir kök kalmayacaktır.

Şimdi serbest elemanın sıfıra eşit olduğu ax 2 + bx = 0 formundaki denklemlere bakalım. Burada her şey basit: her zaman iki kök olacak. Polinomu çarpanlara ayırmak yeterlidir:

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak

Faktörlerden en az biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. Köklerin geldiği yer burasıdır. Sonuç olarak bu denklemlerden birkaçına bakalım:

Görev. İkinci dereceden denklemleri çözün:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Kök yok çünkü kare negatif bir sayıya eşit olamaz.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formüller. Gerçek, çoklu ve karmaşık kök durumları dikkate alınır. Faktorizasyon ikinci dereceden üç terimli. Geometrik yorumlama. Kök belirleme ve çarpanlara ayırma örnekleri.

Temel formüller

İkinci dereceden denklemi düşünün:
(1) .
İkinci dereceden bir denklemin kökleri(1) aşağıdaki formüllerle belirlenir:
; .
Bu formüller şu şekilde birleştirilebilir:
.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri bilindiğinde, ikinci dereceden bir polinom, faktörlerin (çarpanlarına alınmış) bir ürünü olarak temsil edilebilir:
.

Ayrıca şunu varsayıyoruz: gerçek sayılar.
Hadi düşünelim ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı:
.
Diskriminant pozitifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki farklı gerçek kökü vardır:
; .
O zaman ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
Diskriminant sıfıra eşitse, ikinci dereceden denklemin (1) iki çoklu (eşit) gerçek kökü vardır:
.
Faktorizasyon:
.
Diskriminant negatifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki karmaşık eşlenik kökü vardır:
;
.
İşte sanal birim;
ve köklerin gerçek ve sanal kısımları:
; .
Daha sonra

.

Grafik yorumlama

Eğer inşa edersen bir fonksiyonun grafiği
,
bu bir parabol ise, grafiğin eksenle kesişme noktaları denklemin kökleri olacaktır.
.
noktasında grafik x eksenini (ekseni) iki noktada keser.
Grafik x eksenine bir noktada dokunduğunda.
Grafik x eksenini kesmediğinde.

Aşağıda bu tür grafiklerin örnekleri verilmiştir.

İkinci Dereceden Denklemlerle İlgili Yararlı Formüller

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

Dönüşümler gerçekleştiriyoruz ve (f.1) ve (f.3) formüllerini uyguluyoruz:




,
Nerede
; .

Böylece ikinci dereceden bir polinomun formülünü şu şekilde elde ettik:
.
Bu, denklemin

gerçekleştirilen
Ve .
Yani ve ikinci dereceden denklemin kökleridir
.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme örnekleri

örnek 1

(1.1) .

Çözüm

.
Denklemimiz (1.1) ile karşılaştırıldığında katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki gerçek kökü vardır:
;
;
.

Buradan ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:

.

y = fonksiyonunun grafiği 2 x 2 + 7 x + 3 x eksenini iki noktada keser.

Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenini (ekseni) iki noktada keser:
Ve .
Bu noktalar orijinal denklemin (1.1) kökleridir.

Cevap

;
;
.

Örnek 2

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(2.1) .

Çözüm

İkinci dereceden denklemi yazalım Genel görünüm:
.
Orijinal denklem (2.1) ile karşılaştırıldığında katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant sıfır olduğundan denklemin iki çoklu (eşit) kökü vardır:
;
.

O halde trinomiyalin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.

y = x fonksiyonunun grafiği 2 - 4 x + 4 x eksenine bir noktada dokunuyor.

Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. X eksenine (ekseni) bir noktada dokunuyor:
.
Bu nokta orijinal denklemin (2.1) köküdür. Çünkü bu kök iki kez çarpanlara ayrılır:
,
o zaman böyle bir köke genellikle kat denir. Yani iki eşit kök olduğuna inanıyorlar:
.

Cevap

;
.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(3.1) .

Çözüm

İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazalım:
(1) .
Orijinal denklemi (3.1) yeniden yazalım:
.
(1) ile karşılaştırarak katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant negatiftir. Bu nedenle gerçek kökler yoktur.

Karmaşık kökleri bulabilirsiniz:
;
;
.

Daha sonra


.

Fonksiyonun grafiği x eksenini kesmez. Gerçek kökler yoktur.

Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. X eksenini (ekseni) kesmez. Bu nedenle gerçek kökler yoktur.

Cevap

Gerçek kökler yoktur. Karmaşık kökler:
;
;
.

