Yıldız haberleri
Farklı işaretli sayıların toplanması. Pozitif ve negatif sayıları toplama ve çıkarma
Bu materyalde size negatif ve pozitif bir sayının nasıl doğru şekilde ekleneceğini anlatacağız. İlk önce böyle bir toplamanın temel kuralını vereceğiz, sonra bunun problem çözümünde nasıl uygulandığını göstereceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pozitif ve negatif sayıları toplamanın temel kuralı
Pozitif bir rakamın gelir, negatif bir rakamın ise kayıp olarak değerlendirilebileceğini daha önce söylemiştik. Gelir ve gider tutarını öğrenmek için bu sayıların modüllerine bakmanız gerekir. Sonunda giderlerimizin gelirimizi aştığı ortaya çıkarsa, o zaman onların karşılıklı muhasebeleştirilmesinden sonra borçlu kalacağız, tam tersi ise karada kalacağız. Giderler gelire eşitse bakiyemiz sıfır olacaktır.
Yukarıdaki mantığı kullanarak sayıları toplamanın temel kuralını türetebiliriz. farklı işaretler.
Tanım 1
Negatif bir sayıya pozitif bir sayı eklemek için modüllerini bulmanız ve bir karşılaştırma yapmanız gerekir. Değerler eşitse, zıt sayılara sahip iki terimimiz olur ve bunların toplamı sıfır olur. Eşit değillerse sonucun büyük sayıyla aynı işarete sahip olacağını dikkate almamız gerekir.
Böylece, ekleme bu durumdaçıkarma işlemine gelir Daha az. Bu eylemin sonucu farklı olabilir: Pozitif ya da negatif bir sayı elde edebiliriz. Boş bir sonuç da mümkündür.
Bu kural tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılar için geçerlidir.
Negatif bir sayıya pozitif bir sayı eklemeyi içeren problemler
Yukarıda özetlenen kuralın pratikte nasıl uygulanacağına bakalım. Önce basit bir örnek verelim.
örnek 1
2 + (- 5) toplamını hesaplayın.
Çözüm
Şu ana kadar öğrendiğimiz adımları takip edelim. Öncelikle orijinal sayıların 2 ve 5'e eşit olacak modüllerini bulalım. Büyük modül 5 olduğundan eksiyi hatırlıyoruz. Daha sonra, büyük modülden küçük olanı çıkarırız ve şunu elde ederiz: 5 − 2 = 3.
Cevap: (− 5) + 2 = − 3 .
Görev koşulları şunları içeriyorsa rasyonel sayılar tam sayı olmayan farklı işaretlerle, hesaplamaların kolaylığı için bunları ondalık veya sıradan kesirler. Bu sorunu ele alalım ve çözelim.
Örnek 2
2 1 8 + (- 1 , 25)'in ne kadar olduğunu hesaplayın.
Çözüm
Öncelikle tam sayıyı ortak kesire dönüştürelim. Bunu nasıl yapacağınızı hatırlamıyorsanız ilgili makaleyi tekrar okuyun.
Ondalık kesri de sıradan bir kesir olarak sunacağız: - 1, 25 = - 125 100 = - 5 4.
Bundan sonra modülleri hesaplamaya ve sonucu hesaplamaya devam edebilirsiniz. Modülleri bulalım: sırasıyla 17 8 ve 5 4'e eşit olacaklar. Ortaya çıkan kesirleri azaltıyoruz ortak payda ve 17 8 ve 10 8 elde ederiz.
Bir sonraki adım kesirleri karşılaştırmaktır. Birinci kesrin payı daha büyük olduğundan 17 8 > 10 8 olur. Eğer artı işaretli daha büyük bir terim varsa o zaman sonucun pozitif olacağını unutmamamız gerekir.
17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8
Sonucumuzun artı işaretine sahip olacağını daha önce belirtmiştik: + 7 8 . Artı yazmaya gerek olmadığı için cevabı yazarken onsuz yapacağız.
Çözümün tamamını yazalım:
2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8
Cevap: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .
Örnek 3
14 ile -14'ün toplamının neye eşit olduğunu bulun.
Çözüm
Farklı işaretlere sahip iki özdeş terimimiz var. Bu, bu sayıların birbirine zıt olduğu anlamına gelir, dolayısıyla toplamları 0'a eşit olacaktır.
Cevap: 14 + - 14 = 0
Makalenin sonuna gerçek ekleme sonucunu ekleyeceğiz. negatif sayılar olumlu olanlarla formda yazmak genellikle daha iyidir sayısal ifade kökleri, kuvvetleri veya logaritmalarıyla ve sonsuz biçiminde değil ondalık. Yani n ve -3 sayılarını toplarsak cevap n-3 olacaktır. Nihai sonucu hesaplamak her zaman gerekli değildir ve yaklaşık hesaplamalarla idare edebilirsiniz. Bu konuyu reel sayılarla temel işlemler hakkındaki yazımızda daha detaylı olarak yazacağız.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Görev 1. Oyuncu kazançlarını + işaretiyle, kayıplarını – işaretiyle kaydetti. Aşağıdaki girişlerin her birinin sonucunu bulun: a) +7 ovmak. +4 ovmak; b) –3 ovmak. –6 ovmak; c) –4 ovmak. +4 ovmak; d) +8 ovmak. –6 ruble; e) –11 ovmak. +7 ovmak; f) +2 ovmak. +3 ovmak. –5 ruble; g) +6 ovmak. –4 ovmak. +3 ovmak. –5 ovmak. +2 ovmak. –6 ovmak.