İkinci dereceden denklem - çözülmesi kolay! *Bundan sonra “KU” olarak anılacaktır. Arkadaşlar öyle görünüyor ki matematikte böyle bir denklemi çözmekten daha basit bir şey olamaz. Ama içimden bir ses birçok insanın onunla sorunları olduğunu söyledi. Yandex'in ayda kaç tane isteğe bağlı gösterim verdiğini görmeye karar verdim. İşte ne oldu, bakın:

Bu ne anlama geliyor? Bu, ayda yaklaşık 70.000 kişinin aradığı anlamına geliyor bu bilgi, bunun yazla ne ilgisi var ve okul yılı boyunca ne olacak - iki kat daha fazla talep olacak. Bu şaşırtıcı değil, çünkü okuldan uzun zaman önce mezun olan ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan kız ve erkekler bu bilgiyi arıyorlar ve okul çocukları da hafızalarını tazelemeye çalışıyorlar.

Bu denklemin nasıl çözüleceğini anlatan birçok site olmasına rağmen ben de katkıda bulunup materyali yayınlamaya karar verdim. Öncelikle bu isteğe göre ziyaretçilerin siteme gelmesini istiyorum; ikinci olarak diğer yazılarımda “KU” konusu açıldığında bu yazının linkini vereceğim; üçüncü olarak, size çözümü hakkında diğer sitelerde genellikle belirtilenden biraz daha fazlasını anlatacağım. Başlayalım! Makalenin içeriği:

İkinci dereceden bir denklem şu şekilde bir denklemdir:

burada katsayılar a,Bve c, a≠0 olan keyfi sayılardır.

Okul kursunda materyal aşağıdaki biçimde verilmektedir - denklemler üç sınıfa ayrılmıştır:

1. İki kökleri vardır.

2. *Tek bir kökü vardır.

3. Kökleri yoktur. Burada gerçek köklerinin olmadığını özellikle belirtmekte fayda var.

Kökler nasıl hesaplanır? Sadece!

Diskriminant'ı hesaplıyoruz. Bu “korkunç” kelimenin altında çok basit bir formül yatıyor:

Kök formülleri aşağıdaki gibidir:

*Bu formülleri ezbere bilmeniz gerekiyor.

Hemen yazıp çözebilirsiniz:

Örnek:

1. Eğer D > 0 ise denklemin iki kökü vardır.

2. Eğer D = 0 ise denklemin bir kökü vardır.

3. Eğer D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Denkleme bakalım:

Bu bakımdan diskriminant sıfıra eşit olduğunda okul dersi bir kökün elde edildiğini söylüyor, burada dokuza eşit oluyor. Her şey doğru, öyle ama...

Bu fikir biraz yanlıştır. Aslında iki kök var. Evet, evet, şaşırmayın, iki eşit kök elde edersiniz ve matematiksel olarak kesin olmak gerekirse, cevabın iki kök yazması gerekir:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ama bu böyle - küçük bir ara söz. Okulda bunu yazıp tek bir kök olduğunu söyleyebilirsin.

Şimdi bir sonraki örnek:

Bildiğimiz gibi negatif bir sayının kökü alınamadığı için çözümler bu durumda HAYIR.

Bütün karar süreci bundan ibaret.

İkinci dereceden fonksiyon.

Bu, çözümün geometrik olarak neye benzediğini gösterir. Bunu anlamak son derece önemlidir (gelecekte makalelerden birinde ikinci dereceden eşitsizliğin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz).

Bu formun bir fonksiyonudur:

burada x ve y değişkenlerdir

a, b, c – a ≠ 0 ile verilen sayılar

Grafik bir paraboldür:

Yani, “y” sıfıra eşit olan ikinci dereceden bir denklemi çözerek parabolün x ekseni ile kesişme noktalarını bulduğumuz ortaya çıkıyor. Bu noktalardan ikisi (ayırıcı pozitiftir), biri (ayırıcı sıfırdır) ve hiçbiri (ayırıcı negatiftir) olabilir. Hakkında ayrıntılar ikinci dereceden fonksiyon Görüntüleyebilirsiniz Inna Feldman'ın makalesi.

Örneklere bakalım:

Örnek 1: Çöz 2 kere 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Cevap: x 1 = 8 x 2 = –12

*Denklemin sol ve sağ taraflarını hemen 2'ye bölmek, yani basitleştirmek mümkündü. Hesaplamalar daha kolay olacaktır.

Örnek 2: Karar vermek x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 ve x 2 = 11 olduğunu bulduk

Cevapta x=11 yazmak caizdir.

Cevap: x = 11

Örnek 3: Karar vermek x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant negatiftir, gerçek sayılarda çözüm yoktur.

Cevap: çözüm yok

Diskriminant negatiftir. Bir çözüm var!

Burada negatif bir diskriminantın elde edilmesi durumunda denklemin çözümünden bahsedeceğiz. Karmaşık sayılar hakkında bir şey biliyor musun? Burada neden ve nerede ortaya çıktıklarını ve matematikteki spesifik rollerinin ve gerekliliklerinin ne olduğunu detaylandırmayacağım; bu ayrı bir makalenin konusu.

Karmaşık sayı kavramı.