Giriş a) oyuncunun ilk önce 7 ruble kazandığını gösterir. ve sonra 4 ruble kazandı - toplamda 11 ruble kazandı; c) girişi, oyuncunun ilk önce 4 ruble kaybettiğini gösterir. ve sonra 4 ruble kazandınız, bu nedenle toplam sonuç = 0 (oyuncu hiçbir şey yapmadı); e) girişi, oyuncunun önce 11 ruble kaybettiğini, ardından 7 ruble kazandığını gösterir - kayıp, galibiyetten 4 ruble daha ağır basar; bu nedenle oyuncu toplamda 4 ruble kaybetti. Dolayısıyla bu kayıtlara şunu yazma hakkımız var:
a) +7 ovmak. +4 ovmak. = +11 ovmak; c) –4 ovmak. +4 ovmak. = 0; e) –11 ovmak. + 7 ovmak. = –4 ovmak.
Girişlerin geri kalanının anlaşılması da aynı derecede kolaydır.
Anlamları açısından, bu problemler aritmetikte toplama eylemi kullanılarak çözülen problemlere benzer, bu nedenle burada oyunun genel sonucunu bulmak için her yerde bireysel oyunların sonuçlarını ifade eden göreceli sayıları toplamamız gerektiğini varsayacağız, örneğin, örnek c) göreceli sayı –11 rub. +7 sürtünme bağıl sayısına eklenir.
Görev 2. Kasiyer, kasa girişlerini + işaretiyle, harcamaları – işaretiyle kaydetti. Aşağıdaki girişlerin her birinin toplam sonucunu bulun: a) +16 ovmak. +24 ovmak; b) –17 ovmak. –48 ovmak; c) +26 ovmak. –26 ruble; d) –24 ovmak. +56 ovmak; e) –24 ovmak. +6 ovmak; f) –3 ovmak. +25 ovmak. –20 ovmak. +35 ovmak; g) +17 ovmak. –11 ovmak. +14 ovmak. –9 ovmak. –18 ovmak. +7 ovmak; h) –9 ruble –7 ruble +15 ovmak. –11 ovmak. +4 ovmak.
Örneğin f): girişini analiz edelim, önce kasanın tüm makbuzunu sayalım: bu girişe göre 25 ruble vardı. geldiğimde ve 35 ruble daha. gel, toplam gelir 60 ruble, gider 3 ruble ve 20 ruble daha, toplam 23 ruble. gider; gelir giderleri 37 ruble aşıyor. İzlemek.,
– 3 ovmak. + 25 ovmak. – 20 ovmak. + 35 ovmak. = +37 ovmak.
Görev 3. Nokta, A noktasından başlayarak düz bir çizgide salınır (Şekil 2).
Saçmalık. 2.
Sağa taşınması + işaretiyle, sola taşınması ise – işaretiyle gösterilir. Aşağıdaki girişlerden birinde kaydedilen birkaç salınımdan sonra nokta nerede olacaktır: a) +2 dm. –3 dm. +4 dm.; b) –1 dm. +2 dm. +3 dm. +4 dm. –5 dm. +3 dm.; c) +10 dm. –1 dm. +8 dm. –2 dm. +6 dm. –3 dm. +4 dm. –5 dm.; d) –4 dm. +1 dm. –6 dm. +3 dm. –8 dm. +5 dm.; e) +5 dm. –6 dm. +8 dm. –11 dm. Çizimde inçler gerçek olanlardan daha küçük bölümlerle gösterilmiştir.
Son girişi (e) analiz edelim: önce salınım noktası A'nın 5 inç sağına, ardından 6 inç sola kaydırıldı - genel olarak A'nın 1 inç soluna yerleştirilmeli, sonra taşınmalıdır 8 inç sağa, sonra A'nın 7 inç sağına, sonra 11 inç sola kaydırıldı, dolayısıyla A'nın 4 inç soluna.
Örneklerin geri kalanını öğrencilerin kendilerinin analiz etmesine bırakıyoruz.
Ayrıştırılan tüm kayıtlara kayıtlı göreceli sayıları eklememiz gerektiğini kabul ettik. Bu nedenle anlaşalım:
Birkaç bağıl sayı yan yana (işaretleriyle birlikte) yazılıyorsa bu sayıların toplanması gerekir.
Şimdi toplama sırasında karşılaşılan ana durumları analiz edelim ve isimsiz göreceli sayıları alacağız (örneğin, kazanmak için 5 ruble ve kaybetmek için başka bir 3 ruble söylemek yerine veya nokta 5 inç ilerledi) Oh'un sağında ve sonra 3 inç daha sola, diyelim ki 5 pozitif birim ve ayrıca 3 negatif birim...).
Burada 8 pozisyondan oluşan sayıları toplamanız gerekiyor. birimler ve hatta 5 pozisyondan. birimleri kullanarak 13 pozisyondan oluşan bir sayı elde ederiz. birimler.
Yani + 8 + 5 = 13
Burada 6 negatiften oluşan bir sayı eklemeniz gerekiyor. 9 negatiften oluşan bir sayıya sahip birimler. birim, 15 negatif elde ederiz. birimler (karşılaştırın: 6 ruble kayıp ve 9 ruble kayıp - 15 ruble kayıp olacaktır). Bu yüzden,
– 6 – 9 = – 15.
4 ruble kazanç ve ardından 4 ruble. kayıplar genel olarak sıfır verecektir (karşılıklı olarak iptal edilmiştir); ayrıca, eğer bir nokta A'dan önce sağa 4 inç, sonra sola 4 inç hareket ederse, o zaman tekrar A noktasına varacaktır ve sonuç olarak A'ya olan son mesafesi sıfırdır ve genel olarak biz 4 pozitif olduğunu varsayalım birimler ve hatta 4 negatif bile genel olarak sıfır verecek veya karşılıklı olarak yok edilecektir. Bu yüzden,
4 – 4 = 0, ayrıca – 6 + 6 = 0 vb.
Mutlak değeri aynı olan ancak iki göreli sayı çeşitli işaretler, karşılıklı olarak yok edilir.
6 negatif 6 pozitif birim imha edilecek. birimler ve hala 3 pozisyon kalacak. birimler. Bu yüzden,
– 6 + 9 = + 3.
7 konum. birimler 7 negatiften yok edilecek. birimler ve hala 4 negatif kalacak. birimler. Bu yüzden,
7 – 11 = – 4.
1), 2), 4) ve 5) durumları dikkate alındığında,
8 + 5 = + 13; – 6 – 9 = – 15; – 6 + 9 = + 3 ve
+ 7 – 11 = – 4.
Bundan, iki toplama durumu arasında ayrım yapmamız gerektiğini görüyoruz. cebirsel sayılar: Terimlerin aynı işaretlere sahip olması durumu (1. ve 2.) ve farklı işaretlere sahip sayıların eklenmesi durumu (4. ve 5.).
Bunu şimdi görmek zor değil
Aynı işaretli sayıları toplarken mutlak değerlerini toplayıp yazmalısınız. genel işaret ve farklı işaretli iki sayıyı toplarken mutlak değerlerini (büyükten küçüğe) aritmetik olarak çıkarmanız ve mutlak değeri büyük olan sayının işaretini yazmanız gerekir.
Diyelim ki toplamı bulmamız gerekiyor
6 – 7 – 3 + 5 – 4 – 8 + 7 + 9.
Önce tüm pozitif sayıları + 6 + 5 + 7 + 9 = + 27'yi, sonra da hepsini negatif olarak toplayabiliriz. – 7 – 3 – 4 – 8 = – 22 ve daha sonra kendi aralarında elde edilen sonuçlar +27 – 22 = +5 olur.
Burada +5 – 4 – 8 + 7 sayılarının birbirini götürmesi gerçeğini de kullanabiliriz ve geriye sadece + 6 – 7 – 3 + 9 = + 5 sayılarını eklemek kalır.
Toplamayı temsil etmenin başka bir yolu
Her terimi parantez içine alabilir ve parantezlerin arasına bir ekleme işareti yazabilirsiniz. Örneğin:
(+7) + (+9); (–3) + (–8); (+7) + (–11); (–4) + (+5);
(–3) + (+5) + (–7) + (+9) + (–11), vb.
Mesela bir öncekine göre tutarı hemen yazabiliriz. (–4) + (+5) = +1 (farklı işaretli sayıların toplanması durumu: Mutlak değeri büyük olandan küçük olanı çıkarıp mutlak değeri büyük olan sayının işaretini yazmanız gerekir), ancak biz aynı şeyi önce parantez olmadan da yeniden yazabiliriz, eğer sayılar işaretlerinin yanına yazılıyorsa bu sayıların eklenmesi gerektiği koşulumuzu kullanarak; izlemek.,
Pozitif ve negatif sayıları toplarken parantez açmak için terimleri işaretlerinin yanına yazmanız gerekir (toplama işaretini ve parantezleri atlayın).
Örneğin: (+ 7) + (+ 9) = + 7 + 9; (– 3) + (– 8) = – 3 – 8; (+ 7) + (– 11) = + 7 – 11; (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5; (– 3) + (+ 5) + (– 7) + (+ 9) + (– 11) = – 3 + 5 – 7 + 9 – 11.
Bundan sonra ortaya çıkan sayıları ekleyebilirsiniz.
Cebir dersinde parantez açma becerisine özellikle dikkat etmelisiniz.
Egzersizler.
1) (– 7) + (+ 11) + (– 15) + (+ 8) + (– 1);
Bu dersimizde negatif sayının ne olduğunu ve hangi sayılara karşıt denildiğini öğreneceğiz. Ayrıca negatif ve pozitif sayıların (farklı işaretli sayılar) nasıl toplandığını öğreneceğiz ve farklı işaretli sayıların toplanmasıyla ilgili çeşitli örneklere bakacağız.