Küçük bir teori.

Karmaşık sayı z, formdaki bir sayıdır

z = a + bi

a ve b'nin gerçel sayılar olduğu durumlarda, i sanal birim olarak adlandırılır.

a+bi – bu TEK BİR NUMARAdır, toplama değildir.

Sanal birim eksi birin köküne eşittir:

Şimdi denklemi düşünün:

İki eşlenik kök elde ediyoruz.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem.

Özel durumları ele alalım; bu, “b” veya “c” katsayısının sıfıra eşit olduğu (veya her ikisinin de sıfıra eşit olduğu) durumdur. Herhangi bir ayrımcılığa uğramadan kolayca çözülebilirler.

Durum 1. Katsayı b = 0.

Denklem şöyle olur:

Haydi dönüştürelim:

Örnek:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Durum 2. Katsayı c = 0.

Denklem şöyle olur:

Dönüştürüp çarpanlara ayıralım:

*Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir.

Örnek:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 veya x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Durum 3. Katsayılar b = 0 ve c = 0.

Burada denklemin çözümünün her zaman x = 0 olacağı açıktır.

Faydalı özellikler ve katsayı kalıpları.

Büyük katsayılı denklemleri çözmenizi sağlayan özellikler vardır.

AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A + B+ c = 0, O

- denklemin katsayıları için ise AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A+ ç =B, O

Bu özellikler belirli bir denklem türünün çözülmesine yardımcı olur.

Örnek 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Oranların toplamı 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bunun anlamı

Örnek 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Eşitlik geçerlidir A+ ç =B, Araç

Katsayıların düzenlilikleri.

1. ax 2 + bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak katsayıya eşit"a" ise kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Örnek. 6x 2 + 37x + 6 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. ax 2 – bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Örnek. 15x 2 –226x +15 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Denklemde ise. ax 2 + bx – c = 0 katsayısı “b” eşittir (a 2 – 1) ve katsayısı “c” sayısal olarak “a” katsayısına eşittir, o zaman kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Örnek. 17x 2 +288x – 17 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Eğer ax 2 - bx - c = 0 denkleminde "b" katsayısı (a 2 - 1)'e eşitse ve c katsayısı sayısal olarak "a" katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Örnek. 10x 2 – 99x –10 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vieta'nın teoremi.

Vieta'nın teoremi, adını ünlü Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır. Vieta teoremini kullanarak, rastgele bir KU'nun köklerinin toplamını ve çarpımını katsayıları cinsinden ifade edebiliriz.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Toplamda 14 sayısı sadece 5 ve 9'u verir. Bunlar köklerdir. Belirli bir beceriyle, sunulan teoremi kullanarak birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak anında çözebilirsiniz.

Ayrıca Vieta teoremi. ikinci dereceden denklemi çözdükten sonra uygun her zamanki gibi(ayırt edici aracılığıyla) ortaya çıkan kökler kontrol edilebilir. Bunu her zaman yapmanızı öneririm.

ULAŞIM ŞEKLİ

Bu yöntemle “a” katsayısı serbest terimle sanki kendisine “atılmış” gibi çarpılır, bu yüzden buna denir. "aktarma" yöntemi. Bu yöntem, Vieta teoremini kullanarak denklemin köklerini kolayca bulabileceğiniz ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.

Eğer A± b+c≠ 0 ise transfer tekniği kullanılır, örneğin:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Denklem (2)'deki Vieta teoremini kullanarak x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu belirlemek kolaydır.

Denklemin ortaya çıkan kökleri 2'ye bölünmelidir (çünkü ikisi x 2'den "atılmıştır"), şunu elde ederiz:

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Gerekçesi nedir? Bakın neler oluyor.

Denklem (1) ve (2)'nin ayırıcıları eşittir:

Denklemlerin köklerine bakarsanız yalnızca farklı paydalar elde edersiniz ve sonuç tam olarak x 2 katsayısına bağlıdır:

İkincisi (değiştirilmiş) 2 kat daha büyük köklere sahiptir.

Bu nedenle sonucu 2'ye bölüyoruz.

*Üçünü tekrar atarsak sonucu 3'e vb. böleriz.

Cevap: x 1 = 5 x 2 = 0,5

meydan ur-ie ve Birleşik Devlet Sınavı.

Önemini kısaca anlatacağım - Çabuk ve düşünmeden KARAR VERMELİSİNİZ, köklerin ve ayırıcıların formüllerini ezbere bilmeniz gerekiyor. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde yer alan problemlerin çoğu, ikinci dereceden bir denklemin (geometrik olanlar dahil) çözülmesine indirgenir.

Dikkate değer bir şey!

1. Bir denklemin yazım şekli “örtük” olabilir. Örneğin aşağıdaki giriş mümkündür:

15+ 9x 2 - 45x = 0 veya 15x+42+9x 2 - 45x=0 veya 15 -5x+10x 2 = 0.

Onu yanına getirmelisin standart görünüm(karar verirken kafanız karışmasın diye).

2. X'in bilinmeyen bir miktar olduğunu ve herhangi bir harfle (t, q, p, h ve diğerleri) gösterilebileceğini unutmayın.

Konuyu incelemeye devam ediyoruz " denklem çözme" Doğrusal denklemlerle zaten tanıştık ve onları tanımaya devam ediyoruz ikinci dereceden denklemler.

Öncelikle ikinci dereceden denklemin ne olduğuna, genel şekliyle nasıl yazıldığına bakacağız ve ilgili tanımları vereceğiz. Bundan sonra eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü detaylı olarak incelemek için örnekler kullanacağız. Çözüme geçelim tam denklemler, kök formülü elde edeceğiz, ikinci dereceden bir denklemin diskriminantını öğreneceğiz ve tipik örneklerin çözümlerini ele alacağız. Son olarak kökler ve katsayılar arasındaki bağlantıları izleyelim.

Sayfada gezinme.

İkinci dereceden denklem nedir? Türleri

Öncelikle ikinci dereceden denklemin ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir. Bu nedenle, ikinci dereceden denklemler hakkında bir konuşmaya ikinci dereceden bir denklemin tanımı ve ilgili tanımlarla başlamak mantıklıdır. Bundan sonra, ikinci dereceden denklemlerin ana türlerini göz önünde bulundurabilirsiniz: azaltılmış ve azaltılmamış, ayrıca tam ve eksik denklemler.

İkinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri

Tanım.

İkinci dereceden denklem formun bir denklemidir a x 2 +b x+c=0 burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a sıfır değildir.

Hemen ikinci dereceden denklemlere genellikle ikinci dereceden denklemler denildiğini söyleyelim. Bunun nedeni ikinci dereceden denklemin cebirsel denklem ikinci derece.

Belirtilen tanım ikinci dereceden denklem örnekleri vermemizi sağlar. Yani 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, vb. Bunlar ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım.

Sayılar a, b ve c denir ikinci dereceden denklemin katsayıları a·x 2 +b·x+c=0 ve a katsayısına birinci veya en yüksek denir veya x 2'nin katsayısı, b ikinci katsayı veya x'in katsayısıdır ve c serbest terimdir .

Örneğin, 5 x 2 −2 x −3=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi ele alalım, burada baş katsayı 5, ikinci katsayı −2 ve serbest terim −3'e eşittir. Az önce verilen örnekte olduğu gibi b ve/veya c katsayıları negatif olduğunda, o zaman kısa form 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 değil, 5 x 2 −2 x−3=0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem yazmak.

a ve/veya b katsayıları 1 veya −1'e eşit olduğunda, ikinci dereceden denklemde genellikle açıkça mevcut olmadıklarını belirtmek gerekir; bu da böyle yazmanın özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Örneğin, ikinci dereceden y 2 −y+3=0 denkleminde baş katsayı birdir ve y'nin katsayısı −1'e eşittir.

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

Baş katsayının değerine bağlı olarak indirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler ayırt edilir. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

Baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden denklem denir verilen ikinci dereceden denklem. Aksi takdirde ikinci dereceden denklem el değmemiş.

Buna göre bu tanım, ikinci dereceden denklemler x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, vb. – verildiğinde, her birinde birinci katsayı bire eşittir. A 5 x 2 −x−1=0 vb. - indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, baş katsayıları 1'den farklıdır.

İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklemden, her iki tarafı da baş katsayıya bölerek azaltılmış olana gidebilirsiniz. Bu eylem eşdeğer bir dönüşümdür, yani bu şekilde elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denklem, orijinal indirgenmemiş ikinci dereceden denklemle aynı köklere sahiptir veya onun gibi kökleri yoktur.

İndirgenmemiş ikinci dereceden bir denklemden azaltılmış bir denkleme geçişin nasıl gerçekleştirildiğine dair bir örneğe bakalım.

Örnek.

3 x 2 +12 x−7=0 denkleminden karşılık gelen indirgenmiş ikinci dereceden denkleme gidin.

Çözüm.

Orijinal denklemin her iki tarafını da baş katsayı 3'e bölmemiz yeterli, sıfır değil, böylece bu işlemi gerçekleştirebiliriz. Elimizde (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 var, bu da aynı, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ve sonra (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, buradan . Orijinaline eşdeğer olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemi bu şekilde elde ettik.

Cevap:

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımı a≠0 koşulunu içerir. Bu koşul, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin ikinci dereceden olması için gereklidir, çünkü a = 0 olduğunda aslında b x + c = 0 formunda doğrusal bir denklem haline gelir.

B ve c katsayılarına gelince, bunlar hem ayrı ayrı hem de birlikte sıfıra eşit olabilir. Bu durumlarda ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım.