Şu dişliye bakın (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 1. Saat dişlisi
Bu doğrudan zamanı gösteren bir ibre veya bir kadran değildir (bkz. Şekil 2). Ancak bu kısım olmadan saat çalışmaz.
Pirinç. 2. Saatin içindeki vites
Y harfi ne anlama geliyor? Y sesinden başka bir şey yok. Ancak o olmadan birçok kelime "işe yaramaz". Örneğin "fare" kelimesi. Negatif sayılar da öyle: herhangi bir miktar göstermezler, ancak onlar olmasaydı hesaplama mekanizması çok daha zor olurdu.
Toplama ve çıkarma işlemlerinin eşdeğer işlemler olduğunu ve herhangi bir sırayla yapılabileceğini biliyoruz. Doğrudan sırayla şunları hesaplayabiliriz: ancak henüz ne olduğu konusunda anlaşmaya varamadığımız için çıkarma işlemine başlayamayız.
Sayıyı bir kat arttırıp sonra azaltmanın, sonuçta üçe kadar azalması anlamına geldiği açıktır. Neden bu nesneyi belirleyip şu şekilde saymıyorsunuz: eklemek, çıkarmak demektir. Daha sonra .
Sayı örneğin bir elma anlamına gelebilir. Yeni sayı herhangi bir gerçek miktarı temsil etmiyor. Tek başına Y harfi gibi bir anlam taşımaz. Basit yeni araç hesaplamaları basitleştirmek için.
Yeni sayıları adlandıralım olumsuz. Artık büyük sayıyı küçük sayıdan çıkarabiliriz. Teknik olarak, yine de küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarmanız gerekir, ancak cevabınıza eksi işareti koyun: .
Başka bir örneğe bakalım: 
. Tüm eylemleri arka arkaya yapabilirsiniz: .
Ancak üçüncü sayıyı birinci sayıdan çıkarıp ardından ikinci sayıyı eklemek daha kolaydır:
Negatif sayılar başka bir şekilde tanımlanabilir.
Örneğin her doğal sayı için, belirttiğimiz yeni bir sayıyı tanıtıyoruz ve bu sayının şu özelliğe sahip olduğunu belirliyoruz: sayının toplamı ve eşittir : .
Sayıya negatif, sayılara ve - zıt diyeceğiz. Böylece sonsuz sayıda yeni sayı elde ettik, örneğin:
Sayının tersi;
Sayının tersi;
Sayının tersi; 
Sayının tersi;
Büyük sayıyı küçük sayıdan çıkarın: . Bu ifadeye şunu ekleyelim: . Sıfır aldık. Ancak özelliğine göre beşe sıfır ekleyen sayı eksi beş ile gösterilir: . Bu nedenle ifade şu şekilde gösterilebilir.
Her pozitif sayının, yalnızca önünde bir eksi işareti bulunması nedeniyle farklılık gösteren bir ikiz sayısı vardır. Bu tür sayılara denir. zıt(bkz. Şekil 3).
Pirinç. 3. Zıt sayılara örnekler
Zıt sayıların özellikleri
1. Zıt sayıların toplamı sıfırdır: .
2. Sıfırdan pozitif bir sayı çıkarırsanız, sonuç tam tersi negatif sayı olacaktır: .
1. Her iki sayı da pozitif olabilir ve bunları nasıl ekleyeceğimizi zaten biliyoruz: .
2. Her iki sayı da negatif olabilir.
Önceki derste bunun gibi sayıların eklenmesini zaten ele almıştık, ancak onlarla ne yapacağımızı anladığımızdan emin olalım. Örneğin: .
Bu toplamı bulmak için zıt pozitif sayıları toplayın ve eksi işareti koyun.
3. Bir sayı pozitif, diğeri negatif olabilir.
Bizim için uygunsa, negatif bir sayının toplamasını pozitif bir sayının çıkarılmasıyla değiştirebiliriz: .
Bir örnek daha: . Yine tutarı fark olarak yazıyoruz. Daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayıyı çıkararak, ancak eksi işaretini kullanarak, daha büyük bir sayıyı daha küçük bir sayıdan çıkarabilirsiniz.
Şartları değiştirebiliriz: .
Benzer bir örnek daha: .
Her durumda sonuç bir çıkarmadır.
Bu kuralları kısaca formüle etmek için bir terimi daha hatırlayalım. Zıt sayılar elbette birbirine eşit değildir. Ancak ortak noktalarının farkına varmamak tuhaf olurdu. Buna ortak adını verdik modül numarası. Zıt sayıların modülü aynıdır: pozitif bir sayı için sayının kendisine eşittir ve negatif bir sayı için tersi pozitiftir. Örneğin: , .
İki negatif sayıyı eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve bir eksi işareti koymanız gerekir:
Negatif ve pozitif bir sayı eklemek için, küçük modülü büyük modülden çıkarmanız ve sayının işaretini büyük modülün yanına koymanız gerekir:
Her iki sayı da negatiftir, bu nedenle modüllerini ekler ve eksi işareti koyarız:
Bu nedenle, farklı işaretli iki sayı, sayının modülünden (daha büyük modül), sayının modülünü çıkarırız ve bir eksi işareti (daha büyük modüle sahip sayının işareti) koyarız:
Bu nedenle, farklı işaretli iki sayı, sayının modülünden (daha büyük modül), sayının modülünü çıkarırız ve bir eksi işareti koyarız (daha büyük modüle sahip sayının işareti): .
Bu nedenle, farklı işaretli iki sayı, sayının modülünden (daha büyük modül), sayının modülünü çıkarırız ve bir artı işareti koyarız (daha büyük modüle sahip sayının işareti): .
Pozitif ve negatif sayıların tarihsel olarak farklı rolleri olmuştur.
İlk önce girdik tamsayılaröğeleri saymak için:
Daha sonra, tamsayı olmayan miktarları, parçaları saymak için diğer pozitif sayıları - kesirleri - tanıttık: .
Negatif sayılar hesaplamaları basitleştirecek bir araç olarak ortaya çıktı. Hayatta sayamayacağımız nicelikler yoktu ve negatif sayıları icat ettik.
Yani negatif sayılar ortaya çıkmadı gerçek dünya. O kadar kullanışlı oldukları ortaya çıktı ki bazı yerlerde hayatta uygulama alanı buldular. Örneğin negatif sıcaklıkları sıklıkla duyarız. Ancak hiçbir zaman negatif sayıda elmayla karşılaşmıyoruz. Fark ne?
Aradaki fark, hayatta negatif niceliklerin yalnızca karşılaştırma için kullanılması, nicelik olarak kullanılmamasıdır. Otelin bodrum katı varsa ve oraya bir asansör kurulmuşsa, normal kat numaralandırmasını korumak için eksi birinci kat görünebilir. Bu ilk eksi, zemin seviyesinin yalnızca bir kat altında olduğu anlamına gelir (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 4. Eksi birinci kat ve eksi ikinci kat
Negatif bir sıcaklık, yalnızca ölçeğin yazarı Anders Celsius tarafından seçilen sıfıra kıyasla negatiftir. Başka ölçekler de var ve orada aynı sıcaklık artık negatif olmayabilir.
Aynı zamanda başlangıç noktasını beş değil altı elma olacak şekilde değiştirmenin imkansız olduğunu anlıyoruz. Bu nedenle hayatta miktarları (elma, kek) belirlemek için pozitif sayılar kullanılır.
İsim yerine bunları da kullanırız. Her telefona kendi adı verilebilir, ancak adların sayısı sınırlıdır ve numara yoktur. Bu yüzden telefon numaralarını kullanıyoruz. Ayrıca sipariş vermek için (yüzyıl yüzyılı takip eder).
Hayattaki negatif sayılar ikinci anlamda kullanılır (eksi sıfırın altındaki birinci kat ve birinci katlar)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. M .: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. "Spor Salonu", 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. M.: Eğitim, 1989.
- Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: 5-6. Sınıflar için ders kitabı-muhatap lise. M.: Eğitim, Matematik Öğretmeni Kitaplığı, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- Youtube().
- Okul asistanı.ru ().
- Allforchildren.ru ().
Ev ödevi
Matematik dersinin neredeyse tamamı pozitif ve negatif sayılarla yapılan işlemlere dayanmaktadır. Sonuçta, koordinat çizgisini incelemeye başladığımız anda, her yeni konuda artı ve eksi işaretli sayılar her yerde görünmeye başlar. Sıradan pozitif sayıları toplamaktan daha kolay bir şey yoktur; birini diğerinden çıkarmak zor değildir. Eşit Aritmetik işlemler iki negatif sayı nadiren sorun haline gelir.
Ancak birçok kişi, farklı işaretlere sahip sayıları toplama ve çıkarma konusunda kafası karışır. Bu eylemlerin gerçekleştiği kuralları hatırlayalım.
Farklı işaretli sayıların toplanması
Bir problemi çözmek için bir “a” sayısına negatif bir “-b” sayısını eklememiz gerekiyorsa, o zaman aşağıdaki gibi hareket etmemiz gerekir.
- Her iki sayının da modüllerini alalım - |a| ve |b| - ve bu mutlak değerleri birbiriyle karşılaştırın.
- Hangi modüllerin daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu not edelim ve bundan çıkaralım. daha büyük değer az.
- Ortaya çıkan sayının önüne modülü büyük olan sayının işaretini koyalım.
Cevap bu olacak. Daha basit bir şekilde ifade edebiliriz: a + (-b) ifadesinde “b” sayısının modülü “a”nın modülünden büyükse o zaman “b”den “a”yı çıkarır ve bir “eksi” koyarız. ”Sonucun önünde. "A" modülü daha büyükse, "a"dan "b" çıkarılır ve çözüm "artı" işaretiyle elde edilir.
Ayrıca modüllerin eşit olduğu ortaya çıkıyor. Eğer öyleyse, o zaman bu noktada durabilirsiniz - Hakkında konuşuyoruz zıt sayılar hakkında ve bunların toplamı her zaman sıfır olacaktır.