İkinci dereceden denklem a x 2 +b x+c=0 denir tamamlanmamış, eğer b, c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse.

Sırasıyla

Tanım.

Tam ikinci dereceden denklem tüm katsayıların sıfırdan farklı olduğu bir denklemdir.

Bu tür isimler tesadüfen verilmemiştir. Aşağıdaki tartışmalardan bu açıkça anlaşılacaktır.

b katsayısı sıfırsa ikinci dereceden denklem a·x 2 +0·x+c=0 formunu alır ve a·x 2 +c=0 denklemine eşdeğerdir. Eğer c=0 ise, yani ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+0=0 biçimindeyse, o zaman a·x 2 +b·x=0 olarak yeniden yazılabilir. Ve b=0 ve c=0 ile ikinci dereceden a·x 2 =0 denklemini elde ederiz. Ortaya çıkan denklemler, sol taraflarında x değişkenli bir terim veya serbest bir terim veya her ikisini birden içermemesi nedeniyle ikinci dereceden denklemin tamamından farklıdır. Dolayısıyla onların adı - tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Dolayısıyla x 2 +x+1=0 ve −2 x 2 −5 x+0,2=0 denklemleri ikinci dereceden tam denklem örnekleridir ve x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Önceki paragrafta yer alan bilgilerden şu anlaşılmaktadır: üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem:

• a·x 2 =0, b=0 ve c=0 katsayıları buna karşılık gelir;
• a x 2 +c=0 olduğunda b=0 ;
• ve c=0 olduğunda a·x 2 +b·x=0.

Bu türlerin her birinin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerinin nasıl çözüldüğünü sırasıyla inceleyelim.

a x 2 =0

b ve c katsayılarının sıfıra eşit olduğu, yani a x 2 =0 formundaki denklemlerle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye başlayalım. a·x 2 =0 denklemi, her iki parçanın da sıfır olmayan bir a sayısına bölünmesiyle orijinalinden elde edilen x 2 =0 denklemine eşdeğerdir. Açıkçası, x 2 =0 denkleminin kökü sıfırdır, çünkü 0 2 =0'dır. Bu denklemin başka kökleri yoktur; bu, sıfırdan farklı herhangi bir p sayısı için p 2 >0 eşitsizliğinin geçerli olduğu gerçeğiyle açıklanır; bu, p≠0 için p 2 =0 eşitliğine asla ulaşılamayacağı anlamına gelir.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a·x 2 =0'ın tek bir kökü x=0'dır.

Örnek olarak, ikinci dereceden tamamlanmamış −4 x 2 =0 denkleminin çözümünü veriyoruz. x 2 =0 denklemine eşdeğerdir, tek kökü x=0'dır, dolayısıyla orijinal denklemin tek kökü sıfır vardır.

Bu durumda kısa çözüm şu şekilde yazılabilir:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Şimdi b katsayısının sıfır ve c≠0 olduğu, yani a x 2 +c=0 formundaki denklemlerin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım. Bir terimi denklemin bir tarafından zıt işaretle diğer tarafa taşımanın ve denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan bir sayıya bölmenin eşdeğer bir denklem verdiğini biliyoruz. Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 için aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirebiliriz:

• c'yi sağ tarafa hareket ettirin, bu da a x 2 =−c denklemini verir,
• ve her iki tarafı da a'ya bölersek elde ederiz.

Ortaya çıkan denklem, kökleri hakkında sonuçlar çıkarmamızı sağlar. a ve c değerlerine bağlı olarak ifadenin değeri negatif (örneğin a=1 ve c=2 ise o zaman) veya pozitif (örneğin a=−2 ve c=6 ise,) olabilir. o zaman ), c≠0 koşuluna göre sıfır değildir. Durumlara ayrı ayrı bakalım.

Eğer ise denklemin kökleri yoktur. Bu ifade, herhangi bir sayının karesinin negatif olmayan bir sayı olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bundan, herhangi bir p sayısı için eşitliğin doğru olamayacağı sonucu çıkar.

Eğer öyleyse denklemin kökleriyle ilgili durum farklıdır. Bu durumda, eğer hatırlarsak, o zaman denklemin kökü hemen belli olur; çünkü . Aslında sayının aynı zamanda denklemin kökü olduğunu tahmin etmek kolaydır. Bu denklemin örneğin çelişkiyle gösterilebilecek başka kökleri yoktur. Hadi yapalım.