Farklı işaretli sayıların çıkarılması
Toplama konusunu ele aldık, şimdi çıkarma kuralına bakalım. Aynı zamanda oldukça basittir - ve ayrıca iki negatif sayıyı çıkarmak için benzer bir kuralı tamamen tekrarlar.
Belirli bir "a" sayısından - keyfi, yani herhangi bir işaretle - negatif bir "c" sayısını çıkarmak için, keyfi "a" sayımıza "c" nin karşısındaki sayıyı eklemeniz gerekir. Örneğin:
- "a" pozitif bir sayıysa ve "c" negatifse ve "c"yi "a"dan çıkarmanız gerekiyorsa, bunu şu şekilde yazarız: a – (-c) = a + c.
- Eğer “a” negatif bir sayı, “c” pozitif ise ve “c”nin “a”dan çıkarılması gerekiyorsa bunu şu şekilde yazarız: (- a)– c = - a+ (-c).
Böylece farklı işaretli sayıları çıkarırken toplama kurallarına, farklı işaretli sayıları toplarken ise çıkarma kurallarına dönmüş oluruz. Bu kuralları ezberlemek sorunları hızlı ve kolay bir şekilde çözmenizi sağlar.
Bu derste öğreneceğiz tam sayılarda toplama ve çıkarma ve bunların eklenmesi ve çıkarılmasıyla ilgili kurallar.
Tam sayıların yanı sıra 0 sayısının da pozitif ve negatif sayılar olduğunu hatırlayın. Örneğin, aşağıdaki sayılar tam sayılardır:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Pozitif sayılar kolaydır ve. Ne yazık ki aynı şey, yeni başlayanların çoğunu her sayının önündeki eksileriyle karıştıran negatif sayılar için söylenemez. Uygulamada görüldüğü gibi, negatif sayılar nedeniyle yapılan hatalar öğrencileri en çok hayal kırıklığına uğratır.
Ders içeriğiTam sayılarda toplama ve çıkarma örnekleri
Öğrenmeniz gereken ilk şey, bir koordinat çizgisi kullanarak tamsayıları toplamak ve çıkarmaktır. Koordinat çizgisi çizmeye hiç gerek yok. Düşüncelerinizde hayal etmeniz ve negatif sayıların nerede, pozitif sayıların nerede olduğunu görmeniz yeterlidir.
En basit ifadeyi ele alalım: 1 + 3. Bu ifadenin değeri 4'tür:
Bu örnek bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunun için 1 sayısının bulunduğu noktadan itibaren sağa doğru üç adım ilerlemeniz gerekiyor. Sonuç olarak kendimizi 4 sayısının bulunduğu noktada bulacağız, şekilde bunun nasıl gerçekleştiğini görebilirsiniz:
1+3 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini anlatır.
Örnek 2. 1 − 3 ifadesinin değerini bulalım.
Bu ifadenin değeri -2
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunun için 1 sayısının bulunduğu noktadan sola üç adım ilerlemeniz gerekiyor. Sonuç olarak kendimizi negatif −2 sayısının bulunduğu noktada bulacağız. Resimde bunun nasıl olduğunu görebilirsiniz:
1 − 3 ifadesindeki eksi işareti bize azalan sayılar yönünde sola doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Genel olarak, ekleme yapılırsa artış yönünde sağa doğru hareket etmeniz gerektiğini hatırlamanız gerekir. Çıkarma yapılırsa, azalma yönünde sola doğru hareket etmeniz gerekir.
Örnek 3.−2 + 4 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri 2'dir
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunu yapmak için -2 negatif sayısının bulunduğu noktadan sağa doğru dört adım ilerlemeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi pozitif 2 sayısının bulunduğu noktada bulacağız.
Negatif -2 sayısının bulunduğu noktadan sağ tarafa dört adım ilerleyerek pozitif 2 sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−2 + 4 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Örnek 4.−1 − 3 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri -4
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için -1 negatif sayısının bulunduğu noktadan itibaren üç adım sola gitmeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi negatif 4 sayısının bulunduğu noktada bulacağız.
Negatif -1 sayısının bulunduğu noktadan sol tarafa doğru üç adım ilerleyerek -4 negatif sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−1 − 3 ifadesindeki eksi işareti bize azalan sayılar yönünde sola gitmemiz gerektiğini söyler.
Örnek 5.−2 + 2 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri 0'dır
Bu örnek bir koordinat çizgisi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için -2 negatif sayısının bulunduğu noktadan sağa doğru iki adım ilerlemeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi 0 sayısının bulunduğu noktada bulacağız
Negatif -2 sayısının bulunduğu noktadan sağ tarafa doğru iki adım ilerleyerek 0 sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−2 + 2 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Tam sayılarda toplama ve çıkarma kuralları
Tam sayıları toplamak veya çıkarmak için, her seferinde bir koordinat çizgisi hayal etmek, hatta çizmek bile gerekli değildir. Hazır kuralları kullanmak daha uygundur.
Kuralları uygularken işlemin işaretine ve toplanması veya çıkarılması gereken sayıların işaretlerine dikkat etmeniz gerekir. Bu hangi kuralın uygulanacağını belirleyecektir.