Az önce açıklanan denklemin köklerini x 1 ve -x 1 olarak gösterelim. Denklemin belirtilen x 1 ve −x 1 köklerinden farklı bir kök x 2 daha olduğunu varsayalım. Köklerini x yerine bir denklem haline getirmenin denklemi doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğü bilinmektedir. x 1 ve −x 1 için elimizde ve x 2 için elimizde . Sayısal eşitliklerin özellikleri, doğru sayısal eşitliklerin terim terim çıkarma işlemini gerçekleştirmemize izin verir, böylece eşitliklerin karşılık gelen kısımlarının çıkarılması x 1 2 −x 2 2 =0 sonucunu verir. Sayılarla yapılan işlemlerin özellikleri, elde edilen eşitliği (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 olarak yeniden yazmamıza olanak tanır. İki sayının çarpımının sıfıra eşit olduğunu ancak ve ancak bunlardan en az birinin sıfıra eşit olması durumunda biliyoruz. Dolayısıyla, elde edilen eşitlikten x 1 −x 2 =0 ve/veya x 1 +x 2 =0, ki bu aynıdır, x 2 =x 1 ve/veya x 2 =−x 1 olur. Yani bir çelişkiye geldik, çünkü başlangıçta x 2 denkleminin kökünün x 1 ve −x 1'den farklı olduğunu söylemiştik. Bu da denklemin ve dışında kökü olmadığını kanıtlar.

Bu paragraftaki bilgileri özetleyelim. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

• kökleri yok ise
• iki kökü vardır ve , if .

a·x 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekleri ele alalım.

İkinci dereceden denklem 9 x 2 +7=0 ile başlayalım. Serbest terim denklemin sağ tarafına taşındığında 9 x 2 =−7 formunu alacaktır. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da 9'a bölerek elde ederiz. Sağ taraf negatif bir sayıya sahip olduğundan bu denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 +7 = 0'ın da kökü yoktur.

Başka bir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi -x 2 +9=0 çözelim. Dokuzunu sağa kaydırıyoruz: −x 2 =−9. Şimdi her iki tarafı da -1'e bölersek x 2 =9 elde ederiz. Sağ tarafta pozitif bir sayı var ve bundan veya sonucunu çıkarıyoruz. Sonra son cevabı yazıyoruz: Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem −x 2 +9=0'ın iki kökü x=3 veya x=−3'tür.

a x 2 +b x=0

Çözümü bulmak kalıyor son tip c=0 için tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. a x 2 + b x = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmenize olanak sağlar çarpanlara ayırma yöntemi. Açıkçası, denklemin sol tarafında, ortak x faktörünü parantezlerden çıkarmanın yeterli olduğu bir yerde bulunabiliriz. Bu, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemden x·(a·x+b)=0 formundaki eşdeğer bir denkleme geçmemizi sağlar. Ve bu denklem, x=0 ve a·x+b=0 olmak üzere iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir; bunlardan ikincisi doğrusaldır ve kökü x=−b/a'dır.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden a·x 2 +b·x=0 denkleminin iki kökü x=0 ve x=−b/a'dır.

Materyali pekiştirmek için çözümü belirli bir örneğe göre analiz edeceğiz.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

X'i parantezden çıkarmak denklemi verir. x=0 ve iki denkleme eşdeğerdir. Bulduklarımızı çözüyoruz Doğrusal Denklem: , ve karışık sayıyı şuna bölmek: ortak kesir, bulduk . Bu nedenle orijinal denklemin kökleri x=0 ve .

Gerekli pratiği kazandıktan sonra bu tür denklemlerin çözümleri kısaca yazılabilir:

Cevap:

x=0 , .

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemleri çözmek için bir kök formül vardır. Haydi yazalım ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül: , Nerede D=b 2 −4 a c- Lafta ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı. Giriş aslında şu anlama gelir.

Kök formülün nasıl elde edildiğini ve ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmada nasıl kullanıldığını bilmek faydalıdır. Bunu çözelim.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

İkinci dereceden a·x 2 +b·x+c=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bazı eşdeğer dönüşümler gerçekleştirelim:

• Bu denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir a sayısına bölerek aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edebiliriz.
• Şimdi tam bir kare seç sol tarafında: . Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır.
• Bu aşamada son iki terimi ters işaretle sağ tarafa aktarmamız mümkün.
• Ve sağ taraftaki ifadeyi de dönüştürelim: .

Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+c=0'ya eşdeğer bir denkleme ulaşıyoruz.

Önceki paragraflarda benzer formdaki denklemleri incelediğimizde çözmüştük. Bu, denklemin köklerine ilişkin aşağıdaki sonuçları çıkarmamızı sağlar:

• eğer ise denklemin gerçek çözümü yoktur;
• eğer ise denklem, tek kökünün görülebildiği formdadır;
• if , Then or , or ile aynıdır, yani denklemin iki kökü vardır.

Dolayısıyla denklemin köklerinin ve dolayısıyla orijinal ikinci dereceden denklemin varlığı veya yokluğu, sağ taraftaki ifadenin işaretine bağlıdır. Bu ifadenin işareti de payın işaretiyle belirlenir, çünkü 4·a 2 paydası her zaman pozitiftir, yani b 2 −4·a·c ifadesinin işaretiyle. Bu ifadeye b 2 −4 a c adı verildi ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ve mektupla belirlenmiş D. Buradan, diskriminantın özü açıktır - değerine ve işaretine dayanarak, ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin olup olmadığı ve eğer öyleyse, sayıları nedir - bir veya iki olduğu sonucuna varırlar.