Örnek 1.−2 + 5 ifadesinin değerini bulun
Burada negatif bir sayıya pozitif bir sayı eklenir. Yani farklı işaretli sayılar toplanır. −2 negatif bir sayıdır ve 5 pozitif bir sayıdır. Bu gibi durumlarda aşağıdaki kural geçerlidir:
Farklı işaretlere sahip sayıları toplamak için, daha küçük modülü daha büyük modülden çıkarmanız ve ortaya çıkan yanıttan önce, modülü daha büyük olan sayının işaretini koymanız gerekir.
Şimdi hangi modülün daha büyük olduğunu görelim:
5 sayısının modülü −2 sayısının modülünden daha büyüktür. Kural, küçük olanın büyük modülden çıkarılmasını gerektirir. Bu nedenle, 5'ten 2'yi çıkarmalıyız ve ortaya çıkan cevaptan önce modülü daha büyük olan sayının işaretini koymalıyız.
5 sayısının modülü daha büyük olduğundan bu sayının işareti cevapta olacaktır. Yani cevap olumlu olacaktır:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Genellikle daha kısa yazılır: −2 + 5 = 3
Örnek 2. 3 + (−2) ifadesinin değerini bulun
Burada önceki örnekte olduğu gibi farklı işaretli sayılar toplanmıştır. 3 pozitif bir sayıdır ve −2 negatif bir sayıdır. İfadeyi daha açık hale getirmek için -2'nin parantez içine alındığına dikkat edin. Bu ifadenin anlaşılması 3+−2 ifadesinden çok daha kolaydır.
Öyleyse farklı işaretlere sahip sayıları toplama kuralını uygulayalım. Önceki örnekte olduğu gibi büyük modülden küçük modülü çıkarıyoruz ve cevabın önüne modülü büyük olan sayının işaretini koyuyoruz:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
3 sayısının modülü -2 sayısının modülünden büyük olduğundan 3'ten 2'yi çıkardık ve ortaya çıkan cevabın önüne modülü daha büyük olan sayının işaretini koyduk. 3 sayısı daha büyük bir modüle sahiptir, bu nedenle bu sayının işareti cevaba dahil edilmiştir. Yani cevap olumludur.
Genellikle daha kısa yazılır 3 + (−2) = 1
Örnek 3. 3 − 7 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadede küçük sayıdan büyük sayı çıkarılır. Böyle bir durumda aşağıdaki kural geçerlidir:
Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkarmak için, daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıdan çıkarmanız ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
Bu ifadede hafif bir yakalama var. Büyüklükler ve ifadeler birbirine eşit olduğunda arasına eşittir işaretinin (=) konulduğunu hatırlayalım.
3 − 7 ifadesinin değeri öğrendiğimiz gibi -4'tür. Bu, bu ifadede yapacağımız herhangi bir dönüşümün -4'e eşit olması gerektiği anlamına gelir.
Ancak ikinci aşamada −4'e eşit olmayan 7 − 3 ifadesinin olduğunu görüyoruz.
Bu durumu düzeltmek için 7 − 3 ifadesini parantez içine alıp bu parantezin önüne bir eksi koymanız gerekir:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
Bu durumda her aşamada eşitlik gözetilecektir:
İfade hesaplandıktan sonra parantezleri kaldırabiliriz, biz de öyle yaptık.
Yani daha kesin olmak gerekirse çözüm şöyle görünmeli:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Bu kural değişkenler kullanılarak yazılabilir. Bunun gibi görünecek:
a − b = − (b − a)
Çok sayıda parantez ve işlem işareti, görünüşte basit bir problemin çözümünü karmaşık hale getirebilir, bu nedenle bu tür örneklerin nasıl kısaca yazılacağını öğrenmek daha tavsiye edilir, örneğin 3 − 7 = − 4.
Aslında tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemi, toplama işleminden başka bir anlama gelmez. Bu, sayıları çıkarmanız gerekiyorsa, bu işlemin toplama işlemiyle değiştirilebileceği anlamına gelir.
O halde yeni kuralı tanıyalım:
Bir sayıdan diğerinden çıkarmak, çıkarılan sayının karşısındaki sayının eksilen sayıya eklenmesi anlamına gelir.
Örneğin en basit ifade olan 5 − 3'ü düşünün. Ilk aşamalar Matematik çalışırken eşittir işareti koyduk ve cevabı yazdık:
Ancak artık çalışmamızda ilerleme kaydediyoruz, dolayısıyla yeni kurallara uyum sağlamamız gerekiyor. Yeni kural, bir sayıyı diğerinden çıkarmanın, çıkan sayının aynısını eksilen sayıya eklemek anlamına geldiğini söylüyor.