Denkleme dönelim ve onu diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: . Ve şu sonuçları çıkarıyoruz:

• eğer D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 ise bu denklemin tek kökü vardır;
• son olarak, eğer D>0 ise, denklemin iki kökü vardır, veya şeklinde yeniden yazılabilir ve kesirler genişletilip azaltıldıktan sonra ortak payda Aldığımız .

Böylece ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formülleri türettik; bunlar, diskriminant D'nin D=b 2 −4·a·c formülüyle hesaplandığı formdadır.

Onların yardımıyla, pozitif bir ayrımcıyla ikinci dereceden bir denklemin her iki gerçek kökünü de hesaplayabilirsiniz. Diskriminant sıfıra eşit olduğunda, her iki formül de ikinci dereceden denklemin benzersiz çözümüne karşılık gelen aynı kök değerini verir. Ve negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanmaya çalışırken, çıkarma işlemiyle karşı karşıya kalırız. kare kök bizi ötesine götüren negatif bir sayıdan Okul müfredatı. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, ancak bir çifti vardır. karmaşık eşlenik elde ettiğimiz aynı kök formülleri kullanılarak bulunabilen kökler.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Pratikte ikinci dereceden denklemleri çözerken değerlerini hesaplamak için hemen kök formülü kullanabilirsiniz. Ancak bu daha çok karmaşık kökleri bulmakla ilgilidir.

Ancak okuldaki cebir dersinde genellikle Hakkında konuşuyoruz karmaşıkla ilgili değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleriyle ilgili. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk önce diskriminantın bulunması, negatif olmadığından emin olunması tavsiye edilir (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz), ve ancak o zaman köklerin değerlerini hesaplayın.

Yukarıdaki mantık yazmamıza izin veriyor İkinci dereceden bir denklemi çözmek için algoritma. İkinci dereceden a x 2 +b x+c=0 denklemini çözmek için şunları yapmanız gerekir:

• D=b 2 −4·a·c diskriminant formülünü kullanarak değerini hesaplayın;
• diskriminant negatifse ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerinin olmadığı sonucuna varır;
• D=0 ise formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
• Diskriminant pozitifse kök formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin iki gerçek kökünü bulun.

Burada, eğer diskriminant sıfıra eşitse formülü de kullanabileceğinizi not edelim; bu formül ile aynı değeri verecektir.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için algoritmayı kullanma örneklerine geçebilirsiniz.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Pozitif, negatif ve sıfır diskriminantlı ikinci dereceden üç denklemin çözümlerini ele alalım. Çözümlerini ele aldıktan sonra, benzetme yoluyla başka herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek mümkün olacaktır. Hadi başlayalım.

Örnek.

x 2 +2·x−6=0 denkleminin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu durumda ikinci dereceden denklemin şu katsayılarına sahibiz: a=1, b=2 ve c=−6. Algoritmaya göre öncelikle diskriminant hesaplamanız gerekir; bunu yapmak için belirtilen a, b ve c'yi diskriminant formülünde yerine koyarız; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 yani diskriminant sıfırdan büyük olduğundan ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları kök formülünü kullanarak bulalım, elde ederiz, burada aşağıdaki işlemleri yaparak elde edilen ifadeleri basitleştirebilirsiniz. çarpanı kök işaretinin ötesine taşıma ardından fraksiyonun azaltılması gelir:

Cevap:

Bir sonraki tipik örneğe geçelim.

Örnek.

−4 x 2 +28 x−49=0 ikinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm.

Diskriminantı bularak başlıyoruz: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin tek bir kökü vardır ve bunu şöyle buluruz:

Cevap:

x=3,5.

Geriye ikinci dereceden denklemleri negatif bir diskriminantla çözmeyi düşünmek kalıyor.

Örnek.

5·y 2 +6·y+2=0 denklemini çözün.

Çözüm.

İkinci dereceden denklemin katsayıları şunlardır: a=5, b=6 ve c=2. Bu değerleri diskriminant formülüne koyarsak, D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant negatiftir, dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Karmaşık kökleri belirtmeniz gerekiyorsa, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için iyi bilinen formülü uygularız ve gerçekleştiririz. karmaşık sayılarla işlemler:

Cevap:

gerçek kökler yoktur, karmaşık kökler şunlardır: .

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının negatif olması durumunda, okulda genellikle gerçek köklerin olmadığını ve karmaşık köklerin bulunmadığını belirten bir cevabı hemen yazdıklarını bir kez daha belirtelim.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

D=b 2 −4·a·c olan ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formül, x için çift katsayılı (veya sadece bir katsayı örneğin 2·n veya 14·ln5=2·7·ln5 şeklindedir. Onu dışarı çıkaralım.

Diyelim ki a x 2 +2 n x+c=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi çözmemiz gerekiyor. Bildiğimiz formülü kullanarak köklerini bulalım. Bunu yapmak için diskriminantı hesaplıyoruz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) ve sonra kök formülü kullanırız:

n 2 −a c ifadesini D 1 olarak gösterelim (bazen D "olarak gösterilir). Daha sonra ikinci katsayı 2 n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır: , burada D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1 veya D 1 =D/4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dördüncü kısmıdır. D 1'in işaretinin D'nin işaretiyle aynı olduğu açıktır. Yani D 1 işareti aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesidir.

Yani, ikinci katsayısı 2·n olan ikinci dereceden bir denklemi çözmek için şunu yapmanız gerekir:

• D 1 =n 2 −a·c'yi hesaplayın;
• Eğer D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 ise aşağıdaki formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
• D 1 >0 ise formülü kullanarak iki gerçek kökü bulun.

Bu paragrafta elde edilen kök formülü kullanarak örneği çözmeyi düşünelim.

Örnek.

5 x 2 −6 x −32=0 ikinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm.

Bu denklemin ikinci katsayısı 2·(−3) olarak gösterilebilir. Yani, orijinal ikinci dereceden denklemi 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, burada a=5, n=−3 ve c=−32 biçiminde yeniden yazabilir ve denklemin dördüncü kısmını hesaplayabilirsiniz. ayrımcı: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Değeri pozitif olduğundan denklemin iki reel kökü vardır. Bunları uygun kök formülünü kullanarak bulalım:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için alışılagelmiş formülü kullanmanın mümkün olduğunu ancak bu durumda daha fazla hesaplama işinin gerçekleştirilmesi gerekeceğini unutmayın.

Cevap:

İkinci dereceden denklemlerin formunun basitleştirilmesi

Bazen ikinci dereceden bir denklemin köklerini formüller kullanarak hesaplamaya başlamadan önce şu soruyu sormaktan zarar gelmez: "Bu denklemin biçimini basitleştirmek mümkün mü?" Hesaplamalar açısından ikinci dereceden 11 x 2 −4 x−6=0 denklemini çözmenin 1100 x 2 −400 x−600=0 yerine daha kolay olacağı konusunda hemfikir olun.

Tipik olarak ikinci dereceden bir denklemin biçimini basitleştirmek, her iki tarafın belirli bir sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle elde edilir. Örneğin önceki paragrafta 1100 x 2 −400 x −600=0 denklemini her iki tarafı da 100'e bölerek basitleştirmek mümkündü.

Benzer bir dönüşüm, katsayıları olmayan ikinci dereceden denklemlerle gerçekleştirilir. Bu durumda denklemin her iki tarafı genellikle katsayılarının mutlak değerlerine bölünür. Örneğin ikinci dereceden 12 x 2 −42 x+48=0 denklemini ele alalım. katsayılarının mutlak değerleri: OBEB(12, 42, 48)= OBEB(12, 42), 48)= OBEB(6, 48)=6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölerek eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 −7 x+8=0'a ulaşırız.

İkinci dereceden bir denklemin her iki tarafının çarpılması genellikle kesirli katsayılardan kurtulmak için yapılır. Bu durumda çarpma, katsayılarının paydaları tarafından gerçekleştirilir. Örneğin, ikinci dereceden denklemin her iki tarafı da LCM(6, 3, 1)=6 ile çarpılırsa, daha basit olan x 2 +4·x−18=0 formunu alacaktır.

Bu noktanın sonucunda, ikinci dereceden bir denklemin en yüksek katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman tüm terimlerin işaretlerini değiştirerek kurtulduklarını görüyoruz; bu, her iki tarafı da -1 ile çarpmaya (veya bölmeye) karşılık gelir. Örneğin, genellikle −2 x 2 −3 x+7=0 ikinci dereceden denklemden 2 x 2 +3 x−7=0 çözümüne geçilir.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülü, denklemin köklerini katsayıları aracılığıyla ifade eder. Kök formülüne dayanarak kökler ve katsayılar arasındaki diğer ilişkileri elde edebilirsiniz.

Vieta teoreminin en iyi bilinen ve uygulanabilir formülleri ve şeklindedir. Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir. Örneğin ikinci dereceden 3 x 2 −7 x + 22 = 0 denkleminin formuna bakarak köklerinin toplamının 7/3, köklerin çarpımının ise 22 olduğunu hemen söyleyebiliriz. /3.

Önceden yazılmış formülleri kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka bağlantı elde edebilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını katsayıları aracılığıyla ifade edebilirsiniz: .

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. Saat 14:00'te 1. Bölüm. Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.