Bu kuralı 5 − 3 ifadesi örneğini kullanarak anlamaya çalışalım. Bu ifadede eksilen 5, çıkan da 3'tür. Kural diyor ki, 5'ten 3 çıkarmak için 5'e 3'ün tersi bir sayı eklemek gerekir. 3 sayısının tersi -3'tür. . Yeni bir ifade yazalım:
Ve bu tür ifadelere nasıl anlam bulacağımızı zaten biliyoruz. Bu, daha önce incelediğimiz farklı işaretli sayıların toplamıdır. Farklı işaretli sayıları toplamak için, küçük modülü büyük modülden çıkarırız ve ortaya çıkan cevabın önüne, modülü büyük olan sayının işaretini koyarız:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
5 sayısının modülü −3 sayısının modülünden daha büyüktür. Dolayısıyla 5'ten 3'ü çıkardık ve 2 elde ettik. 5 sayısının modülü daha büyük olduğundan cevaba bu sayının işaretini koyduk. Yani cevap olumludur.
İlk başta herkes çıkarma işlemini hızlı bir şekilde toplama işlemiyle değiştiremez. Bunun nedeni pozitif sayıların artı işareti olmadan yazılmasıdır.
Örneğin 3 − 1 ifadesinde çıkarma işlemini gösteren eksi işareti bir işlem işaretidir ve bir işlemi ifade etmez. Bu durumda bir pozitif bir sayıdır ve kendine ait artı işareti vardır ancak pozitif sayıların önüne artı yazılmadığından onu göremiyoruz.
Bu nedenle, açıklık sağlamak için bu ifade şu şekilde yazılabilir:
(+3) − (+1)
Kolaylık sağlamak için, kendi işaretlerine sahip sayılar parantez içine alınmıştır. Bu durumda çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirmek çok daha kolaydır.
(+3) − (+1) ifadesinde çıkarılacak sayı (+1), karşıt sayı ise (−1) olur.
Çıkarmanın yerine toplama koyalım ve çıkan (+1) yerine karşıt sayıyı (−1) yazalım.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Daha fazla hesaplama zor olmayacak.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
İlk bakışta, eğer eski güzel yöntemi kullanarak eşittir işareti koyup hemen cevabı 2 yazabiliyorsanız, bu ekstra hareketlerin ne anlamı var gibi görünebilir. Aslında bu kural bize birden fazla kez yardımcı olacaktır.
Haydi karar verelim önceki örnekÇıkarma kuralını kullanarak 3 − 7. Öncelikle her sayıya kendi işaretini atayarak ifadeyi net bir forma getirelim.
Üç, pozitif bir sayı olduğu için artı işaretine sahiptir. Çıkarmayı gösteren eksi işareti yediye uygulanmaz. Yedinin artı işareti vardır çünkü pozitif bir sayıdır:
Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Daha fazla hesaplama zor değildir:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Örnek 7.−4 − 5 ifadesinin değerini bulun
Yine bir çıkarma işlemimiz var. Bu işlemin ekleme ile değiştirilmesi gerekir. Eksilene (-4), çıkanın karşısındaki sayıyı (+5) ekliyoruz. Karşıt sayıçıkan (+5) için (−5) sayısıdır.
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Negatif sayıları toplamamız gereken bir duruma geldik. Bu gibi durumlarda aşağıdaki kural geçerlidir:
Negatif sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.
O halde kuralın gerektirdiği şekilde sayıların modüllerini toplayalım ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koyalım:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Modül girişi parantez içine alınmalı ve bu parantezlerin önüne eksi işareti konulmalıdır. Bu şekilde cevaptan önce görünmesi gereken bir eksiyi sağlayacağız:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Bu örneğin çözümü kısaca şöyle yazılabilir:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
veya daha da kısası:
−4 − 5 = −9
Örnek 8.−3 − 5 − 7 − 9 ifadesinin değerini bulun
İfadeyi net bir forma getirelim. Burada -3 dışındaki tüm sayılar pozitiftir, dolayısıyla artı işaretlerine sahip olacaklardır:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Çıkarma işlemlerini eklemelerle değiştirelim. Üçün önündeki eksi hariç tüm eksiler artıya dönüşecek ve tüm pozitif sayılar tam tersi yönde değişecek:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Şimdi negatif sayıları toplama kuralını uygulayalım. Negatif sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Bu örneğin çözümü kısaca şöyle yazılabilir:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
veya daha da kısası:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Örnek 9.−10 + 6 − 15 + 11 − 7 ifadesinin değerini bulun
İfadeyi net bir şekle getirelim:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Burada iki işlem var: toplama ve çıkarma. Toplamayı değiştirmeden bırakıyoruz ve çıkarma işlemini toplama ile değiştiriyoruz:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Gözlemleyerek, önceden öğrenilen kurallara göre her eylemi sırayla gerçekleştireceğiz. Modül içeren girişler atlanabilir:
İlk eylem:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
İkinci eylem:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Üçüncü eylem:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Dördüncü eylem:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Dolayısıyla −10 + 6 − 15 + 11 − 7 ifadesinin değeri −15'tir
Not. Rakamları parantez içerisine alarak ifadeyi anlaşılır bir hale getirmek hiç de gerekli değildir. Negatif sayılara alışkanlık oluştuğunda bu adım atlanabilir çünkü zaman alıcıdır ve kafa karıştırıcı olabilir.
Bu nedenle, tam sayıları toplamak ve çıkarmak için aşağıdaki kuralları hatırlamanız gerekir:
Bize katılın yeni Grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın
